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PARTE II
MECÂNICA
UNIDADE 01
CINEMÁTICA ESCALAR
SUBUNIDADE 04
QUEDA LIVRE E LANÇAMENTO VERTICAL
1) QUEDA LIVRE
Você já deve ter observado objetos em queda. Certa-
mente você conclui com facilidade que uma bola de ferro cai
mais rápido que uma pena, como afirmava Aristóteles. Sabe-
mos que isso ocorre porque o ar exerce um efeito retardador
que depende de alguns fatores, dentre eles a área de contato
do corpo com o ar. Chama-se queda livre, a queda dos corpos
sem a presença do ar (no vácuo) ou com a resistência do ar
desprezível. Neste caso, todos os corpos de qualquer peso
ou forma abandonados da mesma altura, nas proximidades
da superfície da terra, caem ao mesmo tempo (juntos). Esse
movimento é conhecido como Queda Livre.
a) Em presença de resistência do ar, a aceleração da
pedra é maior do que a do papel.
b) Na ausência de resistência do ar, tanto a pedra quan-
to o papel possuem a mesma aceleração.
c) Na presença da resistência do ar, a pedra, se aban-
donada da mesma altura que o papel, chega primeiro
na base do tubo. Sem a resistência do ar, a pedra e o
papel chegam juntos à base do tubo.
Contextualizando:
O astronauta David S. Satt, na superfície da Lua,
deixa cair um martelo e uma pena, comprovando que,
na ausência da resistência do ar, a aceleração da gra-
vidade é a mesma para todos os corpos.
Na Queda Livre, o objeto cai numa trajetória retilínea e
com aceleração constante (M.R.U.V.). A aceleração é a da gra-
vidade cujo valor ao nível do mar e a uma latitude de 45o, é:
Observação:
Na resolução dos exercícios, vamos arredondar a
aceleração da gravidade para 10m/s2.
Observe pela fotografia estroboscópica acima que a
maça vai aumentando sua velocidade (as imagens da maçã
vão se distanciando).
182
1.1) FUNÇÕES HORÁRIAS
Sendo a queda livre um M.R.U.V., podemos aplicar
as funções já vistas na subunidade anterior.
Observação:
Equação de Torricelli
v2 = v0
2 + 2aΔS ⇒⇒⇒⇒⇒ v2 = 2gH
1.2) DIAGRAMAS HORÁRIOS
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Observação:
Propriedade Especial para corpos que caem a
partir do repouso:
Um corpo caindo livremente a partir do repouso per-
corre distâncias proporcionais aos números ímpares, em
intervalos de tempo iguais.
Se o intervalo de tempo for de 1 segundo, teremos:
2) LANÇAMENTO VERTICAL PARA CIMA
Lançando um objeto verticalmente para cima, obser-
vamos a trajetória retilínea e o movimento uniformemente
variado no caso de desprezarmos a resistência do ar.
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2.1 FUNÇÕES HORÁRIAS
 
Observação:
v2 = v0
2 – 2gh
2.2 DIAGRAMAS HORÁRIOS
2.3) PROPRIEDADES DO LANÇAMENTO VERTICAL
1°) No ponto mais alto da trajetória temos:
• Altura máxima atingida
• Velocidade intantânea nula (v = 0)
• Aceleração escalar não nula (|a| = |g|)
2°) Num ponto qualquer da trajetória com altura me-
nor que a altura máxima, o móvel passará na subida e na
descida com velocidade escalar de mesmo módulo, porém,
com sinais diferentes.
3°) ΔtSubida= ΔtDescida quando o móvel retorna ao ponto
de lançamento.
4°) Denomina-se tempo de voo a soma dos tempos
de subida e descida.
ΔΔΔΔΔtVoo = ΔΔΔΔΔtSubida+ ΔΔΔΔΔtDescida
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Contextualizando:
Em aviação, ao efetuar manobras, o piloto pode
sentir diferentes sensações: em algumas, como no
loop, o sangue tende a se concentrar nos seus mem-
bros inferiores. Nesse caso, diz-se que o piloto sofre
"g positivo". Em outras situações, como no loop inver-
tido, o sangue tende a se concentrar na cabeça. Diz-
se então que o piloto sofre "g negativo".
Um piloto de avião, em manobras arriscadas, pode
suportar até 10g durante 3 s. Entretanto,sob essa ace-
leração, o avião, dependendo de sua estrutura, pode-
rá até perder as asas.
Uma pessoa sujeita a acelerações da ordem de 3g
positivo, por algum tempo, terá grande dificuldade para
levantar os braços e as pernas. Se a aceleração esti-
ver entre 4g e 5,5g positivos, ela poderá perder com-
pletamente a visão, chegando a perder a consciência
se essa condição perdurar por mais de 5s.
(RAMALHO JUNIOR, Francisco; FERRARO, Nicolau
Gilberto; SOARES, Paulo Antônio Toledo. Os Fundamen-
tos da Física 1. São Paulo: Ed. Moderna, 2007)
STEPHEN HAWKING VIVENCIA GRAVIDADE ZERO:
'PODIA TER CONTINUADO SEM PARAR'
O astrofísico britânico Stephen Hawking, que pas-
sou a vida refletindo sobre a gravidade no Universo, fi-
cou por alguns minutos livre de sua cadeira de rodas
nesta quinta-feira e experimentou a falta de gravidade,
voando com liberdade, algo que classificou de "assom-
broso".
"Foi assombroso... Podia ter continuado sem pa-
rar", relatou Hawking, de 65 anos, após aterrissar de uma
viagem de duas horas em um Boeing 727-200 modifica-
do e de paredes acolchoadas que, voando em parábo-
las como uma montanha-russa, produz períodos de au-
sência de gravidade.
A nave decolou esta tarde do Cabo Cañaveral, sob
o comando de pilotos especialmente treinados, que su-
biram em um ângulo de 45 graus até os 10.000 metros
de altitude, antes de descer, abruptamente, a 2.500
metros, dando aos passageiros 30 segundos de falta de
gravidade.
O avião repetiu a manobra oito vezes, dando a
Hawking um total de quatro minutos de ausência de gra-
vidade. "O professor Hawking alçou vôo e hoje tocou o
céu", disse Peter Diamandis, dono da empresa Zero-G.
O cientista viajou sentado durante a subida e, uma
vez que a nave começou a descer, foi levantado por duas
pessoas que o guiaram no ar, enquanto flutuava livremente.
"Espaço, lá vou eu", disse o cosmólogo, antes de
decolar no avião do Centro Espacial Kennedy, no Cabo
Cañaveral (leste da Flórida).
"Estou em cadeira de rodas há quase quatro déca-
das. A oportunidade de flutuar livremente, sem gravidade,
será maravilhosa", continuou Hawking, antes da viagem.
Hawking, autor do best-seller "Uma breve história
do tempo", sobre a origem do Universo e a criação do
espaço-tempo, em que também aborda temas mais am-
plos como a metafísica, está quase totalmente paralisa-
do por causa de uma doença degenerativa e depende
de um computador e de um sintetizador para falar.
"É muito especial para mim voar com ausência de
gravidade", celebrou o cosmólogo, vestido com um uni-
forme azul, nesta entrevista coletiva anterior à decola-
gem.
"Há tempos quero viajar ao espaço. Um vôo de gra-
vidade zero é o primeiro passo para uma viagem espaci-
al", acrescentou Hawking, que espera, eventualmente,
realizar este sonho em 2009 a bordo da nave da "Virgin
Galactic", desenvolvida pelo empresário britânico Richard
Branson para realizar vôos suborbitais, nos quais o apa-
relho chega ao espaço, mas não em uma órbita estável.
Quatro médicos e duas enfermeiras acompanha-
ram o cientista a bordo do avião "G-Force One", conhe-
cido popularmente como "vomit comet" (cometa do vô-
mito), devido aos efeitos desagradáveis que os passa-
geiros que se submetem à experiência podem sentir.
A Corporação Gravidade Zero (Zero-G), operado-
ra do avião, normalmente cobra 3.500 dólares por pas-
sageiro por um vôo de 90 minutos, mas o catedrático da
Universidade de Cambridge viajou de graça, enquanto
os outros oito lugares na aeronave foram leiloados, e o
dinheiro, destinado a obras de caridade.
186
Na quarta-feira, a tripulaçãoda nave fez um vôo de
testes com um menino de 14 anos no lugar do cientista.
Os vôos comerciais da Zero-G são similares aos
que a agência espacial americana (Nasa) realizou nos
últimos 40 anos para treinar astronautas. A Zero-G diz
que a experiência dentro do avião é similar à de um salto
em queda livre antes de se abrir o pára-quedas.
Stephen Hawking comentou que com sua experi-
ência quer promover o interesse do público sobre os vôos
espaciais, que segundo ele serão importantes para o fu-
turo da humanidade.
"Acho que a raça humana não terá futuro se não
voar ao espaço", sentenciou. "Acho que a vida na Terra
está cada vez mais em risco de desaparecer por um de-
sastre como o aquecimento global, a guerra nuclear, um
vírus desenvolvido geneticamente ou outros perigos",
acrescentou.
Hawking, titular da Cátedra Lucasiana de Matemá-
tica da Universidade de Cambridge - cargo que foi ocu-
pado por sir Isaac Newton - sofre de uma doença
degenerativa, a esclerose lateral amiotrófica,
diagnosticada quando ele tinha 22 anos.
A doença o mantém preso a uma cadeira de ro-
das, mas não impediu que o cientista desenvolvesse tra-
balhos sobre cosmologia teórica, gravidade quântica, a
natureza do espaço e do tempo, a teoria do "Big Bang" e
os buracos negros.
http://g1.globo.com/noticias/brasil 26/04/2007
01. Complete as lacunas a seguir.
I. Chama-se queda livre, a queda dos corpos sem a
presença do ___________ (no _____) ou com a
____________ do ar desprezível.
II. Ao abandonarmos uma pedra e uma folha de papel
aberta no ar, a aceleração da pedra é ___________
que a da folha de papel.
III. Ao abandonarmos uma pedra e uma folha de pa-
pel aberta no vácuo, a aceleração da pedra é
__________ a da folha de papel. Essa aceleração é
chamada aceleração da ___________, cujo valor nas
proximidades da superfície da Terra é aproximada-
mente _________ m/s2.
02. Um dos astronautas que desceu na Lua fez a seguin-
te experiência: Abandonou um martelo e uma pena,
de uma mesma altura. Eles tocaram o solo lunar ao
mesmo tempo? Justifique sua resposta.
03. Calcule em cada situação o que falta.
 
04. Uma pedra é abandonada de 80m de altura em rela-
ção ao solo. Desprezando a resistência do ar:
a) Determine o tempo de queda.
b) Determine a velocidade de chegada ao solo.
c) Esboce os gráficos h x t, v x t e a x t.
Considere g = 10m/s2.
05. Complete as lacunas em branco.
06. Uma pedra abandonada na lua, de um ponto situado
a 80m de altura, demora 10s para atingir a superfície
desse satélite. determine:
a) a aceleração da gravidade.
b) o intervalo de tempo que uma pedra, com o dobro
da massa da primeira, demoraria para cair da mesma
altura.
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07. Um corpo é lançado verticalmente para cima e fica sub-
metido somente à ação da gravidade. Verifique se as
afirmações a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F).
I. ( ) A velocidade do corpo no ponto de altura
máxima é zero instantaneamente.
II. ( ) A velocidade do corpo é constante para
todo o percurso.
III. ( ) O tempo necessário para a subida é igual
ao tempo de descida, sempre que o corpo é lan-
çado de um ponto e retorna ao mesmo ponto.
IV. ( ) A aceleração do corpo é maior na descida
do que na subida.
V. ( ) Para um dado ponto na trajetória, a velo-
cidade tem os mesmos valores, em módulo, na
subida e na descida.
08. Um projétil é lançado verticalmente para cima com
velocidade 20m/s. Desprezando a resistência do
ar e admitindo g = 10m/s2, determine:
a) a função da posição;
b) a altura máxima atingida;
c) O instante que o projétil atinge a altura máxima;
d) o gráfico posição x tempo;
e) a função da velocidade;
f) o gráfico velocidade x tempo;
g) o instante em que o projétil atinge o solo;
h) a velocidade com que ele atinge o solo.
09. Próximo da superfície terrestre e no vácuo, lançamos
verticalmente para cima um corpo com velocidade
escalar de módulo 30m/s. A aceleração da gravidade
é g = 10m/s2. Considerando que o corpo tenha sido
lançado do solo, determine:
a) o tempo de subida (tS);
b) a máxima altura (H).
10. De um mesmo local da superfície da Lua, são lançadas
verticalmente para cima, com a mesma velocidade
inicial, duas pedras A e B,de massas respectivamen-
te iguais a 10 g e 500 g. Compare:
a) as alturas máximas atingidas pelas pedras A e B;
b) os tempos que elas demoram para retornar ao lo-
cal do lançamento.
01. (CPS-SP) Leia o texto:
No seu balão "Brasil" ou em outro qualquer, San-
tos Dumont sentia-se duplamente gratificado: pelo
prazer do esporte e porque cada subida trazia-lhe
sempre novas experiências. Num grande balão que
mandara construir, partiu com os amigos para uma
ascensão. A partida foi lenta, pois havia pouco vento
mas, até os 1 000 metros de altura, tudo corria bem. A
1 500 metros, quase estacionário, largaram os sacos
de lastro a fim de atingir os 2 000 metros de altura.
 (Texto adaptado de "A vida de grandes brasileiros - 7:
SANTOS DUMONT". São Paulo: Editora Três, 1974)
Supondo que Santos Dumont larga simultaneamente
dois sacos de lastro e que a massa de um saco é o
dobro da massa do outro, pode-se afirmar que, des-
prezando a resistência do ar,
(A) o saco de lastro de maior massa atinge o solo
em um tempo menor.
(B) o tempo de queda dos sacos de lastro é o mes-
mo, independentemente de suas massas.
(C) o saco de lastro de maior massa apresenta maior
aceleração do que o de menor massa.
(D) o saco de lastro maior massa atinge o solo com
o dobro da velocidade do de menor massa.
(E) os dois sacos, ao atingirem o solo, apresentam
a mesma energia cinética.
(UERJ) Com base no texto abaixo, responda as
questões de números 02 e 03.
"Observo uma pedra que cai de uma certa altura a
partir do repouso e que adquire, pouco a pouco, novos
acrés- cimos de velocidade (...) Concebemos no espírito
que um movimento é uniforme e, do mesmo modo, conti-
nuamente acelerado, quando, em tempos iguais quaisquer,
adquire aumentos iguais de velocidade (...) O grau de velo-
cidade adquirido na segunda parte de tempo será o dobro
do grau de velocidade adquirido na primeira parte."
(GALLILEI, Galileu, Duas Novas Ciências, São Paulo: Nova
Stella Editorial e Chod Editorial, s.d.)
02. A grandeza física que é constante e a que varia line-
armente com o tempo são, respectivamente:
(A) aceleração e velocidade
(B) velocidade e aceleração
(C) força e aceleração
(D) aceleração e força
(E) tempo e velocidade
03. Suponha que, durante o ultimo segundo de queda, a
pedra tenha percorrido uma distancia de 45 m. Con-
siderando g = 10 m/s2 e que a pedra partiu do repou-
so, pode-se concluir que ela caiu de uma altura, em
metros, igual a:
(A) 105 (B) 115
(C) 125 (D) 135
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(UERJ) Com base no texto abaixo, responda as
questões de números 04 e 05.
Em um jogo de voleibol, denomina-se tempo de voo
o intervalo de tempo durante o qual um atleta que salta
para cortar uma bola está com ambos os pés fora do chão,
como ilustra a fotografia. Considere um atleta que conse-
gue elevar o seu centro de gravidade a 0,45 m do chão e
a aceleração da gravidade igual a 10m/s2.
04. O tempo de vôo desse atleta, em segundos,
corresponde aproximadamente a:
(A) 0,1 (B) 0,3
(C) 0,6 (D) 0,9
05. A velocidade inicial do centro de gravidade desse atleta
ao saltar, em metros por segundo, foi da ordem de:
(A) 1 (B) 3
(C) 6 (D) 9
06. (UERJ) Foi veiculada na televisão uma propaganda
de uma marca de biscoitos com a seguinte cena: um
jovem casal estava em um mirante sobre um rio e
alguém deixa cair lá de cima um biscoito. Passados
alguns segundos, o rapaz se atira do mesmo lugar de
onde caiu o biscoito e consegue agarra-lo no ar. Em
ambos os casos, a queda é livre, as velocidades inici-
ais são nulas, a altura da queda é a mesma e a resis-
tência do ar é nula. Para Galileu Galilei, a situação
física desse comercial seria interpretada como:
(A) impossível porque a altura da queda não era
grande o suficiente.
(B) possível, porque o corpo mais pesado cai com
maior velocidade.
(C) possível, porque o tempo de queda de cada
corpo depende de sua forma.
(D) impossível,porque a aceleração da gravidade
não depende da massa dos corpos.
07. (UFES) Um projétil é disparado do solo, verticalmen-
te para cima, com velocidade inicial igual a 200 m/s.
No local temos g = 10 m/s2, Desprezando-se a resis-
tência do ar, a altura máxima alcançada pelo projétil e
o tempo necessário para alcançar-lá são respectiva-
mente
(A) 4 000 m; 40 s (B) 4 000 m; 20 s
(C) 2 000 m; 40 s (D) 2 000 m; 20 s
(E) 2 000 m; 10 s
08. (UFF) Da janela de seu apartamento, a uma altura h
do solo, um garoto lança uma pedra verticalmente para
cima. A pedra atinge o solo 3,0s depois de lançada.
A figura representa como a velocidade escalar da
pedra varia em função do tempo entre o instante que
foi lançada (t = 0s) e o instante em que ela chega ao
solo (t = 3,0s).
Se desprezarmos a resistência do ar, concluiremos
que o valor de h é:
(A) 40m. (B) 25m.
(C) 20m. (D) 15m.
(E) 5,0m.
01. (UFLA-MG) Num espetáculo circense, o artista
posiciona-se no alto de uma plataforma, quando seu
cavalo adentra o picadeiro num movimento retilíneo
uniforme. O profissional do circo deixa-se cair verti-
calmente da plataforma e atinge exatamente a sela
do animal, o que provoca uma explosão de aplausos.
Considerando que g = 10 m/s2; a altura vertical Hh
plataforma-sela 3 m; e a velocidade do cavalo 5 m/s,
determine, em metros, a distância horizontal DH entre
sela e plataforma no momento do salto.
02. Um abacate de 400 g e uma laranja de 100 g des-
prendem se no mesmo instante de seus respectivos
galhos ambos a uma alturas 5 m em relação ao solo.
a) indique se os tempos de queda são iguais e justifi-
que sua resposta.
b) Calcule o tempo de queda do abacate.
Considere: g = 10 m/s2
03. Uma pedra é lançada do solo verticalmente para cima
e 4,0 segundos após retorna ao ponto de lançamen-
to. Considere a resistencia do ar desprezivel e
g= 10 m/s².
Calcule a altura maxima atingida pela pedra
189
04. (UNICAMP-SP) Um malabarista de circo deseja ter
três bolas no ar em todos os instantes. Ele arremessa
uma bola a cada 0,40s (g = 10m/s2).
a) Quanto tempo cada bola fica no ar?
b) Com que velocidade inicial deve o malabarista ati-
rar cada bola para cima?
c) A que altura se elevará cada bola acima de suas
mãos?
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PARTE II
MECÂNICA
UNIDADE 02
CINEMÁTICA VETORIAL
SUBUNIDADE 01
CONCEITOS BÁSICOS
1) VETORES
O vento possui tanto uma rapidez quanto uma orientação;
por isso a velocidade do vento é descrita por um vetor.
Na fotografia acima um projétil atravessa
um copo de iogurte.
Sua velocidade deve ser representada por um vetor pois
possui intensidade (500m/s), direção (horizontal) e sentido
(da esquerda para direita).
Segmentos de reta orientados usados para represen-
tar grandezas, são chamados de vetores e as grandezas
são chamadas de Grandezas Vetoriais. A palavra vetor vem
do latim vector, que tem vários significados, um deles é
"aquele que conduz".
Um vetor possui três características:
• Módulo: comprimento do vetor.
• Direção: a posição que ele ocupa no plano ou no espaço.
• Sentido: para onde ele aponta.
Veja o exemplo:
Observação 1:
Um vetor cujo módulo é igual a 1, isto é, um
vetor unitário, é chamado de versor.
Observação 2:
O vetor nulo, cujo módulo é igual a zero, é re-
presentado por .
191
Observação 3:
2) OPERAÇÕES COM VETORES
2.1) Adição
Considere os vetores , , , e representados
abaixo:
O vetor da soma (ou resultante) , dado por
 = + + + + é determinado fazendo-se coincidir a
extremidade de um com a origem do seguinte.
De acordo com a figura a seguir, o que se obtém é
uma linha segmentada, denominada linha poligonal.
Então, temos:
 = B – A = C – B
 = D – C = E – D
 = F – E
Logo:
 = (B – A) + (C – B) + (D – C) + (E – D) + (F – E)
Assim: = F – A
Na figura abaixo, está ilustrado o vetor resultante . O
segmento orientado que representa sempre fecha o polígono.
A esse método de adição de vetores damos o nome
de regra do polígono.
Observação 1:
Vale a propriedade comutativa, isto é, a ordem
dos vetores não altera o vetor soma.
Observação 2:
Se a linha poligonal dos vetores parcelas for fe-
chada, então o vetor soma será nulo, como ocorre no
caso da soma dos vetores da figura abaixo.
192
ATENÇÃO!
Lei dos cossenos e Lei dos senos
Na resolução de exercícios, frequentemente ne-
cessitaremos da Lei dos cossenos e da Lei dos senos,
as quais valem para quaisquer triângulos.
Observação 3:
Adição de dois vetores
Considere os vetores representados na figura
1.
Admitimos que seus segmentos orientados re-
presentativos tenham "origens" coincidentes no pon-
to O e que o ângulo formado entre eles seja θ.
Na figura 2, está feita a adição pela regra
do polígono:
Observe que o segmento orientado representa-
tivo do vetor resultante nada mais é que a diagonal
do paralelogramo formado.
Assim, dados dois vetores, é sempre possível
obter-se graficamente o vetor soma (resultante) pela
regra do paralelogramo.
Consideremos o caso em que obtemos a resul-
tante de vetores pela regra do paralelogramo.
Aplicando a Lei dos cossenos ao triângulo ABC,
temos:
S2 = a2 + b2 – 2ab cosα (I)
Mas θ + α = 180º, o que acarreta:
cosα = – cosθ (II)
Das igualdades (II) e (I) concluímos:
S2 = a2 + b2 – 2ab (– cosθ)
ou
S2 = a2 + b2 + 2ab cosθ
Observação 4:
Casos particulares
I) têm a mesma direção e o mesmo sentido.
Neste caso, θ = 0º; então, cosθ = 1.
S2 = a2 + b2 + 2ab ⇒⇒⇒⇒⇒ S2 = (a + b)2
S = a + b
II) têm a mesma direção e sentidos opostos.
Neste caso, θ = 180º; então, cosθ = –1.
 
S2 = a2 + b2 – 2ab ⇒⇒⇒⇒⇒ S2 = (a – b)2
S = a – b
III) são perpendiculares entre si.
Neste caso, θ = 90º; então, cosθ = 0.
 S2 = a2 + b2
(Teorema de Pitágoras)
193
IV) tem o mesmo módulo e formam entre si
um ângulo de 120º.
2.2) Subtração
Considere os vetores e representados na figura abaixo.
Admita que os segmentos orientados representativos
de e tenham "origens" coincidentes no ponto O e que o
ângulo formado entre eles seja θ.
O vetor diferença entre e ( = – ) pode ser obtido
pela soma do vetor com o oposto de : = – ⇒
 = + (– ). O oposto do vetor , ou seja, o vetor – , tem
mesmo módulo e mesma direção de , porém sentido con-
trário.
Graficamente temos:
Observe que em termospráticos podemos obter o
vetor diferença ligando-se as extremidades de e a partir
da figura 1.
ATENÇÃO!
O vetor deve apontar para a extremidade do
1º vetor da diferença.
O módulo de também fica determinado pela lei dos
cossenos.
d2 = a2 + b2 – 2ab cosθθθθθ
Observação:
Variação de uma grandeza vetorial
A subtração de dois vetores tem caráter funda-
mental no estudo da Física.
A variação de uma grandeza vetorial qualquer
( , por exemplo) é obtida subtraindo-se a grandeza
final,( ) da grandeza inicial ( 0).
 = – 0
Na ilustração abaixo, vê-se uma bola de tênis
indo no sentido de uma raquete com velocidade 
de módulo 20m/s (Figura 1) e depois retornando com
velocidade de módulo 30m/s (Figura 2). Podemos
concluir que a variação de velocidade escalar dessa
bola tem módulo igual a 10m/s.
Determinamos agora as características da vari-
ação da velocidade vetorial da bola.
2.3) Multiplicação de um número real por um vetor
O produto de um número real n, não-nulo por um vetor
 é um vetor , tal que seu módulo é dado pelo produto do
módulo de n pelo módulo de , ou seja, | | = |n| | |. Sua
direção é a mesma de , seu sentido, é o mesmo de se
n for positivo, mas oposto ao de se n for negativo.
Exemplo 1:
Admitimos, por exemplo, n = 3. Sendo o vetor
representado na figura, determinados o vetor = n :
194
Exemplo 2:
Considerando n = . Sendo o vetor representado
na figura, determinamos o vetor = n :
2.4) Decomposição cartesiana
Um vetor pode ser decomposto, quando necessá-
rio, em dois vetores componentes x e y , perpendiculares
entre si, de modo que se tenha:
ATENÇÃO!
 
 
3) DESLOCAMENTO VETORIAL OU VETOR DESLOCAMEN-
TO ( )
Considere o carro da figura abaixo numa competição
de automobilismo em que a pista possui uma curva.
O deslocamento do carro é um vetor que aponta
da posição inicial do carro no instante to para a posição final
no instante t. O módulo é a menor distância entre as
duas posições.
Para localizar o carro em sua trajetória durante esse
movimento, definimos o vetor (vetor posição) com origem
na origem do sistema de eixos Oxy e extremidade na posi-
ção ocupada pelo móvel, nesse caso 0 e . Observe que,
conhecendo o módulo, a direção e o sentido do vetor te-
remos, totalmente determinada, a posição do móvel.
No intervalo de tempo ΔΔΔΔΔt = t – t0 o vetor posição do
móvel varia de 0 para . O vetor deslocamento, ou deslo-
camento vetorial, é definido como o vetor diferença:
Observação:
 
Em trajetórias retilíneas:
4) VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA ( )
É definido pelo quociente do deslocamento vetorial
 pelo respectivo intervalo de tempo Δt.
Como Δt é um escalar positivo, a velocidade vetorial
média tem sempre a mesma direção e o mesmo sentido
que o delocamento vetorial (ambos são secantes à trajetó-
ria), como representa a figura abaixo.
195
Vamos comparar agora o módulo da velocidade
vetorial média com o módulo da velocidade escalar média.
Sabemos que: 
Lembrando que , podemos cocluir que o
módulo da velocidade vetorial média nunca excede o módulo
da velocidade escalar média.
Observação 1:
Ocorrerá o caso da igualdade quan-
do a trajetória for retilínea.
Observação 2:
Em circuitos fechados após uma volta completa:
 = Distância percorrida
Logo: 
5) VELOCIDADE VETORIAL OU VETOR VELOCIDADE INSTAN-
TÂNEA ( )
A velocidade vetorial ou vetor velocidade instantânea
é o vetor que se obtém quando, na expressão da velocida-
de vetorial média, fazemos Δt tender a zero (Δt → 0), isto é:
Essa expressão é lida como: “o vetor velocidade ins-
tantânea é o limite de quando Δt tende a zero”.
O vetor velocidade instantânea de um móvel, em um
determinado referencial, tem as seguintes características.
• Módulo: igual ao da velocidade escalar instan-
tânea V, isto é, l l = V;
• Direção: igual à da reta tangente à trajetória no
instante considerado;
• Sentido: coincidente com o sentido do movimento.
ATENÇÃO:
Um vetor varia quando qualquer um dos seus
elementos varia (módulo, direção, sentido); logo, a ve-
locidade vetorial varia, quando um desses elementos
varia. Sendo assim:
• Trajetória curva ⇔ variação da direção da ve-
locidade vetorial.
• Movimento variado ⇔ variação do módulo da
velocidade vetorial.
Observação:
O MRU, em particular, apresenta velocidade
vetorial constante, mas se o MU tiver trajetóra
curvilínea, a velocidade vetorial será variável.
6) ACELERAÇÃO VETORIAL MÉDIA ( )
Voltemos ao exemplo do carro na competição de au-
tomobilismo.
Do instante to para o instante t o carro experimenta
uma variação de velocidade vetorial , dada por:
A aceleração vetorial média do carro no intervalo de t0
a t é definida por:
196
Como Δt é um escalar positivo, a aceleração vetorial
média ( m)tem sempre a mesma direção e o mesmo senti-
do que a variação da velocidade Δ .
7) ACELERAÇÃO VETORIAL OU VETOR ACELERAÇÃO INSTAN-
TÂNEA ( )
A aceleração vetorial instantânea é o vetor que se
obtém quando, na expressão da aceleração vetorial média,
fazemos Δt tender a zero (Δt → 0), isto é:
Lembre-se que a cada instante, a velocidade vetorial
 de um corpo em movimento, pode variar em módulo e
em direção. Por esse motivo a aceleração vetorial é de-
composta em duas acelerações: aceleração tangencial t,
que está relacionada com a variação do módulo de , e a
aceleração centrípeta ou aceleração normal ( cp ou n), que
está relacionada com a variação da direção de . Logo:
7.1) Componente tangencial da aceleração ou acele-
ração tangencial ( t )
• Módulo: igual ao módulo de aceleração escalar:
l tl = lal
• Direção: sempre tangente à trajetória.
• Sentido: igual ao da velocidade vetorial se o movi-
mento for acelerado, e oposto ao da velocidade vetorial
e o movimento for retardado.
ATENÇÃO!
Nos movimentos uniformes, o módulo da velo-
cidade vetorial não varia e, portanto, a aceleração
tangencial é nula.
A aceleração tangencial existe somente em mo-
vimentos variados e independe do tipo de trajetória.
7.2 Componente normal da aceleração ou aceleração
centrípeta ( cp)
• Módulo: , na qual V é a velocidade escalar
do móvel e R é o raio da trajetória.
• Direção: perpendicular a velocidade vetorial em cada
ponto.
• Sentido: apontado para "dentro" da curva.
Podemos concluir que:
• Vetorialmente: = t + cp
• Algebricamente: a2 = t
2
 + a
2
cp
(Teorema de Pitágoras)
Observação:
Análise da aceleração vetorial
• M.R.U. (Movimento Retilíneo Uniforme)
197
• M.R.U.A. (Movimento Retilíneo Uniformemen-
te Acelerado)
• M.R.U.R. (Movimento Retilíneo Uniformemen-
te Retardado)
• M.C.U. (Movimento Curvilíneo Uniforme)
• M.C.U.A. (Movimento Curvilíneo Uniformemente
Acelerado)
• M.C.U.R. (Movimento Curvilíneo Uniformemente
Retardado)
01. Determine o módulo da resultante dos vetores em
cada caso a seguir:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
198
02. Determine o módulo do vetor tal que = – .
03. Em cada caso a seguir determine o vetor = – 
sabendo que l l = 5 e l l = 6.
a)
b)
c)
04. Dado os vetores e , represente graficamente os
vetores: – 2 , 3 – 2 , 3 + 2 .
05. Um avião sobe com velocidade de 250m/s e com 30º de
inclinação em relação à horizontal, conforme a figura.
Determine os componentes da velocidade na horizon-
tal (eixo X) e na vertical (eixo y).
Dados: 
06. Em cada caso a seguir, trace o vetor deslocamento
de A para B e determine seu módulo.
07. Três cidades A,B e C,situadas em uma região
plana,ocupam as vértices de um triângulo equilátero
de 80 km de lado. Um carro viaja de A para C ,pas-
sando pelo ponto B .Se o intervalo de tempo gasto no
percurso foi de 1,0 h, determine em km/h:
a) o valor absoluto da velocidade escalar média.
b) a intensidade da velocidade vetorial média.
08. Duas partículas X e Y partem, simultaneamente, do
ponto A, representado na figura, dirigindo-se para o
ponto B.
Enquanto a partícula Y percorre a trajetória retilínea
, X percorre a semicircunferência . Ambas par-
tem juntas ao ponto A e chegam juntas ao ponto B.
Determine a razão entre:
a) As velocidades escalares médias de x e y.
b) Os módulosdas velocidades vetoriais médias
de y e x.
09. Em cada situação a seguir, trace o vetor velocidade
do carro no instante t, sabendo que o carro segue o
sentido de A para B.
199
10. (UEPB) De acordo com os conceitos estudados em
Cinemática, complete adequadamente a coluna:
(1) Movimento retilíneo e uniforme.
(2) Movimento retilineo e uniformemente variado
(3) Movimento circular e uniforme.
(4) Movimento circular e uniformemente variado
( ) Velocidade vetorial de direção constante e
módulo variável.
( ) Velocidade vetorial constante
( ) Velocidade vetorial variável em direção e módulo
( ) Velocidade vetorial de módulo constante e dire-
ção variável.
11. A figura a seguir representa a trajetória de um ponto
material que passa pelo pontos A, B e C, com velocida-
de A, B e C de módulos VA = 8,0 m/s, VB = 12,0m/s e
VC = 16,0m/s.
Sabe-se que o intervalo de tempo gasto para esse
ponto material percorrer os trechos AB e BC é o mes-
mo e vale 10s.
Determine o módulo da aceleração vetorial média do
ponto material nos trechos AB e BC, respectivamen-
te, em m/s2.
12. O carrinho esquematizado na figura a seguir percorre
a trajetória circular da esquerda para a direita. I, II, III,
IV e V são vetores que podem estar associados ao
movimento. Indique, justificando, que vetores repre-
sentam melhor a velocidade e a aceleração do carri-
nho nos seguintes casos:
a) o movimento é acelerado;
b) o movimento é retardado;
c) o movimento é uniforme.
13. Uma pista de corrida tem sua forma indicada na figu-
ra abaixo, no qual os trechos AB e CD são são retas e
os trechos BC e DA são arcos de circunferência de
raio R. Um veículo, fazendo um teste nesta pista no
trecho AB, mantém o módulo de sua velocidade cons-
tante. Nos trechos BC e CD, tem o módulo de sua
velocidade diminuindo. Desenhe os vetores velocida-
de e aceleração nos instantes t1, t2, t3 e t4.
14. Um piloto consegue manter seu kart em movimento
uniforme numa pista circular que tem raio de 50m.
Sabendo que a velocidade escalar do kart é igual a
10m/s, determine a intensidade da aceleração vetorial.
01. (FATEC-SP) Na figura, representa-se um bloco em
movimento sobre uma trajetória curva, bem como o
vetor velocidade , o vetor aceleração e seus com-
ponentes intrínsecos, aceleração tangencial t, e ace-
leração normal n.
Analisando-se a figura, conclui-se que:
(A) O módulo da velocidade está aumentando.
(B) O módulo da velocidade está diminuindo
(C) O movimento é uniforme
(D) O movimento é necessariamente circular
(E) O movimento é retilíneo.
200
02. (UFF) Para um bom desempenho em corridas auto-
mobilísticas, esporte que consagrou Ayrton Senna
como um de seus maiores praticantes, é fundamental
que o piloto faça o aquecimento dos pneus nas pri-
meiras voltas.
Suponha que esse aquecimento seja feito no trecho
de pista exibido na figura abaixo, com o velocímetro
marcando sempre o mesmo valor.
Assinale a opção que identifica corretamente como
os módulos das acelerações do carro nos pontos A, B
e C assinalados na figura estão relacionados.
(A) aA = aB > aC ≠ 0
(B) aA = aB = aC = 0
(C) aC > aA > aB = 0
(D) aA > aC > aB = 0
(E) aA = aB = aC ≠ 0
03. (UFF) Na prova de lançamento de martelo nas Olim-
píadas, o atleta coloca o martelo a girar e o solta quan-
do atinge a maior velocidade que ele lhe consegue
imprimir. Para modelar este fenômeno, suponha que
o martelo execute uma trajetória circular num plano
horizontal. A figura abaixo representa esquematicamente
esta trajetória enquanto o atleta o acelera, e o ponto A é
aquele no qual o martelo é solto.
Assinale a opção que representa corretamente a tra-
jetória do martelo, vista de cima, após ser solto.
04. Uma partícula movimenta-se ao longo de uma traje-
tória circular com velocidade escalar constante. A fi-
gura representa a partícula no instante em que passa
pelo ponto P.
As setas que representam a velocidade vetorial e a ace-
leração vetorial da partícula em P são, respectivamente:
(A) 1 e 2. (B) 3 e 5.
(C) 1 e 4. (D) 3 e 6.
(E) 1 e 5.
05. (UERJ) Considere o equema do circuito de Interlagos
abaixo. A velocidade vetorial média de uma carro de
formula 1, em uma volta completa do circuito,
corresponde a:
(A) 0 (B) 24
(C) 191 (D) 240
06. (UFMG) Um ventilador acaba de ser desligado e está
parando vagarosamente, girando no sentido horário.
A direção e o sentido da aceleração da pá do ventila-
dor no ponto P é:
(A) (B)
(C) (D)
E)
201
07. (ENEM)
O Brasil pode se transformar no primeiro país das
Américas a entrar no seleto grupo das nações que dis-
põem de trens-bala. O Ministério dos Transportes prevê
o lançamento do edital de licitação internacional para a
construção da ferrovia de alta velocidade Rio-São Pau-
lo. A viagem ligará os 403 quilômetros entre a Central do
Brasil, no Rio, e a Estação da Luz, no centro da capital
paulista, em uma hora e 25 minutos.
Disponível em: http://oglobo.globo.com.
Acesso em: 14 jul. 2009.
Devido à alta velocidade, um dos problemas a ser en-
frentado na escolha do trajeto que será percorrido pelo
trem é o dimensionamento das curvas. Consideran-
do-se que uma aceleração lateral confortável para os
passageiros e segura para o trem seja de 0,1g, em
que g é a aceleração da gravidade (considerada igual
a 10m/s2), e que a velocidade do trem se mantenha
constante em todo o percurso, seria correto prever
que as curvas existentes no trajeto deveriam ter raio
de curvatura mínimo de, aproximadamente,
(A) 80m. (B) 430m.
(C) 800m. (D) 1.600m.
(E) 6.400m.
08. (ENEM) Um professor utiliza essa história em quadri-
nhos para discutir com os estudantes o movimento
de satélites. Nesse sentido, pede a eles que anali-
sem o movimento do coelhinho, considerando o
módulo da velocidade constante.
Desprezando a existência de forças dissipativas, o
vetor aceleração tangencial do coelhinho, no terceiro
quadrinho, é
(A) nulo.
(B) paralelo à sua velocidade linear e no mesmo
sentido.
(C) paralelo à sua velocidade linear e no sentido
oposto.
(D) perpendicular à sua velocidade linear e dirigido
para o centro da Terra.
(E) perpendicular à sua velocidade linear e dirigido
para fora da superfície da Terra.
01 (UNICAMP) A figura a seguir representa um mapa da
cidade de Vectória, o qual indica a direção das mãos
do tráfego. Devido ao congentionamento, os veículos
trafegam com a velocidade média de 18Km/h. Cada
quadra desta cidade mede 200m por 200m (do centro
da rua ao centro da outra rua). Uma ambulância locali-
zada em A precisa pegar um doente localizado bem no
meio da quadra em B, sem andar na contramão.
a) Qual o menor tempo gasto (em minutos) no per-
curso de A para B?
b) Qual é o módulo do vetor velocidade média (em
km/h) entre os pontos A e B?
02. A extremidade de uma das pás de um ventilador des-
creve uma circunferência de raio 0,50 m, com acele-
ração escalar de módulo 1,5 m/s2 . No instante em
que a velocidade vetorial dessa extremidade tiver
módulo igual a 1,0 m/s, calcule a intensidade de sua
aceleração vetorial.
202
PARTE II
MECÂNICA
UNIDADE 02
CINEMÁTICA VETORIAL
SUBUNIDADE 02
MOVIMENTO DE PROJÉTEIS
COMO VOA UM SCUD
O míssil Scud foi uma arma utilizada pelo Iraque
no conflito ocorrido no golfo Pérsico, entre janeiro e
fevereiro de 1991.
Lançado obliquamente da região oeste do
Iraque, a trajetória do Scud é aproximadamente um
arco de parábola. Ele atinge o apogeu a uma altitude
que varia entre 350km e 400km, descendo então em
um ângulo muito acentuado, entre 60º e 70º, com uma
velocidade acima de 4000km/h (cerca de 3,5 vezes a
velocidade do som).
QUEDA DE UM FARDO DE AJUDA HUMANITÁRIA
A figura mostra um avião se movendo horizon-
talmente com velocidade constante de 115m/s a uma
altitude de 1050m.
O avião libera um "fardo de ajuda humanitária"
que cai até atingir o solo seguindo uma trajetória pa-
rabólica (ignorando a resistência do ar). O fardo leva
aproximadamente 15 segundos para chegar ao solo.
1) LANÇAMENTO HORIZONTAL
Quando um objeto que está sob o efeito do campo
gravitacional terrestre é lançado horizontalmente, o movi-
mento descritoem sua queda pode ser decomposto em um
vertical (devido à influência da gravidade terrestre) e um
horizontal. Esse movimento será estudado particularmente
no caso de um objeto que cai de um avião em pleno vôo
(perceba que o objeto foi lançado horizontalmente com a
mesma velocidade do avião), mas as conclusões desse
estudo podem ser generalizadas para todas as demais si-
tuações de lançamento horizontal.
Abaixo, examinaremos o movimento de um pacote que
cai de um avião que descreve, na horizontal, um movimen-
to retilíneo uniforme.
Características do movimento
O avião realiza um MRU, portanto sua velocidade
vetorial ao longo da trajetória é constante.
Enquanto o pacote está no avião, ambos possuem a
mesma velocidade horizontal, e no exato instante que cai -
no instante t0 = 0 do seu movimento — a velocidade do
pacote é igual à velocidade vetorial do avião.
Ao cair, o pacote fica submetido à ação gravitacional
e, desprezando a resistência do ar, podemos concluir que
a única aceleração atuante será à gravitacional.
Se fixarmos o referencial no avião, a trajetória do pa-
cote será uma reta vertical, como mostra a figura abaixo:
Observe que na horizontal o pacote tem, em todos os
instantes, a velocidade do avião. Então, se um passageiro
(referencial) olhar para o pacote, sempre o verá na mesma
direção vertical do avião, porém se afastando dele (caindo).
203
Mas, se o referencial for fixado no chão, a trajetória
descrita será um arco de parábola, pois quem está no chão
observará dois movimentos:
• MRU da horizontal:
• MRUV da vertical (queda livre).
Dessa forma, estudar o movimento do pacote implica
em estudar a composição de dois movimentos conhecidos.
Quanto à velocidade vetorial do pacote, poderá ser
analisada segundo suas componentes horizontal e vertical.
Não podemos esquecer que os movimentos na hori-
zontal e na vertical são simultâneos e que:
• Horizontal (MRU) 
• Vertical (Queda livre) 
Observação 1:
Para intervalos de tempo iguais temos:
Observação 2:
O movimento horizontal não interfere na queda.
Sendo assim, se abandonarmos uma bola e lançar-
mos horizontalmente outra, elas cairão ao mesmo tem-
po como mostra a fotografia estroboscópica abaxo.
ATENÇÃO!
No mesmo instante:
VA < VB
2) LANÇAMENTO OBLÍQUO
Considere um goleiro cobrando o tiro de meta.
Analisando a figura, podemos concluir que:
• Como não há aceleração na direção horizontal, a
componente horizontal da velocidade permanece
constante, o que caracteriza um movimento retilíneo
uniforme nesta direção.
• Na direção do eixo y, o projétil possui aceleração
constante, o que caracteriza um movimento retilíneo
uniformemente variado nessa direção. Observe que,
na altura máxima, Vy = 0, mas o projétil possui veloci-
dade horizontal (V0x).
204
Para facilitar o estudo vamos decompor o vetor velo-
cidade segundo dois eixos ortogonais:
• Velocidade num instante qualquer:
 
• Na altura máxima: 
Assim como no lançamento horizontal, no lançamento
oblíquo os movimentos também são simultâneos, e
temos:
Observação 1:
tSUBIDA = tDESCIDA ⇒⇒⇒⇒⇒ tTOTAL = 2tSUBIDA = 2tDESCIDA
Observação 2:
Cálculo da altura máxima.
Observação 3:
Cálculo do alcance (D):
x = v0x . t ⇒ D = v0 . cosθ . tTOTAL (1)
logo: (2)
Substituindo (2) em (1), temos:
D = v0 . cosθ .
Lembrete: 2senθ . cosθ = sen(2θ)
Logo: 
A análise do movimento dos projéteis em lança-
mento oblíquo mostra que o valor (D) do alcance em
um determinado local depende de dois fatores:
• da intensidade da velocidade inicial.
• do valor do ângulo de tiro: para um determina-
do valor de v0, o alcance aumenta desde θ = 0º até
atingir um valor máximo, quando θ = 45º, diminuindo,
a seguir, quando assume valores superiores a este,
como mostra a figura a seguir.
205
Observação 4:
θ = 45º ⇒ sen(2 . 45) = sen90º = 1
Logo: θ = 45º ⇒ Alcance máximo.
Observação 5:
θ1 + θ2 = 90º ⇒ Alcances iguais
01. Considere uma bolinha lançada como na figura.
Classifique as afirmativas abaixo como verdadeiras
(V) ou falsas (F).
I. ( ) Na horizontal o movimento da bolinha ocor-
re com velocidade constante (MRU).
II. ( ) Na vertical a bolinha cai em queda livre.
III. ( ) O movimento na vertical da bolinha é de-
pendente do movimento na horizontal.
IV. ( ) Os movimentos na horizontal e na vertical
são simultâneos.
02. No instante t0 = 0, uma pedra foi lançada horizontal-
mente com velocidade V0 = 30m/s, a partir da alura
h = 80m.
Desprezando influências do ar e considerando
g = 10m/s2;
a) Calcule o instante t em que a pedra chega ao chão.
b) Calcule a distância d percorrida pela pedra na ho-
rizontal, até chegar ao chão.
c) Determine os módulos das componentes horizon-
tal (vx) e vertical (vy) da velocidade da pedra imediata-
mente antes dela tocar o chão.
d) Determine a velocidade (v) da pedra, imediatamente
antes de tocar o chão.
03. A figura mostra as fotografias estroboscópicas dos
movimentos de duas bolas. A velocidade inicial da
primeira é nula (no ponto P) e a segunda tem veloci-
dade inicial paralela ao eixo x (no ponto Q). A
frequência do estroboscópio é desconhecida.
Qual (quais) das seguintes afirmações podem ser clas-
sificadas como verdadeiras a partir de uma simples
análise das fotografias?
I. ( ) A aceleração de cada bola é paralela ao
eixo y.
II. ( ) As duas bolas caem com acelerações
iguais.
III. ( ) As bolas têm massas iguais.
IV. ( ) As bolas chegarão juntas ao solo.
04. Em um campo de futebol, uma bola foi chutada no
instante t0=0, adquirindo uma velocidade inicial v0. As
componentes dessa velocidade na horizontal e na
vertical valem v0x = 24m/s e v0y = 18m/s, respectiva-
mente.
206
Desprezando a resistência do ar e considerando
g=10m/s2, calcule:
a) A velocidade da bola no ponto mais alto de sua
trajetória;
b) O instante ts em que a bola passa pelo ponto mais
alto de sua trajetória;
c) A altura máxima H;
d) O alcance horizontal A.
05. Um trem de brinquedo, movendo-se com velocidade
constante sobre trilhos retilíneos e horizontais, vai
passar pelo túnel AB.
Uma mola comprimida e disposta verticalmente lança
para cima uma bola de aço, que sai pela chaminé do
trem quando esta está prestes a entrar no túnel. Sa-
bendo que a influência do ar nesse experimento é
desprezível e que o alcance horizontal da bola é
ligeiramente maior que o comprimento AB do túnel
(a bola não colide com o túnel), analise as seguintes
afirmações:
I. A trajetória da bola em relação aos trilhos é parabó-
lica.
II. A trajetória da bola em relação ao trem é retilínea e
vertical.
III. A velocidade vetorial inicial da bola, em relação
aos trilhos, é vertical.
IV. No ponto de altura máxima, a velocidade da bola é
nula em relação aos trilhos.
V. No ponto de altura máxima, a velocidade da bola é
nula em relação ao trem, mas, em relação aos trilhos,
é igual à do trem.
VI. Quando o trem está saindo do túnel, a bola cai em
sua chaminé.
VII. O valor aproximado do comprimento AB do
túnel pode ser cal-culado multiplicando-se a velo-
cidade v do trem pelo tempo T durante o qual a
bola esteve em movimento livre.Dê como resposta
a soma dos números associados às afirmações
corretas.
Quais são as verdadeiras?
06. Um jogador de basquete lança a bola em direção a
cesta.
Marque nos pontos 1, 2 e 3 os vetores velocidade ( )
e aceleração ( ).
01. (VUNESP-SP) Duas pequenas esferas idênticas, 1 e
2, são lançadas do parapeito de uma janela, perpen-
dicularmente à parede, com velocidades horizontais
1 e 2, com v2 > v1, como mostra a figura, e caem sob
a ação da gravidade.
A esfera 1 atinge o solo num ponto situado à distân-
cia x1 da parede, t1 segundos depois de abandonar o
parapeito, e a esfera 2, num ponto situado à distância
x2 da parede, t2 segundos depois de abandonar o pa-
rapeito. Desprezando a resistência oferecida pelo ar
e considerando o solo plano e horizontal, podemos
afirmar que:
(A) x1 = x2 e t1 = t2. (B) x1 < x2 e t1 < t2.
(C) x1 = x2 e t1 > t2. (D) x1 > x2 e t1 < t2.
(E) x1 < x2 et1 = t2.
02. (UFV-MG) A figura abaixo mostra três trajetórias de
uma bola de futebol que é chutada de um mesmo
ponto.
Sejam “t” o tempo de permanência da bola no ar, “Vv”
a componente vertical da velocidade inicial da bola e
“Vh” a componente horizontal da velocidade inicial. Em
relação a essas três grandezas físicas e consideran-
do as três trajetórias a, b e c anteriores, livres da re-
sistência do ar, pode-se concluir que:
(A) ta<tb<tc, Vva=Vvb=Vvc, Vha=Vhb=Vhc.
(B) ta=tb=tc, Vva<Vvb<Vvc, Vha<Vhb=Vhc.
(C) ta=tb=tc, Vva=Vvb=Vvc, Vha<Vhb<Vhc.
(D) ta=tb=tc, Vva=Vvb=Vvc, Vha>Vhb>Vhc.
(E) ta<tb<tc, Vva<Vvb<Vvc, Vha=Vhb>Vhc.
03. (UERJ) Quatro bolas são lançadas horizontalmente
no espaço, a partir da borda de uma mesa que está
sobre o solo. Veja na tabela abaixo algumas caracte-
rísticas dessas bolas.
207
A relação entre os tempos de queda de cada bola
pode ser expressa como:
(A) t1 = t2 < t3 = t4 (B) t1 = t2 > t3 = t4
(C) t1 < t2 < t3 < t4 (D) t1 = t2 = t3 = t4
04. (UERJ) Três blocos de mesmo volume, mas de mate-
riais e de massas diferentes, são lançados obliquamen-
te para o alto, de um mesmo ponto do solo, na mesma
direcão e sentido e com a mesma velocidade.
Observe as informações da tabela:
A relação entre os alcances A1, A2 e A3 esta´ apresen-
tada em:
(A) A1 > A2 > A3 (B) A1 < A2 < A3
(C) A1 = A2 > A3 (D) A1 = A2 = A3
(UERJ) Com base no texto abaixo, responda as
questões de números 05 e 06.
Três bolas - X, Y e Z - são lançadas da borda de
uma mesa, com velocidades iniciais paralelas ao solo e
mesma direção e sentido.
A tabela abaixo mostra as magnitudes das massas
e das velocidades iniciais das bolas.
05. As relações entre os respectivos alcances horizontais
Ax, Ay e Az das bolas X, Y e Z, com relação à borda da
mesa, estão apresentadas em:
(A) Ax < Ay < Az (B) Ay = Ax = Az
(C) Az < Ay < Ax (D) Ay < Az < Ax
06. As relações entre os respectivos tempos de queda tx,
ty e tz das bolas X, Y e Z estão apresentadas em:
(A) tx < ty < tz (B) ty < tz < tx
(C) tz < ty < tx (D) ty = tx = tz
07. (UFLA-MG) Uma pessoa caminha numa trajetória
retilínea e horizontal a uma velocidade constante de
0,80 m/s. Ela arremessa para cima, regularmente, uma
bolinha, e torna a pegá-la na mesma altura do lança-
mento anterior. A cada arremesso, a bolinha atinge a
altura de 1,25 m (considere g= 10m/s² ).
Quantos metros a pessoa caminhou até concluir 10
arremessos?
(A) 7,0 m (B) 7,5 m
(C) 8,0 m (D) 8,3 m
(E) 8,5 m
08. (FUVEST-SP) Dois rifles são disparados com os ca-
nos na horizontal, paralelos ao plano do solo e ambos
à mesma altura acima do solo. À saída dos canos, a
velocidade da bala do rifle A é três vezes maior que a
velocidade da bala do rifle B. Após intervalos de tempo
tA e tB, as balas atingem o solo a, respectivamente, dis-
tâncias dA e dB das saídas dos respectivos canos.
Despresando-se a resistência do ar, pode-se afirmar que:
(A) tA = tB, dA = dB.
(B) tA = . tB, dA = dB.
(C) 3tA = tB, dA = dB.
(D) tA = tB, dA = 3dB.
(E) tA = 3tB, dA = 3dB.
09. (UFMG) Um corpo P é lançado horizontalmente de
uma determinada altura. No mesmo instante, um ou-
tro corpo Q é solto em queda livre, a partir do repou-
so, dessa mesma altura, como mostra a figura.
Sejam vP e vQ os módulos das velocidades dos cor-
pos P e Q, respectivamente, imediatamente antes de
tocarem o chão, e tP e tQ os tempos despendidos por
cada corpo nesse percurso.
Despreze os efeitos da resistência do ar. Nessas con-
dições, podese afirmar que:
(A) vP > vQ e tP = tQ
(B) vP > vQ e tP > tQ
(C) vP = vQ e tP = tQ
(D) vP = vQ e tP > tQ
208
01. (UFV-MG) Um avião de carga voa a uma altitude h
igual a 320 m, à velocidade de 100 m/s. Ele deixa cair
um pacote que deve atingir um barco deslocando-se
a 20 m/s na mesma direção e sentido do avião. A que
distância horizontal x, atrás do barco, o avião reverá
abandonar o pacote?
Considere g = 10 m/s² e despreza influências do ar
no movimento do pacote.
02. (UNICAMP) O famoso salto duplo twist carpado de
Daiane dos Santos foi analisado durante um dia de
treinamento no Centro Olímpico em Curitiba, através
de sensores e filmagens que permitiram reproduzir a
trajetória do centro de gravidade de Daiane na direção
vertical (em metros), assim como o tempo de duração
do salto. De acordo com o gráfico abaixo, determine:
a) A altura máxima atingida pelo centro de gravi-
dade de Daiane.
b) A velocidade média horizontal do salto, saben-
do-se que a distância percorrida nessa direção
é de 1,3m.
c) A velocidade vertical de saída do solo.
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