otimização numerica

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Otimização Numérica
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Otimização Numérica
Autoria: Tarcísio Soares Siqueira Dantas
Como citar este documento: DANTAS, Tarcísio Soares Siqueira. Otimização Numérica. Valinhos: 2017.
Sumário
Apresentação da Disciplina 04
Unidade 1: Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes 06
Assista a suas aulas 30
Unidade 2: Otimização unidimensional sem restrições 40
Assista a suas aulas 67
Unidade 3: Otimização multidimensional sem restrições 74
Assista a suas aulas 105
Unidade 4: Programação linear: conceitos básicos 113
Assista a suas aulas 141
2/269
3/2693
Unidade 5: Programação linear: algoritmo simplex e aplicações 148
Assista a suas aulas 176
Unidade 6: Programação não-linear 183
Assista a suas aulas 207
Unidade 7: Algoritmos genéticos 214
Assista a suas aulas 236
Unidade 8: Recozimento simulado 243
Assista a suas aulas 262
Sumário
Otimização Numérica
Autoria: Tarcísio Soares Siqueira Dantas
Como citar este documento: DANTAS, Tarcísio Soares Siqueira. Otimização Numérica. Valinhos: 2017.
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Apresentação da Disciplina
Frequentemente, profissionais das mais va-
riadas áreas do conhecimento buscam me-
lhorar processos, mas os recursos disponí-
veis para tal objetivo sempre são limitados. 
A otimização é um assunto que, através de 
métodos matemáticos, busca estimar a so-
lução de um determinado problema. Para 
isso, é necessário um modelo que represen-
te, pelo menos de forma aproximada, o sis-
tema que se deseja aprimorar. As áreas de 
aplicação podem ir de engenharias e ciên-
cias até as áreas de negócios e finanças. Na 
realidade, qualquer profissional que tenha 
habilidade de trabalhar com funções mate-
máticas está apto a utilizar esta ferramenta. 
É importante, também, separar o profissio-
nal que desenvolve novos métodos de oti-
mização e o profissional que usa o conheci-
mento previamente desenvolvido com uma 
ferramenta para o seu projeto ou processo. 
Este curso foi elaborado para o segundo 
caso. 
Os tipos de problemas que podem ser re-
solvidos são dos mais variados: projeto de 
equipamentos, operação de processos, alo-
cação de recursos financeiros, agendamen-
to de paradas para manutenção de maqui-
nário, entre outros. Para isso, utilizar-se-á 
de métodos de otimização determinísticos 
ou probabilísticos. Os primeiros apresen-
tam uma abordagem mais clássica, onde a 
função objetivo e as restrições são funções 
matemáticas explícitas, de preferência con-
tínuas, e possuem teoremas que garantem 
a convergência para uma solução ótima lo-
cal. Já os métodos probabilísticos envolvem 
5/269
geralmente variáveis estocásticas e os al-
goritmos fazem buscas simultâneas a partir 
de diferentes pontos do espaço de busca, 
além de trabalharem mais eficientemente 
com um grande número de variáveis.
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Unidade 1
Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes
Objetivos
1. Apresentar noções de otimização.
2. Definir a formulação matemática de 
um problema de otimização.
3. Mostrar aplicações.
4. Estabelecer a relação entre a modela-
gem do processo e o problema de oti-
mização.
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes7/269
Introdução 
Certamente, a maioria dos estudantes de 
graduação já se depararam com a necessi-
dade de calcular o mínimo ou o máximo de 
uma função. Apesar da importância inegá-
vel do cálculo diferencial e integral, cujo co-
nhecimento possibilitou o desenvolvimento 
de outras teorias, estimar o máximo ou mí-
nimo de uma função qualquer está distante 
de uma aplicação prática útil para a maioria 
dos profissionais (CHAPRA; CANALE, 2008). 
Essa disciplina propõe aproximar o aluno 
a essa aplicação prática. Obviamente isso 
não significa que os fundamentos mate-
máticos serão abandonados, ao contrário, 
serão aprofundados. Os métodos de otimi-
zação mais próximos do cálculo diferencial 
e integral, baseados na avaliação da deriva-
da, serão apresentados porque são simples, 
didáticos e auxiliarão no entendimento de 
métodos mais complexos.
Concomitante ao avanço da tecnologia dos 
computadores, foram desenvolvidos mé-
todos para a resolução de problemas mais 
complexos,com um númeroconsiderável de 
variáveis e que anteriormente seriam muito 
trabalhosos ou mesmo impossíveis de re-
solver (CHAPRA; CANALE, 2008). 
É importante frisar que na área de otimiza-
ção nenhum algoritmo é capaz de resolver 
todos os problemas, o que ocasiona a gera-
ção de um campo vasto de pesquisa. Porém, 
como será visto, uma etapa de solução de 
problemas de otimizações envolve justa-
mente a escolha do método mais adequado.
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes8/269
Ressalta-se que o ponto extremo da fun-
ção objetivo pode ser um ponto ótimo local 
ou global, que vai depender do intervalo de 
busca estabelecido e se a função é multi ou 
unimodal, conforme ilustra a figura 1, que 
foi obtida a partir da função peaks do sof-
tware MATLAB®.Uma função unimodal pos-
sui apenas um extremo, onde o ponto ótimo 
local coincide com o ótimo global. Uma fun-
ção multimodal possui múltiplos extremos 
e apenas um deles é o global (HIMMELBLAU 
et al., 2001). 
Não é uma tarefa simples determinar a so-
lução ótima global em um problema com 
vários ótimos locais. Recentemente, méto-
dos heurísticos baseados em recozimento 
simulado (Simulated Annealing) demons-
traram sucesso em problemas de otimiza-
ção global, que até então acreditava-se que 
não eram possíveis de serem solucionados 
(PRESS et al., 2007).
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes9/269
Figura 1- Função bidimensional com diferentes extremos locais e globais
Fonte: Adaptado de MATLAB®.
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes10/269
1. Formulação básica de um problema de otimização
Os problemas, geralmente, possuem a seguinte formulação matemática:
i. Função objetivo Maximiza ou minimiza:
ii. Restrição de igualdade Sujeito a:
iii. Restrição de desigualdade
Onde é um vetor de “n” dimensões representando as variáveis independen-
tes (variáveis de projeto ou decisão), que o algoritmo manipulará até atingir o objetivo relacionado 
a função . éo conjunto dos números reais.A notação de vetores, como , será representada 
em negrito e em caixa baixa, ao contrário de matrizes e escalares. As restrições de igualdade são 
formadas por um conjunto de funções algébricas, . As 
restrições de desigualdade são expressas por um vetor de dimensões , que pode conter cons-
tante ou funções. A desigualdade pode envolver também limites inferiores e superiores. Ambos 
 e são constantes que definem os limites das restrições. A estrutura das equações e
 obviamente dependerá do problema e será explicada mais adiante.
Analisando o conjunto de equações incluídas na formulação matemática, é possível classificar o 
problema em termos dos tipos de restrições impostas, observe:
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes11/269
• Se trata de um problema de otimiza-
ção sem restrições se houver apenas 
a função objetivo (i) na representação 
matemática. 
• Se (i) e (ii) estiverem presentes, então 
trata-se de um problema de otimiza-
ção com restrições de igualdade. 
• Caso a formulação inclua (i), (ii) e (iii) 
então classifica-se o problema como 
sendo de otimização com restrições 
de igualdade e desigualdade. 
• Existem também problemas com ape-
nas restrições de desigualdade, onde 
apenas (i) e (iii) estarão incluídas no 
conjunto de equações (CHAPRA; CA-
NALE, 2008). 
Classifica-se também o problema de otimi-
zação com restrições em termos do grau de 
não-linearidade da função objetivo e 
das restrições de igualdade , sendo:
• Programação linear: se e 
são lineares.
• Programação quadrática: se for 
quadrática e são lineares.
• Programação não-linear: se for 
linear ou quadrática ou são não 
lineares.
A programação linear é uma área da oti-
mização com restrições desenvolvida e,ao 
mesmo tempo, distinta de outras aborda-
gens, como será visto adiante. O termo pro-
gramação, na literatura, tem o significado 
análogo ao termo otimização e não deve ser 
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes12/269
confundido com programação através de 
linguagens de computadores (PRESS et al., 
2007, WALTER, 2014). 
Classifica-se também o problema em rela-
ção ao seu número de dimensões: se houver 
apenas uma variável independente classifi-
ca-se o problema como unidimensional, se 
houver mais de uma variável independente 
o problema é então multidimensional.
Uma consequência da imposição de restri-
ções é que as variáveis independentes de-
vem sempre satisfazer esses limites, pré-
-estabelecidos, na busca do extremo da 
função. Essa região permitida é definida 
como região viável ou de busca, como pode 
ser visto na figura2.
Figura 2- Representação da região de busca deli-
mitada por duas restrições de desigualdades
Fonte: adaptado de Himmelblau et al. (2001, p. 120).
A grande vantagem em estabelecer uma 
formulação matemática comum é facilitar 
que profissionais, das mais variadas áreas 
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes13/269
de conhecimento, possam usar os mesmos 
métodos matemáticos para a resolução de 
cada caso particular.
2. Otimização em diferentes ní-
veis organizacionais
Tratando a otimização como uma discipli-
na voltada para aplicação industrial, pode-
-se contextualizar os problemas nos moldes 
que regem essa realidade. A atuação dos 
funcionários e administradores de uma em-
presa pode ser dividida em diferentes níveis 
organizacionais, que, essencialmente, são 
responsáveis por implementarem as deci-
sões da diretoria. Cada nível organizacional 
pode utilizar a otimização como uma ferra-
menta para atingir os seus respectivos ob-
jetivos. É importante frisar que esses objeti-
vos podem ser incompatíveis entre si.
No nível operacional, o usuário vai utilizar a 
otimização tanto na etapa de projeto como 
na de operação. Na fase de projeto, o pro-
cesso de fabricação ou equipamento indi-
vidual ainda não existem. Na operação de 
uma planta industrial, o processo já existe 
e busca-se as condições operacionais óti-
mas. O objetivo pode ser tanto uma variável 
econômica (custo ou lucro) como pode ser 
uma variável técnica (taxa de produção, en-
quadramento nas especificações, eficiência 
energética, tempo e custo de manutenção). 
Há potencial aqui de resolver problemas 
discretos e contínuos, como otimização 
aplicada a alimentação de combustível em 
uma caldeira (contínuo) ou a otimização da 
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes14/269
escala de trabalho (discreto) a fim de apro-
veitar melhor a mão de obra disponível.
Já no nível gerencial, os gestores tomam de-
cisões relacionadas ao orçamento corpora-
tivo, investimentos, linhas de produtos, alo-
cação de recursos entre os setores da em-
presa. Aqui, busca-se otimizar uma variável 
econômica, geralmente visando maximiza-
ção do lucro ou redução dos custos. A deli-
mitação do tamanho do problema envolvi-
do pode variar bastante, envolvendo desde 
uma empresa como um todo, que possui um 
conjunto de plantas industriais e suas redes 
de distribuição, até uma planta individu-
al, uma linha de produção ou processo, um 
equipamento individual, etc. (HIMMELBLAU 
et al., 2001).
É importante também ter cautela ao otimi-
zar um determinado índice de desempenho, 
seja de natureza técnica ou econômica. Se-
gundo Walter (2014), só porque é possível 
realizar uma dada otimização não significa 
que isso seja sempre uma boa ideia e que 
não haverá consequências inesperadas. 
3. Exemplos de aplicações da oti-
mização
Alguns exemplos de aplicações em otimiza-
ção evolvendo um ou mais objetivos.
• Otimização do consumo energético 
do sistema de refrigeração de um fri-
gorífico com restrições em relação à 
temperatura do produto.
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes15/269
• Estimação ótima dos parâmetros de 
um modelo com função objetivo não-
-quadrática.
• Determinação da rota ótima de distri-
buição do combustível produzido em 
uma refinaria de petróleo, visando a 
minimização dos custos de transpor-
te. 
• Determinação da localização ótima 
para construção de uma indústria, 
visando maior volume de produção e 
menor curso de transporte.
• Projeto de aeronave otimizando a re-
lação entre resistência mecânica e 
consumo de combustível.
4. Modelo matemático
A formulação básica de um problema de 
otimização é apenas uma descrição de um 
problema real com representação matemá-
tica, cujo procedimento de “tradução” por si 
só já introduz incertezas e erros. 
Um modelo do processo, que faz parte des-
sa formulação, é essencialmente uma apro-
ximação de determinados aspectos do sis-
tema real. Predições erradas ocorrem quan-
do essa representação falha em descrever 
determinadas características complexas 
do sistema. Isso ocorre porque há incom-
patibilidade entre o modelo e o processo, 
que muitas vezes podem ser multivariáveis, 
não-linearese/ou iterativos.
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes16/269
O comportamento de um processo multiva-
riável é explicado, como o nome sugere, por 
múltiplas saídas e entradas. Cada entrada 
possui diferentes sensibilidades em relação 
a uma saída, que depende do coeficiente da 
mesma no modelo. Muitas vezes é inviável 
medir todas as entradas e uma entrada não 
medida pode gerar incompatibilidade entre 
o modelo e o processo.
É comum usar um modelo linear devido a 
facilidade de obtenção para descrever um 
processo real que é não-linear. Essa apro-
ximação é válida quando o modelo linear é 
utilizado para fazer previsões na vizinhança 
do ponto de operação do processo, no qual 
esse modelo foi estimado. Previsões realiza-
das em condições distantes do ponto ope-
racional tendem a resultar em maiores erros 
comparados com os valores reais medidos e 
resultando em resultados sub-ótimos.
Link
Foi publicado um tutorial na universidade da Cali-
fórnia sobre modelos multivariáveis empregados 
na estatística. Disponível em: <https://www.
math.ucdavis.edu/~tracy/talks/oldtalks/
SAMSItutorial.pdf>. Acesso em: 25 set. 2017.
Link
Um exemplo do emprego de modelos lineares em 
processos não lineares pode ser visto no traba-
lho direcionado a predição de clima baseados em 
anomalias nos dados. Disponível em: <http://jour-
nals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/JCLI3459.1>. Aces-
so em: 22 set. 2017.
https://www.math.ucdavis.edu/~tracy/talks/oldtalks/SAMSItutorial.pdf
https://www.math.ucdavis.edu/~tracy/talks/oldtalks/SAMSItutorial.pdf
https://www.math.ucdavis.edu/~tracy/talks/oldtalks/SAMSItutorial.pdf
http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/JCLI3459.1
http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/JCLI3459.1
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes17/269
A interatividade também é um fenômeno 
comum nos processos reais e multivariá-
veis. Nesse caso, cada entrada afeta uma ou 
mais de uma saída. Outra possibilidade é a 
própria saída de um processo também atu-
ar como uma entrada. Falhar em considerar 
essa interação pode inviabilizar a obtenção 
de um modelo representativo, dependendo 
da magnitude dos coeficientes lineares dos 
termos de interação (SEBORG et al., 2004). 
Esse efeito não será estudado nos proble-
mas de otimização desse curso, mas a men-
ção sobre esse fenômeno pode alertar o 
leitor para uma possível causa geradora de 
complexidade nos dados do processo.
Há uma importante variedade de repre-
sentações matemáticas para modelos, se-
jam eles discretos ou contínuos, em regime 
permanente ou dinâmico. Supõe-se que o 
aluno esteja familiarizado com esse tópico. 
Porém, para atender ao objetivo do curso, 
que é resolver problemas de otimização, a 
Para saber mais
Sobre efeitos de iteratividade em processos indus-
triais, busque na literatura especializada em mo-
delagemde processos ou controle de processos, os 
livros do SEBORG et al. 2004 e do OGATA (2000), 
que trazem exemplos aplicados a engenharia quí-
mica, elétrica e mecânica. Certamente há intera-
tividade na modelagem de fenômenos em muitas 
outras áreas além dessas mencionadas.
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes18/269
representação matemática do processo fi-
cará restrita às equações algébricas. Há di-
versos livros que tratam desse tópico, como 
Chapra e Canale (2008), Himmelblau et al. 
(2001) e Walter (2014), que apresentam 
formulações de um problema de otimiza-
ção visando tanto a seleção da estrutura do 
modelo (p. ex. tipo da função, grau do poli-
nômio etc.) como para estimação de parâ-
metros, e esse último caso será abordado 
nesse material.
5. Continuidade de uma função
A utilização de funções contínuas facilita a 
aplicação da maioria dos métodos de oti-
mização analíticos e numéricos. A presen-
ça de uma descontinuidade na função pode 
resultar na não convergência do algoritmo 
dependendo do intervalo de busca, do pon-
to de partida ou intervalo inicial, como pode 
ser visto na figura3 (HIMMELBLAU et al., 
2001). A continuidade da derivada da fun-
ção objetivo também é desejada quando o 
método de otimização determina a direção 
de busca avaliando a derivada da função 
objetivo, .
Figura 3 - Descontinuidade na função objetivo
Fonte: adaptado de Himmelblau et al. (2001, p. 114).
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes19/269
De acordo com Press et al. (2007), os méto-
dos unidimensionais que não utilizam a pri-
meira derivada são secção áurea e o método 
de Brent (1973). Em problemas multidimen-
sionais, onde o objetivo é minimizar uma 
função com mais de uma variável indepen-
dente, o gradiente da função multidimen-
sional substitui a derivada, que é o caso do 
método simplex down hill de Nelder e Mead 
(1965). Um caso onde a função é contínua, 
mas cuja primeira derivada não é pode ser 
visto na figura 4.
Figura 4 - Descontinuidade na primeira derivada da função objetivo
Fonte: adaptado de Himmelblau et al. (2001, p. 114).
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes20/269
conjunto de equações algébricas. O exem-
plo que segue é adaptado de Himmelblau et 
al. (2001, p. 85):
Declaração verbal: suponha que uma de-
terminada empresa produz três produtos: X, 
Y e Z usando três tipos de matérias-primas 
diferentes: A, B e C. A relação entre cada 
matéria-prima é dada pelas seguintes rela-
ções:
Linha de produção 1: 2 kg de A + 1 kg de B = 
3 kg de X.
Linha de produção 2: 2 kg de A + 1 kg de B = 
3 kg de Y.
Linha de produção 3: 3 kg de A + 1 kg de B + 
2 kg de C = 6 kg de Z. 
O limite máximo de compras e estocagem 
6. Exemplo de formulação de um 
problema de otimização
Essa etapa, como mencionado, é essencial 
para resolução do problema. Trata-se de 
transformar uma declaração verbal em um 
Para saber mais
A definição de continuidade de uma função em 
um determinado ponto , de acordo com Lei-
thold (1994), deve atender as seguintes condi-
ções:
i. existe
ii. existe
iii. 
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes21/269
da empresa, além do preço de cada matéria-prima é apresentado na Tabela 1.
Tabela 1 - Custo de disponibilidade da matéria-prima
Matéria-prima Disponibilidade máxima (kg/dia) Custo da matéria-prima (R$/dia)
A 50000 15
B 35000 20
C 28000 30
Fonte: adaptado de Himmelblau et al. (2001, p. 85).
A equação que define o custo da matéria-prima: 0,015A + 0,02B + 0,03C
Tabela 2 – Custos de processamento de cada produto
Produto Matéria-prima
Custo de processamen-
to (R$/kg)
Valor de mercado do pro-
duto (R$/kg)
X 2/3 kg A, 1/3 kg B 12 50
Y 2/3 kg A, 1/3 kg B 7 35
Z 1/2 kg A, 1/6 kg B, 1/3 kg C 10 40
Fonte: adaptado de Himmelblau et al. (2001, p. 85).
O lucro total da empresa é definido pela soma do valor de mercado dos produtos (os coeficientes 
são expressos em R$/tonelada daqui em diante): 0,05X + 0,035Y + 0,04Z.
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes22/269
O custo de processamento: 0,012X + 0,007Y + 0,010Z.
O custo operacional total diário é o custo da matéria prima + custo de processamento = 0,015A 
+ 0,02B + 0,03C + 0,012X + 0,007Y + 0,010Z.
O lucro diário, que é função objetivo, é calculado subtraindo o custo total operacional diário do 
valor de mercado do produto. Ou seja, 
Para formular as restrições de igualdade, temos que realizar um balanço de cada matéria-pri-
ma: Como se trata de três li-
nhas produzindo X, Y e Z operando simultaneamente, soma-se a contribuição de cada uma, 
. Para cada kg de X e Y usa-se 0,667 kg de A, para cada kg Z usa-se 0,5 kg de A, 
então para determinar a quantidade usada de A para cada um dos produtos, faz-se:
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes23/269
Então é a primeira restrição de igualdade. 
Seguindo o mesmo raciocínio para as outras matérias primas, tem-se o conjunto de restrições 
de igualdade:
As restrições de igualdade identificam uma função das quantidades necessárias de cada compo-
nente para produzir cada um dos produtos, ou seja, do processo de produção. As restrições de 
desigualdade foram dadas explicitamente na Tabela 1.
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes24/269
Nota-se que a restrição de desigualdade 
é essencial para evitar resultados que não 
fazem sentido, pois escolher uma quanti-
dade negativa de matéria-prima para max-
imizar o lucro diário é contra a lógica do 
problema real, apesar disso ser matemati-
camente possível se apenas for anali-
sada em um problema sem restrições. 
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes25/269
Glossário
Processo: uma sequência de operações individuais (de natureza física, química, mecânica, elé-
trica, financeira) necessárias para alcançar um determinado objetivo, como a produção de um 
bem material ou realização de uma determinada tarefa.
Variáveis independentes: são exatamente o que o nome sugere, ou seja, variáveis que não de-
pendem de nenhuma outra variável ou equação, e por isso o modelador ou o próprio algoritmo 
de otimização pode determinar qualquer valor desejado. Também são conhecidas como variá-
veis de entrada, de projeto, de decisão. Por exemplo, em uma função de primeiro grau, f(x) = y = 
ax + b, a variável “x” é a variável independente.
Restrições: são equações matemáticas que limitam as variáveis dependentes e independentes 
de forma que o problema mantenha um significado físico. Por exemplo: uma empresa terá uma 
capacidade máxima (restrição) de estocagem de determinado produto.
Região ou espaço de busca: as restrições do problema estabelecem um espaço delimitado para 
os valores que as variáveis independentes podem assumir, restringindo, consequentemente, o 
conjunto de soluções possível da função objetivo. O extremo da função objetivo, sem restrições, 
pode ou não estar contido nessa região. 
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes26/269
Glossário
Resultados sub-ótimos: são casos no qual o algoritmo de otimização obteve um valor próximo 
ao ponto ótimo real do sistema. Usar um modelo que não representa o processo ou escolher um 
algoritmo inadequado para o tipo de problema são razões para resultar nesse tipo de solução.
Questão
reflexão
?
para
27/269
Há situações em que otimizar realmente pode ser uma 
má ideia. Reflita em situações que você já vivenciou (ou 
ouviu falar) que houve a intenção de otimizar algum ín-
dice de desempenho qualquer, mesmo sem aplicar uma 
metodologia matemática, e resultou em consequências 
inesperadas. Seria possível introduzir alguma nova in-
formação que evitasse isso? Como essa solução seria 
introduzida na formulação básica da otimização?
28/269
Considerações Finais
• Usa-se métodos de otimização com objetivo de melhorar algo.
• A formulação básica do problema de otimizaçãoé uma tradução do proble-
ma real na forma de equações matemáticas e sempre inclui pelo menos a 
função objetivo, que se deseja maximizar ou minimizar.
• As restrições servem para adequar o problema às limitações encontradas 
na realidade e deverão ser incluídas na formulação básica para delimitar a 
região de busca.
• Nenhum algoritmo sozinho é capaz de resolver todos os problemas de oti-
mização.
Unidade 1 • Introdução, definições e conceitos matemáticos importantes29/269
Referências
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CHAPRA, S.C.; CANALE, R.P.Métodos numéricos para engenharia.5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 
2008.
GOUVEIA, E.J.C. Métodos convergentes de otimização global baseados no vetor q-gradiente. 
Tese (Doutorado): Departamento de Computação Aplicada, Instituto Nacional de Pesquisas Es-
paciais, 2016. 
HIMMELBLAU, D. M.; EDGAR, T.F.; LASDON, L.S. Optimization of chemical processes. 2. ed. New 
York: McGraw-Hill, 2001.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Editora HABRA ltda, 1994.
NELDER, J.A.; MEAD, R. A simplex method for functionminimization. Computer Journal, v. 7, n. 
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WALTER, E. Numerical methods and optimization: a consumerguide. Springer, 2014. 
PRESS, W.H.; TEUKOLSKY, S.A.; VETTERLING, W.T.; FLANNERY, B.P. Numerical recepies: theart of 
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SEBORG, D.E.; EDGAR, T.F.; MELLICHAMP, D. Process Dynamics andControl. 2. ed. Hoboken: Wi-
ley, 2004.
30/269
Assista a suas aulas
Aula 1 - Tema: Definições Básicas. Bloco I
Disponível em: <https://fast.player.liquidplatform.com/
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Aula 1 - Tema: Definições Básicas. Bloco II
Disponível em: <https://fast.player.liquidplatform.com/pA-
piv2/embed/dbd3957c747affd3be431606233e0f1d/8e-
49af6f79ad622e81b3f8c68387943a>.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/dbd3957c747affd3be431606233e0f1d/cbb8e031776ea3a63a5b5f8dfcd01168
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/dbd3957c747affd3be431606233e0f1d/cbb8e031776ea3a63a5b5f8dfcd01168
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/dbd3957c747affd3be431606233e0f1d/cbb8e031776ea3a63a5b5f8dfcd01168
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31/269
1. Assinale a alternativa que apresenta os elementos que fazem parte da for-
mulação matemática de um problema de otimização.
a) função de propósito, restrições internas, restrições externas.
b) função de finalidade, restrições externas, restrição de desigualdade.
c) função de objetivo, restrições de igualdade, restrição de desigualdade.
d) função de finalidade, restrições internas, restrições de igualdade.
e) função de objetivo, restrições internas, restrições externas.
Questão 1
32/269
2. Assinale a alternativa que contempla a formulação de um problema de 
otimização com restrição de igualdade.
a) Minimizar: 
Sujeito a: 
b) Minimizar: 
Sujeito a: 
c) Minimizar: 
Sujeito a: 
Questão 2
33/269
Questão 2
d) Minimizar: 
Sujeito a: 
e) Minimizar: 
Sujeito a: 
34/269
3. Assinale a alternativa que indica a formulação de um problema de oti-
mização com restrições de desigualdade:
a) Minimizar: 
Sujeito a: 
b) Minimizar: 
Sujeito a: 
c) Minimizar: 
Sujeito a: 
d) Minimizar: 
Sujeito a: 
e) Minimizar: 
Sujeito a: 
Questão 3
35/269
4. Suponha que um problema de otimização bidimensional esteja sujeito 
às restrições: , , e . 
Figura - Restrições do problema
Fonte: o autor.
Questão 4
36/269
Questão 4
Assinale a alternativa que apresenta o tamanho da região de busca.
a) 8.
b) 16.
c) 4.
d) 2.
e) 6.
37/269
5. Suponha que um problema que otimização bidimensional esteja sujeito 
à: e . Assinale a alternativa que indica o tamanho da região 
de busca.
a) ∞
b) -3
c) -6
d) -8
e) -9.
Questão 5
38/269
Gabarito
1. Resposta: C.
Não é usado restrições externas e internas 
para otimização, nem funções de finalidade 
e propósito.
2. Resposta: D.
O texto deixa claro que quando existem am-
bos os tipos de restrição, deve-se dizer que 
o problema é “com restrições de igualdade 
e desigualdade”. Portanto, apenas a letra 
D apresenta somente restrição de igual-
dade. As alternativas contendo as funções 
f(x), g(x) e h(x) não se encaixam no que foi 
pedido, apenas a alternativa com f(x) e g(x).
3. Resposta: A.
O texto deixa claro que quando existem am-
bos os tipos de restrição, deve-se dizer que 
o problema é “com restrições de igualdade 
e desigualdade”. Portanto, apenas a letra 
A apresenta restrição de desigualdade. As 
alternativas contendo as funções f(x), g(x) 
e h(x) não se encaixam no que foi pedido, 
apenas a alternativa com f(x) e h(x).
4. Resposta: E.
De acordo com a figura a área da região de 
busca é igual (6-3).(4-2) = 6.
39/269
Gabarito
5. Resposta: A.
O espaço viável ou espaço de busca é a re-
gião delimitada pelos valores que as variá-
veis independentes podem assumir. Como 
o problema é bidimensional e as restrições 
são duas retas paralelas, a área de busca 
é infinita. Não se trata de uma pegadinha, 
pois de fato há casos onde o problema com 
restrições resulta em maximização OU mi-
nimização irrestrita (unbounded).
40/269
Unidade 2
Otimização unidimensional sem restrições
Objetivos
1. Definir os tipos de métodos de oti-
mização unidimensionais sem restri-
ções. 
2. Explicar a importância dessa classe 
de problemas no desenvolvimento de 
abordagens mais avançadas.
3. Apresentar um método intervalar 
(secção áurea) e um método aberto 
(método de Newton).
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições41/269
Introdução
Os métodos de otimização, sem restrições, 
podem ser divididos entre intervalares e 
abertos. Há obviamente diferentes aborda-
gens para ambos os tipos de métodos uni-
dimensionais sem restrições, porém, todos 
eles dependem que a função objetivo seja 
unimodal. O método da razão áurea é a 
abordagem intervalar que será apresenta-
da nesse curso e a determinação do ótimo 
depende que o extremo esteja contido no 
intervalo estabelecido (CHAPRA; CANALE, 
2008). 
Os métodos abertos dependem de um ponto 
de partida ao invés de um intervalo. A par-
tir desse ponto o sentido provável em que 
o ótimo da função se encontra é estimado 
e esse cálculo se repete a cada iteração. No 
caso em que a função objetivo seja multi-
modal, dependendo desse ponto de parti-
da a estimativa do extremo pode convergir 
para um ótimo local ao invés do global. De 
acordo com Chapra e Canale, (2008), há 
abordagens híbridas que usam um método 
intervalar em uma etapa inicial e um mé-
todo aberto quando a função objetivo está 
próxima do valor ótimo. 
Apesar dos métodos tratados nesse tema 
serem univariáveis e sem restrições, na ver-
dade são de grande importância para reso-
lução de casos mais complexos, pois muitas 
vezes os algoritmos transformam o proble-
ma mais avançado em uma sequência de 
otimizações mais simples. Por exemplo, na 
programação não-linear os métodos de pe-
nalidade (penalty), de Barriere do lagrangia-
no aumentado transformam um formulação 
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições42/269
não-linear com restrições em uma sequên-
cia de otimizações não-lineares sem restri-
ções. No caso de uma otimização multidi-
mensional, é possível simplificar aplicando 
um método aberto, unidimensional, sem 
restrições isoladamente em cada dimensão 
da função objetivo para definir a direção de 
busca multidimensional mais promissora 
(HIMMELBLAU, 2001). 
Existem também métodos de otimização 
unidimensionais intervalares do tipo “força 
bruta” que consistemem discretizar (dividir) 
a região de busca em um número grande de 
intervalos menores, cujo tamanho pode ser 
definido de acordo com a necessidade. Cal-
cula-se o valor da função objetivo para cada 
intervalo e refina-se a malha em torno do 
suposto ponto mínimo. Esse tipo de método 
pode obviamente encontrar o ponto ótimo 
global em uma função multimodal, mas vai 
depender bastante da escolha do intervalo e 
da discretização da malha. Além disso, essa 
abordagem pode-se demonstrar inviável 
no caso multidimensional (HIMMELBLAU, 
2001). Apesar de ser uma alternativa, essa 
classe de métodos não será tratada nesse 
curso.
1. Método da razão Áurea
O método da razão (ou secção) áurea con-
siste, essencialmente, em avaliar a função 
objetivo em dois pontos internos de um in-
tervalo e excluir um dos pontos externos, 
mantendo o extremo da função objetivo 
enquadrado entre os limites (inferior e su-
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições43/269
perior) a medida que o tamanho do inter-
valo vai sendo reduzido, progressivamente, 
com o número de iterações (CHAPRA; CA-
NALE, 2008). 
Suponha que na primeira iteração, de acor-
do com a figura 1 tem-se uma função ob-
jetivo unimodal com os limites inferiores e 
superiores: , respectivamente, do in-
tervalo e que o extremo da função é um mí-
nimo. A distância entre os pontos in-
ternos e os pontos externos é pro-
porcional a razão áurea do intervalo, como 
é visto nas Equações (1-4). 
 (1)
 (2)
 (3)
 (4)
Figura 1 – Exemplificação da razão áurea
Fonte: o autor.
Estima-se o valor da função objetivo em 
. Supõe-se que 
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições44/269
os pontos internos devem ser 
menores que os pontos externos de 
devido a suposição de função unimodal. 
Mas lembre-se de que na aplicação real, o 
usuário do método pode não ter acesso a 
um gráfico da função a priori. Para remo-
ver o intervalo com menor probabilidade de 
conter o mínimo, verifica-se qual dos pon-
tos internos está mais próximo do objetivo. 
Nesse caso de minimização , 
então o intervalo entre e certamente 
não contém o mínimo e pode ser removido 
(CHAPRA; CANALE, 2008). 
As vantagens do método da razão áurea fi-
cam mais evidentes na segunda iteração, 
como pode ser visto na figura 2.
Figura 2 - Esboço de vantagem da razão áurea
Fonte: o autor.
O limite inferior do intervalo pode ser substi-
tuído por , cujo 
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições45/269
valor da função objetivo já foi esti-
mado. Como os pontos internos foram cal-
culados de acordo com a razão áurea, ou-
tra vantagem que resulta da redução do 
intervalo entre , é que o ponto 
da iteração 1 coincide com o ponto que 
seria calculado na iteração 2 usando a Eq. 
(4) com o novo . Portanto, podemos ape-
nas substituir e
. Os úni-
cos valores novos que precisam ser calcu-
lados na iteração 2 são e . Quan-
do o algoritmo realiza um 
procedimento similar descartando a secção 
superior do intervalo na primeira iteração 
(CHAPRA; CANALE, 2008). 
O método de secção áurea realiza iterações 
até atingir uma determinada tolerância es-
pecificada previamente, assim como outros 
algoritmos numéricos. Cada iteração reduz 
o tamanho do intervalo proporcionalmente 
a própria razão áurea, o que resulta em uma 
convergência relativamente rápida (CHA-
PRA; CANALE, 2008).
2. Algorotimo para Scilab do mé-
todo da razão Áurea
Um algoritmo em pseudo-código foi apre-
sentado por Chapra e Canale (2008) para 
o método da razão áurea. A versão do al-
goritmo, apresentada abaixo, para o cál-
culo do mínimo aplica o método até a di-
ferença entre os limites superior e inferior 
 ser menor que (tolerância) 
e foi adaptada para imprimir os valores de 
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições46/269
 em cada iteração e o 
número total de iterações realizadas até o 
final.
O código está comentado para fins didá-
ticos. A função objetivo pode ser definida 
pelo comando deff, mas há obviamente ou-
tras possibilidades para definir e usar fun-
ções.
Para saber mais
Definição de funções no Scilab
O comando deff é usado para definir funções a 
partir de sequências de instruções de texto, dire-
tamente na linha de comando ou no código que 
está sendo editado. É uma maneira mais simples 
de definir uma função algébrica, sem precisar 
criar um arquivo *.sce separado do código básico 
necessário para definir uma função (function [arg. 
saída] = f(arg. entrada); <código>; endfunction). 
Acesse a função “help” através do comando help 
deff para obter mais detalhes. 
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições47/269
functionraurea(x1, x2)
deff(‘[y]=f(x)’,’y = (0.5*x^4) - 2*x + 2’)//define a função objetivo f(x) sem restrições
xk=[x1:0.1:x2];// gera o espaço de busca 
tolerancia=10^(-1);// algoritmo reduz iterativamente o intervalo contendo 
// a solução até que a diferença x2 - x1 seja muito pequena. A tolerância
// define o quão pequena deve ser essa diferença.
r=(sqrt(5)-1)/2;//razão áurea = 0.62...
iter=0;// conta o número de iterações
//Calcula os pontos intermediários x3 e x4 do intervalo na primeira
//iteração. 
x3=x1+r*(x2-x1);
x4=x2-r*(x2-x1);
fx1=f(x1);
fx2=f(x2);
fx3=f(x3);
fx4=f(x4);
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições48/269
//Imprime uma tabela na linha de comando que acompanha os valores de x3 e x4 
mfprintf(6,”------------------------------------------------------\n”);
mfprintf(6,” x3 x4 f(x3) f(x4) x2-x1 \n”);
mfprintf(6,”------------------------------------------------------\n”);
mfprintf(6,”%.2e %.2e %.2e %.2e %.2e\n”,x3,x4,fx3,fx4,x2-x1);
// Avalia-se se f(x3) ou f(x4) atende melhor o objetivo de minimizar
// Se f(x3) < f(x4)) então x4-x1 é excluído da busca
// Caso contrário ( f(x4)>f(x3)) então x3-x2 é excluído da busca
while(x2-x1>tolerancia)
if(fx3<fx4)
x1=x4;
fx1=fx4;
x4=x3;
fx4=fx3;
x3=x1+r*(x2-x1);
fx3=f(x3);
plot(x3,fx3);
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições49/269
else
x2=x3;
fx2=fx3;
x3=x4;
fx3=fx4;
x4=x2-r*(x2-x1);
fx4=f(x4);
plot(x4,fx4);
end
mfprintf(6,”%.2e %.2e %.2e %.2e %.2e\n”,x3,x4,fx3,fx4,x2-x1);
iter=iter+1;
ifiter>500
abort
error(“Não ha solução”)
end
end
mfprintf(6,”---------------------------------------------------\n”);
mfprintf(6,”Mínimo encontrado em x = %.4f e f(x) = %.4f \n”,((x1+x2)/2),f((x1+x2)/2))
mfprintf(6,”após %i iterações\n”,iter)
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições50/269
// imprime a resposta do algoritmo na linha de comando do Scilab
plot(xk,feval(xk,f))
// plota a função que está sendo avaliada
endfunction
raurea(-3,3)// Chama a função raurea(a,b) com o intervalo entre a e b.
O resultado da aplicação do método da secção áurea para a obtenção do mínimo da função ob-
jetivo , figura 3, sem restrições é apresentado na Tabela 1.
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições51/269
Figura 3 – Aplicação do método da secção áurea
Fonte: o autor.
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições52/269
Tabela 1 – Resultados da aplicação do método da secção áurea para minimização
Iteração
0 -7,08e-01 7,08e-01 3,54e+00 7,09e-01 6,00e+00
1 7,08e-01 1,58e+00 7,09e-01 1,98e+00 3,71e+00
2 1,67e-01 7,08e-01 1,67e+00 7,09e-01 2,29e+00
3 7,08e-01 1,04e+00 7,09e-01 5,06e-01 1,42e+00
4 1,04e+00 1,25e+00 5,06e-01 7,19e-01 8,75e-01
5 9,15e-01 1,04e+00 5,21e-01 5,06e-01 5,41e-01
6 1,04e+00 1,12e+00 5,06e-01 5,48e-01 3,34e-01
7 9,94e-01 1,04e+00 5,00e-01 5,06e-01 2,07e-01
8 9,64e-01 9,94e-01 5,04e-01 5,00e-01 1,28e-01
9 9,94e-01 1,00e+00 5,00e-01 5,00e-01 7,89e-02
Fonte: o autor.
O mínimo encontrado é x = 1,0031 e f(x) = 0,5000 após 9 iterações. Nota-se que a partir da quarta 
iteração a diferença entre o limite superior e inferior do intervalo é menor que um. As 
características particulares da função provocam uma redução na taxa de convergência do mé-
todo e por essa razão são necessárias mais 5 iterações para atingir a tolerância de . 
Unidade 2 • Otimizaçãounidimensional sem restrições53/269
Com pode ser visto na Tabela 1, um dos pon-
tos internos é sempre conservado mas tro-
cando de orientação em relação aos pontos 
externos, ou seja, e vice-versa.
3. Método de Newton
O método de Newton é, sem dúvida, um dos 
métodos mais importantes e é baseado em 
derivada. Essencialmente ele assume que 
a função objetivo pode ser aproximada por 
uma função quadrática. No caso que 
de fato seja quadrática, o método de New-
ton converge para o extremo em apenas 
uma iteração.
Foram definidas condições formais, neces-
sárias e suficientes, para existência de um 
extremo em uma função arbitrária com e 
sem restrições. Essas condições são usadas 
no desenvolvimento do método de New-
ton. A condição necessária é um pré-requi-
sito para que a condição suficiente seja ver-
dadeiramente atendida. O contrário não é 
Link
Outra linguagem interessante para aplicação de 
métodos de otimização é através da função opti-
mize da linguagem de programação R. Essa fun-
ção é baseada no método da secção áurea com 
interpolação parabólica. O site indicado refere-
-se à documentação online da linguagem, onde é 
possível ler como pode-se definir a função para a 
otimização de um problema. Disponível em: <ht-
tps://www.rdocumentation.org/packages/
stats/versions/3.4.1/topics/optimize>. Acesso 
em: 22 set. 2017.
https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.4.1/topics/optimize
https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.4.1/topics/optimize
https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.4.1/topics/optimize
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições54/269
verdadeiro, a condição suficiente nunca será verdadeira se a condição necessária for falsa. A 
condição necessária para a existência de um extremo na função objetivo é dada pelo item (ii) e as 
condições suficientes são dadas pelos itens (i) e (iii) (HIMMELBLAU, 2001):
i. é duas vezes diferenciável em 
ii. é um ponto estacionário, portanto 
iii. para um mínimo e para um máximo
Para saber mais
O desenvolvimento das condições necessárias e suficientes envolve os seguintes conceitos:
1. Se e é um mínimo de uma função objetivo, então todos os outros pontos os no intervalo 
serão maiores que de tal maneira que a relação é sempre verdadeira para 
todo x.
2. Se é um máximo da função objetivo, então a relação é sempre verdadeira para 
todo x.
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições55/269
O desenvolvimento da equação principal usada no método é bem simples e será mostrado a 
seguir como ferramenta didática para o aprendizado de otimização. Suponha que uma função 
possa ser aproximada por uma série de Taylor de segunda ordem (HIMMELBLAU, 2001):
 (5)
Onde é o ponto de quadratização da função e é o valor de no próximo passo. Os ter-
mos e são a primeira e segunda derivada de , respectivamente. A diferença 
Para saber mais
3. Se a função objetivo for aproximada por uma série de Taylor de qualquer ordem e que nas itera-
ções do algoritmo os termos podem assumir valores negativos ou positivos, as afirmações 
1 e 2 só podem ser válidas se a primeira derivada, e consequentemente todas as derivadas de ordem 
superior forem zero.
4. As condições suficientes podem ser observadas facilmente na prática, as funções unidimensionais que 
possuem mínimo apresentam derivada positiva no intervalo próximo ao mínimo. No caso da existência 
de um máximo, a derivada é negativa próximo ao máximo. 
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições56/269
 é simplesmente na série de Taylor. 
A série de Taylor de segunda ordem é a aproximação quadrática mencionada anteriormente no 
ponto . Aplica-se a condição necessária para existência de um extremo na Eq. 
(6) para se obter uma reta tangente em , Eq. (7).
 (6)
 (7)
 (8)
A interpretação geométrica e o entendimento do método estão diretamente relacionados com 
o desenvolvimento realizado nas Eqs. (5-8). Na Eq. (8) a expressão está em função de e essa 
equação é usada na aplicação prática do método iterativo de Newton. A Eq. (8) estima isolada-
mente o ponto em função do ponto atual (na iteração k) e da razão entre as derivadas 
 que determina a direção de busca e tamanho do passo. Como mencionado, esses 
termos vêm da linearização da função objetivo no ponto . Ambas as derivadas de na Eq. 
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições57/269
(7) resultam em termos constantes, que são 
os coeficientes linear e angular da tangente 
em . Têm-se então uma equação com uma 
incógnita, implicando em zero graus de liber-
dade . 
Há então apenas um valor de , calcula-
do através da Eq. (8) em cada iteração, que 
satisfaz a Eq. (7). 
A desvantagem desse método é: 1) Depen-
de do cálculo da primeira e segunda deriva-
da; 2) Depende da magnitude da segunda 
derivada, se for pequena então o método 
converge lentamente; 3) Depende da dis-
tância entre o ponto de partida e o extremo 
de (HIMMELBLAU, 2001, CHAPRA; CA-
NALE, 2008).
No caso da função objetivo não ser dada 
por uma equação analítica ou se a equação 
for complexa de tal maneira que uma deri-
vada não possa ser calculada, deve-se então 
substituir a razão entre a primeira e segunda 
derivada, responsável pela direção de busca, 
por uma aproximação de diferenças finitas, 
Eq. (9), (HIMMELBLAU, 2001).
 (9)
As desvantagens da aproximação da deri-
vada: 1) Depende do tamanho do passo h 
e 2) Um erro de aproximação é introduzido 
naturalmente pela equação discreta (HIM-
MELBLAU, 2001). Há uma classe de méto-
dos abertos conhecidos como os métodos 
de quase-Newton que são baseados na se-
cante ao invés da tangente. 
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições58/269
4. Algoritmo para Scilab do método de Newton
O algoritmo desenvolvido para o método de Newton pode ser visto abaixo.
Para saber mais
O método da secante (Quase-Newton) usa uma equação similar a Eq. (7) e avalia a derivada em dois pon-
tos com derivadas opostas em um intervalo. Uma estimativa do ponto ótimo é realizada e sua derivada 
é calculada para descartar um dos pontos iniciais de modo que os dois pontos remanescentes tenham 
derivadas opostas, reduzindo assim o intervalo entre os dois pontos de maneira similar a um método in-
tervalar. Esse método está implementado no Scilab, com e sem restrições, através da função n1qn1.
Link: As aplicações modernas de estatística computacional geralmente envolvem um volume grande de 
dados, onde alguns problemas inesperados podem ocorrer utilizando o método de Newton, devido a ne-
cessidade de calcular e inverter um número grande de matrizes. O artigo apresentado nesse link traz in-
formações sobre esse tipo de caso e uma revisão interessante de métodos de otimização modernos para 
estatísticos. Disponível em: <https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4166522/>. Acesso 
em: 25 set. 2017.
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4166522/
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições59/269
functionnewton(xi)
// xi é o ponto de partida
deff(‘[y]=f(x)’,’y = 0.5*(x^4) - 2*x + 2’);//define a função objetivo f(x) sem restrições
deff(‘[y]=fd1(x)’,’y = 2*(x^3) - 2’);//define a primeira derivada de f(x)
deff(‘[y]=fd2(x)’,’y = 6*(x^2)’);//define a segunda derivada de f(x)
tolerancia=10^(-1);// Tolerância = aproximação da condição necessária para
// existência do ótimo. 
iter=0;// conta o número de iterações
xk=xi;// o valor de xk muda a cada iteração
fxk=f(xk);
//Imprime uma tabela na linha de comando que acompanha os valores de x3 e x4 
mfprintf(6,”-----------------------------------\n”);
mfprintf(6,” x f(x) abs(fd1(xk) \n”);
mfprintf(6,”-----------------------------------\n”);
mfprintf(6,”%.2e %.2e %.2e\n”,xk,fxk,abs(fd1(xk)));
while(abs(fd1(xk))>tolerancia)
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições60/269
fxk=f(xk);// calcula f(xk)
xkm1=xk-(fd1(xk)/fd2(xk));// Equação do método de Newton (Eq. 8)
mfprintf(6,”%.2e %.2e %.2e\n”,xk,fxk,abs(fd1(xk)));xk=xkm1;
iter=iter+1;
ifiter>100
abort
error(“Não ha solução”)
end
end
mfprintf(6,”-----------------------------------\n”);
mfprintf(6,”Mínimo encontrado em x = %.4f e f(x) = %.4f \n”,xk,f(xk))
mfprintf(6,”após %i iterações\n”,iter)
// imprime a resposta do algoritmo na linha de comando do Scilab
xx=[-3:0.1:3];
plot(xx,feval(xx,f))
// plota a função que está sendo avaliada
endfunction
newton(10)// Chama a funçãodefinidaacima.
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições61/269
A Tabela 2 apresenta os resultados obtidos pela aplicação do método para cada iteração.
Tabela 2 – Resultados da aplicação do método de Newton para minimização
Iteração
0 1,00e+01 4,98e+03 2,00e+03
1 6,67e+00 9,78e+02 5,91e+02
2 4,45e+00 1,90e+02 1,75e+02
3 2,99e+00 3,58e+01 5,13e+01
4 2,03e+00 6,40e+00 1,47e+01
5 1,43e+00 1,24e+00 3,89e+00
6 1,12e+00 5,45e-01 7,93e-01
Fonte: o autor.
Mínimo encontrado em x = 1,120 e f(x) = 0,545após 6 iterações. O método estimou o mínimo da 
função objetivo em um número menor de iterações para uma mesma magnitude de tolerância.
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições62/269
Glossário
Função unimodal: uma função objetivo unimodal possui apenas um extremo.
Ponto de quadratização: é similar ao ponto de linearização, a diferença está na ordem da série 
de Taylor que está sendo usada para aproximar a função naquele ponto.
Ponto estacionário: é um ponto onde a derivada é zero. O nome estacionário vem da ideia que 
naquele ponto a taxa de mudança é nula.
Questão
reflexão
?
para
63/269
O método de Newton para determinar o mínimo da fun-
ção objetivo é bem similar ao método de Newton-Raph-
son que estima a raiz de uma função f(x). Quais as simila-
ridades e diferenças encontradas em ambas as aborda-
gens? Por que o termo que define o tamanho e a direção 
de passo no método de Newton-Raphson é incompatível 
com a otimização unidimensional sem restrições? Reflita 
sobre essa diferença aplicando em um exemplo prático.
64/269
Considerações Finais 
• Os métodos de otimização mais simples são usados no caso unidimensio-
nal e sem restrições.
• É possível aplicar uma sequência de otimizações unidimensionais em um 
problema com mais de uma dimensão. Pode-se também transformar um 
problema com restrições em um problema sem restrições.
• O método da secção áurea avalia a função objetivo em quatro pontos de 
um intervalo que contém o extremo, dois externos e dois internos, e exclui 
o intervalo externo menos provável de conter o ponto ótimo.
• O método de Newton se aproxima do extremo da função objetivo através 
de uma aproximação linear no ponto x
k
.
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições65/269
Referências 
BRENT, R. P. Algorithms for minimization without derivatives. New York: Dover publications, 
2002, p.195.
CHAPRA, S.C.; CANALE, R.P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São Paulo: McGraw-
-Hill, 2008, p. 809.
GOUVEIA, E.J.C. Métodos convergentes de otimização global baseados no vetor q-gradiente. 
Tese (Doutorado): Departamento de Computação Aplicada, Instituto Nacional de Pesquisas Es-
paciais, 2016. 
HIMMELBLAU, D. M.; EDGAR, T.F.; LASDON, L.S. Optimization of chemical processes. Segunda 
edição. New York: McGraw-Hill, 2001, p. 667.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Terceira edição. São Paulo: Editora HABRA 
ltda, 1994, p. 6.
NELDER, J.A.; MEAD, R. A simplex method for functionminimization. Computer Journal, v. 7, n. 
4, p. 308-313, 1965.
WALTER, E. Numerical methods and optimization: a consumer guide. Springer. 2014, p. 476.
PRESS, W.H.; TEUKOLSKY, S.A.; VETTERLING, W.T.; FLANNERY, B.P. Numerical recepies: theart of 
scientific computing. 3. ed. Cambridge University Press. 2007, p. 1235.
Unidade 2 • Otimização unidimensional sem restrições66/269
SEBORG, D.E.; EDGAR, T.F.; MELLICHAMP, D. Process Dynamics and Control. Segunda edição, 
Hoboken: Wiley, 2004, p. 713.
67/269
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1. Para determinar a solução ótima de um problema de otimização é impor-
tante que a função objetivo seja unimodal. O termo unimodal significa que:
a) A função é contínua e diferenciável.
b) A função é contínua, porém a sua primeira derivada apresenta descontinuidades.
c) A função não possui um ponto estacionário.
d) Os polos da função são números reais. 
e) A função apresenta apenas um extremo.
Questão 1
69/269
2. É correto afirmar que uma das diferenças principais entre os métodos in-
tervalares e os métodos abertos é:
Questão 2
a) O primeiro é para funções contínuas e o segundo para funções descontínuas.
b) O primeiro usa um valor inicial da variável independente e o segundo usa um intervalo. 
c) O primeiro usa um intervalo e o segundo usa um valor inicial para a variável independente.
d) O primeiro usa as derivadas da função objetivo o segundo usa a razão áurea.
e) O primeiro usa as integrais da função objetivo e o segundo a razão áurea.
70/269
3. O método de Newton aplicado em problemas de otimização unidimen-
sional é usado para estimar:
Questão 3
a) A raiz da função objetivo.
b) O polo da função objetivo.
c) O zero da função objetivo.
d) O extremo da função objetivo.
e) O limite da função objetivo.
71/269
4. Em relação a definição do ponto de quadratização, é correto afirmar que é o 
ponto onde é realizada uma aproximação:
Questão 4
a) Linear.
b) Quadrática.
c) Cúbica.
d) Hiperbólica.
e) Elíptica.
72/269
5. O papel desempenhado pela razão entre a primeira e segunda derivada na 
equação do método de Newton é:
Questão 5
a) Estimar a raiz da função objetivo.
b) Calcular o ponto interno no intervalo.
c) Determinar a direção e o tamanho do passo.
d) Aumentar a velocidade de convergência do método.
e) Reduzir a tolerância.
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Gabarito
1. Resposta: E.
Modalidade tem relação com o número de 
extremos da função. Unimodal possui um 
extremo. A descontinuidade é uma caracte-
rística que pode dificultar o trabalho do al-
goritmo apenas.
2. Resposta: C.
Método de Newton busca a solução usan-
do uma aproximação da tangente, portanto 
usa um ponto. O método da secção áurea 
calcula os pontos internos usando a propor-
ção áurea, portanto usa um intervalo.
3. Resposta: D.
É usado para estimar os extremos, um máxi-
mo ou um mínimo, quando a derivada df’(x)/
dx = 0. As raízes, zeros e polos têm relação 
com a função f(x) = 0.
4. Resposta: B.
Ponto de quadratização trata da aproxima-
ção quadrática, com série de Taylor com os 
termos que evolvem a primeira e segunda 
derivada.
5. Resposta: C.
Determina a direção e tamanho do passo. 
Sem esse termo o método não se deslocaria 
do ponto inicial.
74/269
Unidade 3
Otimização multidimensional sem restrições
Objetivos
1. Classificar os diferentes tipos de mé-
todos de otimização multidimensio-
nais sem restrições.
2. Introduzir os conceitos de gradiente e 
hessiana.
3. Definir as condiçõesnecessárias e su-
ficientes para a existência do ótimo 
em uma função multidimensional.
4. Introduzir o método de otimização do 
máximo declive.
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições75/269
Introdução
Os métodos de otimização multidimen-
sionais tratam de problemas onde há 
mais de uma variável na função objetivo, 
. O entendimento do me-
canismo, pelo qual, o método matemáti-
co estima um extremo da função objetivo 
envolve a associação entre uma estratégia 
abstrata expressa na forma de uma sequên-
cia de equações matemáticas e uma inter-
pretação geométrica desse procedimento. 
No caso unidimensional, a aplicação dos 
métodos de otimização pode ser compre-
endida através da aplicação em uma função 
não-linear unidimensional côncava ou con-
vexa. Já no caso multidimensional é mais 
conveniente visualizar a estratégia de cál-
culo adotada pelo método em funções não-
-lineares bidimensionais, que são represen-
tadas através de curvas de nível (projeções) 
de geometrias tridimensionais côncavas ou 
convexas, conforme pode ser visto nas figu-
ras 1a e 1b, como uma montanha ou vale 
(CHAPRA; CANALE, 2008). 
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições76/269
Figura 1 - Geometrias côncavas e convexas de uma função quadrática
Fonte: o autor.
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições77/269
O leitor, em algum momento, deverá se per-
guntar qual a diferença entre o caso que está 
sendo estudado nessa aula usando uma 
função não-linear e o caso da programa-
ção não-linear. Apesar de ambos utilizarem 
uma função de objetivo com o mesmo grau 
de complexidade, no caso multidimensio-
nal há mais de uma variável independente 
envolvida e não há restrições, já no caso da 
programação não-linear o problema é uni-
dimensional com restrições de igualdade 
 ou desigualdade . 
De acordo com Chapra e Canale (2008) e 
Himmelblau (2001), os métodos de otimi-
zação multidimensionais podem ser dividi-
dos entre os métodos que utilizam ou não 
derivadas, e também entre os métodos que 
empregam ambas as abordagens, isolada-
mente, em diferentes etapas da resolução. 
Segundo Walter (2014) os métodos de oti-
mização multidimensionais que utilizam 
apenas busca unidimensional (line searches) 
são apenas receitas sofisticadas ao invés de 
ciência. Porém, do ponto de vista didático, 
há importância nesses métodos, pois são 
mais intuitivos para o aprendizado e tra-
zem a oportunidade do aprofundamento 
dos conhecimentos aprendidos na aula an-
terior. Portanto, será estudado nesse tema 
um método que combina o uso de derivadas 
com busca unidimensional. 
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições78/269
1. Gradiente, hessiana e con-
dições necessárias suficientes 
para existência do ótimo
Os métodos de otimização multidimensio-
nais usam o gradiente e/ou a matriz hes-
siana para determinar a direção de busca 
(GOUVEIA, 2016). O gradiente de é o 
equivalente multidimensional da derivada e 
pode ser representado pelo vetor que 
contém as primeiras derivadas em relação 
a cada variável independente, Eq. (1) (CHA-
PRA; CANALE, 2008).
 (1)
Note que o negativo gradiente 
determina a direção de busca orientando o 
vetor justamente no sentido da condição 
necessária para existência do ótimo. O gra-
diente também indica se o ponto ótimo foi 
atingido em n dimensões também através 
das mesmas condições.
A Hessiana é uma matriz, , que contém 
as derivadas segundas de . Para um 
função bidimensional onde a 
sua matriz hessiana é dada pela Eq. (2).
 
 (2)
No caso unidimensional, a análise do sinal 
da segunda derivada indicava que, se a con-
dição necessária foi atendida, então se tra-
ta de um mínimo se ou de um 
máximo se . No caso multidi-
mensional, as derivadas segundas cruzadas 
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições79/269
 também influem na geometria da superfície onde se encontra o ponto ótimo. Para 
inferir se o extremo é um mínimo ou um máximo, avalia-se os autovalores da matriz Hessiana ao 
invés das derivadas, como visto no exemplo para uma função quadrática na Tabela 1. 
Tabela 1 – Associação entre os autovalores e de uma função quadrática e a geometria do extremo
Tipo do extremo
Magnitudes de e Sinais de e 
Geometria da superfície
Mínimo Vale circular
Mínimo Vale elíptico
Máximo Montanha circular
Máximo Montanha elíptica
Ponto de sela Sela simétrica
Ponto de sela Sela simétrica
Ponto de sela Sela alongada
Fonte: Himmelblau (2001 p.84).
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições80/269
Segundo Strang (2009) calcula-se os autovalores resolvendo o determinante de 
acordo com a Eq. (3):
 (3)
Onde é a matriz identidade. As raízes da equação algébrica de segundo grau são os autovalores 
 e , Eq. (4), que resultam do cálculo do determinante.
 (4)
Os pontos de sela são soluções encontradas em uma superfície n-dimensional que apesar de 
apresentar gradiente nulo, não é um máximo nem um mínimo da função, conforme pode ser 
observado na figura 2. 
Para saber mais
Uma função objetivo mal-posta pode produzir nenhuma ou infinitas soluções. Os outros casos (excluin-
do o do ponto de sela) geralmente ocorrem quando um dos autovalores da matriz hessiana é nulo. 
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições81/269
Portanto a análise dos autovalores da matriz 
hessiana é importante para determinar se 
um máximo ou mínimo realmente foi atin-
gido. Além das funções com pontos de sela 
há outras funções quadráticas mal-postas 
que podem gerar problemas na aplicação do 
algoritmo de otimização. A matriz hessiana 
não é só útil para analisar a geometria da 
função, ela pode também ser diretamente 
utilizada pelo método de otimização, como 
o método de Newton multidimensional. 
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições82/269
Figura 2: Função quadrática com ponto de sela
Fonte: o autor.
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições83/269
As condições, necessárias e suficientes para 
existência do ótimo no caso multidimensio-
nal são:
I. é duas vezes diferenciável em .
II. O gradiente de é nulo em , 
;.
III. Os autovalores da matriz Hessiana 
 em são todos positivos e não-
-nulos, portanto é uma matriz 
positiva-definida. Alternativamente 
os autovalores são inferidos através 
do determinante, então 
Exemplo 1: Iremos calcular os auto-
valores da matriz hessiana da função 
 
e identificar a sua geometria de acordo com 
as associações de magnitude e de sinais dos 
autovalores apresentados para as funções 
quadráticas.
Para saber mais
Há uma versão multidimensional do método de 
Newton, baseada na série de Taylor de segunda 
ordem, que utiliza o vetor gradiente e a matriz 
hessiana em xk para determinar direção de busca 
e tamanho do passo. 
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições84/269
Resolução:
Substituindo na Eq. (4)
 e .
De acordo com a Tabela 1, para epara autovalores com sinais opostos, têm-se uma ge-
ometria de sela alongada. Nesse caso, as derivadas cruzadas influem pouco na localização dos 
autovalores da matriz Hessiana de .
2. Estrututa geral dos métodos baseados em derivada, gradiente e hes-
siana 
Segundo Cavazutti (2013) e Himmelblau (2001) uma expressão geral que representa os métodos 
de otimização sem restrições baseados em derivada, gradiente e hessiana, é dada pela Eq. (5):
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições85/269
 (5)
À primeira vista é fácil reconhecer elemen-
tos em comum com o método de Newton 
unidimensional. Generalizando para o caso 
multidimensional, o vetor contém 
as variáveis independentes, na iteração 
. Cada passo dado no sentido do ex-
tremo da função objetivo é 
determinado em duas etapas, em cada ite-
ração, necessita-se:
i. Determinar a direção de busca , 
onde .
ii. Determinar o tamanho do passo , 
que é constante, na direção . 
A definição do tamanho do passo pode 
ser realizada por uma etapa conhecida 
como busca linear,que é unidimensional. 
Como mencionado, a derivada, gradiente e 
Hessiana determinam a direção de busca, 
mas cada método usará estratégias ligeira-
mente diferentes para definir e , inclu-
sive definir ambos simultaneamente, como 
o método de Newton (GOUVEIA, 2016).
3. Método de máximo declive
O máximo declive se refere a versão de mi-
nimização do método, onde a superfície 
convexa da função objetivo é comparada a 
um vale por analogia geométrica. Alterna-
tivamente tem-se a versão de máximo acli-
ve onde o objetivo é a maximização de uma 
função côncava multidimensional, onde se 
faz analogia a uma montanha. 
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições86/269
A ideia geral do método de máximo decli-
ve é determinar a direção baseando-se 
no gradiente da função , Eq. (6), sen-
do esse um ponto de partida em ou uma 
aproximação intermediária da solução na 
iteração k.O gradiente pode ser determi-
nado analiticamente através das derivadas 
parciais ou através de aproximações por di-
ferenças finitas (HIMMELBAU, 2001).
 (6)
O tamanho do passo é determinado como 
uma etapa de otimização unidimensional. 
Porém, como pode-se ver na figura 3, uma 
deficiência do método é revelada: a direção 
de busca estimada no ponto em muitos 
casos não aponta diretamente na direção 
do mínimo de . Isso decorre da de-
pendência espacial (em e ) do gradien-
te da função objetivo quadrática e conse-
quentemente varia ao longo do 
espaço de busca. 
Figura 3 - Método do máximo aclive aplicado a fun-
ção quadrática com geometria elíptica
Fonte: adaptado de Himmelblau et al. (2001, p. 192).
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições87/269
Pode-se escolher entre duas abordagens 
para estimar o tamanho do passo: busca li-
near exata ou não-exata. Em uma busca li-
near exata, o tamanho do passo é o valor de 
 que minimiza da função unidimensional, 
Eq. (7). Lembre-se de que e são cons-
tantes nessa segunda etapa.
 (7)
Uma busca linear não exata usa um valor 
diferentedo mínimo. Pode-se, por exem-
plo, calcular mas utilizar uma fração de 
 para calcular . A busca linear não-
-exata pode acelerar a taxa de convergên-
cia, mas depende da geometria da função 
objetivo (autovalores), do ponto de parti-
da, da distância do ótimo e do tamanho do 
passo. Essa deficiência do método de máxi-
mo declive emerge mais acentuadamente 
quando a geometria da superfície tende a 
ser assimétrica em função das variáveis in-
dependentes, como no caso do vale elíptico, 
montanha elíptica, dentre outras. Funções 
objetivo com geometrias simétricas, como 
vale circular e montanha circular, conver-
gem mais rapidamente porque nesse caso 
o gradiente aponta diretamente na direção 
do ótimo quando calculado a partir de qual-
quer ponto , conforme pode ser visto na 
figura 4. Note que essa simetria pode ser 
avaliada através dos autovalores da ma-
triz hessiana de . Para o vale circular e 
montanha circular, ambos os autovalores 
e são iguais e apresentam o mesmo sinal, 
para cada caso. Então quanto maior a dife-
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições88/269
rença entre os autovalores, supostamente maior será benefício do uso de uma otimização em 
linha sub-ótima (HIMMELBLAU, 2001).
Figura 4: Método do máximo aclive aplicado a função quadrática com geometria circular
Fonte: adaptado de Himmelblau et al. (2001, p. 191).
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições89/269
Outra dificuldade em relação ao método do 
máximo declive com a busca linear exata é 
que o gradiente no ponto é ortogonal 
à direção de busca em k. Essa ortogona-
lidade provoca um movimento em zigueza-
gue quando o algoritmo aproxima o ponto 
ótimo, reduzindo a taxa de convergência, 
como apresentado na figura 5. Um método 
multidimensional conhecido como método 
do gradiente conjugado consegue contor-
nar alguma das dificuldades encontradas 
pelo método do máximo declive.
Figura 5 - Oscilação na aplicação do má-
ximo aclive em funções elípticas
Fonte: adaptado de Himmelblau et al. (2001, p. 192).
Link
Um trabalho que analisa mais profundamente 
o método do máximo declive pode ser visto em: 
<https://arxiv.org/abs/1609.04747>. Acesso 
em: 22 set. 2017.
https://arxiv.org/abs/1609.04747
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições90/269
Pontos de cela também são um problema 
para o método do declive máximo e a ve-
rificação das condições necessárias e sufi-
cientes para a existência do ótimo são im-
portantes para identificar essa situação 
(HIMMELBLAU, 2001). Nesse caso deve-se 
empregar um algoritmo que não é baseado 
em derivadas, como busca unidimensional, 
método das direções conjugadas, método 
de Powell, entre outros (CHAPRA; CANALE, 
2008). 
Para saber mais
Fletcher e Reeves (1964) introduziram uma abor-
dagem para otimização multidimensional base-
ada em gradientes que apresenta maior taxa de 
convergência comparada com o método do má-
ximo declive. Esse método difere da abordagem 
atual porque a direção de busca é estimada usan-
do o gradiente da iteração atual e da 
iteração passada .
Link
Como já foi mencionado aqui, otimização é uma 
disciplina que abrange um número grande de áre-
as de atuação e profissões, então universidades 
como Stanford criaram cursos direcionados para 
essa audiência multidisciplinar. O aluno pode ter 
acesso livre as notas de aula da disciplina de oti-
mização através de: <http://adl.stanford.edu/
aa222/Lecture_Notes_files/AA222-Lectu-
re3.pdf>. Acesso em: 22 set. 2017.
http://adl.stanford.edu/aa222/Lecture_Notes_files/AA222-Lecture3.pdf
http://adl.stanford.edu/aa222/Lecture_Notes_files/AA222-Lecture3.pdf
http://adl.stanford.edu/aa222/Lecture_Notes_files/AA222-Lecture3.pdf
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições91/269
4. Algoritmo do método de máximo declive 
O algoritmo do método de máximo declive para solução de problema multivariável é apresenta-
do abaixo na linguagem do Scilab. Determina-se primeiro e na sequência o tamanho do passo 
através de um método unidimensional. É importante entender como uma função bidimensional 
é expressa na forma unidimensional em função do gradiente em um ponto qualquer. Um exem-
plo é apresentado a seguir demonstrando uma iteração do método.
Exemplo: Vamos determinar o ponto ótimo da função objetivo dada pela a Eq. (8) , cujo 
ponto de partida é .
Minimiza: (8)
De acordo com o que foi discutido no subitem 2, deve-se realizar as etapas (i) e (ii) em sequência, 
então, estimando o gradiente da função :
 
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições92/269
Calculando o gradiente no ponto (10,10):
 
O resultando implica que o gradiente na dimensão de é de 25,5 e na dimensão de é de 44, 
deve-se então procurar o máximo ao longo dessa direção de busca na etapa (ii). Imagina-se 
um eixo ou vetor de comprimento h que atravessa a função objetivo na direção de bus-
ca, observe a figura 6. Traduzindo a imaginação em matemática, devemos realizar uma substi-
tuição de variáveis tal que: 
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições93/269
Figura 6 - Busca em linha ao longo do vetor e .
Fonte: adaptado de Chapra e Canale (2008, p. 316).
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições94/269
Substituindo as variáveis do lado direito da igualdade da função objetivo, têm-se agora uma 
função unidimensional, que pode ser otimizada através do método da secção áurea ou no méto-
do de Newton.
O valor estimado de é usado como o tamanho do passo . Aplica-se a Eq. (5) em 
para determinar o passo dado na região de busca na estimativa do ótimo .
Segue o algoritmo que resolve o seguinte problema:
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições95/269
// Método do máximo declive para uma função bidimensional 0.5x1 + 2(x1^2) - x2 + 3(x2^2) - 
1.5x1x2;
// Calcula a direção de busca através do gradiente em xk
// Estima o tamanho do passo através de busca unidimensionalcom o método da razão áurea
functionz=f(x1, x2)// a função objetivo
z=0.5*x1+2*(x1^2)-x2+3*(x2^2)-1.5*x1*x2;
endfunction
//-----------------------------------------------------
functiongz=fgrad(x1, x2)// o gradiente da função objetivo
gz(1,1)=0.5+4*(x1)-1.5*x2;
gz(2,1)=-1+6*(x2)-1.5*x1;
endfunction
//-----------------------------------------------------
functionalfa=buscalinear(gx, xk);// método de busca unidimensional por razão áurea
functionz1dim=fb(gx, xk, h)// expressão unidimensional da função obj. em um ponto xk e direção 
gx
z1dim=0.5*(xk(1)-gx(1)*h)+2*((xk(1)-gx(1)*h)^2)-(xk(2)-gx(2)*h)+3*(((xk(2)-gx(2)*h))^2)-
1.5*((xk(1)-gx(1)*h)*(xk(2)-gx(2)*h));
endfunction
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições96/269
functionalfak=raurea2(x1, x2, fb, gx, xk)
tolerancia=10^(-1);
r=(sqrt(5)-1)/2;//razão áurea = 0.62...
iter=0;// conta o numero de iterações
x3=x1+r*(x2-x1);
x4=x2-r*(x2-x1);
fx1=fb(gx,xk,x1);
fx2=fb(gx,xk,x2);
fx3=fb(gx,xk,x3);
fx4=fb(gx,xk,x4);
while(x2-x1>tolerancia)
if(fx3<fx4)
x1=x4;
fx1=fx4;
x4=x3;
fx4=fx3;
x3=x1+r*(x2-x1);
fx3=fb(gx,xk,x3);
else
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições97/269
x2=x3;
fx2=fx3;
x3=x4;
fx3=fx4;
x4=x2-r*(x2-x1);
fx4=fb(gx,xk,x4);
end
iter=iter+1;
ifiter>500
abort
error(“Não ha solução”)
end
end
alfak=((x1+x2)/2);
endfunction
alfa=raurea2(-100,100)
endfunction
//-----------------------------------------------------
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições98/269
functiond=direcaodebusca(gx);// direciona o gradiente na direção de declive
d=-gx;
endfunction
//----------------------------------------------------
// Programa principal
tolerancia=0.001;alfa0=1;// determina um alfa inicial = 1
x0=10+4*rand(2,1);// gera um vetor coluna com ponto de partida (x1,x2) aleatório
xk=x0;
fxk=f(xk(1,1),xk(2,1));// calcula f(x1,x2)
gx=fgrad(xk(1,1),xk(2,1));//calcula o gradiente gx(x1,x2)
alfa=alfa0;
// imprime os resultados
mfprintf(6,”------------------------------------------------\n”);
mfprintf(6,” x1 x2 f(x) norm(gx) alfa \n”);
mfprintf(6,”------------------------------------------------\n”);
mfprintf(6,”%.2e %.2e %.2e %.2e %.2e\n”,xk(1),xk(2),fxk,norm(gx),alfa);
//laço do método de máximo declive
while(norm(gx)>tolerancia)
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições99/269
d=direcaodebusca(gx);
alfa=buscalinear(gx,xk)
xkm1=xk+alfa*d;//equação principal do método, Eq. (5).
fxkm1=f(xkm1(1),xkm1(2));//calcula f(xk+1)
gx=fgrad(xkm1(1),xkm1(2));//recalcula o gradiente em xk+1
xk=xkm1;// torna x(k) = x(k+1) para a próxima iteração
itgrad=itgrad+1
mfprintf(6,"%.2e %.2e %.2e %.2e %.2e\n",xk(1),xk(2),fxkm1,norm(gx),alfa);
end
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições100/269
Glossário
Vetores ortogonais: ortogonalidade é uma característica observada em dois ou mais vetores, 
pois nenhum vetor pode ser ortogonal sozinho. Ela é observada quando o produto interno entre 
dois vetores é nulo e geometricamente isso ocorre quando os vetores são perpendiculares entre 
si. Nos casos envolvendo múltiplas dimensões, a definição matemática é mais útil pois verificar a 
perpendicularidade de vetores em espaços “n” dimensionais geralmente não é uma tarefa trivial.
Autovalores: os autovalores podem ser vistos de maneira simplificada como as raízes (λ) de uma 
equação matricial Ax = λx, onde A é uma matriz, x é um vetor conhecido e λ é o vetor a ser deter-
minado. É um conceito encontrado no estudo de álgebra linear e também na resolução de siste-
mas de equações diferenciais, que também podem ser representados em notação matricial.
Questão
reflexão
?
para
101/269
É interessante que o aluno adapte a etapa unidimensional para 
determinação do tamanho do passo (a
k
) do algoritmo de máximo 
declive (ou aclive) para que o método de Newton unidimensional 
seja utilizado ao invés da secção áurea. Assim será possível ob-
servar mais claramente o comportamento oscilatório em torno 
do ponto ótimo (x
1
*, x
2
*) para funções com autovalores assimé-
tricos. Existem métodos de otimização multidimensional que não 
estão tão sujeitos a oscilações nas proximidades do ponto ótimo 
comparado ao método do máximo declive/aclive e além disso 
convergem mais rapidamente para o resultado. Reflita sobre o 
que torna essas abordagens matematicamente mais eficientes.
102/269
Considerações Finais
• Além dos autovalores da matriz hessiana fornecer informações importantes 
sobre a existência de máximo ou mínimo na função objetivo multidimensio-
nal, também indica se um ponto estacionário é um ponto de sela, que não é 
uma solução para o problema de otimização. 
• Os métodos multidimensionais baseados em gradiente possuem uma for-
mulação matemática similar ao do método de Newton, porém está clara-
mente definido o termo que determina a direção de busca (s
k
) e o tamanho 
do passo (a
k
), e a estimativa de ambos os termos é realizada em etapas. 
• O método de máximo declive/aclive é baseado na estimativa do gradiente 
em um ponto de partida e em estimativas futuras de x
k+1
. A convergência do 
método é rápida quando os autovalores da matriz hessiana são iguais ou 
muito próximos da igualdade.
• Na etapa da determinação do tamanho do passo, a
k
, pode-se realizar uma 
otimização exata ou inexata. É necessário determinar uma equação unidi-
mensional na direção de busca s
k
 em função do tamanho do passo h.
Unidade 3 • Otimização multidimensional sem restrições103/269
Referências 
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2002, p.195.
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CHAPRA, S.C.; CANALE, R.P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São Paulo: McGraw-
-Hill, 2008, p. 809.
FLETCHER, R.; REEVES, C. M. Function minimization by conjugate gradientes. The Computer 
Journal. v. 7, n. 2, p. 149 – 154, 1964. 
GOUVEIA, E.J.C. Métodos convergentes de otimização global baseados no vetor q-gradiente. 
Tese (Doutorado): Departamento de Computação Aplicada, Instituto Nacional de Pesquisas Es-
paciais, 2016. 
HIMMELBLAU, D. M.; EDGAR, T.F.; LASDON, L.S. Optimization of chemical processes. 2. ed. New 
York: McGraw-Hill, 2001,p. 667.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Editora HABRA, 1994 p. 685.
NELDER, J.A.; MEAD, R. A simplex method for function minimization. Computer Journal, v. 7, n. 
4, 1965, p. 308-313.
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WALTER, E. Numerical methods and optimization: a consumer guide. Springer. 2014, p. 476.
PRESS, W.H.; TEUKOLSKY, S.A.; VETTERLING, W.T.; FLANNERY, B.P. Numerical recepies: theart of 
scientific computing. 3. ed. Cambridge University Press, 2007, p. 1235.
SEBORG, D.E.; EDGAR, T.F.; MELLICHAMP, D. Process Dynamics and Control. 2. ed. Hoboken: Wi-
ley, 2004, p. 713.
STRANG, G. Linear álgebra and its applications. 4. ed. Wellesley, MA: Cambridge University 
Press, 2009, p. 574.
105/269
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