Exercício de Determinantes

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Exercício de Determinantes 
Calcule o determinante da matriz [
𝑎 𝑏
𝑏 𝑎
], sabendo que 2𝑎 = 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 e 2𝑏 = 𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥. 
Solução: 
Tomemos a matriz 𝑀 = [
𝑎 𝑏
𝑏 𝑎
]. 
 
Sabendo que 2𝑎 = 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥, temos: 
 𝑎 =
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
 
Sabendo que 2𝑏 = 𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥, temos: 
 𝑏 =
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
 
 
Nosso objetivo, agora, é calcular o determinante da matriz 𝑀. 
Para isso, iremos utilizar o artifício mostrado abaixo. 
 
Efetuamos a adição algébrica dos produtos dos elementos indicados pelas setas conforme o 
esquema: 
[
𝑎 𝑏
𝑏 𝑎
] 
 
 
 
Neste caso, representando o cálculo do determinante da matriz 𝑀 por 𝑑𝑒𝑡𝑀, temos: 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 𝑎 ⋅ 𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑏 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 𝑎2 − 𝑏2 
Sabendo que 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏) ⋅ (𝑎 − 𝑏), temos: 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = (𝑎 + 𝑏) ⋅ (𝑎 − 𝑏) 
 
Para e , temos: 
 
Produto dos elementos da diagonal 
principal (conserva-se o sinal). 
Produto dos elementos da diagonal 
secundária (troca-se o sinal). 
𝑎 =
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
 𝑏 =
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = (
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
+
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
) ⋅ (
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
−
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
) 
 
Como sabemos, para adicionar ou subtrair números representados por frações que têm o mesmo 
denominador, adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador. 
 
 
 
Logo: 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = (
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 + 𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
) ⋅ (
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
) 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = (
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 + 𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
2
) ⋅ (
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
) 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = (
𝑒𝑥 + 𝑒𝑥
2
) ⋅ (
𝑒−𝑥 + 𝑒−𝑥
2
) 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = (
2𝑒𝑥
2
) ⋅ (
2𝑒−𝑥
2
) 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = (
2𝑒𝑥
2
) ⋅ (
2𝑒−𝑥
2
) 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = (𝑒𝑥) ⋅ (𝑒−𝑥) 
 
Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência. Para 
isso, conservamos a base e adicionamos os expoentes. 
 
 
Logo: 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 𝑒𝑥+(−𝑥) 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 𝑒𝑥−𝑥 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 𝑒0 
𝑑𝑒𝑡𝑀 = 1 
 
 
 
5
9
+
2
9
=
7
9
 
5
9
−
2
9
=
3
9
 
𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 , sendo 𝑎 ≠ 0. 
Quando uma adição algébrica contém parênteses 
precedidos do sinal +, podemos eliminar esses parênteses, 
bem como o sinal que os precede, escrevendo cada número 
que está no interior dos parênteses com o seu próprio sinal. 
10 + (−6) = 10 − 6 
Dado um número racional 𝑎, com 𝑎 ≠ 0, define-se 𝑎0 = 1. 
Portanto, o determinante da matriz [
𝑎 𝑏
𝑏 𝑎
] é igual a 1.