Lista 2 - Curvas Parametrizadas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Cálculo 3
2a Lista de Exercícios
Curvas Parametrizadas
1. Faça um esboço da curva parametrizada pela função vetorial a seguir.
(a) α(t) = (t2, t), t ∈ R.
(b) α(t) = (t2, t4), t ∈ R.
(c) α(t) = (2 cos(t), 3 sen(t)), 0 ≤ t ≤ 2π.
(d) α(t) = (2 cos(t), 3 sen2(t)), 0 ≤ t ≤ 2π.
(e) α(t) = (et cos(t), et sen(t)), t ∈ R.
(f) α(t) = (cos(t), t), t ∈ R.
(g) α(t) = (cos(t), 2 sen(t), t), t ∈ R.
(h) α(t) = (cos(t), 2 sen(t), et), t ∈ R.
(i) α(t) = (t2, t4, t6), t ∈ R.
(j) α(t) = (cos(t), cos(t), sen(t)), 0 ≤ t ≤ 2π.
2. Determine uma parametrização para a curva abaixo, explicitando seu domínio.
(a) Circunferência, no plano xy, de raio 1 e centro na origem.
(b) Circunferência, no plano xy, de raio r e centro no ponto de coordenadas (a, b).
(c) A circunferência x2 − 4x+ y2 = 0.
(d) A circunferência x2 + 2x+ y2 + 4y − 4 = 0.
(e) A elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
(f) A elipse
(x− p)2
a2
+
(y − q)2
b2
= c2.
2
(g) A elipse 9x2 + 4y2 − 45 = 0.
(h) A elipse x2 − 2x+ 4y2 − 3 = 0.
(i) O gráfico da função f : R→ R, f(x) = x cos(x).
(j) O gráfico de uma função f : [a, b]→ R.
3. Encontre parametrizações para as seguintes curvas do R3.
(a) x2 + y2 = 1 e z = 3.
(b) (x− 1)2 + z2 = 1 e y = 2.
(c) y2 − (z − 2)2 = 1 e x = 1.
(d) x2 − y2 = 1 e z = 3.
4. Determine uma parametrização para a curva obtida pela interseção das superfícies
abaixo. Explicite o domínio da parametrização e descreva a curva obtida, sempre
que puder.
(a) O cilindro x2 + y2 = 4 e a superfície z = xy.
(b) O cone z =
√
x2 + y2 e o plano z = 1 + y.
(c) O parabolóide z = 4x2 + y2 e o cinlindro parabólico y = x2.
(d) O cilindro x2 + y2 = 1 e o cilindro parabólico z = x2.
(e) A superfície z = x3 + y3 + 2 e o cilindro x2 + y2 = 2.
(f) As superfícies y = x2 − z2 + 2 e x2 + y2 = 1.
5. Encontre o comprimento de arco da curva e, sempre que possível, determine a
reparametrização pelo comprimento de arco.
(a) γ : [0, 1]→ R2, definida por γ(t) = (2t+ 1, 3t− 1).
(b) γ : [0, 2π]→ R2, definida por γ(t) = (2 cos(t), 2 sen(t)).
(c) γ : [0, 2]→ R2, definida por γ(t) =
(
t+ 2,
3t2
2
− 1,
√
8t3
3
)
.
(d) γ : [0, 1]→ R2, definida por γ(t) =
(
1− t2
1 + t2
,
2t
1 + t2
)
.
(e) γ : [0, 2π]→ R2, definida por γ(t) = (et cos(t), et sen(t)).
3
(f) γ : [0, π
4
]→ R2, definida por γ(t) = (cos(t) + t sen(t), sen(t)− t cos(t)).
(g) γ : [0, 1]→ R2, definida por γ(t) = (ln
√
1 + t2, arctg(t)).
(h) γ : [0, π]→ R2, definida por γ(t) = (3 cos(t)− cos(3t), 3 sen(t)− sen(3t)).
(i) γ : [0, 4]→ R2, definida por γ(t) =
(
t2
2
,
√
(6t+ 9)3
9
)
.
(j) γ : [0, 2π]→ R2, definida por γ(t) = (t− 1
2
senh(2t), cosh(t)).
(k) γ : [0, 2π]→ R3, definida por γ(t) = (3 cos(t), 3 sen(t), 2t).
(l) γ : [0, 2π]→ R3, definida por γ(t) = (a cos(t), a sen(t), bt), a, b > 0.
(m) γ : [−10, 10]→ R3, definida por γ(t) = (a sen(t), bet, a cos(t)) a, b > 0.
(n) γ : [0, π]→ R3, definida por γ(t) = (t2, sen(t)− t cos(t), cos(t) + t sen(t)).
(o) γ : [0, 1]→ R3, definida por γ(t) = (
√
2 t, et, e−t).
6. Encontre equações para as retas tangente e normal de α em α(t0).
(a) α(t) = (2 cos(t), 2 sen(t), t), t = 0.
(b) α(t) = (t cos(t), t sen(t), t), t = 0.
(c) α(t) = (t, t2, t3), t = 1.
(d) α(t) = (et, tet, t+ 4), t = 0.
(e) α(t) = (t2, et, e−t), no ponto p = (0, 1, 1).
(f) α(t) = (2 cos(3t), t, 2 sen(3t)), no ponto p = (−2, π, 0).
7. Seja α(t) = ( sen(2t), 2 sen2(t), 2 cos(t)), 0 ≤ t ≤ 2π.
(a) Mostre que α está contida em uma esfera centrada na origem.
(b) Calcule o vetor α′(t) e verifique que a projeção de α′(t) sobre o plano z = 0
possui norma constante.
8. Mostre que as curvas
α(t) = (et, e2t, 1− et) e β(t) = ( sen(t), 1 + cos(t), 2 cos(t))
interceptam-se no ponto (1, 1, 0). Ache, também, o ângulo entre suas tangentes nesse
ponto.
4
9. Considere a cúbica retorcida α(t) = (t, t2, t3), t ∈ R.
(a) Ache P = α(t) onde a tangente à curva α é paralela ao vetor V = (4, 4, 3).
Determine a reta tangente a α nesse ponto.
(b) Ache Q = α(t) onde a tangente à curva α é ortogonal ao vetor V = (4, 4, 3).
Determine a reta normal a α nesse ponto.
10. Seja α(t) =
(
2t
1 + t2
,
1− t2
1 + t2
, 1
)
. Mostre que o cosseno do ângulo entre α(t) e α′(t)
é constante.
11. Se uma curva em R3 tem a propriedade de o vetor posição α(t) é sempre perpen-
dicular ao vetor tangente α′(t), mostre que essa curva está contida em uma esfera
com centro na origem.
12. Determine a integral das curvas abaixo.
(a) α(t) = (t− sen(t), 1− cos(t), 0).
(b) α(t) = (et cos(t), et sen(t), et).
(c) α(t) = (2t, t2, t3
3
).
13. Encontre as funções curvatura e torção da curva.
(a) α(t) = (2 sen(t), 5t, 2 cos(t)).
(b) α(t) = (t2, sen(t)− t cos(t), cos(t) + t sen(t)).
(c) α(t) = (1
3
t3, t2, 2t)
(d) α(t) = ( sen(t), cos(t), sen(t)).
(e) α(t) = (t, t, 1 + t2).
(f) α(t) = (et cos(t), et sen(t), t).
(g) α(t) = (t, t2, t3).
(h) α(t) = (t, cosh(t), 1), t > 0.
(i) β(t) = (a cos(t), b sen(t), ct).
(j) β(t) = (a cosh(t), a senh(t), bt).
(k) α(t) =
(∫ t
0
cos(ax2)dx,
∫ t
0
sen(ax2)dx, 1
)
a > 0.
5
(l) α(t) =
(√
(1 + s)3
9
,
√
(1− s)3
9
,
s√
2
)
.
(m) α(t) = (cos(t), sen(t), 1− sen(t)).
(n) α(t) = (t2, sen(t)− t cos(t), cos(t)− t sen(t)), t > 0.
(o) α(t) = (e−t cos(t), e−t sen(t), e−t).
14. Encontre o triedro de Frenet, a curvatura e a torção da curva, no ponto dado.
(a) α(t) = (3t− t3, 3t2, 3t+ t3), no ponto t = 2.
(b) α(t) = (3t cos(t), 3t sen(t), 4t), no ponto t = 0.
(c) α(t) = (2t3 − 1, 3− 2
√
6t2, 8t+ 2), no ponto t = 0.
15. Encontre os pontos onde a curvatura é máxima e os pontos onde é mínima.
(a)
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
(b)
x2
a2
− y
2
b2
= 1.
(c) x2 + y2 = r2.
(d) x2 − y2 = r2.
(e) a2x2 − y = 0.
16. Para qual valor de t a torção da curva β(t) = (t, t2, t3) é máxima?
17. Mostre que a curva β(t) = (cos(t), sen(t), 1 − sen(t)) é plana e determine o plano
que a contém.
18. Seja α(t) = (4
5
cos(5t),− sen(5t),−3
5
cos(5t)), t ∈ R.
(a) Mostre que α está contida em uma esfera centrada na origem.
(b) encontre a curvatura de α(t), ∀ t ∈ R.
(c) Encontre a torção de α(t), ∀ t ∈ R.
19. Seja α(t) = (cos(t), sen(t), 1− sen(t)), t ∈ R.
(a) Mostre que o traço de α está contido no cilindro x2 + y2 = 1.
(b) Calcule a cuvatura de α.
6
(c) Em que pontos de α a cuvatura é máxima? Em que pontos de α a cuvatura é
mímima?
20. Seja α(t) = (a cos(t), a sen(t), bt), onde a > 0 e b > 0 são constantes reais. A curva
C descrita por α(t) é uma hélice circular de passo b contida no cilindro circular reto
x2 + y2 = a2.
(a) Seja θ(t) o ângulo que a reta tangente, num determinado ponto, à curva faz
com o eixo dos z. Mostre que cos θ(t) =
b√
a2 + b2
.
(b) Mostre que os vetores α′(t) e α′′(t), da hélice C, têm comprimento constante.
(c) Calcule o comprimento da hélice C, do ponto (a, 0, 0) até o ponto (a, 0, 2πb).
(d) Calcule a curvatura e a torção da hélice C.
(e) Encontre o triedro de Frenet de α.
21. Sejam f, g : R→ R duas funções suaves, com f > 0. Defina
α(t) =
(∫ t
a
f(u) sen(u) du,
∫ t
a
f(u) cos(u) du,
∫ t
a
f(u)g(u) du
)
.
Mostre que a curvatura de α é dada por
κ(t) =
1
f(t)
√
1 + [g(t)]2 + [g′(t)]2
[1 + g2(t)]3