Revisão Polinomios 1

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Revisão de Polinômios
Função Polinomial ou Polinômio
Dada a sequência de números complexos (a0, a1, a2, ..., an), consideremos a função f: ℂ → ℂ dada por
f(x) = a0x0+ a1x1+ a2x2+ ...+ anxn .
𝑛	∈	ℕ,	𝑎𝑖	∈	ℂ, x ∈ ℂ.
a0, a1, a2, ..., an	 são chamados Coeficientes . a0x0, a1x1, a2x2, ..., anxn  são chamados Termos. x também chamado de variável independente.
Valor numérico e Raiz
f(a) é a imagem de a por f.
f(a) = 0  a é raiz ou zero da função
Ex.: f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6. Calcule:
a) f(0)	b) f(1)	c) f(2)
d) f(3)	e) f(i)	f) f(1 - i)
Igualdade
Polinômio nulo:
f(x) = 0, ∀ 𝑥	∈ ℂ
f = 0 ↔ a0 = a1 = a2 = ... = an = 0 f(x) = 0x0+ 0x1+ 0x2+ ...+ 0xn
Igualdade
Polinômios idênticos:
f = g ↔ f(x) = g(x), ∀ 𝑥	∈ ℂ
Coeficientes de polinômios idênticos:
f = g ↔ ai = bi, ∀𝑖 ∈ {0, 1, 2, 3, ..., n}
Onde,
f(x) = a0x0+ a1x1+ a2x2+ ...+ anxn . g(x) = b0x0+ b1x1+ b2x2+ ...+ bnxn .
Igualdade
Polinômios idênticos:
f = g ↔ f(x) = g(x), ∀ 𝑥	∈ ℂ
Coeficientes de polinômios idênticos:
f = g ↔ ai = bi, ∀𝑖 ∈ {0, 1, 2, 3, ..., n}
Onde,
f(x) = a0x0+ a1x1+ a2x2+ ...+ anxn . g(x) = b0x0+ b1x1+ b2x2+ ...+ bnxn .
Ex. Dado P(x) = ax2 + bx + c, calcule a, b e c para que se tenha a identidade P(x + 1) = P(2x).
Grau de Polinômios
Definição: Seja f(x) = a0x0+ a1x1+ a2x2+ ...+ anxn .
𝜕𝑓 = 𝑝 ⟺ 
𝑎𝑝 ≠ 0
𝑎𝑖 = 0, ∀ 𝑖 > 𝑝
· índice do maior termo não nulo.
· Se grau de f é n, então an é chamado coeficiente dominante.
· Se an = 1, f = polinômio unitário.
Grau da soma e grau do produto
Grau da soma: Se f, g e f + g são polinômios não nulos, então o grau de f+g é menor ou igual ao maior dos números 𝜕f e 𝜕g.
𝜕(f+g) ≤ máx {𝜕f, 𝜕g}
Grau do produto: Se f e g são polinômios não nulos, então o
grau de fg é igual à soma dos números 𝜕f e 𝜕g.
𝜕(fg) = 𝜕f + 𝜕g
Grau da soma e grau do produto
Exemplo: sejam f(x) = x³ - 6x² + 11x – 6 e g(x) = 2x4 – x³ + 11x².
Qual é o grau:
1.	(f+g)(x)
2.	(f.g)x
3.	(f+g)²(x)
4.	(f.g)³x
Grau da soma e grau do produto
Exemplo:
142) Qual o grau do polinômio
f = (2a² + a – 3)x³ + (a² - 1)x² + (a + 1)x – 3 na indeterminada x, quando a = 1?
146) Seja p(x) um polinômio do segundo grau tal que
p(0) = -20; p(1) +p(2) = -18 e p(1) – 3p(2) = 6.
Resolva a inequação p(x) <0.
Divisão de polinômios
Dividir um polinômio f(x) por um polinômio g(x) significa encontrar um polinômio q(x)(quociente) e um polinômio r(x) (resto) da seguinte maneira:
Isso significa que:
• f(x)= g(x)⋅q(x) + r(x)
• 𝜕𝑟 < 𝜕𝑔 (𝑜𝑢 𝑟 = 0 −→ 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎)
Divisões Imediatas
Dividendo é o polinômio nulo
f = 0  q = 0 e r = 0 pois ↔ q.g + r = f
0.g + 0 = 0 =f
Dividendo não nulo de grau menor que o divisor:
q = 0 e r = f pois ↔ q.g + r = f
0.g + r = 0 + f = f, 𝜕𝑟 = 𝜕𝑓 < 𝜕𝑔
Método de Descartes
Também conhecido por método dos coeficientes a
determinar.
Este método se utiliza da identidade de polinômios e se baseia no fato de que o grau do resto deve ser menor do que o do divisor.
por
Método da Chave
Um dos métodos mais comuns para a divisão de polinômios é o método da chave, semelhante ao método da divisão de números inteiros (sem decimais).
por
Divisão de Polinômios -	Exemplos
157) Divida f por g pelo Método de Descartes: a)	f = 3x5 – x4 + 2x³ + 4x – 3 e g = x³ - 2x + 1
158) Aplicando o método da chave, determine o quociente e o resto da divisão de f por g:
e) f = x³ + x² + x + 1 e g = 2x² + 3
161) Determine a e b de modo que o polinômio
f = x4 – 3ax³ + (2a - b)x² + 2bx + (a + 3b) seja divisível por
g = x² - 3x + 4 (método de Descartes ou chave).
Divisão por binômios do 1º grau (x – a)
Teorema do resto
O resto da divisão de um polinômio f por x – a é igual ao
valor numérico de f em a.
Exemplos:
Teorema de D’Alembert
Um polinômio é divisível por x – a se, e somente se, a é raiz de f.
Exemplo:
Dispositivo prático de Briot-Ruffini
TEOREMA:
Se um polinômio f é divisível separadamente por x – a e por x – b, com a ≠ b, então .f é divisível por (x – a)(x – b)
Divisão por binômios do 1º grau quaisquer (bx – c)
f = (bx – c).q + r
Como proceder para chegar em (x – a)? f = b. (x – c/b) .q + r
f = (x – c/b). bq + r	Na prática: q’
Divisão por binômios do 1º grau quaisquer (bx – c)
Exemplo:
Equação Polinomial
Equação	polinomial,	ou	equação	algébrica,	é	a	sentença f(x) = g(x), onde f(x) e g(x) são funções polinomiais.
Exemplo: x³ + x² – x – 1 = 3x² – 3 é uma equação polinomial.
Raiz da equação polinomial
Valor de x que torna a sentença verdadeira.
No exemplo anterior x=1 era uma raiz da equação polinomial.
Conjunto solução
Conjunto solução, ou conjunto verdade, da equação f(x)=g(x) em ℂ, é o conjunto S cujos elementos são as raízes complexas da equação polinomial.
No exemplo anterior x=1 era uma raiz da equação polinomial.
x³ + x² – x – 1 = 3x² – 3
Escreva o conjunto solução:
Resolução de uma equação polinomial
Resolver	uma	equação	é	encontrar	seu	conjunto solução.
Equações equivalentes: possuem a mesma solução
Ex:	x³ + x² – x – 1 = 3x² – 3	e
x³ - 2x² – x + 2 = 0
Transformações que não alteram o
conjunto solução
Somar	aos dois membros uma mesma função polinomial
Multiplicar os dois membros por um mesmo complexo ≠ 𝟎
Resolução de uma equação polinomial
Para resolução de uma equação polinomial buscamos transformá-la em uma equivalente mais simples, e para isso usamos as operações descritas no slide anterior.
Casos imediatos
P(x) é identicamente nula
0x0+ 0x1+ 0x2+ ...+ 0xn = 0
Verdadeira ∀ 𝑥 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜.
S = ℂ
P(x) é constante não nula
0x0+ 0x1+ 0x2+ ...+ k = 0
Falsa ∀ 𝑥 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜.
S = { }
Número de raízes
T.F.A: Todo polinômio de grau n ≥ 1, admite ao menos uma raiz complexa.
Teorema da decomposição
Todo polinômio P de grau n (n ≥ 1);
P = a0x0+ a1x1+ a2x2+ ...+ anxn
Pode ser decomposto em n fatores do primeiro grau, isto é: P = an. (x – r1) (x – r2) (x – r3) ... (x – rn)
Onde r1, r2, r3, ..., rn são raízes.
Número de raízes
Consequência do Teorema da decomposição
Toda	equação	polinomial	de	grau	n	(n	≥ 1)	admite	n,	e somente n, raízes complexas.
Multiplicidade de raízes
No exemplo
Dizemos	que	1	é	raiz	tripla	(multiplicidade	3);	2	é	raiz
quádrupla (multiplicidade 4) e 3 é raiz simples da equação.
Multiplicidade de raízes
Relações de Girard: Relações entre
coeficientes e raízes
Equação do 2º grau: ax² + bx + c = a. (x – r1).(x – r2)
Equação do 3º grau: ax³ + bx² + cx + d = a(x – r1)(x – r2)(x – r3)
Relações de Girard: Relações entre
coeficientes e raízes
Equação grau n:
Relações de Girard: Relações entre
coeficientes e raízes
Aplicações:
1) Calcule	a	soma	e	o	produto	das	raízes	da	equação: 2x4 + 3x3 + 4x² + 5 x + 6 = 0
2) Resolver a equação x³ - 6x² + 3x + 10 = 0, sabendo que a soma de duas raízes é 1.
Raízes Conjugadas
Teorema: Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raiz um numero complexo z = 𝛼 + 𝛽𝑖 (𝛽 ≠ 0) , então essa equação também admite como raiz o número
𝑧 =	𝛼 −	𝛽𝑖, conjugado de z.
Raízes Conjugadas
Consequências:
1. Multiplicidade da raiz conjugada: Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite a raiz z = 𝛼 + 𝛽𝑖 (𝛽 ≠ 0)	com multiplicidade p, então essa equação também
admite	como	raiz	o	número
multiplicidade p.
𝑧 =	𝛼 −	𝛽𝑖	 com
Raízes Conjugadas
Consequências:
1. Multiplicidade da raiz conjugada:
Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite a raiz z = 𝛼 + 𝛽𝑖 (𝛽 ≠ 0) com multiplicidade p, então essa equação também
admite	como	raiz	o	número
multiplicidade p.
𝑧 =	𝛼 −	𝛽𝑖	 com
Raízes Conjugadas
Consequências:
2. O número de raízes complexas não reais é
um número par.
3. Se uma equação polinomial tem grau ímpar, então ela admite umnúmero ímpar de raízes reais.
EX: ax³ + bx² + cx + d = 0 (com a, b, c, d reais) tem uma ou três raízes reais.
Raízes Conjugadas
Observação:
Teorema da raiz conjugada não é válido para equações polinomiais com coeficientes complexos.
Ex:	x²	-	ix	=	0	admite	0	e	i	como	raízes,	porém
não admite –i como raiz.
Raízes Conjugadas
Aplicações:
1) Determinar o menor grau que pode ter uma equação polinomial de coeficiente reais para admitir 1, i e 1 + i como raízes.
2) Formar uma equação polinomial de grau mínimo e coeficientes reais que admita 0 como raiz simples, 1 como raiz dupla e 2 – 3i como raiz tripla.
Raízes Conjugadas
Aplicações:
3) Resolva a equação x4	+ x³ + 2x² + 3x – 3 = 0,
sabendo que uma das raízes é 𝑖	3.
Exercícios páginas 130 a 132.
Raízes Reais: Teorema de Bolzano
Dada uma equação polinomial P(x)=0, como proceder para saber quantas raízes reais ela possui num intervalo ]a,b[ dado?
1. Se P(a) e P(b) têm o mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais ou não existem raízes da equação em ]a,b[ .
2. Se P(a) e P(b) têm sinal contrários, então existe um
número ímpar de raízes reais da equação em ]a,b[ .
Teorema de Bolzano
Aplicações:
1. Quantas raízes reais x³ + 5x² - 3x + 4 = 0 pode assumir no intervalo ]0,1[ ?
2. Quantas raízes reais x³ - 3x² + 7x + 1 = 0 pode assumir
no intervalo ]-1,1[ ?
3. Determinar m de modo que a equação x5 – 2x4 +3x³ -5x² + x + (m – 3) = 0, tenha pelo menos uma raiz real em ]0,2[.
Interpretação Geométrica
Interpretação Geométrica
Raízes Racionais
Se uma equação polinomial
p(x)=	anxn + an-1xn-1+ an-2xn-2+ an-3xn-3+ ...+ a1x + a0 ,
com (an ≠ 0), de coeficientes inteiros, admite uma raiz
racional 𝑝, em que 𝑝 ∈ ℤ, 𝑞	∈ ℤ∗	e p e q são primos
𝑞	+
entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor de an.
Aplicação
1. Quais	são	as	possíveis	raízes	racionais	da	equação
2x6 – 5x5 + 4x4 – 5x3 – 10x2 + 30x -12 =0?
2. Quais	são	as	raízes	inteiras	da	equação
x3 + 3x² - 3x – 9 = ?.
Consequências
1. O teorema anterior só se aplica a equações polinomiais de coeficientes inteiros (todos). Não é suficiente que o dominante (an) e o termo independente (a0) sejam
inteiros.
Exemplo:	a	equação	x²	-	5x	+	1	=	0	apresenta	raízes
2
racionais	2	e	½,	enquanto	que	a	aplicação	errada	do
teorema	anterior,	sem	se	verificara	suas	premissas,
apontaria como raízes possíveis 1 e -1.
O que fazer para aplicar o teorema?
Consequências
2. Se a equação p(x) = 0, com coeficientes inteiros e
𝑟
a0 ≠ 0,	admite	uma	raiz	inteira	r	=
divisor de a0 (termo	independente).
,	então	r	é
1
Exemplo: as possíveis raízes da equação 7x5 + x4 – x³ – x² – x + 6 = 0 são -1, 1, 2, -2, -3, 3, -6, 6.
Consequências
3. Se a equação P(x) = 0, com coeficientes inteiros e
an =1 (coeficiente dominante unitário),	admite
uma	raiz	racional	r	=	𝑝
𝑞
,	então	essa	raiz	é
necessariamente inteira (q = 1).
Exemplo: qualquer raiz da equação x4 + 11x³ – 7x² + 4x – 8 = 0 é inteira.