Lista Complementar -Álgebra-Mod22-Aulas 36 e 37 - Polinômios e Equações Algébricas

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Lista de Exercícios (Complementar) – Álgebra - Módulo 22 
Aulas 36 e 37: Polinômios e Equações Algébricas 
 
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1. (Unioeste 2018) As raízes do polinômio 
4 3 2P(x) x bx cx dx e,= + + + + são iguais a i, i, 3− e 
1
.
2
 Sobre P(x), pode-
se então afirmar que 
a) a soma dos coeficientes é igual a 
7
.
2
 b) os coeficientes b, c, d e e são números inteiros pares. 
c) o coeficiente e é múltiplo de 3. d) os coeficientes b, c, d e e são números racionais. 
e) os coeficientes b, c, d e e não são números reais. 
 
2. (Uepg 2017) Um polinômio P(x) do terceiro grau possui três raízes reais, de tal forma que, se forem colocadas em 
ordem crescente formam uma progressão aritmética em que a soma de seus termos é 12. A diferença entre o quadrado 
da maior raiz e o quadrado da menor é 160. Sabendo que o coeficiente do termo de maior grau de P(x) é 2, assinale 
o que for correto. 
01) Todas as raízes do polinômio são números inteiros relativos. 
02) A divisão do polinômio P(x) por Q(x) x 6= − é exata. 
04) A soma dos coeficientes do polinômio é um número maior que 500. 
08) A soma das raízes do polinômio é solução da equação 2x 14x 24 0.+ + = 
16) O coeficiente do termo independente de x de P(x) é maior que 225 . 
 
3. (Epcar (Afa) 2017) O polinômio 
3 2P(x) x mx nx 12= + + + é tal que P(x) 0= admite as raízes 1x , 2x e 3x . 
Se 1 2x x 3 = − e 2 3x x 5,+ = então é correto afirmar que 
a) P(m) 0= b) m n 13− = − c) m n 20 = d) n 2m 7− = − 
 
4. (Uem 2017) Acerca do polinômio 3 22x 3x 3x 2,− − + assinale o que for correto. 
01) Uma das raízes desse polinômio é 
1
.
2
 
02) Ele é divisível pelo polinômio 2x x 2.− − 
04) A soma de suas raízes é 3. 
08) Todas as raízes desse polinômio são reais. 
16) Ele não pode ser fatorado como produto de três polinômios de grau 1 com coeficientes racionais. 
 
5. (Uem 2016) Acerca das raízes complexas do polinômio 3 2x 5x ax 1,− + − sendo a um número real, assinale o que 
for correto. 
01) Se a 0,= o polinômio possui uma única raiz de multiplicidade 3. 
02) O produto das raízes é 1. 
04) Se 1 é raiz desse polinômio, então a 5.= 
08) A soma das raízes é 5. 
16) Se 1 é raiz desse polinômio, as demais raízes não são reais. 
 
6. (Unesp 2014) Sabe-se que, na equação 3 2x 4x x 6 0,+ + − = uma das raízes é igual à soma das outras duas. O 
conjunto solução (S) desta equação é 
a) S = {– 3, – 2, – 1} b) S = {– 3, – 2, + 1} c) S = {+ 1, + 2, + 3} d) S = {– 1, + 2, + 3} 
e) S = {– 2, + 1, + 3} 
 
 
7. (Uem 2013) Sabendo que a, b e c são números inteiros e que o número complexo 2 i+ é zero (raiz) do polinômio 
3 2x ax bx c,+ + + assinale o que for correto. 
01) Esse polinômio possui outra raiz complexa, cujo módulo é 5. 
02) O argumento de 2 i+ é superior a rad.
4
π
 
04) Todas as raízes reais desse polinômio são inteiras. 
08) Se 1 é raiz desse polinômio, então a c.= 
16) É possível escolher os inteiros a, b e c, de modo que o polinômio não possua raízes reais. 
 
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8. (Ita 2011) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x4 + x2 + ax + b = 0, com a, b ∈ ℝ, então a2 – b3 é igual a 
a) – 64. b) – 36. c) – 28. d) 18. e) 27. 
 
9. (Udesc 2019) Seja p(x) um polinômio de grau três tal que p(0) 6, p(1) 1, p(2) 4= = = e p(3) 9.= É correto afirmar 
que p(4) é igual a: 
a) 0 b) 16 c) 10 d) 14 e) 8 
 
10. (Espcex (Aman) 2018) Determine o valor numérico do polinômio 
4 3 2p(x) x 4x 6x 4x 2017= + + + + para x 89.= 
a) 53 213 009. b) 57 138 236. c) 61342 008. d) 65 612 016. e) 67 302 100. 
 
11. (Ufrgs 2018) As raízes do polinômio 
4P(x) x 1= − são 
a) {i; i; 0}.− b) {1; 1; 0}.− c) {1; 1; i; i}.− − d) {i; i; 1 i;1 i}.− + − e) {i; i; 1 i; 1 i}.− − + − − 
 
 
12. (Uefs 2018) O resto da divisão de um polinômio do terceiro grau p(x) por (x 3)− é igual a 24. Sabendo que as 
raízes do polinômio p(x) são 3,1− e 2, o valor de p(0) é 
a) 12. b) 15. c) 18. d) 21. e) 24. 
 
13. (Uece 2018) Se o polinômio 
5 3p(x) x ax x= + + é divisível pelo polinômio 
3d(x) x bx,= + onde a e b são números 
reais, então, a relação entre a e b é 
a) 2 2a ab b 0.+ + = b) 2b ab 1 0.− + = c) 2a ab 1 0.− + = d) 2b ab b 0.− + = 
 
14. (Ueg 2018) Os restos da divisão do polinômio 4 3 2
1 1
p(x) 2x x 2x x 1
2 2
= − + − + pelos polinômios q(x) x 2= − 
e h(x) x 8= − são r e s , respectivamente. Dessa forma, r s+ é 
a) 0 b) 10 c) 127 d) 137 e) 161 
 
15. (G1 - epcar (Cpcar) 2017) Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto, respectivamente, da divisão do polinômio 
3 2x 6x 9x 3− + − pelo polinômio 
2x 5x 6,− + em que 𝑥 ∈ ℝ. 
O gráfico que melhor representa a função real definida por P(x) Q(x) R(x)= + é 
 
 
16. (Ufjf-pism 3 2017) Qual é o polinômio que ao ser multiplicado por tem como resultado o 
polinômio 
a) b) c) d) e) 
 
17. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) O resto da divisão de um polinômio do segundo grau P pelo binômio (x 1)+ 
é igual a 3. Dado que P(0) 6= e P(1) 5,= o valor de P(3) é 
a) 7− b) 9− c) 7 d) 9 
 
18. (Acafe 2017) Seja P(x) um polinômio divisível por (x 2).− Se dividirmos o polinômio P(x) por 
2(x 2 x),+ obteremos 
como quociente o polinômio 
2(x 2)− e resto igual a R(x). Se R(3) 6,= então, a soma de todos os coeficientes de P(x) 
é igual a: 
a) 38.− b) 41.− c) 91. d) 79. 
3 2g(x) 3 x 2x 5x 4= + + −
6 5 4 3 2h(x) 3 x 11x 8x 9x 17x 4x?= + + + − +
3 2x x x.+ + 3 2x x x.+ − 3 2x 3x x.+ + 3 2x 3x 2x.+ + 3 2x 3x x.+ −
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19. (Acafe 2017) O gráfico a seguir, que passa pelos pontos A, B, C e D, representa o polinômio P(x). 
 
 
I. O polinômio P(x) é um polinômio do segundo grau. 
ll. O polinômio 
3
D(x) x 3
4
= − − é divisor de P(x). 
lll. A reta que passa pelos pontos A e C C intercepta o eixo das 
ordenadas no ponto 
11
0, .
2
 
− 
 
 
lV. 
1
P(2) P
2
 
= − 
 
 
 
Todas as afirmações corretas estão em: 
a) I – II – III 
b) II – III – IV 
c) III – IV 
d) II – III 
 
 
 
20. (Uece 2017) O resto da divisão do polinômio 
5 3D(x) x 5x 4x= − + pelo polinômio 
3 2d(x) x x 4x 1= − − + é o 
polinômio do segundo grau r(x). A solução real, não nula, da equação r(x) 0= pertence ao intervalo 
a) [0,1]. b) [2, 3]. c) [3, 4]. d) [ 1, 0].− 
 
21. (Espm 2016) O quociente e o resto da divisão do polinômio 2x x 1+ − pelo binômio x 3+ são, respectivamente: 
a) x 2− e 5 b) x 2+ e 6 c) x 3− e 2 d) x 1+ e 0 e) x 1− e 2− 
 
22. (G1 - cftmg 2016) Se uma das raízes do polinômio 
4 2P(x) x 8x ax b= − + + é 2 eP(1) 9,= então o valor de 5a 4b− 
é 
a) 64.− b) 28.− c) 16. d) 24. 
 
23. (Unicamp 2015) Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com razão q 0 e a 0. 
a) Mostre que 
1
x
q
= − é uma raiz do polinômio cúbico 
2 3p(x) a bx cx dx .= + + + 
b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis x e y, 
a c x e
.
d b y f
    
=    
    
 
Determine para que valores da razão q esse tem solução única. 
 
24. (Uerj 2014) Observe o gráfico da função polinomial de ℝ em ℝ definida por 3 2P(x) 2x 6x 3x 2.= − + + 
 
 
 
 
Determine o conjunto solução da inequação P(x) 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25. (Ufsj 2012) Dado o polinômio p(x) = x4 – 3x3 – 3x2 + 11x – 6, é CORRETO afirmar que 
a) p(10) é um número de cinco algarismos. 
b) tem quatro raízes distintas. 
c) na divisão por x + 2, apresenta resto igual a 4. 
d) é divisível por x – 1. 
 
26. (Uftm 2011) Seja o polinômio ( ) 3 2P x x 2x 4x m,= − − + sendo m um número real. Sabendo-se que P(x) é divisível 
por ( )x 2 ,− determine: 
a) O valor de m. 
b) Todas as raízes de P(x). 
27. (Epcar (Afa) 2011) Sobre o polinômio ( )A x expresso pelo determinante da matriz 
x 1 1
1 x 2
1 x x
 
 
−
 
  
, é incorreto 
afirmar que 
a) não possui raízes comuns com ( ) 2B x x 1= − . 
b) não possui raízes imaginárias. 
c) a soma de suas raízes é igual a uma de suas raízes. 
d) é divisível por ( )P x x 2= + . 
 
 
Gabarito 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Calculando: 
( )
( )
4 3 2
4 3 2
2
P(i) i bi ci di e 0 1 bi c di e 0
P( i) ( i) b( i) c( i) di e 0 1 bi c di e 0
bi di bi di b d
b 71 1i i 3 3 b b d
2 2a 2
e 331i i 3 i e e
2 2a 2
7 7 3 3 5
1 bi c di e 0 1 i c i 0 1 c 0 c
2 2 2 2 2
= + + + + =  − − + + =
− = − + − + − − + =  + − − + =
− + = + −  =
+ − + + = −  + = −  = = −
 −   =  −  =  =
− − + + =  + − − + =  − + =  =
 
 
Assim, a única alternativa correta é a letra [D]. 
 
Resposta da questão 2: 
 01 + 04 + 16 = 21. 
 
[01] CORRETA. Calculando: 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 3
1 3 1 3
2 2
3 1
2 2 2 2
3 3 3 3 3
3 3 1 2
raízes a , a , a
a a 3
S 12 a a 8 a 8 a
2
a a 160
a 8 a 160 a 64 16a a 160
16a 160 64 a 14 a 6 a 4

+ 
= =  + =  = −
− =
− − =  − + − =
= +  =  = −  =
 
 
[02] INCORRETA. A divisão por x 6+ é exata. 
 
[04] CORRETA. Calculando: 
( ) ( ) ( ) 3 2P(x) 2 x 6 x 4 x 14 2x 24x 104x 672=  +  −  − = − − + 
 
[08] INCORRETA. Calculando: 
2
2
x 14x 24 0
14 4 1 24 100
x 12
14 100
x ou
2
x 2
+ + =
 = −   =
= −
− 
= 
= −
 
 
[16] CORRETA. O termo independente é igual a 672. 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Calculando: 
3 2P(x) x mx nx 12= + + + 
 
Por Girard: 
1 2 3
1 2 3
2 3 2
1 2 1
3 2
x x x 12
x x 3 x 4
x x 5 x 1
x x 3 x 3
P(x) (x 1) (x 3) (x 4) x 2x 11x 12
n 2m 7 11 2 ( 2) 7
  = −
 = − → =
+ = → =
 = − → = −
= −  +  − = − − +
− = − → − −  − = −
 
 
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Resposta da questão 4: 
 01 + 02 + 08 = 11. 
 
[01] VERDADEIRO. Calculando: 
3 2
1 1 1
2 3 3 2 0
2 2 2
2 3 3 2 6 12 16 16 16
2 0 0 0
8 4 2 8 8
     
 −  −  + =     
     
− − + − +
− − + =  =  =
 
 
[02] VERDADEIRO. Calculando: 
3 2 2
3 2
2x 3x 3x 2 x x 2
2x 2x 4x 2x 1
− − + − −
− + + −
2
2
x x 2
x x 2
− + +
+ − −
0
 
 
[04] FALSO. Pelas relações de Girard a soma de suas 
raízes será igual a 3 2. 
 
[08] VERDADEIRO. Calculando: 
2
2
1 3
a b
2 2
1 2
a b ab 2
2 2
2 3 1 2 2 b
b b 1 1 b b 2 0
b 2 2 b b
b 2 ou b 1
a 1 ou a 2
+ + =
−
  =  = −
− − − +
+ = −  + =  =  − − =
= = −
= − =
 
 
[16] FALSO. Ele pode ser fatorado como produto de três 
polinômios de grau 1 com coeficientes racionais. 
 
 
Resposta da questão 5: 
 02 + 04 + 08 = 14. 
 
[01] Falso. Se a 0= o polinômio admitirá uma raiz real 
e duas complexas. 
 
[02] Verdadeiro. Pelas Relações de Girard, tem-se: 
1 2 3
( 1)
x x x 1
1
−
  = − = 
[04] Verdadeiro. Calculando: 
3 2P(1) 0 1 5 1 a 1 1 a 5 0 a 5= = −  +  − → − = → = 
 
[08] Verdadeiro. Pelas Relações de Girard, tem-se: 
1 2 3
( 5)
x x x 5
1
−
+ + = − = 
 
[16] Falso. Se 1 é raiz, então a 5.= Aplicando Briot-
Ruffini, pode-se encontrar um polinômio do segundo 
grau 
2P(x) x 4x 1,= − + que possui raízes reais. 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Sejam r, s e t as raízes da equação 3 2x 4x x 6 0+ + − = 
e considere que r = s + t. 
Utilizando a relação de soma de Girard, temos: 
 
r s t
r r
r 2
4
1
4
+ + =
+ = −
= −
−
 
 
Concluímos então que dois é uma de suas raízes. 
 
Dividindo, agora 3 2x 4x x 6+ + − por (x 2)+ 
 
 
 
 
3 2
2
2
x 2
x 4x x 6 (x 2) (x 2x 3
0 x 2
x 2x – 3 x 3 ou x 1
) 0
 
+ = 
+ + − = +  + − =
= −
+  = − =
 
 
Logo, S = {– 3, – 2, + 1}. 
 
 
Resposta da questão 7: 
 01 + 04 + 08 = 13. 
 
[01] Correto. Se 2 i+ é raiz do polinômio, então 2 i− 
também é raiz. Assim, 
 
2 2| 2 i | 2 ( 1) 5.− = + − = 
 
[02] Incorreto. Seja  o argumento de 2 i.+ Como 
1
sen
5
 = e 
2
cos ,
5
 = segue-se que 0 .
2

   
Além disso, sabendo que 
1
sen ,
4 2

= temos 
1 1
5 2
 e, portanto, 0 .
4

   
 
[04] Correto. Sendo a,b e c inteiros, e  a raiz real do 
polinômio, temos 
 
3 2
3 2
x ax bx c [x (2 i)][x (2 i)](x )
x ( 4)x (4 5)x 5 .
+ + + = − + − − − 
= −  + +  + − 
 
 
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Desse modo, a ( 4)= − + e, portanto, 4 a, = − ou 
seja,  é um número inteiro. 
 
[08] Correto. Sabendo que 1 é raiz do polinômio, do 
item [04], vem 
 
3 21 ( 4) 1 (4 5) 1 5 0 1 4 4 5 5 0
1.
−  +  +  +  −  =  − − +  + −  =
  = 
 
Assim, a ( 4) 5= − + = − e c 5 5.= −  = − 
 
[16] Incorreto. Como o grau do polinômio é ímpar, 
segue-se que o polinômio possui pelo menos uma raiz 
real. Portanto, não é possível escolher os inteiros a,b e 
c de modo que o polinômio não possua raízes reais. 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
 
a 2 b 0
a 6 0
+ + =

+ =
 , resolvendo temos a = -6 e b = 4 logo a2 
– b3 = (-6)2 – 43 = - 28 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
Todo o polinômio de grau 3 pode ser escrito da seguinte 
forma: 
3 2p(x) ax bx cx d= + + + 
 
De acordo com o problema, temos: 
p(0) 6 d 6
p(1) 1 a b c 6 1 a b c 5 (i)
p(2) 4 8a 4b 2c 6 4 4a 2b c 1 (ii)
p(3) 9 27a 9b 3c 6 9 9a 3b c 1 (iii)
=  =
=  + + + =  + + = −
=  + + + =  + + = −
=  + + + =  + + =
 
 
Fazendo (ii) (i)− e (iii) (i)− obtemos o seguinte sistema: 
3a b 4
8a 2b 6
+ =

+ =
 
 
Resolvendo o sistema acima, obtemos: 
a 1, b 7= − = e c 11= − 
 
Portanto: 
3 2p(x) x 7x 11x 6= − + − + 
 
e 
3 2p(4) 4 7 4 11 4 6 10= − +  −  + = 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
4 3 2
4 3 2
4 0 3 1 2 2 1 3 0 4
4
4
4
p x x 4x 6x 4x 2017
p x x 4x 6x 4x 1 2016
4 4 4 4 4
p x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2016
0 1 2 3 4
p x x 1 2016
p 89 89 1 2016
p 89 90 2016
p 89 65610000 2016
p 89 65612016
= + + + +
= + + + + +
         
=  +  +  +  +  +         
         
= + +
= + +
= +
= +
=
 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
As raízes de ( ) 4P x x 1= − são dadas pela equação 
abaixo: 
( )
( ) ( )
4
2
2 2
2 2
2
x 1 0
x 1 0
x 1 x 1 0
x 1 0 x i
− =
− =
+  − =
+ =  = 
 
 
ou 
2x 1 0 x 1− =  =  
 
Assim, as raízes de ( ) 4P x x 1= − formam o conjunto 
 1; 1; i; i .− − 
 
Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
Do enunciado, temos: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
p x a x 3 x 1 x 2 , a 0
p 3 24,
24 a 3 3 3 1 3 2
24 12a
a 2
=  +  −  − 
=
=  +  −  −
=
=
 
 
Assim, 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
p x 2 x 3 x 1 x 2
p 0 2 0 3 0 1 0 2
p 0 12
=  +  −  −
=  +  −  −
=
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
Tem-se que 
5 3 4 2 4 2
3 2 2
x ax x x(x ax 1) x ax 1
.
x bx x(x b) x b
+ + + + + +
= =
+ + +
 
 
Logo, vem 
4 2 2
4 2 2
2
2 2
2
x ax 1 x b
x bx x a b
(a b)x 1
(a b)x b ab
b ab 1
+ + +
− − + −
− +
− − − −
− +
 
 
Portanto, se p é divisível por d, então 2b ab 1 0.− + = 
 
Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
De acordo com o Teorema do resto, podemos escrever: 
4 3 21 1
r p( 2) 2 2 2 2 2 2 1
2 2
r 8 2 4 1 1 10
= = − + − +
= − + − + =
 
 
4 3 21 1
s p( 8) 2 8 8 2 8 8 1
2 2
s 128 16 16 2 1 127
= = − + − +
= − + − + =
 
 
 
Portanto, r s 137.+= 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
Efetuando a divisão dos polinômios, temos: 
 
3 2 2
3 2
x 6x 9x 3 x 5x 6
x 5x 6x x 1
− + − − +
− + − −
2
2
x 3x 3
x 5x 6
− + −
− +
2x 3− +
 
 
Portanto, 
P(x) x 1 2x 3
P(x) x 2
= − − +
= − +
 
Construindo o gráfico de P(x), temos: 
 
 
 
Portanto, a melhor opção é a letra [A]. 
 
 
Resposta da questão 16: 
 [E] 
 
Calculando: 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 2 3 2 6 5 4 3 2
6
5 5
4 4 4
3 3 3
2 2
6 5 4 3 2
6 6
5 5 5 5 5 5 5
4 4 4
3x 2x 5x 4 ax bx cx 3x 11x 8x 9x 17x 4x
3ax
3bx 2ax
3cx 2bx 5ax
2cx 5bx 4ax
5cx 4bx
4cx 3x 11x 8x 9x 17x 4x
3ax 3x a 1
3bx 2ax 3bx 2x 11x 3bx 9x b 3
3cx 2bx 5ax
+ + −  + + = + + + − +
+
+ + +
+ + + +
+ + − +
+ − +
+ − = + + + − +
=  =
+ = + =  =  =
+ + = 4 4 4 4 4 43cx 6x 5x 8x 3cx 3x c 1+ + =  = −  = −
 
 
Assim: 
3 2 3 2ax bx cx x 3x x+ + = + − 
 
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
Seja 
2P(x) ax bx c.= + + Se o resto da divisão de P 
pelo binômio x 1+ é igual a 3, então, pelo Teorema do 
Resto, segue que a b c 3.− + = 
 
Ademais, sendo P(0) 6= e P(1) 5,= temos c 6= e 
a b c 5.+ + = Daí, vem a b 3= − e 2b 2,= implicando 
em b 1= e a 2.= − 
 
Em consequência, a resposta é 
2P(3) ( 2) 3 1 3 6 9.= −  +  + = − 
 
 
 
 
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Resposta da questão 18: 
 [B] 
 
Calculando: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 3 2
P(x) x 2x x 2 R(x)
R(x) ax b
P(x) x 2x x 2 ax b
P(2) 0
P(2) 2 2 2 2 2 2a b 16 2a b 0 2a b 16
R(3) 6
R(3) 3a b 6
2a b 16 a 22
3a b 6 b 60
P(x) x 2x x 2 22x 60
P(x) x 2x 2x 18x 60
Soma coeficientes
= +  − +
= +
= +  − + +
=
= +   − + + = + + =  + = −
=
= + =
+ = − =

+ = = −
= +  − + −
= + − + −
= 1 2 2 16 60 41+ − + − = −
 
 
Resposta da questão 19: 
 [D] 
 
[I] FALSA. Um polinômio de segundo grau gera um 
gráfico de parábola. 
 
[II] VERDADEIRA. Calculando: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
P(x) a x 4 x 1
1P(0) 1 a 0 4 0 1 4a 1 a
4
1P(x) x 4 x 1
4
3
D(x) x 3 0 x 4 4 é raiz de P(x)!
4
P(x)
Resto P( 4) 0 é divisor!
D(x)
=  +  −
−= − =  +  −  = −  =
−=  +  −
−
= − =  = −  −
 = − = 
 
 
[III] VERDADEIRA. Calculando: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
AC
AC
1P( 3) 3 4 3 1 P( 3) 4 C 3; 4
4
1P(3) 3 4 3 1 P(3) 7 A 3; 7
4
r : y mx b
7 ( 4) 3 1
m
3 ( 3) 6 2
1 11
7 3 b b
2 2
1 11
r : y x
2 2
11 1 11
0
2 2 2
−− =  − +  − −  − = −  − −
−=  +  −  = −  −
= +
− − − − −
= = =
− −
− −
− =  +  =
−
=  −
−
− ==  −
 
 
[IV] FALSA. Calculando: 
( ) ( )
2
2
1 3
P(2) 2 4 2 1 P(2)
4 2
1 1 1 1 1 21
P 4 1 P
2 4 2 2 2 16
− −
=  +  −  =
− − − − − −       
=  +  −  =       
       
 
 
Resposta da questão 20: 
 [D] 
 
Tem-se que 
 
5 3 2 3 2 2x 5x 4x (x x)(x x 4x 1) 3x 3x.− + = + − − + + + 
 
Logo, como 
2r(x) 3x 3x,= + vem 
23x 3x 0 3x(x 1) 0 x 0 ou x 1.+ =  + =  = = − 
 
 
Portanto, segue que a solução real, não nula, da 
equação r(x) 0= pertence ao intervalo [ 1, 0].− 
 
Resposta da questão 21: 
 [A] 
 
Desde que 
2x x 1 (x 3)(x 2) 5,+ − = + − + segue o 
resultado. 
 
Resposta da questão 22: 
 [A] 
 
Se P(2) 0,= então 
4 22 8 2 a 2 b 0 2a b 16.−  +  + =  + = 
 
Ademais, sendo P(1) 9,= vem 
4 21 8 1 a 1 b 9 a b 16.−  +  + =  + = 
 
Resolvendo o sistema em x e y, obtemos a 0= e 
b 16.= 
 
Portanto, a resposta é 
5 5a 4b 0 4 16 64.− = −  = − 
 
Resposta da questão 23: 
 a) Tem-se que 
2b aq, c aq= = e 
3d aq .= Logo, vem 
 
2 3
2 31 1 1 1p a aq aq aq
q q q q
a a a a
0.
       
− = + − + − + −       
       
= − + −
=
 
 
Por conseguinte, 
1
x
q
= − é uma raiz do polinômio 
p(x). 
 
 
b) De (a), obtemos 
 
2
3
a c x e a aq x e
.
d b y f y faq aq
         
 =  =                  
 
 
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Sabendo que a 0, q 0 e 𝑞 ∈ ℝ, o sistema terá 
solução única se, e somente se, 
 
2
2 2 5
3
2 2 2
a aq
0 a q a q 0
aq aq
a q(1 q )(1 q ) 0.
  − 
 − + 
 
 
Portanto, além de q 0, deve-se ter q 1.  
 
 
Resposta da questão 24: 
 
 O número 2 é raiz, pois p(2) = 0. 
 
Dividindo p(x) por (x – 2), temos: 
 
 
 
Logo, ( ) ( ) ( )2P x x 2 2x 2x 1= − + + 
 
Onde suas raízes são 
1 3
x 2, x .
2

= = 
 
Resolvendo, agora a inequação P(x) 0 através do 
gráfico do polinômio P(x). 
 
 
 
Portanto, a solução da inequação será dada por 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/
1 − √3
2
≤ 𝑥 ≤
1 + √3
2
 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 2}. 
 
Resposta da questão 25: 
 [D] 
 
[A] Falsa – Pois p(10) = 104 – 3.103 – 3.102 + 11.10 – 6 = 
6.804. 
 
[B] Falsa – Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini 
notamos que 1 é raiz dupla. 
 
 
 
[C] Falsa – Pois p(2) = 24 – 3.23 – 3.22 + 11.2 – 6 = –4. 
 
[D] Verdadeira – Se 1 é raiz, então p(x) é divisível por x 
– 1. 
 
Resposta da questão 26: 
 a) Se P(x) é divisível por x 2,− então P(2) 0.= Assim, 
 
3 2P(2) 2 2 2 4 2 m 0 8 8 8 m
m 8.
= −  −  +  = − − +
 =
 
 
b) Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, 
obtemos: 
 
2 1 2 4 8
1 0 4 0
− −
−
 
 
Portanto, 
 
3 2 2 2P(x) x 2x 4x 8 (x 2)(x 4) (x 2) (x 2),= − − + = − − = − + 
 
ou seja, as raízes de P(x) são 2 e –2. 
 
Resposta da questão 27: 
 [A] 
 
Desenvolvendo o determinante, temos: 
 
3 2
3 2
2
2
A(x) x x 2 x x 2x
A(x) x 2x x 2
A(x) x (x 2) 1(x 2)
A(x) (x 2) (x 1)
= + − − − +
= + − −
= + − +
= +  −
 
 
A alternativa A é a incorreta, pois A(x) possui raízes 
comuns com B(x), já que possui o fator x2 – 1.