Exercício de Determinantes

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[1 ⋅ (−𝑠𝑒𝑛𝐴) ⋅ (−1)] − [0 ⋅ 1 ⋅ 1] 
Exercício de Determinantes 
Determine as possíveis medidas dos ângulos internos de um triângulo ABC, isósceles em A, 
sabendo que o determinante da matriz [
1 0 0
1 𝑐𝑜𝑠2𝐴 −𝑠𝑒𝑛𝐴
−1 −1 1
] é igual a zero. 
Solução: 
Tomemos a matriz 𝑀 = [
1 0 0
1 𝑐𝑜𝑠2𝐴 −𝑠𝑒𝑛𝐴
−1 −1 1
]. 
Representando o determinante da matriz 𝑀 por 𝑑𝑒𝑡𝑀, temos: 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 0 (𝟏) 
Agora, realizaremos o cálculo do determinante da matriz 𝑀 (𝑑𝑒𝑡𝑀) utilizando os passos abaixo. 
 
𝟏º passo Escrevemos a matriz e repetimos a 1ª e a 2ª colunas à direita da 3ª: 
1 0 0
1 𝑐𝑜𝑠2𝐴 −𝑠𝑒𝑛𝐴 
−1 −1 1
1 0
1 𝑐𝑜𝑠2𝐴
−1 −1
 
 
 
𝟐º passo Efetuamos a adição algébrica dos produtos dos elementos indicados pelas setas 
conforme o esquema: 
1 0 0
1 𝑐𝑜𝑠2𝐴 −𝑠𝑒𝑛𝐴 
−1 −1 1
1 0
1 𝑐𝑜𝑠2𝐴
−1 −1
 
 
 
 
Logo: 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = [1 ⋅ 𝑐𝑜𝑠2𝐴 ⋅ 1] + [0 ⋅ (−𝑠𝑒𝑛𝐴) ⋅ (−1)] + [0 ⋅ 1 ⋅ (−1)] − [0 ⋅ 𝑐𝑜𝑠2𝐴 ⋅ (−1)] − 
 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = [1 ⋅ 𝑐𝑜𝑠2𝐴 ⋅ 1] − [1 ⋅ (−𝑠𝑒𝑛𝐴) ⋅ (−1)] 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 𝑐𝑜𝑠2𝐴 − (+𝑠𝑒𝑛𝐴) 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 𝑐𝑜𝑠2𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝐴 
Sabendo que 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃, temos: 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 𝑐𝑜𝑠2𝐴 − 𝑠𝑒𝑛2𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝐴 
Trocar os sinais 
dos produtos 
Conservar os sinais 
dos produtos 
Sabendo que 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃, temos: 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝐴 − 𝑠𝑒𝑛2𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝐴 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝐴 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = −2𝑠𝑒𝑛2𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝐴 + 1 (𝟐) 
 
Até aqui, temos as seguintes informações: 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 0 (𝟏) 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = −2𝑠𝑒𝑛2𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝐴 + 1 (𝟐) 
Neste caso, igualando (𝟏) e (𝟐), temos: 
−2𝑠𝑒𝑛2𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝐴 + 1 = 0 
−2(𝑠𝑒𝑛𝐴)2 − 𝑠𝑒𝑛𝐴 + 1 = 0 
Ao multiplicarmos a equação −2(𝑠𝑒𝑛𝐴)2 − 𝑠𝑒𝑛𝐴 + 1 = 0 por −1, temos: 
2(𝑠𝑒𝑛𝐴)2 + 𝑠𝑒𝑛𝐴 − 1 = 0 
 
A partir daqui, nosso objetivo é encontrar a medida da ângulo 𝐴 para obtermos as medidas dos 
demais ângulos. 
Para isso, vamos indicar 𝑠𝑒𝑛𝐴 = 𝑥, usando a incógnita auxiliar 𝑥. 
Substituindo 𝑠𝑒𝑛𝐴 por 𝑥 na equação 2(𝑠𝑒𝑛𝐴)2 + 𝑠𝑒𝑛𝐴 − 1 = 0, temos: 
2𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 
Na equação 2𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0, temos: 
𝑎 = 2 𝑏 = 1 𝑐 = −1 
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 12 − 4 ⋅ (2) ⋅ (−1) = 1 + 8 = 9 
 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2𝑎
=
−1 ± √9
2 ⋅ (2)
=
−1 ± 3
4
⟹ 
 
 
As raízes 
1
2
 e −1 são valores reais da incógnita 𝑥. Como fizemos 𝑠𝑒𝑛𝐴 = 𝑥, precisamos, agora, 
obter a medida do ângulo 𝐴. Assim: 
𝑥1 =
−1 + 3
4
=
2
4
=
1
2
 
 
𝑥2 =
−1 − 3
4
=
−4
4
= −1 
 
e 
 
Para , temos: 
 
Para 𝑥 = −1, temos: 𝑠𝑒𝑛𝐴 = −1 ⟹ 𝐴 = 270° 
 
Como sabemos, a soma das medidas dos três ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. 
Neste caso, 𝐴 = 270° não é possível, pois essa medida ultrapassa a medida da soma dos três 
ângulos internos do triângulo. Portanto, 𝐴 = 30°. 
Se o triângulo é isósceles em 𝐴, então os ângulos da base são congruentes, ou seja, possuem a 
mesma medida. 
Tomando os ângulos da base como 𝐵 e 𝐶 de medida 𝑦 cada um, temos: 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180° 
 30° + 𝑦 + 𝑦 = 180° 
 30° + 2𝑦 = 180° 
 2𝑦 = 180° − 30° 
 2𝑦 = 150° 
 𝑦 =
150°
2
 
 𝑦 = 75° 
 
 
Portanto, as possíveis medidas dos ângulos internos do triângulo ABC são 30°, 75° e 75°. 
 
 
 
 
𝑥 =
1
2
 
 
𝑠𝑒𝑛𝐴 =
1
2
⟹ 𝐴 = 30° 
 
.