Exercício de Determinantes

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Exercício de Determinantes 
Seja a matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) de ordem 2, tal que: 
𝑎𝑖𝑗 = {
𝑐𝑜𝑠
𝜋
2𝑖−𝑗
, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑠𝑒𝑛
𝜋
𝑖+𝑗
, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
. 
Calcule o determinante da matriz 𝐴. 
Solução: 
Tomemos a matriz quadrada 𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
]. 
Levando em consideração o sistema citado na questão, temos as seguintes conclusões: 
 
 
 
𝑎𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2𝑖 − 𝑗
 , 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗 
 
𝑎11 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2(1) − 1
= 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2 − 1
= 𝑐𝑜𝑠
𝜋
1
⟹ 𝑎11 = 𝑐𝑜𝑠𝜋 
 
 
𝑎22 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2(2) − 2
= 𝑐𝑜𝑠
𝜋
4 − 2
⟹ 𝑎22 = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
 
 
 
 
 
 
𝑎𝑖𝑗 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
𝑖 + 𝑗
 , 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 
 
𝑎12 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
1 + 2
⟹ 𝑎12 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
 
 
 
𝑎21 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2 + 1
⟹ 𝑎21 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
 
 
 
Com as conclusões acima e realizando as devidas substituições, a matriz 𝐴 será apresentada desta 
forma: 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] ⟹ 𝐴 = [
𝑐𝑜𝑠𝜋 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
] 
 
Sabendo que 𝜋 = 180°, temos: 
𝐴 = [
𝑐𝑜𝑠𝜋 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
] ⟹ 𝐴 = [
𝑐𝑜𝑠180° 𝑠𝑒𝑛
180°
3
𝑠𝑒𝑛
180°
3
𝑐𝑜𝑠
180°
2
] ⟹ 𝐴 = [
𝑐𝑜𝑠180° 𝑠𝑒𝑛60°
𝑠𝑒𝑛60° 𝑐𝑜𝑠90°
] 
Sabendo que , 𝑐𝑜𝑠180° = −1 e 𝑐𝑜𝑠90° = 0, temos: 
 
𝐴 = [
𝑐𝑜𝑠180° 𝑠𝑒𝑛60°
𝑠𝑒𝑛60° 𝑐𝑜𝑠90°
] ⟹ 𝐴 =
[
 
 
 
 −1
√3
2
√3
2
0 ]
 
 
 
 
 
 
Nosso objetivo, agora, é calcular o determinante da matriz 𝐴. 
Para isso, iremos utilizar o artifício mostrado abaixo. 
 
Efetuamos a adição algébrica dos produtos dos elementos indicados pelas setas conforme o 
esquema: 
[
 
 
 
 −1
√3
2
√3
2
0 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, representando o cálculo do determinante da matriz 𝐴 por 𝑑𝑒𝑡𝐴, temos: 
 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = (−1) ⋅ 0 − (
√3
2
⋅
√3
2
) 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 −
√9
4
 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = −
3
4
 
 
𝑠𝑒𝑛60° =
√3
2
 
Produto dos elementos da diagonal 
principal (conserva-se o sinal). 
Produto dos elementos da diagonal 
secundária (troca-se o sinal). 
Portanto, o determinante da matriz 𝐴 é igual a −
3
4
.