Estimador de Tendência de Variabilidade

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LISTA DA UNIDADE II 
Estimador de Tendência de Variabilidade 
Estimador para Dados não agrupados 
Média �̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
 
Variância 𝑠² =
∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2
𝑛 − 1
 
Desvio Padrão 𝑠 = √
∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2
𝑛 − 1
 
Coeficiente de variação 𝐶𝑉 =
𝑠
�̅�
 
Estimador para Dados Agrupados (Tabela de Distribuição de Frequência) 
Média �̅� =
∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑓𝑖
𝑛
 
Variância 𝑠² =
∑ 𝑓𝑖(𝑥𝑖 − �̅�)
2
𝑛 − 1
 
Desvio Padrão 𝑠 = √
∑ 𝑓𝑖(𝑥𝑖 − �̅�)
2
𝑛 − 1
 
Coeficiente de variação (CV) 𝐶𝑉 =
𝑠
�̅�
 
Exercícios 
1) Considere os dados abaixo e calcule o desvio padrão, variância, amplitude e CV. 
10 12 11 9 13 
Resposta: 
Média: �̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
=
10+12+11+9+13
5
=
55
5
= 11 
Variância: 
∑(𝑥𝑖−�̅�)
2
𝑛−1
=
(10−11)2+(12−11)2+(11−11)2+(9−11)2+(13−11)2
4
=
10
4
= 2,5 
Desvio-padrão: 𝑠 = √
∑(𝑥𝑖−�̅�)
2
𝑛−1
= √2,5 = 1,58 
Amplitude: Máximo – mínimo= 13-9=4 
𝐶𝑉 =
𝑠
�̅�
=
1,581
11
= 0,1437 = 14,37% 
2) Considere os dados abaixo e calcule o desvio padrão, variância, amplitude e CV. 
 
 
fi Fi xi xi*fi desvio² fi*desvio²
2 |-- 5 12 12 3,5 42 56,85676 682,2811
5 |-- 8 35 47 6,5 227,5 20,61471 721,5148
8 |-- 11 145 192 9,5 1377,5 2,372654 344,0349
11 |-- 14 165 357 12,5 2062,5 2,130601 351,5491
14 |-- 17 52 409 15,5 806 19,88855 1034,204
409 4515,5 3133,584
Classe
Total
Resposta: 
Média: �̅� =
∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖
𝑛
=
4515,5
409
= 11,04 
Variância: 
∑ 𝑓𝑖(𝑥𝑖−�̅�)
2
𝑛−1
=
3133,584
408
= 7,68 
Desvio-padrão: 𝑠 = √
∑ 𝑓𝑖(𝑥𝑖−�̅�)
2
𝑛−1
= √7,68 = 2,77 
Amplitude: Máximo – mínimo= 17-2=15 
𝐶𝑉 =
𝑠
�̅�
=
2,77
11,04
= 0,2510 = 25,10% 
Separatrizes 
Estimador para Dados não agrupados 
Fazer na mão. Mesmo procedimento da mediana. IMPORTANTE = OS DADOS DEVEM ESTAR EM 
ORDEM CRESCENTE (ROL). 
• Acha o valor da Mediana (Quartil 2) 
• Quartil 1: Mediana da metade inferior 
• Quartil 3: Mediana da metade superior 
Estimador para Dados agrupados 
Percentil 
𝑃𝑘 = 𝑙
∗ +
[
𝑘 ∑ 𝑓𝑖
100 − 𝐹(𝑎𝑛𝑡)] ℎ
∗
𝑓∗
 
Quartil 1 𝑃25 
Quartil 2 = Mediana = Decil 5 𝑃50 
Quartil 3 𝑃75 
Exercícios 
3) Considere os dados abaixo e calcule o Quartil 1 e Quartil 3. 
10 12 11 9 13 10 11 
Resposta: 
9 10 10 11 11 12 13 
 
Mediana = Quartil 2 = 11 
Quartil 1 = 10 
Quartil 3 = 12 
4) Considere os dados abaixo e calcule o desvio padrão, variância, amplitude e CV. 
 
fi Fi xi xi*fi desvio² fi*desvio²
2 |-- 5 12 12 3,5 42 56,85676 682,2811
5 |-- 8 35 47 6,5 227,5 20,61471 721,5148
8 |-- 11 145 192 9,5 1377,5 2,372654 344,0349
11 |-- 14 165 357 12,5 2062,5 2,130601 351,5491
14 |-- 17 52 409 15,5 806 19,88855 1034,204
409 4515,5 3133,584
Classe
Total
Respostas 
Quartil 1: 
𝑄1 = 𝑃25 = 𝑙
∗ +
[
25 ∑ 𝑓𝑖
100
− 𝐹(𝑎𝑛𝑡)] ℎ∗
𝑓∗
 
Determinar a classe que está o Quartil 1: 
25 ∑ 𝑓𝑖
100
=
25⋅409
100
= 102,25 ≈ 103 (o dado está na terceira 
classe) 
𝑙∗ = 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 = 8 
𝑓∗ = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 = 145 
𝐹(𝑎𝑛𝑡) = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 47 
 ℎ = 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 = 3 
𝑄1 = 𝑃25 = 𝑙
∗ +
[
25 ∑ 𝑓𝑖
100
− 𝐹(𝑎𝑛𝑡)] ℎ∗
𝑓∗
= 8 +
[102,25 − 47]3
145
= 9,14 
 
Quartil 3: 
𝑄3 = 𝑃75 = 𝑙
∗ +
[
75 ∑ 𝑓𝑖
100 − 𝐹(𝑎𝑛𝑡)] ℎ
∗
𝑓∗
 
Determinar a classe que está o Quartil 3: 
75 ∑ 𝑓𝑖
100
=
75⋅409
100
= 306,75 ≈ 307 (o dado está na terceira 
classe) 
𝑙∗ = 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 = 11 
𝑓∗ = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 = 165 
𝐹(𝑎𝑛𝑡) = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 192 
 ℎ = 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 = 3 
𝑄3 = 𝑃75 = 𝑙
∗ +
[
75 ∑ 𝑓𝑖
100 − 𝐹(𝑎𝑛𝑡)] ℎ
∗
𝑓∗
= 11 +
[306,75 − 192]3
165
= 13,09 
 
Dados Espúrios 
IQR (Distância Inter Quartil) 𝐼𝑄𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1 
Limite inferior (qualquer dado abaixo disso, é dado espúrio) 𝐿𝑖𝑛𝑓 = �̅� − 1,5 ⋅ 𝐼𝑄𝑅 
Limite Superior (qualquer dado acima disso, é dado espúrio) 𝐿𝑖𝑛𝑓 = �̅� + 1,5 ⋅ 𝐼𝑄𝑅 
 
Exercícios 
5) Considere os dados abaixo e verifique se tem dados espúrios. 
10 12 11 9 13 10 11 
 
Resposta: 
É necessário calcular o Quartil 1 e Quartil 3 (exercício anterior) e a média. 
Quartil 1 = 10 
Quartil 3 = 12 
𝐼𝑄𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1 = 12 − 10 = 2 
Média = 10,86 
Limite Inferior = 𝐿𝑖𝑛𝑓 = �̅� − 1,5 ⋅ 𝐼𝑄𝑅 = 10,86 − 1,5 ⋅ 2 = 7,86 
Limite Superior = 𝐿𝑠𝑢𝑝 = �̅� + 1,5 ⋅ 𝐼𝑄𝑅 = 10,86 + 1,5 ⋅ 2 = 13,86 
Qualquer dado fora desse limite, é um dado espúrio. No caso desse exercício, não existe dados fora 
desse intervalo. 
Tamanho da minha amostra 
Método Inicial 
1. Determinar o erro (𝐸); 
2. Determinar o tamanho da mostra inicial 𝑛0 =
1
𝐸2
 
3. Se o 𝑛0 for 20 menor que o tamanho da população (𝑁) então calcula 𝑛 = 𝑛0 
4. Senão 𝑛 =
𝑛×𝑁
𝑛+𝑁
 
Exemplo: A turma de estatística tem 𝑁 = 300 alunos. Eu quero pesquisa e preciso calcular a altura 
média dos alunos, com erro 4%. Qual o tamanho da minha amostra? 
𝐸 =
4
100
= 0,04 𝑛0 =
1
𝐸2
=
1
0,042
= 625 𝑛 =
𝑛 × 𝑁
𝑛 + 𝑁
=
625 × 300
625 + 300
= 203 
Exercícios 
1) Numa pesquisa para uma eleição presidencial, qual deve ser o tamanho de uma amostra 
aleatória simples, deseja-se garantir um erro amostral não superior a 2%? No caso de só 
conseguir coletar 1500 amostras, qual é o erro encontrado? 
𝑛0 =
1
𝐸2
=
1
0,022
= 2500 amostras 
Com 1500 amostras, o erro é de? 
1
𝐸2
= 1500 𝐸2 =
1
1500
= 0,000666 
𝐸 = √0,000666 = 0,0257 
𝐸 = 0,0257 × 100 = 2,57% (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚) 
 
2) Numa empresa com 1000 funcionários, deseja-se estimar a percentagem dos favoráveis a certo 
treinamento. Qual deve ser o tamanho da amostra aleatória simples que garanta um erro 
amostral não superior a 5%? 
𝑛0 =
1
𝐸2
=
1
0,052
= 400 funcionários 
 
Como 𝑁 = 1000, então proporção é de
1000
400
= 2,5 
𝑛 =
𝑛0 × 𝑁
𝑛0 + 𝑁
=
400 × 1000
400 + 1000
=
400000
1400
≈ 286 funcionários 
 
3) Um assistente social deseja saber o tamanho da amostra (n) necessário para determinar a 
proporção da população atendida por uma Unidade de Saúde, que pertence ao município de 
Salvador. Não foi feito um levantamento prévio da proporção amostral e, portanto, seu valor é 
desconhecido. Ela quer que o erro máximo de estimativa (E) seja de ±5% (ou 0,05). Quantas 
pessoas necessitam ser entrevistadas? Qual o erro se o tamanho da amostra for metade da 
calculada?