apoema-mat-06 (2) gabarito

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Matemática
Linos Galdonne
Projeto Apoema
6
Matemática
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t
Matemática
Projeto Apoema
6
Matemática
Linos Galdonne
Licenciado em Matemática
Doutor em Educação – linha de pesquisa em Educação Matemática
Professor da rede particular de ensino
2a edição
São Paulo, 2015
PROJETO APOEMA MATEMÁTICA 6 ANO
MERCADO 2014
visto
7a PROVA
ADRIANA
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© Editora do Brasil S.A., 2015
Todos os direitos reservados
Direção executiva: Maria Lúcia Kerr Cavalcante Queiroz
Direção editorial: Cibele Mendes Curto Santos
Gerência editorial: Felipe Ramos Poletti
Supervisão editorial: Erika Caldin
Supervisão de arte, editoração e produção digital: Adelaide Carolina Cerutti
Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes
Supervisão de controle de processos editoriais: Marta Dias Portero
Supervisão de revisão: Dora Helena Feres
Consultoria de iconografia: Tempo Composto Col. de Dados Ltda.
Coordenação editorial: Valéria Elvira Prete
Consultoria técnica: Cristiane Boneto
Edição: Rodrigo Pessota
Assistência editorial: Edson Ferreira de Souza
Auxílio editorial: Paola Olegário da Costa
Apoio editorial: Marilda Pessota Lima
Coordenação de revisão: Otacilio Palareti
Copidesque: Gisélia Costa e Ricardo Liberal
Revisão: Alexandra Resende, Andréia Andrade e Maria Alice Gonçalves
Coordenação de iconografia: Léo Burgos
Pesquisa iconográfica: Elena Ribeiro
Coordenação de arte: Maria Aparecida Alves
Assistência de arte: Samira de Souza
Design gráfico: Alexandre Gusmão, José Hailton Santos e Regiane Santana
Capa: Patrícia Lino 
Ilustrações: Alex Argozino, Carlos Caminha, DAE (Departamento de Arte e Editoração), 
Eduardo Belmiro, Ilustra Cartoon, Marcio Levyman, Paulo César Pereira, Ronaldo Barata, 
Waldomiro Neto e Zubartez
Produção Cartográfica: Sonia Vaz, DAE (Departamento de Arte e Editoração), 
Simone Soares de Andrade
Coordenação de editoração eletrônica: Abdonildo José de Lima Santos
Editoração eletrônica: Estação das Teclas
Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini
Coordenação de produção CPE: Leila P. Jungstedt
Controle de processos editoriais: Beatriz Villanueva, Bruna Alves, Carlos Nunes 
e Rafael Machado
2a edição, 2015
Rua Conselheiro Nébias, 887 – São Paulo/SP – CEP 01203-001
Fone: (11) 3226-0211 – Fax: (11) 3222-5583
www.editoradobrasil.com.br
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Galdonne, Linos
Projeto Apoema matemática 6 / Linos Galdonne. – 2. ed. – São Paulo: 
Editora do Brasil, 2015. – (Projeto Apoema ; v. 6)
Suplementado pelo manual do professor.
ISBN 978-85-10-05901-5 (aluno)
ISBN 978-85-10-05902-2 (professor)
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. II. Série.
15-03460 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Hélio Oiticica (1937-1980) nasceu e viveu grande parte da 
vida na cidade do Rio de Janeiro. Sua obra foi marcada 
pela inovação e experimentação. Começou a estudar 
pintura com Ivan Serpa, no Museu de Arte Moderna 
do Rio de Janeiro, em 1954 e, no ano seguinte, iniciou 
a criação de pinturas geométricas abstratas. As obras 
Invenções, de 1959, assinalam a transição do artista 
da tela para o espaço ambiental. Tropicália, de 1967, 
deu nome ao movimento musical e cultural do mesmo 
período, o Tropicalismo. Durante a década de 1970 viveu 
em Nova York, retornando ao Brasil em 1978. Após seu 
falecimento, em 1980, foi criado o Projeto Hélio Oiticica.
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Hélio Oiticica. Grupo Frente, 1956. Óleo sobre madeira, 
67,8 × 117,2 cm. 
Imagem de capa
Projeto APoeMA MAteMáticA 6 Ano
MercAdo 2014
visto
7a prova
adriana
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Queremos convidá-lo a estudar Matemática não como uma ciência completamente 
alheia à realidade e parada no tempo. Ao contrário, o estudo que aqui propomos é dinâ-
mico e pensado para aqueles que desejam de fato compreender como os conceitos e as 
teorias relacionados a essa disciplina foram elaborados e aplicados.
As regras e fórmulas matemáticas que usamos são consequências do estudo dos fe-
nômenos que nos cercam. A Matemática está presente na natureza como a simetria em 
uma borboleta, no casulo hexagonal de uma colmeia ou na forma poligonal de uma flor. 
Está, também, nas construções realizadas pelo homem, como nas Pirâmides do Egito, nas 
estruturas triangulares e até mesmo no uso da tecnologia. Usamos a Matemática quan-
do contamos, fazemos estimativas de medidas ou mesmo em uma simples observação 
sobre as letras e os algarismos da placa de um automóvel. Compreendê-la, portanto, é 
ampliar a percepção do mundo que já conhecemos.
Esperamos que a vontade de compreender essa ciência, aliada ao desejo de investiga-
ção, sejam motivos suficientes para conduzi-lo ao estudo que aqui propomos. Desejamos 
que, no final, você perceba a Matemática como uma atividade humana repleta de signifi-
cados e aplicações. 
Bom estudo!
O autor
Apresentação
Projeto APoeMA MAteMáticA - 6 Ano
MercAdo 2014
visto
7a prova
adriana
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cOnHeça O seu livrO
Agora é com você
Nessa seção que aparece ao longo de cada 
capítulo, você encontrará exercícios de fixação 
relativos aos conteúdos desenvolvidos.
Trabalho em equipe
Nessa seção você e os colegas são convida-
dos a, juntos, realizar uma tarefa, resolver 
um problema, refletir sobre questões pro-
postas etc.
A “artemática” indígena
Observe as imagens a seguir. Você já viu objetos parecidos com estes? Lembra-se de onde foi?
Esses cestos foram construídos por indígenas do grupo guarani-mbyá, que utilizam tiras de bam-
bu para criar motivos geométricos, entrelaçando várias tiras coloridas. 
São representadas, nos cestos, diferentes formas geométricas, como losangos, paralelogramos, 
quadrados ou apenas linhas paralelas, revelando o máximo de cuidado e exatidão no entrelaçamen-
to das tiras, de modo que as figuras fiquem o mais semelhante possível. 
Observando com atenção, percebemos que em um mesmo cesto há a repetição de uma mes-
ma forma, ou seja, os mbyás representam motivos geométricos semelhantes em um cesto, mas os 
diferenciam em outros. 
É comum utilizarem sempre segmentos paralelos 
nas construções e, se o desenho escolhido for um losan-
go, por exemplo, ele será feito dentro de outro losango, 
que estará dentro de outro e assim por diante. Se a for-
ma escolhida for o paralelogramo, criarão um paralelo-
gramo ao lado de outro, obtendo um paralelismo dos 
lados dos polígonos, com uma visualização de ângulos 
congruentes. Um detalhe importante é que não usam 
nenhum instrumento de medida de ângulos. 
Depois de confeccionada a base do cesto, quando 
as tiras já estão perpendiculares, entrelaçam uma tira 
colorida entre elas. O entrelaçamento é feito pela con-
tagem de tiras verticais, que devem passar por cima ou 
por baixo, de acordo com o desenho escolhido. Come-
çando da primeira tira horizontal, os vértices do quadra-
do vão ficando arredondados até que cada volta passa 
a ter a forma aproximada de uma circunferência. As tiras 
vão sendo entrelaçadas em espiral até chegar à altura 
desejada para a conclusão do cesto.
Você acha que este grupo indígena utiliza conheci-
mentos matemáticos?
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bi
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bi
ni
Fa
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o 
C
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om
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cOneXões
Cestos indígenas com 
motivos geométricos 
confeccionados pela 
aldeia guarani-mbyá.
Mulher produzindo artesanato 
na aldeia guarani-mbyá.
88
Conexões
Nessa seção, que aparece ao longo dos ca-
pítulos, você terá textos relacionados à his-
tória da Matemática, assuntos da realidade, 
aprofundamento da teoria ou curiosidades 
geométricas, algébricas e numéricas. 
Propriedades da adição de números naturais
Toda adição de números naturais está fundamentada em três propriedades: associativa, 
comutativa e existência do elemento neutro.Sejam quaisquer números a, b e c, que pertençam ao conjunto dos números naturais, temos:
trabalHO em equipe
1 Considerem que as letras a e b representam dois números naturais. Atribuam seis núme-
ros naturais para a e seis números naturais para b, completando a tabela com os resulta-
dos a � b e b � a.
 
a b a 1 b b 1 a
� � � �
Agora respondam às questões
a) O que acontece quando mudamos a ordem das parcelas numa adição de dois números 
naturais? 
b) Se o zero for uma das parcelas da adição, o que ocorrerá? 
2 Atribuam seis valores para x, seis valores para y e seis para z. Os valores deverão ser 
maiores que o número 100. Utilize uma calculadora para obter os resultados das adi-
ções. Calcule primeiro a adição indicada dentro dos parênteses.
x y z x 1 (y 1 z) (x 1 y) 1 z
� � � � �
Agora respondam à questão a seguir.
Qual é a conclusão de vocês a respeito dos resultados de x � (y � z) e de (x � y) � z?
 
1. Propriedade associativa da adição: 
a + (b + c) � (a + b) + c
2. Propriedade comutativa da adição: 
a + b � b + a
3. Elemento neutro da adição: 
a + 0 � 0 + a � a
Na adição de três números naturais quaisquer, 
podemos associar as parcelas em ordem diferente 
que o resultado será o mesmo. Exemplo:
15 + (20 + 13) � (15 + 20) + 13
15 + 33 � 35 + 13
48 � 48
Quando se inverte a ordem das parcelas de 
uma adição, o resultado não se altera. Exemplo: 
121 + 79 � 79 + 121
200 � 200
Quando se adiciona o número zero a qualquer 
valor natural, o resultado será o mesmo valor na-
tural, ou seja, o zero não influencia na adição de 
dois números naturais. Exemplo: 
308 + 0 � 0 + 308
308 � 308
Registre no 
caderno
34
Unidade
No início de cada unidade, há um texto intro-
dutório e perguntas que o motivam a estudar 
o assunto.
unidade 4
Formas geométricas 
planas
Com base nas posições dos ponteiros de um relógio, po-
demos obter a noção de ângulo. Associamos essa ideia 
também com a mudança de direção. Aspectos impor-
tantes da Geometria Plana estão relacionados ao 
conceito de ângulo.
An
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Sh
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ck
1 O que significa dizer que a bola foi “bem no ân-
gulo” quando um jogador faz um gol?
2 Quantos graus tem um ângulo reto?
3 Quando duas retas são perpendiculares?
Capítulo
Cada capítulo é iniciado com uma situação do 
cotidiano ou de uma área do conhecimento 
relacionada com o conteúdo matemático a 
ser estudado.
capítulO X
Título título título título
capítulO 2
O uso dos números
Você já olhou com atenção o painel de um automóvel?
Nele podemos observar diversas luzes, 
vários comandos e informações importan-
tes que são representados por números.
Os números ainda estão presentes na 
identidade e na carteira de habilitação do 
motorista do carro. Além disso, eles fazem 
parte da placa dos veículos.
Números que indicam 
a quantidade de 
combustível no 
tanque.
Números que 
indicam o horário.
Números que indicam a 
quantidade de quilômetros 
percorrida pelo carro.
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Números que indicam 
a velocidade do carro.
Números que indicam 
as rotações do motor.
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Esses são apenas alguns exemplos de utilização dos números. Eles são empregados com 
finalidades diversas, como veremos a seguir.
Contagens, ordenações e códigos
Desde criança, utilizamos os números para fazer contagens. Para tanto, empregamos os nú-
meros naturais. Além disso, fazemos comparações entre quantidades.
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Trópico de Capricórnio
50°O
OCEANO
ATLÂNTICO
MATO GROSSO
DO SUL
SÃO PAULO
PARANÁ
SANTA CATARINASANTA CATARINA
Curitiba
Capital de estado
Arapongas
Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 175.Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 175.
N
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 0 105 210 km
20
A brasileira Sarah Menezes ficou em 1o lugar na 
competição de judô nas Olimpíadas de 2012, 
em Londres.
Quando queremos indicar posição, utilizamos os 
números ordinais, por exemplo, João está em pri-
meiro (1o) lugar; Maria, em segundo (2o) lugar, e as-
sim por diante.
No quadro abaixo, indicamos alguns números ordinais:
C
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As réguas para uso escolar, em geral, têm um conjunto de números naturais que expres-
sam comprimento. Observe a imagem da régua e note que os números representam valores 
em centímetros, que é uma unidade de medida.
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1o (primeiro) 20o (vigésimo) 300o (tricentésimo)
2o (segundo) 30o (trigésimo) 400o (quadringentésimo)
3o (terceiro) 40o (quadragésimo) 500o (quingentésimo)
4o (quarto) 50o (quinquagésimo) 600o (sexcentésimo)
5o (quinto) 60o (sexagésimo) 700o (setingentésimo)
6o (sexto) 70o (septuagésimo) 800o (octingentésimo)
7o (sétimo) 80o (octogésimo) 900o (noningentésimo)
8o (oitavo) 90o (nonagésimo) 1 000o (milésimo)
9o (nono) 100o (centésimo) 1 000 000o (milionésimo)
10o (décimo) 200o (ducentésimo) 1 000 000 000o (bilionésimo)
Ao criarmos uma senha, podemos escolher um 
conjunto de caracteres como letras, sinais e núme-
ros. Neste caso, o número tem a finalidade específi-
ca de codificar. Outros exemplos de números usa-
dos como código são os de documentos pessoais, 
telefone, Código de Endereçamento Postal (CEP), 
código de barras etc. Empregamos os números com 
diversas finalidades.
Você conhece outras unidades de medida? Quais?
Estudaremos outras unidades de medida mais adiante.
Teclado do caixa eletrônico de um banco.
21
agOra é cOm vOcê
1 Obtenha o mínimo múltiplo comum dos números a seguir:
a) mmc (4; 12)
b) mmc (18; 60)
c) mmc (12; 36; 48)
d) mmc (8; 16; 64)
e) mmc (15; 24; 60)
f) mmc (210; 462)
2 Considere os números 18 e 27. Determine os cinco menores múltiplos comuns que são 
diferentes de zero.
3 Resolva os seguintes problemas:
a) Dois ciclistas levam, respectivamente, 30 segundos e 
35 segundos para completar uma volta numa arena 
esportiva. Após a largada, quantos segundos serão 
necessários para que esses ciclistas se encontrem 
novamente no ponto de partida, se mantidas as suas 
velocidades?
b) Em relação ao problema anterior, responda: Quantas 
voltas terá completado cada um desses ciclistas?
c) No final do ano, duas torres foram construídas com 
lâmpadas coloridas. Numa delas, as lâmpadas pis-
cam a cada 4 segundos, enquanto que, na outra, a 
cada 6 segundos. Se uma pessoa observa agora que 
as lâmpadas das duas torres estão piscando juntas, 
depois de quanto tempo elas piscarão juntas nova-
mente pela primeira vez?
d) Um caixa eletrônico foi programado para fornecer 
quantias menores que 49 reais, mas em um tipo 
de cédula apenas: cédulas de 2 reais ou de 5 reais. 
Quais são as quantias que podem ser retiradas 
com somente um tipo de cédula, entre os dois tipos 
citados?
e) Com relação ao problema anterior, responda: Qual é 
a menor quantia que pode ser retirada nas condições 
do problema? E qual é a maior quantia?
f) Depois de examinar um paciente, a médica receitou 
dois remédios:
remédio A 1 comprimido a cada 4 horas;
remédio B 1 comprimido a cada 8 horas.
Se o paciente tomou os dois comprimidos juntos pe-
la primeira vez ao meio-dia de hoje, daqui a quantas 
horas ele tomará novamente os dois comprimidos 
juntos?
4 Escreva todos os múltiplos de 7 que são menores que 100.
5 Um relógio eletrônico dispara um alarme a cada 120 minutos. Outro relógio dispara um 
alarme a cada 150 minutos. Os dois relógios soaram juntos às 14 horas. Quando eles 
voltarão a tocar juntos?
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Registre no 
caderno
123123
6 Considere os números que estão indicados na tabela a seguir:
12 99 24 36 45 72
32 15 75 25 40 81
50 60 18 28 48 64
30 80 66 0 98 100
 Escreva os números dessa tabela que são múltiplos de:
a) 3
b) 4
c) 5 
d) 6
e) 7
f) 8
g) 9
h) 10
i) 11
7 Obtenha o mínimomúltiplo comum dos números a seguir.
a) mmc (4; 6) 
b) mmc (8; 12)
c) mmc (12; 16)
d) mmc (7; 12)
e) mmc (10; 25)
f) mmc (6; 12; 18)
g) mmc (10; 15; 30) 
h) mmc (24; 12; 16)
8 Copie a tabela em seu caderno e faça 
o que se pede.
a) Pinte de azul todos os quadrinhos 
que contêm números que são múlti-
plos de 4.
b) Marque um X nos quadrinhos que 
contêm números que são múlti-
plos de 9.
c) Escreva os números que estão 
nos quadrinhos coloridos de azul 
e marcados com X.
d) O que indicam esses números?
e) Qual é o mmc (4; 9)?
9 Responda.
a) Quando o mínimo múltiplo comum de dois números diferentes de zero e distintos en-
tre si é um dos números?
b) Qual é o mínimo múltiplo comum dos números 1 e 17?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Registre no 
caderno
124
PROJETO APOEMA MATEMÁTICA
MERCADO 2014
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com a palavra, o especialista
“Em entrevista exclusiva à Revista E, o artista plástico Luiz Sacilotto fala da apropriação da arte pela 
televisão e prevê que a estética concreta está longe de conhecer seu fim.
O artista plástico Luiz Sacilotto, considerado 
um dos principais expoentes da arte concreta 
brasileira, fala nesta entrevista exclusiva sobre a 
motivação de suas criações, contando a gênese 
de sua arte, além de avaliar seus companheiros 
de viagem pictórica. Sacilotto comenta o racha 
que originou o movimento neoconcreto, as his-
tórias envolvendo disputas de poder no mun-
do artístico e de como a arte concreta acabou 
influenciando outros meios. Fala ainda dos painéis que realizou no recém-inaugurado Sesc Santo 
André, cidade onde nasceu e mora até hoje.
Qual foi a base de inspiração para os seus trabalhos criados para o Sesc Santo André?
Eles fazem parte de uma obra que já venho desenvolvendo. Quando me pediram um projeto, 
pensei em algo que agradasse o público, que tivesse o elemento-surpresa, que parecesse uma coisa e 
fosse outra, que se revezasse. Os painéis, principalmente aquele que dá para o grande salão, são de um 
jeito à primeira vista, mas depois se revertem. Há uma ambiguidade que constitui a essência da obra, 
algo que cada pessoa percebe de um jeito. Algumas olham e não percebem nada, outras percebem 
mais ou menos... Isso me interessa muito e parece-me que esse resultado foi obtido.
Como é criar uma obra “pública”, no sentido de ela estar num lugar onde será vista, obser-
vada e admirada por muitos? 
É diferente de um quadro que vai para um museu ou para um colecionador particular? 
Como é a concepção de linguagem que deve ser aplicada, na sua opinião?
Não importa se faço uma obra pública ou para um museu. Quando exponho numa galeria, os colecio-
nadores também vão e veem. No caso do trabalho para o Sesc, a diferença é que se trata de uma obra que 
não será vendida. Mas a finalidade é a mesma: faço para agradar. Já tive umas dez experiências em escolas, 
nas quais eu levava material e começava a pintar. Na primeira vez, foi uma algazarra terrível; na segunda, o 
barulho já tinha diminuído; na terceira, ouvi os suspiros de admiração das crianças; no final, elas queriam 
mais. Essa experiência foi a mais gratificante. Ou seja, devemos perceber que a nossa arte não deve ser feita 
apenas para o crítico, mas sim para todos, para quem entende e para quem não entende. Quando a TV 
Cultura esteve aqui, a entrevistadora perguntou para um senhor o que ele achava de uma escultura minha, 
localizada em uma das ruas de Santo André. O senhor olhou para ela admirado e respondeu “Ah, é uma 
escultura?! Acho fantástica!”. Ele nem sabia que aquilo era uma escultura e muito menos de quem era.
Qual foi o estalo que o fez deixar de ser figurativo e passar para as figuras geométricas? 
Qual foi a inspiração?
Eu não acredito em inspiração. Era figurativo por causa da minha formação acadêmica, mas depois, 
na década de 1940 – quando não havia possibilidade de livre formação –, comecei a sentir que alguma 
coisa não estava certa. Por que copiar a natureza? Por mais que eu me esforçasse nunca seria igual. Então, 
um dia, desenhando enquanto estava ao telefone, fiz abstrações de forma inconsciente e isso me des-
pertou uma grande vontade de fazer aquelas abstrações de forma consciente. Daí, aprimorei a técnica 
dentro da linguagem que eu queria. Minha profissão também me ajudou. Fui desenhista de arquitetura, 
Quem
Luiz Sacilotto.
Especialidade
Artes plásticas.
Área de pesquisa
Arte concreta brasileira.
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Pedro explica que outros elementos permitem explorar o tema. ”As formas geométricas estão nas 
asas de uma borboleta ou no casco das tartarugas.“ Até mesmo, ele lembra, na imagem presente no 
núcleo de todas as células vivas, a dupla hélice de ácido desoxirribonucleico, mais conhecida por DNA.
Pintura corporal
Durante a visita aos índios Javaés, os estudantes puderam conhecer e valorizar as manifestações cul-
turais daquele povo.
Exploraram o padrão de pintura corporal e das cerâmicas e continuaram o estudo de ângulos. Tudo 
foi fotografado. Um bate-papo com os artesãos esclareceu a ideia que os índios têm sobre o assunto. 
"Nosso trabalho e nossa vida giram em torno da natureza e dos desenhos dela. Os animais são a maior 
fonte de inspiração", conta o cacique José Tehabi Javaé. A essa altura do projeto, a interferência de Pedro 
foi mínima, pois os alunos já sabiam reconhecer as figuras poligonais.
Mas as aulas extrapolaram o tema inicial: Pedro aproveitou a oportunidade para discutir os estereóti-
pos e o preconceito. O momento de maior descontração aconteceu quando os jovens, e também o pro-
fessor, foram pintados com jenipapo por um índio. O mesmo ritual acontece na aldeia em dias de festa.
Avaliação pela leitura de fotos
O que foi feito das fotografias tiradas pela turma? Foram parar nas telas do computador. As cenas 
captadas pelas lentes das câmeras digitais ajudaram a repassar e fixar conceitos e, principalmente, servi-
ram de material de avaliação para Pedro. Nas aulas de Informática, os alunos selecionaram imagens para 
cada propriedade de ângulos e polígonos. Na internet, eles pesquisaram a geometria presente em outros 
objetos e campos do conhecimento, como a arte, a arquitetura e a astronomia. Para finalizar, Pedro enco-
mendou um texto livre sobre as imagens.”
Fonte: BENCINI, Roberta. Com a Geometria na pele. Professor diversifica aulas de Geometria e ensina ângulos e 
polígonos através de pinturas corporais. Publicado na revista Nova Escola, ed. 169, jan. 2004, p. 3#37. São Paulo: 
Abril comumicações S/A. Disponível em: �http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/
geometria-pele-427471.shtml� Acesso em: maio 2013.
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89
Com a palavra, o especialista
Essa seção traz entrevistas com especialistas 
de áreas da Matemática.
diversificandO linguagens
1 Por que o personagem relaciona a sequência numérica com a família dele?
2 Faça uma pesquisa sobre a palavra primo e descreva o porquê de sua utilização como 
classificação de alguns números e como grau de parentesco.
3 Escreva a sequência dos números primos até o número 50.
4 Escreva o número 324 como um produto de números primos. 
5 Você conhece algum método para determinar os números primos que estão no intervalo 
de 101 a 200? 
6 Em dupla, copie a tabela e, com o auxílio de uma calculadora, juntos determinem os 
números primos que estão no intervalo de 101 a 150. Dica: utilizem os múltiplos dos 
números primos e os critérios de divisibilidade.
7 Descreva o procedimento usado para determinar os númerosprimos na tabela acima.
Ilu
st
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 C
ar
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on
2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
... 17, 19 e ... Preciso visitar 
mais a minha família, 
só conheço 8 primos.
Registre no 
caderno
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
126
Situação
muito abaixo da massa
abaixo da massa
massa normal
acima da massa
obesidade I
obesidade II (severa)
obesidade III (mórbida)
CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL 
TAMANHO DA CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL É FATOR DE RISCO CARDIOVASCULAR 
Engana-se quem pensa que medir uma circunferência é só coisa de matemático! Estudos comprovam que o 
aumento excessivo da circunferência abdominal pode contribuir para o surgimento de doenças cardiovasculares, 
como diabetes e hipertensão. Além disso, também é importante descobrir se estamos com a massa corporal 
adequada. Para isso, usamos as unidades de medidas, assunto estudado nessa unidade.
As doenças cardiovasculares 
matam mais de
no mundo por ano. No Brasil, 
esse tipo de doença é 
responsável pelo maior número 
de mortes.
17 milhões de pessoas
Na tabela ao lado, estão 
os valores considerados 
ideais para a circunferência 
abdominal, segundo 
a Associação Brasileira 
para o Estudo da Obesidade 
e da Síndrome Metabólica.
Para redução da gordura abdominal, 
devemos praticar atividade física 
aeróbica, como caminhar, correr, pedalar, 
nadar etc., e evitar alimentos calóricos, 
principalmente os muito gordurosos.
COMO MEDIR A 
CIRCUNFERÊNCIA 
ABDOMINAL
1. Posicione a fita métrica entre a 
borda inferior das costelas e a borda 
superior do osso do quadril.
2. Relaxe o abdômen e expire no 
momento de medi-lo. 
3. Registre a medida.
Obs.: pode-se obter um resultado 
mais preciso se a medição for feita 
sem vestimentas.
VALOR IDEAL DA CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL (CM)
TABELA IMCCALCULANDO O IMC
Você já ouviu falar em IMC? 
O Índice de Massa Corporal classifica 
as diferentes faixas de massa das 
pessoas. Por meio de seu resultado, 
podemos descobrir se estamos 
abaixo, dentro ou acima da massa
ideal recomendada.
O cálculo é feito por meio da fórmula:
IMC = , em que:
M = massa em kg
A = altura em m
Depois de obter o valor, 
consulta-se a tabela ao lado.
Calcule seu IMC e descubra em qual 
faixa de massa você está.
Caso o valor obtido não esteja localizado no 
intervalo de massa normal, pesquise quais 
medidas devem ser tomadas para que seu IMC 
reflita uma vida saudável.
artéria normal
artéria
aorta
excesso de 
colesterol
placa de 
colesterol 
em estágio 
avançado
CORAÇÃO
Faixa ideal
< 80 80 — 88 > 88
< 94
Mulher
Homem 94 — 102 > 102
Risco aumentado Risco muito aumentado
IMC
abaixo de 17
entre 17 e 18,49
entre 18,5 e 24,99
entre 25 e 29,99
entre 30 e 34,99
entre 35 e 39,99
acima de 40M
A2
As dimensões das estruturas 
representadas estão fora de escala;
as cores usadas não são reais.
bagagem cultural
A medida de circunferência abdominal é utilizada e aceita pela 
comunidade médica em adultos na avaliação de riscos de doenças. Em 
crianças e adolescentes, essa medida não deve ser utilizada a não ser 
em casos específicos, por apresentar variações por conta do crescimento. 
Logo, as faixas ideais e de risco teriam de ser diferentes para cada faixa 
etária. Hoje ainda há poucos estudos sobre esse assunto.
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Situação
muito abaixo da massa
abaixo da massa
massa normal
acima da massa
obesidade I
obesidade II (severa)
obesidade III (mórbida)
CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL 
TAMANHO DA CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL É FATOR DE RISCO CARDIOVASCULAR 
Engana-se quem pensa que medir uma circunferência é só coisa de matemático! Estudos comprovam que o 
aumento excessivo da circunferência abdominal pode contribuir para o surgimento de doenças cardiovasculares, 
como diabetes e hipertensão. Além disso, também é importante descobrir se estamos com a massa corporal 
adequada. Para isso, usamos as unidades de medidas, assunto estudado nessa unidade.
As doenças cardiovasculares 
matam mais de
no mundo por ano. No Brasil, 
esse tipo de doença é 
responsável pelo maior número 
de mortes.
17 milhões de pessoas
Na tabela ao lado, estão 
os valores considerados 
ideais para a circunferência 
abdominal, segundo 
a Associação Brasileira 
para o Estudo da Obesidade 
e da Síndrome Metabólica.
Para redução da gordura abdominal, 
devemos praticar atividade física 
aeróbica, como caminhar, correr, pedalar, 
nadar etc., e evitar alimentos calóricos, 
principalmente os muito gordurosos.
COMO MEDIR A 
CIRCUNFERÊNCIA 
ABDOMINAL
1. Posicione a fita métrica entre a 
borda inferior das costelas e a borda 
superior do osso do quadril.
2. Relaxe o abdômen e expire no 
momento de medi-lo. 
3. Registre a medida.
Obs.: pode-se obter um resultado 
mais preciso se a medição for feita 
sem vestimentas.
VALOR IDEAL DA CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL (CM)
TABELA IMCCALCULANDO O IMC
Você já ouviu falar em IMC? 
O Índice de Massa Corporal classifica 
as diferentes faixas de massa das 
pessoas. Por meio de seu resultado, 
podemos descobrir se estamos 
abaixo, dentro ou acima da massa
ideal recomendada.
O cálculo é feito por meio da fórmula:
IMC = , em que:
M = massa em kg
A = altura em m
Depois de obter o valor, 
consulta-se a tabela ao lado.
Calcule seu IMC e descubra em qual 
faixa de massa você está.
Caso o valor obtido não esteja localizado no 
intervalo de massa normal, pesquise quais 
medidas devem ser tomadas para que seu IMC 
reflita uma vida saudável.
artéria normal
artéria
aorta
excesso de 
colesterol
placa de 
colesterol 
em estágio 
avançado
CORAÇÃO
Faixa ideal
< 80 80 — 88 > 88
< 94
Mulher
Homem 94 — 102 > 102
Risco aumentado Risco muito aumentado
IMC
abaixo de 17
entre 17 e 18,49
entre 18,5 e 24,99
entre 25 e 29,99
entre 30 e 34,99
entre 35 e 39,99
acima de 40M
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281
Bagagem cultural
Apresenta infográficos que possibilitam explo-
rar a interdisciplinaridade entre a Matemática 
e outras disciplinas.
matemática e cidadania
Será que nós, brasileiros, conhecemos de fato nosso país 
e sua população?
 
Indígenas kalapalo 
da aldeia Aiha 
no Parque 
Indígena do Xingu, 
Querência, MT.
Para uma pergunta como essa, não temos prontamente uma resposta. Por exemplo, se falarmos 
que os indígenas estão desaparecendo na população brasileira, será uma afirmação completamente 
equivocada.
No último censo populacional feito no Brasil, descobriu-se que há cerca de 270 línguas indígenas. 
Como essas informações são levantadas? O 
que significa censo? É então que fica clara a im-
portância de fazer pesquisas. A cada 10 anos é 
feito um censo no país, ou seja, uma grande pes-
quisa que objetiva levantar as informações mais 
importantes a respeito do Brasil. Essas informa-
ções são analisadas e, com base nelas, decisões 
importantes são tomadas. 
Muitos gráficos são elaborados com os resul-
tados da coleta de informações, como o gráfico 
ao lado, que mostra a evolução da população resi-
dente em nosso país de 1872 até 2010.
Agora faça o que se pede.
1 Observando o gráfico acima, responda: Qual foi o crescimento, em milhões de pessoas, 
ocorrido entre 1872 e 2010?
2 Pesquise o crescimento populacional de indígenas no Brasil entre os anos 1991 e 2010 e 
responda:
a) Qual foi a taxa percentual de crescimento, de acordo com Censo 2010?
b) De acordo com o Censo 2010, existem 896 900 indígenas no Brasil. Se em 2020 o aumento 
for de 15% em relação ao ano de 2010, qual será a quantidade de indígenas ao todo que 
teremos nesse ano?
3 Além do censo, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) traz outras informa-
ções importantes para nossa vida. Pesquisee escreva o nome de outras pesquisas que o 
IBGE faz em nosso país. 
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Evolução da população
residente no país
(em milhões de pessoas)
9,9 14,3
17,4
30,6
41,1
51,9
70,0
93,1
119
146,8
169,8
190,755
18
72
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60
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80
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20
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10
Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2010.
Registre no 
caderno
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241
Matemática e cidadania
Por meio dos textos dessa seção, você saberá 
como a Matemática é importante no exercício 
da cidadania.
Diversificando linguagens
Em alguns capítulos, você conhecerá um jeito dife-
rente de “ler a Matemática”, por exemplo, por meio 
de histórias em quadrinhos ou tirinhas, mapas etc.
PROJETO APOEMA MATEMÁTICA
MERCADO 2014
visto
7a PROVA
ADRIANA
pom6_001_009_impresso.indd 5 5/17/15 3:42 PM
Explorando
Essa seção apresenta, no final de cada 
unidade, sugestões de livros, sites, filmes, 
vídeos, jogos etc. para você continuar explo-
rando o assunto. Aqui, você conta também 
com alguns códigos QR, ferramenta que 
possibilita o acesso direto a recursos da 
web por meio de dispositivos móveis.
Superando desafios
Ao final de cada unidade, você é convidado a 
aprender mais por meio de questões que o pre-
param para vestibulares, concursos e avaliações
do governo.
superandO desafiOs
1 (Saresp)
Melissa fez uma caixinha para guardar seus brincos. A planificação da caixinha está representada 
na figura abaixo.
Como ficou a caixinha de Melissa depois de colada? 
a) c) 
b) d) 
2 (Saresp)
Em qual das alternativas abaixo a figura é a planificação de um cubo?
a) c) 
b) d) 
Explorando
geometria na amazônia
Autor: Ernesto Rosa
Editora: Ática
112 páginas
André e sua irmã, Isabela, embarcam em um 
monomotor que sofre uma pane, deixando os dois 
perdidos em plena floresta amazônica. Para tentar 
escapar com vida, os dois usam a Geometria e ganham 
novos amigos. 
Ed
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maurits cornelis escher
http://www.mcescher.com/
indexuk.htm
Homepage oficial de M. C. Escher, artista 
gráfico holandês famoso pelos efeitos de 
ilusões de ótica de suas obras. É possível 
encontrar imagens das obras e toda a 
biografia do artista. Site em inglês.
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Você já ouviu falar em programas cuja função é criar planilhas de cálculo? Você já teve a 
oportunidade de explorá-los?
Esse tipo de programa é muito utilizado para várias finalidades e em diferentes situa-
ções. Eles nos possibilitam criar tabelas, automatizar cálculos, analisar dados e até cons-
truir gráficos para melhor visualizar os dados.
Primeiro, observe a estrutura de uma “página” nova da planilha. Cada um dos “retângu-
los” recebe o nome de célula. Cada célula tem um endereço, que é a intersecção da coluna 
com a linha onde ela se encontra. Por exemplo, na figura a seguir a célula selecionada está 
na coluna A e na linha 1, ou seja, é a célula A1:
Para criar uma tabela, pri-
meiro digite em cada célula a in-
formação desejada. Por exemplo:
Em seguida, clique no botão Formatar como 
tabela e escolha o estilo de tabela que deseja.
tecla_matemática
242
resgatandO cOnteúdOs
1 O número 0,25 corresponde a quantos 
centésimos da unidade?
a) 2 b) 5 c) 20 d) 25
2 Mentalmente, faça as seguintes adições:
a) 10 � 0,25
b) 12,89 � 20
c) 220,02 � 0,002
d) 4,5 � 0,35
e) 9,88 � 0,2
f) 2,22 � 0,78
3 O número 0,4 pode ser representado por:
a) 4
100
b) 3
5
c) 2
5
d) 5
8
4 A metade de um décimo pode ser escrita 
como:
a) 0,5 b) 0,05 c) 0,2 d) 0,01
5 Quantas moedas iguais à reproduzida a 
seguir são necessárias para trocar por 
uma cédula de 2 reais?
a) 10 c) 20
b) 5 d) 15
6 No gráfico de setores a seguir, estão in-
dicados os percentuais correspondentes 
a A, B, C e D. Qual desses percentuais 
poderá ser representado pela fração de-
cimal 1
10
?
A
15%
B
40%
C
35%
D
10%
a) 15%
b) 40%
c) 35%
d) 10%
7 Qual é a alternativa que indica a forma 
correta de ler o número 0,32?
a) Trinta e dois.
b) Trinta e dois décimos.
c) Trinta e dois centésimos.
d) Trinta e dois milésimos.
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8 Quatrocentos inteiros e quarenta e um cen-
tésimos podem ser representados por:
a) 400,401
b) 40,41
c) 4,41
d) 400,41
9 Qual é a alternativa que contém uma 
sentença matemática verdadeira?
a) 2 � 2,001
b) 2,02 � 2,1 
c) 2,01 � 2,009
d) 2,002 � 2,01
10 Cada pão estava sendo vendido na pani-
ficadora por R$ 0,25. Marcos comprou 
3 pães e pagou com uma cédula de 
R$ 2,00. Quanto ele recebeu de troco?
a) R$ 1,15
b) R$ 0,75
c) R$ 0,25
d) R$ 1,25
11 Qual das divisões indicadas nas alterna-
tivas tem o mesmo resultado da divisão 
0,5 � 0,2?
a) 0,05 � 0,02
b) 0,5 � 0,02 
c) 0,05 � 0,2 
d) 0,05 � 0,002
12 Observando a sequência numérica, po-
demos afirmar que o número que deverá 
ser escrito no último quadro é:
5 499,214549 921,4 54,99214
a) 1,5499214
b) 0,5499214
c) 0,05499214
d) 00,005499214
13 No quadro está indicada a quantia que 
Rubens conseguiu juntar hoje.
Qual é a alternativa que indica correta-
mente esse valor?
a) R$ 46,00
b) R$ 0,46
c) R$ 4,60
d) R$ 0,75
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Registre no 
caderno
245245
Tecla_Matemática
A tecnologia e a Matemática estão cada vez 
mais juntas e, por meio de programas de in-
formática, você descobrirá um novo universo 
e aprenderá os conteúdos de forma divertida.
Resgatando conteúdos
Ao final de cada unidade, há uma proposta de 
“resgate” dos conteúdos abordados nela por 
meio de exercícios que servem também de 
autoavaliação.
PROJETO APOEMA MATEMÁTICA
MERCADO 2014
visto
7a PROVA
ADRIANA
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Sumário
CAPÍTULO 1 - Os númerOs naturais ..........................12
 V Um pouco da história dos números ................13
 V Números naturais e sequências numéricas ....15
 V Números consecutivos ....................................15
 V Noções de conjunto ........................................18
 V O conjunto dos números naturais ...................18
CAPÍTULO 2 - O usO dOs númerOs ..............................20
 V Contagens, ordenações e códigos ..................20
 V Os números e o nosso dinheiro .......................23
CAPÍTULO 3 - sistema de numeraçãO decimal ..........25
 V Arredondamentos ............................................29
CAPÍTULO 4 - adiçãO e subtraçãO .............................32
 V Adição com números naturais .......................33
 V Propriedades da adição de números naturais 34
 V Subtração com números naturais ..................36
 V Expressões numéricas ...................................38
 V Cálculo mental ................................................39
CAPÍTULO 5 - multiplicaçãO e divisãO.......................41
 V Multiplicação com números naturais .............41
 V Propriedades da multiplicação de números 
naturais e expressões numéricas ...................45
 V Divisão com números naturais .......................48
 V Divisão com resto.............................................52
 V Expressões numéricas ....................................52
CAPÍTULO 6 - pOtenciaçãO e radiciaçãO ...................55
 V Potenciação ......................................................55
 V Radiciação ........................................................56
 V Expressões numéricas ....................................58
CAPÍTULO 7 - tratamentO da infOrmaçãO: Organiza-
çãO de dadOs em tabelas .............................................59
 V Tecla_Matemática .........................................63
 V Superando desafios ......................................65
 V Explorando ....................................................65
 V Resgatando conteúdos..................................66UNIDADE 1 números e sistemas de numeração 10
CAPÍTULO 8 - percebendO a geOmetria ....................70
 V Conhecendo a história .....................................71
 V Algumas noções de Geometria .......................75
 V Bagagem cultural ............................................78
CAPÍTULO 9 - fOrmas geOmétricas planas e nãO 
planas ..........................................................................80
 V Paralelepípedo ou bloco retangular ................81
 V Cubo .................................................................81
 V Vistas diferentes de um mesmo objeto...........83
 V Observando formas geométricas planas ........85
 V Superando desafios ......................................90
 V Explorando ....................................................90
 V Resgatando conteúdos..................................91
UNIDADE 2 geometria: primeiras noções 68
Projeto APoeMA MAteMáticA
MercAdo 2014
visto
7a prova
adriana
pom6_001_009_impresso.indd 7 5/17/15 3:42 PM
CAPÍTULO 10 - divisibilidade e númerOs primOs ......98
 V Noções de divisibilidade ..................................99
 V Critérios de divisibilidade ..............................101
 V Números primos ............................................103
 V Reconhecendo um número primo ................103
 V Crivo de Eratóstenes .....................................104
 V Decomposição em fatores primos ................106
CAPÍTULO 11 - divisOres de um númerO natural ...110
 V Máximo divisor comum .................................114
CAPÍTULO 12 - múltiplOs de um númerO natural ..118
 V Os múltiplos de um número ..........................118
 V Mínimo múltiplo comum ...............................122
CAPÍTULO 13 - tratamentO da infOrmaçãO: cOntagem 
e estimativa ................................................................127 
 V Primeiros procedimentos de contagem .......127
 V Árvore de possibilidades ................................127
 V Estimativa .......................................................129
 V Superando desafios ....................................130
 V Explorando ..................................................131
 V Resgatando conteúdos................................132
UNIDADE 3 múltiplos e divisores 96
CAPÍTULO 14 - a ideia de ângulO .............................136
 V Noção de ângulo ...........................................137
 V Classificação de ângulos ...............................140
 V Posição relativa entre retas ...........................143
CAPÍTULO 15 - pOlígOnOs ........................................147
 V Linha poligonal ..............................................148
 V Polígonos........................................................148
 V Polígonos regulares .......................................151
 V Com a palavra, o especialista .......................153
 V Quadriláteros .................................................155
 V Superando desafios ....................................160
 V Explorando ..................................................160
 V Resgatando conteúdos................................161 
UNIDADE 4 formas geométricas planas 134 
CAPÍTULO 16 - a ideia de fraçãO .............................166
 V Noções iniciais ..............................................166
 V Tipos de fração...............................................171
 V Fração de quantidade ....................................174
CAPÍTULO 17 - equivalência e cOmparaçãO entre 
frações ......................................................................176
 V Frações equivalentes .....................................177
 V Simplificação de frações ...............................181
 V Comparação de frações ................................185
CAPÍTULO 18 - adiçãO e subtraçãO de frações ......189
 V Adição e subtração de frações com o mesmo 
denominador ..................................................190
 V Adição e subtração de frações com denomina-
dores diferentes .............................................192
CAPÍTULO 19 - fraçãO de fraçãO ............................195
 V Multiplicação de frações ...............................195
 V Divisão de frações ..........................................198
 V Superando desafios ....................................201
 V Explorando ..................................................201
 V Resgatando conteúdos................................203 
UNIDADE 5 frações 164 
Projeto APoeMA MAteMáticA 6 Ano
MercAdo 2014
visto
7a prova
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CAPÍTULO 20 - frações decimais e númerOs 
decimais .....................................................................208
 V Número decimal e fração decimal ...............209
 V Frações centesimais ......................................214
 V Multiplicação de decimais por 
potências de 10 ..............................................214
 V Divisão de decimais por potências de 10 ......215
 V Comparações entre números decimais .......217
CAPÍTULO 21 - Operações cOm númerOs decimais .219
 V Adição com números decimais .....................219
 V Subtração com números decimais ...............221
 V Multiplicação com números decimais ..........223
 V Divisão entre números naturais: 
quociente decimal .........................................225
 V Divisão com números decimais ....................230
CAPÍTULO 22 - tratamentO da infOrmaçãO: 
nOçãO de pOrcentagem, gráficOs e tabelas .............233
 V Porcentagem ..................................................234
 V Descontos e acréscimos ...............................235
 V Pesquisas, tabelas e gráficos........................237
 V Matemática e cidadania ..............................241
 V Tecla_Matemática .......................................242
 V Superando desafios ....................................244
 V Explorando ..................................................244
 V Resgatando conteúdos................................245 
UNIDADE 6 números decimais 206 
CAPÍTULO 23 - unidades de cOmprimentO 
e de massa ..................................................................250
 V Unidades de comprimento ............................251
 V Perímetros de figuras geométricas planas ..254
 V Unidades de massa .......................................256
CAPÍTULO 24 - unidades de área .............................258
 V Unidades de área ...........................................259
 V Áreas de figuras geométricas planas ...........263
CAPÍTULO 25 - unidades de vOlume e de 
capacidade .................................................................267
 V Unidades de volume ......................................267
 V Volumes do cubo e do paralelepípedo ..........270
 V Unidades de capacidade ................................273
CAPÍTULO 26 - medida de tempO ..............................275
 V Matemática e cidadania ..............................278
 V Bagagem cultural .......................................280
CAPÍTULO 27 - tratamentO da infOrmaçãO: 
prObabilidade e média aritmética ............................282
 V Noções de probabilidade ...............................282
 V Noções sobre o conceito de 
média aritmética ............................................284
 V Superando desafios ....................................285
 V Explorando ..................................................285
 V Resgatando conteúdos................................286 
UNIDADE 7 grandezas e medidas 248 
gabarito 291
referências 304
manual do professor 305
Projeto APoeMA MAteMáticA 6 Ano
MercAdo 2014
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UNIDADE 1
Números e sistemas 
de numeração
Uma das primeiras noções que adquirimos sobre os nú-
meros está relacionada à ideia de contagem. Assim como 
utilizamos os números para contar, também os empre-
gamos para ordenar, medir e comparar. Dessa forma, 
temos as operações aritméticas: adição, subtra-
ção, multiplicação, divisão, potenciação e radi-
ciação. Tais operaçõessão facilitadas quando 
empregamos as propriedades de nosso 
sistema de numeração decimal.
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Dreamzdesigner/Dreamstime.com
1 Quantos algarismos utilizamos na escrita dos 
números no sistema de numeração decimal?
2 A adição de dois números naturais sempre re-
sulta em um número natural? 
3 Como você lê o número ordinal 89o?
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Capítulo 1
Os números naturais
Em 1514, o pintor, gravador e ilustrador Albrecht Dürer (1471-1528) fez uma gravura chama-
da Melancolia I. Próximo ao canto superior direito da obra há um quadrado mágico, que está 
destacado a seguir.
Albrecht Dürer. Melancolia I, 1514. Gravura em 
cobre, 23,9 3 18,8 cm.
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Al
br
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 D
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Al
em
an
ha
Esse é um dos mais famosos quadrados mágicos conhecidos. Ele é formado por 16 nú-
meros distribuídos em 4 linhas e 4 colunas. À primeira vista, parece uma tabela comum, mas 
verifique que:
•	a soma dos números em cada linha é 34;
•	a soma dos números em cada coluna é 34;
•	a soma dos números em cada uma das duas diagonais é 34;
•	a soma dos números que estão nos quatro cantos também é 34.
E há mais uma curiosidade que você pode descobrir: basta observar os tracejados no qua-
drado mágico abaixo. Note que a soma dos quatro números envoltos pelo tracejado, dentro 
dos quadrados menores, também é 34. 
A história da Matemática tem muitas curiosidades, princi-
palmente quando falamos do surgimento dos números. Co-
nhecer esse contexto histórico nos auxilia na compreensão 
de conceitos, propriedades e aplicações matemáticas.
Respostas da página anterior:
1. 10
2. Sim, dizemos que o conjunto dos números 
naturais é “fechado” para a adição.
3. Octogésimo nono.
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Um pouco da história dos números
Quando teriam surgido os números? 
A história dos números se confunde com a his-
tória de nossa evolução. Sendo assim, torna-se mui-
to difícil estabelecer sua origem. Sabemos que, em 
algum momento, devido à necessidade de contar 
quantidades, os números foram ganhando espaço 
na mente do ser humano.
O berço dessa grande ideia parece estar ligado a 
três rios. No Vale do Rio Nilo estabeleceu-se a civiliza-
ção egípcia, enquanto nos vales dos rios Tigre e Eufra-
tes formaram-se várias civilizações, além da impor-
tante civilização babilônica.
A observação de diferentes fontes e registros dessas civilizações indi-
ca, entre outros costumes, o uso dos números. Mesmo assim, responder 
à pergunta anterior parece uma tarefa impossível. Tudo o que temos são 
indícios que levam os historiadores a fazer conjecturas sobre o assunto. 
Esses indícios mostram que o surgimento dos números está rela-
cionado com a necessidade de o ser humano contar coisas. A ima-
gem de um pastor criando as ovelhas e associando cada uma delas 
a uma pedra possibilitou a ele um mecanismo de contagem muito 
simples. Talvez não tenham sido pedras. Poderia ter sido uma corda 
com vários nós, em que cada nó corresponderia a uma ovelha.
Em meados do século XX, no Congo, foi encontrado um osso com entalhes datado de 
cerca de 20000 a.C. Historiadores acreditam que pode ser um dos mais antigos registros do 
conhecimento matemático. Os entalhes registrados no osso levam a crer que se tratava de 
algum tipo de marcação de quantidades.
Para ter uma ideia da evolução do número, observe a seguir um quadro contendo algaris-
mos indo-arábicos, com os quais escrevemos os números. Neste quadro é possível perceber 
como os símbolos usados para grafar os 
números foram mudando ao longo do 
tempo até chegarem à forma como os 
escrevemos atualmente.
No ano 1455, o alemão Johannes 
Gutemberg imprimiu 200 Bíblias tipo-
graficamente. Era a invenção da impren-
sa. Antes dessa revolucionária invenção, 
os livros eram copiados um a um, ma-
nualmente. Assim, letras e algarismos 
foram, naturalmente, sofrendo transfor-
mações ao longo do tempo.
Observando a última linha dessa ta-
bela, podemos ver como os algarismos 
eram escritos no século XV, na Europa. 
Desse período para cá, eles praticamente 
mantiveram a mesma forma de escrita.
As pirâmides de Gizé durante um período de 
cheia do Rio Nilo, no Egito, c. 1890.
O "osso Ishango", pro-
vavelmente de um leão.
In
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itu
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N
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anséculo VI 
(indiano)
século IX 
(indiano)
século X 
(árabe oriental)
século X 
(europeu)
século XI 
(árabe oriental)
século XII 
(europeu)
século XIII 
(árabe oriental)
século XIII 
(europeu)
século XIV 
(árabe oriental)
século XV 
(árabe oriental)
século XV 
(europeu)
digital
Objeto
educacional
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aGoRa É CoM VoCÊ
1 Escreva os números a seguir utilizando nosso sistema de numeração.
a) Número que indica o último dia do mês de janeiro.
b) Maior número natural formado por três algarismos.
c) Menor número natural formado por três algarismos.
2 Com base em sua leitura, escreva cada número a seguir.
a) Nove mil oitocentos e setenta e quatro.
b) Trezentos e cinquenta e oito mil novecentos e noventa e nove.
c) Dois milhões, quatrocentos e noventa e cinco mil duzentos e oito.
3 Observe ao lado o quadrado dividido em três linhas e três colu-
nas e responda:
a) Quais números estão escritos neste quadrado?
b) Esse quadrado também é mágico? Explique.
4 Observe ao lado o quadrado formado por nove números, dispos-
tos em três linhas e três colunas. Responda:
a) Qual é a soma dos números de cada linha?
b) E de cada coluna?
c) E de cada uma das diagonais?
5 Complete a tabela com algarismos indo-arábicos.
Romanos I V X L C D M
Indo-arábicos 
Agora faça o que se pede.
a) Escreva os números de 1 a 20 utilizando apenas algarismos roma-
nos. 
b) Descubra em que ano começou o século XXI. 
31
999
100
9 874
358 999
2 495 208
2 9 4
7 5 3
6 1 8
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Sim, a soma dos números de cada linha, coluna e diagonal é 15.
23 28 21
22 24 26
27 20 25
72
72
72
1 5 10 50 100 500 1 000
M
ar
ci
o 
Le
vy
m
an
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, 
XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX.
2 001
tRabalho eM equIpe
Quadrado mágico 5 3 5
Em grupo, faça o que se pede.
1 Preencha as 9 casas centrais (quadrado 3 3 3) do quadrado má-
gico ao lado, com os números 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17, de 
modo que a soma das linhas, colunas e diagonais seja 39.
 Dica: o número central é o 13.
2 Complete o restante das casas com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 e 25, de modo que a soma das linhas, 
colunas e diagonais do quadrado 5 3 5 seja 65.
3 Faça um resumo das estratégias utilizadas pela equipe nas ati-
vidades 1 e 2.
 
 
 
 
 
5 20 18 3 19
25 10 15 14 1
24 17 13 9 2
4 12 11 16 22
7 6 8 23 21
Registre no 
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Registre no 
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Números naturais e sequências numéricas 
Uma das sequências numéricas que mais utilizamos está ligada à 
contagem do tempo. Qualquer folha de calendário é organizada em 
linhas e colunas para que possamos visualizar melhor os dias do mês e 
da semana.
Normalmente, a primeira sequência de números que conhecemos, an-
tes mesmo de entrar na escola, é a sequência dos números naturais.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …
Nessa sequência, cada número, a partir do zero, que é o primeiro, é igual aoanterior mais 1. 
Temos aí a ideia de sucessor e antecessor de um número natural.
1 5 0 1 1 1 é o sucessor de 0 (0 é o antecessor de 1)
2 5 1 1 1 2 é o sucessor de 1 (1 é o antecessor de 2)
3 5 2 1 1 3 é o sucessor de 2 (2 é o antecessor de 3)
4 5 3 1 1 4 é o sucessor de 3 (3 é o antecessor de 4)
 
4 999 5 4 998 1 1 4 999 é o sucessor de 4 998 (4 998 é o antecessor de 4 999)
Exemplo 1:
Escreva uma sequência formada por todos os números naturais pares que sejam compos-
tos de dois algarismos.
Resolução:
O menor número par com dois algarismos é o 10. Então, a partir dele, basta ir adicionando 
2 para obter os demais. Observe:
10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54,
56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98
Desses números, o maior é o 98.
Exemplo 2:
Descubra o padrão numérico da sequência 1, 4, 9, 16, 25, ...
Resolução:
Note que a sequência é formada pela multiplicação de um número natural por si mesmo, 
começando do número 1.
1 3 1 5 1; 2 3 2 5 4; 3 3 3 5 9; 4 3 4 5 16; 5 3 5 5 25; ...
Ou pode-se, a partir do número 1, adicionar os números 3, 5, 7, 9, ... a cada termo obtido, 
para determinar os demais termos da sequência.
1; 1 1 3 5 4; 4 1 5 5 9; 9 1 7 5 16; 16 1 9 5 25; ...
Números consecutivos
Nas sequências numéricas, os números que se seguem uns aos outros do menor para o 
maior e sem lacunas são chamados de consecutivos. Veja os exemplos a seguir:
•	4 e 5 são consecutivos na sequência dos números naturais;
•	12, 14, 16, 18 são consecutivos na sequência dos números pares;
•	3 e 7 não são consecutivos na sequência dos números ímpares, mas são consecutivos 
na sequência 3, 7, 11, 15, ...
Zu
ba
rt
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aGoRa É CoM VoCÊ
1 Considere o número 299. Escreva os próximos quatro números naturais maiores que 299.
2 Observe a tabela abaixo. Descubra o padrão numérico aplicado a ela e informe quais 
números deverão ser colocados no lugar das letras que estão na segunda linha.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 5 10 15 A B C 35 40 45
3 Escreva a sequência dos dez primeiros números naturais ímpares.
4 É correto dizer que todo número natural tem um antecessor?
5 Observe a tabela abaixo. Descubra o padrão numérico aplicado a ela e informe quais 
números deverão ser colocados no lugar das letras que estão na segunda linha.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 6 12 18 A B C D E F
6 Na tabela a seguir aparecem os quatro primeiros números triangulares. Determine qual 
é o próximo número triangular. 
1 3 6 10
7 Observe na tabela a seguir os chamados números quadrados. Essa denominação é feita 
pela disposição dos pontos ao longo de quadrados. Determine qual é o próximo número 
quadrado.
1 4 9 16
8 Escreva cinco números naturais e consecutivos que são maiores que 10 e menores que 20.
9 Alisson escreveu no caderno cinco números naturais e consecutivos, sendo 4 001 o maior 
deles. Quais são os cinco números escritos por Alisson? 
300, 301, 302, 303 
De 5 em 5. A 5 20, B 5 25, C 5 30.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
Não, pois 0 é um número natural que não tem antecessor.
De 6 em 6. A 5 24, B 5 30, C 5 36, D 5 42, E 5 48, F 5 54.
15
25
Resposta pessoal. Resposta possível: 12, 13, 14, 15 e 16 .
3 997, 3 998, 3 999, 4 000, 4 001.
Registre no 
caderno
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10 Escreva o sucessor e o antecessor de cada um dos números naturais seguintes.
a) 99
b) 908
c) 9 019
d) 1 000 000
11 Observe no quadro ao lado a sequência formada pelas 
cidades onde algumas olimpíadas foram sediadas e o 
ano em que cada uma ocorreu. 
a) Como foi formada a sequência dos anos correspondentes às olimpíadas?
b) Observando a data da última olimpíada indicada na tabela, quando ocorrerão as próxi-
mas cinco olimpíadas? É possível saber onde? Por quê?
c) Escreva cinco anos, antes de 1980, em que houve Olimpíadas.
12 Determine o padrão numérico das sequências e escreva os próximos cinco termos de 
cada uma delas.
a) 20, 40, 60, 80, ... Adiciona-se 20 para obter o próximo termo: 100, 120, 140, 160, 180.
b) 10, 25, 40, 55, ... Adiciona-se 15 para obter o próximo termo: 70, 85, 100, 115, 130.
c) 980, 900, 820, 740, ... Subtrai-se 80 para obter o próximo termo: 660, 580, 500, 420, 340.
d) 2010, 2006, 2002, 1998, ... Subtrai-se 4 para obter o próximo termo: 1994, 1990, 1986, 1982, 1978.
13 Escreva cada uma das sequên cias numéricas indicadas a seguir.
a) O primeiro número é 100. A partir do segundo número, inclusive, cada número é 
igual ao anterior mais 10 unidades.
b) O primeiro número é 999. A partir do segundo número, inclusive, cada número é 
igual ao anterior menos 10 unidades.
14 Responda:
a) Quanto é a diferença entre dois números naturais e consecutivos?
b) E entre dois números naturais e consecutivos pares?
c) E entre dois números naturais e consecutivos ímpares?
100 e 98
909 e 907
9 020 e 9 018
1 000 001 e 999 999
De 4 em 4 anos.
b) 2020, 2024, 2028, 2032 e 2036. A Olimpíada de 2020 
será em Tóquio. Não se sabe ainda as cidades-sede das 
próximas olimpíadas, pois o comitê olímpico determina o 
local aproximadamente sete anos antes de sua realização. 
100, 110, 120, 130, 140, 150, ...
999, 989, 979, 969, 959, 949, ...
1
2
2
ano local
1980 Moscou
1984 Los Angeles
1988 Seul
1992 Barcelona
1996 Atlanta
2000 Sydney
2004 Atenas
2008 Pequim
2012 Londres
2016 Rio de Janeiro
Registre no 
caderno
OCEANO GLACIAL ÁRTICO
OCEANO
PACÍFICO
OCEANO
ÍNDICO
OCEANO
ATLÂNTICO
Equador
Trópico de Capricórnio
Círculo Polar Antártico
Círculo Polar Ártico
Trópico de Câncer
OCEANO PACÍFICO
0° 60°L 120°L60°O120°O
0°
M
er
id
ia
no
 d
e 
Gr
ee
nw
ic
h
OCEANO GLACIAL ANTÁRTICO
Sydney
Moscou
Seul
Barcelona
Atenas
Pequim
Londres
Los Angeles Atlanta
Rio de Janeiro
Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 32.
Sedes olímpicas
Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 32.
©
 D
AE
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on
ia
 V
az
• Sedes olímpicas
N
S
LO
 0 6 722 13 444 km
1960, 1964, 1968, 1972, 1976.
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Noções de conjunto
Um conjunto pode ser entendido como uma coleção de objetos. Um exemplo é o con-
junto de todas as moedas de nosso sistema monetário.
Podemos representar um conjunto listando seus elementos entre chaves e separando-os 
com vírgulas.
Assim, a representação do conjunto das moedas do nosso sistema monetário pode ser:
M 5 {1 centavo, 5 centavos, 10 centavos, 25 centavos, 50 centavos, 1 real}
Em geral, o nome do conjunto é representado por uma letra maiúscula.
•	O conjunto que tem apenas um elemento é chamado de conjunto unitário.
Exemplo:
Seja A o conjunto dos dias da semana cujos nomes começam com a letra d. Só temos o 
domingo que começa com d. Portanto, A é um conjunto unitário e pode ser representado por:
A = {domingo}
•	O conjunto que não tem elementos é chamado de conjunto vazio.
Exemplo:
Seja B o conjunto dos meses que têm 40 dias. Como não há mês com essa quantidade de 
dias, o conjunto B é vazio. Podemos representar esse conjunto por:
B =  ou B 5 { }
O conjunto dos números naturais 
A sequência dos números naturais é infinita e começa do zero: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Este conjunto é identificado pelo símbolo , logo, o conjunto dos números naturais pode 
ser escrito como:
 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}
As reticências indicam que o conjunto é infinito.
Perceba que, da mesma maneira que todo número natural n tem um sucessor que pode 
ser descrito como n 1 1, todo número natural n, com exceção de 0, tem um antecessor que 
pode ser descrito como n  1.
É possível também representar o conjunto dos números naturais em uma reta numérica, 
como a reta a seguir. 
A disposição dos números nessareta indica que eles aumentam da esquerda para a direita. 
Assim, um valor é maior do que cada um dos valores que estão à sua esquerda.
Exemplos:
 
3  4
 
5  1
 
8  7
Lembre-se: o sinal > significa maior que e o sinal < significa menor que.
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
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aGoRa É CoM VoCÊ
1 Escreva cinco números que fazem parte de seu dia a dia e são usados para contar, medir, 
ordenar, fornecer uma informação ou um código. Resposta pessoal.
2 Larissa e Maria, sua amiga, estavam brincando de karaoke. Larissa obteve 15 pontos, e 
Maria alcançou, em sua pontuação, o sucessor dos pontos de Larissa. Qual foi a soma 
de pontos das duas? 31 pontos
3 Chiquinho tem 2 irmãos. O número de irmãos de Maria é igual ao dobro da quantidade de 
irmãos de Chiquinho. O número de irmãos de Camila é igual ao antecessor do número 
de irmãos de Maria. Quantos irmãos tem Camila? Camila tem três irmãos.
4 Escreva o conjunto de cada item.
a) Números naturais ímpares menores que 4. {1, 3} 
b) Números naturais maiores que 1 e menores que 9. {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
c) Números naturais pares maiores que 7. {8, 10, 12, 14, 16, ...}
d) Números naturais menores ou iguais a 10. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
5 Em um trimestre Carina obteve três notas com valores naturais e consecutivos, e a me-
nor delas foi 7. Qual foi a maior nota que Carina obteve no trimestre? A maior nota foi 9.
6 Escreva em ordem crescente os números a seguir.
a) 22, 4, 90, 5, 13, 1, 99 1, 4, 5, 13, 22, 90, 99
b) 567, 452, 453, 888, 1 019, 1 009 452, 453, 567, 888, 1 009, 1 019
7 Pense em um conjunto qualquer e represente-o com a notação matemática que você 
aprendeu. Resposta pessoal.
8 Determine os números dos itens a seguir.
a) O antecessor de 100. 99
b) O sucessor de 23. 24
c) O sucessor do sucessor de 31. 33
d) O sucessor do antecessor de 31. 31
e) O antecessor do sucessor de 31. 31
9 Em uma família com três filhos, o mais velho tem 6 vezes a idade do caçula e este, por 
sua vez, tem um quinto da idade do filho do meio. Determine a soma das idades dos ir-
mãos, sabendo que o filho mais novo tem 3 anos. 36 anos (18 1 15 1 3 5 36) 
10 Uma soma com 4 parcelas é igual a 132. Subtraindo 5 da primeira parcela e 41 da se-
gunda e adicionando 12 e 60 na terceira e quarta parcelas, respectivamente, qual será o 
novo resultado da soma? 132  5  41 1 12 1 60 5 158 
11 Escreva o conjunto formado pelas cédulas do nosso sistema monetário. 
A = {2 reais, 5 reais, 10 reais, 20 reais, 50 reais, 100 reais}
12 Responda:
a) Qual é o número de elementos de um conjunto unitário? 1
b) Qual é o número de elementos de um conjunto vazio? Zero.
Registre no 
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Capítulo X
Título título título título
Capítulo 2
O uso dos números
Você já olhou com atenção o painel de um automóvel?
Nele podemos observar diversas luzes, 
vários comandos e informações importan-
tes que são representados por números.
Os números ainda estão presentes na 
identidade e na carteira de habilitação do 
motorista do carro. Além disso, eles fazem 
parte da placa dos veículos.
Números que indicam 
a quantidade de 
combustível no 
tanque.
Números que 
indicam o horário.
Números que indicam a 
quantidade de quilômetros 
percorrida pelo carro.
Lé
o 
B
ur
go
s
Números que indicam 
a velocidade do carro.
Números que indicam 
as rotações do motor.
©
 D
AE
Zu
ba
rt
ez
Esses são apenas alguns exemplos de utilização dos números. Eles são empregados com 
finalidades diversas, como veremos a seguir.
Contagens, ordenações e códigos
Desde criança, utilizamos os números para fazer contagens. Para tanto, empregamos os nú-
meros naturais. Além disso, fazemos comparações entre quantidades.
 4  3 
O
m
kr
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am
st
im
e.
co
m
M
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e5
8/
D
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am
st
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e.
co
m
Trópico de Capricórnio
50°O
OCEANO
ATLÂNTICO
MATO GROSSO
DO SUL
SÃO PAULO
PARANÁ
SANTA CATARINASANTA CATARINA
Curitiba
Capital de estado
Arapongas
Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 175.Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 175.
N
S
LO
 0 105 210 km
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A brasileira Sarah Menezes ficou em 1o lugar na 
competição de judô nas Olimpíadas de 2012, 
em Londres.
Quando queremos indicar posição, utilizamos os 
números ordinais, por exemplo, João está em pri-
meiro (1o) lugar; Maria, em segundo (2o) lugar, e as-
sim por diante.
No quadro abaixo, indicamos alguns números ordinais:
C
am
er
on
 S
pe
nc
er
/G
et
ty
 Im
ag
es
As réguas para uso escolar, em geral, têm um conjunto de números naturais que expres-
sam comprimento. Observe a imagem da régua e note que os números representam valores 
em centímetros, que é uma unidade de medida.
N
at
al
ia
 S
iv
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in
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D
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am
st
im
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co
m
D
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ib
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vi
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Sh
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to
ck
1o (primeiro) 20o (vigésimo) 300o (tricentésimo)
2o (segundo) 30o (trigésimo) 400o (quadringentésimo)
3o (terceiro) 40o (quadragésimo) 500o (quingentésimo)
4o (quarto) 50o (quinquagésimo) 600o (sexcentésimo)
5o (quinto) 60o (sexagésimo) 700o (setingentésimo)
6o (sexto) 70o (septuagésimo) 800o (octingentésimo)
7o (sétimo) 80o (octogésimo) 900o (noningentésimo)
8o (oitavo) 90o (nonagésimo) 1 000o (milésimo)
9o (nono) 100o (centésimo) 1 000 000o (milionésimo)
10o (décimo) 200o (ducentésimo) 1 000 000 000o (bilionésimo)
Ao criarmos uma senha, podemos escolher um 
conjunto de caracteres como letras, sinais e núme-
ros. Neste caso, o número tem a finalidade específi-
ca de codificar. Outros exemplos de números usa-
dos como código são os de documentos pessoais, 
telefone, Código de Endereçamento Postal (CEP), 
código de barras etc. Empregamos os números com 
diversas finalidades.
Você conhece outras unidades de medida? Quais?
Estudaremos outras unidades de medida mais adiante.
Teclado do caixa eletrônico de um banco.
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aGoRa É CoM VoCÊ
C
es
ar
 D
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ul
sa
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Im
ag
en
s
O Código de Endereçamento Postal (CEP) é uma sequência 
numérica utilizada para orientar e acelerar o encaminha-
mento de correspondências.
Resposta pessoal. Oriente os alunos a buscar informações para 
a pesquisa no site dos Correios.
1 Escreva por extenso cada um dos seguintes números ordinais:
a) 224o b) 75o c) 139o d) 762o 
2 Houve um acidente e o veículo que o causou fugiu logo de-
pois. Uma testemunha memorizou apenas as três letras da 
placa e os três primeiros algarismos. 
a) Quais são as possíveis placas que esse veículo pode ter?
b) E se a testemunha tivesse anotado a placa faltando apenas a última letra, quantas 
seriam as possíveis placas do veículo?
3 Numa corrida em um fim de semana, 93 pessoas chegaram antes de você. Qual foi a 
sua posição de chegada?
4 Para fazer o que se pede nos itens a seguir você pode ir a uma agência dos Correios 
de sua cidade ou consultar o site ‹www.correios.com.br›.
a) O que é CEP?
b) Qual é o CEP de seu endereço? 
c) O seu CEP é o mesmo que o de seus colegas?
d) Faça com um colega uma pesquisa sobre o significado 
dos algarismos na estrutura do CEP e apresente-a na 
sala de aula.
5 Como determinar os dígitos verificadores do CPF?
Se o CPF de uma pessoa tem os 9 primeiros dígitos 087.342.524, quais serão os dois 
dígitos verificadores? 
Cálculo do primeiro dígito de controle:
CpF 0 8 7 3 4 2 5 2 4
posição 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Devemos multiplicar o algarismo do CPF pelo número que corresponde à sua posição e 
somar os nove resultados, como a seguir.
0 3 1 1 8 3 2 1 7 3 3 1 3 3 4 1 4 3 5 1 2 3 6 1 5 3 7 1 2 3 8 1 4 3 9 5 168
Feito isso, dividimos o resultado por11. O resto da divisão, que neste caso é 3, é o pri-
meiro dígito verificador.
Agora, para determinar o segundo dígito verificador, acrescentamos o décimo número, 
que acabamos de calcular, e usamos como posição os números de 0 a 9. Verifique:
CpF 0 8 7 3 4 2 5 2 4 3
posição 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 3 0 1 8 3 1 1 7 3 2 1 3 3 3 1 4 3 4 1 2 3 5 1 5 3 6 1 2 3 7 1 4 3 8 1 3 3 9 5 160
Novamente, dividimos o número obtido por 11 e obtemos resto igual a 6, que é o segundo 
dígito verificador.
Assim o CPF completo seria: 087.342.524–36.
Agora, em dupla, verifique essa regra utilizando seu CPF ou o CPF de um parente ou colega.
ducentésimo vigésimo quarto septuagésimo quinto centésimo trigésimo nono
setingentésimo sexagésimo segundo
Zu
ba
rt
ez
São 10 placas suspeitas: PLM-5740 ou com o último algarismo sendo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9.
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94o
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Registre no 
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Os números e o nosso dinheiro
Observe reproduções das cédulas do real (representado pelo R$), a moeda que circula em nosso país.
Exemplo 2:
Raul foi à cantina da escola e comprou um pão de queijo, um suco e um lanche natural.
Observe a tabela de produtos e seus valores existentes na cantina.
pão de queijo R$ 2,00
coxinha R$ 4,00
croissant R$ 3,00
mini pizza R$ 5,00
lanche natural R$ 5,00
refrigerante R$ 4,00
suco R$ 5,00
a) Com base na tabela de preços, quanto Raul gastou? Raul gastou R$ 12,00.
b) Ele entregou duas notas de R$ 10,00 para o vendedor. Haverá troco? Se sim, de quanto 
será o troco? Por quê? 20  12 5 8 O troco será de R$ 8,00.
©
 B
an
co
 C
en
tr
al
 d
o 
B
ra
si
l
Note que as cédulas têm tamanhos diferentes. É importante conhecer bem os valores des-
sas cédulas para fazer compras, compreender quanto se recebe de troco etc. Leia as situações 
a seguir a fim de compreender o uso do dinheiro.
Exemplo 1:
Um feirante precisava trocar uma cédula de 100 reais. Foi ao caixa de um banco e recebeu 
1 cédula de 50 reais e outras cédulas de valores diferentes de 50 reais. Quais são os valores 
possíveis dessas cédulas, sabendo que elas têm o mesmo valor?
Resolução:
Como o caixa deu 1 cédula de 50 reais, as outras cédulas devem totalizar 50 reais. Preci-
samos então determinar quais são as possibilidades de juntar cédulas de mesmo valor que 
totalizem 50 reais:
•	1a possibilidade: 5 cédulas de 10 reais;
•	2a possibilidade: 10 cédulas de 5 reais;
•	3a possibilidade: 25 cédulas de 2 reais.
São apenas essas as possibilidades, já que as cédulas devem ter o mesmo valor.
Registre no 
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1 Além das cédulas, há moedas em circulação no 
Brasil.
Marta conseguiu juntar um total de 2 reais com moe-
das de mesmo valor. Qual é o número de moe das 
que ela pode ter juntado?
2 Veja na tabela a seguir a quantia que Júlia, Mauro e Tânia possuem. Nas colunas estão 
indicadas quais cédulas cada um tem e seus valores.
Cédula
Nome
Júlia 1 2 1 2
Mauro 2 2 2 2
tânia 1 4 2 4
Fo
to
s:
 ©
 B
an
co
 C
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tr
al
 d
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B
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l
Escreva a quantia em reais que cada um deles tem.
3 Maria e seu irmão organizaram um evento para auxiliar na compra de material escolar 
para crianças de uma comunidade. A tabela a seguir mostra o total arrecadado. Obser-
ve-a e calcule quantos reais eles conseguiram arrecadar. R$ 397,00
4 O cadeado de uma mala de viagem contém uma senha composta de quatro algarismos. 
O dono da mala se lembra dos três primeiros e esqueceu apenas o último algarismo. 
Quais são as possíveis senhas desse cadeado?
8 6 4 ?
5 Escreva a quantia total correspondente a:
a) 4 cédulas de 20 reais;
b) 3 cédulas de 100 reais;
c) 5 cédulas de 5 reais;
d) 8 cédulas de 2 reais;
e) 10 cédulas de 10 reais.
6 Copie e complete a tabela com os va-
lores que faltam. Note que a primeira 
linha da tabela está completa.
©
 B
an
co
 C
en
tr
al
 d
o 
B
ra
si
l
Ela juntou 200 moedas de 1 centavo, ou 
40 de 5, ou 20 de 10, ou 8 de 25, ou 4 de 50 ou 2 moedas de 1 real.
Júlia: 240 reais, Mauro: 360 reais e Tânia: 380 reais.
8 640, 8 641, 8 642, 8 643, 8 644, 8 645, 8 646, 8 647, 
8 648 ou 8 649
80 reais
300 reais
25 reais
16 reais
100 reais
aGoRa É CoM VoCÊ
4 moedas 
de R$ 0,25
6 moedas 
de R$ 0,50
3 moedas 
de R$ 1,00
2 cédulas 
de R$ 10,00
1 cédula 
de R$ 20,00
3 cédulas 
de R$ 50,00
2 cédulas 
de R$ 100,00
Valor da compra 
(reais)
quantia dada 
(reais)
troco recebido 
(reais)
75 100 25 
130 140 
200 40 
320 30 
920 950 
160
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Por volta do ano 500, matemáticos indianos desenvolveram o sistema de notação posicio-
nal dos números. Atualmente, o denominamos sistema de numeração decimal ou sistema de 
numeração indo-arábico. Esta última denominação informa que o sistema foi criado pelos 
indianos (“indo”) e sua divulgação foi feita pelos árabes (”arábico“) .
AFEGANISTÃO
PAQUISTÃO
NEPAL
CHINA
BUTÃO
BANGLADESH
MIANMAR
SRI LANKA
Golfo de
BengalaOCEANO
ÍNDICO
Í N D I A
Is. Lacadivas
(IND)
Is. Andaman
(IND)
Is. Nicobar
(IND)
80° L
Trópico de Câ
ncer
Nova
Délhi
Índia - Político
Capital de país
índia - político
3360 672 km
1: 33 600 000
©
 D
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/S
im
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So
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es
 d
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An
dr
ad
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Fonte: Atlas geográfico escolar. 5. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012, p. 47.
M
ar
ci
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Le
vy
m
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Para escrever um número no sistema de numeração decimal, utilizamos 10 símbolos, 
chamados de algarismos.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O sistema tem base 10, isto quer dizer que, os agrupamentos são feitos de 10 em 10 uni-
dades. É posicional, ou seja, o valor de um algarismo depende de sua posição no número. Por 
exemplo, no número 333 o algarismo da direita equivale a 3 unidades, o algarismo do centro 
equivale a 3 dezenas e o da esquerda equivale a 3 centenas.
Neste capítulo, estudaremos um pouco mais sobre o sistema de numeração decimal.
Capítulo 3
Sistema de numeração 
decimal
N
S
LO
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No sistema de numeração decimal, cada número é composto, da direita para a esquerda, 
pela quantidade de unidades, de dezenas, de centenas, de unidades de milhar, de dezenas de 
milhar, de centenas de milhar, de unidades de milhão etc.
Classe Milhares de milhão Milhões Milhares unidades
ordem
Ce
nte
na
 de
 m
ilh
ar 
de
 m
ilh
ão
De
zen
a d
e m
ilh
ar 
de
 m
ilh
ão
Un
ida
de
 de
 m
ilh
ar 
de
 m
ilh
ão
Ce
nte
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 de
 m
ilh
ão
De
zen
a d
e m
ilh
ão
Un
ida
de
 de
 m
ilh
ão
Ce
nte
na
 de
 m
ilh
ar
De
zen
a d
e m
ilh
ar
Un
ida
de
 de
 m
ilh
ar
Ce
nte
na
De
zen
a
Un
ida
de
 
Exemplo 1:
•	3 782 456 5 3 000 000 1 700 000 1 80 000 1 2 000 1 400 1 50 1 6
Lê-se: três milhões, setecentos e oitenta e dois mil quatrocentos e cinquenta e seis.
•	92 446 902 5 90 000 000 1 2 000 000 1 400 000 1 40 000 1 6 000 1 900 1 2
Lê-se: noventa e dois milhões, quatrocentos e quarenta e seis mil novecentos e dois.
Exemplo 2:
Em revistas e jornais é muito comum os números muito grandes serem escritos de ma-
neira um pouco diferente, por exemplo, a população brasileira, conforme o Censo 2010, era 
de aproximadamente 191 milhões. 
Escreva essa quantidade de habitantes somente com algarismos, conforme o sistema de 
numeração decimal.
Resolução:
191
191 mil 5 191 000
191 milhões 5 191 000 000
Exemplo 3:
Faça a decomposição e escreva como se lê cada um dos seguintes números.
a) 9 345 629
Resolução:
 9 345 629 5 9 000 000 1 300 000 1 40 000 1 5 000 1 600 1 20 1 9
Nove milhões, trezentos e quarenta e cinco mil seiscentos e vinte e nove.
b) 24 999 523
Resolução:
 24 999 523 5 20 000 000 1 4 000 000 1 900 000 1 90 000 1 9 000 1 500 1 20 1 3
Vinte e quatro milhões, novecentose noventa e nove mil quinhentos e vinte e três.
c) 342 789 421
Resolução:
 342 789 421 5 300 000 000 1 40 000 000 1 2 000 000 1 700 000 1 80 000 1 9 000 1 
1 400 1 20 1 1
Trezentos e quarenta e dois milhões, setecentos e oitenta e nove mil quatrocentos e 
vinte e um.
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aGoRa É CoM VoCÊ
1 Observe a tabela. Com base nas informações sobre a Região Norte do Brasil, responda 
às questões.
estado N
o de 
habitantes
Rondônia 1 560 501
Acre 732 793
Amazonas 3 480 937
Roraima 451 227
Pará 7 588 078
Amapá 668 689
Tocantins 1 383 453
 
a) Quais são os estados dessa região que têm a população maior que 1 milhão de habi-
tantes?
b) Determine a soma da população dos estados da Região Norte. Escreva esse número 
como se lê. 15 865 678; quinze milhões, oitocentos e sessenta e cinco mil, seiscentos e setenta e oito
2 Faça a composição de cada um dos seguintes números:
a) 9 000 000 1 80 000 1 600 1 4 b) 20 000 000 1 30 000 1 500 1 1
3 Considere o número 2 milhões, isto é, 2 000 000. Neste número, quantas são as:
a) unidades?
b) dezenas?
c) centenas?
d) unidades de milhar?
e) dezenas de milhar?
f) centenas de milhar?
4 Em um número o algarismo da dezena é 5, o das centenas é 4 e o do milhar é 3. Sa-
bendo-se que este número natural é par e menor que 3 500, escreva todos os possíveis 
números que atendem a essas condições. 3 450, 3 452, 3 454, 3 456, 3 458 
5 Escreva com algarismos cada um dos seguintes números.
a) Trezentos e nove mil quatrocentos e oitenta e oito.
b) Nove milhões, quatrocentos e cinquenta e dois mil.
6 Responda:
a) Qual é o sucessor do número 10 999?
b) Qual é o antecessor do número 100 900?
Rondônia, Amazonas, Pará e Tocantins.
9 080 604 20 030 501
2 000 000
200 000
20 000
2 000
200
20
309 488
9 452 000
11 000
100 899
Equador
OCEANO
ATLÂNTICO
60° O
0°
Boa Vista
Macapá
Belém
Manaus
Porto Velho
Palmas
Rio Branco
COLÔMBIA
PERU
BOLÍVIA
RORAIMA
AMAPÁ
A M A Z O N A S P A R Á
ACRE
TOCANTINS
RONDÔNIA
BAHIA
GOIÁS
MATO GROSSO
PIAUÍ
MARANHÃO
VENEZUELA
GUIANA
SURINAME
GUIANA
FRANCESA
 (FRA)
Capital de estado
Limites estaduais
Limites internacionais
3310 662 km
1: 33 100 000
©
 D
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im
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So
ar
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 d
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An
dr
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e
Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012, p. 90.
Norte (IbGe) — Divisão política
Registre no 
caderno
Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2010.
N
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7 Faça a decomposição de cada um dos seguintes números:
a) 74 576
b) 932 775
c) 3 456 829
d) 44 758 223
8 Escreva o número correspondente a:
a) 44 centenas;
b) 57 unidades de milhar;
c) 3 dezenas de milhar;
d) 9 dezenas de bilhão.
9 A figura abaixo representa um ábaco. Cada conta colorida significa uma unidade da cor-
respondente ordem indicada.
Zu
ba
rt
ez
 Responda:
a) Que número está indicado no ábaco?
b) Que número cada conta vermelha está representando?
c) Que número cada conta amarela está representando?
10 Conforme o Censo Demográfico 2010, confira a população dos estados que compõem a 
Região Nordeste:
estado No de habitantes
Maranhão 6 569 683
Piauí 3 119 015
Ceará 8 448 055
Rio Grande 
do Norte 3 168 133
Paraíba 3 766 834
Pernambuco 8 796 032
Alagoas 3 120 922
Sergipe 2 068 031
Bahia 14 021 432
 
Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2010.
Responda: 
a) Quais estados apresentam a maior e a menor população? Bahia e Sergipe.
b) Qual é o total da população do Nordeste? 53 078 137
c) Escreva por extenso o número obtido no item b.
70 000 1 4 000 1 500 1 70 1 6
900 000 1 30 000 1 2 000 1 700 1 70 1 5
3 000 000 1 400 000 1 50 000 1 6 000 1
1 800 1 20 1 9
40 000 000 1 4 000 000 1 700 000 1 50 000 1 
1 8 000 1 200 1 20 1 3
4 400
57 000
30 000
90 000 000 000
456 789
100 000
100
Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012, p. 90.
10° S 
40° O
São Luís 
Fortaleza
Teresina
Natal
João Pessoa
Recife
Maceió
Aracaju
Salvador
ES
PARÁ
TOCANTINS
GOIÁS
DF
MINAS GERAIS
MARANHÃO
CEARÁ
RIO GRANDE
DO NORTE
PA R A Í B APIAUÍ
P E R N A M B U C O
ALAGOAS 
SERGIPE
BAHIA
OCEANO
ATLÂNTICO
Atol das Rocas
Fernando de
Noronha (PE)
Capital de estado
Nordeste (IbGe) – Divisão política
2570 514 km
1: 25 700 000
©
 D
AE
/S
im
on
e 
So
ar
es
 d
e 
An
dr
ad
e
Cinquenta e três milhões, setenta e oito mil 
cento e trinta e sete.
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S
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Arredondamentos
A população do estado de Pernambuco no Censo 2000 era de 7 918 344 habitantes. Já no 
Censo 2010, essa população passou a 8 796 032 habitantes. Conforme site do IBGE.
8º S
38º O
OCEANO
ATLÂNTICO
PIAUÍ
BAHIA
SERGIPE
ALAGOAS
PERNAMBUCO
Recife
CEARÁ
PARAÍBA
RN
-3º50’
-32º25’
ARQUIPÉLAGO DE
FERNANDO DE NORONHA
Pernambuco - Divisão municipal
Capital de estado
De maneira mais simples, poderíamos dizer que a população era de aproximadamente 
7 900 000 e passou a 8 800 000 habitantes. Fizemos um arredondamento para a centena de 
milhar mais próxima, isto é:
Arredondamos 7 918 344 para 7 900 000:
Note, na reta, 7 918 está mais próximo de 7 900 (centena de milhar mais próxima).
Arredondamos 8 796 032 para 8 800 000:
Note, na reta, 8 796 está mais próximo de 8 800 (centena de milhar mais próxima).
Os arredondamentos para a centena de milhar mais próxima foram arbitrários. Po-
deríamos ter arredondado para a unidade de milhão mais próxima ou para a unidade de 
milhar mais próxima, conforme a conveniência. Exemplos:
•	7 918 344 (arredondamento para a unidade de milhar mais próxima): 7 918 000;
•	8 796 032 (arredondamento para a unidade de milhar mais próxima): 8 796 000.
As aproximações facilitam a comunicação e, por isso, esse recurso é muito usado 
pelos meios de comunicação. O arredondamento permite que o leitor, telespectador ou 
ouvinte tenha uma ideia aproximada das quantidades e valores mencionados nas repor-
tagens. Além disso, quando queremos saber, por exemplo, quanto gastaremos, aproxima-
damente, numa compra, podemos fazer arredondamentos para os valores dos produtos 
que precisamos, para, então, calcular o total.
7 000
7 918
7 900
8 000
8 000
8 800
8 796
9 000
©
 D
AE
/S
im
on
e 
So
ar
es
 d
e 
An
dr
ad
e
Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012, p. 167.
520 104 km
1:5 200 000
pernambuco – Divisão municipal
Ilu
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es
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et
up
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aGoRa É CoM VoCÊ
1 Arredonde cada número para a centena mais próxima.
a) 7 077 b) 82 781 c) 45 432
2 Considerando-se os mesmos números anteriores, faça agora arredondamentos para a 
unidade de milhar mais próxima.
3 Observe o valor de alguns eletrodomésticos descritos no quadro ao lado e responda às 
questões.
a) Se você precisar calcular rapidamente o valor da 
compra de todos esses itens, é útil fazer arredon-
damentos? Por quê? Resposta pessoal.
b) Que cálculos aproximados você pode fazer? Que 
valor estima para essa compra? 
c) Verifique com os colegas se os valores que eles estimaram foram iguais aos seus. Se-
rá que há apenas uma estimativa possível? Resposta pessoal, porém espera-se que o aluno responda 
que podemos ter estimativas diferentes, conforme arredondamentos ou aproximações feitas.
4 Luiz Antônio fez uma viagem de carro. Ele saiu de Belo Horizonte e foi para Brasília, que 
está a 716 quilômetros de distância. Logo depois, ele partiu de Brasília e foi a Campo 
Grande, distante 1 134 quilômetros. Finalmente, após alguns dias em Campo Grande, 
Luiz voltou para Belo Horizonte, percorrendo então 1 453 quilômetros.
7 100 82 800 45 400
7 000; 83 000; 45 000
Resposta pessoal.
Fogão com 4 bocas
Micro-ondas
Geladeira
Máquina de lavar
R$ 531,00
R$ 369,00
R$ 917,00R$ 876,00
a) Obtenha a distância aproximada de Belo Horizonte a Brasília (arredonde para a dezena 
mais próxima).
b) Obtenha a distância aproximada de Brasília a Campo Grande (arredonde para a deze-
na mais próxima).
c) Obtenha a distância aproximada de Campo Grande a Belo Horizonte (arredonde para a 
dezena mais próxima).
d) Em sua opinião, Luiz Antônio percorreu toda a viagem em linha reta, como ilustrado no 
mapa? Por quê? Não, pois as estradas não têm a trajetória reta como ilustrado no mapa.
720 quilômetros
1 130 quilômetros
1 450 quilômetros
Registre no 
caderno
OCEANO
PACÍFICO
Equador
60°O
OCEANO
ATLÂNTICO
0°
VENEZUELA
GUIANA
SURINAME
Guiana
Francesa
(FRA)
PERU
BOLÍVIA
PARAGUAI
URUGUAI
ARGENTINA
Trópico de Capricórnio
20°S
40°O
CHILE
COLÔMBIA
RORAIMA AMAPÁ
AMAZONAS
ACRE
PARÁ
RONDÔNIA
MATO GROSSO
DISTRITO
FEDERAL
MARANHÃO
PIAUÍ
RIO GRANDE
DO NORTE
ALAGOAS
SERGIPE
MINAS 
GERAIS
BAHIA
SÃO PAULO
PARANÁ
RIO
GRANDE
DO SUL
PARAÍBA
RIO DE JANEIRO
MATO GROSSO
DO SUL ESPÍRITO SANTO
Manaus
Rio Branco
Boa Vista
Porto 
Velho
Belém
Cuiabá
Campo Grande
Brasília
Macapá
São Luís
Fortaleza
Salvador
Goiânia
Palmas
Teresina
Belo Horizonte Vitória
Florianópolis
Porto Alegre
Curitiba
SANTA 
CATARINA
Rio de Janeiro
São Paulo
Maceió
Aracaju
Recife
Natal
João Pessoa
GOIÁS
TOCANTINS
PERNAMBUCO
CEARÁ
Arq. de
Fernando
de Noronha
Capital de estado
Capital de país
Limites
estadual
internacional
Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.
brasil – político
©
 D
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 V
az
Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.
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 0 494 988 km
1 : 49 400 000
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5 Considerando-se o número 788 439, indique com V as afirmações que são verdadeiras e 
com F aquelas que são falsas.
a) Os dois algarismos 8 têm o mesmo valor relativo.
b) O valor relativo do algarismo 7 é 700 000.
c) O algarismo 7 é o de maior valor posicional.
d) O número 788 440 é seu antecessor.
6 Copie e complete a tabela com os arredondamentos solicitados.
Número arredondamento para dezena arredondamento para centena arredondamento para unidade de milhar
95 273
103 459
77 488
91 311
13 419
95 270 95 300 95 000
103 460 103 500 103 000
77 490 77 500 77 000
91 310 91 300 91 000
13 420 13 400 13 000
7 Na tabela a seguir, estão indicados os valores em reais de alguns gastos que Felipe fez 
ao longo de uma semana.
a) Faça o arredondamento desses valores para a dezena mais próxima.
b) Obtenha, com base nesses arredondamentos, o valor aproximado do gasto de Felipe na 
semana.
8 Para responder às perguntas a seguir, faça arredondamentos para a dezena mais próxima.
a) Uma pessoa caminha, todos os dias, 3 503 metros. Quantos metros, aproximadamente, 
ela terá caminhado ao final de dois dias? 
b) Duas parcelas de R$ 48,00 correspondem a quantos reais, aproximadamente?
c) Gastei a quantia de R$ 74,00 pela manhã e R$ 97,00 à tarde. Quanto gastei, aproxima-
damente?
d) Três pessoas entraram no elevador: uma, de 68 quilogramas; outra, de 71 quilogramas; 
e a terceira, de 46 quilogramas. Qual é a massa total das três pessoas? 
9 Aproxime cada número a seguir para a centena mais próxima.
a) 93 454 b) 10 371 c) 42 098 d) 95 333
10 Aproxime cada número a seguir para dezena mais próxima.
a) 93 454 b) 10 371 c) 42 098 d) 95 333
F
V
V
F
90; 160; 30; 
270; 70
R$ 620,00
7 000 metros
R$ 100,00
R$ 170,00
190 quilogramas
93 500 10 400 42 100 95 300
93 450 10 370 42 100 95 330
Gastos com quantia gasta (R$)
Gasolina 91,00
Comida 157,00
Cinema 33,00
Supermercado 272,00
Farmácia 71,00
Explique aos alunos a diferença entre massa e peso. No dia a dia é comum utilizar essas palavras com o mesmo sentido. 
Comente que massa é a quantidade de matéria de um corpo, e peso é a força com que a Terra atrai determinada massa.
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José é engenheiro e Rodolfo é arquiteto. Juntos, eles vão construir um estádio de futebol 
para sediar os jogos dos times da cidade onde moram.
Para saber quanto terão de investir na construção, eles decidiram elaborar a tabela a seguir 
com a previsão dos gastos:
Obras gerais R$ 220.500.000,00
Implantação do gramado R$ 69.200.000,00
Arquibancada e camarotes R$ 100.000.000,00
Show de inauguração R$ 1.800.000,00
Valor total R$ 500.000.000,00
Para obter o total desses valores, tivemos de fazer uma adição, isto é:
220 500 000 1 69 200 000 1 100 000 000 1 1 800 000 5 391 500 000
Se José e Rodolfo optarem por não contratar o show para a inauguração do estádio, de-
vemos tirar essa quantia do total dos gastos para descobrirmos o novo valor total, ou seja:
391 500 000  1 800 000 5 389 700 000
Nesse caso, efetuamos uma subtração. Essas duas operações aritméticas serão estudadas 
ao longo deste capítulo.
Capítulo 4
Adição e subtração
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Adição com números naturais
O significado de adicionar está ligado à ideia de juntar, reunir, acrescentar.
Os números que são adicionados são chamados de parcelas, e o resultado obtido da adi-
ção recebe a denominação de soma ou total.
soma ou total120 1 760 5 880
parcelas
Para resolver uma adição podemos utilizar diferentes estratégias, por exemplo, decom-
pondo as parcelas. Veja o exemplo:
120 1 760 5 100 1 20 1 700 1 60
120 1 760 5 100 1 700 1 20 1 60
120 1 760 5 800 1 80
120 1 760 5 880
Que estratégias você utiliza para resolver uma adição? Resposta pessoal.
Exemplo 1:
Efetue a adição 9 543 1 2 725 pela decomposição das parcelas.
Resolução:
Pela decomposição, cada uma das parcelas é separada em unidades, dezenas, centenas e 
unidades de milhar:
9 543 1 2 725 5 (9 000 1 500 1 40 1 3) 1 (2 000 1 700 1 20 1 5)
9 543 1 2 725 5 (9 000 1 2 000) 1 (500 1 700) 1 (40 1 20) 1 (3 1 5)
9 543 1 2 725 5 11 000 1 1 200 1 60 1 8
9 543 1 2 725 5 12 200 1 68
9 543 1 2 725 5 12 268
Os parênteses indicam os agrupamentos de parcelas.
Exemplo 2:
O quadro ao lado apresenta a 
quantidade de habitantes dos três es-
tados da Região Sul do Brasil, confor-
me Censo 2000 e Censo 2010.
a) Qual era a população dessa re-
gião, conforme o Censo 2000?
b) E conforme o Censo 2010?
Resolução:
Para responder às duas perguntas, precisamos efetuar as duas adições. Vamos colocar as 
parcelas uma embaixo da outra e fazer as adições.
a) 9 563 458 b) 10 439 601
5 356 360 6 249 682
1 10 187 798 1 10 695 532
25 107 616 27 384 815
Número de habitantes
estado Censo 2000 Censo 2010
Paraná 9 563 458 10 439 601
Santa Catarina 5 356 360 6 249 682
Rio Grande do Sul 10 187 798 10 695 532
Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2000 e Censo Demográfico 2010.
Registre no 
caderno
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Propriedades da adição de números naturais
Toda adição de números naturais está fundamentada em três propriedades: associativa, 
comutativa e existência do elemento neutro.
Sejam quaisquer números a, b e c, que pertençam ao conjunto dos números naturais, temos:
tRabalho eM equIpe
1 Considerem que as letras a e b representam dois números naturais. Atribuam seis núme-
ros naturais para a e seis números naturais para b, completando a tabela com os resulta-
dos a 1 b e b 1 a.
 
a b a 1 b b 1 a
   
Agora respondam às questões
a) O que acontece quando mudamos a ordem das parcelas numa adição de dois números 
naturais? 
b) Se o zero for uma das parcelas da adição, o que ocorrerá? 
2 Atribuam seis valores para x, seis valores para y e seis para z. Os valores deverão ser 
maiores que o número 100. Utilize uma calculadora para obter os resultados das adi-
ções. Calcule primeiro a adição indicada dentro dos parênteses.
x y z x 1(y 1 z) (x 1 y) 1 z
    
Agora respondam à questão a seguir.
Qual é a conclusão de vocês a respeito dos resultados de x 1 (y 1 z) e de (x 1 y) 1 z?
 
1. Propriedade associativa da adição: 
a + (b + c) 5 (a + b) + c
2. Propriedade comutativa da adição: 
a + b 5 b + a
3. Elemento neutro da adição: 
a + 0 5 0 + a 5 a
Na adição de três números naturais quaisquer, 
podemos associar as parcelas em ordem diferente 
que o resultado será o mesmo. Exemplo:
15 + (20 + 13) 5 (15 + 20) + 13
15 + 33 5 35 + 13
48 5 48
Quando se inverte a ordem das parcelas de 
uma adição, o resultado não se altera. Exemplo: 
121 + 79 5 79 + 121
200 5 200
Quando se adiciona o número zero a qualquer 
valor natural, o resultado será o mesmo valor na-
tural, ou seja, o zero não influencia na adição de 
dois números naturais. Exemplo: 
308 + 0 5 0 + 308
308 5 308
Registre no 
cadernoProfessor, o objetivo das duas atividades a seguir é levar o 
aluno a sistematizar as propriedades comutativa e asso-
ciativa da adição. São atividades para fazer em duplas ou 
grupos de até três alunos.
Professor, oriente os alunos a utilizarem a calculadora nesta atividade.
A soma é a mesma.
São iguais.
Qualquer número natural ao ser adicionado ao número zero é também o valor da soma.
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aGoRa É CoM VoCÊ
1 Resolva as seguintes adições:
a) 9 364 1 12 388
b) 102 455 1 390 675
c) 9 034 1 100 346
d) 32 810 1 44 290
e) 72 459 1 102 240
f) 144 832 1 700 444
g) 9 543 1 3 459
h) 20 450 1 45 204
2 Resolva as seguintes adições por meio da decomposição das parcelas:
a) 934 1 128
b) 102 1 675
c) 234 1 546
d) 810 1 290
e) 2 422 1 2 240
f) 4 835 1 2 424
g) 943 1 309
h) 451 1 454
3 Calcule a soma dos números 453, 107 e 232, efetuando, primeiro, a adição indicada entre 
parênteses.
a) 453 1 (107 1 232) b) (453 1 107) 1 232 c) (453 1 232) 1 107
4 Resolva os problemas a seguir.
a) Pela manhã, as vendas em um supermercado arrecadaram R$ 9.574,00. Já no perío do 
da tarde o valor foi de R$ 5.370,00 e, à noite, R$ 4.550,00. Qual foi a arrecadação total 
desse supermercado?
b) A tabela a seguir apresenta a quantidade de refeições que o restaurante de uma gran-
de indústria serviu a seus funcionários, de segunda a sexta -feira, no horário do almo-
ço e do jantar, em determinada semana:
Dia da semana segunda-feira terça-feira quarta-feira quinta-feira sexta-feira
almoço 1 250 1 112 990 1 030 1 120
Jantar 660 452 345 552 463
•	Em qual dia da semana foram servidas mais refeições? Quantas?
•	Em qual dia da semana foram servidas menos refeições? Quantas?
•	Quantos almoços foram servidos durante a semana?
•	E quantos jantares?
•	Em sua opinião, por que a quantidade de refeições servidas é diferente em cada dia 
da semana? Por que a quantidade de jantares servidos é menor que a quantidade de 
almoços? Resposta pessoal. Sugestões para respostas: Os funcionários podem levar comida preparada em casa e 
não comer no restaurante alguns dias da semana; ou os funcionários talvez trabalhem em turnos e dias alternados etc.
c) Gabriel viajou, de carro, de Salvador pa-
ra Aracaju e percorreu 356 quilômetros. 
Depois, foi de Aracaju a Maceió, percor-
rendo uma distância de 294 quilômetros. 
Finalmente, percorreu 285 quilômetros 
de Maceió até Recife. Ele passou uma 
semana em Recife, então fez todo o ca-
minho de volta passando pelas mesmas 
estradas da ida. Qual foi a distância total 
percorrida?
 
21 752
493 130
109 380
77 100
174 699
845 276
13 002
65 654
1 062
777
780
1 100
4 662
7 259
1 252
905
453 1 339 5 792 560 1 232 5 792 685 1 107 5 792
R$ 19.494,00
segunda-feira; 1 910 refeições.
quarta-feira; 1 335 refeições.
5 502 almoços.
2 472 jantares.
Casarios históricos no 
Pelourinho, Salvador (BA).1 870 quilômetros.
R
og
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ag
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Registre no 
caderno
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Subtração com números naturais
O significado de subtrair está ligado à ideia de diminuir, tirar (quanto sobra), completar 
(quanto falta), comparar (quanto a mais ou a menos).
Os termos da subtração são chamados de minuendo e subtraendo, como você pode ver 
a seguir. O resultado obtido da subtração recebe a denominação de diferença.
diferença920  360 5 560
minuendo subtraendo
Para saber se uma subtração está correta, basta adicionar a diferença ao subtraendo e ve-
rificar se o resultado é o minuendo.
Assim, no exemplo: 920  360 5 560, fazemos: 560 1 360 5 920.
Exemplo:
Numa maratona, cada atleta deve percorrer 42 195 metros. Quem participa sabe que é 
necessário treinar bastante para completar a prova. Marcos se preparou muito, porém, quan-
do faltavam 3 432 metros, precisou parar. Qual foi a distância que ele percorreu na maratona?
Resolução:
Como faltavam 3 432 metros para completar 42 195 metros, devemos efetuar uma subtração:
42 195  3 432 5 38 763
Portanto, Marcos percorreu 38 763 metros.
W
al
do
m
ir
o 
N
et
o
tRabalho eM equIpe
Será que as mesmas propriedades da adição (associativa, comutativa e elemento neutro) se apli-
cam à subtração? Vamos descobrir!
Em trio, teste as propriedades da adição estudadas em subtrações. Vocês devem apresentar uma 
decisão à turma dizendo se as mesmas propriedades são válidas ou não para as subtrações. Justifi-
quem as decisões com exemplos (quando possível).
Registre no 
caderno
Resposta pessoal. Consulte o Manual do Professor.
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1 Resolva as seguintes subtrações.
a) 934  128
b) 2 902  1 675
c) 4 234  1 546
d) 9 810  3 290
e) 2 422  1 211
f) 4 835  2 424
g) 943  309
h) 8 451  3 454
2 Observe ao lado o quadro que apresenta o 
número de habitantes dos estados da Região 
Sul, conforme Censo 2000 e Censo 2010.
Qual dos estados teve o maior aumento do nú-
mero de habitantes de 2000 a 2010?
3 Resolva os problemas a seguir.
a) Quando são retiradas as poltronas do Teatro Riachuelo, em Natal (RN), a plateia se 
transforma num grande salão, podendo receber 2 495 pessoas. Em determinado dia de 
espetáculo, compareceram 1 714 pessoas. Quantas pessoas ainda caberiam no salão?
b) Em uma viagem de carro de Curitiba a São Paulo, a família de Antônio percorreu 
127 quilômetros até parar em um posto para almoçar. Considerando-se que a dis-
tância entre as duas cidades é de 385 quilômetros, quanto ainda terão de percorrer 
após o almoço?
4 O quadro abaixo contém a população brasileira por região, conforme censos de 2000 e 
2010.
Número de habitantes
Região Censo 2000 Censo 2010
Norte 12 900 704 15 865 678
Nordeste 47 741 711 53 078 137
Sudeste 72 412 411 80 353 724
Sul 25 107 616 27 384 815
Centro-Oeste 11 636 728 14 050 340
Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2000 e Censo Demográfico 2010.
a) Faça essa tabela no caderno colocando as regiões em ordem crescente de população.
b) De 2000 a 2010, qual foi a região em que o número de habitantes mais aumentou?
c) E a região em que aumentou menos em número de habitantes?
806
1 227
2 688
6 520
1 211
2 411
634
4 997
Santa Catarina.
Professor, esse crescimento foi maior não apenas em número 
de habitantes como também percentualmente.
781 pessoas
258 quilômetros
Nesta ordem: Centro-Oeste, Norte, Sul, Nordeste, Sudeste.
Sudeste.
Sul.
Número de habitantes
estado Censo 2000
Censo 
2010
Paraná 9 563 458 10 439 601
Santa Catarina 5 356 360 6 249 682
Rio Grande do Sul 10 187 798 10 695 532
Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2000 e 
Censo Demográfico 2010.
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Expressões numéricas
Existem situações em que temos de efetuar mais de uma operação aritmética. Quando 
isso ocorre, estamos diante de uma expressão aritmética. Para evitar confusão na ordem em 
queas operações são efetuadas, são usados os chamados sinais de associação:
( ) parênteses
[ ] colchetes
{ } chaves
Esses sinais indicam a ordem em que devemos efetuar as operações: primeiro, resolvemos 
o que está entre parênteses; depois, o que está entre colchetes; e, por último, o que aparece 
entre chaves.
Veja um exemplo de expressão aritmética:
150  {15 1 [70 1 (180  20)]  120}
 
Iniciamos calculando
180  20 
Observe atentamente os exemplos a seguir.
Exemplo 1:
Obtenha o valor da expressão numérica: 150  {15 1 [70 1 (180  20)]  120}
Resolução:
Como foi dito anteriormente, inicialmente devemos resolver o que está entre parênteses, 
então, aquilo que está entre colchetes e, finalmente, o que estiver entre chaves:
150  {15 1 [70 1 (180  20)]  120} 5
5 150  {15 1 [70 1 160]  120} 5
5 150  {15 1 230  120} 5
5 150  {245  120} 5
5 150  125 5
5 25
Exemplo 2:
Calcule o valor da expressão numérica: {20 1 [15  (350  340) 1 (280  100)] 1 45}
Resolução:
{20 1 [15  (350  340) 1 (280  100)] 1 45} 5
5 {20 1 [15  10 1 180] 1 45} 5
5 {20 1 185 1 45} 5
5 250
Importante!
 V Quando a expressão numérica contém apenas adições e subtrações, sem sinais de associação, as operações 
são realizadas na ordem em que aparecem.
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Cálculo mental
Leia com bastante atenção o diálogo no caixa de um supermercado:
O valor que você deve 
pagar é 7 reais. Se me 
pagar com 1 cédula de 
10 reais e outra de 2 
reais, o troco...
Já sei!
O troco será 5 reais. 
Assim, você me dará 
apenas 1 cédula de 5 
reais como troco.
Algumas pessoas conseguem fazer determinadas operações aritméticas mentalmente e 
bem rápido. Aos poucos, você também poderá realizá-las. Para que isso ocorra, confira algumas 
propostas apoiadas nas propriedades da adição que estudamos. Procure identificar quais foram 
as propriedades utilizadas nos exemplos a seguir.
Exemplo 1:
Márcia precisava calcular mentalmente o resultado da adição: 157 1 33. Observe como 
ela calculou:
157 1 33 5 157 1 30 1 3 5 187 1 3 5 190
Primeiro, ela adicionou 157 a 30, depois, adicionou o resultado obtido a 3.
Exemplo 2:
Agora veja como Márcia procedeu para efetuar a subtração destes dois números:
157  33 5 157  30  3 5 127  3 5 124
Ela fez a decomposição do subtraendo: subtraiu 30 e, depois, 3.
Exemplo 3:
Para efetuar a subtração 993  289, Marcos tem um truque bem legal:
993  289 5 (993 1 1)  (289 1 1) 5 994  290 5 704
A dica de Marcos é acrescentar 1 unidade tanto ao minuendo quanto ao subtraendo.
Na página 34 foram apresentadas três propriedades da adição, sendo duas delas muito 
importantes e úteis para o cálculo mental:
Para a, b e c pertencentes ao conjunto .
Propriedade comutativa
a 1 b 5 b 1 a
Numa adição, a ordem das parcelas não altera a soma.
Propriedade associativa
a 1 (b 1 c) 5 (a 1 b) 1 c
Numa adição, a soma será sempre a mesma independente da ordem de associação das 
parcelas.
Ilu
st
ra
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es
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ci
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Le
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an
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1 Informe o valor de cada expressão numérica a seguir:
a) 1 150  350 1 180
b) 1 150  (350 1 180) 
c) 930 1 70  480
d) (930 1 70)  480
e) 1 200  [(800  300) 1 400]  100
f) 1 200  {800  [(300 1 400)  100]}
2 Responda às questões a seguir.
a) Numa adição de duas parcelas, quando aumentamos uma delas em 100 unidades, o 
que acontece com o resultado?
b) Numa subtração, se acrescentarmos 30 
unidades ao minuendo e 20 unidades ao 
subtraendo, o que acontecerá com o re-
sultado?
3 Utilizando o mesmo procedimento de Luíza, 
efetue as seguintes subtrações:
a) 783  259
b) 597  359
4 Observe como Júlia calculou 297  98 mentalmente.
Explique como ela efetuou a subtração indicada.
5 Escreva V ou F conforme cada igualdade a seguir seja verdadeira ou falsa, respectiva-
mente.
a) 1 500 1 900 5 1 000 1 900 1 500 
b) 932  479 5 933  480
c) 1 100  451 5 1 101  450
d) 1 100  451 5 1 099  450
6 Copie e complete a tabela com os valores que estão faltando.
Valor da compra (R$) quantia dada (R$) troco a receber (R$)
278,00 300,00
172,00 200,00
713,00 37,00
439,00 61,00
100,00 25,00
350,00 14,00
980
620
520
520
200
1 000
Aumenta em 100 unidades.
Aumenta em 10 unidades.
524 c) 753  499
d) 437  198 239
254
238
Adicionou 2 unidades ao minuendo e ao subtraendo, e o resultado não se altera.
V
V
F
V
Observe meu truque 
para efetuar a subtração: 
987  199 5
5 (987 1 1)  (199 1 1) 5
5 988  200 5
5 788
Ilu
st
ra
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ar
ci
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Le
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m
an
299  100 5 199
Registre no 
caderno
22,00
28,00
750,00
500,00
75,00
336,00
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Capítulo 5
Multiplicação e divisão
850 1 850 1 850 1 850 1 850 5 4 250
 5 vezes 850 resulta em 4 250 (multiplicação)
Também é possível dividir a distância de 4 250 quilômetros por 5 horas, e o resultado será 
850, que indica a velocidade do avião em quilômetros por hora.
Neste capítulo estudaremos tanto a multiplicação quanto a divisão.
Multiplicação com números naturais
A multiplicação pode estar associada à ideia de adição de parcelas iguais. Assim, quando 
pagamos 5 parcelas de 50 reais, por exemplo, estamos pagando ao todo 250 reais. Isso pode 
ser representado da seguinte forma:
50 1 50 1 50 1 50 1 50 5 250 ou 5 3 50 5 250
No exemplo, os números 5 e 50 são chamados de fatores, e o resultado da multiplicação, 
isto é, 250, é o produto. Veja outros exemplos.
•	7 3 25 5 25 1 25 1 25 1 25 1 25 1 25 1 25 5 175
•	2 3 3 3 10 5 3 3 10 1 3 3 10 5 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 5 60
•	2 3 3 5 3 1 3 5 6
A distância aérea entre Porto 
Alegre, capital do Rio Grande do 
Sul, e Fortaleza, capital do Cea-
rá, é de, aproximadamente, 4 250 
quilômetros. Para cobrir essa dis-
tância em 5 horas, a velocidade 
média de um avião deve ser de 
850 quilômetros por hora.
60°O
0°
VENEZUELA
GUIANA
SURINAME
Guiana
Francesa
(FRA)
PERU
BOLÍVIA
PARAGUAI
URUGUAI
ARGENTINA
Equador
Trópico de Capricórnio
20°S
40°O
0°
CHILE
COLÔMBIA
RR AP
AM
AC
PA
RO
MT
DF
MA
PI
RN
AL
SE
MG
BA
SP
PR
RS
PB
RJ
MS ES
Fortaleza
Porto Alegre
SC
GO
TO
PE
CE
Arq. de
Fernando
de Noronha
Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.
OCEANO
PACÍFICO
OCEANO
ATLÂNTICO
Limites estaduais
Limites internacionais
Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.
©
 D
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on
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az
brasil – político
N
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 0 485 970 km
1 : 48 500 000
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1 Use a multiplicação para calcular o número de quadrados de menor área em que o pai-
nel retangular abaixo está dividido.
2 Utilize a multiplicação e informe a quantia em reais correspondente a:
3 Na Escola Estudando Feliz há 7 turmas, com 25 alunos em cada uma. Quantos são os 
alunos dessa escola ao todo?
4 Para calcular o resultado da multiplicação anterior, você pode fazer a decomposição de 
um dos fatores e, depois, multiplicar. Veja o exemplo:
7 3 25 5 7 3 (20 1 5) 5 7 3 20 1 7 3 5 5 140 1 35 5 175
Utilize esse procedimento para efetuar as seguintes multiplicações:
a) 8 3 73
b) 9 3 246
c) 7 3 469
d) 5 3 9 174
e) 25 3 87
f) 87 3 54
g) 43 3 64
h) 25 3 123
5 As três pilhas de cubos coloridos estão completas. Cada pilha tem o mesmo número de 
cubos por camada. 
A quantidade de cubos em cada pilha pode ser representada por uma multiplicação com três 
fatores. Relacione as multiplicações com as cores dos cubos.
Se
tu
p
2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3
8 3 16 5 128
9 3 20 5 180; 180 reais
©
 B
an
co
 C
en
tr
al
 
do
 B
ra
si
l
175 alunos
584
2 214
3 283
45 870
2 175
4 698
2 752
3 075
amarela verde azul
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Registre no 
caderno
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6 Na multiplicação, os arredondamentos também são comuns quando se deseja fazer es-
timativas em relação a produtos. Observe, a seguir, algumas estimativas de produtos 
nas multiplicações:
•	5 3 71 reais  5 3 70 reais 5 350 reais
•	6 3 98 metros  6 3 100 metros 5 600 metros
•	9 3 119 horas  9 3 120 horas 5 1 080 horas
Utilize arredondamentos para o cálculo aproxi-
mado dos produtos a seguir.
a) 8 ? 997 quilogramas
b) 7 ? 1 002 quilômetros
c) 12 ? 499 horas
7 Um carro bem econômico anda 12 quilômetros com apenas 1 litro de gasolina. Quantos 
quilômetros esse carro percorrerá com:
a) 3 litros de gasolina? b) 10 litros de gasolina? c) 20 litros de gasolina?
8 A turma do 6o ano quer fazer uma festa no final do ano e os alunos se organizaram para 
vender suco natural no horário do lanche para conseguir o dinheiro necessário. Veja no 
gráfico a quantidade de copos de suco que eles venderam durante o ano. 
a) Que procedimentos você pode utilizar para calcular rapidamente a quantidade total 
de copos de suco vendidos no ano? 
Mostre a um colega os cálculos que você fez e veja se ele usou as mesmas estratégias.
b) Sabendo-se que cada copo de suco foi vendido a R$ 3,00, quantos reais os alunos 
arrecadaram no total? 145 3 R$ 3,00 5 R$ 435,00
c) Observando o gráfico, que outras informações podemos extrair dessa experiência 
realizada pela turma do 6o ano? Resposta pessoal.
9 Sônia precisava resolver duas operações e decidiu usar a calculadora. Ao iniciar percebeu 
que a tecla do número 7 não estava funcionando. E agora? Como ela pode resolver as 
operações 740 3 26 e 27 3 74 sem utilizar a tecla 7? 
 Uma das possíveis respostas: 740 3 26 5 640 3 26 1 100 3 26 5 19 240 
27 3 74 5 (64 1 10) 3 3 3 9 5 1 998
8 000 quilogramas
7 000 quilômetros
6 000 horas
Atenção!
 V O símbolo de aproximadamente 
é .
 V No lugar do sinal 3 para 
multiplicação, podemos utilizar 
um ponto entre os fatores:
7 3 13 5 7 ? 13
36 quilômetros 120 quilômetros 240 quilômetros
30
25
20
15
10
5
0
ja
ne
ir
o
fe
ve
re
ir
o
m
ar
ço
ab
ri
l
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o
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to
se
te
m
br
o
ou
tu
br
o
no
ve
m
br
o
de
ze
m
br
o
Venda de suco natural
venda de 
suco natural
Quantidade
de copos
Mês
Resposta pessoal. Sugestão para resposta: 
2 3 15 1 2 3 25 1 20 1 3 3 10 1 3 3 5 5 145 copos.
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10 Considere que o cubo ao lado é formado por 4 cama-
das de cubos menores. Em cada camada, os cubos 
estão distribuídos em 4 linhas e 4 colunas. Represen-
te a quantidade total de cubos por meio de uma mul-
tiplicação com três fatores.
11 Faça as multiplicações a seguir na calculadora e obser-
ve os resultados obtidos.
a) 12 345 679 3 9
b) 12 345 679 3 18
c) 12 345 679 3 27
d) 12 345 679 3 36
e) 12 345 679 3 45
f) 12 345 679 3 54
g) 12 345 679 3 63
h) 12 345 679 3 72
i) 12 345 679 3 81
Experimente multiplicar qualquer número que tenha três alga-
rismos por 1 001. Você encontrará um resultado muito interes-
sante.
12 Efetue as seguintes multiplicações:
a) 7 3 426
b) 8 3 342
c) 5 3 923
d) 6 3 704
e) 4 3 987
f) 3 3 2 225
g) 12 3 42
h) 11 3 18
13 Faça as seguintes multiplicações observando padrões numéricos e resolvendo-as men-
talmente.
a) 7 3 2 5
7 3 20 5
7 3 200 5
7 3 2 000 5
d) 5 3 9 5
5 3 90 5
5 3 900 5
5 3 9 000 5
g) 2 3 16 5
2 3 160 5
2 3 1 600 5
2 3 16 000 5
b) 3 3 8 5
3 3 80 5
3 3 800 5
3 3 8 000 5
e) 11 3 8 5
11 3 80 5
11 3 800 5
11 3 8 000 5
h) 25 3 2 5
25 3 20 5
25 3 200 5
25 3 2 000 5
c) 8 3 7 5
8 3 70 5
8 3 700 5
8 3 7 000 5
f) 13 3 5 5
13 3 50 5
13 3 500 5
13 3 5 000 5
i) 31 3 3 5
31 3 30 5
31 3 300 5
31 3 3 000 5
14 Responda indicando a multiplicação que corresponde à pergunta.
a) Se um dia tem 24 horas e uma semana tem 7 dias, quantas horas há em 1 semana?
b) Se uma dúzia de maçãs são 12 maçãs, quantas maçãs há em 5 dúzias? 
c) Se 1 hora tem 60 minutos e um dia tem 24 horas, quantos minutos há em 1 dia?
d) Se 1 quilômetro tem 1 000 metros, quantos metros há em 20 quilômetros?
4 3 4 3 4 5 64
G
ra
ja
/S
hu
tt
er
st
oc
k
111 111 111
222 222 222
333 333 333
444 444 444
555 555 555
666 666 666
777 777 777
888 888 888
999 999 999
Os algarismos do número aparecem nas classes 
das unidades e dos milhares.
2 982
2 736
4 615
4 224
3 948
6 675
504
198
14
140
1 400
14 000
45
450
4 500
45 000
32
320
3 200
32 000
24
240
2 400
24 000
88
880
8 800
88 000
50
500
5 000
50 000
56
560
5 600
56 000
65
650
6 500
65 000
93
930
9 300
93 000
168 horas
60 maçãs
1 440 minutos
20 000 metros
Ed
ua
rd
o 
B
el
m
ir
o
Registre no 
caderno
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Propriedades da multiplicação de números 
naturais e expressões numéricas
Propriedade comutativa
Numa multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto. Sejam 
quaisquer números a e b que pertençam ao conjunto dos núme-
ros naturais.
a ? b 5 b ? a
 
A ordem dos fatores não 
altera o produto.
6 ? 4 5 24 ou 4 ? 6 5 24
Ed
ua
rd
o 
B
el
m
ir
o
W
al
do
m
ir
o 
N
et
o
Este é um exemplo de cálculo combinatório (número de possibilidades), ou seja, é o nú-
mero de camisetas multiplicado pelo número de calças, ou o número de calças multiplicado 
pelo número de camisetas. 
Portanto, são 24 maneiras diferentes de vestir uma camiseta e uma calça. Nesse cálculo, 
apareceu uma propriedade importante da multiplicação, a comutativa.
Propriedade comutativa
Valéria adora se vestir com camiseta 
e calça, sempre bem coloridas.
Em seu armário há 6 camisetas e 4 
calças. Para saber de quantas maneiras 
diferentes ela poderá se vestir escolhen-
do uma camiseta e uma calça, Valéria 
deverá efetuar uma multiplicação.
Verifique a tabela a seguir. 
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Propriedade distributiva
Além da propriedade comutativa da multiplicação, existe outra que é muito utilizada. É a 
propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição (ou subtração). Você já usou 
essa propriedade neste capítulo. Para compreendê-la, observe a figura a seguir, formada por 
quadrados coloridos dispostos em linhas e colunas (ideia de organização retangular). 
10 colunas 8 colunas
6 linhas
Para saber quantos quadradinhos coloridos há nessa figura, basta fazer a seguinte multi-
plicação:
6 ? (10 1 8) 5 6 ? 10 1 6 ? 8 5 60 1 48 5 108
Assim, acabamos de utilizar uma propriedade da multiplicação, a distributiva.
Propriedade distributiva
Na multiplicação de um número por uma adição, cada parcela desta é multiplicada pelo 
número e os resultados são adicionados.
Sejam quaisquer números a, b e c que pertençam ao conjunto dos números naturais.
a ? (b 1 c) 5 a ? b 1 a ? c
Propriedade associativa
Quando multiplicamos três ou mais números, podemos efetuar a operação com os fato-
res em qualquer ordem, isto é, podemos fazer qualquer associação dos fatores e o resultado 
permanecerá o mesmo. Veja o exemplo.
2 ? 3 ? 4 5 (2 ? 3) ? 4 5 2 ? (3 ? 4) 5 3 ? (2 ? 4)
Nesse exemplo, os parênteses estão indicando a ordem em que fazemos a multiplicação. 
Esta é a chamada propriedade associativa da multiplicação.
Propriedade associativa
Numa multiplicação de dois ou mais números, todas as associações possíveis têm o mes-
mo resultado.
Sejam quaisquer números a, b e c que pertençam ao conjunto dos números naturais.
a ? (b ? c) 5 (a ? b) ? c
Elemento neutro
Exemplo:
15 ? 1 5 1 ? 15 5 15
Propriedade do elemento neutro
Quando multiplicamos qualquer número a que pertença ao conjunto dos números natu-
rais por 1, obtemos como resultado o próprio número natural.
a ? 1 5 1 ? a 5 a
Se
tu
p
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aGoRa É CoM VoCÊ
Atenção!
 V Expressões numéricas que contêm adições, 
subtrações e multiplicações devem ser 
resolvidas observando-se a ordem dos 
parênteses, colchetes e chaves. Quanto às 
operações, primeiro é feita a multiplicação 
e, depois, a adição e a subtração, na ordem 
em que estas duas últimas aparecem.
1 Resolva a seguinte expressão numérica: 
2 1 {3 1 40  [7  9 ? (8  2 ? 4)]}
2 Utilizando a propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à subtração 
(ou adição), calcule o valor numérico da 
expressão: 7 ? (1 000  30).
3 Resolva as seguintes expressões numé-
ricas:
a) 2 ? {23 1 4 ? [200 ? 18  5 ? (9 ? 70  3 ? 40)]}
b) 10 ? 135  {450  3 ? [2 ? (25  5 ? 4)]}
c) {350 1 3 ? 500  [600  5 ? (4 1 3 ? 7)]} 1 4 ? 90
4 Resolva os seguintes problemas:
a) A turma de uma sala de aula foi dividida em 8 equipes, cada equipe com 
3 alunos. Cada aluno tinha 5 reais. Quantos reais ao todo havia com a 
turma? 120 reais
b) Marcos está se preparando para uma prova de corrida em sua cidade. Todos os dias 
ele corre 2 quilômetros pela manhã e outros 5 quilômetros à tarde. Ao final de 12 dias 
de preparação, quantos quilômetros terá corrido?
c) No estacionamento da escola havia bicicletas e automóveis. Mateus contou 72 pneus 
ao todo, e disse que o número de bicicletas era o mesmo que o número de automóveis. 
Quantas eram as bicicletas? E os automóveis?
d) Marta comprou uma geladeira em 3 prestações iguais a R$ 215,00 e um fogão em 
3 prestações iguais a R$ 132,00. Quanto Marta pagou no total, no final das prestações?
5 Descubra qual dos sinais: 1 (adição),  (subtração) ou 3 (multiplicação) deve ser co-
locado em cada quadradinho para que as igualdades apresentadas sejam verdadeiras.
a) 8 8 8 8 5 80
b) (8 8) 8 8 5 120
c) 8 8 8 8 5 520 (ou 1 3 3) 
38
6 790
8 446
930
1 735
©
 B
an
co
 
C
en
tr
al
 d
o 
B
ra
si
l
84 quilômetros
12 bicicletas; 12 automóveis
 R$ 1.041,00
pp
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ck
G
l0
ck
33
/D
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am
st
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e.
co
m
(ou 1 3 1 ou 1 1 3)
Registre no 
caderno
3 1 1
1 3 
3 3 1
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Divisão com números naturais
É comum efetuarmos a compra de bens 
de consumo em parcelas. Roberta com-
prou um aparelho de televisão no valor de 
R$ 1.288,00, em 7 parcelas de mesmo valor. 
Para saber o valor de cada parcela, fazemos a 
seguinte divisão:
1 288 4 7 5 184
Portanto, Roberta deverá pagar 7 parcelas 
no valor de R$ 184,00 cada.
Note que, nesse exemplo, a divisão está sendo associada à ideia de repartir igualmente. Ob-
serve agora um exemplo em que a divisão está associada à ideia de medida (quantos cabem).
Exemplo:
Em um supermercado, 144 latas de refrigerante serão embaladas em caixas que contêm 6 
latas cada uma. Qual é o total de caixas?
Resolução:
144 4 6 5 24
Portanto, serão 24 caixas.
A divisão é a operação inversa da multiplicação. Assim, voltando ao exemplo da compra 
da televisão, podemos relacionar essas duas operações aritméticas da seguinte forma:
1 288 4 7 5 184, pois 7 3 184 5 1 288
A multiplicação pode ser interpretada como a adição de parcelas iguais e a divisão 
como a subtração de subtraendos iguais. Veja:
1 288
 184
1 104
 184
920
 184
736
 184 7 subtrações sucessivas de 184 7 3 184 5 184 1 184 1 184 1 184 1 184 1 184 1 184 5 1 288
552 7 parcelas
 184
368
 184
184
 184
0
co
ba
lt
88
/S
hu
tt
er
st
oc
k
divisor
quociente
dividendo
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1 Copie e complete a tabela a seguir com o quociente correspondente a cada divisão.
0 4 3 5 0 4 4 5 0 4 5 5 0 4 6 5 0 4 7 5 0 4 8 5 
3 4 3 5 4 4 4 5 5 4 5 5 6 4 6 5 7 4 7 5 8 4 8 5 
6 4 3 5 8 4 4 5 10 4 5 5 12 4 6 5 14 4 7 5 16 4 8 5 
9 4 3 5 12 4 4 5 15 4 5 5 18 4 6 5 21 4 7 5 24 4 8 5 
12 4 3 5 16 4 4 5 20 4 5 5 24 4 6 5 28 4 7 5 32 4 8 5 
15 4 3 5 20 4 4 5 25 4 5 5 30 4 6 5 35 4 7 5 40 4 8 5 
18 4 3 5 24 4 4 5 30 4 5 5 36 4 6 5 42 4 7 5 48 4 8 5 
21 4 3 5 28 4 4 5 35 4 5 5 42 4 6 5 49 4 7 5 56 4 8 5 
24 4 3 5 32 4 4 5 40 4 5 5 48 4 6 5 56 4 7 5 64 4 8 5 
27 4 3 5 36 4 4 5 45 4 5 5 54 4 6 5 63 4 7 5 72 4 8 5 
30 4 3 5 40 4 4 5 50 4 5 5 60 4 6 5 70 4 7 5 80 4 8 5 
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6
7 7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8
9 9 9 9 9 9
10 10 10 10 10 10
Agora responda:
a) Qual é o resultado da divisão de zero por um número diferente de zero?
b) Quando o quociente de uma divisão é igual ao número 1?
2 Efetue cada uma das seguintes divisões:
a) 420 4 7
b) 650 4 10
c) 250 4 5
d) 6 400 4 4
e) 900 4 9
f) 880 4 8
g) 343 4 7
h) 2 430 4 3
3 Vimos que na divisão cada termo recebe uma 
denominação, como no exemplo a seguir:
300  15 5 20
Responda:
a) Qual é o quociente de uma divisão, se o dividendo é o dobro do divisor?
b) Qual é o quociente de uma divisão, se o dividendo é o triplo do divisor?
c) O quociente é 10 e o dividendo é 20. Qual é o divisor?
d) O quociente é 10 e o divisor é 20. Qual é o dividendo?
4 Os 45 alunos das duas turmas do 6o ano foram divididos em equipes, com 5 alunos em 
cada equipe. Quantas equipes foram formadas?
5 Efetue as seguintes divisões observando padrões numéricos e calculando-as mentalmente.
a) 14 : 2
140 : 2
1 400 : 2
14 000 : 2
b) 32 : 8
320 : 8
3 200 : 8
32 000 : 8
0
Quando o dividendo e o divisor 
são iguais.
60
65
50
1 600
100
110
49
810
Atenção!
 V No lugar do sinal para divisão ÷, 
podemos utilizar dois-pontos entre o 
dividendo e o divisor:
48 4 6 5 48 : 6
quociente
dividendo divisor
2
3
2
200
9 equipes
7
70
700
7 000
4
40
400
4 000
Registre no 
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c) 81 : 9
810 : 9 90
8 100 : 9
81 000 : 9
e) 11 : 11
110 : 11
1 100 : 11
11 000 : 11
d) 56 : 4
560 : 4
5 600 : 4
56 000 : 4
f) 45 : 5 
450 : 5
4 500 : 5
45 000 : 5
6 Copie e complete a tabela a seguir com os valores que estão faltando. Utilize uma calcu-
ladora para efetuar as divisões (ou multiplicações).
Dividendo Divisor quociente
9 570 11
25 125
3 459 1 153
10 120 4
8 222
35 500 1 775
45 760 8
Atenção!
 V Expressões numéricas que contêm adições, subtrações, multiplicações e divisões devem ser resolvidas 
de acordo com a ordem dos parênteses, colchetes e chaves. Quanto às operações, primeiro é feita a 
multiplicação ou a divisão (aquela que aparece antes) e depois a adição e a subtração, na ordem em 
que elas aparecem.
7 Resolva as seguintes expressões numéricas:
a) 20 1 2 ? {900  2 000  20 1 [100 1 5 ? (700  100 ? 5)]}
b) 100 5 2 40 [90 9 2 (800 10 1 ?   ?  ??  ?80)] 17 3{ }
8 Resolva os problemas a seguir.
a) A escola realizará uma vista ao museu. Os 320 alunos irão de ônibus escolar, cuja capa-
cidade é de 20 lugares. Como há apenas um ônibus na escola, quantas viagens deverão 
ser feitas para que todos os alunos possam visitar o museu?
b) Uma compra no valor de R$ 2.750,00 será paga com uma entrada de R$ 750,00 e o 
restante em 4 parcelas iguais, sem acréscimo. Qual é o valor de cada parcela?
c) Num restaurante, uma sobremesa especial para 20 pessoas é feita com 1 dúzia de maçãs. 
No final de semana, 300 pessoas comeram essa sobremesa. Quantas dúzias de maçãs 
foram necessárias para fazer o mesmo tipo de sobremesa para essas pessoas?
9
900
9 000
1
10
100
1 000
14
140
1 400
14 000
9
90
900
9 000
3 820
39
16 viagens
R$ 500,00
15 dúzias
870
3 125
3
2 530
1 776
20
5 720
Registre no 
caderno
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CoNeXÕeS
As calculadoras muitas vezes possibilitam que façamos algumas descobertas bastante interessan-
tes. Uma delas diz respeito à divisão, que você poderá descobrir sozi-
nho. Agora, com o auxílio de uma calculadora, faça o que se pede a 
seguir.Digite um número com 4 algarismos, em que os dois primeiros 
sejam iguais aos dois últimos (exemplos: 4 848, 9 191, 3 434 etc.)
Divida qualquer um desses números por 101.
O que você descobriu?
Digite um número com 6 algarismos, em que os três primeiros se-
jam iguais aos três últimos (exemplos: 481 481, 921 921, 345 345 etc.)
Divida qualquer um desses números por 1 001.
O que você descobriu?
O resultado é igual ao número formado com os dois 
primeiros algarismos do dividendo.
O resultado é igual ao número formado com os três primeiros algarismos do dividendo.
An
to
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St
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ik
ov
/D
re
am
st
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e.
co
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DIVeRSIFICaNDo lINGuaGeNS
Disponível em: http:portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=56306. Acesso em: abr. 2015.
Responda: 
1 Por que a professora ficou nervosa com Gaturro?
2 Qual era a resposta que ela esperava ouvir?
3 Qual é o significado de 4 × 4 na revista que Gaturro está lendo?
Termo utilizado para definir a configuração de tração de veículos; nesse caso, menciona-se a tração nas quatro rodas.
Porque ele deu a resposta errada, por não ter entendido a pergunta.
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Registre no 
caderno
Registre no 
caderno
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Divisão com resto
Uma grande indústria, depois de embalar suco de uva em pequenas garrafas, utiliza en-
gradados feitos de papelão para acondicionar 12 garrafas. Esse procedimento facilita o arma-
zenamento e também a distribuição.
R
ita
 B
ar
re
to
R
ita
 B
ar
re
to
Num determinado dia foram produzidas 5 000 garrafas de suco. Para saber quantas emba-
lagens de papelão seriam necessárias, o gerente fez a seguinte divisão:
5 000 12
 4 992 416
 8
De acordo com essa divisão, serão necessárias 416 caixas e ainda sobrarão 8 garrafas sem 
embalagem.
Uma divisão é exata quando o resto é igual a zero. Caso o resto 
não seja zero, dizemos que a divisão não é exata.
Voltando ao exemplo, podemos escrever a seguinte igualdade:
5 000 5 12 ? 416 1 8
Relação fundamental da divisão
Numa divisão, o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente 
e adicionado ao resto.
Dividendo 5 divisor 3 quociente 1 resto
Essa relação pode ser utilizada para conferir o resultado de uma divisão. O resto nunca pode 
ser maior que ou igual ao divisor; por exemplo, se o divisor for 4, os possíveis restos serão 0, 1, 2 e 3.
Expressões numéricas
Agora vamos organizar as quatro operações em uma única expressão numérica. Lembre-
-se da ordem das associações utilizadas nas expressões numéricas: parênteses, colchetes e 
chaves. Após respeitar essa ordem é necessário considerar a ordem das operações: 1º multi-
plicação ou divisão, 2º adição ou subtração.
Exemplo:
45  {2 3 [18  (24  4)] 1 0  121} 5
5 45  {2 3 [18  6] 1 0} 5
5 45  {2 3 12} 5
5 45  24 5 21
quociente
dividendo
resto
divisor
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aGoRa É CoM VoCÊ
1 Efetue as divisões indicando o quociente e o resto.
a) 455 4 10
b) 9 322 4 9
c) 6 802 4 8
d) 7 421 4 6
e) 8 543 4 7
f) 8 999 4 5
2 Para um trabalho de pesquisa, os 47 alunos de duas turmas do 6o ano foram divididos em 
equipes de 8 alunos. Todos os alunos puderam ser inseridos nestas equipes? Por quê?
3 Quando dividimos um número natural por 8, quais são os restos possíveis?
4 O professor de Educação Física resolveu organizar um campeonato de futebol de salão na 
escola. Os 133 alunos deverão ser divididos em equipes, com 5 alunos cada. Determine 
o número máximo de equipes que podem ser formadas e verifique se sobrarão alunos.
5 Resolva a expressão numérica: 
2 1 3 ? {100  2 ? 40 1 [90  10 ? (7  10 4 5)]}
6 Resolva os seguintes problemas:
a) Foram compradas 1 744 poltronas para a 
inauguração de um novo teatro.
•	Se essas poltronas forem distribuídas 
igualmente em 20 filas, quantas poltro-
nas haverá por fila?
•	Sobrarão poltronas?
•	 E se elas forem distribuídas igualmente 
em 30 filas, quantas poltronas terá em 
cada fila? 
•	Sobrariam poltronas? 
45; 5
1 035; 7
850; 2
1 236; 5
1 220; 3
1 799; 4
Não, sete alunos ficaram sem equipe, pois 5 3 8 1 7 5 47
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
26 equipes e sobram 
3 alunos
182
87 poltronas.
Sim, 4 poltronas.
58 poltronas.
Sim, 4 poltronas.
An
dr
es
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Registre no 
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b) A quantia de R$ 4.850,00 deve ser paga em notas de R$ 100,00 e em notas 
de R$ 50,00 apenas. Responda:
•	Se R$ 4.000,00 forem pagos em notas de 100 reais e o restante em 
notas de 50 reais, quantas notas haverá de cada tipo?
•	Se R$ 4.800,00 forem pagos em notas de 100 reais e o restante em 
notas de 50 reais, quantas notas haverá de cada tipo?
c) Marta estava olhando um calendário. Os 365 dias estão divididos em 12 meses. Al-
guns meses têm 30 dias, outros, 31 dias, e apenas 1 mês tem 28 dias. Então ela ima-
ginou um problema: como dividir os 365 dias em 12 meses, de modo que cada mês 
tenha 30 dias ou 31 dias?
d) Agora divida os 365 dias do calendário em semanas, com 7 dias cada semana. Quantas 
serão as semanas? Sobram dias?
7 Os 372 alunos da escola serão divididos em equipes. Quantas equipes poderão ser for-
madas e quantos alunos sobrarão se cada equipe deve ter exatamente:
a) 3 alunos?
b) 4 alunos?
c) 5 alunos?
d) 6 alunos?
e) 7 alunos?
f) 8 alunos?
g) 9 alunos?
h) 10 alunos?
8 Responda:
a) Quando o divisor é 4, quais são os possíveis restos de uma divisão?
b) Quando o divisor é 5, quais são os possíveis restos de uma divisão?
c) Se o resto da divisão é zero, o quociente é 5 e o divisor é 10, qual será o valor do divi-
dendo?
d) Se o resto da divisão é 8, o quociente é 5 e o divisor é 10, qual será o valor do dividendo?
e) Se o resto da divisão é 11, o quociente é 2 e o divisor é 20, qual será o valor do dividendo?
9 Copie e complete a tabela a seguir com os valores que estão faltando. Utilize uma calcu-
ladora para efetuar as operações necessárias.
Dividendo Divisor quociente Resto
10 7 8
99 22 4
13 5 11
103 15 6
8 13 6
120 25 4
9 6 7
©
 B
an
co
 C
en
tr
al
 d
o 
B
ra
si
l
40 notas de 100 e 
17 notas de 50
48 notas de 100 e 1 nota de 50
7 meses de 30 dias e 5 meses de 31 dias
Zu
ba
rt
ez
52 semanas e sobra 1 dia
124 equipes
93 equipes
74 equipes 
e sobram 2 alunos
62 equipes
53 equipes 
e sobra 1 aluno
46 equipes 
e sobram 4 alunos
41 equipes 
e sobram 3 alunos
37 equipes e sobram 
2 alunos
0, 1, 2 e 3
0, 1, 2, 3 e 4
50
58
51
78
11
76
13
110
20
61
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caderno
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Capítulo 6
Potenciação e radiciação
Potenciação
Agora que você recordou as quatro operações aritméticas, estudaremos duas novas ope-
rações: a potenciação e a radiciação. Para compreender essas novas operações, observare-
mos alguns exemplos:
Exemplo 1:
Dois dados, um branco e outro vermelho, são lançados. 
Representaremos todos os resultados que podem ocorrer. 
Para essa representação, utilizaremos pares ordenados, em 
que o primeiro valor indica o resultado do dado branco, en-
quanto o segundo valor indica o resultado do dado vermelho:
 
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
Podemos dizer que são 6 resultados possíveis para o dado branco e 6 resultados possíveis 
para o vermelho. O total de resultados possíveis no lançamento dos dois lados pode ser obtido 
por uma multiplicação ou por uma potenciação, isto é:
6 3 6 5 62 5 36
A potenciação de números naturais é a multiplicação de fatores iguais.
No exemplo, temos as seguintes denominações:
62 5 36
6 é a base(fator que será repetido)
2 é o expoente (indica quantas vezes o fator é repetido)
36 é a potência (resultado da potenciação)
Exemplo 2:
Observe como algumas potências são calculadas:
•	23 5 2 3 2 3 2 5 8 (lemos: dois elevado ao cubo é igual a oito);
•	34 5 3 3 3 3 3 3 3 5 81 (lemos: três elevado a quatro é igual a oitenta e um).
Zu
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Radiciação
Daremos apenas uma ideia do que vem a ser a radiciação, pois, nos próximos anos, am-
pliaremos o conhecimento a respeito tanto da radiciação quanto da potenciação.
Paulo comprou um terreno que tem a forma de um quadrado de área igual a 121 m². Para 
providenciar uma cerca, ele precisa descobrir a medida do lado do terreno. Qual operação 
matemática Paulo deve usar para determinar essa medida? 
A forma do terreno é quadrada, portanto todos os lados dele devem ter a mesma medida. 
Observação!
 V Podemos calcular a área de um quadrado multiplicando a 
medida do lado do quadrado por ela mesma. Por exemplo, 
se o quadrado tem lado igual a 3, sua área será 3 ? 3 5 9. 
Quando conhecemos somente a área do quadrado, podemos utilizar a radiciação, que 
é a operação inversa da potenciação, para determinar a medida do seu lado. Assim, para 
medir um quadrado com área igual a 9, fazemos 2 9 (raiz quadrada de 9) que equivale a 3. 
O 2 é chamado de índice e o 9 é o radicando. As raízes quadradas podem ser escritas sem 
o índice 2.
Logo, a operação matemática que Paulo deve usar é a radiciação. Para determinar o lado 
de um quadrado com área 121, fazemos:
121 5 11, pois 11² 5 121
Portanto, o lado do terreno que Paulo comprou mede 11 m.
Além de raízes quadradas, há raízes com outros índices. Observe os exemplos a seguir. 
•	raiz cúbica de oito → 83 5 2, pois 2³ 5 8 
•	raiz quinta de duzentos e quarenta e três → 2435 5 3, pois 35 5 243
•	raiz sétima de cento e vinte e oito → 1287 5 2, pois 27 5 128
•	raiz cúbica de cento e vinte cinco → 1253 5 5, pois 53 5 125
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B
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AGORA É COM VOCÊ
1 Calcule as seguintes potências:
a) 33
b) 53
c) 44
d) 232
e) 12¹ 12 
f) 13² 169 
g) 14² 196 
h) 15² 225
i) 16² 256 
j) 17² 289 
k) 20² 400 
l) 25² 625
2 Copie e complete.
a) Se 26 5 64, então 5 26 .
b) Se 142 5 196, então 5 .
c) Se 54 5 625, então 54 .625; 5
d) Se 103 5 1 000, então 53 .
3 Copie e complete a tabela a seguir escrevendo os quadrados e os cubos de alguns nú-
meros naturais.
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Quadrado
Cubo
4 Represente, por meio de potenciação, cada multiplicação a seguir, indicando o resultado.
a) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 
b) 10 310 3 10 3 10 
c) 12 3 12 3 12 
d) 20 3 20 
e) 9 3 9 3 9 3 9 94 5 6 561 
f) 6 3 6 3 6 6³ 5 216
g) 2² 3 2² (2²)² 5 2 3 2 3 2 3 2 5 24 5 16 
h) 3² 3 3² (3²)² 5 81
i) 3² 3 3² 3 3² (3²)³ 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 36 5 729 
j) 2² 3 2² 3 2² (2²)³ 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 26 5 64
5 Calcule as seguintes raízes:
a) 36
b) 273
c) 325
d) 164
e) 100 10
f) 625 25
g) 400 20
h) 289 17
i) 144 12
j) 169 13
k) 256 16
l) 225 15
m) 814 3
n) 16 1
o) 31255 5
p) 24014 7
6 Observe: 5² 3 54 5 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 55 56. Com base no exemplo, escreva os itens a 
seguir em uma única potência.
a) 3² 3 3² 34 
b) 7² 3 78 710 
c) 49 3 410 419
d) 65² 3 657 659 
e) 12 3 12³ 3 1210 1214 
f) 50 3 50 50²
7 Em um lago há uma planta muito especial, com uma característica única: dobra de ta-
manho a cada noite. Em 28 dias a planta cobriu todo o lago. Em que dia a planta havia 
coberto metade do lago? No 27o dia
8 Um pedreiro colocou azulejos em uma sala que tem a forma de um quadrado, e para isso 
ele utilizou 144 lajotas de forma quadrada e de mesmo tamanho, sem precisar cortar 
nenhuma delas. As lajotas foram dispostas paralelamente às paredes. Quantas lajotas 
couberam em cada lado da sala? 144 5 12, pois 12² 5 144. Portanto, em cada lado da sala couberam 12 lajotas.
9 Que número natural é ímpar e está entre 900 e 1089? 31
27
125
256
529
64
196;14 1 000;10
35 5 243
104 5 10 000
123 5 1 728
202 5 400
6
3
2
2
1 4 9 16 25 36 49 64 81
1 8 27 64 125 216 343 512 729
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Expressões numéricas
Agora podemos resolver expressões numéricas com todas as operações. Lembre-se de 
que não importa a quantidade de operações, as ordens de associação sempre serão: primeiro 
os parênteses, depois os colchetes e por último as chaves.
Quando não houver sinais de associação, deve-se respeitar a ordem das operações: 
1º) Potências e raízes na ordem em que aparecem.
2º) Multiplicação e divisão na ordem em que aparecem.
3º) Adição e subtração na ordem em que aparecem.
Exemplo 1:
3² 1 {10³  [5 ? (180  25)]  2²} 5
5 9 1 {1 000  [5 ? (180  32)]  4} 5
5 9 1 {1 000  [5 ? 148]  4} 5
5 9 1 {1 000  740  4} 5
5 9 1 {1 000  185} 5
5 9 1 815 5 824
Exemplo 2:
3² 1 { 1 0003  [10 ? (12  100 )]  2²} 5 
5 9 1 {10  [10 ? (12  10)]  4} 5
5 9 1 {10  [10 ? 2]  4} 5
5 9 1 {10  20  4} 5
5 9 1 {10  5} 5
5 9 1 5 5 14
aGoRa É CoM VoCÊ
1 Obtenha o valor numérico de cada expressão.
a) {3³ 1 2 ? [5 – (12²  140)]} 29
b) [39 1 (12  83 1 2)]  17 3
c) 116  {13  100 1 [10 1 4³  (2 1 4 )} 4
d) (14² 1 23)  {[3  8  ( 625  3 ? 7)] ? 219} 1
2 Após obter o valor numérico de cada uma das seguintes expressões, troque ideias com 
seus colegas sobre a ordem das operações feitas em cada uma delas: 
 Expressão A: 1 ? 2 64 2 5 24  10
 Expressão B: 1 ?  52 64 2 5 24 

 1
 Expressão C: 1 ?  52 64 2 5 24( ) ( ) 8
Professor: é importante que os alunos observem que os valores numéricos dessas expressões envolvendo os mesmos 
números e as mesmas operações são diferentes devido à ordem com que devemos fazer as operações.
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Capítulo 7
Tratamento da informação: 
organização de dados 
em tabelas
O professor de Matemática fez uma pesquisa para descobrir qual foi o sabor de sorvete 
preferido dos alunos na festa do sorvete da escola.
Cada aluno escreveu em uma tira de papel seu sabor predileto e depois todos os papéis 
foram contabilizados. Dos 450 alunos da escola, 180 preferiram sorvete de chocolate. O pro-
fessor comentou que já esperava que a maioria escolhesse esse sabor. A surpresa maior foi 
101 alunos escolherem o sabor de limão. O sorvete de morango foi escolhido por 40 alunos, 
o de creme por 54 alunos, o de abacaxi por 14 alunos e o restante escolheu sorvete de uva.
Responda rapidamente às questões a seguir.
a) Quantos alunos escolheram sorvete de morango? E de limão? 40; 101
b) O sorvete de uva obteve mais votos do que o de creme? Sim.
Agora observe a tabela abaixo e de novo responda rapidamente aos questionamentos 
anteriores.
Quantidade de votos por sabor
Chocolate limão uva Creme Morango abacaxi
180 101 61 54 40 14
Observar os dados do texto organizados em uma tabela facilitou a localização das infor-
mações e ajudou você a responder mais rapidamente às perguntas?
Ilu
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ra
 C
ar
to
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Trabalho em equipe
Em grupo, faça as atividades a seguir.
1 Escrevam um pequeno texto com base nos questionamentos a seguir.
a) Por que um levantamento como o proposto pelo Ministério do Meio Ambiente e pelo 
ICMBio é importante? Resposta pessoal.
b) Na opinião de vocês, quais fatores levaram nossa fauna a essa situação? Resposta pessoal.
2 Procurem dados em textos de jornais e revistas e transcrevam-nos em forma de tabela. 
Não se esqueçam de dar um título a ela. Depois de construída, comparem-nacom as 
dos outros grupos.
As tabelas são utilizadas de forma ampla para a divulgação de informação de maneira rápida e resumi-
da. Os meios de comunicação frequentemente utilizam tabelas para mostrar informações de maneira 
a facilitar sua leitura.
espécies ameaçadas de extinção da fauna 
brasileira
Classes quantidade de espécies ameaçadas
mamíferos 110
aves 234
répteis 80
anfíbios 41
peixes ósseos 353
peixes 
cartilaginosos 55
peixe-bruxa 1
invertebrados 299
Total 1 173
Vejamos mais alguns exemplos de como uma tabela pode ser utilizada para resumir in-
formações.
O ICMBio1 finalizou em dezembro de 2014 a avaliação nacional do risco de extinção da 
fauna brasileira.
[...]
Nos 1.173 táxons2 oficialmente reconhecidos como ameaçados estão 110 mamíferos, 234 
aves, 80 répteis, 41 anfíbios, 353 peixes ósseos (310 água doce e 43 marinhos), 55 peixes cartila-
ginosos (54 marinhos e 1 água doce), 1 peixe-bruxa e 299 invertebrados.
1. Instituto Chico Mendes de Conservação da Biodiversidade.
2. Objeto de estudo da Taxonomia, ramo das Ciências Biológicas que estuda os seres vivos, podem estar em qualquer nível de um 
sistema de classificação. Um reino, por exemplo, é um táxon, assim como um gênero ou uma espécie. 
Disponível em: ,www.icmbio.gov.br/portal/biodiversidade/fauna-brasileira/60-fauna-brasileira.html.. Acesso em: fev. 2015.
Organizando os dados do texto em uma tabela, temos:
Le
no
rl
ux
/iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
Onça-pintada.
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Exemplo 1:
Em uma escola, foi feita uma pesquisa sobre gêneros musicais com 90 alunos. A pergunta 
da pesquisa foi: Qual é o tipo de música de que você mais gosta?
Os dados foram organizados em tabelas simples da forma seguinte.
Gênero musical preferido Meninos
rock 12
rap 5
MPB 2
sertanejo 15
gospel 6
Gênero musical preferido Meninas
rock 10
rap 2
MPB 13
sertanejo 20
gospel 5
Você percebeu que o critério de separação foi o gênero dos entrevistados (masculino e 
feminino)? Será que podemos analisar os dados organizando-os em uma única tabela? Veja 
a seguir.
Gênero musical preferido dos alunos pesquisados
 Gênero musical
 Sexo
Rock Rap Mpb Sertanejo Gospel
Meninos 12 5 2 15 6
Meninas 10 2 13 20 5
Esta tabela é chamada de tabela de dupla entrada. Observe que cada célula tem duas 
classificações. Por exemplo, a célula referente à primeira linha e à primeira coluna nos informa 
que há 12 meninos que gostam de rock.
Exemplo 2:
No lançamento de dois dados, vamos somar os valores obtidos nos dois dados. Qual é o 
valor de maior ocorrência para essa soma?
Resolução:
Vamos elaborar uma tabela de dupla entrada com todos os pares que podem ocorrer.
Dado 2
Dado 1 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Podemos verificar que existem 36 pares possíveis para o lançamento de dois dados e que 
a soma de maior ocorrência desses pares é o 7. 
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1 Que tal fazer a pesquisa do exemplo 1 em sua sala de aula? Identifiquem os gêneros 
musicais que farão parte da pesquisa e, depois, cada aluno deve responder à pergunta. 
Vocês podem organizar os dados primeiramente na lousa e, depois, montar a tabela. 
 Depois da construção da tabela, respondam às questões a seguir.
a) Qual foi o gênero musical preferido? Resposta pessoal.
b) Que tipo de empresa ou profissional pode interessar-se pelas informações coletadas 
em uma pesquisa sobre preferências musicais? 
2 Observe a tabela sobre o tipo de fruta preferida entre os alunos de uma escola e respon-
da às questões.
laranja abacaxi Mamão Maçã pera
quantidade 68 138 209 175 180
a) Qual é a fruta preferida da turma? Mamão.
b) Qual foi o total de alunos pesquisados? 770
c) Em sua opinião, é mais fácil obter o total pedido no item anterior em um texto ou em 
uma tabela? Por quê? É mais fácil obter o total em uma tabela.
3 Copie no caderno a tabela a seguir e complete-a.
Vendas da pastelaria bom pastel no primeiro semestre de 2016
tipo 
Mês queijo Carne 
Frango com
requeijão pizza totais
Janeiro 200 340 180
Fevereiro 181 305 232 958
Março 329 415 287 1 415
abril 256 287 240 1 083
Maio 265 258 280
Junho 448 519 482 1 881
totais 1 684 1 669 7 329
4 Corrija as afirmações falsas sobre os dados da tabela a seguir, na qual há o resultado de uma 
pesquisa para o canal Sempre Esporte sobre o tipo de esporte preferido de homens e mulheres.
esporte
Sexo Futebol basquetebol Voleibol atletismo Judô tênis Natação
outros 
esportes
homens 3 187 2 120 1 923 1 756 1 800 1 957 1 678 459
Mulheres 1 688 1 512 1 879 1 121 1 249 801 1 059 580
a) O total de pessoas que prefere futebol é igual a 4 875. Afirmativa correta.
b) Voleibol é o esporte que tem a maior preferência. Futebol é o esporte que tem a maior preferência.
c) Natação é o terceiro esporte na preferência das mulheres. 
d) O total de mulheres entrevistadas foi 9 890. O total de mulheres entrevistadas foi 9 889
Resposta pessoal. Sugestão para resposta: Essas infor-
mações são úteis para produtoras e gravadoras, bem como profissionais de marketing que inserem músicas nas propagandas 
com o objetivo de alcançar o maior número de pessoas possível.
Natação é o sexto esporte na 
preferência das mulheres.
aGoRa É CoM VoCÊ
221 941
240
384
300
248 1 051
432
1 848 2 128
Registre no 
caderno
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Um texto bem escrito possibilita ao leitor uma melhor compreensão. Você concorda com 
essa afirmação? 
Existem diferentes programas de computador que são utilizados para redigir um texto. 
Esses programas são chamados de editores de texto. Você já redigiu um texto em um editor? 
O que você achou?
Ao escrevermos um texto matemático, precisamos de símbolos próprios, utilizados para 
representar palavras e ideias. Por exemplo, qual símbolo matemático é utilizado para repre-
sentar a multiplicação? E a divisão?
Em um texto podemos escrever, por exemplo, “quatro é diferente de x”, mas para um 
texto matemático talvez fosse melhor usar: “4  x”.
Selecionamos alguns símbolos utilizados na Matemática que poderão ser reproduzidos 
em um editor de texto.
?, 3 multiplicação , 4 divisão  alfa  diferente

mais ou 
menos  congruência  delta  pi
 menor  maior  menor ou igual  maior ou igual
� intersecção � união  conjunto vazio raiz quadrada
Todos esses símbolos aparecem representados no teclado do computador? 
Grande parte deles não.
Veja a seguir como inserir símbolos matemáticos em um texto.
Abra o editor de texto e localize os botões:
tecla_matemática
Ed
so
n 
An
tu
ne
s
Fe
rn
an
da
 G
om
es
 
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Ao clicar no botão Símbolo, você verá que surge uma janela que contém alguns símbolos: 
Ao clicar em Mais símbolos, outra janela (figura a seguir) se abrirá e nela você terá ou-
tras opções.
Veja a seguir o nome de alguns símbolos que aparecem na imagem acima:
 5 delta
 5 épsilon
 5 eta
 5 teta
 5 lâmbda
 5 mi
 5 phi
 5 psi
 5 sigma
Depois de escolher o símbolo desejado, basta clicar nele para inseri-lo na tela.
Agora que você já sabe como inserir símbolos em seu editor de textos, aproveite para 
rascunhar diferentes textos utilizando-se dos símbolos matemáticos que você já conhece. 
Se aparecer algum símbolo desconhecido, será uma ótima oportunidade para fazer uma 
pesquisa a fim de ampliar seu conhecimento. 
Fo
to
s:
 F
er
na
nd
a 
G
om
es
 
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1 (Saresp)
Em um jogo de tabuleiro, ganha quem chegar primeiro na casa final. De acordo com a tirada 
de 2 dados, Cláudio andou 5 casas e ganhou o direito de avançar mais 3 casas. Nina andou 12 
casas, mas teve de voltar outras 2. Tito avançou 10 casas, mas também teve de voltar 2. Pode-se 
dizer que neste momento do jogo: Alternativa c.
a) Tito está ganhando de Nina.
b) Nina está atrás de Cláudio.
c) Cláudio está na mesma casa que Tito.
d) Todos estão na mesma casa do tabuleiro.
2 (Obmep)
O algarismo da unidade do número 1 3 3 3 5 3 79 3 97 3 113 é Alternativa c.
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9 
3 (Obmep) 
Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica, portanto, nas casas usam-se velas a noite. Na 
casa de João usa-se uma vela por noite, sem queimá-la totalmente, e com quatro desses tocos 
de velas João fabrica uma nova vela. Durante quantas noites João poderá iluminar sua casa 
dispondo de 43 velas? Alternativa d.
a) 43
b) 53
c) 56
d) 57
e) 60 
SupeRaNDo DeSaFIoS
Explorando
Calvin, o detetive
Autor: Bill Wise
Tradução: Antonio Carlos Vilela 
Ilustrações: Lucy Corvino
Editora: Melhoramentos
96 páginas
O livro traz uma série de crimes que são resolvidos pelo 
chefe de polícia Artur e seu assistente mirim, Calvin. Esta 
dupla desvenda, com a 
ajuda dos números, os 
mistérios criados pelos 
fatos apresentados e 
pelas pistas deixadas, 
de maneira lúdica e 
divertida, prendendo o 
leitor do começo ao fim.
alice no país dos Números
Autor: Carlo Frabetti
Tradução: Maria Dolores Prades
Ilustrações: Cris Eich
Editora: Ática
112 páginas
Alice não gostou da ideia de estudar Matemática. Por isso, 
Lewis Carrol decide levá-la a uma viagem fabulosa pelo País 
dos Números, e então a 
menina descobre que a 
Matemática pode ser 
divertida e serve para 
muita coisa.
em busca dos números perdidos
Autor: Michael Thomson
Tradução: Adazir Almeida 
Ilustrações: Bryony Jacklin
Editora: Melhoramentos
72 páginas
O leitor será o detetive de uma investigação divertida. Quem é 
ou quem são os culpados pelo desaparecimento dos números? 
Mergulhe nesta envolvente 
investigação, que poderá 
levá-lo a lugares estranhos 
e, às vezes, será preciso 
refazer os caminhos. Em 
sala de aula, o professor 
poderá reforçar conceitos 
matemáticos conduzindo 
um jogo empolgante. 
Em casa, o leitor vai se 
divertir, além de treinar 
as quatro operações matemáticas.
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Registre no 
caderno
APOEMA MAtEMáticA 6
MiOlO GERAl
visto
8a prova
gabriela
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RESGATANDO CONTEÚDOS
1 No sistema de numeração decimal, quan-
tos algarismos são utilizados para escre-
ver os números?
a) 9
b) 10
c) 15
d) 20
2 O número correspondente a 90 dezenas e 
1 centena é:
a) 990
b) 1 100
c) 1 000
d) 910
3 Corresponde ao número 1 095:
a) 1 000 1 900 1 5
b) 100 1 90 1 5
c) 1 000 1 900 1 90 1 5
d) 1 000 1 90 1 5
4 Quantos são os números naturais ímpares 
menores que 20?
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11
5 Quantos são os números naturais pares 
maiores que 11 e menores que 27?
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11
6 Qual é o próximo número da sequência 
(0, 4, 8, 12, ...)?
a) 14 b) 15 c) 16 d) 18
7 Que número ímpar é maior que 309 e me-
nor que 312?
a) 310 b) 311 c) 312 d) 313
8 Descubra o padrão da sequência numé-
rica e determine o seu próximo número. 
(900, 820, 740, ...)?
a) 680 b) 660 c) 650 d) 640
9 Como lemos o número ordinal 50o?
a) cinco décimos
b) cinquenta
c) cinquentésimo
d) quinquagésimo
Alternativa b.
Alternativa c.
Alternativa d.
Alternativa c.
Alternativa a.
Alternativa c.
Alternativa b.
Alternativa b.
Alternativa d.
10 Numa prova, 45 pessoas chegaram à fren-
te de Ana. Logo a posição dela foi:
a) 44o
b) 45o
c) 46o
d) 47o
11 Tenho 2 notas de 100 reais e 5 notas de 20 
reais. A quantia total que tenho é:
a) R$ 250,00
b) R$ 300,00
c) R$ 450,00
d) R$ 500,00
12 Tenho 9 moedas de 50 centavos e 2 moe-
das de 25 centavos. Posso trocar exata-
mente por:
a) 1 cédula de 10 reais
b) 2 cédulas de 5 reais
c) 4 cédulas de 2 reais
d) 1 cédula de 5 reais
13 No jornal estava escrito “6 milhões de 
reais”. Essa quantia é a mesma que:
a) 60 000 reais
b) 600 000 reais
c) 6 000 000 de reais
d) 60 000 000 de reais
14 O algarismo 7 no número 987 566 corres-
ponde ao valor de:
a) 700
b) 7 000
c) 700 000
d) 70 000
15 Fazendo arredondamentos, assinale, en-
tre os números abaixo, aquele que é mais 
próximo de 156 985.
a) 156 900
b) 157 000
c) 156 000
d) 156 800
16 Digitei 1 250 na calculadora. Qual é o nú-
mero que tenho de adicionar para obter 
como soma 1 500?
a) 150
b) 200
c) 250
d) 350
Alternativa c.
Alternativa b.
Alternativa d.
Alternativa c.
Alternativa b.
Alternativa b.
Alternativa c.
Registre no 
caderno
APOEMA MAtEMáticA 6
MiOlO GERAl
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gabriela
6666
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17 Digitei 12 750 na calculadora. Qual é o 
número que tenho de subtrair para obter 
como resultado o número 12 250?
a) 400
b) 500
c) 600
d) 350
18 Na divisão 55 : 5 5 11, o quociente é 11. O 
que acontece com o quociente se dupli-
carmos o valor do dividendo e também o 
valor do divisor?
a) Não se altera.
b) Duplica também.
c) Aumenta 5 unidades.
d) Diminui 5 unidades.
19 Tenho 9 notas de 50 reais e 50 notas de 10 
reais. Qual é a quantia total que tenho?
a) Mais que 1 000 reais.
b) Menos que 900 reais.
c) Exatamente 1 000 reais.
d) Exatamente 950 reais.
20 Um carro que anda 500 quilômetros com 
50 litros de gasolina consome 1 litro a 
cada:
a) 5 quilômetros.
b) 9 quilômetros.
c) 10 quilômetros.
d) 20 quilômetros.
21 Se 5 3 7 5 35, qual é o valor de 50 3 70?
a) 35
b) 350
c) 3 500
d) 35 000
22 Calculando 302, obtemos:
a) 300
b) 900
c) 1 000
d) 810
23 O valor da expressão numérica 
2 16 4 4? 1 ? é:
a) 8
b) 12
c) 16
d) 20
Alternativa b.
Alternativa a.
Alternativa d.
Alternativa c.
Alternativa c.
Alternativa b.
Alternativa c.
24 Qual é o segredo que torna a figura abaixo 
um triângulo mágico?
5
3 6
2 4
1
25 Copie a figura abaixo e escreva os núme-
ros de 1 a 9 dentro dos círculos. O número 
5 já está escrito. Mas atenção para a re-
gra: cada três números em linha reta (ob-
serve as linhas coloridas) deverá ter soma 
igual a 15.
5
26 Descubra o segredo para completar a pi-
râmide de números.
1000
288
83 507
16 43 250
10 6 6 37 180
27 O quadrado abaixo é formado por 5 linhas 
e 5 colunas. Os números de 1 a 25 de-
vem ser colocados, sem repetição, dentro 
de cada quadradinho, de tal forma que 
a soma dos números em cada linha, em 
cada coluna e em cada diagonal seja sem-
pre 65. O desafio é completar o quadrado 
com os números que estão faltando.
1 3 25
18 11 9
19 10 2
5 15
16 4 14
A soma dos números de cada lado é 10.
Respostas pessoal. 
Uma possibilidade:
9
4
3
81
6
7
2
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13 23
21 6
22 12
8 20 17
7 24
712
205
3571505528
10712
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UNIDADE 2
Geometria: 
primeiras noções
A história da Geometria se confunde com a história 
evolutiva do pensamento humano. As formas da natureza 
serviram de inspiração para a criação de objetos e 
também em projetos de construções. Conhecer 
aspectos da Geometria é desvendar parte de 
nossa própria história.
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1 O que é um retângulo? 
2 Quantos vértices há em um cubo?
Kseniia Veledynska/Dreamstime.com
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Não precisamos ir muito longe para encontrar grandiosas construções. Algumas são mo-
dernas, outras bem mais antigas; algumas extremamente complexas, outras mais simples. São 
pontes, castelos, túneis, estádios, muros, estradas etc. Não importa o tipo de construção nem 
sua dimensão, muitas delas, provavelmente, nasceram de um simples desenho. 
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Com base em um desenho é elaborado, então, umprojeto. Arquitetos e engenheiros estão 
entre os profissionais envolvidos nas várias etapas, desde o desenho até a construção final. 
Cada etapa exige um tipo específico de conhecimento. Se por um lado o arquiteto toma cuida-
do com o aspecto final da obra e seus detalhamentos, por outro o engenheiro é encarregado de 
analisar estruturas e fazer cálculos que garantam, entre outros aspectos, a segurança e a resis-
tência da construção. Talvez o conhecimento mais básico que esses profissionais precisam 
ter é o de Geometria. 
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Ponte Juscelino Kubitschek sobre o Lago Paranoá – Brasília, DF.
Esboço da Ponte Juscelino Kubitschek.
Capítulo 8
Percebendo a Geometria
Respostas da página anterior:
1. É um quadrilátero do grupo dos paralelogramos que tem os ângulos internos congruentes.
2. Há 8 vértices.
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Conhecendo a história
Quando “nasceu” a Matemática? Quando analisamos a evolução da Matemática, parece-
-nos mais razoável que ela tenha sido desenvolvida gradualmente desde tempos remotos, e 
não que tenha sido descoberta por um indivíduo ou determinado grupo nativo. 
Muitos pesquisadores associam o surgimento da Matemática às necessidades práticas, 
mas estudos antropológicos sugerem outras possibilidades para sua origem, por exemplo, o 
ato de contar poderia estar associado a rituais religiosos primitivos.
E a Geometria? Heródoto, que foi um historiador grego, nos dizia que a Geometria havia 
começado no Egito em razão da necessidade prática de fazer novas medições de terras de-
pois das enchentes do Rio Nilo. Quem faziam essas medições eram os estiradores de corda. 
Euclides de Alexandria (c. 360­295 a.C.).
Estiradores de corda.
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Já Aristóteles associou o surgimento da Geometria a uma classe sacerdotal do Egito que 
usufruía de muitos tipos de lazer.
Claro que não nos cabe contradizer nenhum desses importantes pensadores, porém, se 
observarmos os desenhos realizados pelo ser humano neolítico é possível perceber a preocu-
pação com as relações espaciais. Tecidos, cestas e potes mostram a presença de congruência 
e simetria, que, em essência, fazem parte da Geometria elementar.
Historiadores apontam o Egito Antigo como o lugar de surgimento da Geometria. Como as 
terras cultivadas pelos agricultores egípcios se localizavam às margens do Rio Nilo, na época 
de chuvas essas terras eram invadidas por suas águas, deixando o solo fertilizado. Entretanto, 
havia um grande problema: as mesmas águas que 
tornavam o solo ideal para a agricultura eliminavam 
as demarcações dos terrenos. Havia, então, a ne-
cessidade de novas demarcações para que as terras 
fossem redistribuídas entre os agricultores. Ao de-
senvolver métodos de medição, os egípcios foram 
adquirindo conhecimentos cada vez mais amplos 
sobre "medida da terra" (geo = “terra”; metria = “me-
dida”). A esses conhecimentos deram o nome de 
Geometria. 
71
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Rio Nilo, Egito.
Atualmente constatamos a presença dos conhecimentos geométricos não apenas nas 
grandes construções. Basta um olhar para a natureza para encontrar as inúmeras formas nela 
presentes. Em alguns lugares do planeta, é possível encontrar flocos de neve menores que 
1 centímetro, cujas formas regulares nos chamam a atenção.
 
Flocos de neve 
ampliados.
 
As imagens dos flocos de neve e do favo de mel são 
exemplos da presença das formas geométricas na natureza. 
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Não podemos deixar de mencionar o interesse que os egípcios tinham pela Astronomia e 
que as observações que fizeram do céu levaram a descobertas relevantes.
Importantes sábios fizeram parte da história, entre eles Platão, Aristóteles (considerado por 
muitos o homem mais erudito de todos os tempos) e Euclides (autor da obra que se tornou 
referência para os matemáticos – Os elementos).
Nela, Euclides (século III a.C.) reuniu e organizou grande parte do conhecimento de sua 
época. Esse conhecimento envolvia conceitos relacionados à teoria dos números (que abor-
da a construção dos sistemas numéricos), conceitos que tratam da incomensurabilidade 
entre grandezas e, por último, mas não menos importante, os conceitos da Geometria que 
estudaremos nesta unidade.
Favo de mel.
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72
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A observação das diversas formas presentes na natureza sempre inspirou a humanidade.
A Geometria é uma das áreas que estuda essas formas e tantas outras idealizadas e criadas 
pelos seres humanos. Um típico exemplo é a forma geométrica conhecida como esfera.
Veja a seguir algumas formas geométricas e suas denominações. Note que ao lado de 
cada uma há uma fotografia de algum objeto com a mesma forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que acima aparecem formas geométricas planas (triângulo e retângulo) e for-
mas geo métricas não planas (cilindro, esfera, paralelepípedo e pirâmide). Além dessas, há 
muitas outras, que serão vistas ao longo do ensino de Geometria.
trabalho em equipe
Até o momento você viu como algumas formas geométricas estão presentes no cotidiano. Você 
conhece outras?
Em trio ou quarteto, traga para a próxima aula algumas embalagens. Juntos, verifiquem se reco-
nhecem nelas algumas das formas geométricas apresentadas neste capítulo ou estudadas por vocês 
anteriormente.
Com o auxílio de uma tesoura, abram as embalagens e identifiquem as formas planas que fazem 
parte da forma espacial da embalagem. Ao final da atividade, escrevam um pequeno texto contando 
as descobertas realizadas durante a execução da atividade e procurem descrever e diferenciar uma 
forma plana de uma não plana, ou seja, espacial.
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caixa de joiasparalelepípedo
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triângulo triângulo de 
sinalização
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Registre no 
caderno
Pirâmide de Quéfren, Egito.
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aGora É Com VoCÊ
1 Para cada forma geométrica a seguir, escreva P para plana ou NP para não plana.
a) quadrado
b) círculo
c) cilindro
d) esfera
e) retângulo
f) paralelepípedo
g) triângulo
h) cone
2 Observe atentamente a reprodução da tela ao lado, e 
responda às questões a seguir.
a) Essa representação da tela tem uma forma plana 
ou não plana?
b) Quais formas foram representadas na cor amare­
la?
c) E na cor vermelha? Retângulos e quadrados.
d) O que as formas representadas na tela têm em 
comum? 
3 A seguir estão representados cilindros de tamanhos 
diferentes:
Escreva o nome de um objeto que tem a forma de cilindro.
4 Com base em um desenho fei­
to numa cartolina (planificação), 
a turma de Júlia construiu um 
dado, conforme imagem ao lado. 
Responda.
a) Quantos quadrados aparecem 
na planificação do dado?
b) Dentro desses quadrados fo­
ram desenhados de 1 a 6 pon­
tos. No dado montado, pode­
mos ver apenas os quadrados 
em que aparecem 2, 4 e 6 pon­
tos. Quantos pontos aparecem 
nos quadrados opostos a es­
ses, respectivamente?
c) Há alguma regularidade quan­
do observamos as faces opos­
tas? Qual? Sim. A soma dos números é sempre igual a 7.
P
P
NP
NP
P
NP
P
NP
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Kazimir Malevitch. Composição 
suprematista, 1916. Óleo sobre 
tela, 88 3 70 cm.
Plana.
Retângulos e quadrados.
Todas as formas são figuras planas e 
variam entre quadrados e retângulos.
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Resposta pessoal.
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Registre no 
caderno
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Algumas noções de Geometria
Vimos anteriormente um pouco da história da Geometria. Também observamos algumas 
formas geométricas que representam idealizações. Vamos agora ampliar nosso conhecimen-
to, observando algumas noções geométricas importantes. Para isso vamos utilizar um cubo 
que é uma figura geométrica não plana.
Assim como podemos denominar 
as partes de uma caixa de vidro, tam-
bém o fazemos com a forma idealiza-
da de um cubo. Veja na representação 
ao lado.
Uma face do cubo dá a ideia de uma 
"parte" de um plano (se ampliássemos 
uma face do cubo indefinidamente, te-
ríamos a ideia de um plano). Cada ares-
ta do cubo dá a ideia de "uma parte" de 
uma reta (imagine a aresta sendo am-
pliada indefinidamente nos dois senti-
dos), e um vértice, a ideia de ponto.
Agora, vamos imaginar que a profes-
sora indicou na lousa dois pontos: A e B. 
Com uma régua, ligou esses dois pon-
tos e prolongou para os lados. Com esse 
simples procedimento, acabou repre-
sentando uma reta no plano da lousa. 
 
Por dois pontos distintos 
passa uma única reta.
Dizemos então que os pontos A e B determinam a reta que representamos por AB
� ���
. Além 
dos pontos A e B, existem infinitos outros pontos que pertencem à reta, como também exis-
tem infinitos pontos que não pertencem a ela, como representado a seguir:
Fe
rn
an
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av
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placa de vidro
friso (encontro de 
duas placas)
canto
aresta (encontro de
duas faces)
vértice
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P
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X B T
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A
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Os pontos R, A, Q, B e T pertencem à reta AB
� ���
.
Os pontos P, V, S, X, U e Y não pertencem à reta AB
� ���
.
Pontos que pertencem à mesma reta são chamados pontos colineares.
Agora vamos considerar partes de uma reta. 
Observe na figura a seguir que os pontos A e B determinam a reta AB
� ���
. Note que as duas 
pontas setas colocadas nas extremidades indicam que a reta se prolonga indefinidamente 
para os dois sentidos. Se considerarmos apenas parte de uma reta, podemos ter uma semir-
reta e também um segmento.
Reta AB
� ���
: 
A B
Semirreta AB
� ���
 (origem no ponto A): 
A B
Semirreta BA
� ���
 (origem no ponto B): 
A B
Segmento AB : A B
Exemplo:
Na figura ao lado está representado um paralelepípedo. Responda.
a) Quantas faces desse paralelepípedo estão visíveis?
b) Quantas são as arestas visíveis?
c) E quantos são os vértices visíveis?
Resolução:
A figura desenhada é como um bloco. Nem todas as partes são visíveis. Embora o parale-
lepípedo tenha 6 faces, 12 arestas e 8 vértices ao todo, são visíveis:
•	3 faces (laranjas);
•	9 arestas (vermelhas);
•	7 vértices (pretos).
Importante!
 V Quando queremos, por exemplo, indicar arestas não visíveis, utilizamos segmentos 
tracejados. Assim, o mesmo paralelepípedo poderia ser representado conforme 
mostrado ao lado.
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76
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aGora É Com VoCÊ
1 Construa o que se pede.
a) Semirreta de origem A que passa por B.
b) Segmento de reta cujos extremos são 
X e Y.
2 Utilizando a régua, construa os seguin­
tes segmentos de reta:
a) AB  6,2 cm
b) CD  3,7 cm
c) GH  4,6 cm
d) RS  5,0 cm
3 Quantos segmentos de reta há em cada 
uma das figuras?
a) 
b)
c)
d) 
4 Com os pontos A, B, C, D e E foram cons­
truídas cinco semirretas, formando a fi­
gura a seguir.
a) O ponto C pertence 
a quantas semir­
retas? 
b) As semirretas EA
� ��
 
e BC
� ��
 têm algum 
ponto em comum?
c) O ponto A é comum a quais semirretas?
d) As semirretas EA
� ��
 e DE
� ��
 têm algum 
ponto em comum?
5 No quadro a seguir estão representados 
os pontos A, B, C, D, E e F.
A B
C
DE
F
a) Escreva todos os segmentos que po­
dem ser construídos ligando­se dois 
pontos quaisquer.
b) Quantas retas podemos construir pas­ 
sando por dois pontos quaisquer?
6 Desenhe uma reta s e marque nela dois 
pontos: A e B. Depois faça o que se pede.
a) Pinte de azul a semirreta AB
� ��
.
b) Pinte de verde a semirreta BA
� ��
.
c) Responda: Essas duas semirretas têm 
algo em comum?
7 Na figura abaixo, as retas indicadas pe­
las letras r e s têm em comum o ponto P.
Quantas semirretas com origem no pon­
to P estão representadas na figura?
P
r
s
A
B
C
DE
2
Não.
Sim. O ponto E.
Ilu
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15
Sim. O segmento AB.
4
BA
YX
3
4
6
3
Registre no 
caderno
O aluno deverá construir 
segmentos conforme as 
medidas indicadas.
AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, 
BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF
EA e AB.
Resposta 
pessoal.
Resposta 
pessoal.
77
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 A GRANDE PIRÂMIDE
Neste capítulo você aprendeu que a Geometria está em quase tudo 
aquilo que nos cerca. Uma prova disso são as construções. Seja um 
prédio residencial, um museu, um teatro... E até mesmo uma pirâmide. 
Das Sete Maravilhas do Mundo Antigo, a única que resiste até hoje, 
praticamente intacta, é a Pirâmide de Quéops. Construída em 2650 a.C., 
ela surpreende, devido a sua arquitetura, mesmo quase após 5 mil 
anos. Veja a seguir algumas informações sobre esse monumento.
Pirâmide de Quéops vista de 
perto. É possível observar 
nitidamente os blocos 
de pedra calcária.
30 anos
foi o tempo que a pirâmide 
levou para ser construída
100 mil trabalhadores
foram usados na construção
Cerca de
2,6 milhões de blocos 
de pedra calcária foram utilizados, alguns
com massa próxima a 20 toneladas. 
PIRÂMIDE DE QUÉOPS 
Base
base
Faces laterais
face 
lateral
face 
lateral
face 
lateral
face 
lateral
A base da Pirâmide 
de Quéops é 
quadrada. Observe 
a planificação 
de uma pirâmide 
desse tipo.
Alexandria
Assuan
Abu Simbel
Suez
Sharm
el-Sheikh
EGITO
SUDÃO
0 300
km
LÍ
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ISRAEL
CHIPRE
LÍBANO
Mar Mediterrâneo
Lago 
Nasser
Rio Nilo
Mar Verm
elho
Cairo
Gizé
Local da 
Pirâmide 
de Quéops
232,805 m
221,046 m
232,805 m
base
COM BASE NOS TEXTOS E NAS 
IMAGENS, RESPONDA AO QUE 
SE PEDE.
1) Quais figuras geométricas 
podemos identificar na 
Pirâmide de Quéops?
2) Quantas faces laterais a 
Pirâmide de Quéops tem? 
O número de faces laterais tem 
relação com o polígono 
da base?
3) Pesquise como está a 
Pirâmide de Quéops hoje. 
Sua estrutura sofreu
alguma alteração ao longo dos 
anos? Em caso afirmativo, 
explique.
face lateral
bagagem cultural
Ga
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 A GRANDE PIRÂMIDE
Neste capítulo você aprendeu que a Geometria está em quase tudo 
aquilo que nos cerca. Uma prova disso são as construções. Seja um 
prédio residencial, um museu, um teatro... E até mesmo uma pirâmide. 
Das Sete Maravilhas do Mundo Antigo, a única que resiste até hoje, 
praticamente intacta, é a Pirâmide de Quéops. Construída em 2650 a.C., 
ela surpreende, devido a sua arquitetura, mesmo quase após 5 mil 
anos. Veja a seguir algumas informações sobre esse monumento.
Pirâmide de Quéops vista de 
perto. É possível observar 
nitidamente os blocos 
de pedra calcária.
30 anos
foi o tempo que a pirâmide 
levou para ser construída
100 mil trabalhadores
foram usados na construção
Cerca de
2,6 milhões de blocos 
de pedra calcária foram utilizados, alguns
com massa próxima a 20 toneladas. 
PIRÂMIDE DE QUÉOPS 
Base
base
Faces laterais
face 
lateral
face 
lateral
face 
lateral
face 
lateral
A base da Pirâmide 
de Quéops é 
quadrada. Observe 
a planificação 
de uma pirâmide 
desse tipo.
Alexandria
Assuan
Abu Simbel
Suez
Sharm
el-Sheikh
EGITO
SUDÃO
0 300
km
LÍ
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ISRAEL
CHIPRE
LÍBANO
Mar Mediterrâneo
Lago 
Nasser
Rio Nilo
Mar Verm
elho
Cairo
Gizé
Local da 
Pirâmide 
de Quéops
232,805 m
221,046 m
232,805 m
base
COM BASE NOS TEXTOS E NAS 
IMAGENS, RESPONDA AO QUE 
SE PEDE.
1) Quais figuras geométricas 
podemos identificar na 
Pirâmide de Quéops?
2) Quantas faces laterais a 
Pirâmide de Quéops tem? 
O número de faceslaterais tem 
relação com o polígono 
da base?
3) Pesquise como está a 
Pirâmide de Quéops hoje. 
Sua estrutura sofreu
alguma alteração ao longo dos 
anos? Em caso afirmativo, 
explique.
face lateral
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1. Triângulos (faces laterais), quadrado 
(base) e retângulos (blocos que compõem 
a pirâmide).
2. 4; Sim. Como a base é um quadrado, a 
pirâmide tem 4 faces laterais.
3. Resposta pessoal.
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20
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M. C. Escher. Man with 
Cuboid, 1958. Xilogra­
vura, 64 × 64 cm.
Observe com atenção a gravura acima. Você percebe algo de 
estranho no objeto que o homem segura? Para facilitar sua ob-
servação, representamos a seguir o suposto objeto. O que você 
pode afirmar a respeito dessa representação?
Na verdade, o artista que produziu essa obra utilizou ilusão 
de ótica. A forma geométrica que o homem segura parece um 
cubo e, se observarmos atentamente, suas arestas estão entrela-
çadas. Existem inúmeras ilusões de ótica que você pode encon-
trar pesquisando na internet. Uma delas consiste em dizer quan-
tos pontinhos pretos você consegue enxergar nos encontros 
das linhas da figura a seguir. 
No capítulo anterior vimos alguns elementos importan-
tes da Geometria. Também falamos um pouco sobre algu-
mas formas geométricas. Agora abordaremos duas delas: o 
cubo e o paralelepípedo.
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Capítulo 9
Formas geométricas planas 
e não planas
Sugestão de resposta: Duas 
arestas estão ligadas a vértices 
errados, gerando uma constru­
ção impossível.
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Paralelepípedo ou bloco retangular
O paralelepípedo é uma forma geométrica não 
plana formada por 6 faces retangulares, 8 vértices e 
12 arestas. Observe a seguir uma das possíveis plani-
ficações do paralelepípedo: 
Atenção!
 V Planificar é o mesmo que tornar plano.
paralelepípedo
cubo
comprimento
largura
altura
Ilu
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Cubo
O cubo também tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces quadradas e, como todo quadrado é 
um retângulo, podemos considerar que o cubo é um caso particular do paralelepípedo. Veja a 
seguir uma das possíveis planificações do cubo:
Um paralelepípedo tem três dimensões: comprimento, largura e altura. 
Como no cubo as faces são quadradas, as três dimensões são 
iguais.
Exemplo:
A figura ao lado representa um paralelepípedo formado pelo empi-
lhamento de pequenos cubos. As faces dos cubos são quadrados que 
medem 1 centímetro de lado. Quais são as medidas das três dimensões 
do paralelepípedo?
Resolução:
Para saber as medidas do comprimento, da largura e da altura, basta observar a quantidade 
de quadrados ao longo dessas dimensões. Assim, temos:
comprimento  4 centímetros; largura  2 centímetros; altura  2 centímetros.
81
pom6_068_095_u2.indd 81 5/17/15 3:38 PM
aGora É Com VoCÊ
1 A figura representa um paralelepípedo formado pelo 
empilhamento de 64 pequenos paralelepípedos de 
mesmo tamanho. Após empilhá­los, a turma os co­
lou e resolveu pintar somente as faces dos pequenos 
paralelepípedos que formavam as faces do paralele­
pípedo maior. Sobre os paralelepípedos pequenos, 
responda quantos têm exatamente: 
a) uma face pintada? 
b) duas faces pintadas? 
c) três faces pintadas? 
2 Observe o paralelepípedo apoiado numa superfície plana. As três faces visíveis estão 
indicadas pelas letras A, B e C. Ao lado dessa figura geométrica não plana, está repre­
sentada uma possível planificação.
A
B
C
Usando os números existentes na planificação, indique:
a) a face oposta à face C;
b) a face oposta à face A;
c) a face que encosta na superfície plana e é oposta à face B.
3 A equipe de Giovana ficou encarregada de preencher um pa­
ralelepípedo com cubos de mesmo tamanho, como indicado 
na figura ao lado. Responda.
a) Quantos cubos haverá na primeira camada?
b) Quantas serão as camadas?
c) Quantos cubos serão necessários para preencher o pa­
ralelepípedo? 
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6
420
trabalho em equipe
Dois desafios para vocês "quebrarem a cuca". Reflita em dupla para 
descobrir as soluções!
1 Para que a figura ao lado seja um paralelepípedo formado ape­
nas pelo empilhamento de cubos, basta retirar 4 cubos e movi­
mentar alguns outros. Expliquem como isso é possível. 
2 Qual é o número mínimo de cubos que precisamos retirar para formar um cubo?
Basta deslocar 6 cubos da 1a camada para a 2a camada e, após, retirar 4 
cubos da 1a camada.
7 cubos
Registre no 
caderno
Registre no 
caderno
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pom6_068_095_u2.indd 82 5/17/15 3:38 PM
Vistas diferentes de um mesmo objeto
Ana Maria, Juliana e Marcos olham para a mesma pilha de pequenos cubos. Cada um deles 
tem uma visão diferente da pilha:
Marcos
Ana Maria
Juliana
Um mesmo objeto pode ser visto de formas diferentes, dependendo da posição em que se 
encontra o observador. Indicamos as vistas de um objeto por: vista superior, vista frontal e 
vista lateral.
Exemplo:
Um paralelepípedo e dois cubos aparecem na figura a seguir. Vamos representar as vistas 
superior, frontal e lateral, conforme indicado pelas setas.
superior superior
lateral lateral
frontal frontal
Os desenhos a seguir representam as vistas superior, frontal e lateral do paralelepípedo e 
dos dois cubos que estão em cima dele.
superior lateralfrontal
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Marcos Ana Maria Juliana
Marcos Ana Maria Juliana
Marcos Ana Maria Juliana
83
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1 Ao assistir a uma premiação esportiva, é comum encontrarmos os chamados pódios. 
Eles são comumente compostos de três grandes “blocos” e têm três níveis (alturas) di­
ferentes. Veja o exemplo: 
Represente a vista superior, a vista frontal e duas vistas laterais desses blocos.
2 Na fotografia a seguir, temos uma vista lateral, frontal ou superior do carro?
 
3 Desenhe as vistas indicadas pelas setas.
4 Na figura estão indicadas as vistas frontal, lateral e superior de uma pilha de pequenos 
cubos. Desenhe essas vistas.
superior
frontal lateral
Vista superior ­ 
Vista frontal ­ 
Vista lateral 1 ­ 
Vista lateral 2 ­ 
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Uma vista superior.
aGora É Com VoCÊ
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1
2 3
Registre no 
caderno
84
pom6_068_095_u2.indd 84 5/17/15 3:38 PM
Observando formas geométricas planas
Entre as formas geométricas planas, as que mais encontramos em objetos, construções e 
ilustrações diversas são o triângulo, o círculo, o quadrado e o retângulo.
 Observação:
 V A circunferência é a linha 
correspondente ao contorno 
do círculo. Já o círculo é a 
circunferência e toda a região 
interior a ela.
Os mosaicos, por exemplo, muitas vezes podem ser formados pela composição de formas 
geométricas planas. Até mesmo em alguns pisos e calcadas é possível observar a utilização 
dessas formas geométricas.
Com quatro retângulos iguais e um quadrado, formamos um quadrado.
Algumas vezes também podemos decompor figuras geométricas. Assim, por exemplo, 
recortando um quadrado podemos formar dois triângulos:
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85
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Existem muitas ilusões de ótica associadas às figuras geo métricas. Observe atentamente cada 
uma das imagens a seguir. 
Olhando a imagem abaixo, ficamos em dúvida se o traço em vermelho é ou não um quadrado. 
Acredite, é um quadrado!
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O que ocorre é que as linhas curvas das circunferências nas laterais do quadrado nos dão a im-
pressão de não termos um quadrado desenhado ao centro.
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Nessa outra imagem, foram desenhados pequenos quadrados ao longo de várias circunferências. 
Todas elas têm o mesmo centro e estão no mesmo plano, embora os quadrados nos deem a ilusãode profundidade.
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Esta última imagem é mais estranha ainda. Olhe atentamente e responda: O desenho está se mo-
vimentando ou é apenas mais uma ilusão de ótica? É apenas uma ilusão de ótica.
Conexões
86
pom6_068_095_u2.indd 86 5/17/15 3:38 PM
aGora É Com VoCÊ
1 Uma folha de papel tem a forma de um círculo, conforme desenho ao 
lado. Mostre através de desenhos como dividir esse círculo por meio 
de dobras em quatro partes iguais.
2 Observe a sequência formada por pequenos triângulos de mesmo 
tamanho. Quantos triângulos haverá na 5a figura dessa sequência? E na 6a figura?
1a figura 2a figura 3a figura 4a figura
3 Perceba que os cubos formam uma sequência. Descubra o segredo dela e determine a 
quantidade de cubinhos nos dois próximos cubos da sequência.
4 Observe a sequência de figuras formadas por 
quadrados.
Responda às questões a seguir.
a) Quantos quadrados existirão na 4a figura dessa sequência?
b) E na 5a figura?
c) E na 6a figura?
5 Nas figuras abaixo, cada um dos quadrados foi dividido em 4 partes iguais. Encontre uma 
maneira diferente de dividir um quadrado em 4 partes iguais.
6 Lúcia observou que no banheiro da escola foram colocadas peças cerâmicas com duas 
formas geométricas: quadrados e retângulos. Essas peças cerâmicas formavam uma 
faixa na parede, conforme figura a seguir:
Utilizando apenas quadrados e retângulos, elabore uma faixa para substituir a que está 
representada acima.
25; 36
3. 2³, 3³, 4³, 5³, 6³. A quantidade 
de cubinhos dos próximos ter­
mos são 125 e 216.
Ilu
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9
11
13
 Pode­se formar 4 retângulos 
iguais dobrando no meio e no­
vamente no meio cada uma das 
partes divididas anteriormente.
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Resposta pessoal.
Registre no 
caderno
1a figura 2a figura 3a figura
1a dobra 2a dobra
3a dobra
87
pom6_068_095_u2.indd 87 5/17/15 3:38 PM
A “artemática” indígena
Observe as imagens a seguir. Você já viu objetos parecidos com estes? Lembra-se de onde foi?
Esses cestos foram construídos por indígenas do grupo guarani-mbyá, que utilizam tiras de bam-
bu para criar motivos geométricos, entrelaçando várias tiras coloridas. 
São representadas, nos cestos, diferentes formas geométricas, como losangos, paralelogramos, 
quadrados ou apenas linhas paralelas, revelando o máximo de cuidado e exatidão no entrelaçamen-
to das tiras, de modo que as figuras fiquem o mais semelhante possível. 
Observando com atenção, percebemos que em um mesmo cesto há a repetição de uma mes-
ma forma, ou seja, os mbyás representam motivos geométricos semelhantes em um cesto, mas os 
diferenciam em outros. 
É comum utilizarem sempre segmentos paralelos 
nas construções e, se o desenho escolhido for um losan-
go, por exemplo, ele será feito dentro de outro losango, 
que estará dentro de outro e assim por diante. Se a for-
ma escolhida for o paralelogramo, criarão um paralelo-
gramo ao lado de outro, obtendo um paralelismo dos 
lados dos polígonos, com uma visualização de ângulos 
congruentes. Um detalhe importante é que não usam 
nenhum instrumento de medida de ângulos. 
Depois de confeccionada a base do cesto, quando 
as tiras já estão perpendiculares, entrelaçam uma tira 
colorida entre elas. O entrelaçamento é feito pela con-
tagem de tiras verticais, que devem passar por cima ou 
por baixo, de acordo com o desenho escolhido. Come-
çando da primeira tira horizontal, os vértices do quadra-
do vão ficando arredondados até que cada volta passa 
a ter a forma aproximada de uma circunferência. As tiras 
vão sendo entrelaçadas em espiral até chegar à altura 
desejada para a conclusão do cesto.
Você acha que este grupo indígena utiliza conheci-
mentos matemáticos?
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C
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Conexões
Cestos indígenas com 
motivos geométricos 
confeccionados pela 
aldeia guarani­mbyá.
Mulher produzindo artesanato 
na aldeia guarani­mbyá.
88
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A verdade é que o povo guarani-mbyá nunca teve ensinamentos de Geometria. Toda a habilidade 
demonstrada está pautada em um conhecimento informal de matemática, e as crianças aprendem o 
ofício observando os adultos construírem os cestos.
 
Artesanato produzido 
pelos guaranis­mbyá à 
venda.
Apesar de nunca terem recebido ensinamento formal, os guarani-mbya desenvolvem matemáti-
ca na confecção dos cestos com motivos geométricos, porque eles têm de fazer relações, compara-
ções, demonstrar percepções e habilidade. Desse modo, eles mantêm viva sua cultura, além de essa 
atividade ser um meio de sobrevivência para seu povo.
[...] Nas regiões sul e sudeste do Brasil (do estado do Rio Grande do Sul 
ao Espírito Santo) encontram-se cerca de 100 áreas ocupadas pelos mbyá e 
ñandeva, além de outros locais de ocupação intermitente. Na faixa litorânea 
desses estados estão cerca de 60 aldeias, das quais somente 16 tiveram áreas 
demarcadas e homologadas pela Presidência da República até o citado ano.
Guarani Mbya: situação fundiária e territorialidade. Povos Indígenas do Brasil. Disponível em: 
,http://pib.socioambiental.org/pt/povo/guarani­mbya/1292.. Acesso em: fev. 2015.
trabalho em equipe
Leia com atenção um trecho da carta da comunidade Morro dos Cavalos (SC) às 
autoridades do governo. Em seguida, pesquise a atual situação da demarcação das 
áreas indígenas no Brasil e, em grupos de até três colegas, elaborem um pequeno texto 
sobre o assunto. Para concluir, procurem explicar à turma a opinião dos integrantes do 
grupo sobre a situação que vocês constataram.
Tudo era livre e hoje está tudo sendo proibido para nós. Para fazer roça, 
como antigamente, nós já não podemos. Mas pelos menos esse pedaço de 
terra que estamos querendo demarcar tem que ser reconhecido, porque se 
tirarem de nós até esse pedacinho, não teremos mais nada. [...] Queremos a 
garantia da terra para viver nossa cultura com liberdade, cultivar nossa cultu-
ra, ensinar nossos filhos e nossos netos. Porque hoje em dia, com a falta de 
uma terra verdadeira para nós, não podemos viver nossa vida e nossa cultura 
(nhande reko) completamente. [...]
Guarani Mbya: situação fundiária e territorialidade. Povos Indígenas do Brasil. 
Disponível em: ,http://pib.socioambiental.org/pt/povo/guarani­mbya/1292.. Acesso em: fev. 2015.
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superando desafios
1 (Saresp)
Melissa fez uma caixinha para guardar seus brincos. A planificação da caixinha está representada 
na figura abaixo.
Como ficou a caixinha de Melissa depois de colada? 
a) c) 
b) d) 
2 (Saresp)
Em qual das alternativas abaixo a figura é a planificação de um cubo?
a) c) 
b) d) 
Explorando
Geometria na amazônia
Autor: Ernesto Rosa
Editora: Ática
112 páginas
André e sua irmã, Isabela, embarcam em um 
monomotor que sofre uma pane, deixando os dois 
perdidos em plena floresta amazônica. Para tentar 
escapar com vida, os dois usam a Geometria e ganham 
novos amigos. 
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maurits Cornelis escher
http://www.mcescher.com/
indexuk.htm
Homepage oficial de M. C. Escher, artista 
gráfico holandês famoso pelos efeitos de 
ilusões de ótica de suas obras. É possível 
encontrar imagens das obras e toda a 
biografia do artista. Site em inglês.
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Registre no 
caderno
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Alternativa b.
Alternativa d.
90
pom6_068_095_u2.indd 90 5/17/15 3:38 PM
resGatando ConteÚdos
1 Qual é o número total de faces do parale­
lepípedo representado a seguir?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 8
e) 9
2 Sobre um cubo é correto afirmar que:
a) o número de vértices é igual ao núme­
ro de arestas.
b) o número de vértices é menor que o 
número de faces.
c) o número de faces é igual ao número 
de arestas.
d) o númerode arestas é o dobro do nú­
mero de vértices.
e) o número de arestas é o dobro do nú­
mero de faces. 
3 A forma de uma lata de refrigerante é 
parecida com a de:
a) um cubo.
b) um cilindro.
c) um cone.
d) um paralelepípedo.
e) uma esfera. 
Alternativa c.
Ed
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o 
B
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m
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o
4 Assinale a alternativa que indica corre­
tamente a vista superior, conforme seta, 
de um cilindro.
a) círculo
b) quadrado
c) retângulo
d) triângulo
e) esfera 
5 Assinale a alternativa que indica cor­
retamente uma forma geométrica não 
plana.
a) quadrado
b) círculo
c) esfera
d) triângulo
e) retângulo 
6 O número total de pequenos cubos em­
pilhados na figura a seguir é:
a) 38
b) 42
c) 48
d) 56
e) 58 
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Alternativa a.
Alternativa c.
Alternativa e.
Alternativa b.
Alternativa d.
Registre no 
caderno
91
pom6_068_095_u2.indd 91 5/17/15 3:38 PM
7 As esferas empilhadas têm a forma pare­
cida com a de um cubo. 
 Ao todo, quantas esferas foram em pi­
lhadas?
a) 36
b) 64
c) 144
d) 200
e) 216 
8 Em um dado, a soma do número de pon­
tos das faces opostas resulta em 7. 
 Assinale a alternativa que indica corre­
tamente a soma dos pontos que estão 
nas faces opostas daquelas visíveis na 
figura.
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
9 Qual é o número total de segmentos de­
senhados na figura a seguir?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8 
Zu
ba
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Alternativa e.
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B
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o
10 Prolongando­se as arestas de um cubo 
podemos formar retas, como a que está 
representada na figura. 
 Qual é o total de retas que podemos 
obter pelos prolongamentos dessas 
arestas?
a) 12 retas
b) 8 retas
c) 10 retas
d) 16 retas
e) 20 retas 
11 A figura a seguir representa a planifica­
ção de:
a) um cone.
b) uma esfera.
c) um cilindro.
d) um paralelepípedo.
e) um cubo.
Alternativa a.
Alternativa c.
Ilu
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up
Alternativa c.
Alternativa b.
Registre no 
caderno
92
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12 A planificação representada a seguir é de: 
a) um cone.
b) uma esfera.
c) um cilindro.
d) um paralelepípedo.
e) um cubo.
13 A figura a seguir representa um prisma. 
 Assinale a alternativa que contém uma 
afirmação correta sobre esse prisma.
a) Tem 10 faces.
b) Tem 18 arestas.
c) Tem 16 vértices.
d) Todas as faces são 
retângulos.
e) O número de arestas é menor que o 
número de vértices.
14 A figura a seguir foi formada por 10 seg­
mentos: 5 representados por linhas cheias 
e 5 representados por linhas tracejadas. 
 Qual é o número total de pontos de­
terminados pelos encontros de dois ou 
mais segmentos?
Alternativa b.
Alternativa a.
a) 10 pontos
b) 12 pontos
c) 14 pontos
d) 15 pontos
e) 20 pontos
15 Assinale a alternativa que mostra a vis­
ta superior, conforme seta, da pilha de 
cubos.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
16 Considerando as vistas representadas 
no empilhamento de cubos, assinale a 
alternativa correta.
superior
frontal
lateral
a) A vista frontal é formada por 4 quadrados.
b) A vista superior é formada por 5 qua­
drados.
c) A vista lateral é formada por 5 qua­
drados.
d) A vista frontal é formada por 3 qua­
drados.
e) A vista superior é igual à vista lateral. 
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
Alternativa a.
Alternativa d.
Alternativa d.
Registre no 
caderno
9393
pom6_068_095_u2.indd 93 5/17/15 3:38 PM
17 A figura a seguir foi formada por retângu­
los iguais, dispostos horizontal ou verti­
calmente, como indicado na figura:
disposição vertical
disposição horizontal
É correto afirmar que:
a) a figura é formada por 20 retângulos 
ao todo.
b) existem mais retângulos dispostos na 
vertical do que na horizontal.
c) existem mais retângulos dispostos na 
horizontal do que na vertical.
d) o número de retângulos dispostos na 
horizontal é igual ao número de retân­
gulos dispostos na vertical.
e) a figura é formada por 24 retângulos 
ao todo. 
18 Como na figura do exercício anterior, 
cada dois retângulos dispostos na 
horizontal ou na vertical formam um 
quadrado. Quantos desses quadrados 
seriam necessários para cobrir a figu­
ra a seguir?
a) 12 quadrados
b) 10 quadrados
c) 9 quadrados
d) 8 quadrados
e) 7 quadrados 
Alternativa c.
Alternativa c.
19 A figura a seguir é formada por retângu­
los coloridos, que estão sobrepostos.
Ao todo existem:
a) 12 retângulos.
b) 13 retângulos.
c) 14 retângulos.
d) 15 retângulos.
e) 16 retângulos. 
20 Considerando as cinco figuras, assinale 
a alternativa que indica corretamente o 
número de pontos que deverá ter a sexta 
figura dessa sequência.
1 3 6 10 15
a) 18 pontos
b) 19 pontos
c) 20 pontos
d) 21 pontos 
e) 22 pontos
21 Contando o total de segmentos que for­
mam os quadrados e os triângulos da 
figura, encontramos:
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
a) 30 segmentos.
b) 32 segmentos.
c) 34 segmentos.
d) 36 segmentos.
e) 40 segmentos. 
Alternativa a.
Alternativa d.
Alternativa d.
94
pom6_068_095_u2.indd 94 5/17/15 3:38 PM
22 Uma caixa em forma de paralelepípedo 
foi preenchida com pequenos cubos de 
mesmo tamanho, conforme altura indi­
cada pela pilha de pequenos cubos ao 
lado da caixa. Determine quantos cubos 
foram usados para essa construção. 
23 A figura a seguir representa uma pirâmide. 
Em vermelho estão indicadas duas retas 
construídas a partir de arestas da pirâmide. 
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
 Responda.
a) Quantos são os vértices dessa pirâmide?
b) E a quantidade de arestas?
c) Quantas são as faces?
d) As duas retas indicadas têm algum 
ponto em comum?
24 Maurício estava empilhando pequenos cu­ 
bos, como indicado na figura a seguir, 
para formar um paralelepípedo. A pilha 
teria 150 pequenos cubos ao todo. Copie 
a alternativa correta com o número de 
cubos que já foram empilhados e quantos 
ainda precisam ser colocados para com­
pletar o paralelepípedo.
140 cubos
5
8
5
Não.
Alternativa d.
a) 200; 152
b) 50; 100
c) 80; 70
d) 101; 49
e) 100; 49
25 Desenhe a vista superior, lateral e frontal, 
sabendo que a peça só tem 7 cubos, con­
forme figura a seguir.
superior
frontal
lateral
26 Desenhe as vistas frontal, lateral e su­
perior da figura formada por três para­
lelepípedos, conforme a indicação das 
setas.
27 Observe a sequência formada pelo em­
pilhamento de cubos de mesmo tama­
nho formando degraus, como sugere a 
ilustração.
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Responda:
a) Quantos cubos há na figura 2? 
b) Quantos cubos há na figura 3? 
c) Quantos cubos há na figura 4? 30 cubos.
18 cubos
6 cubos.
Registre no 
caderno
95
pom6_068_095_u2.indd 95 5/17/15 3:38 PM
UNIDADE 3
Múltiplos e divisores
Quando consideramos a contagem do tempo, as regu-
laridades existentes no calendário, a formação de grupos 
de objetos e também aspectos diversos das quantida-
des representadas pelos números, de alguma forma 
usamos conhecimentos sobre múltiplos e crité-
rios de divisibilidade dos números naturais.
W
ei
 K
eo
ng
/S
hu
tt
er
st
oc
k
pom6_096_133_u3.indd 96 5/17/15 3:34 PM
1 Como saber se determinado número é divisível 
por 3?
2 Quantos números primos existem?
3 O ano em que estamos é bissexto?
Respostas da página anterior:
1. Será divisiível por 3 se a soma dos algarismos do número 
for divisível por 3 ou se o resto da divisão desse número por 
3 for zero.
2. Infinitos.
3. Depende do ano em que o livro foi usado.
pom6_096_133_u3.indd 97 5/17/15 3:34 PM
Nós contamos os dias e as horas. O ano é dividido em meses; os meses, em semanas.
Você já parou para pensar por que cada dia tem 24 horas? E por que um ano tem 365 dias 
e a cada 4 anos acrescenta-se 1 dia?
Essas e outras respostas relacionadas à divisão do tempo estão associadas a dois movi-
mentos de nosso planeta: a rotação e a translação.
Sol
Terra
O planeta Terra leva aproximadamente 24 horas para dar uma volta em torno de seu próprio 
eixo (movimento de rotação) e aproximadamente 365 dias e 6 horas para dar uma volta em torno 
do Sol (movimento de translação). 
Para corrigir essa diferença de aproximadamente6 horas a mais que há em um ano, foram 
criados os anos bissextos. Assim, em nosso calendário, a cada 4 anos existe um dia a mais: 
o dia 29 de fevereiro.
Em 2016, por exemplo, há o dia 29 de 
fevereiro. Esse ano é bissexto.
Zu
ba
rt
ez
P
au
lo
 C
és
ar
 P
er
ei
ra
Capítulo 10
Divisibilidade e números 
primos
Respostas da página anterior:
1. Será divisível por 3 se a soma dos 
algarismos do número for divisível 
por 3 ou se o resto da divisão desse 
número por 3 for zero.
2. Infinitos.
3. Depende do ano em que o livro 
for usado
98
pom6_096_133_u3.indd 98 5/17/15 3:34 PM
Noções de divisibilidade
O professor de Educação Física pediu aos alunos que formassem duplas. Veja o que acon-
teceu: 
Falamos que no ano bissexto há 366 dias. Vamos detalhar um pouco mais o procedimento que 
você pode adotar para verificar se determinado ano é bissexto. 
Há duas regras para verificação:
1. São bissextos todos os anos múltiplos de 400. 
2. São bissextos todos os anos múltiplos de 4 e não múltiplos de 100.
Veja na tabela a seguir as possibilidades de um ano ser bissexto:
Exemplo ano múltiplo de 4 ano múltiplo de 100 ano múltiplo de 400 É bissexto?
2005 NÃO
2012 SIM
1900 NÃO
2000 SIM
CoNEXÕES
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
Para saber quando um ano é bissexto, é preciso compreender as chamadas noções de divisi-
bilidade.
Zu
ba
rt
ez
Em 2017, por exemplo, não há o dia 29 de 
fevereiro. Esse ano não é bissexto.
99
pom6_096_133_u3.indd 99 5/17/15 3:34 PM
Os alunos dessa turma conseguiram se dividir em duplas? Por que um aluno ficou sozinho?
Se o professor tivesse a quantidade de alunos ilustrada a seguir e lhes pedisse que formas-
sem duplas, aconteceria o mesmo problema que no exemplo anterior? Por quê?
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
Ao observar um número, como podemos saber se é possível dividi-lo por 2 e conseguir 
uma divisão exata?
Veja alguns exemplos.
Exemplo 1:
Para que possamos saber se determinada quantidade de alunos pode ser dividida igual-
mente em equipes, sem que nenhum aluno fique de fora, precisamos verificar se o número 
de alunos é divisível pelo número de equipes.
Veja o exemplo: 124 alunos divididos em 4 equipes.
124 4
2 12 31
004
2 4
0
Exemplo 2:
Um livro de Matemática será impresso em "cadernos" de 16 páginas. Essa divisão em 
"cadernos" facilita a impressão na gráfica. Como saber se um livro de 368 páginas poderá 
ser impresso em cadernos de 16 páginas?
Resolução:
Basta verificar se o número 368 é divisível por 16:
368 16
048 23
00
Um número natural é divisível por outro quando a divisão do primeiro 
pelo segundo é exata, isto é, o resto é igual a zero.
Então, para saber se determinado número é divisível por outro, temos de efetuar a di-
visão. Caso o resto seja zero, dizemos que é divisível. Caso o resto não seja zero, ele não é 
divisível. Os critérios de divisibilidade auxiliam na verificação da divisibilidade de um nú-
mero por outro. Apresentaremos, por meio de exercícios, alguns desses critérios.
Como o resto é igual a 0, dizemos 
que 124 é divisível por 4.
Como o resto é igual a 0, dizemos 
que 368 é divisível por 16.
100
pom6_096_133_u3.indd 100 5/17/15 3:34 PM
Critérios de divisibilidade
• Critério de divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele é par.
• Critério de divisibilidade por 3 
Um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é um número divisível por 3.
• Critério de divisibilidade por 6
Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
• Critério de divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
• Critério de divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando termina em 0.
• Critério de divisibilidade por 4
Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número 
divisível por 4.
• Critério de divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo subtraído do número sem o último algaris-
mo resultar em um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo 
até que se possa verificar a divisão por 7.
• Critério de divisibilidade por 8
Um número natural é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos formam um número divi-
sível por 8.
• Critério de divisibilidade por 9
Um número natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é um número divisível por 9.
tRaBalHo EM EQuIpE
1 Em duplas, verifiquem quais números da tabela são divisíveis pelos números indicados 
nos itens.
15 950 27 436 189 15 352 1 078 469 144 185 963
254 856 65 448 1 001 10 001 128 369 625 44 823
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6
2 Será que é possível encontrar uma maneira mais simples de determinar se um número 
é divisível ou não por outro número natural? Que relações é possível perceber por meio 
dos resultados obtidos?
15 950; 27 436; 15 352; 1 078; 144; 254 856; 65 448;128
189;144; 254 856; 65 448; 369; 44 823
15 950; 625 144; 254 856;65 448
Espera-se que alguns alunos percebam que números pares são divisíveis por 2 e que 
os números divisíveis por 2 e por 3 também são divisíveis por 6.
Registre no 
caderno
Também é esperado que façam reflexões sobre quando um número será divisível por 5.
101
pom6_096_133_u3.indd 101 5/17/15 3:34 PM
6) Sim, pois 
1 794 2 16 5 1 778
177 2 16 5 161
16 2 2 5 14
Como 14 é divisível por 
7, o número 17 948 é 
divisível por 7.
K
ix
al
ot
/D
re
am
st
im
e.
co
m
aGoRa É CoM VoCÊ
1 Verifique se os números 2 331 e 4 558 são divisíveis por 2. 
2 Conforme o critério de divisibilidade por 3, verifique se os números 45 996 e 91 446 são 
divisíveis por 3.
3 Com base no critério de divisibilidade por 6, verifique se o número 99 468 é divisível por 6. 
4 De acordo com os critérios de divisibilidade por 5 e por 10, determine o valor de k para 
que o número 874 35k seja divisível por 5 e por 10 ao mesmo tempo. Atenção: observe 
que k é o algarismo das unidades.
5 Com base no critério de divisibilidade, verifique quais são os números divisíveis por 4 da 
tabela abaixo. 
22 460 171 440 25 148 75 766
8 992 78 336 95 111 39 008
88 104 55 342 247 990 333 349
6 Com base no critério de divisibilidade verifique se o número 17 948 é divisível por 7.
7 Considere os números da tabela anterior e indique quais desses números são divisíveis 
por 8. 
8 Conforme o critério de divisibilidade, verifique se os números 9 450 e 181 999 são divisí-
veis por 9.
9 Resolva os problemas.
a) Uma cooperativa vende maçãs pa-
ra a comunidade. Existem três tipos 
de embalagem em que as maçãs 
são colocadas: embalagem para 4 
maçãs, embalagem para 6 maçãs e 
embalagem para 8 maçãs. Se, num 
mesmo dia, foi colhido um total de 
34 456 maçãs, responda: Em que ti-
pos de embalagem todas as maçãs 
podem ser distribuídas sem sobrar 
nenhuma?
b) A quantia de 54 370 reais será paga em notas de 5 reais. Qual será o número total des-
sas notas?
c) Os números correspondentes aos anos bissextos são divisíveis por 4. Cuidado: os 
anos terminados em 00 só são bissextos quando divisíveis por 400. Quantos anos 
são bissextos entre os anos de 2013 e 2025?
2 331 não e 4 558 sim
Sim.
Sim.
k 5 0
22 460; 8 992; 88 104; 171 440; 78 336; 25 148; 39 008
8 992; 88 104; 171 440; 78 336; 39 008
9 450 sim e 181 999 não
Embalagem para 4 ou para 8 maçãs.
10 874 notas
3 anos: 2016, 2020 e 2024
Registre no 
caderno
102
pom6_096_133_u3.indd 102 5/17/15 3:34 PM
Números primos 
Você sabe quando um número é primo?
Um número natural maior que 1 é primo somente quando é divisível por 1 e por ele mesmo.
Os números destacados que aparecem na tabela são números primos porque são divisí-
veis apenas por 1 e por eles mesmos. Quanto aos outros números da tabela, com exceção do 
número 1, todos são chamados números compostos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 6566 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
 
Importante!
 V O número 1 não é primo.
 V O menor número primo é o 2.
Um número natural maior que 1 é composto quando é divisível por mais de dois divisores.
Exemplo:
Quantos números naturais de 1 a 20 são números primos?
Resolução:
Um número natural é primo quando é divisível por 1 e por ele mesmo. Assim, os números 
primos menores que 20 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19.
Portanto, são 8 números primos menores que 20.
Reconhecendo um número primo
Para saber se um número é primo, divide-se esse número pelos números primos menores 
que ele. Se alguma das divisões der resto zero, o número não é primo. Não se obtendo resto 
zero, continuam-se as divisões até que o quociente seja igual ou menor que o divisor; se a 
divisão ainda der resto, conclui-se que o número em questão é primo.
Exemplo:
97  2 5 48 e resto 1
97  3 5 32 e resto 1
97  5 5 19 e resto 2
97  7 5 13 e resto 6
97  11 5 8 e resto 9
Como 8 é menor que 11, 
ou seja, o quociente é me-
nor que o divisor, podemos 
concluir que o número 97 é 
primo.
103
pom6_096_133_u3.indd 103 5/17/15 3:35 PM
Crivo de Eratóstenes
Eratóstenes foi um pensador muito talentoso. Ele nasceu em 
Cirene, cidade na costa sul do Mar Mediterrâneo, e morreu por 
volta do ano 194 a.C. 
Um de seus grandes feitos foi a invenção de um método que 
hoje é conhecido como crivo de Eratóstenes, em sua homenagem. 
Esse método é utilizado para encontrar os números naturais que 
são primos. Para que você possa compreender como ele funciona, 
vamos usá-lo a seguir e obter todos os números primos menores 
que 100, com base em uma tabela que contém todos os números 
naturais de 1 a 100.
Eratóstenes de Cirene 
(c. 276 -194 a.C.).
Sa
m
m
lu
ng
 R
au
ch
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N
TE
R
FO
TO
/I
nt
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to
/L
at
in
st
oc
k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Destacamos o número 3 e marcamos todos os números que são divisíveis por 3.
Marcamos o número 1, que não é primo. Destacamos o número 2 e, em seguida, marca-
mos todos os outros números que são divisíveis por 2 (todos os números pares). Observe os 
números que sobram.
104
pom6_096_133_u3.indd 104 5/18/15 3:27 PM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Prosseguindo dessa forma, destacando sempre o primeiro número não marcado e elimi-
nando os demais números que são divisíveis por ele, restarão somente os números destaca-
dos, que são os números primos menores que 100.
aGoRa É CoM VoCÊ
1 Responda.
a) Um número primo é divisível por quantos números naturais? 
b) O número 10 é divisível por quantos números naturais? 
c) O que é um número composto? 
d) Existe algum número natural par que é primo? 
e) Quantos números primos são divisíveis por 3? 
f) Quantos números primos são divisíveis por 5? 
2 Qual é o maior número primo de dois algarismos?
3 Qual é o menor número primo de 3 algarismos?
Por dois números: 1 e ele mesmo.
Por quatro números: 1, 2, 5 e 10.
É um número divisível por mais de dois divisores.
Sim, o 2.
Um número, o 3.
Um número, o 5.
97
101
Registre no 
caderno
Destacamos o número 5 e depois o número 7 e marcamos todos os números que são 
divisíveis por 5 e depois os que são divisíveis por 7.
105
pom6_096_133_u3.indd 105 5/17/15 3:35 PM
Decomposição em fatores primos
O professor de Matemática havia solicitado que os alunos desenhassem, no caderno, um 
retângulo em que o produto das medidas dos dois lados fosse igual a 60. Havia ainda uma 
restrição: as medidas deveriam ser dadas em centímetros e teriam de ser números naturais. 
Aos poucos, os alunos foram apresentando as soluções, e o professor fez a seguinte tabela:
Medida de um lado Medida do outro lado produto
1 60 1 ? 60 5 60
2 30 2 ? 30 5 60
3 20 3 ? 20 5 60
4 15 4 ? 15 5 60
5 12 5 ? 12 5 60
6 10 6 ? 10 5 60
Observe que o número 60 foi escrito como o produto de dois outros números, isto é, foi 
decomposto em dois fatores.
Considerando ainda o número 60, note que é possível fazer 
a decomposição dele de tal maneira que os fatores sejam nú-
meros primos:
 60 5 2 ? 30 5 30 ? 2
 60 5 2 ? 3 ? 10 5 10 ? 3 ? 2
 60 5 2 ? 3 ? 2 ? 5 5 5 ? 2 ? 3 ? 2
Todo número natural maior que 1 ou é número primo ou pode ser de-
composto num produto em que os fatores são números primos.
Existe uma forma simples de efetuar a decomposição em fatores primos partindo da divi-
são do número que queremos decompor por fatores primos: iniciar pelo menor fator primo 
em que o número é divisível. Observe como fazemos isso com o número 60:
60 
30 
15
5
1
2
2
3
5
60  2 5 30
30  2 5 15
15  3 5 5
5  5 5 1
Decompor um número 
em produto é representá-
-lo por meio de uma mul-
tiplicação cujo resultado é 
o próprio número.
Fatores primos: 2, 3, 2 e 5
60 5 2 ? 2 ? 3 ? 5
106
pom6_096_133_u3.indd 106 5/17/15 3:35 PM
Exemplo:
O produto de dois números naturais é igual a 100. Determine quais podem ser esses 
números.
Resolução:
Devemos encontrar dois números naturais cujo produto seja igual a 100. Temos as 
seguintes possibilidades:
 1 ? 100 5 100
 2 ? 50 5 100
 4 ? 25 5 100
 5 ? 20 5 100
 10 ? 10 5 100
Assim, os números procurados podem ser: 1 e 100; 2 e 50; 4 e 25; 5 e 20 ou 10 e 10.
Outra forma de resolver o problema é por meio da decomposição do número 100 em 
fatores primos.
Primeiramente fazemos a decomposição do número 100 em fatores primos:
100
50
25
5
1
2
2
5
5
Então podemos escrever o número 100 como 2 ? 2 ? 5 ? 5. Agora vamos obter dois fatores 
tais que o produto seja 100, isto é:
2 ? 2 ? 5 ? 5 5 1 ? (2 ? 2 ? 5 ? 5) 5 1 ? 100
2 ? 2 ? 5 ? 5 5 2 ? (2 ? 5 ? 5) 5 2 ? 50
2 ? 2 ? 5 ? 5 5 (2 ? 2) ? (5 ? 5) 5 4 ? 25
2 ? 2 ? 5 ? 5 5 5 ? (2 ? 2 ? 5) 5 5 ? 20
2 ? 2 ? 5 ? 5 5 22 ? 52 5 4 ? 25 5 100
Peça a uma pessoa que imagine um número de três algarismos, multiplique-o por 7, o resultado 
por 11 e, depois, o resultado por 13 (ela pode usar uma calculadora). Sabendo o resultado, você con-
segue adivinhar em que número ela pensou? Note que 7 ? 11 ? 13 equivale a multiplicar por 1 001. 
Por exemplo, se alguém pensar no número 568, ao multiplicá-lo por 7 ? 11 ? 13, obterá 568 568. 
Ou seja, o resultado encontrado será sempre o número pensado pela pessoa inicialmente escrito 
duas vezes, pois essa é a característica da multiplicação de qualquer número de três algarismos por 
1 001. Desafie alguém de sua família e depois conte a experiência em sala de aula.
CoNEXÕES
107
pom6_096_133_u3.indd 107 5/17/15 3:35 PM
AGORA É COM VOCÊ
1 Considere o número natural A 5 2 ? 3 ? 5 ? 7. Verifique, sem efetuar os cálculos, se esse 
número é divisível por:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
e) 6
f) 15
g) 14
h) 70
2 Faça a decomposição dos seguintes números em fatores primos:
a) 20 
b) 120 
c) 600 
d) 1 000 
e) 48 
f) 128
3 Obtenha os números correspondentes às seguintes decomposições:a) 2 ? 3 ? 5 
b) 22 ? 3 ? 5
c) 2 ? 32 ? 5 
d) 2 ? 5 ? 7 
e) 22 ? 32 ? 5 
f) 23 ? 5 
4 Os números naturais a seguir são chamados de quadrados perfeitos. Faça a decomposi-
ção de cada um deles em fatores primos.
a) 4 
b) 9
c) 16 
d) 25 
e) 36 
f) 49 
g) 64 
h) 81 
i) 100 
j) 121 
k) 144 
l) 169 
5 Sem efetuar as divisões, identifique quais dos números da tabela a seguir são divisíveis 
por 2.
9 455 101 443 209 008 45 766 44 337
108 992 48 336 905 111 99 342 998 104
98 107 15 133 441 990 333 349 103 005
6 Identifique na tabela anterior e escreva aqueles que são números ímpares. 
7 Considere os números da tabela a seguir e os critérios de divisibilidade estudados 
anteriormente. 
755 21 448 29 118 5 710 445
66 108 28 105 95 139 7 340 888 100
33 104 35 173 891 220 53 355 3 905
12 222 44 556 3 390 550 457
Escreva os números dessa tabela que são divisíveis por:
a) 3 
b) 6
c) 5
d) 10
Sim, para todos os itens.
2 ? 2 ? 5
2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 5
2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 5
2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 5 ? 5
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2
30
60
90
70
180
40
2 ? 2
3 ? 3
2 ? 2 ? 2 ? 2
5 ? 5
2 ? 2 ? 3 ? 3
7 ? 7
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2
3 ? 3 ? 3 ? 3
2 ? 2 ? 5 ? 5
11 ? 11
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3
13 ? 13
108 992, 48 336, 209 008, 441 990, 45 766, 99 342, 998 104
9 455, 98 107, 101 443, 15 133, 905 111, 333 349, 44 337, 103 005
7. a) 66 108, 12 222, 44 556, 29 118, 
95 139, 3 390, 53 355
b) 66 108, 12 222, 44 556, 29 118, 
3 390 
c) 755, 28 105, 891 220, 3 390, 5 710, 
7 340, 53 355, 550, 445, 888 100, 
3 905
d) 891 220, 3 390, 5 710, 7 340, 550, 
888 100
Registre no 
caderno
Professor, questione se os alu-
nos perceberam que os fatores 
primos de cada número decom-
posto se repetem uma quan-
tidade par de vezes, e por isso 
esses números são chamados 
de quadrados perfeitos.
108108
pom6_096_133_u3.indd 108 5/17/15 3:35 PM
8 O professor de Matemática escreveu na lousa da sala de aula o seguinte número, colo-
cando no lugar do algarismo das unidades a letra X. 
Determine o algarismo que deve ser colocado no lugar da letra X para que o número seja 
divisível por:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6 
e) 5
f) 10
9 Responda às seguintes questões:
a) Todo número natural é divisível por 2?
b) Todo número natural é divisível por 1?
c) Qualquer número natural diferente de zero é divisível por ele mesmo?
d) Qual é o maior número natural com três algarismos que é divisível por 8?
e) Qual é o menor número natural com três algarismos que é divisível por 4?
10 Considere os números naturais da tabela abaixo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Responda.
a) Quais são os números primos dessa tabela?
b) Quais são os números compostos? 
c) Existe, na tabela, algum número que não seja primo nem composto?
11 Considere o número natural A 5 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 11 (esse número está decomposto em 
fatores primos). Verifique, sem efetuar os cálculos, se esse número é divisível por:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
e) 11
f) 6
g) 33
h) 15
i) 77
12 A decomposição completa de 360 é 2x ? 3² ? 5. Determine o valor de x.
Zu
ba
rt
ez
0, 2, 4, 6, 8
0, 3, 6, 9
0, 4, 8
0, 6
0, 5
0
Não.
Sim.
Sim.
992
100
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20
1
Sim, para todos os itens.
3
Registre no 
caderno
109109
pom6_096_133_u3.indd 109 5/17/15 3:35 PM
Considere a seguinte situação: A quantidade de alunos de cada ano numa escola de En-
sino Fundamental II está indicada na tabela a seguir:
Ano 6o ano 7o ano 8o ano 9o ano
Número de alunos 30 36 42 48
Esses alunos serão divididos em equipes para participar de uma gincana escolar. Cada 
equipe terá o mesmo número de alunos e só poderá ser formada por alunos que se encon-
tram no mesmo ano do Ensino Fundamental II. Qual é o número de equipes que podem ser 
formadas, visto que cada equipe deverá ter o máximo de alunos possível?
Para resolver essa situação, devemos encontrar um número pelo qual os quatro núme-
ros correspondentes à quantidade de alunos sejam divisíveis. Note que esses números são 
divisíveis por 2 (são pares) e divisíveis também por 3 (a soma dos algarismos de cada núme-
ro é divisível por 3). Sendo assim, eles serão divisíveis por 6:
30  6 5 5 (5 equipes de 6 alunos) 36  6 5 6 (6 equipes de 6 alunos)
42  6 5 7 (7 equipes de 6 alunos) 48  6 5 8 (8 equipes de 6 alunos)
Portanto, pelo que acabamos de observar, serão 5 1 7 1 6 1 8 equipes; cada equipe terá 
6 alunos e esses alunos pertencerão ao mesmo ano do Ensino Fundamental II. Essa situação 
foi resolvida com base no conceito de divisores comuns de números naturais.
TRABALHO EM EQUIPE
Mistério do quadrado
O quadrado a seguir foi dividido em 25 quadrados menores e iguais. Dentro de quatro desses qua-
drados foram escritos quatro números diferente entre si. Os quadrados sem preenchimento, que estão 
ao redor dos quadrados numerados, devem ser preenchidos de maneira que sejam sempre um divisor 
do número escrito ao centro. Os 25 quadrados devem ser preenchidos com números diferentes entre si.
Por exemplo, em torno do número 80 devem ser escritos oito 
divisores de 80, diferentes entre si. Alguns desses números deverão 
ser divisores também de 90 e 120. Alguns números que são diviso-
res de 90 devem também ser divisores de 80 e 150. Observe que o 
número a ser escrito no centro do quadrado deve ser divisor de 80, 
90, 120 e 150.
As equipes devem desenhar o quadrado, preenchê-lo e apresen-
tar a solução para a turma. De acordo com a solução encontrada, res-
ponda: Qual número sua equipe colocou no centro do quadrado?
São quatro números que poderão aparecer no centro: 1, 2, 5 ou 10.
16 40 5 9 45
8 80 2 90 18
4 10 1 3 15
60 120 6 150 50
24 12 30 25 75
Registre no 
caderno
CAPíTULO 11
Divisores de um 
número natural
80 90
120 150
110
pom6_096_133_u3.indd 110 5/17/15 4:36 PM
Na situação apresentada anteriormente, tivemos de encontrar um divisor comum dos 
números 30, 36, 42 e 48. Encontramos o número 6 por tentativas e conforme os critérios 
de divisibilidade estudados anteriormente. Veremos agora um procedimento que permite 
encontrar os divisores de um número natural por meio da decomposição em fatores primos. 
Antes, porém, é importante observar que:
Um número natural é divisor de outro quando o segundo número é 
divisível pelo primeiro número.
Exemplo 1:
10 é divisor de 180, pois 180 é divisível por 10
18 é divisor de 180, pois 180 é divisível por 18
Divisores de um número natural também podem ser chamados de 
fatores desse número.
Exemplo 2:
180  10 5 18 pois 18 3 10 5 180
180  18 5 10 pois 10 3 18 5 180
10 e 18 são fatores de 180;
10 e 18 são divisores de 180
180 é divisível por 10 e por 18;
10 e 18 são divisores de 180
Com a decomposição em fatores primos, podemos determinar todos os divisores de um 
número natural. 
Quando dizemos que um número não é divisor de outro, isso quer dizer que a divisão 
entre eles não resulta em um número exato.
Exemplo 3:
O número 25 é divisor de 320?
Resolução:
Para que possamos resolver essa questão, será preciso dividir 320 por 25 e verificar se o 
resultado é um número exato.
Se fizermos isso em uma calculadora, iremos perceber que 320  25 5 12,8, que não é 
inteiro; logo, o número 25 não é divisor de 320.
Observações:
 V O número zero não é divisor de nenhum número natural.
 V Todo número natural diferente de zero tem como divisor o número 1.
 V Todo número natural diferente de zero tem como divisor ele mesmo.
111
pom6_096_133_u3.indd 111 5/17/15 3:35 PM
Apenas para exemplificar, vamos obter todos os divisores naturais do número 180. Obser-
ve a seguir como fazer isso:
180
 90
 45
 15
 5
 1
2
2
3
3
5
1
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
1
180 2 2
90 2 4
45 3
15 3
5 5
1
1
180 2 2
90 2 4
45 3 3, 6, 12
15 3
5 5
1
1
180 2 2
90 2 4
45 3 3, 6, 12
15 3 9, 18, 36
5 5 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180
1
Iniciamos decompondo o número 180 
em fatores primos.
Colocamos um traço horizontal e um tra-
ço vertical. 
Nocanto superior à direita, colocamos o 
número 1 (é divisor de qualquer número na-
tural).
Multiplicamos o próximo fator 2 pelos nú-
meros que estão na linha acima dele. 
Obtemos 2 abaixo do 1.
Multiplicamos o próximo fator primo 2 
pelo número que está na linha acima dele.
(2 × 1 5 2 e 2 × 2 5 4)
Como 2 × 1 já foi feito, não escrevemos 
de novo.
Multiplicamos o fator primo 3 pelos nú-
meros 1, 2 e 4.
Obtemos assim os números 3, 6 e 12, e 
escrevemos esses resultados ao lado do 3.
Portanto, o conjunto dos divisores naturais de 180, que representamos por D(180) é: 
D(18) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 30; 36; 45; 60; 90; 180}.
Repetimos esse procedimento com os fato-
res primos 3 e 5, que estão nas próximas linhas.
Obtemos assim os divisores naturais de 180. 
112
pom6_096_133_u3.indd 112 5/17/15 3:35 PM
AGORA É COM VOCÊ
1 Obtenha todos os divisores naturais do número 50 pela decomposição em fatores primos.
2 Obtenha todos os divisores naturais que são comuns aos números 24 e 60. 
Importante!
 V Com base no último exercício, podemos dizer que 12 é o máximo divisor comum dos números 24 e 
60. Veremos como obter o máximo divisor comum de outra maneira ainda neste capítulo.
3 Escreva todos os números que são divisores naturais de:
a) 9 b) 15 c) 13 d) 40 
4 Resolva os seguintes problemas:
a) Na turma do 6o ano há exatamente 45 alu-
nos. Para a disciplina de Geografia, será 
feito um trabalho em equipe em que cada 
uma deverá ter no mínimo 2 alunos e no 
máximo 20 alunos. 
Responda: 
•	Quantas equipes podem ser formadas?
•	Quantos alunos haverá em cada equipe?
b) Para juntarmos a quantia de 1 000 reais com cédulas de mesmo valor, responda:
•	Quantas cédulas de 2 reais seriam necessárias?
•	E de 5 reais?
•	E de 10 reais?
•	E de 20 reais?
•	E de 50 reais?
•	E de 100 reais?
c) Um supermercado tem dois tipos de embalagem de sucos: embalagem para 6 garra-
fas e embalagem para 12 garrafas. Qual é o menor número de embalagens necessárias 
para acomodar exatamente 150 garrafas desse suco? 
 
1, 2, 5, 10, 25, 50
1, 2, 3, 4, 6, 12
W
al
do
m
ir
o 
N
et
o
1, 3, 9 1, 3, 5, 15 1, 13 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
No máximo 22. A quantidade varia de acordo com a quantidade de alunos por equipe.
Considerando o máximo de grupos, teremos 21 equipes com 2 alunos e 1 grupo de 3.
500
Au
re
lio
 S
ce
tt
a/
D
re
am
st
im
e.
co
m
200
100
50
20
10
13 embalagens
Ed
ua
rd
o 
B
el
m
iro
Ed
ua
rd
o 
B
el
m
ir
o
Registre no 
caderno
113113
pom6_096_133_u3.indd 113 5/17/15 3:35 PM
Máximo divisor comum
Duas turmas do 6º ano participaram 
de um passeio realizado pela escola:
•	turma A: com 40 alunos;
•	turma B: com 32 alunos.
Cada turma deverá, separadamente, 
formar equipes de tal forma que todas 
elas tenham o mesmo número de alu-
nos. Qual é o número máximo de alu-
nos em cada equipe? Quantas equipes 
serão formadas?
Para resolver a situação, devemos ob-
ter inicialmente os divisores de 40 e 32:
D(40): 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40
 divisores comuns: 1; 2; 4; 8
D(32): 1; 2; 4; 8; 16; 32
Conforme os divisores comuns, concluímos que as equipes poderão ter 1, 2, 4 ou 8 alu-
nos. Como queremos o maior número possível de alunos em cada equipe, a resposta é 8. 
Considerando que 40  8 5 5 e 32  8 5 4, ao todo serão formadas 9 equipes (5 1 4) com 8 
alunos em cada uma.
Nessa situação, calculamos o máximo divisor comum dos números 40 e 32. Em símbolos, 
escrevemos: 
mdc (40; 32) 5 8
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é o 
maior número que é divisor de todos esses números.
Há um procedimento para o cálculo do máximo divisor comum que utiliza a decomposi-
ção simultânea dos dois (ou mais) números em fatores primos. Observe como podemos fazer 
para calcular o mdc (40; 32):
40 32 2 fator comum a 40 e 32
20 16 2 fator comum a 20 e 16
10 8 2 fator comum a 10 e 8
5 4 2
5 2 2
5 1 5
1 1 mdc (40; 32) 5 2 ? 2 ? 2 5 8
W
al
do
m
ir
o 
N
et
o
114
pom6_096_133_u3.indd 114 5/17/15 3:35 PM
aGoRa É CoM VoCÊ
1 Calcule o máximo divisor comum dos números 48, 64 e 80. 
2 Qual é o máximo divisor comum de dois números naturais, sabendo-se que o menor 
deles é divisor do maior? 
3 Obtenha, em cada caso a seguir, o máximo divisor comum dos números solicitados.
a) mdc (8; 9)
b) mdc (15; 16)
c) mdc (32; 33)
d) mdc (40; 49)
4 Observe que 500 5 5 ? 100. Responda.
a) O número 500 é divisível por 5?
b) O número 5 é um dos fatores do número 500?
c) O número 100 é um dos fatores do número 500?
d) 500 é divisível pelo número 100?
5 Utilize uma calculadora para responder às seguintes questões:
a) O número 15 é um divisor do número 200?
b) O número 9 540 é divisível por 20?
c) O número 35 é um dos fatores do número 21 000?
d) O número 32 é um dos fatores do número 980?
6 Considerando os números 40 e 25, obtenha:
a) os divisores naturais de 40; 
b) os divisores naturais de 25; 
c) os divisores naturais comuns de 40 e 25.
7 Obtenha todos os divisores naturais do número A, considerando que A 5 32 ? 52.
8 Utilizando a decomposição simultânea em fatores primos, obtenha o máximo divisor 
comum dos números em cada item a seguir.
a) mdc (18; 36)
b) mdc (45; 135)
c) mdc (22; 44; 33)
d) mdc (128; 256; 512)
9 Responda.
a) Qual é o máximo divisor comum de dois números primos?
b) Qual é o máximo divisor comum de dois números naturais pares consecutivos?
c) Qual é o máximo divisor comum de dois números naturais ímpares consecutivos?
10 Escreva:
a) os divisores naturais de 45, isto é, D(45);
b) os divisores naturais de 27, isto é, D(27);
c) os divisores comuns de 45 e 27;
d) o máximo divisor comum de 45 e 27.
16
O menor número, que é divisor do maior.
Quando dois ou mais números naturais 
apresentam o máximo divisor comum igual 
a 1, eles são chamados de primos entre si.
1
1
1
1
Sim.
Sim.
Sim.
Sim.
Não.
Sim.
Sim.
Não.
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
1, 5, 25
1, 5
1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225
18
45
11
128
1
2
1
1, 3, 5, 9, 15, 45
1, 3, 9, 27
1, 3, 9
9
Registre no 
caderno
115115
pom6_096_133_u3.indd 115 5/17/15 3:35 PM
Registre no 
caderno
11 Mateus tem, no estoque de sua fábrica, 3 rolos 
de corda com as seguintes medidas: 75 me-
tros, 125 metros e 175 metros. Ele deseja divi-
dir cada um desses rolos em pedaços iguais, de 
tal forma que a medida de cada pedaço seja um 
número natural e o maior possível. Qual será a 
medida de cada pedaço de corda? Quantos pe-
daços, ao todo, ele conseguirá? 
12 Resolva os seguintes problemas: 
a) Numa indústria de tecidos, são fabricados peda ços de tecidos de mesmo comprimento. 
No final de um dia de trabalho, restaram ainda dois grandes rolos de tecidos, com com-
primentos iguais a 234 me tros e 468 metros. É possível dividir esses rolos em pedaços de 
medidas representadas por números naturais e de maior tamanho possível? Qual é esse 
tamanho e quantos são os pedaços?
Ape
rtur
esou
nd/D
ream
stim
e.co
m
b) Tia Dolita levou 504 balas de caramelo e 378 balas de coco para distribuir entre as 
crianças de um orfanato. Determine a quantidade de crianças e de balas para cada 
criança, sabendo-se que elas receberam quantidades iguais de cada sabor e que re-
ceberam a menor quantidade possível de balas de caramelo e de coco.
c) A tabela a seguir indica a quantidade de um mesmo livro de Matemática que foi enco-
mendado à Editora Livrus, no início do ano, por três grandes livrarias.
livraria Quantidade de livros
Manaus Livrarias 3 900
Livraria Rio Branco 1 300
Livraria Palmas 1 950
A editora resolveu atender aos pedidos das três livrarias por meio do envio de pacotes 
com a mesma quantidade de livros em cada um e, além disso, o máximo de livros possí-
vel em cada pacote. Responda:
•	Quantos livros serão colocados em cada pacote?
•	Quantos pacotes cada livraria irá receber?
d) O movimento de translação dos planetas Júpiter, Saturno e Urano é próximo de 12, 30 
e 84 anos, respectivamente. Imagine que neste ano os três planetas ocupam determi-
nadaposição de alinhamento em relação ao Sol. Quantos anos decorrerão para que 
eles voltem a ocupar as mesmas posições deste ano?
25 metros; 15 pedaços
Sim, serão 3 pedaços 
de 234 metros cada.
650
Manaus Livraria – 6
Livraria Rio Branco – 2
Livraria Palmas – 3
420 anos
Ed
ua
rd
o 
B
el
m
ir
o
b) 126 criancas, 3 balas de coco e 4 
balas de caramelo para cada uma.
116116
pom6_096_133_u3.indd 116 5/17/15 3:35 PM
CoNEXÕES
Neste capítulo você aprendeu a calcular o máximo divisor comum de dois ou mais números. Além 
disso, também observou um método para obter os divisores de um número partindo da decompo-
sição em fatores primos. Existe um modo interessante de obter a quantidade de divisores de um 
número natural sem obter esses divisores. Para isso, basta observar a decomposição em fatores primos 
do número.
Vamos exemplificar obtendo a quantidade de divisores naturais do número 360.
Inicialmente decompomos 360 em fatores primos:
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Escrevemos:
360 5 23 ? 32 ? 51 (os expoentes são: 3, 2, e 1)
Adicionamos 1 a cada um dos expoentes desses fatores primos e multiplicamos os resultados:
(3 1 1) ? (2 1 1) ? (1 1 1) 5 4 ? 3 ? 2 5 24
Portanto, o número 360 tem 24 divisores. 
Adicionar 1 ao expoente de cada fator primo se justifica pela quantidade de divisores que cada um 
desses fatores admite. Observe:
23 admite como divisores: 20; 21; 22; 23 4 divisores
32 admite como divisores: 30; 31; 32 3 divisores
51 admite como divisores: 50; 51 2 divisores
Com base nessa constatação, você pode obter os 24 divisores multiplicando as potências obser-
vadas acima:
20 ? 30 ? 50 5 1 21 ? 30 ? 50 5 2 22 ? 30 ? 50 5 4 23 ? 30 ? 50 5 8
20 ? 30 ? 51 5 5 21 ? 30 ? 51 5 10 22 ? 30 ? 51 5 20 23 ? 30 ? 51 5 40
20 ? 31 ? 50 5 3 21 ? 31 ? 50 5 6 22 ? 31 ? 50 5 12 23 ? 31 ? 50 5 24
20 ? 31 ? 51 5 15 21 ? 31 ? 51 5 30 22 ? 31 ? 51 5 60 23 ? 31 ? 51 5 120
20 ? 32 ? 50 5 9 21 ? 32 ? 50 5 18 22 ? 32 ? 50 5 36 23 ? 32 ? 50 5 72
20 ? 32 ? 51 5 45 21 ? 32 ? 51 5 90 22 ? 32 ? 51 5 180 23 ? 32 ? 51 5 360
117
pom6_096_133_u3.indd 117 5/17/15 3:35 PM
Assim como a Terra, outros planetas também 
giram ao redor do Sol. A Terra leva aproximada-
mente 365 dias para completar seu movimento de 
translação, que é uma volta em torno do Sol.
A tabela ao lado mostra, aproximadamente, o 
tempo de translação da Terra e de alguns outros 
planetas:
Capítulo 12
Múltiplos de um 
número natural
Os múltiplos de um número
Por estar próximo do Sol, o planeta Mercúrio leva apenas 88 dias para completar seu 
movimento de translação. Isso significa que ele dá uma volta completa em torno do Sol de 
88 em 88 dias. Considerando que começamos a contar agora (utilizamos o zero para indicar 
esse início), a tabela a seguir indica a quantidade de dias e o número de voltas desse planeta 
em torno do Sol:
tempo (dias) 0 88 176 264 352 440 ...
Número de voltas 0 1 2 3 4 5 ...
Os números 0, 88, 176, 264, 352, 440, ... são múltiplos de 88. 
planeta tempo de translação (dias)
Mercúrio 88
Vênus 224
Terra 365
Marte 687
Júpiter 4 330
Fonte de pesquisa: <http://www.cienciamao.usp.br/tudo/exibir.php?midia=lcn&cod=_
acorridadosplanetas>. Acesso em: fev. 2015.
Sistema Solar. 
P
au
lo
 C
és
ar
 P
er
ei
ra
Na ilustração, o tamanho dos elementos e a distância entre eles 
não estão na proporção. Foram utilizadas cores-fantasia.
Observações:
 V Sempre que mencionarmos "dia" 
estaremos nos referindo a um dia 
terrestre, de 24 horas.
118
pom6_096_133_u3.indd 118 5/17/15 3:35 PM
Vimos que Mercúrio leva 88 dias para dar uma volta completa em torno do Sol e nosso 
planeta leva 365 dias, ou seja, quase o quádruplo do tempo.
Você já parou para pensar quantas horas existem em um ano? Em um mês? Ou até em 
uma semana? Veja a tabela a seguir.
tempo (dias) 1 2 3 4 5 6 7
Quantidade de horas 24 48 72 96 120 144 168
Nessa tabela descobrimos a quantidade de horas existente em uma semana (168 horas). 
Nela também é possível observar alguns múltiplos de 24. 
Observe o padrão numérico utilizado na sequência a seguir:
0 – 4 – 8 – 12 – 16 – 20...
0 1 74
1
10
4
152
4
8
1
135 11 16
1
18
4
3 9 14
4
6
4
12
1
17 19 20
1 3 4 4
3 3 4 12
2 3 4 8
4 3 4
5 3 4
16
20
Podemos descrever o padrão dessa sequência numérica assim: considerando que o pri-
meiro número é o zero, a partir dele cada termo a seguir é obtido somando-se 4 ao termo 
anterior. 
Múltiplos de um número natural são os números obtidos na multipli-
cação desse número pelos números naturais.
Digite numa calculadora simples a operação indicada no exemplo anterior, ou seja, aperte 
as teclas:
1 1 11 1 50 44 4 44
Observe que os números que aparecem a cada vez que você aperta o sinal da adição 1 
são múltiplos de 4.
Agora faça um segundo teste. 
Digite a operação 10 4 e, em seguida, repetidamente a tecla 5 
O que você pôde perceber?
Agora encontre os múltiplos de 5, 6, 7 e 8 utilizando uma calculadora. Organize esses nú-
meros em tabelas.
Professor, numa calculdora não científica acabamos 
obtendo os números 4, 8, 12, ..., que são múltiplos de 4.
119
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Como podemos descobrir se um número é múltiplo de outro? 
Um número é múltiplo de outro se o resto da divisão entre eles for igual a zero, ou seja, 
se um for divisível pelo outro.
Por exemplo, o número 20 é múltiplo de 4, pois 20  4 5 5 (resto 0). 
aGoRa É CoM VoCÊ
1 O número 32 é múltiplo de 8? Por quê? 
2 Pedro foi ao consultório e o médico lhe entregou uma receita médica. Veja a seguir 
as indicações anotadas pelo médico.
Clínica
 Médica
RECEITUÁRIO
Paciente: Pedro Souza
USO ORAL
1) ANALGÉSICO FIQUEBEM
TOMAR 1 COMPRIMIDO 
DE 8 EM 8 HORAS
Dr. Osvaldo
a) Ele deverá tomar um comprimido de 8 em 8 horas. Quantos comprimidos tomará por 
dia? Por quê?
b) Se Pedro começar a tomar o medicamento à meia-noite (zero hora), os próximos com-
primidos deverão ser tomados em que horários?
c) Você já reparou que, normalmente, os medicamentos devem ser tomados de 4 em 4 
horas, de 6 em 6 horas, de 8 em 8 horas ou de 12 em 12 horas? Por que será? Conver-
se com um colega e anotem as hipóteses levantadas por vocês.
tRaBalHo EM EQuIpE
Em uma folha de papel quadriculado, você e um colega deverão desenhar todos os retângulos 
que podem ser construídos exatamente com 24 quadradinhos. Depois respondam:
a) Quais são os divisores do número 24? 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24
b) O número 24 é múltiplo de quais números? 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24
Sim. Pois 8 1 8 1 8 1 8 5 4 3 8 5 32.
2.a) No máximo 3 comprimidos. Possibilidade de 
resposta: porque em um dia há 24 horas e 3 3 8 5 24.
Às 8 h e às 16 h.
D(24) 5 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 
É esperado que os alunos percebam que os números citados são divisores de 24. Por isso, seguindo esses horários, uma pessoa 
tomará seu remédio todos os dias nos mesmos horários.
Registre no 
caderno
Registre no 
caderno
120
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3 Escreva os 13 primeiros números naturais que são múltiplos de 11.
4 Observe a sequência formada pelos múltiplos de 19: 
38 57 x y z 133
 Determine os valores de x, y e z.
5 Observe atentamente o calendário do mês de maio de 2020 e considere os múltiplos de 
um número natural de 1 a 31 para responder.
a) Os múltiplos de 5 estão no mesmo dia da semana?
b) Quantos múltiplos de 2 estão na segunda-feira?
c) Quantos múltiplos de 3 estão no sábado?
d) Quantos são os múltiplos de 9?
e) Quantos são os múltiplos de 11?
f) Quantos são os múltiplos de 7?
g) Os múltiplos de 7 estão no mesmo dia da semana?
6 Agora vamos considerar a tabela formada por todos os números naturais de 0 a 99.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
a) Quantos números pares há nessatabela?
b) Quantos são os números ímpares?
c) Escreva todos os números dessa tabela que são múltiplos de 10.
d) Escreva todos os números dessa tabela que são múltiplos de 11.
e) Quantos são os números múltiplos de 3 nessa tabela?
f) E quantos são os números múltiplos de 5?
7 Você deverá indicar o maior número natural:
a) múltiplo de 7 com 2 algarismos;
b) múltiplo de 7 com 3 algarismos;
c) múltiplo de 5 com 2 algarismos;
d) múltiplo de 5 com 3 algarismos.
0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121, 132
x 5 76, y 5 95 e z 5 114
Zu
ba
rt
ez
Não.
2
2
3
2
4
Sim.
50
50
0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 
80, 90
0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 
88, 99
34
20
98
994
95
995
Utilize a calculadora
Registre no 
caderno
121121
pom6_096_133_u3.indd 121 5/17/15 3:35 PM
Mínimo múltiplo comum
Dois amigos resolveram andar de bicicleta no parque da cidade. Os dois iniciaram o percurso 
no mesmo ponto de partida e ao mesmo tempo, um deles demorou 3 minutos para completar 
o circuito enquanto o amigo completou o mesmo percurso em 2 minutos. 
Supondo que suas velocidades sejam mantidas, após quantos minutos eles voltarão a se 
encontrar no ponto de partida? Quantas voltas cada um deles já terá completado quando se 
encontrarem?
Observe formas distintas de representar os tempos e as voltas:
Observe que, na tabela, temos os múltiplos de 3 (ciclista 1) e os múltiplos de 2 (ciclista 2). 
Qual número há em comum?
O número 6 indica um múltiplo de 2 e 3 simultaneamente. Dizemos então que 6 é um 
múltiplo comum.
No exemplo, dizemos que 6 é o mínimo múltiplo comum (com exceção do zero) de 2 e 
3. Sua representação é: mmc (2; 3) = 6.
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o menor 
número, diferente de zero, que é múltiplo desses números. 
Há um procedimento para o cálculo do 
mínimo múltiplo comum de dois ou mais 
números que utiliza a decomposição si-
multânea desses números em fatores pri-
mos. Observe como podemos fazer para 
calcular o mmc (15; 25) (mínimo múltiplo 
comum de 15 e 25):
0
0
1
1
7
7
4
4
10
10
2
2
8
8
5
5
11
11
3
3
9
9
6
6
12
12
tempo de cada ciclista para completar uma 
volta do circuito (em minutos)
1a volta 2a volta 3a volta 4a volta
Ciclista 1 3 6 9 12
Ciclista 2 2 4 6 8
Resolução:
12, 30, 84 2
6, 15, 48 2
3, 15, 24 2
3, 15, 12 2
3, 15, 6 2
3, 15, 3 3
1, 5, 1 5 mmc (12; 30; 84) 5 25 3 3 3 5
1, 1, 1 mmc (12; 30; 84) 5 480 anos
Exemplo:
Considere que os planetas Júpiter, Sa-
turno e Urano, a cada 12, 30 e 84 anos 
(aproximada e respectivamente), comple-
tam o movimento de translação ao redor 
do Sol. Imagine que neste ano os três pla-
netas ocupam determinada posição de 
alinhamento em relação ao Sol. Quantos 
anos decorrerão para que eles voltem a 
ocupar essas mesmas posições?
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o produto de todos os fatores primos 
obtidos da decomposição simultânea desses números.
6 minutos; ciclista 1: 2 voltas, ciclista 2: 3 voltas
15, 25 3
5, 25 5
1, 5 5 mmc (15; 25) 5 3 ? 5 ? 5
1, 1 mmc (15; 25) 5 75
122
pom6_096_133_u3.indd 122 5/17/15 3:35 PM
AGORA É COM VOCÊ
1 Obtenha o mínimo múltiplo comum dos números a seguir:
a) mmc (4; 12)
b) mmc (18; 60)
c) mmc (12; 36; 48)
d) mmc (8; 16; 64)
e) mmc (15; 24; 60)
f) mmc (210; 462)
2 Considere os números 18 e 27. Determine os cinco menores múltiplos comuns que são 
diferentes de zero.
3 Resolva os seguintes problemas:
a) Dois ciclistas levam, respectivamente, 30 segundos e 
35 segundos para completar uma volta numa arena 
esportiva. Após a largada, quantos segundos serão 
necessários para que esses ciclistas se encontrem 
novamente no ponto de partida, se mantidas as suas 
velocidades?
b) Em relação ao problema anterior, responda: Quantas 
voltas terá completado cada um desses ciclistas?
c) No final do ano, duas torres foram construídas com 
lâmpadas coloridas. Numa delas, as lâmpadas pis-
cam a cada 4 segundos, enquanto que, na outra, a 
cada 6 segundos. Se uma pessoa observa agora que 
as lâmpadas das duas torres estão piscando juntas, 
depois de quanto tempo elas piscarão juntas nova-
mente pela primeira vez?
d) Um caixa eletrônico foi programado para fornecer 
quantias menores que 49 reais, mas em um tipo 
de cédula apenas: cédulas de 2 reais ou de 5 reais. 
Quais são as quantias que podem ser retiradas 
com somente um tipo de cédula, entre os dois tipos 
citados?
e) Com relação ao problema anterior, responda: Qual é 
a menor quantia que pode ser retirada nas condições 
do problema? E qual é a maior quantia?
f) Depois de examinar um paciente, a médica receitou 
dois remédios:
remédio A 1 comprimido a cada 4 horas;
remédio B 1 comprimido a cada 8 horas.
Se o paciente tomou os dois comprimidos juntos pe-
la primeira vez ao meio-dia de hoje, daqui a quantas 
horas ele tomará novamente os dois comprimidos 
juntos?
4 Escreva todos os múltiplos de 7 que são menores que 100.
5 Um relógio eletrônico dispara um alarme a cada 120 minutos. Outro relógio dispara um 
alarme a cada 150 minutos. Os dois relógios soaram juntos às 14 horas. Quando eles 
voltarão a tocar juntos?
W
al
do
m
ir
o 
N
et
o
W
al
do
m
ir
o 
N
et
o
Ed
ua
rd
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B
el
m
ir
o
©
 B
an
co
 C
en
tr
al
 d
o 
B
ra
si
l
Registre no 
caderno
180
144 120
2 310
12
64
54, 108, 162, 216, 270
210 segundos 5 3,5 minutos
7 e 6 voltas
12 segundos
2 reais; 48 reais
8 horas
0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84 ,91, 98
À meia-noite.
3. d) Notas de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48.
Notas de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.
123123
pom6_096_133_u3.indd 123 5/17/15 3:35 PM
6 Considere os números que estão indicados na tabela a seguir:
12 99 24 36 45 72
32 15 75 25 40 81
50 60 18 28 48 64
30 80 66 0 98 100
 Escreva os números dessa tabela que são múltiplos de:
a) 3
b) 4
c) 5 
d) 6
e) 7
f) 8
g) 9
h) 10
i) 11
7 Obtenha o mínimo múltiplo comum dos números a seguir.
a) mmc (4; 6) 
b) mmc (8; 12)
c) mmc (12; 16)
d) mmc (7; 12)
e) mmc (10; 25)
f) mmc (6; 12; 18)
g) mmc (10; 15; 30) 
h) mmc (24; 12; 16)
8 Copie a tabela em seu caderno e faça 
o que se pede.
a) Pinte de azul todos os quadrinhos 
que contêm números que são múlti-
plos de 4.
b) Marque um X nos quadrinhos que 
contêm números que são múlti-
plos de 9.
c) Escreva os números que estão 
nos quadrinhos coloridos de azul 
e marcados com X.
d) O que indicam esses números?
e) Qual é o mmc (4; 9)?
9 Responda.
a) Quando o mínimo múltiplo comum de dois números diferentes de zero e distintos en-
tre si é um dos números?
b) Qual é o mínimo múltiplo comum dos números 1 e 17?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Registre no 
caderno
48
0, 12, 30, 99, 15, 60, 24, 75, 18, 66, 
36, 45, 48, 72, 81
0, 12, 32, 60, 80, 24, 36, 28, 40, 
48, 64, 72, 100
0, 50, 30, 15, 60, 80, 75, 25, 45, 40, 100
0, 12, 30, 60, 24, 18, 66, 36, 48, 72
0, 28, 98
0, 32, 80, 24, 40, 48, 72, 64
0, 99, 18, 36, 45, 72, 81
0, 50, 30, 60, 80, 40, 100
0, 99, 66
12
24
84
50
36
30
48
0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99
0, 36, 72
Que estes são múltiplos comuns de 4 e 9.
36
8. a) 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 
60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96
Quando o maior for múltiplo do menor.
17
124
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Curiosidades sobre números naturais
Você estudou, nesta unidade, os múltiplos e os divisores de números naturais. Viu que existem núme-
ros naturais que apresentam apenas dois divisores naturais: o próprio número e também a unidade. Tais 
números naturais são chamados de números primos. 
Há, na história da Matemática, muitas curiosidades a respeitode múltiplos e de divisores de núme-
ros naturais. 
Divisores próprios: os divisores próprios de um número natural são todos os divisores desse 
número, exceto o próprio número.
Números amigos: dois números naturais são amigos quando cada um deles é igual à soma dos 
divisores próprios do outro. 
•	 Exemplo: 284 e 220 são números amigos.
Se observarmos os divisores naturais de cada um deles, excluindo o próprio número, teremos:
D(220) 5 {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110}
Soma 5 1 1 2 1 4 1 5 1 10 1 11 1 20 1 22 1 44 1 55 1 110 5 284
D(284) 5 {1, 2, 4, 71, 142}
Soma 5 1 1 2 1 4 1 71 1 142 5 220
Número perfeito: diz-se que um número é perfeito quando ele é igual à soma de seus divisores 
próprios.
•	 Exemplos: 6 e 28 são números perfeitos.
Em cada um desses exemplos, se adicionarmos os divisores próprios, a soma será igual ao próprio 
número, isto é:
D(6) 5 {1, 2, 3}
Soma 5 1 1 2 1 3 5 6
D(28) 5 {1, 2, 4, 7, 14}
Soma 5 1 1 2 1 4 1 7 1 14 5 28
Números abundantes: são números naturais em que a soma dos divisores próprios é maior que 
o número.
•	 Exemplo: 30 é um número abundante.
D(30) 5 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15}
Soma 5 1 1 2 1 3 1 5 1 6 1 10 1 15 5 42
Números deficientes: são números naturais em que a soma dos divisores próprios é menor que o 
número.
•	 Exemplo: 26 é um número deficiente.
D(26) 5 {1, 2, 13}
Soma 5 1 1 2 1 13 5 16
Essas são apenas algumas curiosidades associadas aos números naturais que os antigos gregos, 
na época de Eratóstenes, gostavam de pesquisar.
CoNEXÕES
125
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dIVERSIfICaNdo lINGuaGENS
1 Por que o personagem relaciona a sequência numérica com a família dele?
2 Faça uma pesquisa sobre a palavra primo e descreva o porquê de sua utilização como 
classificação de alguns números e como grau de parentesco.
3 Escreva a sequência dos números primos até o número 50.
4 Escreva o número 324 como um produto de números primos. 
5 Você conhece algum método para determinar os números primos que estão no intervalo 
de 101 a 200? 
6 Em dupla, copie a tabela e, com o auxílio de uma calculadora, juntos determinem os 
números primos que estão no intervalo de 101 a 150. Dica: utilizem os múltiplos dos 
números primos e os critérios de divisibilidade.
7 Descreva o procedimento usado para determinar os números primos na tabela acima.
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
... 17, 19 e ... Preciso visitar 
mais a minha família, 
só conheço 8 primos.
Registre no 
caderno
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
2. A palavra primo vem do latim primus, que significa “primeiro”. Os números primos são chamados assim por serem considerados os 
primeiros em referência a outros números que não são primos, pois qualquer número natural pode ser formado por um produto de núme-
ros primos. A palavra primo como grau de parentesco surgiu da palavra consobrinus, que se refere ao primeiro grau de consanguinidade. 
Resposta possível: A sequência numérica que ele pensou é a dos números primos, e esses nú-
meros têm o mesmo nome que é usado para o grau de parentesco primo (filho ou filha de tios).
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3
Crivo de Eratóstenes.
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173 e 179
Resposta possível: Primeiramente riscamos todos os números pares, depois os múltiplos de 3. Para isso, usamos o critério 
de divisibilidade por 3. Depois usamos o critério de divisibilidade por 5, ou seja, riscamos todos os números terminados em 5, 
uma vez que os números terminados em zero já haviam sido riscados, pois também são múltiplos de 2. E, por fim, riscamos 
os múltiplos de 7, de 11 e de 13.126
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Primeiros procedimentos de contagem
Você já decidiu quem começaria uma brincadeira ou quem ficaria com a bola ou o campo 
utilizando a estratégia de “cara ou coroa”? Nessa antiga estratégia utilizamos uma moeda para 
decidir, por exemplo, quem será o primeiro a realizar determinada ação. 
O ato de jogar uma moeda para cima e ver qual face cairá é complexo quando tratamos 
das possibilidades de resultados.
Por exemplo, ao jogar uma moeda, quantas e quais opções são possíveis? 
Duas opções:
Mas, se jogarmos duas vezes a mesma moeda, quais são os resultados possíveis?
Agora não teremos apenas duas possibilidades, e sim quatro, já que cara e coroa é dife-
rente de coroa e cara, pois em se tratando de possibilidades a ordem em que os resultados 
aparecem influencia no resultado.
Árvore de possibilidades
E se lançarmos a mesma moeda do exemplo anterior 3 ou 4 vezes? Nesse caso seria um 
processo um pouco mais demorado para montar todas as possibilidades; por isso, é possível 
utilizar o que normalmente é chamado de árvore de possibilidades.
Veja o exemplo a seguir. 
Uma lanchonete faz a seguinte promoção: compre um salgado e ganhe um refresco. Os 
salgados disponíveis são coxinha, bolinho de carne e rissole de queijo, e os refrescos são de 
limão, laranja, maracujá e abacaxi. De quantas maneiras possíveis uma pessoa pode fazer uma 
refeição participando dessa promoção? 
Vamos organizar os dados em uma árvore de possibilidades. Veja:
cara coroa
cara cara cara caracoroa coroa coroa coroa ©
 B
an
co
 C
en
tr
al
 d
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B
ra
si
l
©
 B
an
co
 C
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tr
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B
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si
l
Capítulo 13
Tratamento da informação:
contagem e estimativa
127
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Percebam que, para cada tipo de salgado, há 4 tipos de refresco; logo, as possibilidades que 
uma pessoa tem de fazer uma refeição participando dessa promoção são: 3 ? 4 5 12 possibi-
lidades.
aGoRa É CoM VoCÊ
1 Se eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias diferentes, de quantas maneiras 
poderei me calçar utilizando um par de meias e um de sapatos? 
2 Lançando uma mesma moeda 5 vezes consecutivamente, qual é o número total de pos-
síveis resultados? 
3 Pedro foi a uma sorveteria e, antes de fazer o pedido, resolveu olhar o cardápio e viu as 
seguintes opções de sorvete: chocolate, morango, flocos, coco e abacaxi. Além disso, ele 
podia escolher calda de chocolate ou caramelo. Quantas opções de taças com um sabor 
de sorvete com apenas um tipo de calda Pedro poderia pedir? 
4 Durante o fim de semana, Marina fez uma pequena viagem para uma fazenda com os 
pais. Para esses dias ela resolveu levar 3 saias e 3 blusas na mala.
a) De quantas maneiras diferentes Marina poderá se vestir utilizando apenas as peças de 
roupa que levou?
b) Durante quantos dias Marina consegue se vestir sem ter de repetir nenhuma combi-
nação e usando apenas uma por dia?
c) Se além das peças que Marina está levando ela levasse mais 2 bermudas e 3 blusas, 
de quantas maneiras diferentes ela poderia se vestir?
40 maneiras
32 resultados
10 opções
9 maneiras
9 dias
30 maneiras
Registre no 
caderno
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co
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suco de limão
suco de laranja
suco de maracujá
suco de abacaxi
suco de limão
suco de laranja
suco de maracujá
suco de abacaxi
coxinha
bolinho de carne
rissole de queijo
suco de limão
suco de laranja
suco de maracujá
suco de abacaxiSl
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128
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Estimativa
Observe a situação a seguir.
Em novembro de 2014 foi realizado em São Paulo um grande show em um local onde ca-
bem 55 mil pessoas. Sabendo que a médiaentre pessoas sentadas e de pé em um show é de 
4 pessoas por m², podemos estimar a quantidade aproximada de m² dessa arena.
Para isso fazemos o seguinte cálculo mental: Quanto é 55 dividido por 4? 
Mas estamos falando de 55 000 pessoas, logo a quantidade deve estar entre 13 000 e 
14 000 m2. Qual destes valores você acredita ser o mais adequado para nossa estimativa?
a) 13 200 m²
b) 13 500 m²
c) 13 700 m²
d) 13 900 m²
Se fizéssemos a divisão em uma calculadora, descobriríamos que 55 000  4 5 13 750 m2.
Quando realizamos uma estimativa, estamos na verdade 
fazendo um cálculo aproximado da situação real.
Entre 13 e 14, só que mais próximo de 14.
aGoRa É CoM VoCÊ
 Leia o trecho da notícia a seguir.
"No segundo dia de greve no metrô e com o rodízio suspenso, a cidade de São Paulo bateu 
um novo recorde de congestionamento no trânsito em 2014 para o período da manhã nesta 
sexta-feira (6), com 239 km de filas registrados às 10h, segundo a CET (Companhia de En-
genharia de Tráfego). Por volta de 11h, o índice teve uma pequena queda, para 228 km, e às 
13h já tinha caído para 134 km. Às 15h, a lentidão voltou a aumentar, com 140 km.
A chuva que atinge a cidade também ajuda a piorar a situação. O normal para o horário 
das 10h é lentidão entre 75 km e 105 km."
SP tem novo recorde de lentidão no trânsito em 2o dia de greve do metrô. Disponível em: 
<http://noticias.uol.com.br/cotidiano/ultimas-noticias/2014/06/06/sao-paulo-tem-lentidao-bem- 
acima-da-media-em-2-dia-de-greve-do-metro.htm> FOLHA PRESS. Acesso em: jan. 2015.
 Estime a quantidade de carros que estavam parados em um congestionamento nes-
se dia nos horários a seguir.
a) 10 h 
b) 11 h 
c) 13 h 
d) 15 h 
[(239 ? 3 ? 1 000)  40] ? 8 5143 400; 143 400 carros
[(228 ? 3 ? 1 000)  40] ? 8 5136 800; 136 800 carros
[(134 ? 3 ? 1 000)  40] ? 8 580 400; 80 400 carros
[(140 ? 3 ? 1 000)  40] ? 8 584 000; 84 000 carros
Registre no 
caderno
Alternativa c.
Para fazer essa estimativa, use 
uma calculadora e considere que:
•	a cada 40 metros temos em 
média 8 carros;
•	cada via de tráfego tem em mé-
dia 3 pistas.
Registre no 
caderno
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SupERaNdo dESafIoS
1 (PUC–SP)
Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na 
máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a 
manutenção das três máquinas, a próxima vez que a manutenção ocorreu no mesmo dia foi 
em: Alternativa c.
a) 6 de dezembro 
b) 8 de dezembro 
c) 14 de dezembro 
d) 26 de dezembro
2 (Fuvest – SP)
No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. 
A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo 
instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a “piscar simul-
taneamente”? Alternativa e.
a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30
3 (Mack - SP)
Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tem-
po gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada 
aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das 
aparições diárias dos partidos na TV foi de: Alternativa d.
a)15 b) 16 c) 17 d) 19 e) 21
4 (OBM)
Quatro números inteiros positivos a , b , c , d são tais que o mdc entre quaisquer dois deles é 
maior do que 1, mas mdc (a,b,c,d) = 1. Qual é o menor valor possível para d? Alternativa c.
a) 10 b) 12 c) 15 d) 30 e) 105
5 (Cefet)
A soma dos valores absolutos dos algarismos de um número superior a 1010, inferior a 2010 e ao 
mesmo tempo múltiplo de 7, 11 e 13, é? Alternativa b.
a) 2 b) 4 c) 5 d) 11 e) 22
Registre no 
caderno
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Explorando
a revelação - Coleção o Contador de Histórias e 
outras Histórias da Matemática
Autor: Egídio Trambaiolli Neto
Editora: FTD
80 páginas
A obra apresenta enigmas que envolvem conhecimentos de História, Geografia e Mitologia e 
são resolvidos usando a Matemática. Este volume faz parte da coleção O contador de histórias 
e outras histórias da Matemática e vem acompanhado de um suplemento de trabalho. 
Contando a História da Matemática - História de potências e raízes
Autor: Oscar Guelli
Editora: Ática
56 páginas
O autor e professor Oscar Guelli desenvolveu a coleção Contando a história da Matemática, 
composta de livros que respondem diversas perguntas a respeito desta ciência. Por exemplo, 
você sabe como os egípcios mediam a altura e a inclinação das pirâmides? E como a humanidade 
chegou ao conhecimento da chamada “quinta operação”? Descubra estas e outras curiosidades.
6 (Obmep)
Quantos números inteiros positivos têm o número 9 como seu maior divisor, diferente do 
próprio número?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) infinitos
7 (Obmep)
Escreve-se, em ordem crescente, cada um dos múltiplos de 3 cuja soma com 1 é um quadra-
do perfeito:
3; 15; 24; 48; ...
a) Qual é o próximo número que aparecerá, nessa sequência, depois do 48?
b) Qual é o oitavo número dessa sequência?
c) Qual é o número que aparecerá, nessa sequência, na 2 013a posição?
8 (Acafe-SC) 
Num painel de propaganda, três luminosos se acendem em intervalos regulares: o primeiro a 
cada 12 segundos, o segundo a cada 18 segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em dado 
instante, os três se acenderem ao mesmo tempo, os luminosos voltarão a se acender, simulta- 
neamente, depois de:
a) 2 minutos e 30 segundos
b) 3 minutos
c) 2 minutos
d) 1 minuto e 30 segundos
e) 36 segundos 
9 (OBM) 
Entre os números naturais de 1 até n, pelo menos 11 são divisíveis por 5 e no máximo 9 são divisí-
veis por 6. No máximo, quantos desses números são divisíveis por 7?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
Alternativa b.
63
168
9 120 399
Alternativa b.
Alternativa e
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Registre no 
caderno
131
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RESGATANDO CONTEÚDOS
1 Indique a alternativa correta.
a) O número 2 é múltiplo de 10.
b) O número 10 é divisível por 2.
c) O número 3 é composto.
d) O número 4 é primo.
e) O número 2 não é primo.
2 Um número é divisível por 6 quando:
a) é par.
b) é par e divisível por 3.
c) é divisível por 3.
d) é ímpar.
e) o algarismo das unidades é 0 ou 5.
3 Um número natural é primo quando:
a) é ímpar.
b) é divisível por 1.
c) é divisível por 2.
d) apresenta apenas dois divisores natu-
rais distintos: 1 e ele mesmo.
e) apresenta apenas um divisor natural.
4 Um número natural é composto quando 
apresenta:
a) apenas 1 divisor natural.
b) apenas 2 divisores naturais.
c) no mínimo 3 divisores naturais.
d) apenas 3 divisores naturais.
e) nenhum divisor natural.
5 Assinale a alternativa que indica corre-
tamente a quantidade total de núme-
ros primos que aparecem no seguinte 
quadro:
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12 
6 Qual é o número natural correspondente 
à fatoração 23 ? 3 ? 5?
a) 60
b) 80
c) 100
d) 120
e) 180
7 Assinale a alternativa que indica corre-
tamente a quantidade de divisores natu-
rais que admite o número 100.
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
8 Considere a igualdade 17 ? 16 5 272. 
É incorreto afirmar que:
a) 17 é múltiplo de 272.
b) 272 é divisível por 16.
c) 17 é um dos fatores de 272.
d) 16 é um dos fatores de 272.
e) 272 é múltiplo de 16.
9 Para juntarmos a quantia de 10 000 reais 
somente com cédulas de 50 reais, preci-
saremos ao todo de:
a) 200 cédulas.
b) 400 cédulas.
c) 100 cédulas.
d) 50 cédulas.
e) 150 cédulas.
10 Em qualquer calendário, os dias, em um 
mesmo mês, que caem no mesmo dia da 
semana são aqueles correspondentes a:
a) múltiplos de 5.
b) múltiplos de 7.
c) múltiplos de 8.
d) múltiplos de 4.
e) múltiplos de 6.
11 Assinale a alternativa que indica correta-
mente o mdc (10; 20; 30).
a) 2 b) 5 c) 10 d) 4 e) 1
12 Considere que a letra A representa umnúmero natural que é divisor do número 
natural representado pela letra B. En-
tão, é correto afirmar:
a) mdc (A; B) 5 1
b) mdc (A; B) 5 B
c) mdc (A; B) 5 A
d) mdc (A; B) 5 2
e) mdc (A; B) 5 0 
©
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Alternativa b.
Alternativa b.
Alternativa d.
Alternativa c.
Alternativa c.
Alternativa c.
Alternativa c.
Alternativa b.
Alternativa a.
Alternativa a.
Alternativa c.
Alternativa d.
Registre no 
caderno
132132
pom6_096_133_u3.indd 132 5/17/15 3:35 PM
13 Agora a letra A indica um número natu-
ral que é múltiplo do número natural re-
presentado pela letra B. Então, é correto 
afirmar:
a) mmc (A; B) 5 1 
b) mmc (A; B) 5 B 
c) mmc (A; B) 5 A
d) mmc (A; B) 5 2
e) mmc (A; B) 5 3
14 Observando o relógio analógico a seguir, 
assinale a alternativa que indica correta-
mente o número de vol-
tas completas que dá 
o ponteiro pequeno 
em um dia inteiro.
a) 2 d) 60
b) 24 e) 36 
c) 48
15 Assinale a alternativa que indica corre-
tamente a decomposição em fatores pri-
mos do número 676.
a) 23 ? 5 ? 7 
b) 22 ? 132
c) 23 ? 52
d) 22 ? 52 ? 7
e) 23 ? 112
16 Duas linhas de ônibus saem do mesmo 
terminal de uma cidade. Uma sai a cada 
12 minutos; e a outra, a cada 16 minu-
tos. Às 13 horas de um dia, as duas linhas 
saem simultaneamente do terminal. As-
sinale a alternativa que indica o próximo 
horário em que as duas sairão novamen-
te juntas do terminal.
a) 13 h 36 min
b) 13 h 48 min
c) 14 h 
d) 14 h 15 min
e) 15 h
mente o número de vol-
tas completas que dá 
Vl
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ro
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 P
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ss
17 Em uma árvore de Natal, as lâmpadas 
vermelhas piscam de 4 em 4 segundos; 
as amarelas, de 6 em 6 segundos; e as 
azuis, a cada 12 segundos. Ao serem li-
gadas, elas acendem simultaneamente 
e, em seguida, cada cor pisca conforme o 
intervalo de tempo indicado anteriormen-
te. De quantos em quantos segundos to-
das as lâmpadas piscam 
juntas?
a) 12 em 12 segundos
b) 10 em 10 segundos
c) 6 em 6 segundos
d) 15 em 15 segundos
e) 20 em 20 segundos 
18 Em um supermercado, 
as 72 caixas de suco de 
laranja, as 48 de suco de 
uva e as 36 de suco de 
pêssego serão acomo-
dadas em embalagens 
com o maior número possível de caixas 
de um mesmo suco em cada uma. O nú-
mero de caixas de suco por embalagem 
é:
a) 6 
b) 12
c) 15
d) 18
e) 24
19 No quadro a seguir, estão indicados os 
anos em que se realizaram olimpíadas e 
as cidades que as sediaram.
1968 Cidade do México
1972 Munique
1976 Montreal
1980 Moscou
1984 Los Angeles
1988 Seul
1992 Barcelona
1996 Atlanta
2000 Sydney
2004 Atenas
2008 Pequim
2012 Londres
2016 Rio de Janeiro
1896 Atenas
1900 Paris
1904 Saint Louis
1908 Londres
1912 Estocolmo
1920 Antuérpia
1924 Paris
1928 Amsterdã
1932 Los Angeles
1948 Londres
1952 Helsinque
1956 Melbourne
1960 Roma
1964 Tóquio
Descubra quantas dessas olimpíadas 
ocorreram em ano que não é bissexto.
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Alternativa b.
Alternativa a.
Alternativa c.
Alternativa b.
Só a Olimpíada de Paris, em 1900.
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UNIDADE 4
Formas geométricas 
planas
Com base nas posições dos ponteiros de um relógio, po-
demos obter a noção de ângulo. Associamos essa ideia 
também com a mudança de direção. Aspectos impor-
tantes da Geometria Plana estão relacionados ao 
conceito de ângulo.
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1 O que significa dizer que a bola foi “bem no ân-
gulo” quando um jogador faz um gol?
2 Quantos graus tem um ângulo reto?
3 Quando duas retas são perpendiculares?
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Capítulo 14
A ideia de ângulo
Desde o início da humanidade, a observação e o estudo do céu despertavam interesse e 
fascinavam os mais diversos povos. Esses estudos impulsionaram o surgimento, por exemplo, 
da Astronomia. Inúmeros estudiosos podem ser citados e, entre eles, Nicolau Copérnico se 
destacou por elaborar uma teoria considerada, por muitos, uma das mais importantes, a teo-
ria do heliocentrismo. Você já ouviu falar dessa teoria?
Segundo Copérnico, todos os planetas giravam em torno do Sol, portanto, o Sol seria o 
centro do Universo. Sabemos que nenhuma teoria é construída por um único pensador, mas 
vai se desenvolvendo com base em inúmeras pesquisas e estudos. Galileu Galilei e Johan-
nes Kepler são alguns dos nomes que aparecem nos estudos sobre o Universo. Galileu, por 
exemplo, é citado como um dos primeiros estudiosos a olhar o céu através de um telescópio.
Na época das grandes navegações, as ro-
tas traçadas em longas viagens pelos mares 
eram desenvolvidas por meio da observação 
da posição das estrelas. Instrumentos como o 
quadrante e o astrolábio eram utilizados para 
verificar se, durante a viagem, o navio estava 
seguindo a rota previamente traçada. Imagine 
como seria uma viagem pelos oceanos sem 
contar com esses instrumentos.
Atualmente, além de navios modernos, 
contamos com equipamentos mais preci-
sos, como radares, GPS e outros. No entanto, 
mesmo com todo esse avanço, é imprescin-
dível que as pessoas envolvidas no manejo 
desses equipamentos tenham um conheci-
mento básico: a ideia de ângulo.
Neste capítulo, abordaremos algumas 
noções importantes sobre ângulos e ainda 
ampliaremos o estudo de Geometria Plana.
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Respostas da página anterior:
1. Que a bola passou bem próximo à intersecção do travessão (parte 
horizontal do gol que dá suporte à rede) com qualquer uma das traves 
(parte vertical do gol que dá suporte à rede). Essa expressão não re-
presenta o conceito matemático de ângulo que é a figura formada por 
duas semirretas de mesma origem. Assim, quando pensamos no con-
ceito matemático, ângulo não seria só a parte próxima à intersecção.
2. 90°
3. Quando elas se intersectam em um ponto formando um ângulo 
de 90°.
Astrolábio.
Embarcação de exploração petrolífera.
136
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Noção de ângulo
Ao observar os ponteiros de um relógio, podemos associar a ideia de ângulo à abertura 
existente entre dois ponteiros. Na imagem a seguir, a posição dos ponteiros possibilita a lei-
tura das horas, neste caso, 10 horas e 10 minutos. Ao lado, temos outra representação dos 
ponteiros e, nesta, utilizamos duas semirretas de mesma origem.
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A região limitada pelas duas semirretas de mesma origem determina 
um ângulo. A origem comum a essas semirretas é o vértice do ângulo, e 
cada uma das semirretas é um lado do ângulo.
Num ângulo temos os seguintes elementos:
•	Vértice:
é o ponto A;
•	Lados do ângulo: 
são as semirretas 
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AC e 
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AB .
•	Ângulo (abertura):
região compreendida entre as semirretas 
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AC e 
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AB , representada por CAB .
Observe alguns exemplos nos quais é possível identificar a formação de diferentes ângulos.
Abertura de uma tesoura Inclinação de um carro no guincho
Os ângulos também podem ser associados à ideia de giro. Observe, por exemplo, duas tiras 
coloridas presas por uma tachinha: uma delas fica numa posição, enquanto a outra vai girando.
O giro da tira verde corresponde a um ângulo. Note que, da esquerda para a direita, a 
abertura entre as duas tiras coloridas vai aumentando. Se continuarmos girando a tira verde 
até chegar à posição inicial, teremos um giro completo.
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99º
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Essa ideia pode ser representada por um círculo:
giro de uma volta ou
ângulo de uma volta
giro de 1
2
(meia) volta ou 
ângulo de 1
2
volta: ângulo raso
giro de 1
4
(um quarto) de volta ou 
ângulo de 1
4
de volta: ângulo reto
giro de 1
8
(um oitavo) de volta ou 
ângulo de 1
8
de volta
Exemplo 1:
Em quais horas exatas deum dia o ângulo entre os ponteiros do relógio é reto?
Resolução:
Existem 4 horas exatas ao longo de um dia em que o ângulo entre os ponteiros dos minutos 
e das horas é reto: 3 horas da manhã, 9 horas da manhã, 3 horas da tarde e 9 horas da noite.
Exemplo 2:
Numa cartolina, vamos construir um ângulo reto por meio de dobraduras.
•	Apoiamos uma tampa redonda em cima de uma cartolina. Com um lápis, contornamos 
essa tampa e obtemos um círculo. Com uma tesoura, recortamos o círculo.
•	Dobramos então o círculo no meio (temos o ângulo raso) e depois fazemos uma nova 
dobra no meio para obter o ângulo reto.
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aGoRa É CoM VoCÊ
1 Quantos ângulos retos são observados na figura a seguir?
2 Em seu caderno, represente um relógio como abaixo. A seguir desenhe o ponteiro dos 
minutos e o ponteiro das horas indicando a hora exata em que o ângulo entre esses pon-
teiros é raso.
9 ângulos
Se
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A resposta apresenta apenas uma 
das possibilidades, pois o problema 
admite várias soluções.
Registre no 
caderno
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tRaBalHo EM EQuIpE
Em dupla, faça o que se pede. 
Desenhem numa folha de papel quadriculado duas linhas que se cruzam. Marquem um ponto A 
exatamente no encontro dessas duas linhas. Depois, indiquem a direção Norte acima, a Sul abaixo, a 
Leste à direita e a Oeste à esquerda, como a seguir.
Sigam as instruções:
•	A partir de A, desloquem com o lápis 10 quadradinhos na 
direção Norte, marcando o ponto B.
•	A partir de B, desloquem 15 quadradinhos na direção Leste, 
marcando o ponto C.
•	A partir de C, desloquem 10 quadradinhos na direção Sul, 
marcando o ponto D.
•	Finalmente, a partir de D, desloquem 15 quadradinhos na 
direção Oeste, chegando ao ponto final.
A que conclusão pode-se chegar?
Sugestão de resposta: O lápis “saiu” do 
ponto A, “descreveu” um retângulo e 
“voltou” ao ponto A.
O
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A
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Registre no 
caderno
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Classificação de ângulos
Conforme a medida de um ângulo, os seguintes tipos de ângulo podem ocorrer:
•	Ângulo raso – ângulo de medida igual a 180°, desde que haja giro em uma das semirre-
tas. Caso não haja giro, o ângulo será denotado por ângulo nulo e terá medida igual a 0°.
•	Ângulo reto – um ângulo de um quarto de volta é um ângulo reto e tem medida igual 
a 90°. 
indicação de ângulo reto
Assim como existe uma régua para 
medir comprimentos, também existem 
instrumentos para medir ângulos.
Um deles é o transferidor, que pode 
ser definido como um círculo (geralmente 
feito de plástico e vazado no meio) dividi-
do em 360 partes iguais. Cada uma dessas 
partes é um grau (símbolo: °). Usamos o 
grau para medir ângulos.
O ângulo indicado pelas duas semirre-
tas na figura ao lado mede 10°.
A cada uma das 360 partes em que dividimos o círculo 
corresponde um ângulo de medida 1°. Assim, uma vol-
ta completa é um ângulo de medida 360°.
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Transferidor.
Observação:
 V Veja a figura a seguir: 
B
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 Se quisermos representar o ângulo A, podemos 
usar a notação A ; para o ângulo B, escrevemos 
B e assim por diante.
Existem transferidores que são 
semicírculos divididos em 180 partes.
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•	Ângulo obtuso – ângulo de medida maior que 90° e menor que 180°. 
•	Ângulo agudo – ângulo de medida maior que 0° e menor do que 90°.
Exemplo:
Vamos determinar a medida, em graus, do ângulo de vértice A, no triângulo abaixo.
AB
C
Resolução:
Posicionamos o transferidor (vamos utilizar 
aqui o de 180o) com o centro no ponto A e com 
o zero coincidindo com um dos lados do triân-
gulo. Então, observamos a medida do ângulo 
correspondente no transferidor, isto é:
Dessa forma, como indicado em vermelho, a 
medida do ângulo procurado é 30°.
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Reúna-se em dupla e observe a rosa dos ventos para responder às questões.
1 Quais são os pontos cardeais?
2 Quais são os pontos colaterais?
3 Usando o transferidor descubram os ângulos formados entre as 
direções indicadas pelos pontos cardeais.
4 Usando o transferidor descubram os ângulos formados entre as 
direções indicadas por um ponto cardeal e um ponto colateral, 
um ao lado do outro.
Norte, Sul, Leste e Oeste.
Nordeste, Sudeste, Sudoeste e Noroeste.
90°
45°
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Registre no 
caderno
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1 Observe a figura a seguir, em que o ângulo raso foi dividido por uma semirreta vermelha.
Se o ângulo agudo medir 55°, qual deverá ser a medida do ângulo obtuso?
2 Desenhe um ângulo:
a) agudo; b) reto; c) obtuso; d) raso.
3 Na figura a seguir, o ângulo raso foi dividido por uma semirreta vermelha.
 
Importante!
 V A figura ao lado está fora de escala. Isso significa 
que os ângulos desenhados não correspondem 
necessariamente aos valores reais.
Responda:
a) Qual é a medida do ângulo agudo dessa figura, se a medida do ângulo obtuso for 130°?
b) Qual é a medida do ângulo obtuso dessa figura, se a medida do ângulo agudo for 40°?
4 Considere o quadrado ABCD ilustrado a seguir. Nele foram utilizados dois segmentos 
de reta para unir os vértices opostos da figura, e observe que no cruzamento desses 
segmentos formaram-se 4 ângulos. Qual é a medida de cada um desses ângulos? Como 
você chegou à sua conclusão?
A B
C D
5 Observe a representação de um campo de futebol. 
Responda:
a) Que tipo de ângulo está indicado em cada um dos cantos do campo de futebol?
b) No meio do campo, a linha está dividindo o círculo ao meio. Qual é o nome de cada um 
dos dois ângulos que formam o círculo central?
c) Que tipo de ângulo a linha que divide o campo ao meio forma com as linhas laterais? 
125°
Respostas pessoais.
50°
140°
90°; Resposta pessoal.
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Ângulo reto.
Ângulo raso.
Ângulo reto.
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Registre no 
caderno
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Posição relativa entre retas
No quadriculado abaixo foram representadas quatro retas: r, s, u e v.
A
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Como elas estão representadas no mesmo plano formado pelo quadriculado, dizemos 
que são retas coplanares. Observe nessa malha quadriculada que:
•	o ponto A é o encontro da reta r com a reta u (as retas r e u são ditas concorrentes);
•	o ponto B é o encontro da reta s com a reta u (as retas s e u são ditas concorrentes);
•	o ponto C é o encontro da reta r com a reta v (as retas r e v são ditas concorrentes);
•	o ponto D é o encontro da reta s com a reta v (as retas s e v são ditas concorrentes);
•	se prolongarmos as retas u e v, elas se encontrarão em algum ponto (são concorrentes).
Duas retas coplanares que têm um único ponto de interseção (ponto de 
encontro) são denominadas retas concorrentes.
Voltando à malha quadriculada, observe que, por mais que prolonguemos as retas r e s, 
elas jamais se encontrarão (são ditas retas paralelas).
Duas retas coplanares que não se interceptam (não têm ponto de encon-
tro) são denominadas retas paralelas.
A seguir reproduzimos as retas que estão representadas acima, mas sem a malha quadri-
culada. Note que nos pontos A, B, C e D as retas são, duas a duas, concorrentes. Quando duas 
retas são concorrentes, elas formam quatro ângulos.
A
B
C
D
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•	As retas r e v, que se interceptam no ponto C, formam quatro ângulos. Como nenhum 
desses ângulos é ângulo reto, dizemos que essas retas são oblíquas.
•	As retas s e v, que se interceptam no ponto D, formam quatro ângulos. Como nenhum 
desses ângulos é ângulo reto, dizemos que essas retas são oblíquas.
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•	As retas r e u, que se interceptam no ponto A, formam quatro ângulos, todos retos. Di-
zemos que essas retas são perpendiculares.
•	As retas s eu, que se interceptam no ponto B, formam quatro ângulos, todos retos. Di-
zemos que essas retas são perpendiculares.
Duas retas coplanares e concorrentes que formam, no ponto de encontro, 
quatro ângulos retos são denominadas retas perpendiculares.
Exemplo:
Prolongando os três lados de um triângulo retângulo, obtemos as retas r, s e t. Indique as 
posições entre essas retas, duas a duas.
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r
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Resolução:
Como, duas a duas, essas retas coplanares têm um ponto em comum, dizemos que:
•	r e s são retas concorrentes;
•	r e t são retas concorrentes;
•	s e t são retas concorrentes.
Como as retas s e t se encontram formando quatro ângulos retos, dizemos que são per-
pendiculares. As retas r e t e as retas r e s são oblíquas, pois se encontram formando quatro 
ângulos que não são retos.
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Assim como existem retas que são coplanares, isto é, que estão num 
mesmo plano, também existem retas que não são coplanares. Tais retas 
são ditas reversas. Como exemplo dessas retas, considere o prolonga-
mento de duas arestas de um cubo, como indicam as retas r e s represen-
tadas ao lado:
Duas retas são ditas reversas quando não têm intersecção uma com a 
outra e não são paralelas. Isso significa que elas estão em planos diferen-
tes, ou seja, não são coplanares.
ConExõEs
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1 Prolongando os quatro lados de um retângulo, obtêm-se as retas r, s, t e u. Indique quais 
retas são paralelas e quais são perpendiculares.
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2 Na figura a seguir, com o prolongamento das retas r, s, t e u, obteve-se um retângulo, e 
as retas a e b contêm as diagonais desse retângulo. 
Escreva:
a) todos os pares de retas que são paralelas;
b) todos os pares de retas que são perpendiculares;
c) todos os pares de retas que são oblíquas.
3 Numa folha de papel quadriculado desenhe, como na figura a seguir, as retas r e s.
Depois, nesse mesmo quadriculado, trace:
a) uma reta que seja paralela à reta r e também à 
reta s;
b) uma reta que seja perpendicular à reta r e 
também à reta s;
c) uma reta que seja oblíqua à reta r e também à 
reta s.
4 Desenhe uma reta r. Com o auxílio de um transferidor, represente:
a) a reta s, perpendicular à reta r;
b) a reta t formando um ângulo de 45° com a reta r.
5 Observe a ilustração a seguir. Quantos ângulos retos podem ser localizados nesta repre-
sentação da tabela de basquete? 
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Registre no 
caderno
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3. Exemplo de respostas
a)
b)
c)
4.
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8 ângulos
r e a; r e b; s e a; s e b; t e a; t e b; u e a; u e b
r e t; r e u; s e t; s e u
r e s; t e u
Paralelas: r e s; t e u. Perpendiculares: r e t; r e u; s e t; s e u.
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6 Observe atentamente os objetos de sua casa e selecione dois deles nos quais 
é possível identificar ângulos retos. 
7 Para responder às questões a seguir, você deverá observar o ponteiro das horas (pequeno) 
e o ponteiro dos minutos (grande) de um relógio.
a) Quando o ponteiro grande anda 60 minutos, qual é o ângulo que 
ele gira?
b) Quanto tempo o ponteiro grande precisa para dar um giro 
completo?
c) A partir das 12 h, após quantas horas o ponteiro pequeno descreverá 
um ângulo reto? 
d) A partir das 12 h, após quantos minutos o ponteiro grande descreverá 
um ângulo reto? 
e) A partir das 12 h, de quantos minutos o ponteiro grande precisa 
percorrer para formar um ângulo raso?
8 Indique as medidas em graus do menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio às:
a) 1 hora 
b) 2 horas 
c) 3 horas 
d) 4 horas
e) 5 horas 
f) 6 horas
9 Os pontos cardeais são: norte, sul, leste e oeste. Qual é a menor medida do ângulo for-
mado pelas direções: 
a) norte e sul?
b) norte e leste?
c) sul e oeste?
10 Com o auxílio de um transferidor, indique as medidas dos quatro ângulos formados pelas 
retas r e s representadas a seguir:
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B
C
11 Na figura a seguir, está representado um quadrado e seis retas, das quais quatro são os 
prolongamentos dos lados e duas são os prolongamentos de suas diagonais.
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b c
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a) Escreva todos os pares de retas que são perpendiculares.
b) Escreva todos os pares de retas que são paralelas.
Resposta pessoal.
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60 minutos ou 1 hora
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15 minutos
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ˆ ˆ ˆ ˆA C 30 ; B D 150� � � �° °
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a e b; a e c; b e d; c e d; e e f
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30° 120°
60° 150°
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180°
90°
90°
180°
Registre no 
caderno
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Capítulo 15
Polígonos
Nos pisos e azulejos utilizados nas construções é comum encontrar formas geométricas. 
Às vezes, apenas uma forma é empregada, em outras, diversas formas gométricas são usadas 
para formar as composições. 
Se você já observou mosaicos, certamente notou que inúmeras composições podem ser 
criadas a partir de formas geométricas planas. Exemplo disso é o mosaico a seguir, elaborado 
a partir de três formas.
Note que essas três formas geométricas planas estão dispostas formando outra figura 
geo métrica, com 12 lados. Essa figura geométrica é um dodecágono.
Neste capítulo, estudaremos os polígonos, entre eles: o triângulo, o quadrado, o pentágo-
no, o hexágono etc.
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Linha poligonal
Linha poligonal aberta: Linha poligonal fechada: 
Uma linha poligonal é formada por sucessivos segmentos de reta (lados), em que pares de 
segmentos de reta consecutivos não colineares têm um extremo comum (vértice), e não há 
mais do que dois lados a partilhar um extremo.
Polígonos
Observe as figuras e responda: o que elas têm em comum? 
Todas essas figuras representam polígonos, pois:
Polígono é uma figura geómetrica plana formada por uma linha poligonal fechada.
O perímetro de um polígono é a medida do contorno desse polígono, ou seja, a soma das 
medidas de seus lados.
Tomando como exemplo o polígono ABCDE representado a seguir, temos os seguintes 
elementos:
•	vértices: são os pontos A, B, C, D e E;
•	lados: são os segmentos AB , BC , CD , DE e EA;
•	ângulos: ABC , BCD , CDE , DEA e EAB .
Em qualquer polígono, o número de lados é igual 
ao número de vértices.
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Professor, consideramos aqui apenas os ângulos internos.
Resposta pessoal.
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Alguns polígonos recebem denominações especiais, de acordo com o número de vértices 
(ou de lados) que apresentam. Para exemplificar:
3 lados:
triângulo 4 lados:
quadrilátero
6 lados:
hexágono
5 lados:
pentágono
Na tabela a seguir, indicamos as denominações de outros polígonos, bem como o número 
de lados e o número de vértices.
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polígono nome do polígono número de vértices número de lados
heptágono 7 7
eneágono 9 9
decágono 10 10
icoságono 20 20
Professor, embora o nosso estudo aqui seja concentrado em polígonos convexos, não 
faremos tal denominação. No volume do 9o ano faremos a distinção entre convexos e 
não convexos.
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aGoRa É CoM VoCÊ
1 Em uma tarefa, o professor Carlos pediu a seus alunos que recortassem figuras poligo-
nais planas e as trouxessem para sala de aula.
 Vejam as figuras que quatro alunos trouxeram:
MarcosMárcia Thiago Patrícia
 Qual dos quatro alunos acertou o exercício proposto, ou seja, trouxe em seus recortes so-
mente figuras poligonais? Qual foi o equívoco encontrado nos recortes dos outros alunos?
2 A figura ao lado representa um octógono em que o ponto A é 
um de seus vértices. Qual é o número total de lados, de vér-
tices e de ângulos desse polígono?
3 Desenhe os seguintes polígonos:
a) pentágono
b) hexágono
c) octógono
d) decágono
e) dodecágono
4 Indique os nomes dos polígonos A e B representadosa seguir: 
A
 
B
5 Todos os ângulos do hexágono a seguir têm medidas iguais, e seus lados têm a mesma 
medida.
�
�
a) Utilizando um transferidor, determine a medida do ângulo indicado pela letra . 
b) Determine também a medida do ângulo indicado pela letra .
c) Qual é a soma das medidas desses dois ângulos? 
6 Na figura ao lado, está representado um triângulo em que todos os seus lados são iguais. 
Utilizando régua e transferidor, determine:
a) a medida de cada um dos três lados;
b) o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados do 
triângulo);
c) a medida de cada um dos ângulos;
d) a soma das medidas dos ângulos desse triângulo.
Marcos acertou, e os demais trouxeram figuras não poligonais, que não se encaixam na definição de polígonos que fora trabalhada.
8 lados, 8 vértices e 8 ângulos
Respostas pessoais, desde que sejam polígonos com: 5, 6, 8, 
10 e 12 lados, respectivamente.
A – decágono; B – octógono
120°
60°
180°
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
3,5 cm
10,5 cm
60°
180°
A
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
Registre no 
caderno
Professor, o ângulo  indicado na figura é um 
ângulo externo do polígono (formado por um 
lado e pelo prolongamento do lado consecutivo).
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Polígonos regulares
Geralmente os polígonos que aparecem nos mosaicos têm algumas características espe-
ciais. Observe, por exemplo, as figuras a seguir:
Nelas estão representados os seguintes polígonos: triângulo, hexágono, quadrado e pen-
tágono. Em cada um desses polígonos, os lados e os ângulos têm a mesma medida. Nesses 
casos, temos polígonos regulares.
Polígono regular é aquele em que os lados e os ângulos 
têm a mesma medida.
Exemplo 1:
Esses polígonos são regulares.
Exemplo 2:
O retângulo não é regular. Apesar de seus ângulos medirem todos 90°, os lados não têm 
a mesma medida.
Já o losango tem todos os lados de mesma medida, porém os ângulos não.
Se você desenhar um pentágono regular e, a seguir, traçar as diagonais 
(segmentos que ligam um vértice a outro, mas que não seja o lado), conse-
guirá obter um novo pentágono regular. Os vértices desse pentágono são os 
encontros das diagonais no centro da figura.
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
ConExõEs
151
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1 Sabendo-se que cada lado de um octógono regular mede 3 cm de comprimento, deter-
mine seu perímetro.
2 No octógono regular a seguir estão indicadas as medidas de dois ângulos: um ângulo 
interno de medida 135° e um ângulo externo de medida 45°. Determine:
a) a soma das medidas dos ângulos 
internos desse polígono;
b) a soma das medidas dos ângulos 
externos desse polígono.
3 No triângulo equilátero ao lado, estão indicados os ângulos in-
ternos e os externos. Obtenha, com o auxílio de um transferidor:
a) a medida de cada ângulo interno;
b) a medida de cada ângulo externo;
c) a soma das medidas dos ângulos internos;
d) a soma das medidas dos ângulos externos.
4 Utilizando um transferidor e uma régua, obtenha:
a) a medida do lado do decágono regular;
b) o perímetro desse polígono;
c) a medida de cada um dos ângulos internos;
d) a medida de cada um dos ângulos externos.
5 Sabe-se que a medida de cada um dos ângulos externos de um dodecá-
gono regular é 30° e a medida de cada um dos ângulos internos é 150°. 
Determine:
a) a soma das medidas dos ângulos externos;
b) a soma das medidas dos ângulos internos.
24 cm
135°
45°
1 080°
360°
60°
120°
180°
360°
2 cm
20 cm
144°
36°
Ilu
st
ra
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es
: D
AE
360°
1 800°
aGoRa É CoM VoCÊ
Registre no 
caderno
Professor, leve o aluno a observar que o número de ângulos internos é igual ao número de ângulos externos tanto 
em polígono regular como em polígono não regular.
152
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com a palavra, o EspECIalIsta
“Em entrevista exclusiva à Revista E, o artista plástico Luiz Sacilotto fala da apropriação da arte pela 
televisão e prevê que a estética concreta está longe de conhecer seu fim.
O artista plástico Luiz Sacilotto, considerado 
um dos principais expoentes da arte concreta 
brasileira, fala nesta entrevista exclusiva sobre a 
motivação de suas criações, contando a gênese 
de sua arte, além de avaliar seus companheiros 
de viagem pictórica. Sacilotto comenta o racha 
que originou o movimento neoconcreto, as his-
tórias envolvendo disputas de poder no mun-
do artístico e de como a arte concreta acabou 
influenciando outros meios. Fala ainda dos painéis que realizou no recém-inaugurado Sesc Santo 
André, cidade onde nasceu e mora até hoje.
Qual foi a base de inspiração para os seus trabalhos criados para o Sesc Santo André?
Eles fazem parte de uma obra que já venho desenvolvendo. Quando me pediram um projeto, 
pensei em algo que agradasse o público, que tivesse o elemento-surpresa, que parecesse uma coisa e 
fosse outra, que se revezasse. Os painéis, principalmente aquele que dá para o grande salão, são de um 
jeito à primeira vista, mas depois se revertem. Há uma ambiguidade que constitui a essência da obra, 
algo que cada pessoa percebe de um jeito. Algumas olham e não percebem nada, outras percebem 
mais ou menos... Isso me interessa muito e parece-me que esse resultado foi obtido.
Como é criar uma obra “pública”, no sentido de ela estar num lugar onde será vista, obser-
vada e admirada por muitos? 
É diferente de um quadro que vai para um museu ou para um colecionador particular? 
Como é a concepção de linguagem que deve ser aplicada, na sua opinião?
Não importa se faço uma obra pública ou para um museu. Quando exponho numa galeria, os colecio-
nadores também vão e veem. No caso do trabalho para o Sesc, a diferença é que se trata de uma obra que 
não será vendida. Mas a finalidade é a mesma: faço para agradar. Já tive umas dez experiências em escolas, 
nas quais eu levava material e começava a pintar. Na primeira vez, foi uma algazarra terrível; na segunda, o 
barulho já tinha diminuído; na terceira, ouvi os suspiros de admiração das crianças; no final, elas queriam 
mais. Essa experiência foi a mais gratificante. Ou seja, devemos perceber que a nossa arte não deve ser feita 
apenas para o crítico, mas sim para todos, para quem entende e para quem não entende. Quando a TV 
Cultura esteve aqui, a entrevistadora perguntou para um senhor o que ele achava de uma escultura minha, 
localizada em uma das ruas de Santo André. O senhor olhou para ela admirado e respondeu “Ah, é uma 
escultura?! Acho fantástica!”. Ele nem sabia que aquilo era uma escultura e muito menos de quem era.
Qual foi o estalo que o fez deixar de ser figurativo e passar para as figuras geométricas? 
Qual foi a inspiração?
Eu não acredito em inspiração. Era figurativo por causa da minha formação acadêmica, mas depois, 
na década de 1940 – quando não havia possibilidade de livre formação –, comecei a sentir que alguma 
coisa não estava certa. Por que copiar a natureza? Por mais que eu me esforçasse nunca seria igual. Então, 
um dia, desenhando enquanto estava ao telefone, fiz abstrações de forma inconsciente e isso me des-
pertou uma grande vontade de fazer aquelas abstrações de forma consciente. Daí, aprimorei a técnica 
dentro da linguagem que eu queria. Minha profissão também me ajudou. Fui desenhista de arquitetura, 
Quem
Luiz Sacilotto.
Especialidade
Artes plásticas.
Área de pesquisa
Arte concreta brasileira.
C
ol
eç
ão
 S
ac
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o
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depois desenhista de esquadrias metálicas. Na empresa, tinha acesso a retalhos de chapa de alumínio 
e comecei a pensar em fazer um trabalho com esse material. Cortava e juntava quadradinhos, fazendo 
grupos e subgrupos que formavam desenhos surpreendentes. Passei a fazer quadros concretos dentro 
desse mesmo princípio. Com o tempo, passei a produzir quadrados em relevos bidimensionais e fui cres-
cendo, crescendo. Cada quadro me inspirava outro. Os quadradinhos e os triângulos foram crescendo 
como quadros; um deles, inclusive, pertence ao MAC (Museu de Arte Contemporânea).É um trabalho 
que apresenta vinte ou trinta retângulos em alumínio pintado de branco, postos com uma espécie de 
distanciador pintado de preto. Pensei nos círculos. Se há um círculo preto sobre uma superfície branca 
não há movimentação. Então, o que eu fiz? Fiz um pequeno corte no círculo, um ângulo de 15°, depois 
sobrepus outro círculo movimentando mais 15° e assim sucessivamente. Dessa forma, criei um movi-
mento fabuloso no quadro, que chamei de Revolução. Para quem olha, parece que o quadro está se 
movendo, mas se trata de um rigor preciso do primeiro ao último elemento.
Esses quadros têm essa vibração até hoje. Além das formas, você também incorporou esse 
elemento. Isso foi procurado?
Os resultados são imprevisíveis. Eles sempre me surpreendem. É o inconsciente que faz isso, são 
efeitos incontroláveis. É curioso como a sua arte funciona como uma pauta de música, basicamente 
geométrica e com vibração. A sua pintura ganha, assim, um caráter musical. Pode ser. Não entendo 
muito de música, embora seja fanático por música de todas as épocas. Pode ser que o inconsciente 
pegue os timbres e as passagens da música. Quando ouço Beethoven, por exemplo, fico em estado de 
transe. Pode ser que haja esse reflexo involuntário.
Em que contexto se deram os seus 
primeiros trabalhos geométricos? Foi 
uma pesquisa solitária ou você já estava 
mantendo contato com artistas como 
Waldemar Cordeiro, por exemplo?
Nós tínhamos muito contato. Estáva-
mos perfeitamente de acordo, mas nin-
guém sofreu influência do outro. Cada qual 
era livre. O Cordeiro e o Geraldo de Barros 
têm linguagens diferentes. Próximas por-
que são igualmente concretas, mas livres.
Quando você começou a chamar o 
seu trabalho de pintura concreta?
Em 1948; tenho um quadro adquirido 
pelo MAM (Museu de Arte Moderna) que 
é quase concreto. Não é concreto ainda 
porque as linhas e o motivo do quadro 
não concluem isso. Eu só começo a ter 
consciência de que um quadro é concre-
to a partir de 1950, quando a linguagem concreta rompe com a arte figurativa e passa a ser progra-
mada. Até então, os meus trabalhos não eram programados. Eu punha e tirava elementos. Se você fizer 
isso num quadro concreto, você o destrói. [...]
Disponível em: <www.sescsp.org.br/online/artigo/1148_ENTREVISTALUIZ+SACILOTTO#/tagcloud=lista>. 
Acesso em: abr. 2015 .
Luiz Sacilotto. Concreção 7961, 1979. Óleo sobre tela 
fixada na madeira, 100 × 100 cm.
C
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Quadriláteros
Quando um polígono apresenta apenas quatro lados, ele é chamado de quadrilátero. Os 
quadriláteros estão presentes nas construções, nas janelas, no formato de uma folha de papel, 
no formato de um campo de futebol etc. Em muitos mosaicos a presença de quadriláteros 
também é comum. Veja um exemplo:
Mosaico com desenho geométrico em El Jem, Tunísia.
No quadrilátero ABCD representado a seguir temos:
A
B
C
D
D
AE
•	lados: AB , BC , CD e DA
•	vértices: A, B, C e D
•	ângulos internos: DAB , ABC , BCD e CDA
Alguns quadriláteros são mais utilizados em Geometria do que outros. É o caso do qua-
drado, do retângulo, do trapézio, do paralelogramo e do losango. Por isso, é importante obser-
var as características de cada um desses quadriláteros para identificá-los melhor.
Fr
an
co
 V
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pa
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/S
hu
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er
st
oc
k
155
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Trapézio
A
D
C
B
 
É um quadrilátero que tem apenas um par de 
lados paralelos.
No trapézio acima, temos AD paralelo a BC .
Paralelogramo
A
B C
D
 
É um quadrilátero que tem dois pares de lados 
paralelos.
No paralelogramo acima, temos AD paralelo a BC e AB paralelo a CD . 
Retângulo
A
B C
D 
É um paralelogramo que tem 
quatro ângulos retos.
Observe que todo retângulo é um paralelogramo com os quatro ângulos retos.
Losango
A
B
C
D
É um paralelogramo que tem todos os lados com a 
mesma medida.
Quadrado
A
B C
D 
É um paralelogramo que tem quatro ângulos retos e 
quatro lados com a mesma medida.
Observe que todo quadrado é um paralelogramo com todos os ângulos retos. Além disso, 
é um retângulo cujos lados têm a mesma medida. Observe, também, que todo quadrado é 
um losango.
Ilu
st
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es
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et
up
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aGoRa É CoM VoCÊ
1 Nos paralelogramos a seguir, foram traçadas as diagonais. 
A
B C
Com o auxílio de uma régua, responda:
a) Em quais paralelogramos as diagonais têm o mesmo comprimento?
b) Em quais paralelogramos as diagonais formam quatro ângulos retos?
2 Considere os retângulos e os quadrados desenhados na malha quadriculada. Nessa malha, 
cada quadradinho tem 1 cm de lado.
A
B D
C
a) Determine o perímetro de cada quadrilátero desenhado.
b) Calcule quantos quadradinhos de 1 cm de lado cada quadrilátero cobre totalmente.
3 Observe o polígono a seguir e verifique se ele é regular.
B e C
B
Ilu
st
ra
çõ
es
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et
up
A - 22 cm; B - 24 cm; C - 20 cm; D - 12 cm
A - 28; B - 27; C - 25; D - 9
Não, os ângulos internos têm a 
mesma medida, mas os lados não.
Registre no 
caderno
157157
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4 Desenhe os seguintes quadriláteros:
a) um quadrado de 20 cm de perímetro;
b) um retângulo de lados medindo 5 cm e 8 cm.
5 Uma quadra de basquetebol tem a forma de um retângulo, conforme medidas indicadas. 
Qual é a medida de seu perímetro?
28 m
16 m
6 Ainda sobre a quadra de basquete representada no exercício anterior, considere apenas 
uma das metades do campo e responda:
a) É um retângulo?
b) Qual é a medida do perímetro desse retângulo?
7 Pesquise como se faz um Tangram e, depois de construir o seu, represente:
a) um paralelogramo utilizando duas peças; 
b) um retângulo utilizando três peças;
c) um trapézio utilizando todas as peças.
Respostas pessoais, desde que os lados do quadrado 
meçam 5 cm e os do retângulo as medidas indicadas.
88 m
W
al
do
m
ir
o 
N
et
o
Sim.
60 m
a)
b)
c)
Euclides e seus elementos
Sabe-se muito pouco a respeito de Euclides de Alexandria. Muitos dizem que ele teria sido um 
sábio que viveu por volta do ano 300 a.C. A ele é atribuída uma importante obra que ficou conhecida 
por Os Elementos. Até o final do século XIX e início do século XX, versões de sua obra ainda eram utili-
zadas como referência ou até mesmo como texto didático. Como consequência, Euclides e seus “Ele-
mentos” foram sempre considerados como sinônimos de Geometria e, por isso, nos referimos muitas 
vezes a ela como Geo metria Euclidiana durante o Ensino Fundamental e o Ensino Médio.
Essa obra contém uma parte considerável da Geometria grega da época de Euclides e também 
da época anterior a ele. Deve-se a Euclides a organização didática e a compilação de uma obra com 
boa parte da Matemática elaborada pelos matemáticos gregos de épocas anteriores a ele e, é claro, a 
Matemática usada por ele próprio.
ConExõEs
Registre no 
caderno
158
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Números figurados
Conta-se que na Grécia Antiga havia uma comunidade formada pelos pitagóricos, que tinha como 
base filosófica a suposição de que a causa última das várias características do ser humano e da matéria 
seriam os números inteiros. Isso os levava a uma exaltação e ao estudo de muitas propriedades dos 
números e de suas operações. Essas pesquisas os levaram a estudar também o que hoje chamamos 
de números figurados, pois estes, quando representados por pedrinhas (aqui utilizaremos ponti-
nhos), podem ser dispostos de maneira a corresponderem a figuras geométricas. 
Vejamos alguns exemplos de números figurados.
Números triangulares
Observe a sequência formada não apenas 
pelos números mas pela disposição dos pontos. 
Esses números assim representados são chama-
dos de números triangulares. Embora tenham 
sido representadas aqui apenas 4 figuras, pode-
mos escrever tantas figuras quanto desejarmos. 
Números quadrados
Também podem ser chamados de quadrados per-
feitos, pois representamos quadrados de números na-
turais, começando pelo número 1. 
Números pentagonais
Nesse caso, em cada figura, a partir da segunda, a 
disposição dos pontos é em forma de pentágonos. 
Números hexagonais
Nessa sequência de figura, a disposição dos pontos 
é hexagonal. Deixamos para você pensar a respeito de 
quais são os números hexagonais. 
Agora, observe as sequências de figuras dadas nos exemplos.
a) Quais são os próximos três números triangulares?
 1 – 3 – 6 – 10 – … 
b) Quais são os próximos quatro números quadrados?
 1 – 4 – 9 – 16 – … 
c) Quais são os próximos cinco números pentagonais?
 1 – 5 – 12 – 22 – ...
d) Que tal escrever a sequência formada pelos oito primeiros números hexagonais?
1 3 6 10 15
1 4 9 16
1 5 12 22
...
1 6 15 28
Ilu
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15 – 21 – 28
25 – 36 – 49 – 64
35 – 51 – 70 – 92 – 117
1 – 6 – 15 – 28 – 45 – 66 – 91 – 120
Registre no 
caderno
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supERando dEsafIos
Explorando
1 (Saresp)
O movimento completo do limpador do para-brisa de um carro corresponde a um ângulo raso. Na 
situação descrita pela figura, admita que o limpador está girando em sentido horário e calcule a 
medida do ângulo que falta para que ele complete o movimento completo.
a) 50°
b) 120°
c) 140°
d) 160°
2 (Prova Brasil)
Ao escolher lajotas para o piso de sua varanda, Dona Lúcia falou ao vendedor que precisava de 
lajotas que tivessem os quatro lados com a mesma medida.
retângulo quadrado trapéziolosango
Que lajotas o vendedor deve mostrar a Dona Lúcia?
a) Losango ou quadrado.
b) Quadrado ou retângulo.
c) Quadrado ou trapézio.
d) Losango ou trapézio.
D
AE
40°
Alternativa c.
a profecia - Coleção o Contador de Histórias e outras Histórias da Matemática
Autor: Egídio Trambaiolli Neto
Editora: FTD
72 páginas
Este livro cheio de enigmas faz parte da coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática e vem acompanhado de um suplemento de trabalho 
(Outros desafios) com atividades para auxiliar a fixar o que foi aprendido durante a leitura do livro.
polígonos, centopeias e outros bichos
Autor: Nílson José Machado
Ilustrador: Joubert J. Lancha
Editora: Scipione
36 páginas
A aula do professor Mateus apresenta conceitos de Geometria e Etimologia (significado das palavras) de forma simples e objetiva. São apresentadas noções de 
polígono, triângulo e grau. Compõem a obra personagens interessantes, como um sapo matemático e uma centopeia paralítica.
Ed
ito
ra
 F
TD
Ed
ito
ra
 S
ci
pi
on
e
Alternativa a.
Registre no 
caderno
160
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RESGATANDO CONTEÚDOS
1 A figura a seguir representa um ângulo. 
Sobre esse ângulo é correto afirmar que:
A
B
O
a) é um ângulo reto.
b) é um ângulo raso.
c) é um ângulo de meia -volta.
d) é um ângulo agudo.
2 O ângulo representado na figura a seguir é:
A
BO
a) obtuso. 
b) reto.
c) agudo.
d) raso.
3 Às 3 horas em ponto, os ponteiros dos 
minutos e das horas em um relógio 
formam: Alternativa b.
AG
or
oh
ov
/S
hu
tt
er
st
oc
k
a) um ângulo raso. 
b) um ângulo reto.
c) um ângulo obtuso.
d) um ângulo agudo.
4 A medida de um ângulo correspondente 
a um giro completo é:
a) 90°
b) 180°
c) 270°
d) 360° 
5 A medida de um ângulo correspondente a 
meia-volta (metade de um giro completo) é:
a) 90°
b) 180°
c) 270°
d) 360° 
6 Qual é a medida do ângulo formado pelas 
direções norte–sul? 
a) 90°
b) 180°
c) 270°
d) 360° 
7 Duas retas coplanares que têm um ponto 
em comum são ditas: 
a) paralelas. 
b) concorrentes.
c) perpendiculares.
d) reversas.
Alternativa b.
Alternativa b.
Ilu
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up
Alternativa a.
Alternativa d.
Alternativa b.
Alternativa d.
Registre no 
caderno
161161
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8 Duas retas coplanares que não se inter-
ceptam são ditas:
a) paralelas. 
b) concorrentes.
c) perpendiculares.
d) reversas.
9 O nome do polígono representado a seguir é:
a) pentágono. 
b) hexágono.
c) heptágono.
d) octógono.
10 Um polígono que tem ao todo 10 lados e 
10 vértices é denominado: 
a) pentágono.
b) dodecágono.
c) decágono.
d) octógono.
11 Icoságono é um polígono que é formado por:
a) 10 lados. 
b) 20 lados.
c) 12 lados.
d) 15 lados.
12 O hexágono regular representado a seguir 
tem 3 cm como medida do lado.
 Então, o perímetro dele é:
a) 18 cm 
b) 21 cm
c) 24 cm
d) 30 cm
13 A medida do ângulo externo de um vértice 
de um quadrado é:
a) 180°
b) 30°
c) 45°
d) 90°
14 O quadrilátero representado a seguir é um:
a) retângulo. 
b) quadrado.
c) losango.
d) paralelogramo.
15 Um quadrilátero que tem os quatro ângu-
los retos e os quatro lados com a mesma 
medida é um:
a) retângulo.
b) trapézio.
c) quadrado.
d) paralelogramo.
16 Considere a figura a seguir, em que os 
segmentos têm o mesmo comprimento.
Ilu
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es
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up
Alternativa a.
Alternativa a.
Alternativa d.
Alternativa a.
Alternativa d.
Alternativa c.
Alternativa b.
Alternativa c.
Registre no 
caderno
162162
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RESGATANDO CONTEÚDOS Os dois quadriláteros podem ser:
a) quadrado e losango.
b) quadrado e retângulo.
c) losango e hexágono.
d) trapézio e pentágono.
17 Observe os polígonos desenhados na malha quadriculada. 
a) Em qual dos polígonos a medida do contorno é maior: no octógono ou no dodecágono? 
b) Qual deles contém mais quadradinhos na região interna: o octógono ou o dodecágono?
18 Considere que a malha quadriculada da atividade anterior tenha cada quadradinho com 1 cm de 
medida de lado. Sendo assim, é correto afirmar que a área do octógono é:
a) 25 cm2
b) 26 cm2
c) 27 cm2
d) 28 cm2
19 Qual será a área do dodecágono representado na atividade 18, sendo que a malha quadriculada 
é formada por quadradinhos de 1 cm de lado?
a) 32 cm2
b) 30 cm2
c) 29 cm2
d) 28 cm2 
Ilu
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es
: S
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up
No dodecágono.
O dodecágono.
Alternativa c.
Alternativa a.
Alternativa a.
163163
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UNIDADE 5
Frações
Ao falarmos das medidas da receita de um bolo, dos pe-
daços de uma pizza ou mesmo do diâmetro de um cano 
utilizado em construção, empregamos muitas vezes as 
frações de um número inteiro.
A
nd
re
y 
Sm
ir
no
s/
Sh
it
te
rs
to
ck
pom6_164_205_u5.indd 164 5/17/15 3:51 PM
1 Qual fração irredutível pode ser representada pelo 
número misto 2 2
5
?
2 Quantas fatias há em 14 de uma pizza que foi 
dividida em 16 fatias?
3 Quantos minutos há em 1
3
 de hora? 
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CApítUlo 16
A ideia de fração
Leia atentamente esta receita:
Noções iniciais
Quando dividimos um círculo em 4 partes iguais (cada parte é um setor do 
círculo), cada uma delas representa um quarto do círculo. Dessa forma, para 
cobrir o círculo inteiro, precisaremos de 4 setores coloridos.
Considerando-se que o círculo representa uma unidade e ele foi dividido 
em 4 partes iguais, cada parte é chamada de um quarto da unidade. Assim, 2 
partes do círculo representam dois quartos da unidade, 3 partes representam 
três quartos da unidade.
um quarto ou 1
4 dois quartos ou 
2
4 três quartos ou 
3
4
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
Uma fração é um número que representa par-
tes de um todo ou inteiro. Na fração, o número 
colocado abaixo do traço é o denominador e 
indica a quantidade de partes iguais em que o 
todo ou o inteiro foi dividido. Já o número aci-
ma do traço da fração é o numerador e indica a 
quantidade de partes do todo ou do inteiro que 
estão sendo consideradas.
Respostas da página 
anterior:
1. 12
5
2. 4 fatias
3. 20 minutos
Sa
ra
hg
en
/D
re
am
st
im
e.
co
m
Massa de bolo:
• 1 pitada de sal;
• 2 xícaras de açúcar;
• 1 xícara de chocolate;
• 3 xícaras de farinha de trigo;
• 3 ovos inteiros;
• 1 xícara de óleo;
• 1 ½ xícara de água fervente;
• 1 colher de fermento em pó.
Cobertura:
• 2 colheres de manteiga;
• 1 copo de leite pequeno;
• ½ xícara de açúcar;
• 3 colheres de chocolate.
Ingredientes
Bolo de chocolate
Para fazer a coberturado bolo, recomenda-se, na receita, que seja usada: 
 1
2
 xícara de açúcar
 Lemos: meia xícara de açúcar. 
Existem diversas situações em que utilizamos as frações. Assim, precisamos compreender 
como trabalhar com elas, não somente lendo como também realizando operações.
166
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A seguir, apresentamos alguns exemplos de frações e a forma como devemos ler cada 
uma delas. 
2
5
dois quintos
5
8
cinco oitavos
4
6
quatro sextos
7
9
sete nonos
2
3
dois terços
3
7
três sétimos
Quando as frações têm o denominador 10, 100 ou 1 000 (frações ditas decimais ou po-
tências de 10), a leitura é feita acrescentando as palavras décimos, centésimos e milésimos, 
respectivamente. 
Exemplos:
57
10
7
101
 Lemos: sete décimos.
523
10
23
1002
 Lemos: vinte e três centésimos.
591
10
91
1 0003 Lemos: noventa e um milésimos.
Para as frações em que o denominador é maior que 10 e diferente das potências de 
10, primeiro lemos o numerador e, em seguida, o denominador, acompanhado da palavra 
avos. 
Exemplos:
5
12
 Lemos: cinco doze avos.
8
35
 Lemos: oito trinta e cinco avos.
21
72
 Lemos: vinte e um setenta e dois avos.
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
167
pom6_164_205_u5.indd 167 5/17/15 3:51 PM
Que valor representa cada uma destas moedas?
©
 B
an
co
 C
en
tr
al
 d
o 
B
ra
si
l
Será que é possível associar nosso sistema monetário às frações? A resposta é sim, pois 1 
centavo é a centésima parte de 1 real. Observe:
1 centavo = 1
100
 de real
5 centavos = 
5
100
 de real
10 centavos = 10
100
 de real
25 centavos = 25
100
 de real 
50 centavos = 50
100
 de real
Represente em forma fracionária o total do valor de 2 moedas de 25 centavos, 1 moeda 
de 10 centavos e 3 moedas de 5 centavos.
Quanto à leitura de algumas frações, há uma curiosidade: embora possamos utilizar a 
denominação avos, é comum empregarmos outra maneira de ler determinadas frações. Ob-
serve o quadro abaixo.
Fração leitura leitura comum
1
20 um vinte avos um vigésimo
1
30 um trinta avos um trigésimo
1
40 um quarenta avos um quadragésimo
1
50 um cinquenta avos um quinquagésimo
1
60 um sessenta avos um sexagésimo
1
70 um setenta avos um septuagésimo
1
80 um oitenta avos um octogésimo
1
90 um noventa avos um nonagésimo
tRABAlHo EM EQUIpE
1 Encontramos frações em várias situações do dia a dia. Em dupla, 
observe a imagem ao lado e pesquise para responder às questões.
a) A medida do diâmetro de tubulações é dada em qual unidade de medida?
b) O que é polegada? 
c) Quais são as possíveis medidas do diâmetro dos canos?
Polegada.
Resposta pessoal. Existem diversas medidas, por exemplo, 1
1
2
 polegada.
1. b) A polegada é uma unidade de medida usada princi-
palmente na Inglaterra e nos Estados Unidos. Uma 
polegada equivale a 2,54 centímetros.
St
oc
kT
hi
ng
s/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Registre no 
caderno
75
100
168
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AGoRA É CoM VoCÊ
1 Escreva por extenso como devem ser lidas as seguintes frações:
a) 2
9
b) 3
7
c) 9
10
d) 8
20
e) 10
21
f) 3
8
2 Escreva as frações a seguir.
a) dois sétimos
b) quatro nonos
c) três onze avos
d) sete dezoito avos
e) catorze centésimos
f) cinco vinte avos
3 Escreva as frações que indicam as partes coloridas de cada figura a seguir.
a) b) c) 
4 Agora escreva as frações que indicam as partes não coloridas de cada figura do exercício 
anterior.
5 Faça um desenho para representar as seguintes frações:
a) 3
8
b) 7
12
c) 4
10
d) 5
9
e) 5
8
f) 8
12
g) 3
10
h) 8
9
6 Responda às questões.
a) Em quantas partes iguais a superfície lateral do barril representa-
do foi colorida?
b) Cada cor corresponde a que fração dessa superfície?
7 Observe atentamente o painel feito com lajotas de mesmo tamanho.
Responda às questões.
a) Qual é o número total de lajotas utilizadas nesse painel?
b) Cada lajota corresponde a que fração do painel?
c) A parte mais escura desse painel representa qual fração do 
painel completo?
d) E a parte mais clara?
dois nonos
três sétimos
nove décimos
oito vinte avos
dez vinte e um avos
três oitavos
2
7
4
9
3
11
7
18
14
100
5
20
3
6
6
8
9
12
3
6
, 2
8
, 3
12
Respostas pessoais.
3 partes iguais
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
1
3
8
1
8
2
8
6
8
Registre no 
caderno
169169
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8 Observe ao lado a representação de um cubo e responda:
a) Ele é dividido em quantos cubos menores?
b) Qual é a fração que indica um desses cubos em relação ao total de 
cubos?
c) Quantos cubos menores correspondem a um terço do cubo maior?
9 A turma de Lúcia formou um painel com cubos coloridos, como indica a figura abaixo.
Responda às questões.
a) Qual é a quantidade total de cubos 
nessa figura?
b) Qual é a fração correspondente aos 
cubos vermelhos?
c) E aos cubos azuis?
d) E aos cubos amarelos?
10 Observe a figura composta por ladrilhos quadrados de mesmo tamanho:
a) Qual é a fração que representa a parte laranja da fi-
gura?
b) Qual é a fração que representa a parte azul da figura?
11 Observe os três retângulos e represente:
a) a fração que indica a parte colorida do primeiro retângulo;
b) a fração que indica a parte colorida do segundo retângulo;
c) a fração que indica a parte colorida do terceiro retângulo.
Agora, para cada item anterior, escreva como se lê a fração.
12 Indique a fração que corresponde à área pintada de cada uma das figuras a seguir, 
sabendo-se que as partes pintadas foram obtidas com a divisão em partes iguais de 
cada figura. Feito isso, compare suas respostas com as dos colegas. Todos chegaram ao 
mesmo resultado?
a) b) c) 
13 Resolva os seguintes problemas:
a) Uma folha de papel em forma de retângulo precisa ser dividida em 8 partes iguais. 
Explique como resolver esse problema apenas utilizando dobraduras.
b) Com mais uma dobra, seria possível dividir a folha em 16 partes iguais? Explique.
c) Se você precisasse dividir em 8 partes iguais uma folha em forma de círculo, quantas 
dobras seriam necessárias?
d) Como você dividiria um barbante para obter a metade de seu comprimento?
Ed
ua
rd
o 
B
el
m
ir
o
27 cubos
1
27
9 cubos menores
Ed
ua
rd
o 
B
el
m
ir
o
100 cubos
30
100
10
100
60
100
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
16
35
19
35
1
2 ; um meio
2
4 ; dois quartos
8
16 ; oito dezesseis avos
1
8
1
4
3
8
Dobrando sempre ao meio, 3 vezes.
Sim, pois os 8 novos retângulos serão divididos ao meio.
3 dobras
Resposta esperada: unindo as duas pontas e cortando a extremidade oposta.
Registre no 
caderno
170170
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Tipos de fração
Quando dividimos um número natural por outro também natural, este diferente de zero, 
podemos representar essa divisão por meio de fração. Assim, ao dividirmos 5 por 7, podemos 
representar essa operação na forma fracionária mostrada a seguir:
5
7
 Lemos: cinco sétimos.
No exemplo, o numerador é menor que o denominador. 
Outras divisões também podem ser representadas por meio de frações. É possível ainda o 
numerador ser múltiplo do denominador. Por esse motivo, separamos as frações em três tipos:
Frações próprias
São frações em que o numerador é menor que o denominador.
Exemplo:
 2
4
 fração que indica a parte colorida
Frações impróprias
São frações em que o numerador é maior que o denominador.
Exemplo:
 6
4
 fração que indica a parte colorida
Observe que cada unidade está dividida em 4 partes iguais. O total das partes coloridas é 6.
Importante!
 V As frações impróprias podem ser escritas na forma mista, 
isto é, utilizando números inteiros e frações. Observe como 
podemos escrever a fração do exemplo anterior:
6
4
4
4
2
4
1 2
4
1 2
4
5 1 5 1 5
 Lemos: um inteiro 
e dois quartos.
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
Professor, aqui o aluno pode pensar na fração 68 , mas o que 
deve ser explicado é que o inteiro, nesse caso, é o quadrado 
e este foi dividido em 4 partes iguais. Sendo assim, a parte 
colorida é iguala 44 (inteiro), mais 
2
4 , totalizando 
6
4 .
171
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Frações aparentes
São frações em que o numerador é múltiplo do denominador.
Exemplo:
 8
4
 fração que indica a parte colorida
Observe que cada unidade está dividida em 4 partes iguais. O total das partes colori-
das é 8. Nesse exemplo, dizemos que a fração corresponde a 2 unidades. Por isso, ela é 
denominada fração aparente. 
Importante!
 V Qualquer número natural pode ser escrito como fração 
aparente. Para exemplificar, temos:
 
fração aparente
número natural
5 1 5 1 5
8
4
4
4
4
4
1 1 2
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
tRABAlHo EM EQUIpE
Em dupla, faça as atividades a seguir.
1 Cada um dos três círculos de mesmo tamanho representados a seguir está dividido em 
cinco partes iguais. 
Escrevam, sabendo que a figura tem três inteiros que foram divididos em 5 partes cada.
a) o número misto que indica a parte colorida da figura;
b) a fração imprópria que indica a parte colorida da figura;
c) a fração própria que indica a parte não colorida da figura.
2 Escrevam o número natural 3 na forma de fração aparente, de tal modo que o denomi-
nador seja igual a 8.
2 4
5
14
5
1
5
24
8
Registre no 
caderno
172
pom6_164_205_u5.indd 172 5/17/15 3:51 PM
AGORA É COM VOCÊ
1 Escreva como se leem as seguintes frações impróprias:
a) 3
2
b) 7
4
c) 10
7
d) 6
5
2 Observe, ao lado, que os dois retângulos de mesmo tamanho fo-
ram divididos em 6 partes iguais. Então, responda:
a) Quantas partes ao todo foram coloridas?
b) Quantas partes ao todo não foram coloridas?
c) Qual é a fração que representa toda a parte colorida?
d) Qual é a fração que representa a parte não colorida?
3 Faça desenhos para representar as seguintes frações impróprias:
a) 4
3
b) 5
4
c) 6
5
d) 8
7
4 Faça desenhos para representar as seguintes frações aparentes:
a) 6
3
b) 5
5
c) 12
4
d) 4
2
5 Em relação às frações aparentes do exercício anterior, indique, em cada caso, o número 
natural que lhe corresponde.
6 Dois círculos de mesmo tamanho foram divididos em 4 partes iguais cada um. Algumas 
dessas partes foram coloridas, conforme representado abaixo.
a) Indique, por meio de uma fração, toda a parte colorida da figura.
b) Escreva na forma mista o que toda parte colorida representa.
7 A figura representa três retângulos de mesmo tamanho, cada um dividido em 4 partes 
iguais. 
a) Escreva o número misto que indica toda a parte colorida da figura.
b) Escreva a fração imprópria que indica toda a parte colorida da figura.
três meios sete quartos dez sétimos seis quintos
10 partes
2 partes
10
6
2
6
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
2, 1, 3, 2, respectivamente
5
4
1 1
4
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
2 2
4
10
4
Registre no 
caderno
173173
pom6_164_205_u5.indd 173 5/17/15 3:51 PM
Fração de quantidade
W
al
do
m
ir
o 
N
et
o
Observe que a turma foi dividida em 3 partes iguais (conforme indicam os denominado-
res). Assim, para sabermos quantas são as meninas e os meninos, fazemos:
13 alunos 13 alunos 13 alunos
•	Como as meninas são 2
3
 (duas partes de três), então, de acordo com a representação 
acima:
13 1 13 5 26
Outra forma de calcular é: 
2
3
 de 39 alunos: 2
3
 ? 39 5 
2 39
3
78
3
?
5 5 26
•	Como os meninos são 1
3
 (uma parte de três), então, de acordo com a representação 
acima, eles são no total 13.
Outra forma de calcular é:
1
3
 de 39 alunos: 1
3
39
1 39
3
39
3
13? 5
?
5 5
Portanto, são 26 meninas e 13 meninos.
Exemplo:
Quanto é 1
3
 de R$ 300,00?
Resolução:
Conforme indica o denominador da fração 1
3
, vamos dividir igualmente em 3 partes os 
trezentos reais.
1
3
1
3
1
3
Assim, cada cédula de R$ 100,00 representa 1
3
 do total.
Resposta: R$ 100,00.
Na turma de Maria, o professor contou os alunos e ve-
rificou que, dos 39 alunos:
•	 2
3
 eram meninas;
•	 1
3
 eram meninos.
Como podemos saber quantas são as meninas e quan-
tos são os meninos?
Fo
to
s:
 B
an
co
 
C
en
tr
al
 d
o 
B
ra
si
l
174
pom6_164_205_u5.indd 174 5/17/15 3:51 PM
AGORA É COM VOCÊ
1 Calcule quanto é em reais:
a) 1
3
 de 30 reais
b) 2
5
 de 50 reais 
c) 5
10
 de 100 reais 
d) 6
20
 de 200 reais 
2 Responda rápido:
a) Tenho um décimo de 20 reais. Qual é a quantia que possuo?
b) De 40 alunos, quatro quintos fizeram a tarefa. Quantos são esses alunos?
c) Andei a metade de 2 000 metros. Quantos metros eu andei?
3 Em dupla, resolva os itens a seguir.
a) Em um simulado com 40 questões, 1
8
 delas eram de Matemática e 2
8
 de Português. 
O restante das questões era das outras disciplinas. Quantas questões se destinavam 
às outras disciplinas? Quais disciplinas foram contempladas no simulado?
b) Sabrina e Lucy participaram de uma corrida. Sabrina percorreu 3
8
 da pista, e Lucy 2
5
. 
Sabendo-se que a pista mede 1 600 metros, calculem a soma da distância percorrida 
pelas duas garotas. 
4 Observe a representação de uma régua de 30 cm e depois informe as seguintes medidas 
em centímetros:
a) 2
3
 de 30 cm
b) 5
6
 de 30 cm
c) 4
10
 de 30 cm
d) 2
15
 de 30 cm
e) 4
5
 de 30 cm
f) 4
15
 de 30 cm
5 Uma volta completa no transferidor corresponde ao ângu-
lo de medida 360°. Escreva os ângulos correspondentes a:
a) 1
2
 de volta;
b) 1
4
 de volta;
c) 3
4
 de volta;
d) 1
10
 de volta;
e) 3
8
 de volta.
f) 5
6
 de volta.
10 reais
20 reais
50 reais
60 reais
2 reais
32 alunos
1 000 metros
1 240 metros
N
at
al
ia
 S
iv
er
in
a/
D
re
am
st
im
e.
co
m
20 cm
25 cm
12 cm
4 cm
24 cm
8 cm
C
la
ud
io
 B
al
di
ni
/D
re
am
st
im
e.
co
m
180°
90°
270°
36°
135°
300°
Para as demais disciplinas havia 25 questões. Não é possível responder à ultima pergunta, pois não temos informações suficientes. 
Registre no 
caderno
175175
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CApítUlo 17 
Equivalência e comparação 
entre frações
Mara desenhou 4 círculos de 
mesmo tamanho e os dividiu em 
partes iguais. O primeiro ela di-
vidiu em duas partes, o segundo 
em quatro, o terceiro em seis e o 
quarto em oito partes. Depois ela 
coloriu a metade de cada um dos 
4 círculos. 
Agora faça o mesmo que Mara. Desenhe 3 quadrados de mesmo tamanho e divida-os em 
2, 4 e 8 partes iguais. Para isso, utilize segmentos paralelos aos lados. Pinte a metade de cada 
quadrado e represente com frações a parte colorida de cada um deles. Escreva o que notou a 
respeito das representações fracionárias e das partes coloridas das figuras.
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
D
AE
176
pom6_164_205_u5.indd 176 5/17/15 3:52 PM
Frações equivalentes
Observando as divisões feitas, podemos afirmar que as partes coloridas do círculo são 
iguais a:
•	1 parte de 2, que pode ser representada pela fração 5 5 51
2
2
4
3
6
4
8
; 
•	2 partes de 4, que podem ser representadas pela fração 5 5 512
2
4
3
6
4
8
; 
•	3 partes de 6, que podem ser representadas pela fração 5 5 51
2
2
4
3
6
4
8
; 
•	4 partes de 8, que podem ser representadas pela fração 5 5 512
2
4
3
6
4
8
. 
Note que as representações fracionárias são diferentes, mas a parte colorida dos círculos 
são iguais, por isso podemos dizer que:
5 5 51
2
2
4
3
6
4
8
Quando duas ou mais frações representam a mesma quantidade 
de uma grandeza são denominadas frações equivalentes.
Exemplo 1:
Obtenha frações equivalentes a 4
8
.
Resolução:
Multiplicando o numerador e o denominador por 3:
?
?
4 3
8 3
5 12
24
Portanto, temos 4
8
12
24
5 .
Dividindo o numerador e o denominador por 2:
4 2
8 2
�
�
5 2
4
Portanto, temos 4
8
2
4
5 .
D
AE
177
pom6_164_205_u5.indd 177 5/17/15 3:52 PM
A coleção de Alexandre estava dividida em 4 caixas com a mesma quantidade de car-
rinhos em cada caixa. Na coleção de Carlos, os carrinhos foram igualmente repartidos em 
6 caixas. Um dia, eles decidiram levar para a escola 1 das caixas de sua coleção; portanto, 
Alexandre levou 1
4
 de sua coleção e Carlos levou 1
6
 de sua coleção. Quem levou mais car-
rinhos?Por quê? 
Resolução:
Alexandre levou mais carrinhos do que Carlos, pois Alexandre levou 3 carrinhos, e Carlos 
2 carrinhos.
Intrigados com a situação, cada um resolveu levar metade de suas caixas. Alexandre, en-
tão, levou 2 de suas 4 caixas, e Carlos levou 3 de suas 6 caixas. Dessa vez, quem levou mais 
carrinhos? Por quê? 
Os dois levaram a mesma quantidade de carrinho, pois 2
4
e 3
6
 ? 12 = 6 e 2
4
e 3
6
 ? 12 = 6.
Percebemos então que 2
4
e 3
6
 equivalem à mesma quantidade de carrinhos consideran-
do que cada coleção têm 12 carrinhos.
Essa equivalência pode ser observada multiplicando o numerador e o denominador des-
sas frações por um mesmo número. Observe: 
?
?
5 ?
?
52 3
4 3
6
12
3 2
6 2
6
12
E, como 56 6
12 6
1
2
,�
�
 temos que 5 52
4
3
6
1
2
.
Assim, no segundo dia cada um levou metade de seus carrinhos e, neste caso, a mesma 
quantidade de carrinhos.
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
Exemplo 2:
Certo dia, dois amigos descobriram que possuíam a mesma quantidade de carrinhos em 
suas coleções. Veja a coleção de cada um deles.
Importante!
 V Há uma propriedade que possibilita obter uma fração equivalente a uma fração dada. Basta multiplicar ou 
dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número diferente de zero.
178
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AGoRA É CoM VoCÊ
1 Obtenha frações equivalentes à fração 6
18
 efetuando o que se pede nos itens a seguir. 
a) Multiplique o numerador e o denominador por 2.
b) Divida o numerador e o denominador por 3.
c) Multiplique o numerador e o denominador por 5.
d) Por que ao efetuarmos as operações acima as frações obtidas são equivalentes à 
fração 6
18
?
2 Os dois quadrados ao lado são do mesmo tamanho.
a) Escreva as frações que representam a parte 
colorida de cada figura.
b) Essas frações são equivalentes?
c) Escreva as frações que representam a parte não 
colorida de cada figura.
d) Essas frações são equivalentes?
3 O professor desenhou na lousa 
uma estrela dividida em 5 partes 
iguais e pintou 3 dessas partes. Em 
seguida, desenhou outra estrela, 
de mesmo tamanho, dividida em 5 
partes iguais, e pintou novamente 3 
dessas partes. Nessa segunda es-
trela, resolveu dividir ao meio cada 
uma das 5 partes.
a) As frações que representam as partes coloridas em cada estrela são equivalentes?
b) As frações que representam as partes não coloridas em cada estrela são equivalentes?
4 Responda às seguintes perguntas:
a) Qual é o número pelo qual devemos multiplicar o numerador e o denominador da fra-
ção 2
7
 para obtermos uma fração equivalente de numerador 10?
b) Qual é o número pelo qual devemos dividir o numerador e o denominador da fração 
18
60
 para obtermos uma fração equivalente de denominador 10?
5 Os três retângulos são de mesmo tamanho e 
foram divididos em partes iguais. Responda:
a) Quais são as frações que indicam as partes 
coloridas desses retângulos?
b) São frações equivalentes?
12
36
2
6
30
90
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
1
4
e 4
16
Sim.
3
4
e 12
16
Sim.
Sim.
Sim.
Multiplicar por 5.
Dividir por 6.
3
5
, 6
10
, 9
15
Sim.
Porque, além de multiplicarmos ou dividirmos o numerador da fração por um fator ou divisor, 
fazemos o mesmo com o denominador.
Registre no 
caderno
179179
pom6_164_205_u5.indd 179 5/17/15 3:52 PM
6 Resolva os seguintes problemas:
a) Obtenha uma fração equivalente à fração 5
3
 de tal maneira que o denominador seja o 
menor múltiplo de 10 com três algarismos.
b) Marcos gastou numa festa 3
5
 de 200 reais. Antônio gastou 6
10
de 400 reais. Quem 
gastou mais?
7 Observe a sequência de frações equivalentes e escreva quais são as próximas três fra-
ções dessa sequência.
2
5
4
10
6
15
8
20
8 Reescreva as equivalências, determinando os números que estão faltando.
a) 3
7 35
5
b) 2 20
70
5
c) 1
8
95
d) 
15
3
5
5
e) 100 20
30
5
f) 4
3
2405
9 As partes coloridas dos retângulos de mesmo tamanho ao 
lado estão representando frações equivalentes. Escreva 
uma igualdade sobre as frações que lhes correspondem.
10 Observe os quatro retângulos de mesmo tamanho e faça 
o que se pede.
a) Escreva as frações que indicam as partes coloridas 
desses retângulos.
b) Essas frações são equivalentes?
11 Na lousa, o professor desenhou círculos de mesmo 
tamanho para explicar frações equivalentes. Consi-
derando que ele tenha desenhado os dois círculos ao 
lado, responda:
a) As partes coloridas estão representando que 
equivalência?
b) E as partes não coloridas?
12 Cada figura a seguir, considerando a parte colorida, representa uma fração. 
a) Escreva as frações correspondentes às partes coloridas.
b) Coloque essas frações em ordem crescente.
c) Para cada fração, encontre uma fração equivalente com o denominador igual ao dobro 
do denominador da fração.
200
120
Antônio, que gastou 240 reais.
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
� � � �
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
4
8
1
2
3
6
2
4
Sim.
6
20
3
10
�
14
20
7
10
�
1
2
2
3
1
4
1
6
7
8
1
6
, 1
4
, 1
2
, 2
3
, 7
8
1
6
2
12
, 1
4
2
8
, 1
2
2
4
, 2
3
4
6
, 7
8
14
16
� � � � �
10
25
12
30
14
35
Registre no 
caderno
Professor: chame a atenção dos alunos que as figuras em cada atividade são de mesmo tamanho.
15
7
72
9
150
180
180180
pom6_164_205_u5.indd 180 5/17/15 3:52 PM
Simplificação de frações
A turma do 6º ano tem 30 alunos, dos quais 12 são meninas.
tRABAlHo EM EQUIpE
Podemos comparar o número de meninas com o número de meninos utilizando a fração 12
18
.
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
Registre no 
caderno
É esperado que os alunos verifiquem que 12
30
 5 2
5
, 18
30
 5 3
5
 e 12
18
 5 2
3
.
2 meninas
Em trio, faça as atividades a seguir com base na situação anterior.
1 Comparem o número de meninas com o total de alunos e o número de meninos com o 
total de alunos. Para isso, utilizem frações. 
2 O professor organizou a classe em grupos de 5 alunos, de modo que esses grupos ficassem 
com o mesmo número de meninas. Com base nessa informação, façam o que se pede.
a) Respondam: quantas meninas há em cada grupo?
b) Escrevam a fração que compara o número de meninas de um grupo com o número 
total de componentes desse grupo.
c) Escrevam a fração que compara o número de meninos de um grupo com o número 
total de componentes desse grupo.
d) Escrevam a fração que compara o número de meninas com o número de meninos em 
cada grupo.
3 Verifiquem e descrevam se há alguma relação entre as frações 12
30
, 18
30
 e 12
18
 com as 
frações obtidas nas atividades 2b, 2c e 2d, respectivamente.
,12
30
18
30
2
5
3
5
2
3
181
pom6_164_205_u5.indd 181 5/17/15 3:52 PM
Para simplificar uma fração, dividimos seus termos (numerador 
e denominador) por um mesmo número natural diferente de zero e 
diferente de um. Obtemos, assim, uma fração com termos menores 
que os termos iniciais.
Exemplo:
Representando as partes coloridas das figuras por meio de frações, temos que:
 
4 3
4 3
3
9
1
3
5
 
As frações 3
9
 e 1
3
 são equivalen-
tes. Obtivemos a fração 1
3
 a partir da 
fração 3
9
 dividindo o numerador e o 
denominador por 3. Fizemos uma sim-
plificação.
Se
tu
p
Importante!
 V Se, ao simplificarmos uma fração, os termos obtidos 
não puderem mais ser simplificados, dizemos que a 
fração é irredutível. Isso ocorre quando o numerador 
e o denominador são números primos entre si, isto é, 
apresentam apenas o número 1 como divisor comum.
Observe que as frações solicitadas nas atividades 2b, 2c e 2d são equivalentes às frações 
12
30
, 18
30
e 12
18
, respectivamente. Dividindo o numerador e o denominador das frações por um 
mesmo número obtemos as frações equivalentes, que podemos chamar de simplificações das 
frações originais.
•	 �
�
5 512
30
12 6
30 6
2
5
12 meninas para cada 30 alunos ou 2 meninas para cada 5 alunos
•	 �
�
5 518
30
18 6
30 6
3
5
18 meninos para cada 30 alunos ou 3 meninos para cada 5 alunos
•	 �
�
5 512
18
12 6
18 6
2
3
12 meninas para cada 18 meninos ou 2 meninas para cada 3 meninosUtilizamos a simplificação de frações para facilitar as operações entre frações e a apresen-
tação de dados. 
182
pom6_164_205_u5.indd 182 5/17/15 3:52 PM
AGORA É COM VOCÊ
1 Simplifique para obter frações irredutíveis.
a) 
30
35
b) 
90
100
c) 
11
44
d) 
300
250
e) 
48
64
f) 
24
240
2 Observando as frações equivalentes, faça o que se pede.
1
5
2
10
3
15
4
20
5
25
6
30
...5 5 5 5 5 5
a) Simplifique a fração 4
20
 obtendo uma fração irredutível.
b) Simplifique a fração 6
30
 obtendo uma fração irredutível.
c) Simplifique a fração 3
15
 obtendo uma fração irredutível.
d) Simplifique a fração 2
10
 obtendo uma fração irredutível.
e) Simplifique a fração 5
25
 obtendo uma fração irredutível.
3 Os retângulos desenhados ao lado são de mesmo tama-
nho e cada retângulo foi dividido em partes iguais.
a) Escreva as frações correspondentes às partes co-
loridas.
b) Qual dessas frações é irredutível?
4 Para simplificar a fração 36
48
, observe como Júlia procedeu:
36
48
18
24
9
12
3
4
5 5 5
A
A
B
B
C
C
a) Explique o que Júlia fez na passagem indicada pela letra A.
b) Ela fez o mesmo na passagem B?
c) O que Júlia fez na passagem C?
d) A última fração obtida, após a passagem C, é irredutível?
Observação: 
Júlia fez divisões sucessivas para simplificar as frações.
6
7
9
10
1
4
6
5
3
4
1
10
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
2
, 2
4
, 4
8
1
2
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
Dividiu os termos da fração por 2.
Sim.
Dividiu os termos da fração por 3.
Sim.
Registre no 
caderno
183183
pom6_164_205_u5.indd 183 5/17/15 3:52 PM
Registre no 
caderno
5 Utilizando o procedimento de divisões sucessivas, obtenha, nos casos a seguir, a fração 
irredutível.
a) 25
40
b) 72
48
c) 250
200
d) 120
180
e) 512
128
f) 99
66
6 Uma professora explicou que era possível obter a fração irredutível fazendo apenas uma 
divisão do numerador e do denominador de uma fração. Para tanto, bastava encontrar o 
máximo divisor comum desses dois termos da fração. Utilizando o mesmo exemplo da 
fração que Júlia simplificou, veja a seguir o que ela escreveu na lousa:
→→ 3648 mdc(36;48) 12
36
48
36 12
48 12
3
4
4
4

Método do mdc
Agora use o método do máximo divisor comum e faça as simplificações nas seguintes 
frações:
a) 28
40
b) 45
60
 
c) 
18
63
d) 32
128
 
e) 98
56
f) 26
104
g) 243
81
h) 
300
432
5
8
3
2
5
4
2
3
4
3
2
7
10
3
4
2
7
1
4
7
4
1
4
3
25
36
W
al
do
m
ir
o 
N
et
o
Professor: comente com os alunos que o procedimento utilizado pela professora permite obter a fração irredutível por 
meio de uma divisão apenas. Evita-se, assim, as divisões sucessivas.
184184
pom6_164_205_u5.indd 184 5/17/15 3:52 PM
Comparação de frações
Vamos considerar três situações diferentes relacio-
nadas às frações. Leia atentamente cada uma delas e, 
caso necessário, discuta com os colegas a respeito.
1ª situação:
Lino disse que passa 1
3
 do dia brincando, enquanto 
Laura afirma que passa 1
6
 do dia brincando. Qual de-
les passa mais tempo brincando?
A comparação entre essas frações pode ser feita 
utilizando-se dois retângulos de mesmo tamanho para 
representar um dia inteiro. No primeiro, consideramos 
apenas 1
3
, e no segundo 1
6
.
1
6Lino:
1
3
de um dia. de um dia.Laura:
Comparando as partes coloridas de cada retângulo pode-se perceber que 1
3
1
6
. . Assim, Lino 
passa mais tempo do dia brincando do que Laura. Considerando-se que um dia tem 24 horas, 
Lino brinca 8 horas, enquanto Laura 4 horas.
Quando duas frações têm o mesmo numerador, a maior delas é a que tem o me-
nor denominador, então a menor delas será aquela que tem o maior denominador.
2ª situação:
Numa corrida, Beatriz percorreu 5
12
 do percurso 
em linha reta e 7
12
 com curvas bem acentuadas. Ela 
correu mais em linha reta ou mais em curvas?
Para responder à pergunta, devemos fazer uma 
comparação entre duas frações de um mesmo todo, 
no caso, o percurso total. Assim, para compararmos, 
representamos o percurso total dividido em 12 partes. 
Representaremos por meio de dois retângulos:
7
12
Linha reta: 5
12
do percurso. do percurso.Curvas:
Fazendo a comparação das partes coloridas dos retângulos, pode-se perceber que 7
12
5
12
. . 
Assim, Beatriz fez um percurso maior em curvas. 
Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior delas é a que tem o 
maior numerador, então, a menor delas será aquela que tem o menor numerador.
M
ar
ci
o 
Le
vy
m
an
W
al
do
m
ir
o 
N
et
o
185
pom6_164_205_u5.indd 185 5/17/15 3:52 PM
3ª situação:
Um técnico de futebol ficou em dúvida so-
bre qual dos dois centroavantes de seu time ti-
nha maior aproveitamento por jogo. Enquanto 
Roger fez 3 gols em 5 partidas, Lenilson fez 
5 gols em 8 partidas. Como saber qual deles 
teve o maior aproveitamento por jogo?
O aproveitamento de cada jogador pode ser 
aqui representado por meio de fração, isto é:
Roger (3 gols em 5 jogos) 3
5
Lenilson (5 gols em 8 jogos) 5
8
A comparação entre as duas frações pode ser feita por meio de frações equivalentes, que 
têm o mesmo denominador. Assim, vamos escrever frações equivalentes multiplicando o 
numerador e o denominador de cada fração por um número natural, até que consigamos 
frações com o mesmo denominador.
•	 3
5
6
10
9
15
12
20
15
25
18
30
21
35
24
40
...5 5 5 5 5 5 5 5
•	 5
8
10
16
15
24
20
32
25
40
30
48
35
56
40
64
...5 5 5 5 5 5 5 5
Note que, agora, temos frações com o mesmo denominador, bastando comparar os nu-
meradores correspondentes para saber qual é o maior, isto é: como 25
40
24
40
. , então 5
8
3
5
. . 
Dessa forma, Lenilson teve um aproveitamento maior por partida.
Se duas frações têm numeradores e denominadores diferentes, a 
comparação pode ser feita com suas frações equivalentes, as quais 
devem ter o mesmo denominador.
Importante!
 V O denominador comum corresponderá ao 
mínimo múltiplo comum dos denominadores 
apresentados.
Exemplo:
Na comparação das frações 5
8
 e 3
5
, para facilitar 
a obtenção de frações com mesmo denominador, 
podemos determinar o mínimo múltiplo comum 
dos denominadores e, assim, encontrar as frações 
equivalentes com mesmo denominador.
M
ar
ci
o 
Le
vy
m
an
mmc (8; 5) 5 40 
5
8
?
40
5
8
25
40
3
5
?
40
3
5
24
40
5 5
5 5








3 5
3 5
3 8
3 8
186
pom6_164_205_u5.indd 186 5/17/15 3:52 PM
AGORA É COM VOCÊ
1 Quatro tiras de mesmo comprimento foram divididas conforme a representação abaixo. 
Em cada tira, as partes têm o mesmo tamanho.
a) Escreva as frações que representam a parte colorida de 
cada tira.
b) Essas frações têm o mesmo numerador?
c) Comparando essas frações, qual delas é maior? Qual de-
las é menor?
2 Ainda em relação às tiras representadas na atividade anterior, responda:
a) Quais são as frações que representam as partes não coloridas?
b) Essas frações têm o mesmo numerador? E o denominador?
c) Qual dessas frações é maior? Qual delas é menor?
3 Identifique, nos itens a seguir, a menor das frações escritas.
a) 2
7
 ou 4
7
b) 12
5
 ou 9
5
c) 3
8
 ou 4
8
d) 9
10
 ou 9
13
e) 11
15
 ou 11
34
f) 10
22
 ou 10
23
4 Determine a maior fração nos itens a seguir. Quais procedimentos você utilizou para 
chegar à conclusão?
a) 2
3
ou 1
5
b) 6
8
ou 1
2
c) 6
10
ou 8
9
d) 7
7
ou 4
6
5 Observe os dois triângulos de mesmo tamanho, representados abaixo.
Responda.
a) Considerando apenas a parte colorida, qual fração é maior: 1
4
 ou 1
8
?
b) Considerando apenas a parte não colorida, qual fração é maior: 3
4
 ou 7
8
?
1
6
, 1
4
, 1
3
, 1
2
Sim.
Maior: 
1
2 ; menor: 
1
6
5
6
, 3
4
, 2
3
, 1
2
Não. Não.
Maior: 
5
6 ; menor: 
1
2
2
7
9
5
3
8
9
13
11
34
10
23
2
3
6
8
8
9
7
7
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
1
4
7
8
Registre no 
caderno
187187
pom6_164_205_u5.indd 187 5/17/15 3:52 PM
6 Na lousa, o professor desenhou retângu-
los de mesmo tamanho, para que os alu-
nos pudessem comparar frações apenas 
por observação, conforme a figuraao lado. 
Sem fazer cálculos, apenas comparando os 
retângulos, reescreva cada uma das sen-
tenças a seguir completando-as adequa-
damente com um dos três sinais:
. maior que
, menor que
 igual a
a) 2
3
3
4
 d) 3
4
6
8
b) 3
8
2
6
 e) 6
10
10
16
c) 5
9
4
7
 f) 2
4
3
6
7 Resolva os seguintes problemas:
a) Marta e Leila resolveram ler o mesmo livro. Após alguns dias, Marta disse que tinha 
lido 9
11
 do livro, enquanto Leila tinha lido 7
10
 do livro. Quem leu mais? 
b) Numa eleição para prefeito de uma cidade, descobriu-se que: o candidato A conseguiu 
1
2
 dos votos, o candidato B conseguiu 2
5
 dos votos e o candidato C conseguiu 1
10
 dos 
votos. Quem conseguiu mais votos?
8 Considerando as partes coloridas dos três retângulos represen-
tados ao lado, responda às questões.
a) Qual é a maior fração?
b) Qual é a menor fração?
c) Escreva as três frações em ordem crescente.
d) Escreva as três frações em ordem decrescente.
e) Escreva frações equivalentes a essas três, porém com o mesmo denominador.
9 Os três retângulos a seguir foram divididos em partes iguais. 
a) Escreva em ordem crescente as frações que indicam as partes coloridas dos retângulos.
b) Escreva em ordem decrescente as frações que indicam as partes não coloridas dos 
retângulos.
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
9
1
8
1
8
1
5
1
5
1
3
1
3
1
2
1
2
1
3
1
5
1
5
1
5
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1 inteiro
1
4
1
4
1
4
1
4
1
6
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
Marta leu mais.
 O candidato A.
2
3
1
2
3
4
3
4
1
2
1
2
, 2
3
, 3
4
3
4
, 2
3
, 1
2
1
2
6
12
, 2
3
8
12
, 3
4
9
12
� � �
1
8
, 3
8
, 5
8
7
8
, 5
8
, 3
8
Registre no 
caderno
, 5
. ,
, 5
188188
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De uma barra de chocolate dividida em 24 partes, veja quanto Marcos e Luana comeram 
enquanto assistiam a um filme.
 
Note que Marcos comeu 8
24
, e Luana 4
24
 da barra de chocolate. Juntos comeram 12
24
.
No exemplo, para chegar à fração da barra de chocolate que os dois comeram juntos, é pos-
sível contar os pedaços que comeram e depois escrever o resultado em fração.
Zu
ba
rt
ez
CApítUlo 18
Adição e subtração 
de frações
Marcos Luana
189
pom6_164_205_u5.indd 189 5/17/15 3:52 PM
Adição e subtração de frações com 
o mesmo denominador
Adição
Podemos chegar ao total de pedaços que foram comidos efetuando a adição das frações que 
cada um comeu: 
8
24
4
24
12
24
1 5
Observe que os denominadores das duas frações que adicionamos são iguais. Assim, man-
temos o denominador e adicionamos os numeradores para obter o numerador resultante.
A adição de frações de denominadores iguais é uma fração em que o numerador é a 
soma dos numeradores das parcelas e o denominador é igual ao denominador das parcelas.
Exemplo 1:
2
15
5
15
4
15
2 5 4
15
11
15
1 1 5
1 1
5
 
2
15
5
15
4
15
11
15
Subtração
Considere o exemplo da barra de chocolate. Para sabermos quanto sobrou dessa barra, 
podemos efetuar uma subtração de frações, isto é: 1 12
24
24
24
12
24
12
24
2 5 2 5
Observe que 1 pode ser representado pela fração 24
24
. Assim, os dois denominadores das 
frações da subtração são iguais. A diferença, resultado da subtração, é obtida subtraindo os 
numeradores.
A subtração de frações de denominadores iguais resulta numa fração na qual o nume-
rador é a diferença dos numeradores e o denominador é o mesmo que o das frações dadas.
Exemplo 2:
 
4
15
11
15
11
15
7
15
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
11
15
4
15
7
15
2 5
190
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AGORA É COM VOCÊ
1 Efetue as adições e subtrações com frações a seguir.
a) 2
15
7
15
1 5
b) 4
7
2
7
1 5
c) 9
13
5
13
2 5
d) 10
3
2
3
2 5
e) 17
4
6
4
2 5
f) 3
10
4
10
2
10
1 1 5
2 Abaixo, cada retângulo representa um inteiro. Observe que está representada uma subtra-
ção das partes coloridas. 
� �
a) Quais frações representam as partes coloridas dessas figuras?
b) Qual subtração de frações as figuras, como um todo, representam?
3 Abaixo, cada retângulo representa um inteiro. Observe que está representada uma adi-
ção das partes coloridas. 
� �
Então:
a) indique quais são as frações que estão sendo adicionadas;
b) escreva o resultado dessa adição de frações. 
4 Resolva os seguintes problemas:
a) Para dar uma volta numa pista circular, é necessário percorrer 2 000 metros. Se andei 
1
8
 da volta, tomei um gole de água, depois andei mais 5
8
 da volta e parei, quantos 
metros percorri ao todo?
b) Do pacote de bolachas que continha 16 unidades no total, Paulo comeu 3 bolachas, 
e Antônio comeu 4. Qual é a fração do pacote de bolachas que os dois comeram 
juntos?
c) Em relação ao problema anterior, qual é a fração do pacote de bolachas que ainda 
falta comer?
9
15
6
7
4
13
8
3
11
4
9
10
3
4
, 2
4
, 1
4
3
4
2
4
1
4
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
3
4
e 2
4
5
4
1 500 metros
Comeram 7
16
 das bolachas.
9
16
Registre no 
caderno
191191
pom6_164_205_u5.indd 191 5/17/15 3:52 PM
Adição e subtração de frações com 
denominadores diferentes
Como poderemos adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes?
A adição e a subtração de frações com denominadores 
diferentes são efetuadas reduzindo-se inicialmente as frações 
dadas a um mesmo denominador.
Ao reduzirmos as frações ao mesmo denominador, tanto a subtração quanto a adição 
podem ser realizadas utilizando-se o mesmo procedimento adotado para aquelas que têm 
denominadores iguais. Observe a seguir dois exemplos.
Exemplo 1:
Obtenha o resultado da adição: 2
5
+ 3
4
Resolução:
Iniciamos reduzindo as duas frações ao mesmo denominador, para isso devemos deter-
minar o mínimo múltiplo comum dos denominadores:
mmc (5; 4) 5 20
2
5
2 4
5 4
8
20
5
3
3
5 3
4
3 5
4 5
15
20
5
3
3
5
Agora adicionamos frações com o mesmo denominador:
2
5
3
4
8
20
15
20
8 15
20
23
20
1 3
20
1 5 1 5
1
5 5
Exemplo 2:
Efetue a seguinte subtração: 7
9
3
10
2 .
Resolução:
Iniciamos reduzindo as duas frações ao mesmo denominador:
mmc (9; 10) 5 90
7
9
7 10
9 10
70
90
5
3
3
5 3
10
3 9
10 9
27
90
5
3
3
5
Agora subtraímos frações com o mesmo denominador:
7
9
3
10
70
90
27
90
70 27
90
43
90
2 5 2 5
2
5
Observação!
 V Reduzir a um mesmo denominador 
siguinifica obter frações equivalentes 
que tenham denominadores iguais.
192
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Registre no 
caderno
AGORA É COM VOCÊ
1 Efetue as seguintes adições e subtrações:
a) 2
15
1
5
1 5
b) 4
3
2
9
1 5
c) 9
4
1
5
2 5
d) 7
12
3
8
2 5
e) 7
10
2
5
2 5
f) 3
4
1
3
1
6
1 1 5
g) 5
12
5
6
1 5
h) 1
3
1
8
1 5
i) 7
6
1
3
2 5
j) 9
10
3
5
2 5
k) 11
18
1
9
2 5
l) 1
4
1
2
1
8
1 1 5
2 O professor pediu aos alunos que representassem, por meio de desenhos, a adição 
1
2
1
5
.1 Observe o desenho que os alunos fizeram:
� �
a) Qual é a fração equivalente a 1
2
 que está representada no primeiro círculo?
b) Qual é a fração equivalente a 1
5
que está representada no segundo círculo?
c) Escreva a adição de frações que aparece indicada e o resultado que lhe corresponde.
3 Observe as figuras que representam duas barras de chocolate de mesmo tamanho, porém 
divididas em números diferentes de partes. Viviane comeu, pela manhã, 4 pedaços do cho-
colate da esquerda e, à tarde, 3 pedaços do chocolate da direita. 
a) Qual é a fração do chocolate da esquerda que ela comeu pela manhã?
b) Qual é a fração do chocolate da direita que ela comeu à tarde?
c) Some essas frações para descobrir que fração de uma barra Viviane comeu nesse dia.
5
15
1
3
�
14
9
41
20
5
24
3
10
5
4
5
4
11
24
5
6
3
10
1
2
7
8
5
10
2
10 c) 5
10
2
10
7
10
Ilu
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ra
çõ
es
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et
up
4
12
3
18
1
2
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Registre no 
caderno
Zu
ba
rt
ez
4 Um supermercado resolveu vender o 
açúcar em embalagens com massas 
diferentes: uma embalagem contendo 
1
4
 de quilograma de açúcar e outra 
embalagem contendo 1
2
 quilograma 
de açúcar. Responda:
a) Uma pessoa que compra uma em-
balagem de cada tipo, no total, qual 
fração do quilograma ela compra?
b) Qual é a fração que falta para completar 1 quilograma de açúcar?
5 Os dois círculos representados são de mesmo tamanho. 
Considerando apenas as partes coloridas, faça o que se 
pede.
a) Indique, por meio de frações, a subtração representada 
na figura.
b) Escreva o resultado dessa subtração e faça um desenho para representá-lo.
6 Se apagássemos 1
6
 da área pintada do retângulo a seguir, que parte desse retângulo per-
maneceria pintada? Indique uma sentença matemática para representar o que você fez.
7 Em um retângulo, pinte a parte que representa a soma 12
3
1
5
.
8 O gráfico a seguir refere-se a uma pesquisa sobre o meio de comunicação preferido dos 
alunos do 6o ano da Escola Saber.
 rádio
 televisão
 jornal
 internet
1
6
5
18
1
9
4
9
Meios de comunicação
a) Que fração de alunos prefere rádio e internet como meio de comunicação? 
b) Que fração de alunos prefere televisão e internet como meio de comunicação? 
c) Suponha que essa pesquisa tenha sido feita com uma amostra de 2 700 pessoas. 
Quantas pessoas preferem como meio de comunicação o rádio? 
3
4
1
4
3
4
2
4
�
 
1
4 
6
18
 2 
1
18
 5 
5
18
2
3
 1 
1
5
 5 
10
15
 1 
3
15
 5 
13
15
11
18 13
18
450 pessoas
�
D
AE
D
AE
194194
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No capítulo anterior vimos como adicionar e subtrair frações. Observe que, ao adicionar-
mos frações iguais, podemos utilizar a multiplicação de um número natural para representar 
o resultado. 
Exemplo:
1
8
 
1
8
1
8
1
8
1 1
8
2
8
1 5
1
5
ou
1
8
 
2
8
1
8
1
8
2 1
8
2 1
8
2
8
1 5 ? 5
?
5
Assim, ao multiplicarmos um número natural por uma fração, multiplicamos o numerador 
por esse número natural ou, de forma equivalente, adicionamos a fração com a própria fração 
tantas vezes quanto for o número natural que está multiplicando essa fração.
Multiplicação de frações
Você já aprendeu como multiplicar um número natural por uma fração. Agora ampliare-
mos essa ideia demonstrando como multiplicar fração por fração. 
1
? 2 5
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
CApítUlo 19
Fração de fração
195
pom6_164_205_u5.indd 195 5/17/15 3:52 PM
Vamos considerar uma situação relacio-
nada à multiplicação de frações.
Uma grande área de plantio será dividida 
em 4 partes. Numa delas, o fazendeiro resol-
ve plantar feijão. Entretanto, ele decidiu que 
deixaria 1
3
 livre nessa parte. Qual é a fração 
da área de plantio que ficará livre?
Nessa situação, duas frações podem ser 
consideradas inicialmente:
•	 1
4
 da área de plantio será de feijão;
•	 1
3
 da área destinada ao feijão ficará livre.
Para responder à pergunta, precisaremos obter uma nova fração que represente
1
3
 de 1
4
da área de plantio.
Vamos representar, por meio de um desenho, 1
4
 da área de plantio:
1
4
Com linhas verticais, vamos obter, agora, 1
3
 dessa região destacada:
1
12
Portanto, podemos dizer que a fração da área total de plantio que ficará livre é 1
12
.
O procedimento de cálculo que possibilita chegar a esse mesmo resultado define-se 
como a multiplicação de frações, ou seja:
1
3
 de 1
4
 5 1
3
1
4
? 5 
1 1
3 4
1
12
?
?
5
A multiplicação de duas ou mais frações efetua-se com a multiplicação dos numeradores e a dos 
denominadores. Dizemos que a fração resultante tem como numerador o produto dos numerado-
res, e como denominador o produto dos denominadores.
Exemplos:
•	
2
3
4
5
2 4
3 5
8
15
? 5
?
?
5 •	
3
10
3
7
3 3
10 7
9
70
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?
?
5
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e.
co
m
196
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AGORA É COM VOCÊ
1 Efetue as seguintes multiplicações:
a) 3 2
5
?
b) 1
3
2
5
?
c) 3
6
3
5
?
d) 1
4
2
5
?
e) 7
4
3
14
?
f) 7
9
9
7
?
g) 4 3
7
?
h) 1
8
3
4
?
i) 10
3
10
3
?
2 Escreva a fração correspondente aos seguintes casos:
a) 1
10
 de 2
3
b) 3
8
 de 5
6
c) 2
7
 de 4
5
d) 1
5
 de 7
10
3 Represente, por meio de figura, a fração correspondente a:
a) 1
3
 de 2
3
b) 3
4
 de 1
6
c) 2
5
 de 1
3
d) 1
5
 de 1
4
4 Resolva os seguintes problemas:
a) O professor levou uma melancia para sua turma.
 Os meninos comeram 2
3
 da melancia, e as 
meninas comeram 1
2
 do que sobrou. 
Qual é a fração da melancia que as meninas 
comeram?
b) Na turma de Lúcia, 2
5
dos alunos praticam basquete. Desses, 1
4
 participam do time 
principal da escola. Qual é a fração dos alunos dessa turma que participam do time 
principal da escola?
c) Numa gincana, Marcos conseguiu 1
10
 de 2
3
 do número total de pontos de sua turma. 
Lúcia conseguiu 2
3
 de 2
5
 do total de pontos. Qual dos dois conseguiu mais pontos?
5 Resolva as seguintes expressões:
a) 12
2
3
4
3
? 1( ) b) 34 13 12? 1( ) c) 16 23 18? 2( ) d) 15 1 23? 1( )
6 Calcule quanto é, em reais:
a) 2
3
 de 15 reais
b) 1
6
 de 60 reais
c) 1
2
 de 100 reais
d) 1
10
 de 200 reais
7 José reservou 5
6
 da área de sua fazenda para plantio. Dessa área, ele utilizará 1
5
 para 
plantar laranjas, 2
3
 para mexericas e o restante para plantar acerolas. Que fração da 
área da fazenda de José será utilizada para o plantio de acerolas? 
6
5
2
15
3
10
1
10
3
8
1
12
7
3
32
100
9
1
15
5
16
8
35
7
50
Sugestões para resposta:
2
9
1
8
2
15
1
20
Ed
ua
rd
o 
B
el
m
ir
o
1
6
1
10
Lúcia, que conseguiu 
4
15 de pontos.
1 5
8
13
144
1
3
10 reais
10 reais
50 reais
20 reais
1
9
Registre no 
caderno
197197
pom6_164_205_u5.indd 197 5/17/15 3:52 PM
Divisão de frações
Como dividir frações?
Para compreendermos como isso pode ser feito, veremos, inicialmente, dois exemplos:
Exemplo 1:
Obtenha o resultado da seguinte divisão: 1
2
24 .
Resolução:
Consideremos um inteiro dividido em duas partes iguais. Observe a representação:
1
2
Queremos dividir a parte considerada em duas partes iguais. Para isso, dividimos o todo 
em 4 partes iguais e consideramos apenas uma das duas partes destacadas anteriormente:
Portanto, o resultado da divisão é: 1
2
2 1
4
4 5 .
Exemplo 2:
Qual o resultado da divisão: 1
2
1
4
4 ?
Resolução:
Essa divisão pode ser interpretada da seguinte forma: Quantas vezes 1
4 
cabe em 1
2
?
1
2
1
2
1
4 cabe 2 vezes em
Portanto, o resultado da divisão é: 1
2
1
4
24 5 .
Há uma maneira mais prática de efetuarmos a divisão de frações:
A divisão de uma fração por outra efetua-se com a multiplicação da primeira 
pelo inverso da segunda.
Observe que dada uma fração a
b
, com a e b números naturais e diferentes de 0, o inverso 
dessa fração será b
a
.
Retomando os exemplos anteriores, temos:
•	 1
2
2 1
2
2
1
1
2
1
2
1
4
4 5 4 5 ? 5 •	 1
2
1
4
1
2
4
1
4
2
24 5 ? 5 5
1
4
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
198
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AGORA É COM VOCÊ
1 Efetue as seguintes divisões:
a) 3 2
3
4
b) 1
3
2
9
4
c) 3
6
3
5
4
d) 1
4
2
9
4
e) 7
4
3
14
4
f) 5
4
4
5
4
2 Resolva as expressões a seguir.
a) 1
2
2
3
1
3
4 2( )
b) 3
4
1
3
1
2
4 ?( )
c) 1
6
2
3
1
9
? 4( )
d) 1
8
1 3
4
? 4( )
e) 11
2
1 2
5
1 4( )
f) 2 2
3
1
6
4 2( )
3 Responda.
a) O inverso de uma fração pode ser um número inteiro?
b) Qual é o resultado da multiplicação de uma fração pela fração inversa?
4 Resolva os seguintes problemas:
a) Joana descobriu que passa 1
3
 do dia em seu quarto. Desse tempo, 4
5
 ela passa lendo 
livros. Qual é a fração do dia que ela passa lendo livros?
b) Descubra quem é mais velho: Mateus tem 2
7
 de 3
4
 de 
56 anos e Júlia tem 3
5
 de 3
4
 de 20 anos.
c) Uma jarra tem 3 1
2
 litros de suco de laranja. Esse suco 
será distribuído igualmente em 2 jarras menores. Quantos 
litros desuco serão colocados em cada uma das jarras?
d) E se 3 1
2
 litros de suco de laranja fossem distribuídos em 
copos de 1
4
de litro, quantos copos seriam necessários?
e) Eu possuo 3
5
 da quantia para comprar um par de tê-
nis que custa R$ 120,00. Qual é a quantia que tenho? 
f) Os irmãos Marcos e Pedro ganharam de seu pai 
100 reais cada. Marcos disse que gastou 2
5
 dessa 
quantia, enquanto Pedro afirmou que gastou 8
20
dessa quantia. Quem gastou mais?
5 Na figura a seguir está representada uma régua de 15 centímetros de comprimento.
Desenhe um segmento de medida correspondente a:
a) 2
3
 de 15 cm b) 2
5
 de 15 cm c) 4
15
 de 15 cm d) 4
5
 de 15 cm
9
2
3
2
5
6
9
8
49
6
25
16
3
2
9
2
1
1
6
4
4
Sim.
1
Va
le
nt
yn
75
/D
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st
im
e.
co
m
4
15
Mateus, que tem 12 anos.
Seriam necessários 14 copos.
Zu
ba
rt
ez
R$ 72,00
Os dois gastaram a mesma quantia.
Sh
ar
ps
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D
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st
im
e.
co
m
10 cm 6 cm 4 cm 12 cm
Registre no 
caderno
c) 
7
4 de litros de suco em cada jarra.
199199
pom6_164_205_u5.indd 199 5/17/15 3:52 PM
CONEXÕES
A reta numérica 
Ja vimos que é possível representar os números naturais em uma reta numérica. 
0 1 7 154 10 182 8 165 1311 193 9 176 1412 20
Existe algum número entre dois números naturais consecutivos? Na verdade, quando pensamos 
apenas no conjunto dos naturais, a resposta é que não existem números entre dois números natu-
rais consecutivos. Para validar essa informação, basta recordar a noção de sucessor de um número na-
tural (n 1 1). Mas, as coisas mudam quando passamos a considerar a existência de frações. As frações 
podem ser representadas por pontos na reta numérica. Por exemplo, quantos valores fracionários 
estão no intervalo entre os números naturais 0 e 1, ou seja, em quantas partes esse intervalo pode ser 
repartido? Veja a seguir:
0
1
2 1
O ponto que se encontra exatamente na metade do intervalo entre os números 0 e 1 represen-
ta a fração 1
2 
(um meio), mas há muitos outros valores que podemos alocar. Veja na reta a seguir 
que o ponto que representa a fração 1
4
 está exatamente na metade do intervalo entre os núme-
ros 0 e 1
2
, e o ponto que representa a fração 1
8
 está exatamente na metade do intervalo entre os 
números 0 e 1
4
. 
0
1
2
1
4
1
8 1
Você consegue imaginar quantos pontos que representam frações poderíamos alocar não só nes-
se segmento mas em toda a reta? Na verdade, infinitos pontos, pois podemos continuar o processo 
de inserir um ponto entre cada dois pontos indefinidamente. 
TrabalhO Em EquipE
Registre no 
caderno
Em trio, faça as atividades a seguir.
1 Determinem os valores de X a Y na reta, considerando que os traços consecutivos estão 
igualmente espaçados.
0 32X1 Y
2 Associem as frações 3
2
, 9
2
e 1
2
 às letras que aparecem na reta numérica considerando 
que os traços estão igualmente espaçados.
0 3 4 B 5C1A 2
8
5
 e 
12
5
A 5 
1
2
, B 5 
9
2
 e C 5 
3
2
200
pom6_164_205_u5.indd 200 5/17/15 4:43 PM
1 (Saresp) 
Robson utilizou 3
4
 de 1 litro de tinta para pintar a sala de sua casa. Sabendo que o restante da 
casa equivale a 3 vezes a área pintada da sala, de quantos litros de tinta ele precisará para pin-
tar os outros cômodos?
a) 2 14 litros
b) 3 34 litros
c) 9
12
 litros
d) 124 litros
2 (Prova Brasil) 
A figura ao lado representa uma figura dividida em partes iguais. 
A parte pintada de preto corresponde a que fração da figura?
a) 1
2
 
b) 1
6
c) 2
6
d) 6
2
SUpERANDo DESAFIoS
Explorando
MDMat – UFRGS
http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais
Homepage vinculada à UFRGS com alguns objetos digitais 
de aprendizagem. Para esta unidade em especial, clique em 
“Números e operações”; em seguida, clique em “Frações” para 
ter acesso às atividades relacionadas ao conteúdo de frações.
ht
tp
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/m
dm
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.m
at
.u
fr
gs
.b
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ci
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Ac
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so
 e
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ev
. 2
01
5. Matemática e origami: 
trabalhando frações
Autora: Eliane Moreira da Costa
Editora: Ciência Moderna
40 páginas
Como ensinar Matemática para quem não 
gosta de Matemática? Este tem sido um 
dos grandes desafios dos professores e 
o origami pode auxiliá-los a desenvolver 
uma aula que apresente conceitos e fixe 
a linguagem matemática de forma lúdica 
e prazerosa. Este volume traz como 
tema as frações e sugere atividades com 
modelos simples, interessantes e fáceis 
de construir, podendo gerar excelentes 
resultados em sala de aula. 
Ed
ito
ra
 C
iê
nc
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 M
od
er
na
Registre no 
caderno
D
AE
Alternativa a.
Alternativa c.
201
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DIVERSIFICANDo lINGUAGENS
Pizza com frações
Assim como as frações, acredita-se que as primeiras pizzas surgiram entre os egípcios. Claro que 
elas não eram como as que conhecemos nos dias de hoje. A pizza era uma massa fina de farinha 
com água, na época conhecida como “pão de Abrahão”; era servida só com ervas e azeite de oliva e 
dobrada ao meio. 
Mais tarde, em Nápoles, surgiria o termo picea e esta era servida aberta com cobertura de touci-
nho, peixes fritos e queijo. 
Fonte de pesquisa: http://www.portaldasmassas.com.br/site/7746_Historia-da-Pizza . Acesso em: jul. 2013.
Agora que você já sabe um pouquinho da história da pizza, associe cada expressão com frações 
à imagem que representa seu resultado.
a) 8
15
1
3
2 b) 1430
6
15 c) 
3
5
1
3
? d) 
1
5
3
5
� e) 5
3
4
3
2
Registre no 
caderno
Ilu
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es
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al
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m
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N
et
o
e a d
c b
202
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RESGATANDO CONTEÚDOS
1 Calculando 3
5
 de R$ 1.000,00, obtemos:
a) R$ 400,00
b) R$ 500,00
c) R$ 600,00
d) R$ 700,00
2 Considerando o círculo, a parte colorida 
destacada pode ser representada pela 
fração:
a) 3
12
b) 9
12
c) 11
12
d) 8
12
3 Qual das frações abaixo é equivalente à 
fração 2
7
?
a) 6
12
b) 6
14
c) 12
35
d) 8
28
4 Fração irredutível é aquela em que os nú-
meros que representam o numerador e o 
denominador têm como máximo divisor 
comum o número 1. Assinale a alterna-
tiva que contém uma fração irredutível.
a) 6
15
b) 8
9
c) 20
35
d) 8
100
Alternativa c.
Alternativa b.
Alternativa d.
Alternativa b.
5 Observe a sequência formada pelos cír-
culos a seguir, todos de mesmo tamanho 
e divididos em partes iguais.
Qual é a alternativa que indica correta-
mente a sequência formada pelas fra-
ções que representam as partes colori-
das das figuras?
a) 1
2
, 2
3
, 1
4
, 1
5
, 1
8
b) 1
2
, 2
5
, 1
4
, 1
5
, 7
8
c) 1
2
, 2
3
, 1
4
, 1
6
, 7
8
d) 1
2
, 2
3
, 1
6
, 1
5
, 1
8
6 O resultado da adição 1
2
1
3
1
4
1 1 é:
a) 13
12
b) 11
12
c) 10
12
d) 15
12
7 Qual é a alternativa que indica correta-
mente a adição de frações representa-
da pelas duas partes mais escuras dos 
círculos de mesmo tamanho abaixo?
a) 5
6
3
9
1
b) 5
3
3
8
1
c) 5
3
3
12
1
d) 2
6
3
8
1 
Alternativa c.
Alternativa a.
Alternativa d.
Ilu
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ra
çõ
es
: S
et
up
Registre no 
caderno
203203
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Utilize as figuras a seguir para fazer as 
duas próximas atividades a respeito de 
frações:
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
4
1
4
1
2
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
16
1
8
1
8
1
8
1
8
8 São frações equivalentes:
a) ? 5 ?5 1
10
4 1
8
b) ? 5 ?5 1
10
2 1
8
c) ? 5 ?5 1
10
8 1
8
d) ? 5 ?5 1
10
4 1
2
9 Comparando as frações, é correto afir-
mar que:
a) 1
8
1
2
.
b) 2
10
2
8
.
c) 2
10
3
16
.
d) 1
2
1
4
,
10 Algumas azeitonas foram separadas em 
três grupos com a mesma quantidade, 
como indica a figura a seguir.
Cada um desses grupos representa:
a) 1
3
 de 6 azeitonas.
b) 1
3
 de 12 azeitonas.
c) 1
3
 de 15 azeitonas.
d) 1
3
 de 18 azeitonas.
11 Resolvendo a expressão 1
2
2 1
2
? 1( ), ob-
temos:
a) 5
16
b) 5
4
c) 4
3
d) 1
3
12 Quais são as frações que representam 
corretamente a equivalência de frações 
indicada pelas figuras?
a) 2
5
6
15
5
b) 4
10
12
30
5
c) 2
5
4
10
5
d) 4
5
810
5
13 Se transformarmos o número misto 2 2
5
 
em fração imprópria, obtemos:
a) 22
5
b) 12
10
c) 5
12
d) 12
5
 
14 Considerando-se que cada retângulo 
maior é a unidade, assinale a alternativa 
que indica corretamente o número misto 
representado pelas figuras abaixo.
 
a) 14
6
b) 12
6
c) 13
6
d) 11
6
Ilu
st
ra
çõ
es
: S
et
up
Alternativa a.
Alternativa b.
Alternativa c.
Alternativa c.
Alternativa d.
Alternativa a.
Alternativa d.
204204
pom6_164_205_u5.indd 204 5/17/15 3:53 PM
15 Qual é a alternativa que indica corre-
tamente o resultado da subtração das 
frações que representam a parte escura 
dos círculos de mesmo tamanho?
 
a) 1
6
b) 1
20
c) 1
30
d) 1
9
16 Cinco amigos resolveram sair no fim de 
semana para comer pizza: Cíntia, Lúcia, 
Antônio, Mário e Paulo.
Leia as informações e descubra quantas 
fatias de pizza cada um comeu:
•	Paulo comeu 4
3
 do que Lúcia comeu;
•	Antônio, 4
3
 do que Paulo comeu;
•	Lúcia, 3
5
 do que Mário comeu;
•	Mário comeu 1
4
 de 60 fatias;
•	Cíntia comeu 1
2
 do que comeu Paulo.
17 Determine os termos que estão faltando 
nas frações, de tal forma que todas elas 
sejam equivalentes. Na célula central, de-
verá aparecer a fração que é equivalente a 
todas as outras, porém, irredutível.
220 120
180
120
35
 
 
 
18
 
160
10
 400
18 Qual é o resultado da expressão 
( )1 12 1 342 ? 1 ? 
a) 1
2
b) 1
4
c) 1
8
d) 1
16
19 Quantos centímetros correspondem a 3
5
 
de 30 cm? 
a) 18 cm
b) 21 cm
c) 12 cm
d) 8 cm
20 A metade de um bolo será dividida em 
duas partes iguais. Qual fração do bolo 
corresponde a cada parte? 
a) 1
2
b) 1
3
c) 1
5
d) 1
4
21 Qual fração imprópria corresponde ao 
número misto 3 2
7
? 
a) 14
7
b) 23
7
c) 20
7
d) 22
7
M
ár
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Le
vy
m
an
12
16
9
15
6
3055
140
40
40
100
72
1
4
Alternativa c.
Alternativa a.
Alternativa d.
Alternativa b.
Alternativa c.
D
AE
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UNIDADE 6
Números decimais
Ao medirmos a altura de uma criança ou verificarmos 
a massa de um caminhão carregado, dificilmente o re-
sultado será um número natural, sendo necessário o 
emprego dos números com vírgula. O trabalho com 
esses números representa uma ampliação impor-
tante ao nosso conhecimento numérico.
APOEMA MAtEMáticA 6
MiOlO GERAl
visto
7a PROvA
AdRiAnA
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Agsandrew/Shutterstock
1 Qual é maior: 5,07 ou 5,7? 
2 Quantos décimos de segundos há em 1 segundo?
3 Uma cédula de 20 reais pode ser trocada por 
quantas moedas de 50 centavos?
APOEMA MAtEMáticA 6
MiOlO GERAl
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7a PROvA
AdRiAnA
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CAPíTULO 20
Frações decimais e 
números decimais
Vamos rever as cédulas do sistema monetário brasileiro. Você se lembra de como são re-
presentados cada um dos valores expressos nas cédulas a seguir?
E as moedas? Como elas são representadas? Já que temos cédulas, para que precisamos 
de moedas? 
As moedas, com exceção da moeda de 1 real, representam as partes do real. Em muitas 
transações financeiras utilizamos os centavos. Por exemplo, o preço da passagem de ônibus 
em uma cidade do Brasil foi reajustado para R$ 2,85 no ano de 2014. 
Observe a representação numérica das moedas: a parte inteira (à esquerda da vírgula) é 
igual a zero ou igual a um.
R$ 2,00
R$ 5,00
R$ 10,00
R$ 20,00
R$ 50,00
R$ 100,00
R$ 0,01 R$ 0,05 R$ 0,10 R$ 0,25 R$ 0,50 R$ 1,00
©
 B
an
co
 C
en
tr
al
 d
o 
B
ra
si
l
©
 B
an
co
 C
en
tr
al
 d
o 
B
ra
si
l
Respostas da página anterior:
1. 5,7
2. 10
3. 40
APOEMA MATEMÁTICA 6
MIOLO GERAL
visto
7a PROVA
ADRIANA
208
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Ao escrevermos uma quantia em reais, utilizamos os números decimais. O número à es-
querda da vírgula indica a quantia inteira em reais, enquanto o número que está à direita dela 
indica a fração do real.
Os números decimais podem ser representados por meios de frações e, como vimos an-
teriormente, os centavos nos reportam à base 100, isto é, os agrupamentos são feitos de 100 
em 100, pois em 1 real temos 100 centavos.
•	1 centavo 1100 5 0,01 •	5 centavos 
5
100
 5 0,05
•	10 centavos 10100 5 0,10 •	25 centavos 
25
100
 5 0,25
•	1 real 100100 5 1,00•	50 centavos 
50
100
 5 0,50
Número decimal e fração decimal
Nos capítulos anteriores, estudamos as frações. As frações cujos denominadores são 10, 
100, 1 000, 10 000 etc. são chamadas de frações decimais. Utilizando partes do Material Dou-
rado, é possível ter uma ideia melhor do que são essas frações decimais. 
O cubo representa a unidade (1), a placa representa um décimo da unidade 
1
10( ) , a barra 
indica um centésimo da unidade 
1
100( ) e o cubinho representa um milésimo da unidade 
1
1 000( ) . 
D
AE
1 unidade 
dividida em 10 
partes iguais
placa
barra
cubinho
1 unidade 
dividida em 100 
partes iguais
1 unidade 
dividida em 1 000 
partes iguais
1
10
 da unidade 5 0,1
1
100
 da unidade 5 0,01
1
1 000
 da unidade 5 0,001
APOEMA MAtEMáticA 6
MiOlO GERAl
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7a PROvA
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209
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Exemplo 1:
O algarismo 8, nos números a seguir, ocupa posições diferentes, deslocando-se uma or-
dem para a direita:
•	183 947
 Valor posicional: 80 000 5 8 3 10 000
•	138 947
 Valor posicional: 8 000 5 8 3 1 000
•	139 847
 Valor posicional: 800 5 8 3 100
•	139 487
 Valor posicional: 80 5 8 3 10
•	139 478
 Valor posicional: 8 5 8 3 1
Observe que no número 183 947 o algarismo 8 equivale a 80 000, já no número 138 947 o 
algarismo 8 equivale a 8 000, que é um décimo )( 110 de 80 000, pois 80 000 : 10 = 8 000. Isso 
volta a ocorrer nos demais exemplos, pois, a cada um destes, o algarismo 8 encontra-se em 
uma ordem anterior, desta forma, seu valor posicional altera-se.
TRABALHO EM EQUIPE
Em trio, utilize o Material Dourado para completar a tabela.
Quantidades Representação do Material Fração Decimal Unidade Décimos Centésimos Milésimos
4 décimos 410
1 inteiro e 
4 décimos
1 4
10
3 décimos e 
5 centésimos
35
100
1 inteiro, 
3 décimos e 
5 centésimos
1 35
100
1 inteiro, 
5 décimos, 
1 centésimo e 
8 milésimos
1 518
1000
9 milésimos 91000
Registre no 
caderno
4 placas 0,4 0 4 0 0
1 cubo e quatro 
placas 1,4 1 4 0 0
3 placas e cinco 
barras 0,35 0 3 5 0
 Um cubo, 3 placas 
e 5 barras 1,35 1 3 5 0
1 cubo, cinco 
placas, 1 barra e 8 
cubinhos 1,518 1 5 1 8
9 cubinhos 0,009 0 0 0 9
APOEMA MAtEMáticA 6
MiOlO GERAl
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Exemplo 2:
O algarismo 8, nos números a seguir, ocupa posições diferentes no número, deslocando-
-se uma ordem para a direita:
Exemplo 3:
Transforme frações decimais em números na forma decimal:
Resolução:
•	 7
10
0,75 Lemos: sete décimos.
•	 27
10
2,75 Lemos: dois inteiros e sete décimos.
•	 2
100
0,025 Lemos: dois centésimos.
•	 27
100
0,275 Lemos: vinte e sete centésimos.
Para transformar uma fração de-
cimal em número na forma decimal, 
podemos utilizar um processo prático. 
Nele, escrevemos o numerador da fra-
ção com tantas casas decimais quan-
tos forem os zeros que aparecem no 
denominador.
1 1 11 1 1
8 3 1 5 8
218,349
8 unidades
1 11 1 1 11 1 1
0,1 0,1 10,1 1 0,1
8 3 0,1 5 0,8
8 3 1
10
 5 8
10
213,849
8 décimos
0,1 11 0,1 1 10,1 1 0,1
0,01 0,01 10,01 1 0,01
8 3 0,01 5 0,08
8 3 1
100
 5 8
100
213,489
8 centésimos
0,01 11 0,01 1 10,01 1 0,01
0,001 0,001 10,001 1 0,001
8 3 0,001 5 0,008
8 3 1
1000
 5 8
1000
213,498
8 milésimos
0,001 11 0,001 1 10,001 1 0,001
Ilu
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çõ
es
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211
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Exemplo 4:
Transforme números na forma decimal em frações decimais:
Resolução:
•	0,3 3
10
5
•	2,31 231
100
5
•	0,03 3
100
5
•	0,074 74
1 000
5
•	4,801
4 801
1 000
5
•	29,07
2 907
100
5
Para transformar um número na forma decimal 
em fraçãodecimal, escrevemos uma fração em que 
o numerador corresponde ao número sem vírgula e o 
denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros 
quantas forem as casas decimais do número dado.
AGORA É COM VOCÊ
1 Escreva na forma decimal as frações decimais a seguir:
a) 28
10
 
b) 823
100
 
c) 207
100
 
d) 
4 557
1000
 
e) 39
10 000
f) 997
10
2 Transforme os números seguintes em frações decimais:
a) 0,34 34100
b) 45,123
c) 0,003
d) 23,1 231
10
e) 8,915
f) 0,45 45100
3 Utilizando algarismos, escreva os seguintes números:
a) dois inteiros e quarenta e nove centésimos;
b) quatrocentos e vinte e cinco milésimos;
c) vinte e oito inteiros e setenta e dois centésimos; 
d) trinta e dois inteiros e novecentos e quarenta e oito milésimos; 
e) setenta e oito centésimos; 
f) quarenta inteiros e quatro milésimos. 
4 Observe os números das placas a seguir e escreva-os por extenso.
 Quais desses números podem ser chamados de decimais?
2,8
8,23
2,07
4,557
0,0039
99,7
45123
1 000
3
1 000
8 915
1 000
2,49
0,425
28,72
32,948
0,78
40,004
Todos.
Novecentos e trinta e 
quatro milésimos; oi-
tocentos e cinquenta 
milésimos; dois inteiros 
e cinco décimos; dois 
inteiros e trezentos e 
quarenta milésimos; 
cinco décimos; sete in-
teiros e três décimos; 
dois inteiros e cento e 
cinquenta milésimos; 
três inteiros e setenta e 
sete centésimos. 
Registre no 
caderno
0,934
0,5
2,5
2,150
0,850
7,3
2,340
3,77
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6. a) Vermelho: 0,3 1 0,005 5 0,305 5 
305
1 000
 5 
61
200
Verde: 0,1 1 0,005 5 0,105 5 
105
1 000
 5 
21
200
Amarelo: 0,1 1 0,005 5 0,105 5 
105
1 000
 5 
21
200
Azul: 0,12 1 0,005 5 0,125 5 
125
1 000
 5 
1
8
Branco 5 0,36 5 0,36 5 
36
100
 5 
9
25
5 Observe que algumas frações que não são decimais podem ser transformadas em fra-
ções decimais, utilizando-se a equivalência entre frações. Assim, elas também podem 
ser escritas como números na forma decimal.
Exemplos:
•	 1
2
1 5
2 5
5
10
0,55 ?
?
5 5
•	 3
4
3 25
4 25
75
100
0,755 ?
?
5 5
•	 3
20
3 5
20 5
15
100
0,155 ?
?
5 5
Utilize o procedimento acima descrito para escrever as frações a seguir como números 
na forma decimal:
a) 3
5
6
10
0,6� d) 8
5
16
10
1,6�
b) 9
25
36
100
0,36� e) 21
50
42
100
0,42�
c) 7
20
35
100
0,35� f) 1
4
25
100
0,25�
6 O mosaico a seguir representa 1 inteiro. Ele foi desenhado em uma malha quadriculada 
e foram utilizadas 4 cores diferentes (azul, vermelho, amarelo e verde) em sua compo-
sição.
Após observar o mosaico, responda às questões.
a) Represente, na forma fracionária e na forma decimal, a porção da malha quadriculada 
utilizada para cada cor.
b) Represente, na forma fracionária e na forma decimal, a soma das partes pintadas da 
imagem, com exceção da cor branca. 64
100
 5 0,64
Professor, esta é uma ativi-
dade que deve ser utilizada 
para sondar o conhecimento 
do aluno não apenas de nú-
meros decimais, mas tam-
bém de operações com esses 
números.
Além da sugestão de resposta 
apresentada, o aluno poderá 
resolver os questionamen-
tos a partir da contagem de 
quadradinhos e triângulos 
coloridos.
D
AE
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Frações centesimais
As frações que têm denominador igual a 100, chamadas de centesimais, podem ser 
representadas com outra notação matemática, a porcentagem. Fazemos isso escreven-
do o numerador da fração centesimal seguido do sinal % (por cento). Assim, 50
100
 = 50% 
(cinquenta por cento). Comparando os dois números, vemos que 50 é igual a metade 
de 100. Portanto, dizer que 50 é a metade de 100 é o mesmo que dizer que 50 é igual a 
cinquenta por cento de 100.
Exemplo 1:
•	 3100 5 3% (lemos: três por cento)
•	 41100 5 41% (lemos: quarenta e um por cento)
Exemplo 2:
•	7,5% 7,5100
75
1 000
0,0755 5 5
•	91,2% 91,2100
912
1 000
0,9125 5 5
Multiplicação de decimais por potências de 10
O resultado da multiplicação de um número na forma decimal 
por 10, por 100, por 1 000, … é obtido deslocando a vírgula, respec-
tivamente, uma, duas, três, … casas decimais para a direita.
Exemplo:
•	91,345 10
91 345
1 000
10
1
91 345
100
913,453 5 3 5 5
•	91,345 100
91 345
1 000
100
1
91 345
10
9 134,53 5 3 5 5
•	91,345 1 000
91 345
1 000
1 000
1
91 345
1
91 3453 5 3 5 5
Importante!
 V Para transformar uma porcentagem 
em fração centesimal e, depois, em 
número na forma decimal, basta 
observar a equivalência de frações.
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Divisão de decimais por potências de 10
O resultado da divisão de um nú-
mero na forma decimal por 10, por 
100, por 1 000, ... é obtido deslocando 
a vírgula, respectivamente, uma, duas, 
três, ... casas decimais para a esquerda.
Exemplo 1:
•	523,79 10
52 379
100
10
1
52 379
100
1
10
52 379
1 0
 5 5 3 5
000
52,3795
•	523,79 100
52 379
100
100
1
52 379
100
1
100
52 37
 5 5 3 5
99
10 000
5,23795
•	 5 5 3 5 5 523,79 1 000
52 379
100
1 000
1
52 379
100
1
1 000
52 379
100 000
0,52379
Importante!
 V No caso de um número na forma decimal, 
retirando ou acrescentando um ou mais zeros 
à direita de sua parte decimal, o número 
permanece o mesmo. Isso poderá ser constatado 
por meio da equivalência de frações.
Exemplo 2:
0,27 5 0,270 5 0,2700 5 0,27000 5 …
 ou
27
100
270
1 000
2 700
10 000
27 000
100 000
...5 5 5 5
Conforme a observação acima, podemos representar um número decimal com diferentes 
números de casas.
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AGORA É COM VOCÊ
1 Escreva as frações decimais correspondentes às seguintes porcentagens:
a) 23% 23100
b) 7% 7100
c) 15% 15100
d) 77% 77100
e) 2,5%
f) 3,9%
2 Transforme os números abaixo em porcentagens.
a) 0,34
b) 0,05
c) 0,33
d) 0,01
e) 0,92
f) 0,14
3 Efetue as seguintes multiplicações:
a) 23,45 3 10
b) 143,482 3 100
c) 0,4972 3 1 000
d) 0,0014 3 10
e) 0,3457 3 1 000
f) 2,3478 3 10 000
4 Obtenha o resultado das seguintes divisões:
a) 92,784  10 
b) 782,554  100 
c) 75 634,12  1 000 
d) 0,09  10 
e) 600,1  1 000 
f) 5 000  10 000 
g) 0,15  10 
h) 1,234  100
5 Copie e complete cada item com um número que torne verdadeira a igualdade.
a) 9,341 3 5 934,1 
b) 175,1  5 0,1751 
c) 3 1 000 5 9,341 
d)  100 5 8,275 
e) 22,997 3 5 22 997
f) 44,567  5 4,4567
g) 3 100 5 3 700
h)  1 000 5 0,1778
6 Resolva os problemas a seguir.
a) Quantas moedas de R$ 0,25 são necessárias para conseguir a quantia de R$ 25,00?
b) Tenho R$ 50,00 em moedas de R$ 0,10. Quantas moedas eu tenho?
c) Uma nota de R$ 100,00 vai ser trocada por moedas de R$ 0,01. Quantas moedas serão 
necessárias?
d) Um supermercado conseguiu 1 000 moedas de R$ 0,50 para troco. Qual é a quantia 
total em reais?
7 Observe os números que estão escritos dentro dos círculos. Eles formam uma sequência 
numérica. Quais são os três próximos números dessa sequência?
95 670 9 567,0 956,70 95,670 9,5670 0,95670
2,5
100
25
1000�
3,9
100
39
1000�
34%
5%
33%
1%
92%
14%
234,5
14 348,2
497,2
0,014
345,7
23 478,0
9,2784
7,82554
75,63412
0,009
0,6001
0,5
0,015
0,01234
100 moedas
500 moedas
10 000 moedas
R$ 500,00
Registre no 
caderno
100 1 000
1 000 10
0,009341 37
827,5 177,8
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Comparações entre números decimais
Num treino classificatório de uma corrida de 
Fórmula 1, dois pilotos levaram praticamente o 
mesmo tempo para completar a volta. Um deles 
fez uma volta completa em 1 minuto, 18 segun-
dos e 352 milésimos de segundo. O outro fez em 
1 minuto, 18 segundos e 325 milésimos de segun-
do. Qual deles foi mais rápido?
Para descobrir qual deles foi mais rápido, te-
mos de comparar os seguintes tempos:•	325 milésimos de segundo ou 0,325 do segundo
0,325 325
1 000
5
•	352 milésimos de segundo ou 0,352 do segundo 
0,352 352
1 000
5
Na situação apresentada, concluímos que o piloto que levou 1 minuto, 18 segundos e 
325 milésimos de segundo foi mais rápido do que o outro. Neste exemplo, fizemos a com-
paração entre dois números decimais que tinham o mesmo número de casas decimais. 
Como podemos comparar dois números decimais quaisquer?
Para comparar dois ou mais números escritos na forma decimal, há outro procedimento 
que podemos adotar sem a necessidade de transformá-los em frações decimais.
Para comparar dois números decimais quaisquer que têm 
a mesma parte inteira, procedemos da seguinte maneira:
1. igualamos o número de casas decimais desses números;
2. comparamos então as partes decimais.
Exemplo:
Compare os números 73,4567 e 73,44.
Resolução:
Reescrevemos os números igualando a quantidade de casas decimais:
 73,4567
 73,44 = 73,4400
4 casas decimais
Comparando as partes decimais dos dois números, temos: 4 567  4 400.
Concluímos que 73,4567  73,44.
Zu
ba
rt
ez
Como as duas frações têm o mesmo 
denominador, basta comparar o numerador. 
Assim, temos que: 0,325  0,352
Importante!
 V Quando as partes inteiras são diferentes, a comparação dos números será feita pela comparação dessas 
partes inteiras.
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AGORA É COM VOCÊ
1 Nos itens a seguir, indique qual é o número maior.
a) 34,009 ou 34,09
b) 4,0231 ou 4,2031
c) 999,75 ou 899,99 
d) 44,112 ou 44,3
e) 8,726 ou 8,72601
f) 9,2145 ou 9,2
g) 54,23 ou 54,234
h) 2 000,01 ou 2 001,08
2 Em uma calculadora, para obter um número com vírgula utilizamos o ponto. Veja o exem-
plo: para escrever 2,13 escrevemos 3. 12 (2 ponto 13).
Suponha que a tecla ponto esteja quebrada; como podemos obter no visor da calculadora 
os números a seguir?
a) 0,2
b) 4,51
c) 1,018
3 André usou uma régua para comparar o comprimento de dois segmentos desenhados 
numa folha de papel, como indicam as figuras:
 
a) Qual é a medida de cada segmento?
b) Qual deles é menor?
c) Na régua, 1 centímetro está dividido em 10 partes. O que indica cada uma dessas 
partes?
4 Numa folha, Sandra desenhou um segmento e marcou nele 4 números igualmente es-
paçados. Como numa régua, ela dividiu em 10 partes iguais cada segmento entre dois 
números consecutivos e indicou um ponto dessa linha por meio de uma seta, como mos-
tra a figura. Responda:
0 1 2 3
a) Qual foi o número que ela indicou?
b) Esse número é maior ou menor que 2,35?
5 O professor escreveu na lousa os números 99,5 e 99,6. Em seguida, pediu que os alunos 
escrevessem outros seis números obedecendo a seguinte condição: serem maiores que 
99,5 e menores que 99,6. Escreva seis números que satisfaçam essa condição.
34,09
4,2031
999,75
44,3
8,72601
9,2145
54,234
2 001,08
2 : 10
451 : 100
1018 : 1000
Zu
ba
rt
ez
4,5 cm e 4,8 cm
O segmento de 4,5 cm.
Um milímetro.
Se
tu
p
2,3
Menor.
Resposta pessoal. Sugestão de resposta: 99,51; 99,52; 99,53; 99,54; 99,55; 99,56.
Registre no 
caderno
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CAPíTULO 21
Operações com 
números decimais
Existem balanças eletrônicas que permitem avaliar a massa de uma forma mais precisa, 
até com três casas depois da vírgula.
Laura, ao comprar algumas frutas num supermercado que utiliza balança eletrônica, consta-
tou que as massas obtidas foram:
Fruta Massa (quilogramas)
melancia 2,5
pera (meia dúzia) 0,754
maçã (meia dúzia) 0,81
banana (3 unidades) 0,285
Como poderemos saber a massa total que Laura carregará?
Adição com números decimais
Para obter a massa total que Laura carregará é necessário fazer uma adição. Observe que 
os valores correspondentes às massas aparecem com casas decimais. Assim, precisamos de 
um procedimento que nos permita adicionar tais valores.
Ed
ua
rd
o 
B
el
m
ir
o
Para adicionar dois ou mais números decimais, procedemos da seguinte maneira:
•	 igualamos o número de casas decimais dos números a serem adicionados 
acrescentando zeros, se necessário;
•	posicionar os números de tal maneira que as vírgulas fiquem alinhadas;
•	adicionamos como se fossem números naturais;
•	no resultado, colocamos a vírgula alinhada com as vírgulas das parcelas.
Vamos adicionar os números da situação apresentada anteriormente. Igualamos o núme-
ro de casas decimais e adicionamos os números correspondentes.
2,5 5 2,500
0,754 5 0,754
0,81 5 0,810
0,285 5 0,285 1
4,349
Podemos perceber que Laura comprou 4,349 kg de frutas; essa é a massa que ela terá de 
carregar. Será que ela aguenta carregar a sacola?
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AGORA É COM VOCÊ
1 Você se lembra da decomposição dos números naturais? Observe a seguir como fazer a 
decomposição de números escritos na forma decimal:
Decomposição
258,976 5 200 1 50 1 8 1 0,9 1 0,07 1 0,006
Agora faça a decomposição dos seguintes números na forma decimal:
a) 72,975
b) 8,907
c) 456,239
d) 81,3296
e) 0,4593
f) 0,0457
2 Agora observe os números decompostos e faça a composição deles:
a) 50 1 3 1 0,3 1 0,08 1 0,004
b) 200 1 40 1 1 1 0,2 1 0,02 1 0,002
c) 3 1 0,1 1 0,02 1 0,007
d) 700 1 30 1 0,8 1 0,04 1 0,001
e) 2 1 0,9 1 0,07
f) 0,4 1 0,09 1 0,007 1 0,0004
g) 10 1 3 1 0,3 1 0,01
h) 50 1 0,5 1 0,005
3 Resolva as adições a seguir utilizando a estratégia que considerar mais simples.
a) 23,567 1 0,32 
b) 4,785 1 92,03 
c) 0,004 1 100,5523 
d) 30,4051 1 2,034
e) 40,316 1 7,54
f) 8,7 1 102,045
4 Responda rápido:
a) Aumentando-se 1 décimo ao número 0,34, qual será o número obtido?
b) Acrescentando-se 0,002 ao número 1,088, qual será o número obtido?
5 Descubra o padrão de cada sequência a seguir e depois escreva os próximos três termos.
a) 0,0005 0,0025 0,0045 0,0065
b) 0,0004 0,0504 0,1004 0,1504
6 Resolva os seguintes problemas:
a) A mãe de Sônia foi ao supermercado e gastou R$ 235,44 apenas com alimentos. Pas-
sou na farmácia e gastou mais R$ 45,25. Quanto ela gastou ao todo no supermercado 
e na farmácia?
b) Marcelo anotou no caderno sua altura no começo do ano: 1,57 metro. Verificou, depois 
de 8 meses, que havia crescido 3 centímetros. Qual é a altura de Marcelo após esses 8 
meses?
c) Manuel comprou 2 pacotes de feijão de 0,5 quilogra-
mas e pagou R$ 4,74 cada. Qual é o valor de 1 quilo-
grama de feijão?
70 1 2 1 0,9 1 0,07 1 0,005
8 1 0,9 1 0,007
400 1 50 1 6 1 0,2 1 0,03 1 0,009
80 1 1 1 0,3 1 0,02 1 0,009 1 0,0006
0,4 1 0,05 1 0,009 1 0,0003
0,04 1 0,005 1 0,0007
53,384
241,222
3,127
730,841
2,97
0,4974
13,31
50,505
23,887
96,815
100,5563
32,4391
47,856
110,745
0,44
1,09
0,0085; 0,0105; 0,0125
0,2004; 0,2504; 0,3004
R$ 280,69
Zu
ba
rt
ez
1,60 metro
R$ 9,48
Registre no 
caderno
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Subtração com números decimais
Observe as quatro etapas principais no salto com varas:
Dois atletas fizeram seus saltos: o primeiro conseguiu 4,85 metros e o segundo atingiu a 
altura de 4,9 metros. Qual é a diferença entre essas alturas?
Nesta situação, precisamos apenas fazer a subtração das alturas. A subtração de dois números 
decimais é feita de maneira análoga à utilizada na adição.
Que estratégia você pode utilizar para resolver esta subtração? Por quê?
Para subtrair dois números decimais, procedemos da seguinte maneira:
•	igualamos o número de casas decimais dos números a serem subtraídos 
acrescentando zeros, se necessário;
•	posicionamos os números de tal maneira que as vírgulas fiquem alinhadas;
•	subtraímos como se tivéssemos números naturais;
•	no resultado, colocamos a vírgula alinhada com as vírgulas dos números que 
estão sendo subtraídos.
Exemplo:
Calcule a diferença entre os dois saltos:
Resolução:
 4,9 5 4,90
4,85 54,85 2
0,05
Podemos concluir então que o segundo atleta saltou 0,05 metro a mais do que o primeiro 
atleta.
Ilu
st
ra
çõ
es
: W
al
do
m
ir
o 
N
et
o.
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AGORA É COM VOCÊ
1 Efetue as seguintes subtrações com números na forma decimal:
a) 23,567 – 0,32
b) 5,785 – 2,03
c) 20,894 – 10,552
d) 30,4051 – 2,034
e) 9,99 – 0,0001
f) 40,316 – 30,04
g) 8,75 – 2,045 
h) 10,5 – 8,27
2 Responda rápido:
a) O valor da compra era R$ 9,75. Se paguei com uma cédula de 10 reais, qual foi o troco que 
recebi?
b) Qual foi o troco recebido para uma nota de R$ 50,00, sabendo que o valor da compra foi 
R$ 45,50? 
c) O valor da compra era R$ 187,10. Se paguei com duas cédulas de R$ 100,00, qual foi o 
troco que recebi?
3 Copie e complete a tabela com as quantias que estão faltando.
Valor da compra Quantia que tenho Quanto falta
R$ 120,00 R$ 100,50
R$ 250,00 R$ 150,75
R$ 200,00 R$ 70,50
R$ 530,00 R$ 350,50
R$ 100,00 R$ 10,20
4 Descubra o padrão de cada sequência a seguir e depois escreva os próximos três termos.
a) 1,04 1,01 0,98 0,95 b) 10,05 9,20 8,35 7,50
5 Resolva as seguintes expressões:
a) (2 2 0,1) 1 10,3
b) (22,2 1 1,25) 2 5,35
c) (42 2 0,2) 1 100,5 
d) (422,25 1 10,25) 2 5,5
e) (1 2 0,002) 1 0,888
f) 13,74 1 (9,8 2 0,4)
g) (11,1 2 0,1) 1 33,333
h) 131,44 1 (10,8 2 9,4)
i) 9,341 1 (0,3 2 0,001)
j) (4,5 2 0,01) 1 25,324
k) 3,78 1 (1,3 2 0,02)
l) (88,5 1 0,05) 1 55,04
6 Resolva os seguintes problemas:
a) Com uma cédula de 100 reais, paguei um almoço no valor de R$ 34,50 e um sorvete 
no valor de R$ 10,25. Quantos reais me sobraram?
b) Meu pai tem 1,95 metro de altura. Ainda preciso crescer mais 8 centímetros para chegar 
à altura dele. Qual é a minha altura atual?
c) A amplitude térmica é a diferença entre a maior 
temperatura e a menor. Assim, se a maior tem-
peratura hoje foi de 32,5 °C e a temperatura 
mínima foi de 19 °C, qual é o valor da amplitude 
térmica?
d) Todos os dias, pela manhã, costumo correr 
10 quilômetros numa pista perto de minha ca-
sa. Hoje, entretanto, acabei correndo 2,250 qui-
lômetros a menos. Quantos quilômetros corri?
23,247
3,755
10,342
28,3711
9,9899
10,276
6,705
2,23
R$ 0,25
R$ 4,50
R$ 12,90
0,92; 0,89; 0,86 6,65; 5,8; 4,95
12,2
18,1
142,3
427
1,886
23,14
44,333
132,84
9,64
29,814
5,06
143,59143,59
R$ 55,25
1,87 metro
M
ar
ci
o 
Le
vy
m
an
13,5 °C
7,75 quilômetros
Registre no 
caderno
R$ 99,25
R$ 179,50
R$ 19,50
R$ 129,50
R$ 89,80
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Multiplicação com números decimais
Bruna pesquisou, em lojas que vendem eletrôni-
cos, o preço de um computador portátil. Encontrou 
um de que gostou bastante e solicitou ao vendedor 
que parcelasse o valor a ser pago, já que não tinha 
dinheiro suficiente para pagar à vista. Conseguiu 
comprar em 8 parcelas mensais iguais, conforme 
cartaz que havia na loja.
Bruna queria saber o total que pagaria, pois só ti-
nha a informação do valor de cada parcela. Para des-
cobrir o valor total, ela efetuou uma multiplicação. 
Lembrou então que havia aprendido a decomposição de números decimais. Observe 
como ela calculou:
8 3 123,45 5 8 3 (100 1 20 1 3 1 0,4 1 0,05)
8 3 123,45 5 (8 3 100) 1 (8 3 20) 1 (8 3 3) 1 (8 3 0,4) 1 (8 3 0,05)
8 3 123,45 5 800 1 160 1 24 1 3,2 1 0,40
8 3 123,45 5 987,60
Assim, o valor total a ser pago na compra do computador é de R$ 987,60.
Na situação apresentada efetuamos a multiplicação de um número natural por um nú-
mero na forma decimal. Como procedemos para fazer a multiplicação entre dois números 
decimais quaisquer?
Para multiplicar dois números decimais, fazemos da seguinte maneira:
•	multiplicamos os números decimais como se fossem números naturais, isto é, sem 
a vírgula;
•	no resultado (produto obtido), colocamos a vírgula considerando que o número 
de casas decimais será igual à soma dos números de casas decimais dos fatores.
Exemplo:
Efetue a multiplicação entre os números 5,27 e 1,6.
Resolução:
5,27 3 1,6 5 ?
 2 casas 1 casa
527
3 16
3 162
1 5 270
8 432
5,27 3 1,6 5 8,432 ou 3 5 3 5 55,27 1,6 527
100
16
10
8432
1000
8,432
 
123,45
8 parcelas iguais de
R$
G
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ss
ey
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/D
re
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e.
co
m
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AGORA É COM VOCÊ
1 Efetue as seguintes multiplicações de números naturais por números decimais:
a) 9 3 25,42
b) 7 3 103,27
c) 12 3 5,88
d) 80 3 4,75
e) 15 3 7,26
f) 18 3 1,3
g) 99 3 0,11
h) 33 3 0,02
i) 25 3 49,08 1 227
2 Efetue as multiplicações de números decimais por números decimais:
a) 1,2 3 0,04
b) 2,7 3 4,4 
c) 45,6 3 5,18 
d) 981,2 3 0,7
e) 12,1 3 8,2 
f) 144,1 3 0,02
g) 99,2 3 10,12
h) 1,9 3 1,9
i) 101,29 3 3,6 364,644
3 Responda rápido:
a) Multiplique 3,44 por 100. Qual é o resultado?
b) Qual é o resultado da multiplicação 0,01 3 100?
c) Ao multiplicar um número por 10 e, depois, o resultado por 0,1, o que acontece com o 
resultado final?
d) Ao multiplicar um número por 1 000 e, depois, o resultado por 0,001, o que aconte-
ce com o resultado final?
4 Descubra o padrão das sequências a seguir e, então, escreva os próximos três números.
a) 120,234 1 202,34 1 2023,4 120 234
b) 0,02 0,04 0,08 0,16
c) 0,04 0,12 0,36 1,08
d) 2,5 10 40 160
5 Nos itens a seguir, utilize uma multiplicação para descobrir a quantia resultante.
a) Tenho 32 moedas de R$ 0,25. Quantos reais tenho?
b) Tenho 60 moedas de R$ 0,50. Quantos reais tenho?
c) Troquei 1 000 moedas de R$ 0,05 por apenas uma cédula. Qual é o valor da cédula?
d) Troquei 500 moedas de R$ 0,10 por apenas uma cédula. Qual é o valor da cédula? 
6 Resolva os seguintes problemas:
a) Uma bicicleta está sendo vendida pelo valor de R$ 450,00 à 
vista ou em 7 parcelas iguais de R$ 68,90. Se eu comprá-la 
parcelado, quanto pagarei no total? Quanto a mais que à 
vista?
b) A mãe de Joana comprou 3 quilogramas de feijão e pagou R$ 4,70 
por quilograma. Também comprou 4 quilogramas de arroz, pa-
gando R$ 2,75 por quilograma. Quanto ela gastou no final?
7 Resolva as seguintes expressões:
a) 9 3 (8,97 2 2,47)
b) (98 3 0,2) 1 (5,16 2 4,57)
c) 0,59 3 (2,44 1 1,56)
d) (80 3 0,02) 1 (0,04 3 100)
e) (28,37 2 9,37) 3 0,03
f) 4,5 1 2,4 3 (7,15 2 4,45)
228,78
722,89
70,56
380
108,9
23,4
10,89
0,66
0,048
11,88
236,208
686,84
99,22
2,882
1 003,904
3,61
344
1
Não se altera.
Não se altera.
1 202 340; 12 023 400; 120 234 000
0,32; 0,64; 1,28
3,24; 9,72; 29,16
640; 2 560; 10 240
R$ 8,00
R$ 30,00
R$ 50,00
R$ 50,00
Ta
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an
a 
N
ys
hk
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D
re
am
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e.
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R$ 482,30; R$ 32,30
R$ 25,10
Vi
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or
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 V
el
as
qu
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D
re
am
st
im
e.
co
m
58,5
20,19
2,36
5,6 
0,57
10,98
Registre no 
caderno
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Divisão entre números naturais: quociente decimal
Rosane queria comprar a TV do 
anúncio ao lado que estava sendo 
vendida por R$ 1.399,00. Observe o 
anúncio feito pela loja. 
Se Rosane optar por comprar a TV 
da forma anunciada, qual será o valor 
de cada parcela? 
Para resolver esse problema, pri-
meiro temos que descobrir qual é o 
valor a ser parcelado. Lembre-se de 
que o comprador deve dar uma entra-
da (valor inicial) de R$ 450,00.
R$ 1.399, 00 – R$ 450,00 = R$ 949,00
Portanto, o valor a ser pago em 
cada parcela é o resultado da divisão de R$ 949,00 por 6:
R$ 949,00 : 6 = R$ 158,1666...
Obtemos no quociente da divisão um número decimal, infinito e periódico. Ele é chama-
do de infinito e periódico porque ao tentar fazer a divisão completa de 949 por 6, em deter-
minado momento, o número 6 se repete indefinidamente na parte decimal do quociente. O 
período do número é a parte que se repete e, nesse caso, o período é o algarismo 6. Existem 
números decimais periódicos com períodos formados