AULA 2 - Equações Paramétricas (2ª parte)

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CÁLCULO IV 
ANÁLISE VETORIAL aula2 
 Prof Fecchio 
 
 
1) CURVAS PARAMETRIZADAS DO PLANO E DO ESPAÇO 
 
 
a) RETA: As equações paramétricas de uma reta s no plano são 
obtidas por um ponto P=(𝒙𝟎; 𝒚𝟎) ∈ 𝒔 e por um vetor diretor =𝑽
→ (𝒎, 𝒏). 
 As equações paramétricas de uma reta s no espaço são obtidas por 
um ponto P=(𝒙𝟎; 𝒚𝟎; 𝒛𝟎) ∈ 𝒔 e por um vetor diretor =𝑽
→ (𝒎, 𝒏, 𝒑). 
 
 Reta no plano Oxy Reta no espaço Oxyz 
 𝑠: {
𝑥 = 𝑥0 + 𝑚. 𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑛. 𝑡
 𝑠: {
𝑥 = 𝑥0 + 𝑚. 𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑛. 𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑝. 𝑡
 
 
 
 EXEMPLO-1: Esboce o gráfico da curva {
𝒙 = 𝒕 − 𝟏
𝒚 = 𝟐𝒕 + 𝟒
; − 𝟑 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐. 
 Trata-se de uma reta no plano Oxy, passando pelo ponto (𝑥0; 𝑦0) = (-1;4) 
e com vetor diretor =𝑽
→ (𝟏; 𝟐). Podemos esboçar o gráfico a partir do ponto 
(-1;4), traçando uma paralela ao vetor =𝑽
→ (𝟏; 𝟐), desenhado a partir da 
origem. 
 Outra opção é construir uma tabela com 3 colunas, contendo valores 
crescentes de t e calcular valores de x e y para obter pontos da reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EXEMPLO-2: Determine as equações paramétricas da reta s que 
passa pelos pontos P=(1,3,-2) e Q=(2,-1,3). Em seguida, esboce o gráfico. 
 
 Escolhemos qualquer um dos pontos 
dados. Por exemplo, P=(1,3,-2)=(𝑥0,𝑦0 , 𝑧0). 
Obtemos o vetor diretor a partir de 2 
pontos da reta. Por exemplo o vetor PQ 
é dado por (Q-P)=(1,-4,5). Portanto: 
 
 s: {
𝑥 = 1 + 𝑡
𝑦 = 3 − 4𝑡
𝑧 = −2 + 5𝑡
; t∈R 
 
 
b) CIRCUNFERÊNCIA: Uma circunferência no plano Oxy, com 
centro no ponto 𝑪 = (𝒙𝟎; 𝒚𝟎) e raio R, pode ser parametrizada 
utilizando as fórmulas das coordenadas polares, porém, com parâmetro 
t. De modo análogo, parametrizamos a circunferência no espaço com 
centro 𝑪 = (𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎) e raio R, paralela a um dos planos coordenados. 
 
 Circunferência no plano Oxy Circunferência no espaço, situada 
 no sentido anti-horário num plano paralelo ao plano Oxz 
 {
𝑥 = 𝑥0 + 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝑡
 ; 0≤t≤2π {
𝑥 = 𝑥0 + 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦 = 𝑘
𝑧 = 𝑧0 + 𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝑡
 ; 0≤t≤2π 
 
 
 EXEMPLO-3: a) Esboce o gráfico da curva descrita pelas equações 
paramétricas: {
𝒙 = 𝟒. 𝒄𝒐𝒔𝒕
𝒚 = 𝟒. 𝒔𝒆𝒏𝒕
 ; 0≤t≤2𝛑. b) Ache sua equção cartesiana. 
a) Por comparação com a fórmula 
anterior, verificamos que trata-se de 
uma circunferência com C=(0;0) , R=4 
e no sentido anti-horário. 
 Outa opção é construir uma tabela 
de 3 colunas com valores crescentes de 
t e achar alguna pares de pontos (x;y) 
b) Para eliminar o parâmetro t, 
Vamos isolar sent e cost e utilizar a 
Relação fundamental da trigonometria: 
𝑐𝑜𝑠𝑡 =
𝑥
4
 e 𝑠𝑒𝑛𝑡 =
𝑦
4
. Sendo 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 = 1 ⟹ (
𝑥
4
)2 + (
𝑦
4
)2 = 1 ⟹ 
 
 𝑥2 + 𝑦2 = 16 ; -4≤x≤4 circunferência de centro (0;0) e raio R=4 
 EXEMPLO-4: Esboce o gráfico da circunferência dada pelas 
equações paramétricas: 
 
 {
𝒙 = 𝟐 + 𝟑. 𝒄𝒐𝒔𝒕
𝒚 = 𝟔
𝒛 = 𝟓 + 𝟑. 𝒔𝒆𝒏𝒕
 ; 0≤t≤2𝛑 
 
 Comparando com a fórmula dada 
no ítem b), verificamos que trata-se 
de uma circunferência com centro 
C=(2,6,5) e raio R=3, situada no 
plano y=6 (paralelo ao plano Oxz). 
 
 
c) ELÍPSE E HIPÉRBOLE: Uma elipse no plano Oxy com centro 
no ponto 𝑪 = (𝒙𝟎; 𝒚𝟎), semi-eixo horizontal a e semi-eixo vertical b, 
pode ser parametrizada com equações semelhantes às de coordenadas 
polares. O mesmo ocorre para uma hipérbole com centro 𝑪 = (𝒙𝟎; 𝒚𝟎), 
semi-eixo real a e semi-eixo imaginário b. Note que o gráfico da 
hipérbole contém duas assíntotas de equações 𝑦 = ±
𝑏
𝑎
(𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0 
 
 Elípse no plano Oxy Hipérbole no plano Oxy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑡
 ; 0≤t≤2π {
𝑥 = 𝑥0 ± 𝑎. 𝑠𝑒𝑐𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏. 𝑡𝑔𝑡
 ; 
−𝜋
2
<t<
𝜋
2
 
 
 
 EXEMPLO-5: Determine a equação cartesiana e esboce o gráfico da 
curva dada por: {
𝒙 = 𝟒. 𝒄𝒐𝒔𝒕 + 𝟑
𝒚 = 𝟐. 𝒔𝒆𝒏𝒕 + 𝟏
; 0≤t≤2π 
 
 Eliminamos o parâmetro isolando sent e cost: 
cost=
𝑥−3
4
 e sent=
𝑦−1
2
. Sendo 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 = 1, 
obtemos 
(𝑥−3)2
16
+
(𝑦−1)2
4
= 1 𝐸𝑙í𝑝𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 
𝐶=(3;1), 𝑎=4 𝑒 𝑏=2
 
 EXEMPLO-6: Parametrize a hipérbole dada pela equação 
cartesiana: 
(𝒙+𝟏)𝟐
𝟒
−
(𝒚+𝟏)𝟐
𝟏
= 𝟏, cujo gráfico 
é dado abaixo. 
 
 Identificamos no gráfico e na equação os 
valores 𝑥0 = −1 ; 𝑦0 = −1 ; 𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = 1 
 Utilizando a fórmula dada anteriormente 
para a elipse, temos: 
 
 {
𝑥 = −1 ± 2. 𝑠𝑒𝑐𝑡
𝑦 = −1 + 𝑡𝑔𝑡
 ; 
−𝜋
2
≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
 
 
 
 
d) HÉLICE CILÍNDRICA: É a curva descrita pelo deslocamento de 
um ponto sobre a superfície de um cilindro, com projeção circular sobre 
num dos planos coordenados e eixo central 
perpendicular ao círculo. As equações 
paramétricas do cilindro com 1 volta, pro- 
jeção circular de centro C=(0;0), raio R, no 
plano Oxy e eixo central z é dada por: 
 
 {
𝒙 = 𝑹𝒄𝒐𝒔𝒕
𝒚 = 𝑹𝒔𝒆𝒏𝒕
𝒛 = 𝒃𝒕
 ; 0≤t≤2𝛑 
 
 
 
 EXEMPLO-7: Uma hélice é desenhada por um ponto que se desloca 
verticalmente com velocidade igual a 5, na superfície de um cilindro, em 
torno do seu eixo central, cuja base é uma circunferência de centro 
C=(3;2) e raio R=2, situada no plano Oxy. O ponto inicia o percurso a 
partir do eixo x e dá duas voltas completas. 
 Escreva as equações paramétricas da trajetória e determine o ponto 
P, inicial e o ponto Q final. 
 Uma circunferência com C=(3;2) e R=2 tem equações {
𝑥 = 3 + 2. 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦 = 2 + 2. 𝑠𝑒𝑛𝑡
. 
A distância percorrida na vertical em cada volta é z=5t. Portanto a equação 
da hélice para uma volta completa é: 
 
 {
𝑥 = 3 + 2. 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦 = 2 + 2. 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑧 = 5𝑡
 ; 0≤t≤4π e 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑡=0 ⇒ 𝑃=(5,2,0)
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑡=2𝜋 ⇒ 𝑄=(5,2,20𝜋)
 
e) LANÇAMENTO OBLÍQUO: O lançamento de projéteis, sob a 
ação da gravidade, sem resistência do ar, pode ser completamente 
descrito a partir da posição inicial (𝒙𝟎; 𝒚𝟎) e da velocidade inicial 0v . 
 O projétil está sujeito à força da gravidade cuja aceleração é 𝑔 = 9,8
𝑚
𝑠2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EXEMPLO-8: Determine a equação cartesiana do lançamento 
oblíquo, eliminando o parâmetro. Considere 𝒙𝟎 = 𝟎 e 𝒚𝟎 = 𝟎 
 Da 1ª equação paramétrica, 𝑥 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑡, temos 𝑡 =
𝑥
𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃
. 
Substituindo na 2ª, obtemos 𝑦 =
−1
2
𝑔(
𝑥
𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃
)2 + 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃(
𝑥
𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃
), ou seja, 
 𝑦 = (
−𝑔
2𝑣0
2𝑐𝑜𝑠2𝜃
).𝒙𝟐+ (tgθ).x Logo, a curva é uma parábola. 
 
 
 EXEMPLO-9: Determine as fórmulas para obter a) a altura y 
máxima e b) o alcance x máximo no lançamento oblíquo. 
a) Para obter 𝑦𝑚á𝑥, utilizamos a 2ª equação paramétrica, fazendo 𝑦
) = 0 
para obter o instante t em que ocorre a altura máxima: 
𝑦) = −𝑔𝑡 + 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 ⟹ 𝑡 =
𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑔
 . Substituímos t na 2ª equação: 
𝑦𝑚á𝑥 =
−𝑔
2
(
𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑔
)2 + 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃(
𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑔
) ⇒ 𝑦𝑚á𝑥 =
𝑣0
2.𝑠𝑒𝑛2𝜃
2𝑔
 
 
b) O alcance máximo 𝑥𝑚á𝑥 é obtido fazendo y=0 (para obter a raiz não 
nula da parábola, consideramos x≠0): 
𝑦 = (
−𝑔
2𝑣0
2𝑐𝑜𝑠2𝜃
)𝑥2 + (𝑡𝑔𝜃)𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 [(
−𝑔
2𝑣0
2𝑐𝑜𝑠2𝜃
)𝑥 +
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
] = 0 ⟹ 
 
𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
.
2𝑣0
2𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝑔
⇒ 𝑥 =
𝑣0
2. 2. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑔
⇒ 𝑥𝑚á𝑥 =
𝑣0
2. 𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑔
 
2) APLICAÇÕES: 
 
 
 EXEMPLO-10: Uma bola é lançada a partir do chão, no instante t 
(em segundos) e tem sua trajetória (em metros) dada pelas equações 
paramétricas: {
𝒙 = 𝟑𝟔. 𝒕
𝒚 = 𝟐𝟎. 𝒕 − 𝟓. 𝒕𝟐
. Considere g=10
𝒎
𝒔𝟐
. 
a) Determine o instante em que a bola toca o chão e a distância 
(horizontal) correspondente. 
b) Ache a altura máxima e o instante em que isso ocorre. 
 
a) A bola toca o solo no instante 
em que y=0, ou seja, 20𝑡 − 5𝑡2 = 0 
⇒ 5. 𝑡(4 − 𝑡) = 0, (𝑡 ≠ 0) ⇒ 𝑡 = 4 𝑠. 
 A distância máxima, para t=4 é 
𝑥𝑚á𝑥 = 36(4) ⟹ 𝑥𝑚á𝑥 = 144𝑚. 
 
b) A altura máxima pode ser 
obtida pela ordenada do vértice da 
parábola, ou seja, 𝑦𝑚á𝑥 =
−Δ
4𝑎
=
−(202−4(−5)0)
4(−5)
⟹ 𝑦𝑚á𝑥 = 20 𝑚, em t = 2 s 
 
 
 EXEMPLO-11: Uma bola de golfe é lançada a 18 m/s e com ângulo 
de 45º com a horizontal. O vento contra a trajetória tem velocidade de 
3 m/s e ângulo de depressão de 15º. Considere g=10 
𝒎
𝒔𝟐
. 
a) Escreva as equações paramétricas que modela o fenômeno. 
b) Quanto tempo a bola permanece no ar? 
c) Qual é a distância máxima atingida pela bola? 
 
a) O vento afeta negativamente os valores 
de x e y, pois sopra contra a trajetória. 
Subtraímos o seu efeito em ambas as equações: 
 
 {
𝑥 = (18𝑐𝑜𝑠45º). 𝑡 − (3𝑐𝑜𝑠15º). 𝑡
𝑦 = − 5𝑡2 + (18𝑠𝑒𝑛45º). 𝑡 − (3𝑠𝑒𝑛15º). 𝑡
 
 
 
b) O tempo de permanência da bola no ar é obtido com y = 0, ou seja, 
 − 5𝑡2 + (18𝑠𝑒𝑛45º). 𝑡 − (3𝑠𝑒𝑛15º). 𝑡 = 0 
 ⟹ − 5𝑡2 + 12,73𝑡 − 0,78𝑡 = 0 
 ⟹ t.(11,95 – 5t)=0, (t≠0) ⟹ t ≅ 2,39 s. 
 
c) Para obter a distância máxima, substituímos t ≅ 2,39 s na 1ª equação: 
𝑥𝑚á𝑥 = (18𝑐𝑜𝑠45º)(2,39) − (3𝑐𝑜𝑠15º)(2,39) ⇒ 𝑥𝑚á𝑥 = 28,56 𝑚 
 
EXEMPLO-12: Um foguete caseiro, localizado a 1 m acima do solo, é 
lançado com uma velocidade inicial de 30 m/s com um ângulo de 35º em 
relação à horizontal. O vento sopra a 4,2 m/s na direção horizontal, 
favoravelmente ao movimento. O foguete deve ultrapassar um obstáculo 
de 12 m de altura, localizado a 36 m do ponto de lançamento. (g=10
𝒎
𝒔𝟐
) 
a) Escreva as equações paramétricas que modela o movimento. 
b) Verifique a posição do foguete em relação ao obstáculo. 
 
a) O vento sopra a favor da trajetória com 
um ângulo de 0º, Então: 
{
𝑥 = (30𝑐𝑜𝑠35º). 𝑡 + 4,2𝑐𝑜𝑠0º). 𝑡
𝑦 = − 5𝑡2 + (30𝑠𝑒𝑛35º)𝑡 + (4,2𝑠𝑒𝑛0º)𝑡 + 1
 
 
 ⟹ {
𝑥 = (30𝑐𝑜𝑠35º). 𝑡 + 4,2. 𝑡
𝑦 = − 5𝑡2 + (30𝑠𝑒𝑛35º). 𝑡 + 1
 
 
b) Queremos a altura do foguete quando 
x = 36m. Utilizamos a 1ª equação para obter 
t e em seguida a 2ª para calcular a altura do foguete na direção do obstáculo. 
 36 = (30cos35º)t+4,2t ⇒ 28,8.t=36 ⇒ t ≅ 1,25 s. Substituindo na 2ª: 
 y(1,25) = -5(1,23)2 + (30𝑠𝑒𝑛35º)(1,25) + 1 ⟹ 𝑦 ≅ 14,7 𝑚. Logo, 
 
 o foguete passa 2,7 m acima do obstáculo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1) Esboce o gráfico nos espaços abaixo (utilize sua calculadora 
científica, se necessário) e identifique as curvas encontradas. 
a) {
𝒙 = 𝒕
𝒚 =
𝒕𝟐
𝟒
 b) {
𝒙 = −𝟐𝒕 + 𝟐
𝒚 =
𝟒𝒕𝟐
𝟓
− 𝟐
, 𝒕 ∈ [−𝟐; 𝟑] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resp. Parábola Resp. Arco de parábola 
 
 
 𝐜) {
𝒙 = 𝟓. 𝒔𝒆𝒏𝒕
𝒚 = 𝟒. 𝒄𝒐𝒔𝒕
, 𝒕 ∈ [𝟎; 𝟐𝝅] d) {
𝒙 = 𝟐. 𝒔𝒆𝒄𝒕
𝒚 = 𝟒. 𝒕𝒈𝒕
 𝒕 ∈ [𝟎; 𝟐𝝅] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resp. Elipse Resp. Hipérbole 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Escreva as equações paramétricas das curvas dadas pelas 
condições abaixo e esboce seus gráficos. 
a) Reta R do espaço, que passa pelos pontos P=(3,1,0) e Q=(1,4,6). 
b) Circunferência C no plano Oxy, com centro P=(1,0), raio igual 
a 1 e y≥0. 
c) Metade superior da Elipse E, do espaço, situada num plano 
paralelo ao plano Oxz, com centro no ponto P=(0,4,0), a=√𝟐 e b=2. 
 Resp. 
a) {
𝑥 = 3 − 2𝑡
𝑦 = 1 + 3𝑡
𝑧 = 6𝑡
; 𝐛) {
𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡
, 𝑡 ∈ [0; 𝜋]; 𝐜) {
𝑥 = √2𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦 = 4
𝑧 = 2𝑠𝑒𝑛𝑡
, 𝑡 ∈ [0; 𝜋] 
 
 
 
4) Elimine o parâmetro, ache a equação cartesiana correspondente, 
identifique a curva e seus componentes e esboce o gráfico. (Se necessário 
esboce o gráfico com o auxílio de uma calculadora científica). 
 
a) {
𝒙 = 𝟓𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒕) − 𝟒
𝒚 = 𝟒𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄(𝒕)
, 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅; b) {
𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒕 − 𝟒
𝒚 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒕 + 𝟐
, 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝝅 
 
 𝐜) {
𝒙 = 𝟒𝒔𝒆𝒄𝒕 + 𝟏
𝒚 = 𝟑𝒕𝒈𝒕
, 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅; 𝐝) {
𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒏𝒕 + 𝟐
𝒚 = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝒕 − 𝟏
 ,
−𝝅
𝟐
≤ 𝒕 ≤
𝝅
𝟐
 
 
 Resp. a) 
𝑦2
16
 − 
(𝑥+4)2
25
= 1, Hipérbole com C=(-4;0), a=5 e b=4 
 𝐛) (𝑥 + 4)2 +
(𝑦−2)2
4
= 1, Semi-elipse com C=(-4;2), a=1 e b=2 
 𝐜) 
(𝑥−1)2
16
 − 
𝑦2
9
= 1, Hipérbole com C=(1;0), a=4 e b=3 
 𝐝) (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 9, Semi-circunf. com C=(2;-1) e R=3. 
 
 
 
5) Uma bala é lançada de uma bazuca de uma altura de 1,5 m, com 
velocidade de 46 m/s e ângulo de 10º em 
relação à horizontal. A bala atinge um alvo 
situado à distância de 62 m. (g=10
𝒎
𝒔𝟐
) 
a) Em que instante a bala atinge o alvo? 
b) Qual é a altura h do alvo em relação 
à horizontal? 
 
 Resp. a) t = 1,37 s; b) h=1,56 m 
 
 
6) Um foguete experimental do Instituto Aeronáutico é lançado de 
uma plataforma com 8 m de altura, com 
velocidade inicial de 𝒗𝟎 = 𝟒𝟎 
𝒎
𝒔
 e ângulo 
de 45º com a horizontal. (g=10
𝒎
𝒔𝟐
) 
a) Escreva as equações paramétricas 
que modela a trajetória. 
b) Ache o instante e a distância (hori- 
 zontal) quando o foguete atingir o solo. 
 
Resp. a) {
𝑥 = 28,3. 𝑡
𝑦 = −5. 𝑡2 + 28,3. 𝑡 + 8
 b) t≅5,36 s e x=151,7 m 
 
 
7) Uma bola é lançada verticalmente, a partir do ponto 𝒙𝟎 = 𝟐 e 
𝒚𝟎 = 𝟔 com velocidade inicial de 𝟏𝟓
𝒎
𝒔
. (Consi- 
dere g=10
𝒎
𝒔𝟐
). 
a) Escreva as equações paramétricas que 
modela a trajetória da bola. 
b) Quanto tempo a bola permanece no ar? 
c) Em que instante a bola atinge a altura 
máxima? Qual é a altura máxima atingida 
pela bola? 
 
Resp. a) {
𝑥 = 2
𝑦 = −5𝑡2 + 15𝑡 + 6
 b) 3,36 s c) t=1,5 s e 𝑦𝑚á𝑥=17,6 m