173_200_Matematica_2_7_ano_2020

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PARTE 04
ESTATÍSTICA
UNIDADE 1
INTRODUÇÃO
A palavra Estatística vem do latim status.
Desde a Antiguidade, vários povos já registravam muitas informações como número de habi-
tantes, de nascimentos, estimavam riquezas entre outros, na Idade Média, colhiam informações
com objetivo de cobrar impostos, quantificavam armas para guerra. No século XVI, surgiram as
primeiras análises de fatos sociais, como batizados, casamentos, funerais, originando as principais
tabelas e números relativos.
Já no século XVIII, o estudo desses fatos ganhou, aos poucos, feição científica. As tabelas
tornaram-se mais complexas, criaram-se as representações gráficas e o cálculo das probabilidades
e a Estatística deixou de ser simples catalogação de dados numéricos coletivos.
Estatística é uma ciência exata que visa fornecer um aporte ao analista para coletar, organizar,
resumir, analisar e apresentar dados na forma de tabelas ou gráficos.
Alguns meios de comunicação divulgam informações provenientes de estudos e pesquisas
estatísticas.
174
 Exemplo 1:
A tabela a seguir traz a população dos cinco municípios mais populosos do Paraná:
Exemplo 2:
Em uma pesquisa onde 2.673 pessoas foram entrevistadas com o seguinte questionamento:
O que leva as pessoas a se mudarem para os condomínios fechados fora das grandes cidades?
As respostas foram organizadas no gráfico abaixo:
A seguir, vamos conhecer alguns tipos de gráfico.
A) GRÁFICO DE LINHAS OU SEGMENTOS
Os gráficos de segmentos são utilizados, em geral, para mostrar a variação de algum fato
durante certo período de tempo.
Veja um exemplo a seguir.
175
B) GRÁFICO DE COLUNAS OU BARRAS
Os gráficos de colunas ou barras são utilizados, em geral, para comparar fatos de mesma
natureza.
Veja um exemplo a seguir.
C) GRÁFICO DE SETORES OU CIRCULARES
Os gráficos de setores ou circulares são utilizados para representar as relações entre as partes
de um todo. Em geral, utilizamos taxas percentuais para relacionar as partes.
Veja um exemplo a seguir.
Quando falamos em estatística e em estudo estatístico, há uma série de expressões que vêm
associados.
São elas:
• POPULAÇÃO – conjunto de pessoas, objetos ou acontecimentos sobre os quais incide um
estudo estatístico;
• AMOSTRA – parte representativa da população, sobre a qual incide o estudo;
• CENSO OU RECENSEAMENTO – estudo estatístico realizado sobre a totalidade da popula-
ção;
• SONDAGEM – estudo estatístico realizado a partir de uma amostra;
• VARIÁVEL ESTATÍSTICA – características que os elementos da população podem ou não ter e
que é alvo de investigação num estudo estatístico.
176
UNIDADE 2 - PROBABILIDADE
Probabilidade é um número, dado na forma de fração ou de porcentagem, que expressa a
chance de ocorrência de uma possibilidade em um experimento aleatório.
Observe o exemplo:
Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual
a probabilidade desta bola ser verde?
O conjunto dos resultados possíveis possui 12 elementos, que é o número total de bolas e o
conjunto dos casos favoráveis possui 5 elementos. Portanto a probabilidade de ser retirada uma
bola verde está na razão de 5 para 12 .
Vamos apresentar mais situações em que a probabilidade está presente na solução de proble-
mas cotidianos. 
O dado é um instrumento formado por seis faces enumeradas de 1 à 6. Ele possui o formato de
um cubo.
No lançamento de um dado podemos obter as seguintes faces: 
177
A probabilidade de lançarmos um dado e obtermos um número par é de 3 em 6.
A probabilidade de lançarmos um dado e obtermos um número ímpar é de 3 em 6.
A probabilidade de lançarmos um dado e obtermos o número 2 é de 1 em 6.
01 Uma urna contém 10 bolas identificadas pelas letras A, B, ...,J. Uma bola é extraída ao acaso da
urna e sua letra é observada. Qual a probabilidade da bola sorteada ser vogal?
________________________________________________________________________________
02 Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única
ficha, qual a probabilidade dela ser amarela?
________________________________________________________________________________
03 De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a probabili-
dade desta bola ser divisível por 3?
________________________________________________________________________________
04 No lançamento de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de que a soma dos resultados
obtidos seja igual a 6?
________________________________________________________________________________
05 Qual a probabilidade de ao retirar ao acaso uma carta de um baralho de 52 cartas, obter:
a) Uma carta de Copas ? ___________________________________________
b) Um ás ? ___________________________________________
c) Um ás de copas ? ___________________________________________
d) Copas ou dama ? ___________________________________________
UNIDADE 3 – MEDIDAS ESTATÍSTICAS
Sintetizamos as informações sobre alguns dados de uma pesquisa em um só parâmetro que
possa caracteriza-las. Esse parâmetro pode ser média aritmética, media ponderada, mediana ou
moda.
178
A) MÉDIA ARITMÉTICA
Considere a seguinte situação:
A tabela abaixo mostra as notas de matemática de um aluno em um determinado ano:
A média aritmética dessas notas é dada por:
B) MÉDIA PONDERADA
Considere a seguinte situação:
Cinco baldes contêm 4 litros de água cada um, três outros 2 litros de água, cada um e, ainda,
dois outros contém 5 litros de água, cada um. Se toda essa água fosse distribuída igualmente em
cada um dos baldes, com quantos litros ficaria cada um?
Solução:
A quantidade de litros que ficaria em cada balde é a média aritmética ponderada:
Ou seja, a quantidade, em litros, de água em cada balde é chamada de média ponderada dos
valores 4 litros, 2 litros e 5 litros, com pesos 5; 3 e 2
C) MEDIANA
Considere a seguinte situação:
Os salários de 5 pessoas que trabalham em uma empresa são: $700,00 ; $800,00 ; $900,00 ;
$1.000,00 e $5.600,00.
179
Logo, escrevendo os dados numéricos dessa situação, temos:
(700; 800; 900; 1000; 5600)
Então, o termo central dessa sequencia é “900”. A mediana é igual a 900.
Se acrescentarmos à lista o salário de $1.000,00 de outro funcionário, ficaríamos com um
número par de dados numéricos. Nesse caso, a mediana seria a média aritmética dos termos
centrais:
(700; 800; 900; 1000; 1000; 5600)
Logo a mediana é dada por:
D) MODA
Considere as idades de 25 alunos de uma turma.
A idade de maior freqüência é a de 15 anos. Por isso dizemos que a Moda dessa amostra é de
15 anos e indicamos Mo = 15
Exemplo
Na amostra (3; 4; 7; 3; 7; 9; 7) a moda é Mo = 7
Na amostra (9; 9; 5; 7; 10; 22; 1; 10) teremos duas modas Mo = 9 e Mo = 10 (amostra bimodal)
Na amostra (1; 3; 5; 7; 9) não apresenta moda, pois todos os elementos tem a mesma frequência.
01 Aos 30 alunos do 7° perguntou-se quantas crianças havia na casa de cada um. Os resultados
são os seguintes:
a) Qual é a moda?
_______________________________________________________________________________
180
b) Qual é a média?
_______________________________________________________________________________
c) Com os dados constrói um gráfico de barras.
_______________________________________________________________________________
02 Observe na tabela abaixo as notas que Pablo tirou na prova de História. Sabendo que a primeira
prova tem peso 3, a segunda peso 2, a terceira peso 4 e quarta peso 5, determine a média das
notas de Pablo.
03 São dadas as notas de 20 alunos em Geografia:
Geografia: 4 – 4 – 5 – 6 – 6 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 8 – 8 – 8 – 8 – 8 – 8 – 9 – 9 – 9 – 9
Determine a moda e mediana, dessas notas, nessa disciplina.
04 A tabela traz as idades, em anos, dos filhos de 5 mães.
A idade modal desses 15 filhos é inferior à idade média dos filhos de Heloísa em ____ ano(s).
181
PARTE 5 – RAZÃO
UNIDADE 1
INTRODUÇÃO
Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e de um kart com 2m de com-
primento. Paracompararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo
outro. Assim: (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).
Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida.
A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.
O numerador a chamamos de antecedente, e o denominador b chamamos de consequente dessa
razão (lê-se “a está para b”).
A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de várias formas.
Exemplo
Razão entre 2 e 5 2:5 ou ou 0,4 ou 40%
01 A idade de Pedro é 30 anos e a idade de Josefa é 45 anos. Qual é a razão entre as idades de
Pedro e Josefa?
02 Num exame, havia 180 candidatos. Tendo sido aprovados 60, a razão entre o número de repro-
vados e o de aprovados é de:
182
03 Uma equipe de futebol apresenta o seguinte retrospecto durante o ano de 1997: 30 vitórias, 18
empates e 12 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número de partidas dispu-
tadas?
04 Indique na forma de fração irredutível, a razão que tem:
a) 24 como antecedente e 60 como consequente.
b) 49 como antecedente e 35 como consequente.
UNIDADE 2 - RAZÃO INVERSA
Considere as razões .
Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1,
ou seja, .
Nesse caso, podemos afirmar que são razões in-
versas.
Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.
Exemplo:
são razões inversas, pois .
Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa.
183
01 Determine a razão inversa de:
a) ____________________________________________
b) ____________________________________________
c) ____________________________________________
d) ____________________________________________
e) 0,5 ____________________________________________
f) 0,25 ____________________________________________
02 A razão é igual a 10. Determine a razão .
03 Determine o valor de x, para obter razões inversas nos itens abaixo:
a)
b)
184
04 A razão inversa de 2/3 é:
UNIDADE 3 - RAZÕES EQUIVALENTES
Exemplos:
01 Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual 6.
02 Uma razão equivalente a 2/5 é:
a) 6/5
b) 2/12
c) 5/8
d) 6/15
e) 4/15
185
03 O valor da razão 96 : 48 é:
a) 2
b) 1/2
c) 76/28
d) 100/52
e) 1/3
04 Num curso de tiro de precisão, um soldado acertou o alvo 15 vezes e errou 5. A razão entre o
número de acertos e o número de tiros dado por esse soldado é:
a) 1/4
b) 3/4
c) 5/4
d) 7/4
e) 9/4
UNIDADE 4 - RAZÃO ENTRE GRANDEZAS DE MESMA ESPÉCIE
Exemplos:
Calcular a razão entre a altura de duas pessoas, sabendo que a primeira possui uma altura h1= 1,20m
e a segunda possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:
Exemplos:
Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a
quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2.
Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete:
186
01 Determine a razão da primeira para a segunda grandeza:
a) 52cm e 104cm
b) 26hm e 130hm
c) 500g e 2kg
d) 16km e 6.400cm
02 Qual a razão entre 6kg e 3.000g ?
187
03 Qual é a razão entre as áreas de um quadrado A com 4cm de lado e de um quadrado B com
8mm de lado?
04 Qual a razão entre 18 litros e 20 ml?
05 Qual a razão entre 2h e 30 minutos?
UNIDADE 5 - ESCALA
Chamamos de E, a escala, d a medida do desenho e R a medida real. Temos:
Exemplo
Se a escala de um mapa é 5 por 2.500.000 e dois pontos no mapa estão à distância de 25 cm,
ao longo de uma rodovia, a distância real em km é:
E = 5 / 2.500.000 e d = 25 cm, sendo R o valor procurado em km.
A distância em km é igual a 125 km.
188
01 A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. Qual a distância real
entre essas duas cidades?
02 Indique a escala da seguinte planta de uma casa, sabendo que na realidade, o seu comprimen-
to é 12 metros, e na figura é 8 cm.
_______________________________________________________________________________
03 Num mapa, a medida entre duas cidades é de 2 cm. Sabendo que a escala do mapa é de
1:2500000, calcule a distância entre as duas cidades.
04 Num mapa, a distância entre duas localidades é de 3,5cm. Sabendo que a distância real entre
essas localidades é de 56km, indique a escala do mapa.
189
UNIDADE 6 – RAZÃO ENTRE GRANDEZAS DE ESPÉCIES DIFERENTES
A) CONSUMO MÉDIO:
Ana foi de Jundiaí a Campinas (92Km) no seu fusca. Foram gastos nesse percurso 8 litros de
combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa ra-
zão? 
Solução:
Razão = 11,5 km/ (lê-se “11,5 quilômetros por litro”).
Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.
B) VELOCIDADE MÉDIA:
Antonio fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas
grandezas? O que significa essa razão?
Solução:
Razão = 90 km/h (lê-se “90 quilômetros por hora”).
Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.
C) DENSIDADE DEMOGRÁFICA:
O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua
área é de 145.694 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O
que significa essa razão?
Solução:
Razão = 46 hab/km2 (lê-se “46 habitantes por quilômetro quadrado”).
Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.
190
D) DENSIDADE ABSOLUTA OU MASSA ESPECÍFICA:
Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa
e o volume desse corpo. O que significa essa razão?
Solução:
Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3
Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se “7,8 gramas por centímetro cúbico”).
Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.
01 Um minério com massa igual a 32,24 kg possui volume igual a 12,40 cm³. Determine a densida-
de desse minério.
02 Um automóvel percorreu 400 km em 5 horas. Qual foi a velocidade média desse automóvel no
percurso?
03 De acordo com o censo realizado em 2010, o estado do Tocantins tem uma população aproxi-
mada de 1 400 000 habitantes e ocupa uma área aproximada de 280 000 km2 . Qual é a densi-
dade demográfica desse estado?
191
04 Uma pedra preciosa tem 67,2 g de massa e ocupa um volume de 316 cm3 . Qual a densidade
dessa pedra preciosa?
PARTE 6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS
LISTA 1
01 Qual a probabilidade de se obter um número ímpar no lançamento de um dado?
02 Numa quermesse, há uma barraca onde funciona o jogo do coelho. O coelho é solto no centro
de um círculo, onde se distribuem 20 casinhas, numeradas de 1 a 20. Qual a probabilidade do
coelho escolher uma casinha com um número múltiplo de 4?
03 Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos pelo
menos duas caras?
192
04 Numa sala com 50 alunos, 15 são mulheres. Determine:
a) a razão do número de homens para o número de mulheres.
b) a razão do número de mulheres para o total de alunos.
c) de cada 10 alunos, quantos são homens ?
d) de cada 20 alunos, quantas são mulheres ?
_______________________________________________________________________________
193
05 Em uma equipe olímpica, 25 atletas são rapazes. Qual é o número de moças, se a razão entre
o número de rapazes e moças é 5/3?
06 Sabe-se que a razão entre o número de médicos e o número de habitantes de uma cidade é de
1 para 2000(1 médico para cada 2000 habitantes).Se há 30 médicos nessa cidade , qual é a sua
população?
07 Em determinada hora do dia, a razão entre a altura de um bastão, fixado verticalmente no chão,
e a sombra que ele projeta é de 5 para 3. Se a sombra mede 72 cm, qual é a altura desse
bastão?
08 Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. Se a relação entre o número de efetivos e
contratados é de 5 por 2, quantos são os efetivos?
(A) 600
(B) 1.000
(C) 1.500
(D) 1.600
(E) 1.800
09 Dois segmentos medem 8 dm e 160 cm, respectivamente. A razão entre o primeiro e o segundo
é:
19410 Em que razão estão os volumes de dois cubos cujas arestas medem, respectivamente, 2 cm e
6 cm ?
11 Um retângulo A tem 10 cm e 15 cm de dimensões, enquanto as dimensões de um retângulo B
são 10 cm e 20 cm. Qual é a razão entre a áreado retângulo A e a área do retângulo B ?
12 Numa pesquisa sobre acesso à internet, três em cada quatro homens e duas em cada três
mulheres responderam que acessam a rede diariamente. A razão entre o número de mulheres
e de homens participantes dessa pesquisa é, nessa ordem, igual a 1/2. Que fração do total de
entrevistados corresponde àqueles que responderam que acessam a rede todos os dias?
(A) 5/7
(B) 8/11
(C) 13/18
(D) 17/24
(E) 25/36
13 Num mapa, 1,5 cm representam 7,5 km. As localidades A e B distam em linha reta 20 km.
Qual é a escala do mapa?
_______________________________________________________________________________
195
14 Numa maqueta de um aquário uma baleia está construída à escala de 1:80. Se o comprimento
real do mamífero for 16 metros, qual é o comprimento do seu modelo?
15 Um velocista correu os 100 metros rasos de uma competição em 12 segundos. Qual foi,
aproximadamente, a velocidade média desse velocista?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
196
LISTA 2
01 O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há
alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0.
Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as
funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir:
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a proba-
bilidade de ela calçar 38,0 é:
02 Uma pessoa joga uma moeda três vezes, qual a probabilidade de sair COROA nas três joga-
das?
03 A distância entre duas cidades é de aproximadamente 500 km. Determine a velocidade média
de um veículo que faz esse percurso em 8 horas e 30 minutos.
197
04 Determine a densidade demográfica de uma cidade que possui 13.834. 971 habitantes, e que
ocupa uma área de 564.692 km². A densidade demográfica é calculada através da divisão entre
número de habitantes e área em km².
05 Determine o consumo médio de um carro que percorre cerca de 668 km com aproximadamente
48 litros de combustível. Para determinarmos o consumo desse carro, devemos dividir a distân-
cia percorrida pela quantidade de litros de combustível.
06 Um minério com massa igual a 32,24 kg possui volume igual a 12,40 cm³. Determine a densida-
de desse minério.
07 Um prédio está desenhado na escala 1:150. Qual é o perímetro e a área de uma sala, que no
desenho mede 4 cm x 5 cm?
198
08 Sabe-se que um terreno tem 8.400 m2. Para representá-la por um retângulo de 6cm por 2cm,
que escala deveremos representar?
09 Vamos supor que um carro de Fórmula MAT percorreu 328 km em 2 h. Qual foi a velocidade
média do veículo nesse percurso?
10 O estado de Goiás, no censo de 2014, teve a sua população avaliada em 6.523.222 habitantes.
A sua área é de aproximadamente 340.111,376 Km2. Determine a densidade demográfica des-
sa região e diga o que significa essa razão.
11 Determine o valor de x, para obter razões inversas nos itens abaixo:
a)
b)
199
12 Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade
de que o número observado seja múltiplo de 8 é:
 
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