CAPITULO 1 FENOMENOS en pt

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Fundamentos de Momentum, 
Calor e Transferência de Massa
5ª Edição
Fundamentos de Momentum, Calor 
e Transferência de Massa
5º Edição
James R. Welty
Departamento de Engenharia Mecânica
Charles E. Wicks
Departamento de Engenharia Química
Robert E. Wilson
Departamento de Engenharia Mecânica
Gregory L. Rorrer
Departamento de Engenharia Química
Oregon State University
John Wiley & Sons, Inc.
EDITOR ASSOCIADO
EDITOR DE AQUISIÇÕES
GERENTE DE MARKETING
DIRETOR CRIATIVO
DESIGNER
EDITOR DE MÍDIA SÊNIOR
SENIOR EDITOR DE PRODUÇÃO SERVIÇOS DE 
GERENCIAMENTO DE PRODUÇÃO
Daniel Sayre
Jennifer Welter
Christopher Ruel
Harry Nolan
Michael St. Martine
Lauren Sapira
Patricia McFadden
Thomson Digital
Este livro foi criado pela Thomson Digital, impresso e encadernado pela Hamilton Printing. A capa foi 
impressa pela Lehigh Press, Inc.
Este livro foi impresso em papel sem ácido. -1
Copyright # 2008 John Wiley & Sons, Inc. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser 
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Para solicitar livros ou para atendimento ao cliente, ligue para 1-800-CALL WILEY (225-5945).
ISBN-13 978-0470128688
Impresso nos Estados Unidos da América
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Prefácio ao 5º Edição
Ta primeira edição de Fundamentos de Momentum, Calor e Transferência de Massa, publicado em 1969, foi 
escrito para se tornar parte do que era então conhecido como o "núcleo da ciência da engenharia" da 
maioria dos currículos de engenharia. Na verdade, os requisitos para a acreditação ABET estipulam que uma 
parte significativa de todos os currículos deve ser dedicada a disciplinas fundamentais. A ênfase na ciência da 
engenharia continuou ao longo dos anos, mas o grau de ênfase diminuiu à medida que novas disciplinas e 
tecnologias entraram no mundo da educação em engenharia. No entanto, as disciplinas de transferência de 
momento (mecânica dos fluidos), transferência de calor e transferência de massa permanecem, pelo menos 
em parte, componentes importantes de todos os currículos de engenharia. É neste contexto que 
apresentamos agora a quinta edição.
Os avanços na capacidade de computação têm sido surpreendentes desde 1969. Naquela época, 
a calculadora de bolso era bastante nova e geralmente não estava nas mãos de estudantes de 
engenharia. As edições subsequentes deste livro incluíram técnicas de solução cada vez mais 
sofisticadas à medida que a tecnologia avançava. Agora, mais de 30 anos desde a primeira edição, a 
competência em computador entre os alunos é um fato consumado e muitas tarefas de casa são 
concluídas usando um software que cuida da maior parte da complexidade matemática e uma boa 
dose de percepção física. Não julgamos a adequação de tais abordagens, mas elas certamente 
ocorrem e o farão com mais frequência à medida que o software se torna mais prontamente 
disponível, mais sofisticado e mais fácil de usar.
Nesta edição, ainda incluímos alguns exemplos e problemas que são apresentados em unidades em 
inglês, mas uma grande parte do trabalho quantitativo apresentado agora está em unidades do SI. Isso é 
consistente com a maior parte da geração atual de livros didáticos de engenharia. Ainda existem algumas 
subdisciplinas nas ciências térmicas / fluidas que usam unidades em inglês convencionalmente, portanto, 
continua sendo necessário que os alunos tenham alguma familiaridade com libras, massa, lesmas, pés, psi e 
assim por diante. Talvez uma quinta edição, se se materializar, será finalmente inteiramente SI.
Nós, os três autores originais (W3), dê as boas-vindas ao Dr. Greg Rorrer à nossa equipe. Greg é 
membro do corpo docente do Departamento de Engenharia Química da Oregon State University com 
especialização em engenharia bioquímica. Ele teve uma influência significativa nas seções desta 
edição sobre transferência em massa, tanto no texto quanto nos conjuntos de problemas no final dos 
Capítulos 24 a 31. Esta edição é inquestionavelmente fortalecida por suas contribuições, e prevemos 
sua presença contínua em nossos escritos equipe.
Estamos satisfeitos que o uso deste livro tenha continuado em um nível significativo desde o 
surgimento da primeira edição, há cerca de 30 anos. Acreditamos continuamente que os fenômenos 
de transporte continuam sendo partes essenciais da base da educação e da prática da engenharia. 
Com as modificações e modernizações desta quarta edição, esperamos queFundamentos de 
Momentum, Calor e Transferência de Massa continuará a ser uma parte essencial das experiências 
educacionais dos alunos.
Corvallis, Oregon
Março de 2000
JR Welty
CE Wicks
RE Wilson
GL Rorrer
v
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Conteúdo
1. Introdução à Transferência de Momentum 1
1.1 Fluidos e o Continuum
1.2 Propriedades em um Ponto 2
1.3 Variação Ponto a Ponto de Propriedades em um Fluido
1.4 Unidades 8
1.5 Compressibilidade
1.6 Tensão de Superfície
1
5
9
11
2. Estática do fluido 16
2.1 Variação de pressão em um fluido estático
2.2 Aceleração Retilinear Uniforme
2.3 Forças em Superfícies Submersas
2.4 Empuxo
2.5 Fechamento
16
19
20
23
25
3. Descrição de um fluido em movimento 29
293.1 Leis Físicas Fundamentais
3.2 Campos de Fluxo de Fluido: Representações Lagrangiana e Euleriana
3.3 Fluxos constantes e instáveis 30
3.4 Dinamiza 31
3.5 Sistemas e volumes de controle 32
29
4. Conservação de Massa: Abordagem Controle-Volume 34
4.1 Relação Integral 34
4.2 Formas Específicas da Expressão Integral
4.3 Encerramento 39
35
5. Segunda Lei do Movimento de Newton: Abordagem Controle-Volume 43
5.1 Relação Integral para Momento Linear 43
5.2 Aplicações da Expressão Integral para Momentum Linear 46
5.3 Relação Integral para Momento de Momento 52
5.4 Aplicações para bombas e turbinas 53
5.5 Fechamento 57
6. Conservação de Energia: Abordagem de Controle-Volume 63
636.1 Relação Integral para a Conservação de Energia
6.2 Aplicações da Expressão Integral 69
vii
viii Conteúdo
6.3 A Equação de Bernoulli 72
6.4 Encerramento 76
7. Tensão de cisalhamento no fluxo laminar 81
7.1 Relação de Viscosidade de Newton 81
7.2 Fluidos Não Newtonianos 82
7.3 Viscosidade 83
7.4 Tensão de cisalhamento em fluxos laminares multidimensionais de um fluido newtoniano
7.5 Fechamento 90
88
8. Análise de um elemento de fluido diferencial em fluxo laminar 92
8.1 Fluxo laminar totalmente desenvolvido em um conduíte circular de seção 
transversal constante
8.2 Fluxo laminar de um fluido newtoniano para baixo em uma superfície de plano inclinado
8.3 Encerramento 97
92
95
9. Equações diferenciais de fluxo de fluido 99
9.1 A Equação de Continuidade Diferencial
9.2 Equações de Navier-Stokes
9.3 Equação de Bernoulli
9.4 Fechamento 111
99
101
110
10. Fluxo de fluido invisível 113
10,1
10,2
10,3
10,4
10,5
10,6
10,7
10,8
10,9
Rotação de Fluido em um 
Ponto A Função de Fluxo
Inviscid, Fluxo Irrotacional sobre um Cilindro Infinito 
Fluxo Irrotacional, o Potencial de Velocidade
Cabeça Total na Utilização do Fluxo 
Irrotacional do Fluxo Potencial
Análise de Fluxo Potencial - Casos de Fluxo Plano Simples 
Análise de Fluxo Potencial - Superposição
Fecho
113
114
116
117
119
119
120
121
123
11. Análise Dimensionale Similitude 125
11.1 Dimensões 125
11.2 Análise Dimensional das Equações Diferenciais Governantes
11.3 O Método Buckingham 128
11.4 Similaridade geométrica, cinemática e dinâmica 131
11.5 Teoria do Modelo 132
11.6 Fechamento 134
126
12. Fluxo Viscoso 137
12.1 Experiência de Reynolds
12.2 Arraste 138
137
Conteúdo ix
12.3 O Conceito de Camada Limite
12.4 As Equações da Camada Limite
12.5 Solução de Blasius para a camada limite laminar em uma placa plana
12.6 Fluxo com Gradiente de Pressão 150
12.7 Análise Integral do Momentum de von Kármán
12.8 Descrição da turbulência
12.9 Tensões de cisalhamento turbulentas
12.10 A Hipótese de Comprimento de Mistura
12.11 Distribuição de velocidade da teoria de comprimento de mistura
12.12 A Distribuição Universal de Velocidade 161
12.13 Relações empíricas adicionais para fluxo turbulento
12.14 A camada limite turbulenta em uma placa plana
12.15 Fatores que afetam a transição do fluxo laminar para o turbulento
12.16 Fechamento
144
145
146
152
155
157
158
160
162
163
165
165
13. Fluxo em conduítes fechados 168
13.1 Análise dimensional do fluxo de conduíte 168
13.2 Fatores de fricção para laminar totalmente desenvolvido, turbulento e 
fluxo de transição em conduítes circulares
13.3 Fator de fricção e determinação de perda de carga para fluxo de tubulação
13.4 Análise de fluxo de tubulação 176
13.5 Fatores de fricção para fluxo na entrada de um conduíte circular
13.6 Fechamento 182
170
173
179
14. Maquinário de Fluido 185
14.1 Bombas Centrífugas 186
14.2 Leis de Escalonamento para Bombas e Ventiladores
14.3 Configurações de bomba de fluxo misto e axial
14,4 Turbinas
14.5 Fechamento
194
197
197
197
15. Fundamentos da Transferência de Calor 201
15.1 Condução 201
15.2 Condutividade Térmica
15.3 Convecção
15.4 Radiação
15.5 Mecanismos Combinados de Transferência de Calor
15.6 Fechamento 213
202
207
209
209
16. Equações diferenciais de transferência de calor 217
16.1 A Equação Diferencial Geral para Transferência de Energia
16.2 Formas especiais da equação de energia diferencial
16.3 Condições de limite comumente encontradas 221
16.4 Fechamento 222
217
220
x Conteúdo
17. Condução em estado estacionário 224
17.1 Condução unidimensional
17.2 Condução unidimensional com geração interna de energia
17.3 Transferência de calor de superfícies estendidas
17.4 Sistemas Bi e Tridimensionais
17.5 Fechamento 246
224
230
233
240
18. Condução em estado instável 252
25218.1 Soluções Analíticas
18.2 Gráficos de temperatura-tempo para formas geométricas simples
18.3 Métodos Numéricos para Análise de Condução Transiente
18.4 Um método integral para condução instável unidimensional
18.5 Encerramento 270
261
263
266
19. Transferência de calor por convecção 274
19.1 Considerações fundamentais na transferência de calor por convecção
19.2 Parâmetros significativos na transferência de calor por convecção
19.3 Análise Dimensional de Transferência de Energia Convectiva
19.4 Análise Exata da Camada Limite Laminar 279
19.5 Análise Integral Aproximada da Camada Limite Térmica
19.6 Analogias de transferência de energia e momentum 285
19.7 Considerações sobre fluxo turbulento 287
19.8 Encerramento 293
274
275
276
283
20. Correlações convectivas de transferência de calor 297
20,1
20,2
20,3
20,4
Convecção natural
Convecção forçada para fluxo interno 
Convecção forçada para fechamento de 
fluxo externo
297
305
311
318
21. Ebulição e condensação 323
21.1 Ebulição 323
21.2 Condensação 328
21.3 Fechamento 334
22. Equipamento de transferência de calor 336
22.1 Tipos de trocadores de calor 336
22.2 Análise do trocador de calor de passagem única: a diferença de temperatura média 
logarítmica
22.3 Análise de Trocador de Calor de Fluxo Cruzado e Casca e Tubo 343
22.4 O Método de Número de Unidades de Transferência (NTU) de Análise e Projeto 
de Trocador de Calor
22.5 Considerações adicionais no projeto do trocador de calor 354
22.6 Fechamento 356
339
347
Conteúdo XI
23. Transferência de calor por radiação 359
23.1 Natureza da radiação
23.2 Radiação Térmica
23.3 A intensidade da radiação
23.4 Lei da Radiação de Planck
23.5 Lei Stefan-Boltzmann
23.6 Emissividade e absorção de superfícies sólidas
23.7 Transferência de calor radiante entre corpos negros
23.8 Radiant Exchange em Gabinetes Pretos 379
23.9 Troca radiante em superfícies reirradiadas presentes
23.10 Transferência de calor radiante entre superfícies cinzas
23.11 Radiação de gases 388
23.12 O coeficiente de transferência de calor por radiação 392
23.13 Encerramento 393
359
360
361
363
365
367
370
380
381
24. Fundamentos da Transferência de Massa 398
24.1 Transferência de Massa Molecular
24.2 O coeficiente de difusão
24.3 Transferência de Massa Convectiva
24,4 Fechamento 429
399
407
428
25. Equações diferenciais de transferência de massa 433
25.1 A Equação Diferencial para Transferência de Massa 433
25.2 Formas especiais da equação diferencial de transferência de massa
25.3 Condições de limite comumente encontradas 438
25.4 Etapas para modelagem de processos envolvendo difusão 
molecular
25.5 Fechamento
436
441
448
26. Difusão molecular de estado estacionário 452
26.1 Transferência de massa unidimensional independente de reação química
26.2 Sistemas unidimensionais associados à reação química 463
26.3 Sistemas Bi e Tridimensionais 474
26.4 Momento, calor e transferência de massa simultâneos 479
26,5 Fechamento 488
452
27. Difusão molecular de estado instável 496
27.1 Difusão de estado instável e segunda lei de Fick
27.2 Difusão Transiente em um Meio Semi-Infinito
27.3 Difusão transitória em um meio de dimensão finita sob condições de resistência de 
superfície insignificante
27.4 Gráficos de tempo de concentração para formas geométricas simples 509
27.5 Fechamento 512
496
497
500
xii Conteúdo
28. Transferência de massa convectiva 517
28.1 Considerações fundamentais na transferência de massa convectiva
28.2 Parâmetros significativos na transferência de massa convectiva
28.3 Análise Dimensional de Transferência de Massa Convectiva
28.4 Análise Exata da Camada Limite de Concentração Laminar
28.5 Análise Aproximada da Camada Limite de Concentração
28.6 Analogias de transferência de massa, energia e momento
28.7 Modelos para coeficientes de transferência de massa convectivos
28.8 Fechamento 545
517
519
521
524
531
533
542
29. Transferência de massa convectiva entre fases 551
29.1 Equilíbrio 551
29.2 Teoria de Duas Resistências 554
29.3 Fechamento 563
30. Correlações Convectivas de Transferência de Massa 569
30,1
30,2
30,3
30,4
30,5
30,6
30,7
30,8
Transferência de massa para placas, esferas e cilindros 
Transferência de massa envolvendo fluxo através de tubos 
Transferência de massa em colunas de parede molhada
Transferência de massa em leitos compactados e fluidizados 
Transferência de massa de gás-líquido em tanques agitados 
Coeficientes de capacidade para torres compactadas
Etapas para modelagem de processos de transferência de massa envolvendo fechamento por 
convecção
569
580
581
584
585
587
588
595
31. Equipamento de transferência de massa 603
31.1 Tipos de equipamento de transferência de massa 603
31.2 Operações de transferência de massa de gás-líquido em tanques bem misturados
31.3 Balanços de massa para torres de contato contínuas: Equações de linha operacional
31.4 Saldos de entalpia para torres de contato contínuo 620
31.5 Coeficientes de capacidade de transferência de massa 621
31.6 Análise de Equipamento de Contato Contínuo 622
31,7 Fechamento 636
605
611
Nomenclatura
ANEXOS
A. Transformações dos Operadores = e =2 para coordenadas cilíndricas 648
B. Resumo das operações de vetores diferenciais em vários sistemas de coordenadas
C. Simetria do Tensor de Tensão 654
D. A contribuição viscosa para o estresse normal 655
641
651
E. As Equações de Navier-Stokes para Constante r e m em coordenadas 
cartesianas, cilíndricas e esféricas 657
F. Gráficos para solução de problemas de transporte instável 659
Conteúdo xiii
G. Propriedades daatmosfera padrão
H. Propriedades Físicas de Sólidos 675
I. Propriedades Físicas de Gases e Líquidos
J. Coeficientes de difusão de transferência de massa em sistemas binários
Constantes K. Lennard-Jones
L. A Função de Erro
M. Tamanhos de tubo padrão
N. Medidores de Tubulação Padrão
672
678
691
694
697
698
700
Índice do Autor
Índice de Assuntos
703
705
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Fundamentos de Momentum, 
Calor e Transferência de Massa
5ª Edição
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Capítulo 1
Introdução ao Momentum 
Transfer
MA transferência de omento em um fluido envolve o estudo do movimento dos fluidos e das 
forças que os produzem. A partir da segunda lei do movimento de Newton, sabe-se que a força está 
diretamente relacionada à taxa de variação do momento de um sistema. Excluindo as forças de 
ação à distância, como a gravidade, as forças que atuam sobre um fluido, como as resultantes da 
pressão e da tensão de cisalhamento, podem ser o resultado da transferência microscópica 
(molecular) de momento. Assim, o assunto em consideração, que é historicamente a mecânica dos 
fluidos, pode igualmente ser denominado transferência de momento.
A história da mecânica dos fluidos mostra a combinação habilidosa do trabalho analítico dos 
séculos XIX e XX em hidrodinâmica com o conhecimento empírico em hidráulica que o homem 
acumulou ao longo dos tempos. O acasalamento dessas disciplinas desenvolvidas separadamente 
foi iniciado por Ludwig Prandtl em 1904 com sua teoria da camada limite, que foi verificada por 
experimento. A mecânica dos fluidos moderna, ou transferência de momento, é analítica e 
experimental.
Cada área de estudo possui sua fraseologia e nomenclatura. Sendo a transferência de 
momentum típica, as definições e conceitos básicos serão introduzidos a fim de fornecer uma base 
para a comunicação.
1.1 FLUIDOS E O CONTÍNUO
Um fluido é definido como uma substância que se deforma continuamente sob a ação de uma tensão de 
cisalhamento. Uma consequência importante desta definição é que, quando um fluido está em repouso, não pode 
haver tensões de cisalhamento. Tanto os líquidos quanto os gases são fluidos. Algumas substâncias, como o vidro, 
são tecnicamente classificadas como fluidos. No entanto, a taxa de deformação no vidro em temperaturas normais é 
tão pequena que torna sua consideração como um fluido impraticável.
Conceito de Continuum. Os fluidos, como toda matéria, são compostos de moléculas cujos números 
surpreendem a imaginação. Em uma polegada cúbica de ar em condições ambiente, existem cerca de 
1020 moléculas. Qualquer teoria que predisse os movimentos individuais dessas muitas moléculas 
seria extremamente complexa, muito além de nossas habilidades atuais.
A maioria dos trabalhos de engenharia preocupa-se com o comportamento macroscópico ou em 
massa de um fluido, e não com o comportamento microscópico ou molecular. Na maioria dos casos, é 
conveniente pensar em um fluido como uma distribuição contínua de matéria ou umcontinuum. É 
claro que há certos casos em que o conceito de continuum não é válido. Considere, por exemplo, o 
número de moléculas em um pequeno volume de um gás em repouso. Se o volume fosse pequeno o 
suficiente, o número de moléculas por unidade de volume seria dependente do tempo para o volume 
microscópico, embora o volume macroscópico tivesse um número constante de
1
2 Capítulo 1 Introdução à Transferência de Momento
moléculas nele. O conceito de continuum seria válido apenas para o último caso. A validade da 
abordagem contínua é vista como dependente do tipo de informação desejada, e não da 
natureza do fluido. O tratamento de fluidos como contínuos é válido sempre que o menor 
volume de fluido de interesse contém um número suficiente de moléculas para fazer médias 
estatísticas significativas. As propriedades macroscópicas de um continuum são consideradas 
como uma variação suave (continuamente) de ponto a ponto no fluido. Nossa tarefa imediata é 
definir essas propriedades em um ponto.
1.2 PROPRIEDADES EM UM PONTO
Quando um fluido está em movimento, as quantidades associadas ao estado e ao movimento do fluido 
variam de ponto a ponto. A definição de algumas variáveis de fluido em um ponto é apresentada a seguir.
Densidade em um ponto. A densidade de um fluido é definida como a massa por unidade de volume. Sob 
condições de fluxo, particularmente em gases, a densidade pode variar muito em todo o fluido. A densidade,
r, em um ponto particular no fluido é definido como
Dm
r ¼ lim
DV!dV DV
Onde Dm é a massa contida em um volume DV, e dV é o menor volume em torno do ponto para 
o qual as médias estatísticas são significativas. O limite é mostrado na Figura 1.1.
Domínio molecular Domínio contínuo
∆m
∆V
δV
∆V
Figura 1.1 Densidade em um ponto.
O conceito de densidade em um ponto matemático, isto é, em DV ¼ 0 é considerado fictício; no 
entanto, tomandor ¼ limDV!dV(Dm /DV) é extremamente útil, pois nos permite descrever o fluxo de 
fluido em termos de funções contínuas. A densidade, em geral, pode variar de ponto a ponto em um 
fluido e também pode variar em relação ao tempo, como em um pneu de automóvel perfurado.
1.2 Propriedades em um Ponto 3
Propriedades de fluidos e propriedades de fluxo. Alguns fluidos, principalmente líquidos, têm 
densidades que permanecem quase constantes em amplas faixas de pressão e temperatura. Os 
fluidos que apresentam essa qualidade são geralmente tratados como incompressíveis. Os efeitos da 
compressibilidade, entretanto, são mais uma propriedade da situação do que do próprio fluido. Por 
exemplo, o fluxo de ar em baixas velocidades é descrito pelas mesmas equações que descrevem o 
fluxo de água. Do ponto de vista estático, o ar é um fluido compressível e a água, incompressível. Em 
vez de serem classificados de acordo com o fluido, os efeitos da compressibilidade são considerados 
uma propriedade do escoamento. É feita uma distinção, muitas vezes sutil, entre as propriedades do 
fluido e as propriedades do escoamento, alertando o aluno para a importância desse conceito.
Estresse em um ponto. Considere a força DF agindo em um elemento DUMA do corpo mostrado na 
Figura 1.2. A forçaDF é resolvido em componentes normais e paralelos à superfície do elemento. A 
força por unidade de área ou tensão em um ponto é definida como o limite deDF /DUMA ComoDUMA!
dUMA Onde dUMA é a menor área para a qual as médias estatísticas são significativas
∆F
∆Fn
∆Fs
DFn
DUMA
DFs ¼ teu j∆UMA lim ¼ s ii lim
DUMA!dUMA DUMA!dUMA DUMA
Aqui sii é o estresse normal e teu j a tensão de cisalhamento. Neste texto, a notação de tensão de 
subscrito duplo, conforme usada na mecânica dos sólidos, será empregada. O aluno se lembrará de que o 
estresse normal é positivo na tensão. O processo de limitação para o estresse normal é ilustrado na Figura 
1.3.
Figura 1.2 Força em um 
elemento de fluido.
Domínio molecular Domínio contínuo
∆Fn
∆UMA
δUMA
∆UMA
Figura 1.3 Tensão normal em um ponto.
As forças que atuam sobre um fluido são divididas em dois grupos gerais: forças do corpo e forças da 
superfície. As forças corporais são aquelas que agem sem contato físico, por exemplo, a gravidade e as forças 
eletrostáticas. Ao contrário, as forças de pressão e fricção requerem contato físico para a transmissão. Como 
uma superfície é necessária para a ação dessas forças, elas são chamadas de forças de superfície. A tensão é, 
portanto, uma força superficial por unidade de área.1
1 Matematicamente, a tensão é classificada como um tensor de segunda ordem, pois requer magnitude, direção e 
orientação em relação a um plano para sua determinação.
4 Capítulo 1 Introdução à Transferência de Momento
Pressão em um ponto em um fluido estático. Para um fluido estático, a tensão normal em um ponto pode ser 
determinada a partir da aplicação das leis de Newton a um elemento de fluido quando o elemento de fluido 
se aproxima do tamanho zero. Deve-se lembrar que não pode haver tensãode cisalhamento em um fluido 
estático. Assim, as únicas forças superficiais presentes serão aquelas devidas a tensões normais. Considere o 
elemento mostrado na Figura 1.4. Este elemento, enquanto em repouso, é influenciado pela gravidade e 
tensões normais. O peso do elemento fluido érg (Dx Dy Dz /2).
∆Fs
y
∆Fx
∆s
x ∆y
z ∆zq
∆x
∆Fy
Figura 1.4 Elemento em um fluido estático.
Para um corpo em repouso, SF ¼ 0. No x direção
DFx - DFs pecado você ¼ 0
Desde o pecado você ¼ Dy /Ds, a equação acima torna-se
DyDFx - DFs Ds ¼ 0
Dividindo por Dy Dz e tomando o limite conforme o volume do elemento se aproxima de 
zero, obtemos
- -
DFx DFs
Ds Dz
lim - ¼ 0
DV!0 Dy Dz
Lembrando que o estresse normal é positivo na tensão, obtemos, avaliando a equação 
acima
sxx ¼ sss (1-1)
No y direção, aplicando SF ¼ 0 rendimentos
Dx Dy Dz
2DFy - DFs cos u - rg ¼ 0
Desde cos você ¼ Dx /Ds, um tem
DxDFy - DFs Ds Dx Dy Dz2- rg ¼ 0
Dividindo por Dx Dz e tomando o limite como antes, obtemos
-
DFy
-
DFs
Ds Dz
rgDy
2lim - - ¼ 0DV!0 Dx Dz
1.3 Variação Ponto a Ponto de Propriedades em um Fluido 5
que se torna rg
- syy º sss - ð0Þ ¼ 02
ou
syy ¼ sss (1-2)
Pode-se notar que o ângulo você não aparece na equação (1-1) ou (1-2), portanto, a tensão 
normal em um ponto em um fluido estático é independente da direção e, portanto, é uma quantidade 
escalar.
Como o elemento está em repouso, as únicas forças superficiais que atuam são as devidas à tensão 
normal. Se medíssemos a força por unidade de área atuando sobre um elemento submerso, observaríamos 
que ela atua para dentro ou coloca o elemento em compressão. A quantidade medida é, naturalmente, a 
pressão, que à luz do desenvolvimento anterior, deve ser o negativo da tensão normal. Esta importante 
simplificação, a redução de tensão, um tensor, para pressão, um escalar, também pode ser mostrada para o 
caso de tensão de cisalhamento zero em um fluido em escoamento. Quando tensões de cisalhamento estão 
presentes, os componentes normais de tensão em um ponto podem não ser iguais; no entanto, a pressão 
ainda é igual ao estresse normal médio; isso é
P ¼ -1 3ðsxx º syy º szzº
com muito poucas exceções, sendo um fluxo em ondas de choque.
Agora que certas propriedades em um ponto foram discutidas, vamos investigar a maneira pela qual as 
propriedades do fluido variam de ponto a ponto.
1.3 VARIAÇÃO PONTO A PONTO DE PROPRIEDADES EM UM FLUIDO
Na abordagem contínua para transferência de momento, serão usados campos de pressão, temperatura, 
densidade, velocidade e tensão. Em estudos anteriores, o conceito de campo gravitacional foi introduzido. A 
gravidade, é claro, é um avector e, portanto, agravitationalfield é um avectorfield. Neste livro, os vetores 
serão escritos em negrito. Mapas meteorológicos que ilustram a variação da pressão neste país são 
publicados diariamente em nossos jornais. Como a pressão é uma quantidade escalar, esses mapas são uma 
ilustração de um campo escalar. Os escalares neste livro serão definidos no tipo regular.
Na Figura 1.5, as linhas desenhadas são os locais de pontos de igual pressão. A 
pressão varia continuamente em toda a região, e pode-se observar os níveis de pressão e 
inferir a maneira como a pressão varia examinando esse mapa.
Figura 1.5 Mapa meteorológico - um exemplo de campo escalar.
6 Capítulo 1 Introdução à Transferência de Momento
De interesse específico na transferência de momento é a descrição da variação ponto 
a ponto na pressão. Denotando as direções leste e norte na Figura 1.5 porx e y,
respectivamente, podemos representar a pressão em toda a região pela função geralP (x, 
y).
A mudança em P, escrito como dP, entre dois pontos na região separados pelas 
distâncias dx e tingir é dado pelo diferencial total
@P
@x
@P
@ydP ¼ dx º tingir (1-3)
Na equação (1-3), as derivadas parciais representam a maneira pela qual P mudanças ao longo 
do x e y eixos, respectivamente.
Ao longo de um caminho arbitrário s no xy plano a derivada total é
dP
ds
@P dx
@x ds
@P dy
@y ds
¼ º (1-4)
Na equação (1-4), o termo dP / ds é a derivada direcional, e sua relação funcional 
descreve a taxa de mudança de P no s direção.
Uma pequena parte do campo de pressão representado na Figura 1.5 é mostrada na Figura 1.6. O 
caminho arbitrários é mostrado, e é facilmente visto que os termos dx /ds e dy /ds são o cosseno e o seno do 
ângulo do caminho, uma, com respeito ao x eixo. A derivada direcional, portanto, pode ser escrita como
dP
ds
@P
@x
@P
@y¼ cos uma º pecado uma (1-5)
y
Caminho s
tingir
ds= sin αds
tingir dx = cos αdsα
dx
Figura 1.6 Caminho s no xy
avião.x
Há um número infinito de caminhos para escolher no xy avião; no entanto, dois caminhos 
particulares são de interesse especial: o caminho para o qualdP / ds é zero e aquele para o qualdP / ds 
é máximo.
O caminho para o qual a derivada direcional é zero é muito simples de localizar. ContextodP / ds
igual a zero, temos
- --pecado uma-- @ P / @ x
@ P / @ y
¼ bronzeado uma--
cos uma dP/ds¼0
- ¼ -
dP/ds¼0
1.3 Variação Ponto a Ponto de Propriedades em um Fluido 7
ou, desde bronzeado uma ¼ dy / dx, temos
-
dy-- @ P / @ x
@ P / @ y
¼ - (1-6)dx-dP/ds¼0
Ao longo do caminho cuja inclinação é definida pela equação (1-6), temos dP ¼ 0, e assim P é constante. 
Caminhos ao longo dos quais um escalar é constante são chamadosisolinhas.
A fim de encontrar a direção para a qual dP / ds é um máximo, devemos ter o derivado(d / 
duma)(dP / ds) igual a zero, ou
d dP
duma ds
@P
@x
@P
@y¼ -pecado uma º cos uma ¼ 0
ou
-- @ P / @ y
@ P / @ x
bronzeado uma-- ¼ (1-7)
dP/ds é max
Comparando as relações (1-6) e (1-7), vemos que as duas direções definidas por essas 
equações são perpendiculares. A magnitude da derivada direcional quando a derivada 
direcional é máxima é
-
dP-- ¼ @P@x
@P
@ycos uma º pecado umads-max
onde cos uma e pecado uma são avaliados ao longo do caminho dado pela equação (1-7). Como o cosseno está 
relacionado à tangente por
1
1 º bronzeado2 uma
cos uma ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
temos -- @P = @ x
¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffifficos uma--
dP/ds é max ð @P / @ xº2 þ ð @P / @ yº2
Avaliando o pecado uma de uma maneira semelhante dá
- sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
dP-- ð @P / @ xº2 þ ð @P / @ yº2qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼@P 2 @P 2º@x @y¼ (1-8)ds-max ð @P / @ xº2 þ ð @P / @ yº2
As equações (1-7) e (1-8) sugerem que a derivada direcional máxima é um vetor da 
forma
@P
@x
@P
@y yex º e
Onde ex e ey são vetores unitários no x e y direções, respectivamente.
A derivada direcional ao longo do caminho de valor máximo é freqüentemente encontrada 
na análise de processos de transferência e recebe um nome especial, o gradiente. Assim, o 
gradiente de P, grad P, é
@P
@x
@P
@y ygrad P ¼ ex º e
8 Capítulo 1 Introdução à Transferência de Momento
Onde P ¼ P (x, y). Este conceito pode ser estendido a casos em que P ¼ P (x, y, z). Para este caso 
mais geral
@P
@x
@P
@y
@P
@z zgrad P ¼ exº ey º e (1-9)
A equação (1-9) pode ser escrita de forma mais compacta pelo uso da operação = 
(pronuncia-se '' del ''), dando
@P
@x
@P
@y
@P
@z= P ¼ ex º ey º ez
Onde
@
@x
@
@y y
@= ¼ exº e º e (1-10)@z z
A equação (1-10) é a relação de definição para o operador = em coordenadas cartesianas. 
Este símbolo indica que a diferenciação deve ser realizada de uma maneira prescrita. Em outros 
sistemas de coordenadas, como coordenadas cilíndricas e esféricas, o gradiente assume uma 
forma diferente.2 No entanto, o significado geométrico do gradiente permanece o mesmo; é um 
vetor que tem a direção e a magnitude da taxa máxima de variação da variável dependente em 
relação à distância.
1.4 UNIDADES
Além do sistema de unidades do InternationalStandard (SI), existem dois sistemas ingleses diferentes 
de unidades comumente usados em engenharia. Esses sistemas têm suas raízes na segunda lei do 
movimento de Newton: a força é igual à taxa de variação do momento. Na definição de cada termo 
desta lei, uma relação direta foi estabelecida entre as quatro grandezas físicas básicas usadas na 
mecânica: força, massa, comprimento e tempo. Por meio da escolha arbitrária das dimensões 
fundamentais, ocorreu alguma confusão no uso dos sistemas ingleses de unidades. O uso do sistema 
SI de unidades reduziu muito essas dificuldades.
A relação entre força e massa pode ser expressa pela seguinte declaração da 
segunda lei do movimento de Newton:
muma
gcF ¼
Onde gc é um fator de conversão que é incluído para tornar a equação dimensionalmente 
consistente.
No sistema SI, massa, comprimento e tempo são considerados unidades básicas. As unidades básicas 
são massa em quilogramas (kg), comprimento em metros (m) e tempo em segundos (s). A unidade de força 
correspondente é o newton (N). Um newton é a força necessária para acelerar uma massa de um quilograma 
a uma taxa de um metro por segundo por segundo (1 m / s2) O fator de conversão,gc, é então igual a um 
quilograma metro por newton por segundo por segundo (1 kg - m / N - s2)
Na prática da engenharia, força, comprimento e tempo têm sido freqüentemente escolhidos como 
unidades fundamentais de definição. Com este sistema, a força é expressa em libras força (lbf), comprimento 
em pés e tempo em segundos. A unidade de massa correspondente será aquela que será acelerada a uma 
taxa de 1 pé / (s)2 por 1 libraf.
2 As formas do operador de gradiente em sistemas de coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas estão listadas no 
Apêndice B.
1.5 Compressibilidade 9
Esta unidade de massa tem as dimensões de (lbf) (s)2/ (ft) é chamado de lesma. O fator de 
conversão, gc, é então um fator de multiplicação para converter slugs em (lbf) (s)2/ (ft), e seu 
valor é 1 (slug) (ft) / (lbf) (s)2.
Um terceiro sistema encontrado na prática de engenharia envolve todas as quatro unidades 
fundamentais. A unidade de força é 1 lbf, a unidade de massa é 1 lbm; comprimento e tempo são dados em 
unidades de pés e segundos, respectivamente. Quando 1 libram ao nível do mar pode cair sob a influência da 
gravidade, sua aceleração será de 32,174 (ft) / (s)2. A força exercida pela gravidade em 1 lbm ao nível do mar é 
definido como 1 lbf. Portanto, o fator de conversão,gc, para este sistema é 32,174 (lbm) (ft) / (lbf) (s)2.3
Um resumo dos valores de gc é fornecido na Tabela 1.1 para esses três sistemas ingleses de unidades 
de engenharia, junto com as unidades de comprimento, tempo, força e massa.
Tabela 1.1
Sistema
1
Comprimento
metro
Tempo
segundo
Força
Newton
Massa
quilograma
gc
kg - m
N - s2
1
2 pé segundo Libraf lesma 1 ðlesmaÞðpésº
ðLibrafÞðsº2
3 pé segundo Libraf Libram 32: 174 ðLibramÞðpésº
ðLibrafÞðsº2
Como todos os três sistemas estão em uso na literatura técnica, o aluno deve ser capaz de 
usar fórmulas fornecidas em qualquer situação particular. A verificação cuidadosa da 
consistência dimensional será necessária emtudo cálculos. O fator de conversão,gc, relacionará 
corretamente as unidades correspondentes a um sistema. Não haverá tentativa dos autores de 
incorporar o fator de conversão em quaisquer equações; em vez disso, será responsabilidade 
do leitor usar unidades que sejam consistentes com todos os termos da equação.
1.5 COMPRESSIBILIDADE
Um fluido é considerado compressível ou incompressível dependendo se sua densidade é variável ou 
constante. Os líquidos são geralmente considerados incompressíveis, ao passo que os gases 
certamente são compressíveis.
O módulo de elasticidade em massa, frequentemente referido como simplesmente o módulo de volume, é uma 
propriedade fluida que caracteriza a compressibilidade. É definido de acordo com
dP
dV / V
b (1-11a)
ou como
dP
dr / r
b - (1-11b)
e tem as dimensões N / m2.
3 Em cálculos subsequentes neste livro, gc será arredondado para um valor de 32,2 lbmft /2 Libraf.
10 Capítulo 1 Introdução à Transferência de Momento
Perturbações introduzidas em algum local em um continuum de fluido serão propagadas a uma 
velocidade finita. A velocidade é designada comovelocidade acústica; ou seja, a velocidade do som no 
fluido. É simbolizadoC.
Pode-se mostrar que a velocidade acústica está relacionada a mudanças na pressão e densidade de 
acordo com
dP ½
drC ¼ (1-12)
A introdução da equação (1-11b) nesta relação resulta
b ½
rC ¼ - (1-13)
Para um gás, passando por um processo isentrópico onde PVk ¼ C, uma constante, nós temos
kP ½
rC ¼ (1-14)
ou
C ¼ ðkRTº½ (1-15)
A questão que surge é quando um gás, que é compressível, pode ser tratado em uma situação 
de fluxo como incompressível, ou seja, quando as variações de densidade são desprezíveis. Um 
critério comum para tal consideração envolve oNúmero de Mach. O número de Mach, um parâmetro 
adimensional, é definido como a razão da velocidade do fluido, v, com a velocidade do som,
C, no fluido:
vM ¼ (1-16)C
Uma regra geral é que quando M < 0,2 o fluxo pode ser tratado como incompressível com 
erro desprezível.
EXEMPLO 1 Uma aeronave a jato está voando a uma altitude de 15.500 m, onde a temperatura do ar é 239 K. Determine se os 
efeitos da compressibilidade são significativos em velocidades de (a) 220 km / he (b) 650 km / h.
O teste de efeitos de compressibilidade requer o cálculo do número de Mac, M, que, por sua vez, requer que a 
velocidade acústica em cada velocidade do ar seja avaliada.
Para o ar, k ¼ 1,4, R ¼ 0,287 kJ / kg-K, e
C ¼ ðkRTº½
¼ ½1: 4 ð0: 287 kJ / kg - KÞð239KÞð1000 N - m / kJÞðkg - m / N - s2º ½
¼ 310m / s
(uma) No v ¼ 220 km / hr ð61: 1m / sº
v
C
61: 1m / s
310m / s
M ¼ ¼ ¼ 0: 197
O fluxo pode ser tratado como incompressível.
(b) No v ¼ 650 km / hr ð180: 5m / sº
v
C
180: 5m / s
310m / s
M ¼ ¼ ¼ 0: 582
Os efeitos compressíveis devem ser considerados.
1.6 Tensão de Superfície 11
1.6 TENSÃO DE SUPERFÍCIE
A situação em que uma pequena quantidade de líquido não confinado forma uma gota esférica é familiar 
para a maioria de nós. O fenômeno é consequência da atração que existe entre as moléculas do líquido. 
Dentro de uma gota, uma molécula de líquido é completamente envolvida por muitas outras. As partículas 
próximas à superfície, ao contrário, experimentarão um desequilíbrio de força resultante devido à não 
uniformidade no número de partículas adjacentes. A condição extrema é a descontinuidade da densidade na 
superfície. As partículas na superfície experimentam uma força atrativa relativamente forte dirigida para 
dentro.
Dado esse comportamento, é evidente que algum trabalho deve ser feito quando uma partícula de 
líquido se move em direção à superfície. À medida que mais fluido é adicionado, a gota se expande criando 
uma superfície adicional. O trabalho associado à criação desta nova superfície é otensão superficial,
simbolizado, s. Quantitativamente, s é o trabalho por unidade de área, Nm / m2 ou força por unidade de 
comprimento de interface em N / m.
Uma superfície é, na realidade, uma interface entre duas fases. Assim, ambas as fases terão a 
propriedade de tensão superficial. Os materiais mais comuns envolvendo interfaces de fase são água 
e ar, mas muitos outros também são possíveis. Para uma dada composição interfacial, a propriedade 
da tensão superficial é uma função tanto da pressão quanto da temperatura, mas uma função muito 
mais forte da temperatura. A Tabela 1.2 lista os valores des para vários fluidos no ar a 1 atm e 208C. 
Para água no ar, a tensão superficial é expressa em função da temperatura de acordo com
s ¼ 0: 123 ð1 - 0: 00139 TºN / m (1-17)
Onde T está em Kelvins.
Tabela 1.2 Tensões superficiais de alguns fluidos no ar 
em latm e 20 8C
Fluido s (N / m)
Amônia
Álcool etílico
Gasolina
Glicerina
Querosene
Mercúrio
Solução de sabonete
Óleo SAE 30
0,021
0,028
0,022
0,063
0,028
0,440
0.02S
0,035
Fonte: Manual de Químicae Física, 62nd Ed, Chemical 
Rubber Publishing Co., Cleveland, OH, 1980.
2prs Na Figura 1.7, mostramos um diagrama de corpo livre de uma gota hemisférica de líquido com 
as forças de pressão e tensão superficial em equilíbrio. A condição examinada é normalmente usada 
para esta análise, pois uma esfera representa a área de superfície mínima para um volume prescrito. 
A diferença de pressão,DP, entre o interior e o exterior do hemisfério produz uma força de pressão 
líquida que é equilibrada pela força de tensão superficial. Este equilíbrio de força pode ser expresso 
como
pr2∆P
pr2DP ¼ 2prs
e a diferença de pressão é dada porFigura 1.7 Um diagrama de 
corpo livre de uma gota de 
líquido hemisférica.
2s
rDP ¼ (1-18)
12 Capítulo 1 Introdução à Transferência de Momento
Para o caso de uma bolha de sabão, que tem uma parede muito fina, existem duas interfaces e a 
diferença de pressão será
4s
rDP ¼ (1-19)
As Equações (1-18) e (1-19) indicam que a diferença de pressão é inversamente proporcional a r. 
O limite desta relação é o caso de uma superfície totalmente molhada onde r ffi 1, e a diferença 
de pressão devido à tensão superficial é zero.
Uma consequência da diferença de pressão resultante 
da tensão superficial é o fenômenode ação capilar. Este efeito 
está relacionado a quão bem um líquido molha uma fronteira 
sólida. O indicador para molhar ou não é oângulo de contato, 
você,definido conforme ilustrado na Figura 1.8. vocêmedido 
através do líquido, um invólucro não úmido, conforme 
mostrado na figura, está associado com u> 908 Para um caso 
de molhar vc < 908 Para mercúrio em contato com um 
produto limpo
tubo de vidro você ffi 1308 A água em contato com uma superfície de vidro limpa molhará completamente a 
superfície e, neste caso, você ffi 0
Ilustrado na Figura 1.9 está o caso de um pequeno tubo de vidro inserido em uma piscina de (a) 
água e (b) mercúrio. Observe que a água subirá no tubo e que no mercúrio o nível no tubo será 
reduzido.
Gás
Líquido
q q
Sólido
Figura 1.8 Ângulo de contato para uma 
interface não úmida gás-líquido-sólido.
h
h
(uma) (b)
Figura 1.9 Efeitos capilares com tubo inserido em (a) água e (b) mercúrio.
Para o caso da água, o líquido sobe uma distância h acima do nível da piscina. Este é o 
resultado da atração entre as moléculas do líquido e a parede do tubo ser maior do que a 
atração entre as moléculas de água na superfície do líquido. Para o caso do mercúrio, as forças 
intermoleculares na superfície do líquido são maiores do que as forças de atração entre
1.6 Tensão de Superfície 13
2prs mercúrio líquido e a superfície do vidro. O mercúrio é, portanto, deprimido à distânciah abaixo do 
nível da piscina.
Um diagrama de corpo livre do líquido umectante é mostrado na Figura 1.10. A força para cima, devido 
à tensão superficial
2prs cos você
será igual à força descendente devido ao peso do líquido com volume V ¼ pr2h.
Equacionando essas forças, obtemos
2pr s cos você ¼ rgpr2h
e o valor de h torna-se
pr2h
Figura 1.10 Diagrama de 
corpo livre de um líquido 
umectante em um tubo.
2s cos você
rgrh ¼ (1-20)
EXEMPLO 2 Determine a distância h que o mercúrio será comprimido com um tubo de vidro de 4 mm de diâmetro inserido em 
uma poça de mercúrio a 208C (Figura 1.11).
A Equação (1-20) se aplica, então temos
2s cos você
rgrh ¼
Lembre-se de que, para mercúrio e vidro, você ¼ 1308
h
Figura 1.11 Depressão capilar de 
mercúrio em um tubo de vidro.
Formercúrio em 208C r ¼ 13.580 kg / m3, e para o mercúrio no ar s ¼ 0,44 N / m (Tabela 1.2) dando
2ð0: 44N / mÞðcos130 º
ð13580kg / m3Þð9: 81m / s2Þð2 10-3mº
h ¼
¼ 2:12 10-3 m ð2: 12mmº
14 Capítulo 1 Introdução à Transferência de Momento
PROBLEMAS
1,1 O número de moléculas que cruzam uma unidade de área por unidade de 
tempo em uma direção é dado por
e
@
@y
cos você @
r @você
@
@r¼ º pecado vocêN ¼ 14 nv
Onde n é o número de moléculas por unidade de volume e v é a 
velocidade molecular média. Como a velocidade molecular média é 
aproximadamente igual à velocidade do som em um gás perfeito, 
estime o número de moléculas que cruzam um orifício circular 10-3
pol. de diâmetro. Suponha que o gás esteja em condições padrão. 
Em condições padrão, existem 4 1020 moléculas por polegada3.
quando r2 ¼ x2 º y2 e bronzeado você ¼ y / x.
1,10 Transforme o operador = em coordenadas cilíndricas(r, você, z), 
usando os resultados dos Problemas 1.7 e 1.9.
1,11 Encontre o gradiente de pressão no ponto (a, b) quando o campo de 
pressão é dado por
x
uma
y
b
x
uma
1,2 Quais das quantidades listadas abaixo são propriedades de fluxo e quais são 
propriedades de fluidos?
P ¼ r1v2 1 pecado pecado º 2
Onde r1, v1, uma, e b são constantes.
pressão
densidade
calor específico
temperatura
estresse
Gradiente de pressão
velocidade
velocidade do som
1,12 Encontre o gradiente de temperatura no ponto (a, b) no tempot ¼ (eu
2/uma) ln e quando o campo de temperatura é dado por
x
uma
y
bT ¼ T0e-umat =4eu2 pecado cosh
1,3 Para um fluido de densidade r em que partículas sólidas de densidade rs
estão uniformemente dispersos, mostre que se x é a fração de massa 
do sólido na mistura, a densidade é dada por
Onde T0, uma, uma, e b são constantes.
1,13 Os campos descritos nos Problemas 1.11 e 1.12 são 
dimensionalmente homogêneos? Quais devem ser as unidades der1 
seja para que a pressão seja em libras por pé quadrado quando v1 é 
dado em pés por segundo (problema 1.11)?
rsr
rx º rsð1 - xºrmistura ¼
1,4 Uma equação que liga a densidade e a pressão da água é 1,14 Um campo escalar é dado pela função f ¼ 3x2y º 4y2.
P º B
P1 º B
r 7
r1
uma. Achar rf no ponto (3, 5).
¼
b. Encontre o componente de rf isso faz um -608 ângulo com 
o x eixo no ponto (3, 5).
onde a pressão está em atmosferas e B ¼ 3000 atm. Determine a pressão 
em psi necessária para aumentar a densidade da água em 1% acima de 
seu valor nominal.
1,15 Se o fluido de densidade r no Problema 1.3 obedece à lei dos gases 
perfeitos, obtenha a equação de estado da mistura, ou seja,P ¼ f (rs, (RT / 
M), rm, x). Esse resultado será válido se um líquido estiver presente em vez 
de um sólido?
1,5 Qual alteração de pressão é necessária para alterar a densidade 
do ar em 10% sob condições padrão?
1,16 Usando a expressão para o gradiente em coordenadas polares 
(Apêndice A), encontre o gradiente de c (r, você) quando
1,6 Usando as informações fornecidas no Problema 1.1 e as 
propriedades da atmosfera padrão fornecidas no Apêndice G, estime 
o número de moléculas por polegada cúbica a uma altitude de 
250.000 pés.
uma2
r2c ¼ UMA r pecado você 1 -
1,7 Mostre que os vetores unitários er e evocê em um sistema de 
coordenadas cilíndricas estão relacionadas aos vetores unitários ex e ey por
Onde está o gradiente máximo? Os termosUMA e uma são constantes.
1,17 Dada a seguinte expressão para o campo de pressão 
onde x, y, e z são coordenadas espaciais, t é hora, e P0, r,er ¼ ex cos você º ey pecado você
e V1, e eu são constantes, encontre o gradiente de pressão
-
xyz
-
evocê ¼ -ex pecado você º ey cos você x 2 Vº 1tP ¼ P0 º 1 2rV21 2 º 3eu3 LL
1.8 Usando os resultados do Problema 1.7, mostre que der/ dvocê ¼ evocê edevocê /
dvocê ¼ -er . 1,18 Tanque cilíndrico vertical com um diâmetro de base de 10 m e 
uma altura de 5 m é preenchido até o topo com água a 208C. Quanta 
água irá transbordar se a água for aquecida a 808C?
1,9 Usando as relações geométricas fornecidas abaixo e a regra da 
cadeia para diferenciação, mostre que
1,19 Um líquido em um cilindro tem um volume de 1200 cm3 a 1,25 MPa e 
um volume de 1188 cm3 a 2,50 MPa. Determine seu módulo de 
elasticidade em massa.
@
@x
pecado você @
r @você
@
@r¼ - º cos você
Problemas 15
1,20 Uma pressão de 10 MPa é aplicada a 0,25 m3 de um líquido, causando 
uma redução de volume de 0,005 m3. Determine o módulo de elasticidade 
em massa.
1,26 Determine o aumento capilar para uma interface água-ar-
vidro em 408C em um tubo de vidro limpo com um raio de 1 
mm.
1,21 O módulo de elasticidade emmassa para a água é de 2,205 GPa. 
Determine a mudança na pressão necessária para reduzir um 
determinado volume em 0,75%.
1,27 Determine a diferença de pressão entre o interior e o 
exterior de uma bolha de filme de sabão em 20 8C se o diâmetro 
da bolha for 4 mm.
1,22 A água em um recipiente está originalmente a 100 kPa. A água 
está sujeita a uma pressão de 120 MPa. Determine a redução 
percentual em seu volume.
1,28 Um tubo de vidro limpo e aberto, com um diâmetro de 3 mm, é 
inserido verticalmente em um prato de mercúrio a 208C. Determine o 
quão longe a coluna de mercúrio no tubo será pressionada para um 
ângulo de contato de 13081,23 Determine a altura para a qual a água em 688C subirá em um 
tubo capilar limpo com um diâmetro de 0,2875 cm. 1,29 Aos 608C, a tensão superficial da água é 0,0662 N / m e a do mercúrio 
é 0,47 N / m. Determine as mudanças de altura capilar nesses dois fluidos 
quando eles estão em contato com o ar em um tubo de vidro de 0,55 mm 
de diâmetro. Ângulos de contato são 08 para água e 1308 para mercúrio.
1,24 Duas placas de vidro limpas e paralelas, separadas por uma lacuna de
1,625 mm, são mergulhados em água. Ses ¼ 0,0735 N / m, determine 
a que altura a água subirá.
1,25 Um tubo de vidro com um diâmetro interno de 0,25 mm e um 
diâmetro externo de 0,35 mm é inserido em uma poça de mercúrio a 208C 
de modo que o ângulo de contato seja 1308 Determine a força para cima 
no vidro.
1,30 Determine o diâmetro do tubo de vidro necessário para manter 
a mudança de altura capilar da água em 308C menor que 1 mm.