Exercícios de Funções de Cálculo

Prévia do material em texto

L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
Funções..................................................................2 - 43
Limites e Continuidade.......................................44 - 85
Derivadas e Aplicações.....................................86 - 118
Sumário
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
Questão 1) Sejam e . Em cada parte, dê a
fórmula para a função e o correspondente domínio.
(a) f+g
(b) f-g
(c) f g
(d) f/g
Questão 2) Sejam e . Em cada parte, dê a
fórmula para a composição e o correspondente domínio.
(a)
(b)
Questão 3) O gráfico de pode ser obtido transladando
o gráfico de ________ para a _______ (esquerda/direita) por ___
unidade(s) e depois transladando o novo gráfico para ___________
(cima/baixo) por __________ unidades(s).
Questão 4) Seja
(a) A letra do alfabeto que mais se parece com o gráfico de f é ______ .
(b) f é uma função par?
Exercícios Funções
f g
Dicas de Cálculo 2
g( x ) x
2
y 1 ( x 2 )  
x 1 , 2 x 0
f ( x )
x 1 , 0 x 2
    
 
  
f ( x ) 3 x 2  g( x ) x
2
f ( x ) 2 x 
g f
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 5) O gráfico de uma função f está na figura abaixo. Esboce os
gráficos das seguintes equações:
(a) (b)
(c) (d)
Questão 6) O gráfico de uma função f está na figura abaixo. Esboce os
gráficos das seguintes equações:
(a) (b)
(c) (d)
y f ( x ) 1 
y f ( x 1 )  y f ( 2x )
y f ( x )
Dicas de Cálculo 3
y f ( x 1 ) 
1
y f x
2
 
  
 
1
y f ( x )
2

y 1 f ( x ) 
Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 7-11) Esboce o gráfico das equações por translação, reflexão,
compressão e alongamento dos gráficos , e de
maneira apropriada.
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Questão 12) Determine as fórmulas para 𝒇 + 𝒈 , 𝒇 − 𝒈 , 𝒇𝒈 e 𝒇/𝒈 e
estabeleça os domínios das funções: e .
Questão 13: Sejam e . Determine:
(a) f(g(2)) (b) g(f(4))
(c) f(f(16)) (d) g(g(0))
Questão 14) Determine as fórmulas para e e estabeleça os
domínios das compostas: ; .
2
y x
2
y 2( x 1 ) 3   
Dicas de Cálculo 4
y x
2
y x 6 x 
y 3 x 1  
1
y x 1
2
 
y x
y x 2 2  
f ( x ) 2 x 1  g( x ) x 1 
f ( x ) x 3g( x ) x 1 
f g g f
g( x ) 1 x 2f ( x ) x
Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 15) Classifique as funções cujos gráficos estão nas figuras a
seguir como pares, ímpares ou nenhum desses casos.
Questão 16) Em cada parte, classifique a função como par, ímpar ou
nenhum desses casos.
(a) (b)
(c) (d)
Questão 17: Esboce o gráfico de :
(a) (b)
Dicas de Cálculo 5
f ( x ) 2 x 1  g( x ) x 1 
f ( x ) x 3g( x ) x 1 
2
f ( x ) x
3
f ( x ) x
f ( x ) x f ( x ) 2
2
f ( x ) 1 x  f ( x ) cos( x ) cos( x ) 
Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 18) Considere a família de funções , onde n é um inteiro.
Os gráficos de são simétricos em relação ao eixo y se n for
_________ . Esses gráficos são simétricos em relação à origem se n for
_________ . O eixo y é uma assíntota vertical desses gráficos se n for
_________ .
Questão 19) Qual é o domínio natural de um polinômio?
Questão 20) Considere a família de funções , onde n é um inteiro
não-nulo. Encontre o domínio natural dessas funções se n for:
(a) positivo e par (b) positivo e ímpar
(c) negativo e par (d) negativo e ímpar.
Questão 21) O gráfico de tem amplitude ______ e é
periódico com período ________ .
Questão 22-23) Esboce o gráfico da equação para n=1, 3 e 5 em um
sistema de coordenadas e para n=2, 4 e 6 em outro sistema de
coordenadas.
(22)
(23)
Dicas de Cálculo 6
n
y x
n
y x
1
ny x
y A sen( Bx )
n
y x 
n
y 2x

Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 24) Encontre uma função da forma e
ssssssssssssssss para os gráficos:
(a) (b)
(c)
Questão 25) Encontre a amplitude, o período e esboce o gráfico de:
(a) (b)
(c)
y D A sen( Bx ) 
Dicas de Cálculo 7
y D Acos ( Bx ) 
y 3 s en( 4 x )
x
y 2 cos
2
 
   
 
y 2 cos ( x ) 
Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 26) Em (a)-(d), determine se 𝒇 e 𝒈 são funções inversas.
(a)
(b)
(c)
(d)
Questão 27) Em cada parte, use o teste da reta horizontal para
determinar se a função é injetora.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Questão 28-32) Encontre a fórmula para .
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
Dicas de Cálculo 8
1
f ( x ) 4 x, g( x ) x
4
 
f ( x ) 3x 1, g( x ) 3x 1   
33f ( x ) x 2 , g( x ) x 2   
4 4f ( x ) x , g( x ) x 
2
f ( x ) x 2x 2  
f ( x ) x
f ( x ) x 1 
f ( x ) 3x 2 
f ( x ) sen( x )
1
f ( x )

f ( x ) 7 x 6 
x 1
f ( x )
x 1



3
f ( x ) 3x 5 
3f ( x ) 2x 1 
2
3
f ( x ) , x 0
x
 
Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 33-35) Encontre uma fórmula para e dê o domínio
de .
(33)
(34)
(35)
Dicas de Cálculo 9
1
f ( x )

4
f ( x ) ( x 2 ) , x 0  
f ( x ) x 3 
1
f

f ( x ) 3 2x  
Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 1) Sejam e . Em cada parte, dê a
fórmula para a função e o correspondente domínio.
Neste exercício deve-se aplicar as operações indicadas, fazer as simplificações
oportunas e indicar o domínio.
(a) 𝒇 + 𝒈:
Tem-se um termo com raiz quadrada, em que só admite valores não
negativos, e outro termo uma função módulo, que não possui restrições.
Assim, tem-se e a função pode ser reescrita, uma vez que os
valores são maiores ou igual a zero, como: .
(b) 𝒇 − 𝒈:
Análogo a letra (a), tem-se e .
(c) 𝒇 𝒈:
Novamente temos uma função raiz quadrada, ou seja, .
Reescrevendo a expressão obtém-se: .
(d) 𝒇/𝒈:
Neste exercício tem-se uma função racional, em que possui a restrição do
denominador ser diferente de zero, além da função raiz quadrada. Assim, o
domínio deve respeitar as duas condições, ou seja, . Além
disso, pode-se reescrever a expressão como:
.
Resolução Exercícios Funções
Dicas de Cálculo 10
f ( x ) 3 x 2  g( x ) x
3 x 2 x 
Dom : x 0
3 x 2 x 
Dom : x 0
3 x 2 x 
( 3 x 2 ) x 
Dom : x 0
3
2( 3 x 2 ) x 3x 2x   
( 3 x 2 )
x

Dom : x 0
3 x 2
x

3 x 2 x 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
wel
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 2) Sejam e . Em cada parte, dê a
fórmula para a composição e o correspondente domínio.
(a)
Como tem-se uma função polinomial de primeira ordem o domínio não
possui restrições: .
(b)
Como tem-se uma função raiz quadrada no numerador, o seu interior
deve ser maior ou igual a zero, o que resulta em resolver a inequação
. Construindo o gráfico desta função, podemos resolver a
inequação e analisar o domínio: .
Dicas de Cálculo 11
2
f ( x ) 2 x  g( x ) x
 
2
f g f ( g( x )) 2 x    2 x
Dom : x
g f g( f ( x ))  2( 2 x )
Dom : 2 x 2  
2
2 x 0 
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 3) O gráfico de pode ser obtido transladando
o gráfico de para a _______________ (esquerda/direita) por
_____ unidade(s) e depois transladando o novo gráfico para
___________ (cima/baixo) por __________ unidades(s).
Lembrando que transladação para esquerda/direita se dá ao
somar/subtrair unidades na argumento da função, respectivamente, e
transladação para cima/baixo ao somar/subtrair de toda função,
respectivamente. Assim, tem-se:
O gráfico de pode ser obtido transladando o gráfico de
para a direita (esquerda/direita) por 2 unidade(s) e depois transladando
o novo gráfico para cima (cima/baixo) por 1 unidades(s).
Questão 4) Seja
(a) A letra do alfabeto que mais se parece com o gráfico de f é ___ .
Ao construir o gráfico de uma função módulo deve-se dividir o domínio
em duas partes: a primeira na qual o valor do argumento do módulo é
não negativo, nesse caso apenas retira-se o operado módulo; a
segunda na qual o argumento é negativo, na qual deve-se retirar o
operador e multiplicar tudo por -1. Assim, nossa função f(x) pode ser
escrita parecendo-se com a letra W .
Dicas de Cálculo 12
2
y 1 ( x 2 )  
2
y x
2
y 1 ( x 2 )  
2
y x
x 1 , 2 x 0
f ( x )
x 1 , 0 x 2
    
 
  
f(x)
x
x 1, 2 x 1
x 1 , 1 x 0
f ( x )
x 1 , 0 x 1
x 1, 1 x 2
     

   
 
   
   
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(b) f é uma função par?
Sim, ela é uma função par, pois para qualquer x pertencente ao domínio
satisfaz a igualdade f(x)=f(-x), que é a definição de função par.
Questão 5) O gráfico de uma função f está na figura abaixo. Esboce
os gráficos das seguintes equações:
(a) Subtrair uma unidade faz com que toda função translade para
baixo em uma unidade.
(b) Subtrair o argumento da função em uma unidade faz com que
translade o gráfico para a direita em uma unidade.
(a) (b)
Dicas de Cálculo 13
y f ( x ) 1  y f ( x 1 ) 
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(c) Ao multiplicar toda função por um valor entre (0,1), ela será
comprimida (reduzida) no sentido vertical. Ou seja, multiplicar por ½=0,5
significa reduzir pela metade a amplitude da função.
(d) Ao multiplicar o argumento de uma função por um valor entre (-1,0),
ela será alongada no sentido horizontal e invertida em relação ao eixo y
(por ser um valor negativo). No caso específico, multiplicar o argumento
por ½=0,5 faz alongar a função por um fator de 2 (duplicar) no sentido
horizontal. Já o sinal de “–” faz rebater (inverter a função) em relação ao
eixo y.
(c) (d)
Dicas de Cálculo 14
1
y f x
2
 
  
 
1
y f ( x )
2

Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 6) O gráfico de uma função f está na figura abaixo. Esboce
os gráficos das seguintes equações:
(a) Ao somar 1 unidade no argumento de uma função, desloca-se o
gráfico 1 unidade para a esquerda.
(b) Ao multiplicar por um valor maior que 1 dentro do argumento,
comprime-se a função no sentido horizontal. No caso específico,
multiplicar por 2 o argumento faz o gráfico comprimir por um fator de 2
(pela metade) no sentido horizontal .
(a) (b)
Dicas de Cálculo 15
y f ( x 1 )  y f ( 2x )
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(c) Ao aplicar o módulo à uma função, todos os pontos que estão
abaixo do eixo x (negativos) são refletidos para cima do mesmo eixo.
(d) Esta nova função ao ser multiplicada por um valor negativo, é
refletida em relação ao eixo x e, ao ser somada uma unidade ao
gráfico, ele é transladado uma unidade para cima.
(c) (d)
Dicas de Cálculo 16
y f ( x ) y 1 f ( x ) 
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 7-11) Esboce o gráfico das equações por translação,
reflexão, compressão e alongamento dos gráficos , e
ssssss de maneira apropriada.
(7)
Para construir este gráfico deve-se conhecer o gráfico de MMm.
Ao somar uma unidade no argumento da função tem-se um
deslocamento para a esquerda de uma unidade:
Em seguida, deve-se multiplicar por um valor negativo, o que refletirá o
gráfico em torno do eixo x. Como este valor é maior que 1 a função fica
alongada no sentido vertical (aumenta a amplitude em 2 unidades).
Dicas de Cálculo 17
2
y x
y x
y x
2
y 2( x 1 ) 3   
2
y x
2
y x  
2
y x 1 
 
2
y x 1 
 
2
y 2 x 1  
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Por fim, ao subtrair 3 unidades, o gráfico fica transladado para baixo em
3 unidades:
Dicas de Cálculo 18
 
2
y 2 x 1  
 
2
y 2 x 1 3   
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(8)
Esta função pode ser reescrita da forma: . Assim, pode-
se seguir os mesmos passos do exercício nº 7.
Inicia-se com a função básica e deslocam-se 3 unidades para a
esquerda ao somar dentro do argumento:
Por fim, deve-se transladar o gráfico para baixo ao subtrair 9 unidades:
Dicas de Cálculo 19
2
y x 6 x 
2
y ( x 3 ) 9  
2
y x
 
2
y x 3 9  
 
2
y x 3 
Resolução Exercícios Funções
2
y x
 
2
y x 3 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(9)
Para construir este gráfico deve-se conhecer o gráfico de MM m. Ao
somar uma unidade no argumento desta função, tem-se um
deslocamento para a esquerda de uma unidade:
Se esta nova função for multiplicada por -1 o gráfico reflete em relação
ao eixo x:
Por fim, ao somar 3 unidades o gráfico é transladado 3 unidade para
cima.
Dicas de Cálculo
20
y 3 x 1  
y x
y x
y x 1 y x 1  y x 1  
y x 1   y 3 x 1  
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(10)
Este gráfico tem por base a mesma função do exercício anterior.
Quando esta função for multiplicada por um valor entre (0,1), o gráfico é
comprimido no sentido vertical. Neste caso, ao multiplicar por ½=0,5 o
gráfico fica comprimido pela metade.
Por fim, ao somar 1 unidade o gráfico é transladado 1 unidade para
cima.
Dicas de Cálculo 21
1
y x 1
2
 
y x
1
y x
2

1
y x
2

1
y x 1
2
 
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(11)
Para construir este gráfico deve-se conhecer o gráfico de MM m. Ao
somar duas unidade no argumento desta função tem-se um
deslocamento do gráfico em duas unidades para a esquerda:
Por fim, ao subtrair 2 unidades o gráfico é transladado 2 unidade para
baixo.
Dicas de Cálculo 22
y x 2 2  
y x
y x
y x 2 
y x 2  y x 2 2  
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 12) Determine as fórmulas para 𝒇 + 𝒈 , 𝒇 − 𝒈 , 𝒇𝒈 e 𝒇/𝒈 e
estabeleça os domínios das funções: e .
𝒇 + 𝒈 =
𝒇 − 𝒈 =
𝒇 𝒈 =
𝒇/𝒈 =
Dicas de Cálculo 23
f ( x ) 2 x 1  g( x ) x 1 
2 x 1 x 1    3 x 1
2 x 1 x 1    x 1
   2 x 1 x 1   2( x 1 )
   2 x 1 x 1   2
Funções raiz quadrada tem a
restrição que o radicando não pode
ser negativo, logo: .Dom : x 1
Funções polinomiais e funções
constantes não possuem
restrições, logo: .Dom : x
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 13: Sejam e . Determine:
(a) f(g(2)) =
(b) g(f(4))=
(c) f(f(16))=
(d) g(g(0))=
Questão 14) Determine as fórmulas para e . Estabeleça
os domínios das compostas sendo: ; .
Funções polinomiais não possuem restrições, logo:
Funções raiz quadrada possuem a restrição no domínio em que o
radicando deve ser maior ou igual a zero. Assim, e analisando
o gráfico desta função percebe-se que o domínio é .
Dicas de Cálculo 24
   3 3x 1 2 1 9    
f ( x ) x
3
g( x ) x 1 
3
 
3
x 1 x x 1 4 4 1      9
x 16 4   2
   
3 3
3 3
x 1 1 0 1 1 1 1        2
f g g f
g( x ) 1 x 2f ( x ) x
 
2
f g f ( g( x )) 1 x    1 x
g f g( f ( x ))  21 x
Dom : x
2
1 x 0 
Dom : 1 x 1  
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 15) Classifique as funções cujos gráficos estão nas figuras
a seguir como pares, ímpares ou nenhum desses casos.
Questão 16) Em cada parte, classifique a função como par, ímpar
ou nenhum desses casos.
(a) (b)
(c) (d)
Dicas de Cálculo 25
Par, pois f(x)=f(-x).
Espelho em
relação ao eixo y.
Ímpar, pois f(x)=-
f(-x). Espelho em
relação a origem.
Ímpar, pois f(x)=-
f(-x). Espelho em
relação a origem.
Nem par 
nem ímpar.
2
f ( x ) x
f ( x ) x
3
f ( x ) x
f ( x ) 2
ÍmparPar
Par Par
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 17: Esboce o gráfico de :
(a)
Dicas de Cálculo 26
2
f ( x ) 1 x 
2
f ( x ) x
2
f ( x ) x 
2
f ( x ) 1 x 
2
f ( x ) 1 x 
Construímos este gráfico aplicando
a reflexão de todo gráfico,
translação e reflexão dos valores
negativos, partindo da função
básica.
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 17: Esboce o gráfico de :
(b)
Quando , então .
Quando , então .
A partir da função cosseno, pode-se construir o gráfico da função
desejada observando os intervalos onde cosseno é positivo e negativo
em virtude da presença da função módulo.
Dicas de Cálculo 27
f ( x ) cos( x ) cos( x ) 
cos( x ) 0 f ( x ) cos( x ) cos( x ) 2 cos( x )  
cos( x ) 0 f ( x ) cos( x ) cos( x ) 0  
f ( x ) cos( x )
f ( x ) cos( x ) cos( x ) 
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 18) Considere a família de funções , onde n é um
inteiro. Os gráficos de são simétricos em relação ao eixo y se
n for _________ . Esses gráficos são simétricos em relação à
origem se n for _________ . O eixo y é uma assíntota vertical
desses gráficos se n for _________ .
A família é simétrica em relação ao eixo y quando n for par, pois
o valor de x e –x quando elevados à uma potência par tem a mesma
imagem. Entretanto, quando n for ímpar o gráfico é simétrico em relação
à origem, visto que f(x)=-f(-x). Nesse caso, o eixo y é uma assíntota
vertical quando n for negativo, pois . Assim, não admitindo
valor em x=0 (ponto de descontinuidade). Quanto mais próximo deste
ponto, o gráfico torna-se uma reta vertical por ambos os lados.
Questão 19) Qual é o domínio natural de um polinômio?
Funções polinomiais têm valores reais com qualquer valor de x. Deste
modo, o domínio natural é o intervalo .
Dicas de Cálculo
28
 , 
n
y x
n
y x
n
y x
n
n
1
x
x
 
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 20) Considere a família de funções , onde n é um
inteiro não-nulo. Encontre o domínio natural dessas funções se n
for:
(a) positivo e par: como tem-se , onde n é par, sabe-se
que o radicando de raízes de índice par são definidas apenas para
.
(b) positivo e ímpar: nesta também tem-se , porém com
índice ímpar, na qual está definida para todos os reais: .
(c) negativo e par: como n é negativo pode-se reescrever da seguinte
forma e considerar n positivo. Semelhante a letra (a), porém
com a restrição que o denominador deve ser diferente de zero: .
(d) negativo e ímpar: a exemplo da letra (c) pode-se reescrever a
função como , considerando n positivo. Semelhante a letra
(b), porém com a restrição do denominador ser diferente de zero. Logo o
domínio é:
Dicas de Cálculo
29
1
ny x
 0,
 , 
 0,
   ,0 0 ,  
1
nny x x 
1
nny x x 
n
1y
x

n
1y
x

Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 21) O gráfico de tem amplitude ______ e é
periódico com período ________ .
A função básica seno possui amplitude 1, que é a média da
distância entre o maior e menor valor da função e período (ciclo). O
valor pela qual multiplica-se esta função é a nova amplitude. No nosso
caso específico, como a funçãoestá multiplicada por uma fator A, a
amplitude da função é A. Como o argumento da função está
multiplicado por um fator B, a função completa um período quando
, ou seja, .
Dicas de Cálculo 30
y Asen( Bx )
2
Bx 2 2x B

y sen( x )
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 22-23) Esboce o gráfico da equação para n=1,3 e 5 em um
sistema de coordenadas e para n=2,4 e 6 em outro sistema de
coordenadas.
(22)
Dicas de Cálculo 31
n
y x 
n=1,3 e 5
Ao esboçar estes gráficos deve-se
observar que as raízes estão em x=0.
Devido ao sinal de menos, os gráficos
são refletidos em relação ao eixo x.
Quando maior a ordem de n, mais
rápido os valores em y tendem ao
infinito quando se afastam da origem.
n=2,4 e 6
Devido serem potências par, os
gráficos são simétricos em relação ao
eixo y. Além disso, possuem
concavidade voltada para baixo, pois
são multiplicadas por -1, passando no
ponto (0,0) que são as n raízes.
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 22-23) Esboce o gráfico da equação para n=1,3 e 5 em um
sistema de coordenadas e para n=2,4 e 6 em outro sistema de
coordenadas.
(23)
Primeiramente, esta função pode ser reescrita da forma: .
Dicas de Cálculo
32
n
y 2x
 
n=1,3 e 5
Ao esboçar estes gráficos deve-se
observar que: em x=0 não pertence
ao domínio, visto ser uma função
racional e, quanto maior (positivo ou
negativo) for o valor de x, mais
próximo de zero o gráfico fica em y.
Além disso, quando aproxima-se de
x=0, está-se dividindo 2 por um
número muito pequeno, resultando
em um número que tende ao infinito.
Notam-se que são funções ímpares.
n=2,4 e 6
Nestes gráficos também em x=0 não
pertence ao domínio. Nos extremos
tende a zero e próximo da origem
tende a infinito em y. Notam-se que
são funções pares.


n
2
y
x
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 24) Encontre uma função da forma e
sssssssssssssss para os gráficos:
Primeiramente toda função seno pode ser reescrita como cosseno ao somar
ou subtrair um determinado valor no argumento e vice-versa. Entretanto,
vamos encontrar apenas funções sem somar ou subtrair valores no
argumento. Observando os três gráficos pode-se perceber que nenhum deles
possuem deslocamento vertical, visto que oscilam simetricamente entorno do
eixo x. Assim, tem-se: D=0.
y D A sen( Bx ) 
Dicas de Cálculo 33
y D Acos ( Bx ) 
 
  
 
x
y 3 sen
2
(a) Este gráfico pertence a família seno,
pois quando x=0 obtém-se y=0. Sua
amplitude é 3, pois os pontos de máximo e
mínimo são 3 e -3, logo A=3. Por fim, a
função completa um período em . ai.
Portanto, tem-se:
.
Assim, .
   Bx 2 B4 2  
4
B 1 2
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Dicas de Cálculo 34
 y 4 cos 2x
  y 5sen 4 x
(b) Este gráfico pertence a família cosseno,
pois quando 𝒙 = 𝟎 obtém-se 𝒚 ≠ 𝟎. Sua
amplitude é 4, pois o ponto de máximo e
mínimo são 4 e -4, logo A=4. Por fim, a
função completa um período em aia.
Portanto, tem-se:
Assim, tem-se: .
(c) Este gráfico pertence a família seno,
pois quando 𝒙 = 𝟎 obtém-se 𝒚 = 𝟎. Sua
amplitude é 5, pois o ponto de máximo e
mínimo são 5 e -5. Entretanto, a função está
invertida, pois no primeiro quadrante a
função é negativa. Assim, A=-5. Por fim, a
função completa um período em aia .
Portanto, tem-se:
.
Assim, fica-se com: .

   Bx 2 B 2   B 2
/ 2
   Bx 2 B / 2 2   B 4
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 25) Encontre a amplitude e o período e esboce o gráfico:
A amplitude da função seno ou cosseno é o valor na qual multiplica-se
esta função, pois suas funções básicas possuem amplitude 1, na qual
chamamos de A. Já o período é calculado da seguinte forma: não,
onde B é o valor que multiplica a variável independente do arco da
função.
(a)
Nesta função tem-se A=3, logo a amplitude é 3 e B=4. Assim:
Desta forma, sabe-se que o gráfico oscila entre 3 e -3. O período é de
𝜋/2 e intercepta o eixo x em meio período, 𝜋/4 , onde troca de sinal.
Assim, tem-se:
Dicas de Cálculo 35
y 3 s en( 4 x )

2
p
B

 
2
p
4

.
2

Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(b)
Nesta função sabe-se que A=-2, logo a amplitude é 2 e o que
resulta em: .
Desta forma, sabe-se que o gráfico oscila entre 2 e -2, o período é de 2
e intercepta o eixo x em meio período1,onde troca de sinal. Entretanto,
deve-se observar que o valor de A é negativo, portanto o gráfico fica
invertido:
Dicas de Cálculo 36
y 2 cos ( x ) 
 
2
p


2
B 
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(c)
Nesta função tem-se A=1, logo a amplitude é 1 e , o que resulta
em: .
Desta forma, sabe-se que o gráfico oscila entre 1 e -1, o período é de
nós interceptando o eixo x em meio período , onde troca de sinal.
Entretanto, deve-se observar que esta função também tem um
deslocamento vertical para cima, pois é somada duas unidades.
Dicas de Cálculo 37

1
B
2
 
2
p
1
2

4
x
y 2 cos
2
 
   
 
4 2
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 26) Em (a)-(d), determine se f e g são funções inversas.
Nos quatro exercícios (a-d) faz-se a inversa da função f , em seguida
compara-se com a função g para julgar se são funções inversas.
(a)
Para facilitar utiliza-se y=f(x), em seguida aplica-se a técnica de trocar x
por y e vice-versa.
(Substituindo y=f(x))
(Fazendo a troca de variáveis)
.
Logo, percebe-se que são inversas, pois .
(b)
Seguindo os mesmos passos do exercício anterior, tem-se:
(Substituindo y=f(x))
(Fazendo a troca de variáveis)
.
Logo, percebe-se que elas não são inversas, pois .
Dicas de Cálculo
38
x 1
y
3


1
f ( x ) 4x, g( x ) x
4
 
1
y x
4

f ( x ) 4 x
y 4 x
x 4 y



f ( x ) 3x 1, g( x ) 3x 1   
f ( x ) 3x 1
y 3x 1
x 3 y 1
3 y x 1
 
 
 
 
1
f g
 
1
f g
 
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 26) Em (a)-(d), determine se f e g são funções inversas.
(c)
Seguindo os mesmos passos dos exercícios anteriores (a e b), tem-se:
(Substituindo y=f(x))
(Fazendo a troca de variáveis)
(Aplicando mesma potência em
ambos oslados)
.
Logo, percebe-se que elas são inversas, pois .
(d)
Da mesma forma dos exercícios anteriores, tem-se:
(Substituindo y=f(x))
(Fazendo a troca de variáveis)
(Aplicando raiz quarta em
ambos os lados)
.
Logo, percebe-se que elas são inversas, pois .
Dicas de Cálculo
39
3
y x 2 
33f ( x ) x 2 , g( x ) x 2   
4 4f ( x ) x , g( x ) x 
1
f g
 
   
3
3
3
3
3
3
3
f ( x ) x 2
y x 2
x y 2
x y 2
x y 2
 
 
 
 
 
1
f g
 
4
4
4
44 4
f ( x ) x
y x
x y
x y




4y x
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(a)
O teste da reta horizontal nos diz que uma
função é injetora se, e somente se, o gráfico
é cortado uma única vez por qualquer reta
horizontal. Pode-se afirmar que a função
é injetora.
(b)
Segundo o teste da reta horizontal, pode-
se afirmar que a função é
injetora.
(c)
Observando o gráfico ao lado percebe-se
facilmente que diversas retas horizontais
cortam o gráfico duas vezes. Assim, a partir
do o teste da reta horizontal pode-se afirmar
que a função não é injetora.
Questão 27) Em cada parte, use o teste da reta horizontal para
determinar se a função é injetora.
Primeiramente devemos construir os gráficos das funções indicadas
conforme exercícios anteriores, em seguida traçar retas horizontais.
Dicas de Cálculo
40
f ( x ) 3x 2 
f ( x ) x
f ( x ) x 1 
f ( x ) 3x 2 
f ( x ) x 1 
f ( x ) x
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(d)
Neste gráfico novamente percebe-se que
diversas retas horizontais cortam o gráfico
duas vezes, o que implica que a função dada
não é injetora.
(e)
A função seno por ser uma função periódica é
não injetora, visto que para qualquer reta
horizontal entre -1 e 1 corta o gráfico em
diversos pontos.
Dicas de Cálculo 41
2
f ( x ) 3x 2 
f ( x ) sen( x )
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 28-32) Encontre a fórmula para .
Para facilitar utiliza-se y=f(x). Em seguida, aplica-se a técnica que
necessita trocar o x pelo y e vice-versa. Por fim, deve-se isolar
novamente y.
(28) (29)
(30) (31)
(32)
Dicas de Cálculo 42
1
f ( x )

f ( x ) 7 x 6 
x 1
f ( x )
x 1



3
f ( x ) 3x 5  3f ( x ) 2x 1 
2
3
f ( x ) , x 0
x
 
y 7 x 6
x 7 y 6
7 y x 6
 
 
  x 6y
7


x 1
y
x 1
y 1
x
y 1
( y 1 )x y 1
yx y x 1
y( x 1 ) x 1






  
  
  
x 1
y
x 1



3
3
3
3
y 3x 5
x 3 y 5
3 y x 5
x 5
y
3
 
 
 


3
3
3
3
y 2x 1
x 2 y 1
x 2 y 1
2 y x 1
 
 
 
 
2
2
2
3
y
x
3
x
y
3
y
x


 3y
x

3
x 5
y
3


3
x 1
y
2


Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 33-35) Encontre uma fórmula para e dê o
domínio de .
Para encontrar a inversa utiliza-se a mesma técnica dos exercícios
anteriores.
(33)
(34)
(35)
Dicas de Cálculo 43
1
f ( x )

4
f ( x ) ( x 2 ) , x 0  
f ( x ) x 3 
1
f

f ( x ) 3 2x  
4
4
44 4
4
y ( x 2 )
x ( y 2 )
x ( y 2 )
x y 2
 
 
 
 
4y x 2 
   
2
2
2
y x 3
x y 3
x y 3
x y 3
 
 
 
 
2
y x 3 
   
2
2
2
2
y 3 2x
x 3 2 y
x 3 2 y
x 3 2 y
2 y 3 x
  
  
  
 
 
2
3 x
y
2


Sabe-se que raízes de ordem par
somente admitem valores não negativos.
Assim, o domínio desta função inversa
são todos os números reais maiores ou
igual a zero: .
Funções polinomiais não possuem
nenhuma restrição no domínio, logo:
.
Da mesma forma como no exercício
anterior, a função inversa é uma função
do tipo polinomial. Assim: tem-se .
Dom [0, ) 
Dom 
Dom 
Resolução Exercícios Funções
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 36-41) Em cada um destes exercícios, faça hipóteses
razoáveis sobre o gráfico da função indicada fora da região esboçada.
(36) Para a função f(x) cujo gráfico está na figura a seguir, obtenha:
a)
b)
c)
d)
(37) Para a função ϕ cujo gráfico está na figura a baixo, obtenha:
a)
b)
c)
d)
(38) Para a função f cujo gráfico está na figura a seguir, obtenha:
a)
b)
c)
d)
Exercícios Limites e Continuidade 
Dicas de Cálculo 44
x 2
lim f ( x )
 
x 2
lim f ( x )
 
x 2
lim f ( x )
 
f ( 2 )
x 4
lim ( x )

x 4
lim ( x )

x 4
lim ( x )

( 4 )
x 3
lim f ( x )

x 3
lim f ( x )

x 3
lim f ( x )

f ( 3 )
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(39) Para a função f cujo gráfico está na figura a seguir, obtenha:
a)
b)
c)
d)
(40) Considere a função g cujo gráfico está na figura a seguir. Para
quais valores de 𝒙𝟎, com −𝟕 ≤ 𝒙𝟎≤ 𝟒, existe ?
(41) Considere a função f cujo gráfico está na figura a baixo. Para quais
valores de 𝒙𝟎, com de −𝟗 ≤ 𝒙𝟎≤ 𝟒, existe ?
Exercícios Limites e Continuidade 
Dicas de Cálculo 45
x 0
lim f ( x )

x 0
lim f ( x )

x 0
lim f ( x )

f ( 0 )
0x x
lim g( x )

0x x
lim f ( x )

L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 42)
(a) Seja
Faça uma conjectura sobre o limite de f quando 𝑥 → 0+ calculando f(x)
nos pontos x = 0,1; 0,001; 0,0001.
(b) Calcule f(x) nos pontos x = 0,000001; 0,0000001; 0,00000001;
0,000000001; 0,0000000001; e faça outra conjectura.
(c) Que falha isto revela sobre o uso da evidencia numérica para fazer
conjecturas sobre limites?
Questão 43) Dado que
encontre os limites que existirem. Se o limite não existir, explique por
quê.
(a) (b)
(c) (d)
Questão 44) Use os gráficos de f e g na figura a seguir para encontrar
os limites que existam. Se o limite não existir, explique o por quê.
(a) (b)
(c) (d)
Dicas de Cálculo 46
3
x sen( x )
f ( x )
x


x a x a x a
lim f ( x ) 2 , lim g( x ) 4 e lim h( x ) 0
  
   
x a
lim [ h( x ) 3g( x ) 1]

  x a
lim [ f ( x )g( x )]

3
x a
lim 6 f ( x )


x a
7 g( x )
lim
2 f ( x ) g( x ) 
y f ( x ) y g( x )
x 2
lim [ f ( x ) g( x )]


x 0
lim [ f ( x ) g( x )]


x 2
1 g( x )
lim
f ( x )

x 0
lim f ( x )

Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 45-50) Encontre os limites:
(45) (46)
(47) (48)
(49) (50)
Questão 51) Seja
encontre:
(a) (b) (c)
Questão 52) Para a função ϕ do gráfico abaixo, encontre:
(a)
(b)
Questão 53-58) Encontre os limites:
(53) (54)
(55) (56)
(57) (58)
Dicas de Cálculo 47
3 2
x 3
lim x 3x 9x

 
3x 0
6 x 9
lim
x 12x 3

 
3
t 2
t 8
lim
t 2 

 x 3
x
lim
x 3 
x 3
1
lim
x 3  x 9
x 9
lim
x 3


2 t 0t ,
g( t )
t 0t 2,

 

t0
lim g( t )
 t 0
lim g( t )
 t 0
lim g( t )

x
lim ( x )
 
x
lim ( x )

3
x
lim( 2x 100 x 5 )

 
x
lim 5 x
 

2
2x
5 x 4 x
lim
2x 3

 y
3
lim
y 4  
2x
x 2
lim
x 2x 1 

 
7 5
3
7s
3s 4s
lim
2s 1


Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 59-66) Encontre os limites:
(59) (60)
(61) (62)
(63) (64)
(65) (66)
Dicas de Cálculo 48
1
x
x 0
lim e

x x
x xx
e e
lim
e e

 


4
2x
3x x
lim
x 8


3
2 3x
x 4 x
lim
1 x 7 x 

 
 2
x
lim x 3 x

 
1
x
x 0
lim e

x 1
lim ln( 1 x )

  2
x
lim ln( x 1 ) ln( x 1 )

  
Exercícios Limites e Continuidade 
Questão 67-72) Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
(67) (68)
(69) (70)
(71) (72)
x 0
sen( 3x )
lim
x x 0
2 cos( 3x ) cos( 4 x )
lim
x
 
x
x
3
lim 1
x


 
 
 
2
x
2
2x
x 1
lim
x 3
  
 
 
3 x
x 0
e 1
lim
x

x 2
x 2
10 1
lim
x 2




L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 73-75) Encontre os pontos x, se houver, nos quais f não é
contínua.
(73) (74)
(75)
Questão 76) Em qual dos seguintes intervalos
é contínua?
(a) [𝟐,+∞) (b) [−∞,+∞) (c) (𝟐,+∞) (d) [𝟏, 𝟐)
Questão 77-78) Encontre os valores de x (se existirem) nos quais f não
é contínua e determine se cada um desses valores é uma
descontinuidade removível.
(77)
(78)
Dicas de Cálculo 49
2
x 2
f ( x )
x 4


 2
3 x 1
f ( x )
x x 1

 

2x 3, x 4
f ( x ) 16
7 , x 4
x
 

 
 

1
f ( x )
x 2


2
x 3x
f ( x )
x 3



x 2
f ( x )
x 2



Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 36-41) Em cada um destes exercícios, faça hipóteses
razoáveis sobre o gráfico da função indicada fora da região esboçada.
(36) Para a função f cujo gráfico está na figura a seguir, obtenha:
a)
Neste exercício deve-se apontar para qual valor de f(x) a função tende
ao se aproximar da esquerda para a direita de -2. Observando a figura
percebe-se que tende a 0.
b)
Já neste exercício, deve-se apontar para qual valor de f(x) a função
tende ao se aproximar da direita para a esquerda de -2. Observando a
figura percebe-se que também tende a 0.
c)
Como os limites laterais são iguais, o limite existe e é igual aos limites
laterais: 0.
d)
O valor da função em x=-2 é 3, pois é o próprio valor da função, não do
limite.
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
Dicas de Cálculo 50
x 2
lim f ( x ) 0


x 2
lim f ( x ) 0


x 2
lim f ( x ) 0


f ( 2 ) 3 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(37) Para a função ϕ cujo gráfico está na figura a baixo, obtenha:
a)
Novamente deve-se apontar para qual valor a função ϕ tende ao se
aproximar pela esquerda de 4. Observando a figura percebe-se que
tende a .
b)
Ao observar a figura percebe-se que quando x tende a 4 pela direita. A
função ϕ tende a .
c)
Como os limites laterais são iguais, o limite de ϕ existe em x=4 e é .
d)
Mesmo que exista o limite em x=4, a função não está definida neste
ponto.
Dicas de Cálculo 51
x 4
lim ( x )

 
x 4
lim ( x )

x 4
lim ( x )

 
( 4 ) não existe 



Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(38) Para a função f cujo gráfico está na figura a seguir, obtenha:
a)
Ao se aproximar do ponto x=4 pela esquerda, observa-se que a função
f(x) tende a .
b)
Da mesma forma, ao se aproximar do ponto x=4 pela direita observa-
se que a função f(x) tende a .
c)
Como os limites laterais são iguais, o limite existe e é igual a .
d)
Observando o gráfico da função f(x) percebe-se que, quando x=3 , tem-
se f(3)=1.
Dicas de Cálculo 52
x 3
lim f ( x )

 
x 3
lim f ( x )

 
x 3
lim f ( x )

 
f ( 3 ) 1



Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(39) Para a função f cujo gráfico está na figura a seguir, obtenha:
a)
Observando o gráfico percebe-se que, conforme aproxima-se de x=0
pelo lado esquerdo os valores de f(x) se aproximam de 1.
b)
Entretanto, ao se aproximar de x=0 pela direita, a função f(x) tende a
c)
Como os limites laterais são diferentes em x=0, neste ponto não existe o
limite.
d)
No entanto, em x=0 observamos que no gráfico há o ponto fechado em
f(0) = -2.
Dicas de Cálculo 53
x 0
lim f ( x ) 1


x 0
lim f ( x ) não existe


x 0
lim f ( x )

 
f ( 0 ) 2 

Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(40) Considere a função g cujo gráfico está na figura a seguir. Para
quais valores de 𝒙𝟎, com −𝟕 ≤ 𝒙𝟎≤ 𝟒, existe ?
Sabe-se que para qualquer x de uma
função contínua existe limite, assim nos
resta analisar nos dois pontos onde g é
descontínua. No ponto x=2, mesmo sen-
do descontínua a função em ambos os
lados tende a 2, logo existindo limite. Em-
tretanto, no ponto x=-4, os limites laterais são diferentes (6 ≠ 4), logo
não existindo limite neste ponto. Portanto, existe limite para todo 𝒙𝟎 ≠ 𝟒.
(41) Considere a função f cujo gráfico está na figura a baixo. Para quais
valores de 𝒙𝟎, com −𝟗 ≤ 𝒙𝟎≤ 𝟒, existe ?
Análogo ao exercício anterior, percebe-
se que a função é contínua, exceto em
x=-7,-3 e 3. Nos pontos, x=-7 e -3, mês-
mo a função sendo descontínua, o limite
existe, pois os limites laterais são iguais.
Entretanto, este mesmo argumento não
é valido para x=3, pois os limites laterais são diferentes, como pode ser
observado na figura. Portanto, existe limite para todo 𝒙𝟎 ≠ 𝟑.
Dicas de Cálculo
54
0x x
lim g( x )

0x x
lim f ( x )

Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 42
(a) Seja
Faça uma conjectura sobre o limite de f(x) quando 𝑥 → 0+ calculando
f(x) nos pontos x = 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001.
Vamos construir uma tabela com os valores de x indicados para
observar o comportamento da função ao se aproximar cada vez mais de
zero pela direita:
Nos sugere que a função está tendendo a 0,1666667.
Dicas de Cálculo
55
3
x sen( x )
f ( x )
x


x 0,1 0,01 0,001 0,0001
f(x) 0,1665834 0,1666658 0,1666667 0,1666667
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(b) Calcule f(x) nospontos x = 0,000001; 0,0000001; 0,00000001;
0,000000001; 0,0000000001; e faça outra conjectura.
Agora nos sugere que a função está tendendo a zero.
(c) Que falha isto revela sobre o uso da evidencia numérica para fazer
conjecturas sobre limites?
Analisando as duas conjecturas: (a) e (b), percebe-se que o uso de
conjecturas numérica podem levar a erros no cálculo dos limites. Neste
caso, o comportamento oscilatório da função seno é o responsável pelo
erro, pois dependendo dos valores escolhidos encontram-se diferentes
limites. Aplicando este limite em um software matemático teríamos
encontrado 1/6 como resposta.
Dicas de Cálculo 56
x 0,000001 0,0000001 0,00000001 0,000000001 0,0000000001
f(x) 0,1666537 0,1720536 0 0 0
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 43) Dado que
encontre os limites que existirem. Se o limite não existir, explique o por
quê.
Para resolver este exercício utilizam-se as propriedades da soma,
subtração, divisão, multiplicação e da potência dos limites.
(a)
Neste primeiro exercício usam-se as propriedades da soma e subtração:
.
Aplicando os limites dados no problema e sabendo que o limite de uma
função constante é a própria constante tem-se:
.
(b)
Neste exercício usa-se a propriedade da multiplicação:
.
Substituindo as funções f e g tem-se:
.
Dicas de Cálculo 57
x a x a x a
lim f ( x ) 2 , lim g( x ) 4 e lim h( x ) 0
  
   
x a
lim [ h( x ) 3g( x ) 1]

 
x a
lim [ f ( x )g( x )]

x a x a x a x a
x a x a x a
lim [ h( x ) 3g( x ) 1] lim h( x ) lim 3g( x ) lim 1
lim h( x ) 3 lim g( x ) lim 1
   
  
    
  
x a x a x a
lim h( x ) 3 lim g( x ) lim 1 0 3 ( 4 ) 1 13
  
       
x a x a x a
lim [ f ( x )g( x )] lim f ( x ) lim g( x )
  
 
x a x a
lim f ( x ) lim g( x ) 2 ( 4 ) 8
 
     
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(c)
Neste exercício usa-se a propriedade da potência:
.
Substituindo e aplicando o limite de uma constante tem-se:
.
(d)
Aplicando primeiro a propriedade da divisão, em seguida da soma e
multiplicação por constante, tem-se:
.
Portanto, como tem-se no numerador uma constante negativa e o
denominador está tendendo a zero (negativamente ou positivamente), o
limite pode tender a ou , respectivamente , o que faz o limite não
existir.
Dicas de Cálculo 58
3
x a
lim 6 f ( x )


x a
7 g( x )
lim
2 f ( x ) g( x ) 
   
1
1
3
3 3
x a x a x a
lim 6 f ( x ) lim 6 f ( x ) lim [6 f ( x )]
  
    
     
1 1 1
3 3 33
x a x a x a
lim [6 f ( x )] lim6 lim f ( x ) 6 2 8 2
  
      
x a x a
x a
x a x a x a
lim 7 g( x ) 7 lim g( x )7 g( x )
lim
2 f ( x ) g( x ) lim [ 2 f ( x ) g( x )] 2 lim f ( x ) lim g( x )
 

  
  
  
7 ( 4 ) 28
não existe
2 2 ( 4 ) 0
  
  
  
 
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 44) Use os gráficos de f(x) e g(x) na figura a seguir para
encontrar os limites que existam. Se o limite não existir, explique o por
quê.
(a)
Neste exercício deve-se utilizar a propriedade da soma e analisar cada
limite separadamente como:
.
Observando os gráficos percebe-se que a função f(x) no ponto x=2
possui os limites laterais iguais a zero. Assim, existe o limite e este é
igual aos limites laterais. A mesma coisa ocorre com a função g(x), que
também possui o limite igual a zero no ponto x=2. Deste modo:
.
Dicas de Cálculo 59
y f ( x ) y g( x )
x 2
lim [ f ( x ) g( x )]


x 2 x 2 x 2
lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x )
  
  
x 2 x 2
lim f ( x ) lim g( x ) 0 0 0
 
   
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(b)
Deve-se realizar o mesmo procedimento da letra (a), separando em dois
limites:
.
Observando os gráficos percebe-se que a função f(x) no ponto x=0
possui os limites laterais diferentes, pela esquerda igual a 1 e pela
esquerda igual a -2, assim não existindo limite. Deste modo, nem
precisa-se analisar a função g(x), pois o limite de f(x) não existe.
Dicas de Cálculo 60
x 0
lim [ f ( x ) g( x )]


x 0 x 0 x 0
lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x )
  
  
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(c)
Neste exercício deve-se utilizar as propriedades da divisão e da soma,
em seguida analisar cada limite separadamente:
.
Como já encontramos os limites de f(x) e g(x) no exercício (a), e
sabendo que o limite de uma constante é igual a própria constante,
obtém-se:
.
Como no numerador tem-se uma constante fixa positiva (1) e o
denominador está tendendo a zero (negativamente ou positivamente), o
limite pode tender a ou , respectivamente, o que faz o limite não
existir.
Chega-se a conclusão que este limite também não existe.
Dicas de Cálculo 61
x 2
1 g( x )
lim
f ( x )

x 2 x 2
x 2
x 2
lim 1 lim g( x )1 g( x )
lim
f ( x ) lim f ( x )
 




x 2 x 2
x 2
lim 1 lim g( x ) 1 0 1
lim f ( x ) 0 0
 

 
 
 
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(d)
Novamente deve-se utilizar as propriedades dos limites, neste caso a
propriedade da potência ou mais especificamente a propriedade do
limite de uma raiz, em seguida analisar o limite indicado:
.
Analisando o limite de f(x) quando se aproxima do ponto x=0 pela
esquerda, percebe-se que a função f(x) tende a 1. Assim, tem-se:
.
Dicas de Cálculo 62
x 0
lim f ( x )

x 0 x 0
lim f ( x ) lim f ( x )
  

x 0
lim f ( x ) 1 1

 
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 45-50) Encontre os limites:
(45)
A primeira coisa que deve-se fazer quando tem-se um limite para resolver
é substituir diretamente o valor do limite na função. Se der uma
indeterminação, deve-se buscar outras estratégias.
(46)
Novamente inicia-se aplicando diretamente o valor do limite na função
para obter:
.
(47)
Inicia-se calculando o limite:
.
Como tem-se uma indeterminação deve-se buscar estratégia para
eliminar a indeterminação. Uma possibilidade é tentar reescrever a
expressão fatorando pela sua raiz e simplificando como:
.
Dicas de Cálculo
63
3 2
x 3
lim x 3x 9x

 
3x 0
6 x 9
lim
x 12x 3

 
3
t 2
t 8
lim
t 2


3 2 3 2
x 3
lim x 3x 9x 3 3 3 9 3 27

       
3 3x 0
6 x 9 6 0 9
lim 3
x 12x 3 0 12 0 3
  
  
    
3
t 2
t 8 0
lim
t 2 0



3 2
2 2
t 2 t 2 t 2
t 8 ( t 2 )( t 2t 4 )
lim lim lim( t 2t 4 ) ( 2 ) 2( 2 ) 4 12
t 2 t 2  
   
         
 
ResoluçãoExercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 45-50) Encontre os limites:
(48)
Aplicando o limite diretamente chega-se a:
.
Note que x tende a 3, ou seja, .
Nesse caso, tem-se um numerador positivo que tende a 3 e um
denominador que tende a zero (negativamente ou positivamente)
depende se x tende a 3 pela esquerda (x=2,999999...) ou pela direita
(x=3,00000...1). Assim, o limite pode tender a nós ou nós,
respectivamente, o que faz não existir o limite nesse ponto.
Dicas de Cálculo 64
x 3
x
lim
x 3 
x 3
x 3
lim não existe
x 3 0


 
x 2,9999999... ou x 3,000000...1 
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(49)
Aplicando o limite tem-se:
.
Nesse caso, deve-se analisar os limites laterais. Como temos uma
função modular deve-se reescrever a função.
Para 𝒙 > 𝟑 tem-se:
.
pois o denominador é muito pequeno e positivo (tende a zero
positivamente).
Para 𝒙 < 𝟑 tem-se:
.
pois novamente o denominador é muito pequeno e positivo (tende a
zero positivamente). Assim, como os limites laterais são iguais fica-se
com:
.
Dicas de Cálculo 65
x 3
1
lim
x 3 
x 3
1 1
lim
x 3 0


x 3
1
lim
x 3
 

x 3
1
lim
x 3
 
 
x 3
1
lim
x 3
 

Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(50)
Ao aplicar o limite diretamente na função obtém-se uma indeterminação:
.
Para eliminar esta indeterminação, pode-se abrir o numerado em um
produto notável do produto da soma pela diferença dado por:
.
Outra forma de obter o mesmo resultado seria usar a racionalização:
para obter:
Dicas de Cálculo 66
x 9
x 9
lim
x 3


x 9
x 9 0
lim
0x 3



   
 
 
x 9 x 9 x 9
x 3 x 3x 9
lim lim lim x 3 3 3 6
x 3 x 3  
 
     
 
   
   
   
 x 9 x 9 x 9
x 9
x 9 x 3 x 9 x 3x 9
lim lim lim
x 9x 3 x 3 x 3
lim x 3 9 3 6 .
  

   
  
  
   
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 51) Seja:
Encontre:
(a)
O limite lateral esquerdo (quando t tende a zero pela esquerda
t=-0,00000...1) trata-se da função 𝒈 𝒕 = 𝒕 − 𝟐, uma vez que t < 0.
Assim, aplica-se o limite diretamente para obter:
.
(b)
O limite lateral direito (quando t tende a zero pela direita
t=0,00000...1) trata-se da função 𝒈(𝒙) = 𝒕𝟐, uma vez que t > 0. Assim,
novamente aplica-se o limite diretamente para obter:
.
(c)
Como o valor dos limites laterais são diferentes, o limite de 𝒈(𝒕) quando
𝒙 → 𝟎 não existe.
Dicas de Cálculo 67
2 t 0t ,
g( t )
t 0t 2,

 

t 0
lim g( t )

t 0
lim g( t )

t 0
lim g( t )

t 0
lim t 2 0 2 2

    
2 2
t 0
lim t 0 0

 
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 52) Para a função ϕ do gráfico abaixo, encontre:
(a)
Observando o gráfico percebe-se que quando 𝒙 → −∞ a função se
aproxima cada vez mais de 𝒚 = 𝟐 , logo .
(b)
Também observando o gráfico percebe-se que quando 𝒙 → +∞ a
função se aproxima cada vez cada vez mais de 𝒚 = 𝟎 , logo
.
Dicas de Cálculo 68
x
lim ( x )

x
lim ( x )

x
lim ( x ) 2
 

x
lim ( x ) 0


Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 53-58) Encontre os limites:
(53)
Pode-se reescrever esse limite da seguinte forma:
.
Analisando dentro dos parênteses tem-se que, como 𝒙 → +∞ esta
expressão tende +∞, pois o valor “-100” torna-se insignificante. O valor
dentro dos parênteses deve ser multiplicado por “2x” que também tende
a infinito e, por fim, somar “5”. Assim, tem-se:
.
Outra forma de resolver esse exercício é perceber que: sempre que
tivermos um limite infinito de funções polinomiais, basta analisar o termo
de maior grau (dominante). No caso específico basta calcular:
.
(54)
Neste exercício queremos saber o valor de quando 𝒙 → −∞.
Como tem-se valores negativos para 𝒙, isso torna o valor do radicando
positivo, o que faz tender a +∞.
.
Dicas de Cálculo 69
3
x
lim( 2x 100x 5 )

 
x
lim 5 x


3 2
x x
lim( 2x 100 x 5 ) lim 2x( x 100 ) 5
 
       
 2
x
lim 2x( x 100 ) 5 ( ) 5

         
5 x
x
lim 5 x

    
3
x
lim 2x

 
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 53-58) Encontre os limites:
(55)
Neste exercício pode-se reescrever a função dividindo o numerador e o
denominador por 𝒙𝟐 :
.
Assim, quando 𝒙 → +∞ tem-se:
.
Outra forma de resolver esse exercício é perceber que: sempre que
tivermos um limite infinito de funções polinomiais, basta analisar o termo
de maior grau (dominante) tanto no numerador quanto no denominador.
No caso específico basta resolver:
.
Dicas de Cálculo 70
2
2x
5 x 4 x
lim
2x 3


2
2
2
x x
22
5 x 4 x 4
5
x xlim lim
32x 3
2
xx
 





x
2
4
5
5 0 5xlim
3 2 0 2
2
x



 


2
2x x
5 x 5 5
lim lim
2x 2 2 
 
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(56)
Quando aplica-se o limite nesta função tem-se uma divisão de um
número “pequeno” por um número negativo muito grande. Assim,
quando 𝒚 → −∞ obtém-se:
.
(57)
Quando temos o limite que tende ao infinito de uma função que é
formada pela razão de dois polinômios, pode-se levar em consideração
apenas os coeficientes de maior ordem (termo dominante) de cada
polinômio:
.
Ao simplificar vamos chegar no mesmo tipo de limite do exercício
anterior, em que o divisor é um número muito maior que o dividendo:
.
Dicas de Cálculo 71
2x
x 2
lim
x 2x 1

 
y
3
lim
y 4 
y
3 3
lim 0
y 4
 
 
2x
x
lim
x
2x x
x 1 1
lim lim 0
x x 
  

Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(58)
Neste exercício deve-se primeiramente aplicar a propriedade da raiz de
um limite e, em seguida, aplicar a mesma metodologia do exercício
anterior, ou seja, quando aparecer um limite infinito da razão de duas
funções polinomiais basta analisar os termos de maior grau, tanto do
numerador quanto do denominador para obter:
.
Questão 59-66) Encontre os limites:
(59)
Neste exercício pode-se reescrevera função dividindo o numerador e o
denominador por 𝒙𝟐 e, em seguida, simplificar o numerador colocando o
termo 𝒙𝟐 para dentro do radicando :
.
Por fim, deve-se simplificar e aplicar o limite para obter a resposta:
.
Dicas de Cálculo 72
7 5
3
7s
3s 4s
lim
2s 1


7 5 7 5 7
3 3 3 3 3
7 7 7s s s s
3s 4s 3s 4s 3s 3 3
lim lim lim lim
2s 1 2s 1 2s 2 2   
 
   
 
4
2x
3x x
lim
x 8


44
4 42
2 22x x x
2 2
3x x3x x
3x x xxlim lim lim
x 8 x 8x 8
x x
  


 
 
4
4 3
2
x x
22
3x x 1
3
3 0x x
lim lim 3
8x 8 1 0
1
xx
 



  
 

Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 59-66) Encontre os limites:
(60)
Novamente aplica-se a propriedade da razão entre dois polinômios, visto
que 𝒙 → +∞ :
.
(61)
Neste exercício aplica-se a racionalização, multiplicando e dividindo pelo
mesmo fator, procedendo da seguinte forma:
Em seguida, aplica-se o limite:
.
Dicas de Cálculo 73
3
2 3x
x 4 x
lim
1 x 7 x

 
 2
x
lim x 3 x

 
3 3
2 3 3x x x
x 4 x 4 x 4 4
lim lim lim
1 x 7 x 7 x 7 7  

  
 
   
 
2 2
2 2
2 2x x x2
x 3 x x 3 x x 3 x 3
lim lim lim .
x 3 x x 3 xx 3 x
  
                          
 
2x
3 3
lim 0
x 3 x
 
  
  
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(62)
Nesta questão deve-se calcular o limite lateral quando x se aproxima
pela direita de 0, onde os valores são positivos e cada vez menores.
Como a variável x está no denominador do expoente, o expoente se
torna muito grande, ou seja, +∞ . Assim o limite resulta em:
.
(63)
Nesta questão calcula-se o limite lateral do outro lado, ou seja, quando x
se aproxima pela esquerda de 0 (valores negativos). Da mesma forma
do exercício anterior, a variável x está no denominador do expoente,
porém, neste caso, o expoente se torna muito grande negativamente, ou
seja, −∞ . Assim o limite resulta em:
.
Dicas de Cálculo 74
1
x
x 0
lim e

1
x
x 0
lim e

1
x
x 0
lim e e



  
1
x
x 0
1
lim e e 0
e



  
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(64)
Aqui tem-se uma função exponencial. Aplicando o mesmo raciocínio das
questões anteriores. Como 𝒙 → −∞ , tem-se valores negativos.
Portanto, funções com expoentes negativos podem serem reescritas da
seguinte forma:
.
(65)
Quando x tende a 1 pela esquerda, o logaritmando se aproxima cada
vez mais de zero pela direita (valor positivo). Um número muito próximo
de zero pode ser escrito da forma
1
10𝑛
quando n → +∞, logo pode-se
reescrever o limite da seguinte forma:
.
Assim, quando n → +∞ o logaritmo de um valor muito pequeno (próximo
de zero positivo) tende a −∞ (lembrar do gráfico do logaritmo natural).
Portanto:
.
Dicas de Cálculo 75
x x
x xx
e e
lim
e e

 


x 1
lim ln( 1 x )


x x
x xx
1
e
e e e e 0 e eelim 1
1e e e e 0 e e
e
e

    

     



  
      
  

 nnn nx 1
1
lim ln( 1 x ) lim ln lim ln 10
10

 
 
   
 
 n
n
lim ln 10


 
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(66)
Inicia-se reescrevendo este limite aplicando a propriedade da divisão
dos logaritmos como:
.
Em seguida, podemos reescrever o numerador pelo produto notável do
produto da soma pela diferença e fazer a simplificação apropriada:
.
Por fim deve-se apenas aplicar o limite para encontrar a resposta final:
.
Dicas de Cálculo 76
 2
x
lim ln( x 1 ) ln( x 1 )

  
 
2
2
x x
x 1
lim ln( x 1 ) ln( x 1 ) lim ln
x 1 
  
     
 
2
x x x
x 1 ( x 1 )( x 1 )
lim ln lim ln lim ln( x 1 )
x 1 x 1  
     
     
   
x
lim ln( x 1 )

  
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 67-72) Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
(67)
Observando este limite percebe-se um formato semelhante ao limite
fundamental:
.
Deste modo deve-se manipular o limite apresentado neste exercício
para utilizar o limite fundamental. Inicia-se multiplicando o numerador e
o denominador por 3 e aplicando as propriedades dos limites para obter:
.
Em seguida, deve-se fazer uma troca de variável 𝒖 = 𝟑𝒙. Com isto deve-
se também analisar quando 𝒙 → 𝟎, então 𝒖 → 𝟎. Assim, tem-se:
.
Para finalizar basta aplicar o limite fundamental e chegar na resposta
final:
.
Dicas de Cálculo 77
x 0
sen( 3x )
lim
x
x 0
sen( x )
lim 1
x

x 0 x 0 x 0
sen( 3x ) 3sen( 3x ) sen( 3x )
lim lim 3 lim
x 3x 3x  
  
x 0 u 0
sen( 3x ) sen( u )
3 lim 3 lim
3x u 
  
u 0
sen( u )
3 lim 3 1 3
u
   
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(68)
Este limite é um pouco mais trabalhoso, mas não difícil. Primeiramente
deve-se separar em dois termos:
.
Em seguida, multiplicar o numerador e denominador de cada termo para
realizar o produto notável do produto da soma pela diferença:
.
Ao realizar a multiplicação fica-se com:
.
Ao aplicar a identidade trigonométrica: 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 = 𝟏 tem-se:
.
Dicas de Cálculo 78
x 0
2 cos( 3x ) cos( 4 x )
lim
x
 
x 0 x 0
2 cos( 3x ) cos( 4 x ) 1 cos( 3x ) 1 cos( 4 x )
lim lim
x x x 
    
  
 
x 0
1 cos( 3x ) 1 cos( 3x ) 1 cos( 4 x ) 1 cos( 4 x )
lim
x 1 cos( 3x ) x 1 cos( 4 x )
    
   
  
2 2
x 0
1 cos ( 3x ) 1 1 cos ( 4 x ) 1
lim
x 1 cos( 3x ) x 1 cos( 4 x )
  
   
  
2 2
x 0
x 0
s en ( 3x ) 1 s en ( 4 x ) 1
lim
x 1 cos( 3x ) x 1 cos( 4 x )
s en( 3x ) s en( 3x ) s en( 4 x ) s en( 4 x )
lim
x 1 cos( 3x ) x 1 cos( 4 x )


 
    
  
 
   
  
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Continuação da Questão 68)
Deste ponto em diante é análogo ao exercício anterior, na qual deve-se
multiplicar cada termo pela constate que está dentro do arco:
.
Em seguida, separa-se em dois limites fazendo uma troca de variável 𝒖 =
𝟑𝒙 e 𝒗 = 𝟒𝒙. Com isto deve-se também analisar quando 𝒙 → 𝟎, então 𝒖 →
𝟎 e 𝒗 → 𝟎 . Assim, aplicando os limites tem-se:
.
.
(69)
Observando este limite percebe-se a semelhança ao limite
fundamental: .
Deste modo, manipula-se este limite dado para aplicar o limite
fundamental. Inicia-se fazendo uma troca de variável 𝒙 = 𝟑𝒖 . Quando 𝒙 →
+∞ , então 𝒖 → +∞ e aplicando a propriedade da potência dos limites
tem-se:
.Assim, aplicando o limite fundamental fica-se com:
.
Dicas de Cálculo
79
x
x
3
lim 1
x


 
 
 
x 0
s en( 3x ) s en( 3x ) s en( 4 x ) s en( 4 x )
lim
x 1 cos(
3
3x )
4
3 4 x 1 cos( 4 x )
  
   
  
u 0 v 0
s en( u ) 3 s en( u ) s en( v ) 4 s en( v ) 0 0
lim lim 1 1 0
u 1 cos( u ) v 1 cos( v ) 2 2 
        
             
        
x
x
1
lim 1 e
x
 
  
 
3
x 3u u
x u u
3 1 1
lim 1 lim 1 lim 1
x u u

 
  
      
                 
3
u
3
3u
1 1
lim 1 ( e )
u e



  
       
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
70)
Ao observar este limite pode-se ter um pouco mais de dificuldade de
perceber de qual limite fundamental estamos tratando, pois temos que
fazer uma mudança de variável para tomar forma. Faz-se a seguinte
mudança 𝒖 = 𝒙𝟐 − 𝟑. Com isto deve-se também analisar quando 𝒙 →
+∞, então também 𝒖 → +∞:
.
Assim, aplicando a propriedade da potência obtém-se:
.
Em seguida, deve-se utilizar a propriedade da multiplicação dos limites
para obter:
.
Fazendo uma nova mudança de variável, 𝒖 = 𝟒𝒗, nota-se que quando
𝒖 → +∞, então 𝒗 → +∞. Aplicando a propriedade da potência de limites
chega-se a resposta final:
.
Dicas de Cálculo 80
2
x
2
2x
x 1
lim
x 3
  
 
 
2
x u 3 u 32
2x u u
x 1 u 4 4
lim lim lim 1
x 3 u u
 
  
      
       
     
u 3 u 3
u u
4 4 4
lim 1 lim 1 1
u u u

 
      
                 
u 3 u 3
u u u
4 4 4 4
lim 1 1 lim 1 lim 1
u u u u  
        
                       
u 3 4 v 3
u u v u
4 3v
4 3 4
u v u
4 4 1 4
lim 1 lim 1 lim 1 lim 1
u u v u
1 4
lim lim 1 lim 1 e 1 e
v u
   
  
       
              
       
      
                 
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(71)
Observando este limite percebe-se a forma do limite fundamental:
.
Assim, tem-se uma aplicação direta dele fazendo apenas o uso da regra
da potência:
.
(72)
Neste exercício podemos utilizar o mesmo limite fundamental do
exercício anterior. Fazendo a mudança de variável, 𝒖 = 𝒙 − 𝟐 tem-se
que quando 𝒙 → 𝟐 a nova variável 𝒖 → 𝟎:
.
Por fim, aplicando o limite fundamental chega-se a resposta:
.
Dicas de Cálculo
81
3 x
x 0
e 1
lim
x

x
x 0
a 1
lim lna
x


 
x
33 x
3
x 0 x 0
e 1e 1
lim lim lne 3
x x 

  
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
x 2
x 2
10 1
lim
x 2




x 2 u
x 2 u 0
10 1 10 1
lim lim
x 2 u

 
 


u
u 0
10 1
lim ln10
u


L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 73-75) Encontre os pontos x, se houver, nos quais f
não é contínua.
Lembrando que para uma função f(x) ser continua ela deve:
• estar definida para x pertencente ao domínio;
• existir limite em todo domínio;
• e o limite de f(x) para todo 𝒙 → 𝒂 deve ser igual a f(a).
(73)
Nesta função temos a razão entre duas funções polinomiais que, por
sua vez, são continuas em todo domínio. Entretanto, por ser uma divisão
deve-se ter o cuidado ao analisar a função do denominador, pois ela não
pode ser igual zero em nenhum ponto do domínio. Assim, ao construir o
gráfico ou analisando a função percebe-se que ela sempre é positiva,
pois a variável independente x está elevada ao quadrado e ainda são
somadas mais 4 unidades. Deste modo, f(x) é contínua.
(74)
Este é semelhante ao exercício anterior, entretanto percebe-se que
possui alguns pontos onde a função não está definida. Como no ponto
x=0, pois no primeiro termo da função o denominador assume o valor de
0 tornando-a indefinida. Já o segundo termo os pontos de indefinição
são quando 𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎. Assim, obtém-se x=1 e x=-1.
Portanto, f(x) é descontínua em {-1,0,1}.
Dicas de Cálculo
82
Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
2
x 2
f ( x )
x 4



2
3 x 1
f ( x )
x x 1

 

L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(75)
Começa-se observando que esta função está definida para todo
domínio, visto que o único ponto de indefinição poderia ser em x=0 na
segunda parte de f(x), mas como ela é valida para pontos maiores do
que 4, ela está definida para todo x.
Ao analisar o limite das duas funções dentro dos seus domínios,
percebe-se que para todo x elas possuem limite. Assim, analisa-se o
limite no ponto x=4, aplicando os limites laterais:
.
Logo, como os limites laterais são iguais, tem-se: .
Por fim, deve-se analisar se:
. Como são iguais, f(x) é contínua.
Dicas de Cálculo
83
2x 3, x 4
f ( x ) 16
7 , x 4
x
 

 
 

x 4 x 4
16
lim 2x 3 11 lim 7 11
x  
   
x 4
lim f ( x ) 11


x 4
lim f ( x ) f ( 4 )
11 2( 4 ) 3
11 11


 

Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
Questão 76) Em qual dos seguintes intervalos
é contínua?
(a) [𝟐,+∞) (b) [−∞,+∞) (c) (𝟐,+∞) (d) [𝟏, 𝟐)
Como f(x) é uma função racional, ela é contínua para todo x, exceto nos
pontos onde o denominador é zero, ou seja, ela á contínua para os
pontos nos quais a função está definida. Note que tem-se também uma
função raiz quadrada, então f(x) só está definida para 𝑥 − 2 > 0.
Logo, f(x) está definida quando x for maior de 2, ou seja, ela é contínua
em (𝟐,+∞).
Questão 77-78) Encontre os valores de x (se existirem) nos quais f não
é contínua e determine se cada um desses valores é uma
descontinuidade removível.
Obs: Uma função tem uma descontinuidade removível em 𝒙 = 𝒂 se
o limite de f(x) existe em 𝒂, mas
ou ainda, porque f(a) está indefinida nesse ponto ou o valor de f(a)
difere do limite.
Dicas de Cálculo 84
1
f ( x )
x 2


x a
lim f ( x ) f ( a )


Resolução Exercícios Limites e Continuidade 
L
ic
en
se
d
 t
o
 W
el
lin
g
to
n
 L
eo
n
ar
d
o
 d
a 
S
ilv
a 
- 
le
o
w
el
ls
ilv
a@
g
m
ai
l.c
o
m
 -
 7
49
.5
56
.6
73
-6
8 
- 
H
P
09
81
51
55
92
69
42
http://www.dicasdecalculo.com.br/
(77)
Esta função pode ser reescrita da forma:
,
que é uma reta, entretanto tem-se o ponto onde a função não está
definida que satisfaz a equação 𝒙 + 𝟑 = 𝟎, ou seja, em 𝒙 = −𝟑. Assim,
como uma reta é contínua em todo domínio, ela possui limite para todo
x, todavia tem-se o ponto de descontinuidade 𝒙 = −𝟑 que é uma
descontinuidade removível.
(78)
Como f(x) possui módulo deve-se separar o problema em duas partes:
• 𝑥 ≥ 0
Que é uma função constante, contínua para todo x. Como no caso
anterior tem-se uma descontinuidade em 𝒙 = 2 que é uma
descontinuidade removível.
• 𝑥 < 0
É fácil ver que em x=-2 temos uma descontinuidade, pois o denominador
de anula. Como é um ponto onde a função não está definida, 𝒙 = - 2 é
uma descontinuidade removível.
Dicas de Cálculo
85
2
x 3x
f ( x )
x 3



x 2
f ( x )
x 2



2