4) Campo magntico parte3

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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 64
uma corrente estacionária, comportam-se como dipolos
magnéticos.
CAMPO MAGNÉTICO CRIADO POR UMA CARGA
PONTUAL EM MOVIMENTO
r̂v
r
Q
4
B
2



 

O campo magnético B criado num ponto P por uma partícula
com carga Q que passa num ponto P0, à distância r do ponto P,
com uma velocidade v é dado pela expressão:
r , onde r é o vector posicional do ponto P em relação ao
ponto P0.
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 65
 
•
P 
B

r

 
Q(+) 
• 
P0 
v

Se a carga for 
positiva
Se a carga for
negativa 
• P 
B

 
r

Q(-)
• 
P0 
v

2
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 66
No entanto, se a distribuição de corrente possuir algum
tipo de simetria, pode usar-se a lei de Ampère para
determinar o campo total sem tanta complexidade de cálculo.
LEI DE AMPÉRE
É possível determinar-se o campo magnético criado por uma
corrente que percorre um circuito com uma forma
qualquer calculando-se o campo dB criado por cada elemento
de corrente, usando a lei de Biot-Savart, e somando-se as
contribuições de todos os elementos de corrente. Contudo, no
caso de distribuições de corrente complexas, este
cálculo é bastante complexo.
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 67
Esta lei, embora tenha recebido o nome do físico Francês
André-Marie Ampère, foi proposta por Maxwell e é uma das
quatro leis fundamentais do eletromagnetismo.
NOÇÃO DE CIRCULAÇÃO DE UM VETOR AO LONGO DE 
UMA LINHA
Para se calcular a circulação
de um vetor ao longo de
uma linha AB, divide-se
essa linha em porções
elementares de
comprimento dl, pequenas o
suficiente para que, sobre cada
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 68
uma delas o vetor possa ser considerado constante.
A cada elemento de linha dl, associa-se um vetor
̂
onde ̂ é um vetor unitário tangente à linha em cada
ponto e com sentido igual ao escolhido para circular na
linha.
A circulação do vetor ao longo da linha AB define-se
como:
·
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 69
Se  for o ângulo formado por v e por ̂, em cada ponto,
tem-se
v · dl vcosθdl
O círculo no sinal de integral indica que a integração do
produto escalar v · dl deve ser realizada para uma curva
Se se tiver uma linha fechada
de comprimento L, a circulação
do vetor é
· .
4
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 70
fechada.
LEI DE AMPÈRE
A circulação do campo magnético ao longo de uma
linha L fechada é igual à corrente estacionária total que
atravessa a superfície delimitada pela linha L:
B · dl μ i
Válida para correntes 
estacionárias!
A corrente , na Lei de Ampere, é a soma das correntes
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 71
envolvidas pela linha L (i.e., as correntes que atravessam a
superfície limitada pela linha L.
Para compreender melhor a expressão ∮ B · dl μ i , vamos
aplicá-la à situação ilustrada na figura abaixo.
A figura mostra uma vista
de topo de três fios
retilíneos, longos e paralelos
entre si, perpendiculares ao
plano do papel, percorridos
por correntes elétricas de
intensidade , e , nos
sentidos indicado por 
e .
5
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 72
Escolheu-se para calcular a circulação do campo
magnético uma linha arbitrária pertencente ao plano do
papel que envolve duas correntes ( e ), mas não a
terceira ( ).
O sentido anti-horário indicado sobre esta linha indica o
sentido arbitrado para se circular na linha.
Como os fios são perpendiculares ao plano do papel, então o
campo magnético em cada elemento dl da linha, devido a
cada uma das correntes, pertence ao plano do papel.
Contudo, desconhece-se a sua orientação no plano.
Para executar a integração, não é necessário conhecer o
sentido de B em todos os elementos dl da linha; em vez disso,
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 73
arbitra-se um sentido para 	 que aponte no sentido
escolhido para circular na linha e usa-se a seguinte regra
da mão direita para atribuir um sinal positivo ou negativo às
correntes que contribuem para a corrente total i envolvida
pela linha.
Atribui-se um sinal positivo às correntes que apontam
Coloca-se a mão direita, aberta,
encostada à linha escolhida para
calcular a circulação do campo
magnético, de tal forma que
seja possível fechar a mão
rodando-a no sentido
escolhido para circular na
linha.
6
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 74
no mesmo sentido que o polegar e um sinal negativo
às correntes que apontam em sentido oposto ao
indicado pelo polegar.
Por fim, resolve-se a equação ∮ · μ :
Bcosθdl μ i i
(note-se que a corrente de intensidade i3 não está envolvida
pela linha).
Se, do cálculo, resultar um valor de B positivo, então o
sentido arbitrado é o sentido real de ; se resultar um
valor de B negativo, então o sentido real de é oposto
ao arbitrado.
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 75
EXEMPLOS:
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 76
CAMPO MAGNÉTICO NO INTERIOR DE UM FIO 
CILÍNDRICO RETILÍNEO E LONGO PERCORRIDO POR 
UMA CORRENTE ELÉTRICA
Se a corrente elétrica
estiver uniformemente
distribuída ao longo da
secção transversal do fio,
o campo magnético tem
simetria cilíndrica.
Vamos admitir que o fio tem
raio R.
Pode tomar-se partido desta simetria para simplificar o cálculo
da circulação do campo magnético na lei de Ampère
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 77
escolhendo-se, no interior do fio, uma linha circular, de
raio r (< R), concêntrica com o eixo do fio.
Como a corrente elétrica está
uniformemente distribuída ao
longo da secção transversal
do fio, é proporcional
à área da superfície
delimitada pela linha
escolhida para calcular o
integral de circulação:
i
i
πr
πR
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 78
Vem, então
B · dl μ i
Bcos0 dl μ i
r
R
B dl μ i
r
R
B 2πr μ i
r
R
B
μ
2π
ir
R
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 79
CAMPO MAGNÉTICO CRIADO POR UMA BOBINA 
TOROIDAL
Uma bobina toroidal pode obter-se curvando um
solenoide de forma a que as suas extremidades fiquem
ligadas e a configuração seja circular.
Rint
Rext
Núcleo
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 80
Campo magnético no núcleo do toro
Por simetria, no núcleo do toro, as linhas de campo
magnético são circunferências concêntricas com o
centro do toro. Pode tomar-se partido desta simetria para
simplificar o cálculo da circulação do campo magnético na
lei de Ampère escolhendo-se linhas circulares, de raio r
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 81
(Rint< r < Rext), concêntrica com o centro do toro.
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 82
não é igual à corrente i que atravessa a bobina
toroidal, pois há várias espiras da bobina a atravessar a
superfície delimitada pela linha escolhida para a circulação
do campo magnético. Se N for o número total de
espiras da bobina:
i Ni
(neste caso, atribui-se um sinal positivo às correntes que
apontam para dentro do plano do papel indicadas por ).
Vem, então
B · dl μ i
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 83
Bcos0 dl μ Ni
B dl μ Ni
B 2πr μ Ni
B
μ
2π
Ni
r
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 84
Campo magnético para valores de r < Rint
, pois não existem correntes a atravessar uma
superfície delimitada por uma linha circular de raio r < Rint.
Logo
B 0
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 85
Campo magnético para valores de r > Rext
, pois a corrente que entra no plano do papel, de
sinal positivo, tem grandeza igual à corrente que sai do
mesmo plano, de sinal negativo.
Logo
B 0
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 86
LEI DE LAPLACE
Viu-se que uma carga elétrica q quando colocada num ponto
onde existe um campo elétrico E, fica sujeita a uma força F
qE. Não é, no entanto, este o único campo que se faz sentir
através de forças exercidas sobre cargas elétricas.
Verifica-se experimentalmente que a força que atua em cada
elemento dl de um fio condutor percorrido por uma
corrente elétrica de intensidade I (isto é, a força exercida
sobre cada elemento de corrente) quando no ponto onde se
encontra esse elemento de fio existe um campo
magnético é dada pela expressão:
dF Idlt̂B LEI DE LAPLACE
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 87
A Lei de Laplace permite determinar o campo magnético B
em qualquer ponto do espaço, qualquer que seja a sua origem,
̂  vetorunitário tangente ao fio em cada ponto onde
passa a corrente e com o sentido desta.
Caraterísticas da força :
 grandeza dependente de dl, da intensidade I da
corrente, de e do seno do ângulo formado por 	e
pela tangente ̂ ao fio no ponto considerado;
 direção perpendicular ao plano definido por 	 e
pelo elemento de corrente;
 sentido igual ao do produto vetorial ̂ .
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 88
e é, por isso, uma LEI DE DEFINIÇÃO.
dlBt̂IFdF
ABAB
 

A força exercida sobre uma porção AB de um circuito é,
pois:
NOTAS
Ao contrário do que sucede com a lei de Biot-Savart, a lei de
Laplace, embora aqui esteja considerada para circuitos filiformes, é
válida sem restrições.
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 89
BvqF
 
Uma partícula com carga elétrica q, em movimento, ao
passar com velocidade num ponto onde existe um campo
magnético , fica também sujeita a uma força dada por:
ACÇÃO DE UM CAMPO MAGNÉTICO SOBRE UMA
CARGA ELÉCTRICA PONTUAL EM MOVIMENTO
Convém aqui referir que, na determinação do sentido da força,
devemos considerar o vetor e não o vetor , uma vez
que q poderá ser positiva ou negativa.
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 90
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 91
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 92
A UNIDADE DO CAMPO MAGNÉTICO no S.I. é o TESLA
(T).
É usual também utilizar-se a unidade Gauss (G), que
não pertence ao Sistema Internacional. Um Gauss é da
ordem de grandeza do campo magnético terrestre, e 1 T = 104
G.
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 93
EXEMPLO
Problema
Um fio condutor retilíneo e longo é
percorrido por uma corrente elétrica de
intensidade 5,00 A, no sentido ilustrado na
figura ao lado. Em dado instante, um
protão passa a 4,00 mm do fio (medidos
na perpendicular ao fio), paralelamente a
este e no mesmo sentido que corrente no
fio, com velocidade de módulo 1,50
10 	 · .
(a) Determine a grandeza, a direção e o
sentido do campo magnético criado
pelo fio no local onde passa o eletrão.
16
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 94
Resolução
Pode determinar-se o campo magnético criado por uma
corrente elétrica usando a lei de Biot-Savart.
Para um ponto P nas proximidades de correntes lineares
e infinitas, a lei de Biot-Savart conduz a um campo
magnético de grandeza
2
onde é a intensidade da corrente que atravessa o fio e
é a distância do ponto P ao fio medida na
perpendicular a este.
A direção do campo magnético é a direção do plano
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 95
definido pelo fio e pelo ponto P considerado.
O sentido do campo magnético é dado
por uma das regras do produto
vetorial (por exemplo, a regra da mão
direita).
O fio, o ponto P onde passa o protão,
e a velocidade do protão nesse ponto
(de direção paralela ao fio) estão
localizados no mesmo plano, que
aqui consideraremos o plano do
papel, logo é perpendicular
ao plano do papel.
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 96
Usando-se a regra da mão direita, pode constatar-se
que aponta para dentro do plano do papel.
Atendendo a que 4 10 	 · · , 5,00	 ,
e 4,00	 , o módulo do campo magnético no ponto
P é
4 10 	 · ·
2
5,00	
4 10 	
2,50 10 	
Assim, no ponto P onde passa o protão, o campo
magnético tem grandeza 2,50 10 , direção
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 97
perpendicular ao plano do papel e o seu sentido a
aponta para dentro deste plano (). (solução)
(b) Determine a força magnética a que o protão fica
sujeito, no instante considerado, por estar na presença
do fio percorrido por uma corrente elétrica nas
condições indicadas.
Uma partícula com carga elétrica q, como um protão,
em movimento, ao passar com velocidade v num
ponto P onde existe um campo magnético , fica
também sujeita a uma força dada por:
v P B
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 98
Considerou-se anteriormente que a
velocidade do protão no ponto P (de
direção paralela ao fio) estava sobre
o plano do papel. Como é
perpendicular ao plano do papel,
então e formam um
ângulo de 90º.
A grandeza desta força é:
v 	,	v
Atendendo a que 1,602
10 	 , v 1,50 10 · ,
	
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 99
2,50 10 	 e 	,	v 90º, vem
1,602 10 	 1,50 10 	 ·
2,50 10 	 90º
6,00 10 	 (solução)
É mais simples achar a direção e o sentido de
v P B representando os vetores em perspetiva.
Escolha-se, por exemplo, um sistema de eixos
ortogonal em que o semieixo positivo OZ tem a
direção do fio e o sentido da corrente e o
semieixo positivo OX tem a direção de , mas
sentido oposto ao deste vetor.
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 100
Neste sistema de eixos, o plano do papel é o plano
YOZ.
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 101
O vetor v P B tem a direção do eixo OY e sentido
oposto ao do semieixo positivo OY.
Então v P B é perpendicular ao fio e aponta para
este.
Como o protão tem carga positiva, fica sujeito a uma
força v P B que tem direção perpendicular
ao fio e aponta para este. (solução)
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 102
MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA CARREGADA
NA PRESENÇA DE UM CAMPO MAGNÉTICO
UNIFORME
Ao contrário do que acontece no campo elétrico, uma carga
localizada num ponto onde existe um campo magnético
pode não estar sujeita à força magnética.
Atendendo a que
F qvB
A GRANDEZA DA FORÇA MAGNÉTICA É NULA QUANDO:
• a carga se encontra parada ( ) numa região onde
existe um campo magnético;
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 103
• os vetores e têm a mesma direcção. Já que, neste
caso se tem
	,	 .
Se a força magnética não for nula, como a força magnética é
sempre perpendicular à velocidade da carga, então a força
magnética altera a direção da velocidade da carga,
mas não a sua grandeza. O MOVIMENTO da carga é então
UNIFORME.
Neste caso, o campo magnético não realiza trabalho
sobre a carga elétrica. Como tal, a energia cinética de
uma carga elétrica sujeita apenas a uma força
magnética permanece constante.
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 104
Consideraremos aqui dois casos particulares:
• a velocidade da carga é perpendicular a um campo
magnético uniforme;
• a velocidade da carga tem uma componente
perpendicular e outra paralela a um campo
magnético uniforme.
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 105
A VELOCIDADE DA CARGA É PERPENDICULAR A UM
CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME
O movimento da carga é, neste caso, circular
uniforme no plano definido pela velocidade e pela força
magnética que atua sobre a carga.
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 106
Sendo a velocidade da carga perpendicular à força
magnética que sobre ela atua em cada ponto da sua
trajetória, a força magnética é uma força centrípeta
cujo módulo é:
F q v B sin90º q v B
Usando a segunda lei de Newton obtém-se
m
v
r
q v B
O raio da trajetória circular descrita pela partícula é
então dado por
r
m v
q B
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 107
Atendendo a que v = r, então
ω
q B
m
f
q B
2πm
e como ω 2πf, a frequência de
ciclotrão é
T
2πm
q B
Como f , o período do movimento da partícula
(designado por período de ciclotrão) é
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FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 108
EXEMPLO
Problema
Um ião de massa m e carga
1,602 10 , inicialmente
em repouso na fonte S da
figura ao lado, é acelerado
num campo elétrico criado por
uma diferença de potencial
1 10 	 . O ião entra numa
câmara de separação na qual
existe um campo magnético
uniforme, de módulo 80	 ,
por um orifício O, perpendicu-
O
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 109
-larmente ao campo magnético, de modo que passa a
descrever a trajetória semicircular ilustrada na figura.
Despreze as interações gravíticas na resolução da questão.
Se o ião embater no detetor num ponto 1,6254	 , qual
é a massa do ião em unidades de massa atómica?
1	 1,6605 10 	
Resolução
Determine-se primeiro a velocidade com que o ião penetra
na câmara.
O campo elétrico é um campo conservativo. Se a força
elétrica for a única a atuar no ião, a energia mecânica do
ião, ( é a energia potencial elétrica do
24
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 110
ião) conserva-se durante a aceleração. Isto é:
∆ ∆ 0
Atendendo a que , a expressão
anterior pode ainda escrever-se como
	 	 0
ou
0
Ora
	 	 ,
quando o ião emerge da fonte, a suaFÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 111
energia cinética é praticamente nula ( 0 , e no final
da aceleração é pelo que, da conservação
da energia mecânica, se tem
1
2
0
De onde se tira
2
A velocidade vem expressa em função da massa do ião,
que se pretende determinar.
25
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 112
O
O ião penetrou na câmara com velocidade de direção
perpendicular à do campo magnético uniforme existente
dentro da câmara ( tem a direção do plano do papel e
aponta para fora deste). Como tal, ficou sujeito no ponto
de penetração, O, a uma
força de direção horizontal,
especificada pela linha x, que
aponta da esquerda para a
direita, daí a trajetória
semicircular que descreve
estar orientada para a
direita em relação ao
ponto de penetração na
câmara.
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 113
A força magnética a que uma partícula de carga q, a
deslocar-se com velocidade numa região do espaço onde
existe um campo magnético fica sujeita é sempre
perpendicular à velocidade da partícula pois
 .
A força magnética altera a direcção da velocidade da
partícula, mas não a sua grandeza. o movimento da
partícula é então uniforme.
Sendo a velocidade da partícula perpendicular à força
magnética que sobre ela atua em cada ponto da sua
trajetória, a força magnética é uma força centrípeta cujo
módulo é:
26
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 114
90º
Usando a segunda lei de Newton obtém-se
O raio da trajetória circular descrita pela partícula é então
dado por
O movimento da partícula é, neste caso, circular uniforme no
plano da sua velocidade e da força magnética (o plano do
papel)
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 115
Atendendo a que anteriormente se tinha obtido ,
vem
2
1 2
1 2
27
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 116
Resolvendo r em ordem a m vem
2
Nesta expressão, r é o raio da
trajetória circular, mas no
problema é dada a
coordenada x do ponto onde
o ião embate no detetor.
Note-se que
2r
O
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 117
Logo
8
Atendendo a que 1,6254	 , 80	 , 1,602
10 	 e 1 10 	 vem
1,6254	 80	 10 1,602 10 	
8 1 10 	
3,3859 10 	
203,91 (solução)
3,3859 10 	
1	
1,6605 10 	
28
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 118
A VELOCIDADE DA CARGA TEM UMA COMPONENTE
PERPENDICULAR E OUTRA PARALELA A UM CAMPO
MAGNÉTICO UNIFORME
Neste caso, o ângulo formado por e é  90º.
Contudo, o vetor
pode decompor-se em
duas direções: uma
paralela e outra
perpendicular a .
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 119
• A componente de paralela a não é alterada
pelo campo, permanecendo constante.
• A componente de perpendicular a muda de
direção (como no caso considerado
anteriormente).
Como consequência, o movimento da carga é uma
composição de dois movimentos, um retilíneo e
uniforme, e outro circular e uniforme.
A trajetória da partícula
tem, por isso, a forma de
uma hélice cilíndrica.
29
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 120
O CICLOTRÃO
O fato da trajetória de uma partícula carregada na presença
de um campo magnético uniforme ser circular permitiu
projetar aceleradores que obrigam as partículas a serem
ciclicamente aceleradas pelo mesmo campo elétrico.
Como se viu no exemplo anterior, nos aceleradores eletrostáticos, a
energia cinética adquirida por uma partícula com carga elétrica
depende de uma diferença de potencial ∆ estabelecida entre dois
elétrodos.
1 eletrão-Volt (eV) define-se como a energia cinética adquirida
por um eletrão quando acelerado, a partir do repouso, por uma
diferença de potencial de 1 Volt. Uma vez que a carga do eletrão é
1,602 10 	 , então
,
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 121
Num acelerador cíclico, a partícula carregada é acelerada em
diversas etapas, passando repetitivamente numa região
onde diferença de potencial e a grandeza do campo
elétrico é pequena.
30
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 122
O primeiro dispositivo que operou de acordo com este princípio
foi o CICLOTRÃO, projetado por E. O. Lawrence, em
1932.
O ciclotrão consiste essencialmente numa cavidade cilíndrica
dividida ao meio e colocada num campo magnético
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 123
uniforme paralelo ao seu eixo.
Cada condutor semicircular é designado por “dê”, pela
sua semelhança coma letra D.
Os dois dês são ocos e estão eletricamente isolados
entre si.
Este sistema é mantido numa câmara de vácuo para
evitar a colisão das partículas que se estão a acelerar com
quaisquer moléculas de ar.
A fonte de partículas a serem aceleradas é colocada no
centro dos dês.
No interior dos dês o campo elétrico é nulo.
Uma diferença de potencial alternada de alta frequência
31
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 124
é aplicada entre os dês, criando um campo elétrico no
espaço entre os dês que é usado para acelerar as
partículas.
Tomemos o exemplo do que sucede
a uma partícula positiva, como
um protão.
1º Um protão que saia da fonte é
atraído para o dê com
polaridade negativa.
2º Uma vez NO INTERIOR DE
UM DÊ, o protão não fica
sujeito a forças elétricas,
pois no interior dos dês o
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 125
campo elétrico é nulo. Contudo, como velocidade do
protão é perpendicular ao campo magnético existente
nessa região, a força magnética a que fica sujeito leva a
que este descreva uma trajetória SEMICIRCULAR
de raio
no plano perpendicular ao eixo cilíndrico dos dês, até
chegar ao espaço entre os dês.
Atendendo a que v = r, a frequência angular do
movimento do protão (frequência angular de ciclotrão)
é
ω
q B
m
32
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 126
3º Para que a aceleração do protão no campo elétrico
criado no ESPAÇO ENTRE OS DÊS esteja otimizada
(i.e., para que a diferença de potencial existente entre os
dês seja máxima no instante da chegada do protão ao
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 127
espaço entre estes), a polaridade dos dês deve
inverter-se enquanto o protão descreve meia
revolução.
Como tal, a frequência de oscilação da diferença de
potencial alternada aplicada entre os dês e a
frequência com que o protão circula no campo
magnético (que não depende da sua velocidade) deverão
ser iguais. Em termos de frequência angular, se ω for a
frequência angular de oscilação da diferença de potencial
alternada aplicada entre os dês, tal pode escrever-se como
ω ω
q B
m
CONDIÇÃO DE RESSONÂNCIA.
33
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 128
É costume exprimir-se esta ideia dizendo-se que,
quando tal acontece, existe RESSONÂNCIA.
No ESPAÇO ENTRE OS DÊS, o protão é acelerado pelo
campo elétrico aí criado pela diferença de potencial
aplicada aos dês.
A diferença de potencial, ∆ , e a grandeza do
campo elétrico são pequenas, pelo que a energia
cinética do protão, e a sua velocidade, sofrem um aumento
não demasiadamente elevados, tais que:
∆ ∆
4º Ainda assim, o protão ENTRA NO DÊ SEGUINTE com
velocidade superior àquela com que acabou de
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 129
descrever o semicírculo anterior.
Atendendo a que o raio da
trajetória do protão no interior de
um dê é
o próximo semicírculo que
este descreverá terá um raio
superior ao anterior.
Por este motivo, o protão descreverá semicírculos de
raios progressivamente superiores até que este atinge um
valor máximo, que é praticamente igual ao RAIO R da
34
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 130
cavidade cilíndrica (conhecido por RAIO DO CICLOTRÃO, ou
raio de extração do feixe).
Como r , então a velocidade máxima de uma partícula é
v
q B R
m
E a energia cinética máxima é
E
1
2
mv
1
2
m
q B R
m
E
q B R
2m
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 131
A velocidade máxima e a energia cinética máxima da
partícula são determinadas pelo raio R do ciclotrão, pela
massa e carga da partícula e pela grandeza do campo
magnético, mas não dependem da diferença de potencial
aplicada aos dês.
Quando a diferença de potencial aplicada aos dês é
pequena, as partículas têm que efetuar muitas mais voltas
antes de adquirirem a energia desejável.
A intensidade do campo magnético que pode ser
aplicado está limitada por fatores tecnológicos, como a
disponibilidade de materiais com as propriedades necessárias.
Contudo, usando-se eletroímanes com raios suficiente-35
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 132
-mente elevados consegue-se, em princípio, acelerar
partículas carregadas a qualquer energia desejada.
No entanto, quanto maior for o eletroíman, maior serão o
peso, as dimensões e o custo do ciclotrão.
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 133
Outro fator que limita a energia que se consegue alcançar com
um ciclotrão prende-se com os efeitos relativistas que
ocorrem para velocidades muito elevadas.
36
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 134
Como ω depende da velocidade v das partículas, à medida
que esta aumenta ω vai variando, deixando de haver
sincronização entre a frequência do ciclotrão e a
frequência da tensão aplicada entre os dês.
Neste caso, a frequência angular do movimento da partícula
não é ω , mas sim
ω
q B
1
v
c
onde c é a velocidade da luz e é a massa da partícula em
repouso.
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 135
EXEMPLO
Problema
Um ciclotrão contruído durante os anos 1930 tinha um raio
de extração de 0,500 m e o campo magnético era de 1,50
T. Despreze os efeitos relativistas. ã 1,602
10 	 ; ã 1,673 10 	kg.
Se o ciclotrão foi usado para acelerar protões determine:
(a) a frequência que a diferença de potencial alternada a
aplicar entre os dês deverá ter para que esteja em
ressonância com a frequência com que o protão circula
no campo magnético;
(b) a energia cinética máxima dos protões acelerados neste
ciclotrão. Apresente os resultados em eletrão-Volt ou
múltiplos do mesmo (1 1,602 10 .
37
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 136
Resolução
(a) Determine a frequência que a diferença de potencial
alternada a aplicar entre os dês deverá ter para que
esta esteja em ressonância com a frequência com que o
protão circula no campo magnético.
Para que aceleração das partículas no campo elétrico
criado no espaço entre os dês esteja otimizada (i.e.,
para que a diferença de potencial existente entre os dês
seja máxima no instante da chegada destas ao criado
no espaço entre os dês esteja otimizada (i.e., para que
a diferença de potencial existente entre os dês seja
máxima no instante da chegada destas ao espaço entre
estes), a polaridade dos dês deve inverter-se enquanto
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 137
A chave da aceleração de partículas num ciclotrão é
então a sincronização entre a frequência de ciclotrão (a
frequência de circulação da partícula) e a frequência da
tensão aplicada entre os dês, traduzida pela condição
de ressonância:
ω ω
q B
m
o protão descreve meia revolução.
 A tensão aplicada entre os dês oscila com
frequência angular e frequência
2
.
38
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 138
 Na presença do campo magnético existente no
interior dos dês do ciclotrão o protão descreve
uma trajetória semicircular de raio
Como v = r, a frequência angular de ciclotrão
vem
A frequência de ciclotrão é, então:
2 2
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 139
A condição de ressonância, ω ω , pode
então também ser escrita como
2
Atendendo a que ã 1,602 10 	 , ã
1,673 10 	 e 1,50	 	vem
1,602 10 	 1,50	
2 1,673 10 	
2,286 10
39
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 140
Resolução
(b) Determine a energia cinética máxima dos protões
acelerados neste ciclotrão.
A energia cinética máxima e a velocidade máxima da
partícula são determinadas pelo raio R do ciclotrão (o
raio R da cavidade cilíndrica ou o raio de extração):
23	 (solução)
De onde se tira
v
q B R
m
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 141
A energia cinética máxima é
E
1
2
mv
1
2 2
Atendendo a que ã 1,602 10 	 ,
ã 1,673 10 	 ,	R 0,500	m e 1,50	 ,
vem
E
1,602 10 	 1,50	 0,500	
2 1,673 10 	
E 4,3144 10
40
FÍSICA APLICADA I 2015/2016 CM 142
E 4,3144 10
1	
1,602 10 	 
E 2,693 10
E 27	 (solução)