Lista 5

Prévia do material em texto

Lista 5 
 
 
PROFESSORA: Luz Amanda 
 
 
1.- Foi observado o tempo de expansão (medido em u.t.) do aço líquido em 80 lingoteiras (com capacidade de 
15 t. de aço cada uma). Os dados são apresentados abaixo: 
 
 18,9 19,1 19,1 19,2 19,3 19,4 19,4 19,5 19,6 19,6 19,7 19,7 19,8 19,8 
 19,8 19,9 19,9 19,9 20,0 20,0 20,0 20,0 20,1 20,1 20,1 20,1 20,1 20,2 
 20,2 20,2 20,2 20,2 20,2 20,2 20,3 20,3 20,3 20,3 20,3 20,3 20,4 20,4 
 20,4 20,4 20,4 20,4 20,4 20,5 20,5 20,5 20,5 20,5 20,6 20,6 20,6 20,7 
 20,7 20,7 20,8 20,8 20,8 20,9 20,9 20,9 20,9 21,0 21,0 21,1 21,1 21,1 
 21,2 21,2 21,2 21,3 21,3 21,3 21,4 21,4 21,6 21,6 
 
a) Qual a variável em estudo? Que tipo de variável é? 
b) Organize esses dados em uma tabela de frequências para esses dados. 
c) Interprete as frequências: n5, f2%, N4, F3%. 
d) Qual a percentagem de lingoteiras em que o tempo de expansão do aço foi maior ou igual a 19,7 e menor 
de 21,3 u.t.? 
e) Apresente esses dados através de uma tabela estatística e de um gráfico estatístico. 
g) Construa o histograma e a Ogiva. 
h) Calcule o valor da média aritmética, da mediana e da moda (Interprete cada uma dessas medidas), 
considerando: 
h.1) os dados não agrupados. 
h.2) os dados agrupados. 
i) Existe alguma diferença entre os resultados obtidos em h.1) e h.2)? Faça um comentário. 
j) Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
 
2.- Os dados abaixo referem-se à dureza de 60 peças de alumínio (Dávila e Tander, 1991) 
 
53,0 70,2 84,3 69,5 77,8 87,5 53,4 82,5 67,3 54,1 70,5 71,4 95,4 51,1 
74,4 55,7 63,5 85,8 53,5 64,3 82,7 78,5 55,7 69,1 72,3 59,5 55,3 73,0 
52,4 50,7 70,5 54,1 67,3 82,5 53,4 87,5 77,8 84,3 69,5 70,1 53,1 71,4 
94,1 51,1 74,3 63,4 55,6 84,9 53,5 82,7 64,3 78,4 72,4 69,4 55,7 55,5 
73,1 52,2 50,5 71,0 
 
a) Organize esses dados em uma tabela de frequências para esses dados. 
b) Interprete as frequências: n2, f4%, F3, F5%. 
c) Faça o histograma de frequências 
d) Qual o número de peças que tiveram uma dureza maior ou igual que 64,9 e menor ou igual que 81,7? 
e) Qual a percentagem de peças com dureza maior de 73,1? 
f) Calcule o valor da média ( x ) e do desvio padrão (s) e determine a percentagem de peças cuja dureza se 
encontra no intervalo [( x - s) ; ( x + s)]. 
 
3.- Os dados a seguir mostram o número de aparelhos de radio imperfeitos em 50 containers de 100 aparelhos 
cada um: 
 
 2 0 4 4 1 4 0 3 2 0 0 1 1 1 0 1 2 4 1 1 1 5 2 2 5 
 3 4 0 4 0 0 0 3 0 1 2 4 2 1 2 0 3 1 3 4 2 0 5 6 3 
 
a) Organize esses dados e represente-os através de um gráfico estatístico. 
b) Calcule todas as medidas de posição e dispersão estudadas. 
c) Qual a percentagem de containers com no mínimo dois e no máximo cinco aparelhos de rádio 
defeituosos? 
 
mrs_m
Realce
mrs_m
Realce
mrs_m
Realce
mrs_m
Realce
mrs_m
Realce
4.- Após coleta de 60 amostras de água de uma lagoa constatou-se os seguintes percentuais de um certo 
poluente: 
 
Percentual de poluente ni 
14,0 |⎯ 15,2 10 a) Complete a tabela de frequências. 
15,2 |⎯ 16,4 24 b) Construa a Ogiva e utilize-a para obter a mediana. 
16,4 |⎯ 17,6 12 c) Determine o percentual médio do poluente. 
17,6 |⎯ 18,8 10 d) Calcule todas as medidas de dispersão estudadas. 
18,8 |⎯ 20,0 4 e) Faça o histograma correspondente. 
f) Calcule as medidas de assimetria estudadas e interprete os resultados. 
 
5.- Duas fábricas (A e B) produzem lâmpadas que emitem raios infravermelhos (úteis em fisioterapia). Para 
estimar a vida útil de tais lâmpadas foram retiradas duas amostras (uma de cada fábrica), obtendo a seguinte 
informação. 
 
Vida útil Fábrica A Fábrica B 
(em semanas) ni Fi% ni Fi% 
 1 ⎯- 9 20 16,6 3 2,4 
 9 ⎯- 11 31 42,5 80 66,4 
11 ⎯- 13 51 85,0 39 97,6 
13 ⎯- 15 18 100,0 3 100,0 
 120 125 
 
a) Para os dados da fábrica A, calcule a média aritmética e a mediana e interprete essas medidas. 
b) Determine o desvio padrão para os dados da fábrica A. 
c) Para os dados da fábrica B se obteve as seguintes medidas: 
Média aritmética = 10,6 desvio padrão = 1,3737 
Se você sabe que o preço desse tipo de lâmpada é muito elevado, utilize a média aritmética e a variância 
dos dois conjuntos de dados para decidir em qual das duas fábricas você compraria uma lâmpada e 
justifique sua decisão. 
d) Na fábrica B, qual é a percentagem de lâmpadas cuja duração é menor de 14 semanas? 
e) Apresente os dados da fábrica A usando uma tabela estatística. 
 
6.- Se temos que analisar os dados da folha de pagamento de uma empresa, qual medida estatística teríamos 
que usar para: 
a) Encontrar o salário tal, que abaixo dele encontram-se 50% dos menores salários. 
b) Encontrar o salário tal, que acima dele encontra-se o 15% dos melhores salários. 
 
7.- Completar a seguinte tabela de frequências: 
 
xi ni fi Ni 
1 0,20 
2 18 
3 0,30 
4 15 51 
5 
6 0,05 
 
8.- Em uma fábrica de 3 seções sabe-se que na seção A com 120 trabalhadores, o comparecimento médio anual 
é de 240 dias; na seção B, que tem 180 operários, o comparecimento médio anual é de 216 dias. Se o 
comparecimento médio na fábrica é de 226,25 dias ao ano, determinar quantos trabalhadores há na seção 
C, cujo comparecimento médio é de 230 dias por ano. 
 
9.- A média de uma população de tamanho 70 é de 120 e seu desvio padrão de 6. Outra população de tamanho 
30 tem uma média de 125 e um desvio padrão de 5. Reúne-se as duas populações formando uma só 
população de 100 dados. Qual o coeficiente de variação dessa população de tamanho 100?. 
mrs_m
Realce
variância, desvio padrão e coeficiente de variação
 
10.- Os dados abaixo referem-se à distribuição dos salários (em salários mínimos) de 100 trabalhadores de 
uma certa empresa. 
 
Faixa salarial 0 ⎯- 4 4 ⎯- 8 8 ⎯- 12 12 ⎯- 16 16 ⎯- 20 total 
Frequência 65 14 11 6 4 100 
 
a) Qual a população em estudo? Quais são as unidades de análise? 
b) Se o sindicato quiser reclamar um aumento nos salários, que medida estatística seria apropriada para 
sustentar essa reclamação? Calcule essa medida. 
c) Que medida o dono da empresa utilizaria para argumentar que seus funcionários possuem um nível 
salarial maior de aquele indicado pelo sindicato? Calcule essa medida. 
d) Suponha que a empresa resolva aumentar os 25% salários mais baixos. Qual será a faixa de salários 
beneficiada com o aumento? 
 
11.- Em uma empresa onde os salários tem uma média de 100,00 u.m. e um desvio padrão de 20,00 u.m., o 
sindicato pede que cada salário xi se transforme em yi; através da seguinte relação: yi = 2,5xi +10. O 
diretório aceita parcialmente o pedido diminuindo os salários propostos pelo sindicato em 10%, o que é 
aceito pelo sindicato. Determine a média e a variância da nova distribuição de salários. 
 
12.- Prove que a soma dos desvios é igual a zero (i.é.: 0)x(
n
1i
i =−
=
). 
 
13.- Prove que: a) 
2
n
1i
2
i
n
1i
2
i x
n
1
)x(
n
1
−=− 
==
 b) 
2
n
1i
i
2
i
n
1i
i
2
i )(nx
n
1
n)x(
n
1
−=− 
==
 
 
14.- A distribuição de salários de uma empresa tem uma média aritmética de 150 e um desvio padrão de 25 
u.m. Como solução a um conflito se propuseram duas alternativas: a) Um aumento geral de 60% dos 
salários; b) um aumento geral de 40% de salários e uma gratificação adicional de 30 u.m. a cada 
funcionário.Qual das duas alternativas é mais conveniente para o sindicato? Justifique sua resposta. 
 
15.- Os salários das 40 pessoas que trabalham em uma empresa estão distribuídos como segue: 
 
Salários ni Ni a) Estime o número de pessoas com salários entre 25,3 e 35,9 u.m. 
20|⎯ 25 2 b) Determine o salário médio e o desvio padrão dos salários. 
25|⎯ 30 c) Calcule a mediana e a moda e interprete cada uma dessas medidas. 
30|⎯ 35 12 22 d) É a distribuição de salários assimétrica à direita? Justifique 
35|⎯ 40 29 usando uma medida estatística. 
40|⎯ 45 34 
45|⎯ 50 4 
50|⎯ 55 
 
16.- Foi observado em 30 computadores o tempo de processamento (em segundos) de um programa. Os dados 
são mostrados abaixo: 
 
23 24 24 25 25 26 26 26 27 27 
28 28 29 29 30 31 32 32 33 35 
 
a) Qual a variável em estudo? Que tipo de variável é? 
b) Calcule a média, mediana, moda, desvio padrão, e os coeficientes de assimetria 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1.- a) Variável: Tempo de expansão do aço líquido(em u.t.). E uma variável quantitativa contínua. 
 b) 
Temp. expansão ni fi fi% Ni Fi Fi% xi 
18,9 |⎯ 19,3 4 0,0500 5,00 4 0,0500 5,00 19,1 
19,3 |⎯ 19,7 6 0,0750 7,50 10 0,1250 12,50 19,5 
19,7 |⎯ 20,1 12 0,1500 15,00 22 0,2750 27,50 19,9 
20,1 |⎯ 20,5 25 0,3125 31,25 47 0,5875 58,75 20,3 
20,5 |⎯ 20,9 14 0,1750 17,50 61 0,7625 76,25 20,7 
20,9 |⎯ 21,3 12 0,1500 15,00 73 0,9125 91,25 21,1 
21,3 |⎯ 21,7 7 0,0875 8,75 80 1,0000 100,0 21,5 
 
 d) 78,7% 
 
h.1) x = 20,36625 =2Q 20,35 x* = 20,2 
 
h.2) x = 20,415 =2Q 20,388 =
*
Kx 20,31538462 =
*
Czx 20,316666..... 
 
j) s = 0.62096291 CV(X) = 0,04898359 
 
 
 
2.- a) 
Dureza ni fi fi% Ni Fi Fi% xi 
50,2 |⎯ 56,7 20 0,3333 33,33 20 0,3333 33,33 53,45 
56,7 |⎯ 63,2 1 0,0167 1,67 21 0,3500 35,00 59,95 
63,2 |⎯ 69,7 10 0,1667 16,67 31 0,5167 51,67 66,45 
69,7 |⎯ 76,2 13 0,2167 21,67 44 0,7333 73,33 72,95 
76,2 |⎯ 82,7 6 0,1000 10,00 50 0,8333 83,33 79,45 
82,7 |⎯ 89,2 8 0,1333 13,33 58 0,9667 96,67 85,95 
89,2 |⎯ 95,7 2 0,0333 3,33 60 1,0000 100,0 92,45 
 
d) 47 peças, têm uma dureza maior ou igual que 64,9 e menor ou igual que 81,7 
 
e) 36,995% das peças têm uma dureza maior de 73,1 
 
f) x = 68,183333... s = 12,48676136 
 
 69657197,55sx =− 67009469,80sx =+ 
 
 A dureza de 52,0231% das peças varia no intervalo [55,69657197; 80,67009469]. 
 
 
 
3.- a) 
N° de aparelhos imper. ni fi fi% Ni Fi Fi% 
0 12 0,24 24 12 0,24 24 
1 11 0,22 22 23 0,46 46 
2 9 0,18 18 32 0,64 64 
3 6 0,12 12 38 0,76 76 
4 8 0,16 16 46 0,92 92 
5 3 0,06 6 49 0,98 98 
6 1 0,02 1 50 1,00 100 
 
b) x = 2 =2Q 2 x* = 0 
s2 = 2,857142857 s = 1,690308509 CV(X) = 0,845154254 
 
c) 52% 
 
4.- a) 
Percentual de poluente. ni fi fi% Ni Fi Fi% 
14,0 |⎯ 15,2 10 0,1667 16,67 10 0,1667 16,67 
15,2 |⎯ 16,4 24 0,4000 40,00 34 0,5667 56,67 
16,4 |⎯ 17,6 12 0,2000 16,67 46 0,7667 76,67 
17,6 |⎯ 18,8 10 0,1667 20,00 56 0,9333 93,33 
18,8 |⎯ 20,0 4 0,0667 6,67 60 1,0000 100,00 
 
 c) 48,16x = 
 
d) s2 = 1,921627119 s = 1,386227658 CV(X) = 0,084115756 
 
f) ...85454545,15x
*
K = 85615385,15x
*
Cz = Q2 = 16,1999999 
 
451191798,0As1 = (K) 457245349,0As1 = (Cz) 605961073,0As 2 = 
 
 Ambos os coeficientes de assimetria são maiores que zero, isto significa que a distribuição de porcentual 
de poluente nas águas da lagoa é assimétrica à direita. 
 
5.- a) Para os dados da fábrica A, calcule a média aritmética e a mediana e interprete essas medidas. 
 
Vida útil Fábrica A 
(em semanas) ni xini fi% Fri% 
i
2
i nx 
 1 ⎯ 9 20 100 16,6 16,6 500 
 9 ⎯ 11 31 310 25,8 42,5 3100 
 11 ⎯ 13 51 612 42,5 85,0 7344 
 13 ⎯15 18 252 15,0 100,0 3528 
 120 1274 14472 
 
661,10x = A vida útil média das lâmpadas provenientes da fábrica A é de 10,616 semanas 
Q2 = 11,352941176, 50% das lâmpadas provenientes da fábrica A têm uma duração menor a 
11,3529 semanas e o outro 50% das lâmpadas têm uma vida útil maior (ou 
maior ou igual) a 11,3529 semanas 
 
 b) s = 2,82004629 s2 = 7,952661075 
 d) 98,8% 
 
6.- a) A mediana 
 b) O percentil 85. 
 
7.- 
 
 
 
 
 
 
 
8.- nC = 52 
 
xi ni fi Ni 
1 12 0,20 12 
2 6 0,10 18 
3 18 0,30 36 
4 15 0,25 51 
5 6 0,10 57 
6 3 0,05 60 
mrs_m
Realce
9.- CV(X) = 0,050702527 
 
10.- a) População: Todos os trabalhadores da empresa. 
 Unidades de análise: Cada um dos trabalhadores da empresa 
 
b) A moda: 4x*K = salários mínimos 24137931,2x
*
Cz = salários mínimos 
 
c) A média: 4,8 salários mínimos 
 
d) A faixa de salários beneficiada com os aumentos será a de 0 até 1,538461538 salários mínimos. 
 
11.- O novo salário médio é de 234,00 u.m. e a variância dos novos salários é de 2025 (u.m)2 
 
14.- 240y = 40Y = 240z = 35Z = 
 
15.- a) 51,95% 
 b) 625,35= u.m. 609375,59
2 = u.m. 
 c) Q2 = 61,34 3,32x
*
K = 2,32x
*
Cz = 
 d) K1sA = 0,426342443 
Cz
1sA = 0,440733747 
 
16.- a) Tempo de processamento de um programa. Quantitativa contínua. 
b)  = 28 =2Q 27,5 x* = 26  = 3,2403703.... 
 As1 = 0,617213409 As2 = 0,46291005