lajes treliçadas-1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTUDO DE LAJES DE CONCRETO ARMADO: 
COMPARATIVO DE CÁLCULO ENTRE LAJES 
TRELIÇADAS E MACIÇAS, UTILIZANDO MÉTODO 
ELÁSTICO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO 
 
 
 
 
 
 
 
Ana Russowsky Marçal 
 
 
 
 
Santa Maria, RS, Brasil 
2014 
 
 
ESTUDO DE LAJES DE CONCRETO ARMADO: 
COMPARATIVO DE CÁLCULO ENTRE LAJES 
TRELIÇADAS E MACIÇAS, UTILIZANDO MÉTODO 
ELÁSTICO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ana Russowsky Marçal 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão apresentado ao Curso de Engenharia Civil, 
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito 
parcial para obtenção do grau de Engenheira Civil. 
 
 
 
 
Orientador: Prof. Dr. Marcos Alberto Oss Vaghetti 
 
 
 
 
 
 
 
Santa Maria, RS, Brasil 
2014 
 
 
Universidade Federal de Santa Maria 
Centro de Tecnologia 
Curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
A Comissão Examinadora, abaixo assinada, 
Aprova o Trabalho de Conclusão de Curso 
 
 
 
ESTUDO DE LAJES DE CONCRETO ARMADO: COMPARATIVO 
DE CÁLCULO ENTRE LAJES TRELIÇADAS E MACIÇAS, 
UTILIZANDO MÉTODO ELÁSTICO. 
 
 
elaborado por 
Ana Russowsky Marçal 
 
 
 
como requisito parcial para obtenção do grau de 
Engenheira Civil 
 
 
COMISSÃO EXAMINADORA: 
 
 
Marcos Alberto Oss Vaghetti, Dr. 
(Orientador) 
 
 
 
 
Gerson Moacyr Sisniegas Alva, Dr. (UFSM) 
 
 
 
 
 João Kaminski Junior, Dr. (UFSM) 
 
 
 
Santa Maria, 16 de dezembro de 2014. 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
Agradeço ao Prof. Marcos Vaghetti, pela paciência e conhecimentos 
repassados para elaboração deste trabalho. 
Agradeço imensamente aos meus pais, Evelyn Russowsky e Amilton Marçal, 
por me darem todo suporte, apoio, sabedoria e amor durante esses anos para que 
este momento tenha chegado. 
Agradeço aos meus padrinhos, Gissela Saydelles e Claudio Nascimento, pelo 
incentivo, carinho e dedicação de todos esses anos. 
Agradeço ao meu irmão, Diego Marçal, pela parceria e conhecimentos 
repassados, à minha irmã de coração, Luiza Saydelles, pela cumplicidade e torcida, 
e à minha família, em geral, pelo suporte e estímulo durante todas as etapas. 
Agradeço ao Engenheiro Civil, Rogerio Quinhones Pereira, por todas as horas 
dedicadas à concretização deste trabalho, pelo companheirismo, paciência e, 
principalmente, carinho. 
Agradeço à Sarkis Engenharia e a Vantec Estruturas pelas oportunidades de 
estágio e crescimento profissional. 
Agradeço a todos os meus amigos pelo companheirismo e amizade durante 
essa jornada, sem vocês não teria tanta graça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
Trabalho de Conclusão de Curso 
Curso de Engenharia Civil 
Universidade Federal de Santa Maria 
 
ESTUDO DE LAJES DE CONCRETO ARMADO: COMPARATIVO DE 
CÁLCULO ENTRE LAJES TRELIÇADAS E MACIÇAS, UTILIZANDO 
MÉTODO ELÁSTICO. 
AUTORA: ANA RUSSOWSKY MARÇAL 
ORIENTADOR: MARCOS ALBERTO OSS VAGHETTI 
Data e Local da Defesa: Santa Maria, 16 de dezembro de 2014. 
 
Atualmente, a construção civil exige uma busca constante por novos materiais 
e técnicas construtivas visando o melhor desempenho das edificações, segurança, 
qualidade e menor custo. Em função disso, este trabalho apresenta um comparativo 
de cálculo entre lajes maciças e treliçadas, utilizando o método elástico. Tal 
comparação tem por finalidade estabelecer as diferenças entre as duas lajes no que 
diz respeito aos seus deslocamentos elásticos imediatos (flechas) e ao consumo de 
concreto e aço para diferentes vãos. O dimensionamento das lajes foi feito utilizando 
o método simplificado das tabelas de Czerny e o software CAD/TQS para lajes 
maciças, bem como o, método da analogia de grelhas do software CAD/TQS, para 
as lajes treliçadas. As análises foram realizadas a partir de comparativos entre o 
consumo de aço e concreto assim como os deslocamentos imediatos obtidos para 
cada método de cálculo. Os resultados indicam que: a laje treliçada é mais 
econômica em relação ao consumo de materiais (concreto e aço), enquanto que os 
deslocamentos – independentemente do método adotado – são compatíveis com os 
limites de Norma. Na ausência de um programa computacional adequado, o método 
simplificado é indicado para obtenção de esforços e deslocamentos em lajes 
retangulares maciças de concreto armado. 
 
Palavras-chave: lajes maciças, lajes treliçadas, tabelas de Czerny, software 
CAD/TQS. 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1: Sistema de Lajes Armadas com Ferro (VASCONCELLOS, 2004, p.34) .... 12 
Figura 2: Laje Maciça (ARAÚJO, 2014, p.2) ............................................................. 13 
Figura 3: Armação Treliçada (Manual Técnico Lajes Treliçadas Belgo) ................... 15 
Figura 4: Elementos Laje Treliçada (Manual Técnico Lajes Treliçadas Belgo) ......... 16 
Figura 5: Esforços solicitantes no elemento de placa (ARAÚJO, 2014, p.46) ........... 18 
Figura 6: Situações onde se aplica a teoria das grelhas (ARAÚJO, 2014, p.81) ...... 20 
Figura 7: Placa e grelha equivalente (CARVALHO; PINHEIRO, 2009, p.120) .......... 20 
Figura 8: Tipos de apoios utilizados no cálculo (Site Laboratório de Estruturas e 
Materiais Estruturais USP - http://www.lem.ep.usp.br/ - acesso em 10/2014) .......... 22 
Figura 9: Notação das Tabelas de Czerny (MARINO, 2006, p.8).............................. 22 
Figura 10: Planta de Formas – Laje Maciça .............................................................. 24 
Figura 11: Planta de Formas – Laje Treliçada........................................................... 25 
Figura 12: Corte Esquemático ................................................................................... 26 
Figura 13: Vãos teóricos das lajes ............................................................................ 28 
Figura 14: Comparação do volume de concreto ........................................................ 38 
Figura 15: Comparação de área de armadura por metro por laje ............................. 38 
Figura 16: Comparação de deslocamentos imediatos .............................................. 39 
Figura 17: Armaduras Positivas - Lajes Maciças ....................................................... 45 
Figura 18: Armaduras Negativas - Lajes Maciças ..................................................... 46 
Figura 19: Armaduras Positivas - Lajes Maciças ....................................................... 48 
Figura 20: Armaduras Negativas - Lajes Maciças ..................................................... 49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE QUADROS 
 
Quadro 1: Vãos teóricos ............................................................................................ 28 
Quadro 2: Cálculo dos esforços e deslocamento das L1, L3, L7 e L9 ...................... 32 
Quadro 3: Cálculo dos esforços e deslocamento das L2 e L8 .................................. 32 
Quadro 4: Cálculo dos esforços e deslocamento das L4 e L6 .................................. 32 
Quadro 5: Cálculo dos esforços e deslocamento da L5 ............................................ 33 
Quadro 6: Correção dos momentos negativos .......................................................... 33 
Quadro 7: Correção dos momentos positivos ........................................................... 33 
Quadro 8: Armaduras Positivas Horizontais .............................................................. 34 
Quadro 9: Armaduras Positivas Verticais .................................................................. 34 
Quadro 10: Armaduras Negativas Horizontais .......................................................... 34 
Quadro 11: Armaduras Negativas Verticais .............................................................. 34 
Quadro 12: Armaduras Positivas Horizontais ............................................................ 35 
Quadro 13: Armaduras Positivas Verticais ................................................................ 35 
Quadro 14: Armaduras NegativasHorizontais .......................................................... 35 
Quadro 15: Armaduras Negativas Verticais .............................................................. 36 
Quadro 16: Flechas Lajes Maciças ........................................................................... 36 
Quadro 17: Armaduras das treliças ........................................................................... 36 
Quadro 18: Armaduras das treliças por metro ........................................................... 36 
Quadro 19: Volume de concreto por laje ................................................................... 37 
Quadro 20: Flechas das Lajes Treliçadas ................................................................. 37 
Quadro 21: Comparação de volume de concreto ...................................................... 37 
Quadro 22: Comparação de área de armadura por metro por laje ............................ 38 
Quadro 23: Comparação de deslocamentos imediatos ............................................. 39 
Quadro 24: Comparação área de aço com adição de armaduras negativas na laje 
treliçada ..................................................................................................................... 39 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 9 
1.1 Objetivos ........................................................................................................ 10 
1.1.1 Objetivo Geral .............................................................................................. 10 
1.1.2 Objetivos Específicos ....................................................................................... 10 
1.2 Estrutura do Trabalho ................................................................................... 10 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .............................................................................. 12 
2.1 Histórico das Lajes em Concreto Armado .................................................. 12 
2.2 Lajes Maciças ................................................................................................ 13 
2.3 Lajes Treliçadas ............................................................................................. 15 
2.4 Método de cálculo pela Teoria de Flexão de Placas .................................. 17 
2.5 Teoria das Grelhas ........................................................................................ 19 
2.5.1 Método de Czerny ........................................................................................ 21 
3 METODOLOGIA ................................................................................................. 24 
3.1 Cálculo Lajes Maciças .................................................................................. 28 
3.1.1 Dimensionamento pelo Método de Czerny....................................................... 28 
3.1.2 Dimensionamento pelo Software CAD/TQS ..................................................... 29 
3.2 Cálculo Lajes Treliçadas ............................................................................... 30 
4 RESULTADOS E ANÁLISES ............................................................................. 32 
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 41 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 42 
Apêndice A ................................................................................................................ 44 
Apêndice B ................................................................................................................ 47 
Anexo A ..................................................................................................................... 50 
Anexo B .................................................................................................................... 54 
 
9 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 Atualmente a construção civil vive seu grande ápice, e com isso está 
passando por uma evolução considerável nos últimos anos. A busca por qualidade, 
segurança e menor custo é inevitável. Assim, visando o melhor desempenho das 
edificações, torna-se necessário o desenvolvimento de novos materiais e técnicas 
construtivas. 
Para que um empreendimento tenha o menor custo e seja bem executado 
proporcionando conforto aos usuários, se faz necessário um estudo comparativo 
entre diferentes tipos de estruturas visando a melhor alternativa para cada caso. 
O tipo de laje mais usual na construção civil é a laje maciça de concreto, seu 
emprego maior em relação às outras está relacionado à sua simplicidade executiva 
e de cálculo. Porém, temos também as lajes pré-fabricadas, chamadas lajes 
treliçadas que são uma alternativa a ser considerada principalmente na questão 
custo-benefício. 
Neste trabalho, as lajes treliçadas e maciças foram analisadas com iguais 
condições de contorno e carregamentos. Os vãos variam de 5 a 7 metros para 
análise dos deslocamentos imediatos (flechas) em função dos mesmos. Também 
será analisado o consumo de aço e concreto para os dois tipos diferentes de lajes 
com o objetivo de saber qual a melhor relação custo x benefício. 
Para saber qual tipo de laje possibilitará uma maior otimização do projeto 
estrutural foram feitos cálculos pelo método simplificado e pelo software CAD/TQS. 
O método simplificado é baseado na teoria da elasticidade e na analogia de grelhas, 
para simplificação do processo utilizou-se tabelas semi-empíricas. O cálculo pelo 
software também é realizado pelo método elástico simplificado através das Tabelas 
de Czerny. 
Os resultados em relação ao consumo de aço e concreto e aos 
deslocamentos das lajes para diferentes vãos serão apresentados por meio de 
tabelas e gráficos comparativos. 
 
10 
 
1.1 Objetivos 
1.1.1 Objetivo Geral 
 
Estabelecer as diferenças entre lajes de concreto maciças e treliçadas no que 
diz respeito aos seus deslocamentos elásticos imediatos (flechas) e ao consumo de 
concreto e aço para diferentes vãos. 
1.1.2 Objetivos Específicos 
 
- Estudar Normas Técnicas referentes a Projetos de Estruturas de Concreto; 
- Revisar bibliograficamente conceitos teóricos sobre lajes de concreto 
maciças e treliçadas; 
- Revisar bibliograficamente método de cálculo simplificado para lajes 
maciças de concreto; 
- Realizar um comparativo entre lajes maciças e treliçadas dos deslocamentos 
elásticos (flechas); 
- Aperfeiçoar os conhecimentos no software CAD/TQS; 
- Analisar o quantitativo de materiais para os dois diferentes tipos de laje; 
 
1.2 Estrutura do Trabalho 
 
Como já apresentado, o primeiro capítulo introduz o tema e apresenta os 
objetivos gerais e específicos deste trabalho. No segundo capítulo é apresentada 
uma referência bibliográfica sobre as lajes maciças e treliçadas, descrevendo sobre 
seu histórico e sobre os métodos de cálculo utilizados para obtenção de esforços. 
O terceiro capítulo apresenta a metodologia para o cálculo e os critérios 
utilizados baseados nas Normas Técnicas, que foram classe de agressividade 
ambiental, cobrimento nominal, estados limites últimos, estados limites de serviço, 
deslocamentos limites, cargas verticais mínimas e limites mínimos para lajes 
maciças. Já o quarto capítulo refere-se aos resultados obtidos, realizando análises 
11 
 
referentes aos deslocamentos obtidos e ao consumo de aço e concreto por meio de 
tabelas e gráficos. 
Por fim, no quinto capítulo são realizadas as considerações finais por meio de 
análises dos resultados, indicando qual laje – maciça ou treliçada - possui o melhor 
desempenho em função do vão e consumo de materiais, respeitando os limites da 
Norma e a segurança estrutural. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA2.1 Histórico das Lajes em Concreto Armado 
 
 As lajes maciças em concreto armado surgiram no século XIX com o inglês 
William Boutland Wilkinson (1819-1902) que era fabricante de gesso e argamassa 
de Newcastle-upon-Tyne. 
 Segundo VASCONCELLOS (2004, p.34) Wilkinson: 
[...] foi o primeiro a patentear um “sistema” de lajes em concreto armado em 
1854. Ele construiu, com este esquema, uma casa de campo com dois 
pavimentos de alvenaria em que reforçou os planos de concreto (pisos e 
telhado) com barras de ferro e arames. A patente de Wilkinson foi 
classificada como “melhorias na construção à prova de fogo em moradias, 
armazéns e outros edifícios”. Este registro oficial é a descrição mais antiga 
em termos da efetiva utilização do concreto armado em estruturas de 
edificações. 
 
 
 
Figura 1: Sistema de Lajes Armadas com Ferro (VASCONCELLOS, 2004, p.34) 
 
A construção civil passou por grandes avanços ao longo das décadas, e com 
as lajes não poderia ser diferente. Atualmente, temos diferentes tipos de lajes que 
atendem a necessidades específicas de cada projeto, sendo algumas delas citadas 
a seguir: 
Lajes Maciças – são placas maciças de concreto armado ou de concreto 
protendido. 
13 
 
Lajes Nervuradas – conforme Souza e Cunha (1998) são lajes em que a zona 
de tração é constituída por nervuras. Entre essas nervuras pode ser colocado 
material inerte de forma que a superfície externa se mantenha plana. São lajes 
empregadas para vencer grandes vãos, geralmente maiores que 8m. 
Lajes cogumelos e lisas – são placas apoiadas diretamente nos pilares. Se o 
pilar não passar por um aumento de seção chamado capitel próximo a laje, esta se 
chama laje lisa. Se houver o aumento, é denominada laje cogumelo. 
Lajes pré-fabricadas – são lajes em que seus elementos são fabricados 
industrialmente em grande escala. Uma das mais utilizadas chama-se laje treliçada 
e é composta por vigotas e painel treliçado. Possui a vantagem da rapidez de 
execução e da economia de fôrmas e escoramento. 
 
2.2 Lajes Maciças 
 
A laje maciça de concreto é a mais utilizada na construção civil por ter um 
método executivo e de cálculo simplificado, é uma placa plana de concreto armado 
maciço e sua espessura varia conforme as necessidades de cada projeto 
arquitetônico. 
Segundo Araújo (2014, pg.2) as lajes maciças são placas de espessura 
uniforme, apoiadas ao longo do seu contorno. Os apoios podem ser constituídos por 
vigas ou por alvenarias, sendo este o tipo de laje predominante nos edifícios 
residenciais onde os vãos são relativamente pequenos. 
 
 
Figura 2: Laje Maciça (ARAÚJO, 2014, p.2) 
 
14 
 
Conforme Spohr (2008 apud FARIA, 2010 p. 19) a laje maciça convencional 
não é adequada para vencer grandes vãos. Ele recomenda como prática usual 
adotar-se como vão médio econômico um valor entre 3,5 e 5m. O autor define como 
sendo um sistema convencional: 
[...] aquele que pode ser constituído basicamente por lajes convencionais, 
vigas e pilares, sendo que as lajes recebem os carregamentos oriundos da 
utilização, ou seja, das pessoas, móveis, acrescidos de seu peso próprio, os 
quais são transmitidos às vigas, que por sua vez descarregam seus 
esforços aos pilares e esses às fundações. 
 
Zacarias (2001) ainda complementa dizendo que, se os apoios das lajes 
forem as vigas do piso, o cálculo das mesmas pode ser feito de maneira simplificada 
como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e 
indeslocáveis à translação. 
Dentre algumas vantagens das lajes maciças podemos citar: 
a) a existência de muitas vigas, por outro lado, forma muitos pórticos, que 
garantem uma boa rigidez à estrutura de contraventamento 
(ALBUQUERQUE, 1999, p.21); 
b) foi durante anos o sistema estrutural mais utilizado nas construções de 
concreto, por isso a mão-de-obra já é bastante treinada (ALBUQUERQUE, 
1999, p.23); 
c) apresentam pouca deformação e esforços relativamente pequenos (Carvalho 
e Pinheiro 2009 apud SILVA, 2010, p.23); 
d) execução simples e rápida (Carvalho e Pinheiro 2009 apud SILVA, 2010, 
p.23); 
Algumas desvantagens das lajes maciças: 
a) devido aos limites impostos, apresenta uma grande quantidade de vigas, 
fato esse que deixa a forma do pavimento muito recortada, diminuindo a 
produtividade da construção (ALBUQUERQUE, 1999, p.21); 
b) os recortes diminuem o reaproveitamento das formas (ALBUQUERQUE, 
1999, p.21); 
c) apresenta grande consumo de concreto, aço e formas (ALBUQUERQUE, 
1999, p.21); 
15 
 
2.3 Lajes Treliçadas 
 
 Lajes treliçadas são estruturas compostas por vigotas pré-fabricadas com 
armadura treliçada. A NBR 14859-1 define vigotas pré-fabricadas da seguinte forma: 
Constituídas por concreto estrutural, executadas industrialmente fora do 
local de utilização definitivo da estrutura ou mesmo em canteiros de obra, 
sob rigorosas condições de controle de qualidade. Englobam total ou 
parcialmente a armadura inferior de tração, integrando parcialmente a seção 
de concreto da nervura longitudinal. 
A armação treliçada é formada por um fio superior (banzo superior), duas 
diagonais ou sinusóides e dois fios inferiores (banzo inferior), conforme a figura 3: 
 
Figura 3: Armação Treliçada (Manual Técnico Lajes Treliçadas Belgo) 
 
O banzo superior tem função de resistir aos esforços de compressão durante 
a montagem e concretagem da laje. As diagonais devem promover uma perfeita 
aderência entre o concreto pré-moldado da vigota e o concreto do capeamento, 
além de proporcionar rigidez ao conjunto e facilitar as condições de manuseio e 
transporte. O banzo inferior deve resistir aos esforços de tração provenientes do 
momento fletor positivo. 
16 
 
O banzo inferior é envolto por uma base de concreto estrutural, geralmente 
com 12 ou 13cm de largura, na qual, se necessário, poderá ser posicionadas 
armaduras positivas complementares. 
Entre as vigotas treliçadas são utilizados elementos de enchimento que 
possuem a função de diminuir o peso próprio da laje, reduzir o volume de concreto e 
servir como fôrma para o concreto do capeamento. Os elementos mais utilizados 
atualmente são blocos cerâmicos ou EPS (poliestireno expandido). 
Sobre o conjunto das vigotas treliçadas e elementos de enchimento é 
executada uma capa de concreto, com no mínimo 3cm de espessura, que é 
responsável pela resistência dos esforços de compressão da laje em serviço e pela 
distribuição das cargas nas nervuras. Juntamente com essa capa é posicionada uma 
armadura de distribuição nas duas direções que, segundo o Manual Técnico de 
Lajes Treliçadas (p.15), tem como função: 
a) Combater os efeitos da retração; 
b) Consolidar a estrutura da nervura com a capa; 
c) Efetuar um controle da abertura de fissuras; 
d) Efetivar a distribuição das cargas pontuais. 
Assim, a composição global da laje treliçada está representada na figura 4: 
 
 
Figura 4: Elementos Laje Treliçada (Manual Técnico Lajes Treliçadas Belgo) 
 
17 
 
Algumas vantagens que as lajes treliçadas apresentam sobre os demais tipos 
de lajes são citadas a seguir: 
a) Fácil transporte, manuseio e montagem; 
b) Capacidade de suportar grandes cargas com espessura de laje relativamente 
menor; 
c) Eliminação de fôrmas e redução do escoramento, reduzindo o custo e mão de 
obra; 
d) Baixo peso próprio; 
e) Redução do aparecimento de fissuras pela condição de aderência entre o 
concreto do capeamento e o concreto da vigota pré-fabricada; 
 
2.4 Método de cálculo pela Teoria de Flexão de Placas 
 
A análise e dimensionamento de lajes pelo método da flexão das placas é 
baseado na Teoria da Elasticidade cujas hipóteses variam de acordo com o tipo de 
placa considerada. 
Segundo Araújo (2014, p.36), a teoria de flexão das placas é a teoria “exata” 
dentro dos princípios da teoria da elasticidade. A solução do problema é obtida 
através de uma equação diferencial de quarta ordem, juntamente com as condiçõesde contorno. Admite-se que o material apresente um comportamento elástico linear. 
Conforme citam Souza e Cunha (1998, p.53) a desvantagem dessa teoria são 
as consideráveis dificuldades analíticas para a obtenção da solução e, por se aplicar 
dentro dos limites elásticos dos materiais não se obtém uma estimativa mais precisa 
do comportamento próximo à ruptura e o real coeficiente de segurança existente. 
Portanto, apenas serão comentados alguns detalhes consideráveis para 
entendimento da teoria. 
Araújo (2014, p.46) diz que “a equação diferencial da placa é obtida 
considerando-se o equilíbrio de um elemento infinitesimal (dxdy) tomado em uma 
posição genérica no plano da placa.” Como indicado na figura 5 os esforços 
solicitantes nas faces do elemento são os momentos fletores Mx e My, os momentos 
de torção Mxy=Myx e os esforços cortantes Vx e Vy. 
18 
 
 
Figura 5: Esforços solicitantes no elemento de placa (ARAÚJO, 2014, p.46) 
De acordo com Souza e Cunha (1998, p.56) e Araújo (2014, p.41), a teoria de 
Kirchhoff e Love baseia-se nas seguintes hipóteses simplificadoras: 
a) O material da placa é linearmente elástico, contínuo, homogêneo e isotrópico; 
b) A espessura da placa é pequena comparada às outras dimensões; 
c) As rotações da superfície média têm ângulos pequenos em comparação à 
unidade; 
d) As deflexões são pequenas comparadas com a espessura da placa; 
e) Linhas retas, inicialmente normais à superfície média, permanecem retas e 
normais à superfície média após as deformações; 
f) As deflexões da placa são normais ao plano indeformado inicial; 
g) As tensões normais à superfície média são desprezíveis. 
Após expor as condições de equilíbrio da placa, Araújo (2014, p.48) obtém a 
equação diferencial da placa, conhecida como equação de Lagrange. Trata-se de 
uma equação diferencial parcial de quarta ordem, não homogênea e com 
coeficientes constantes. Somente é válida para uma placa com rigidez à flexão 
constante. 
(2.4.1) 
 
Onde: 
19 
 
w(x,y) = equação da flecha em qualquer ponto (x,y); 
D = rigidez à flexão da placa; 
p(x,y) = carregamento uniformemente distribuído na laje. 
A solução exata da equação diferencial da placa somente pode ser obtida 
para uns poucos casos particulares. Nos casos mais gerais de carregamento e 
condições de contorno, as soluções são encontradas adotando-se expansões em 
séries de Fourier, como por exemplo, solução de Navier e a solução de Lévy. 
Assim, devido a complexidade para resolução da equação de Lagrange, 
algumas tabelas para o cálculo de esforços e reações de apoio em placas foram 
elaboradas. Usualmente, as tabelas apresentam algumas diferenças decorrentes do 
valor adotado para o coeficiente de Poisson, bem como de aproximações devidas ao 
truncamento das séries de Fourier. 
 
2.5 Teoria das Grelhas 
 
Grelhas são as estruturas planas formadas por barras coplanares rigidamente 
ligadas entre si, que são solicitadas por carregamento perpendicular ao plano da 
estrutura, define Paula (2007, p.42). 
A teoria das grelhas surgiu para calcular esforços e deslocamentos 
simplificadamente em lajes armadas em duas direções (em cruz) que não possuam 
rigidez à torção ou que não sejam suficientemente ancoradas nos cantos para evitar 
o seu levantamento, conforme Araújo (2014, p.81) sugere. Esse método também 
pode ser utilizado em casos no qual a laje é concretada monoliticamente com as 
vigas, conforma a figura 6: 
 
20 
 
 
Figura 6: Situações onde se aplica a teoria das grelhas (ARAÚJO, 2014, p.81) 
 
Conforme Carvalho e Pinheiro (2009, p.120), o método consiste em substituir 
a placa (laje) por uma malha equivalente de vigas onde cada uma representa uma 
determinada faixa de laje como mostrado na figura 7, conforme a dimensão 
escolhida para a abertura da malha. 
 
 
Figura 7: Placa e grelha equivalente (CARVALHO; PINHEIRO, 2009, p.120) 
 
Quanto aos carregamentos, considera-se que as cargas distribuídas atuantes 
no pavimento se dividem entre as barras de grelha equivalente de acordo com a 
área de influência de cada uma. As cargas podem ser consideradas uniformemente 
distribuídas ao longo das barras da grelha ou então concentradas diretamente nos 
seus nós. 
De acordo com Carvalho e Pinheiro (2009), algumas orientações auxiliam na 
definição da malha mais adequada visto que há uma variedade de formas, 
dimensões e condições de apoio da placa original, sendo elas: 
21 
 
a) Espaçamento entre os elementos da grelha equivalente não deve ser superior 
a ¼ do vão; 
b) Para analisar os efeitos localizados, o espaçamento pode ser menor; 
c) Em bordas livres os elementos devem ser considerados passando a 0,3 h 
dessas bordas, sendo h a espessura do elemento; 
d) Para placas pouco esconsas, os elementos da grelha podem ser admitidos 
ortogonais; 
e) Quanto menores forem a largura e o comprimento das barras, e, portanto 
mais densa a malha, melhores serão os resultados; 
f) Orifícios na laje cuja maior dimensão não exceda a 3h não precisam ser 
considerados, a não ser que estejam muito próximos dos pilares. 
O cálculo da inércia à flexão dos elementos de placa é realizado 
considerando-se uma faixa de largura b, igual à soma da metade dos espaços entre 
os elementos vizinhos e da espessura h da placa, sendo assim: 
 If= 
 
 
 (2.5.1) 
E o momento de inércia à torção por elemento de placa: 
 It= 
 
 
 (2.5.2) 
 
 O processo de analogia de grelhas está sendo muito utilizado atualmente em 
programas computacionais de análise de estruturas de concreto armado, pois 
permite a análise de uma mesma situação sob diferentes parâmetros permitindo ao 
projetista a escolha mais adequada. 
 
2.5.1 Método de Czerny 
 
Czerny desenvolveu um método simplificado para o cálculo de lajes maciças 
no qual consiste em tabelas semi-empíricas baseadas na Teoria da Elasticidade. 
22 
 
No cálculo dos momentos fletores e deslocamentos pelas Tabelas de Czerny, 
não são levadas em consideração a rigidez a torção, simplificando a análise da 
estrutura considerando as lajes como painéis isolados, apoiados em vigas 
indeformáveis. As tabelas são utilizadas de acordo com as condições de contorno e 
carga de cada estrutura. 
As condições de contorno (apoios) usualmente empregadas no cálculo são 
representadas na figura 8: 
 
Figura 8: Tipos de apoios utilizados no cálculo (Site Laboratório de Estruturas e Materiais Estruturais 
USP - http://www.lem.ep.usp.br/ - acesso em 10/2014) 
 
Os momentos fletores e o deslocamento imediato no meio do vão – flecha – 
são calculados através das expressões abaixo, sendo lx sempre o menor vão da laje 
conforme figura 9: 
 
Figura 9: Notação das Tabelas de Czerny (MARINO, 2006, p.8) 
 
http://www.lem.ep.usp.br/
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como as Tabelas de Czerny determinam momentos fletores isolados em 
bordas que são contínuas em um painel de lajes, torna-se necessário uniformizar 
estes momentos negativos atuantes nestas regiões de continuidade de lajes. O 
momento negativo adotado será o maior valor entre 80% do maior momento entre as 
lajes contíguas ou a média entre os dois momentos. 
E, por fim, a correção dos momentos positivos é realizada da seguinte 
maneira: soma-se o momento positivo da lajeem questão a metade da diferença 
entre o momento negativo e o momento negativo corrigido da laje na direção que 
está sendo calculado. Tal correção somente será realizada se o momento sofrer 
acréscimo, do contrário permanece o calculado inicialmente. 
Existem diversos métodos além dos apresentados para o cálculo de lajes 
armadas em duas direções, sendo eles: teoria das linhas de ruptura, método dos 
elementos finitos, método das diferenças finitas, tabelas de Marcus, entre outros. 
 
 
24 
 
3 METODOLOGIA 
 
Para realizar a comparação entre lajes maciças e treliçadas em relação aos 
deslocamentos imediatos e ao consumo de materiais foi elaborado um painel com 9 
lajes, chamado pavimento tipo, conforme plantas de formas das figuras 10 e 11 
apresentadas a seguir: 
 
 
Figura 10: Planta de Formas – Laje Maciça 
25 
 
 
Figura 11: Planta de Formas – Laje Treliçada 
 
O pavimento tipo possui pé direito de 3m e se repete quatro vezes conforme 
corte esquemático abaixo. O fck adotado para os elementos de concreto armado foi 
25MPa e com peso específico de 25kN/m³. O módulo de elasticidade utilizado para o 
concreto foi de 23800MPa. 
26 
 
 
Figura 12: Corte Esquemático 
 
Baseando-se nas Normas Brasileiras de Projeto de Estruturas de Concreto – 
Procedimento (NBR 6118/2014) e Cargas para o Cálculo de Estruturas de 
Edificações (NBR 6120/1980), adotaram-se alguns critérios para dimensionamento 
da estrutura, sendo eles: 
Classe de Agressividade Ambiental II, referente a uma zona urbana com risco 
pequeno de deterioração da estrutura, conforme item 6.4.2 da NBR 6118. O 
cobrimento nominal adotado foi 20mm, visto que a NBR 6118 permite, no item 
7.4.7.4, a redução em 5mm dos valores apresentados na tabela 7.2 da mesma se 
houver controle rigoroso de qualidade na execução. 
Adotou-se como Estado Limite Último (E.L.U), o item 10.3 letra c da NBR 
6118: “estado-limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, 
no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem.” Os vãos 
efetivos utilizados seguiram o procedimento de cálculo sugerido pela NBR 6118 no 
seu item 14.7.2.2. 
As cargas verticais adotadas são apresentadas a seguir, baseadas na NBR 
6120: 
Carga Permanente Adicional – 0,575kN/m² 
Carga Acidental – 1,5kN/m² 
No somatório da carga permanente adicional foi considerado 1cm de reboco 
com peso próprio da argamassa de cimento e areia de 21kN/m³, 1,5cm de reboco 
27 
 
com peso próprio da argamassa de cal, cimento e areia de 19kN/m³ e um 
revestimento de porcelanato com peso próprio de 8kN/m². 
 
As armaduras mínimas, apresentadas no item 19.3.3.2 da NBR 6118 e 
apresentadas na tabela abaixo, devem ser respeitadas para melhor o desempenho e 
à ductilidade à flexão das lajes, assim como controlar a fissuração, conforme tabela 
1. 
 
Tabela 1: Armaduras mínimas - NBR 6118 – 2014 – PG. 158 
 
 
A taxa mínima de armadura segundo o item 17.3.5.2.1 para o fck de 25Mpa, é 
de 0,15% da aéra do concreto. 
Os vãos efetivos das lajes foram calculados conforme sugere a NBR 6118, no 
item 14.7.2.2, os vãos efetivos ou teóricos (lef) podem ser calculados conforme a 
equação 3.1 quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos 
quanto à translação vertical. 
 
 lef = lo + a1 + a2 (3.1) 
28 
 
 
 
Figura 13: Vãos teóricos das lajes 
 
3.1 Cálculo Lajes Maciças 
 
Para o cálculo dos esforços e deslocamentos das lajes maciças, os mesmos 
critérios de dimensionamento, baseados na Norma Brasileira, foram adotados para 
os dois métodos apresentados a seguir. A espessura adotada, respeitando os limites 
mínimos da NBR 6118 no item 13.2.4.1, foi de 12cm e consequentemente o peso 
próprio de 3,0kN/m². 
3.1.1 Dimensionamento pelo Método de Czerny 
 
O cálculo através deste método é baseado nas Tabelas de Czerny, com 
coeficiente de Poisson ν = 0,2. Painéis isolados de lajes foram dimensionados e 
verificados, sendo lx sempre o menor vão teórico. 
Os vãos teóricos adotados estão relacionados no quadro abaixo: 
 
 
VÃOS TEÓRICOS (m) 
 
Lx Ly 
L1=L3=L7=L9 4,897 4,972 
L2=L8 4,972 6,872 
L4=L6 4,897 6,872 
L5 6,872 6,872 
 
Quadro 1: Vãos teóricos 
 
29 
 
A obtenção dos coeficientes para cálculo dos momentos fletores das lajes dá-
se por meio de tabelas, as quais variam de acordo com o tipo de apoio de cada laje, 
ilustrados na figura 8. 
Para as lajes L1, L3, L7 e L9 foi utilizada a tabela 2 do Anexo A que 
representa uma laje com duas bordas adjacentes engastadas e as outras duas 
livremente apoiadas. Já para as lajes L2, L4, L6 e L8 adotou-se a tabela 3 do Anexo 
A, a qual representa uma laje com duas bordas menores engastadas, uma borda 
maior engastada e outra livremente apoiada. E, por fim, o cálculo da L5 com quatro 
lados engastados foi baseado na tabela 4 do Anexo A. 
Após calculados os esforços em cada painel, realizou-se a correção dos 
momentos positivos e negativos. Por fim, foram calculadas as armaduras 
necessárias para resistir aos esforços obtidos, respeitando os critérios de armaduras 
mínimas apresentados no item 3 deste trabalho. As mesmas estão representadas 
em planta no Apêndice A. 
 
3.1.2 Dimensionamento pelo Software CAD/TQS 
 
O cálculo dos esforços nas lajes e a verificação dos deslocamentos imediatos 
no programa computacional CAD/TQS dão-se por meio do método das grelhas. 
Para análise dos esforços e deslocamentos das lajes do pavimento tipo em 
estudo, foi adotado o modelo estrutural com discretização em barras de grelha, 
refinadas com espaçamento de 0,5m nas duas direções. O software determina 
automaticamente para cada barra as suas rigidezes equivalentes correspondentes 
às suas seções reais informadas no modelador estrutural. 
O resultado dos esforços das lajes são obtidos graficamente após o 
processamento do modelo estrutural da estrutura. O módulo CAD/LAJES do 
programa informa os esforços por metro. Os deslocamentos imediatos – flechas – 
foram retiradas diretamente do CAD/GRELHAS. 
30 
 
Posteriormente a obtenção dos esforços, foram dimensionadas as armaduras 
necessárias para resistir aos esforços, as quais estão representadas em planta no 
Apêndice B. 
 
 
 
3.2 Cálculo Lajes Treliçadas 
 
O cálculo dos esforços e verificação dos deslocamentos nas lajes treliçadas 
no software CAD/TQS também é realizado através do método das grelhas. 
As barras da grelha foram discretizadas com espaçamento de 0,48m de forma 
unidirecional visto que as lajes treliçadas são biapoiadas na direção do menor vão. 
Em função do fabricante escolhido para basear este dimensionamento, 
adotou-se as treliças e os elementos de enchimento adequados para cada vão livre. 
Como elemento de enchimento utilizou-se o EPS unidirecional, com altura de 12cm, 
exceto para L5 a qual possui 16cm de altura de EPS. As treliças adotadas foram 
TR16745 para L5 e TR12645 para as demais lajes. A capa de concreto utilizada foi 
de 4cm para todas as lajes, totalizando lajes de 16 e 20cm. 
O peso próprio da estrutura, em função do elemento de enchimento e treliça 
adotada, é de 1,78kN/m² para L5 e para as demais lajes de 1,59kN/m². 
Os dados da vigota treliçada, como altura da base, largura da base, intereixo 
entre banzos superiores, são preenchidos conforme especificação do fabricante em 
função do vão livre (entre apoios) e elemento de enchimento. 
O software calcula automaticamente a armadura necessária complementar. 
Assim como no dimensionamento da laje maciça, os esforços são obtidos 
graficamente após o processamento do modelo estrutural da estrutura. O 
CAD/LAJES apresentou os momentos fletores por metro e o CAD/GRELHAS 
apresenta de forma direta os deslocamentos imediatos. 
31 
 
As tabelas nas quais foram baseadas este dimensionamento, estão no Anexo 
B. 
 
 
 
 
32 
 
4 RESULTADOS E ANÁLISES 
 
Os resultadosobtidos através dos métodos de cálculo apresentados nos itens 
3.1 e 3.2 estão apresentados abaixo: 
A) Cálculo de lajes maciças pelo Método de Czerny: 
L1, L3, L7 e L9 
 
αx 34,50 mx 3,53 
kNm/m 
 
αy 34,50 my 3,53 
 
βx 14,30 m'x 8,51 
 
βy 14,30 m'y 8,51 FLECHA 
α2 41,30 wmáx 0,0017 m 0,17 cm 
 
Quadro 2: Cálculo dos esforços e deslocamento das L1, L3, L7 e L9 
 
L2 e L8 
 αx 25,2 mx 4,98 
kNm/m 
 αy 37,0 my 3,39 
 βx 11,2 m'x 11,20 
 βy 13,0 m'y 9,65 FLECHA 
α2 28,1 wmáx 0,0027 m 0,27 cm 
 
Quadro 3: Cálculo dos esforços e deslocamento das L2 e L8 
 
L4 e L6 
 αx 25,2 mx 4,83 
kNm/m 
 αy 37,0 my 3,29 
 βx 11,2 m'x 10,87 
 βy 13,0 m'y 9,36 FLECHA 
α2 28,1 wmáx 0,0025 m 0,25 cm 
 
Quadro 4: Cálculo dos esforços e deslocamento das L4 e L6 
 
 
 
 
 
 
33 
 
L5 
 αx 47,3 mx 5,067 
kNm/m 
 αy 47,3 my 5,067 
 βx 19,4 m'x 12,354 
 βy 19,4 m'y 12,354 FLECHA 
α2 68,5 wmáx 0,0040 m 0,40 cm 
 
Quadro 5: Cálculo dos esforços e deslocamento da L5 
 
CORREÇÃO DOS MOM. NEGATIVOS (kNm/m) 
ENTRE Me- Md- Média 0,8xMaior M-final 
L1 e L2; L2 e L3; L7 e L8; L8 e 
L9 
8,51 9,65 9,08 7,72 9,08 
L1 e L4; L3 e L6; L4 e L7; L6 e 
L9 
8,51 9,36 8,94 7,49 8,94 
L2 e L5; L5 e L8 11,20 12,35 11,78 9,88 11,78 
L4 e L5; L5 e L6 10,87 12,35 11,61 9,88 11,61 
 
Quadro 6: Correção dos momentos negativos 
 
 
CORREÇÃO DOS MOM.POSITIVOS (kNm/m) 
 
M+ M- M-final M+corrigido M+final 
L1=L3=L7=L9 
Direção lx 3,53 8,51 9,08 3,24 3,53 
Direção ly 3,53 8,51 8,94 3,31 3,53 
L2=L8 
Direção lx 4,98 11,20 11,78 4,69 4,98 
Direção ly 3,39 9,65 9,08 3,68 3,68 
L4=L6 
Direção lx 4,83 10,87 11,61 4,46 4,83 
Direção ly 3,29 9,36 8,94 3,50 3,50 
L5 
Direção lx 5,07 12,35 11,61 5,44 5,44 
Direção ly 5,07 12,35 11,78 5,35 5,35 
 
Quadro 7: Correção dos momentos positivos 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
ARM.POS.HORIZ. 
 
 
L1=L3=L7=L9 L2=L8 L4=L6 L5 
 Mk 3,53 3,68 4,83 5,44 
kNm/m 
Md 4,94 5,15 6,76 7,61 
Asmín - 1,80 1,80 1,80 1,80 
cm² 
Asmín + 
(0,67xAsmín -) 
1,21 1,21 1,21 1,21 
As 1,22 1,27 1,68 1,90 
 
ɸ 6.3 c/ 25 ɸ 6.3 c/ 24 ɸ 6.3 c/ 18 ɸ 6.3 c/ 16 
 
 
Quadro 8: Armaduras Positivas Horizontais 
 
ARM.POS.VERT. 
 
 L1=L3=L7=L9 L2=L8 L4=L6 L5 
 
Mk 3,53 4,98 3,50 5,35 
kNm/m 
Md 4,94 6,97 4,90 7,50 
Asmín 1,80 1,80 1,80 1,80 
cm² Asmín + 
(0,67xAsmín -) 
1,21 1,21 1,21 1,21 
As 1,22 1,75 1,21 1,87 
 
ɸ 6.3 c/ 25 ɸ 6.3 c/ 17 ɸ 6.3 c/ 25 ɸ 6.3 c/ 16 
 
 
Quadro 9: Armaduras Positivas Verticais 
 
ARM.NEG.HORIZ. 
 
 
L1=L3=L7=L9 L2=L8 L4=L6 L5 
 
Mk 9,08 9,08 11,61 11,61 
kNm/m 
Md 12,71 12,71 16,25 16,25 
Asmín - 1,80 1,80 1,80 1,80 
cm² 
As 3,24 3,24 4,20 4,20 
 
ɸ 8 c/ 15 ɸ 8 c/ 15 ɸ 8 c/ 12 ɸ 8 c/ 12 
 
 
Quadro 10: Armaduras Negativas Horizontais 
 
ARM.NEG.VERT. 
 
 
L1=L3=L7=L9 L2=L8 L4=L6 L5 
 
Mk 8,94 11,78 8,94 11,78 
kNm/m 
Md 12,51 16,49 12,51 16,49 
Asmín - 1,80 1,80 1,80 1,80 
cm² 
As 3,18 4,27 3,18 4,27 
 
ɸ 8 c/ 15 ɸ 8 c/ 11 ɸ 8 c/ 15 ɸ 8 c/ 11 
 
Quadro 11: Armaduras Negativas Verticais 
 
35 
 
B) Dimensionamento de lajes maciças pelo Software CAD/TQS 
 
ARM.POS.HORIZ. 
 
 
L1=L3=L7=L9 L2=L8 L4=L6 L5 
 Mk 4,20 4,50 5,40 6,10 
kNm/m 
Md 5,88 6,30 7,56 8,54 
Asmín - 1,80 1,80 1,80 1,80 
cm² 
Asmín + 
(0,67xAsmín -) 
1,21 1,21 1,21 1,21 
As 1,46 1,56 1,88 2,14 
 
ɸ 6.3 c/ 21 ɸ 6.3 c/ 19 ɸ 6.3 c/ 16 ɸ 6.3 c/ 14 
 
 
Quadro 12: Armaduras Positivas Horizontais 
 
ARM.POS.VERT. 
 
 
L1=L3=L7=L9 L2=L8 L4=L6 L5 
 Mk 4,10 5,40 4,20 5,90 
kNm/m 
Md 5,74 7,56 5,88 8,26 
Asmín 1,80 1,80 1,80 1,80 
cm² 
Asmín + 
(0,67xAsmín -) 
1,21 1,21 1,21 1,21 
As 1,42 1,88 1,46 2,06 
 
ɸ 6.3 c/ 21 ɸ 6.3 c/ 16 ɸ 6.3 c/ 25 ɸ 6.3 c/ 15 
 
 
Quadro 13: Armaduras Positivas Verticais 
 
ARM.NEG.HORIZ. 
 
 
L1=L3=L7=L9 L2=L8 L4=L6 L5 
 
Mk 9,60 9,60 11,80 11,80 
kNm/m 
Md 13,44 13,44 16,52 16,52 
Asmín - 1,80 1,80 1,80 1,80 
cm² 
As 3,43 3,43 4,28 4,28 
 
ɸ 8 c/ 14 ɸ 8 c/ 14 ɸ 8 c/ 11 ɸ 8 c/ 11 
 
Quadro 14: Armaduras Negativas Horizontais 
 
 
 
 
 
36 
 
ARM.NEG.VERT. 
 
 L1=L3=L7=L9 L2=L8 L4=L6 L5 
 
Mk 9,30 11,80 9,30 11,80 
kNm/m 
Md 13,02 16,52 13,02 16,52 
Asmín - 1,80 1,80 1,80 1,80 
cm² 
As 3,32 4,28 3,32 4,28 
 ɸ 8 c/ 15 ɸ 8 c/ 11 ɸ 8 c/ 15 ɸ 8 c/ 11 
 
Quadro 15: Armaduras Negativas Verticais 
 
 
FLECHAS (cm) 
L1=L3=L7=L9 0,29 
L2=L8 0,52 
L4=L6 0,49 
L5 0,90 
 
Quadro 16: Flechas Lajes Maciças 
 
C) Dimensionamento de lajes treliçadas pelo Software CADTQS 
 
 
Quadro 17: Armaduras das treliças 
 
 
ARM 
VIGOTA 
ARM VIG 
POR 
METRO 
TELA 
SOLDADA 
TOTAL 
(cm²/m) 
L1=L3=L4=L6=L7=L9 1,599 3,198 0,61 3,808 
L2=L8 1,599 3,198 0,61 3,808 
L5 2,486 4,972 0,61 5,582 
 
Quadro 18: Armaduras das treliças por metro 
 
 
BANZO 
SUPERIOR
DIAGONAL
BANZO 
INFERIOR
ARM. 
(cm²)
TOTAL 
(cm²)
L1=L3=L4=
L6=L7=L9
TR12645 6 4,2 5 0,814 1 ɸ 10,0 0,785 1,599
L2=L8 TR12645 6 4,2 5 0,814 1 ɸ 10,0 0,785 1,599
L5 TR16745 7 4,2 5 0,916 2 ɸ 10,0 1,570 2,486
ARMAD. 
ADICIONAIS (cm²)
37 
 
 
COMP. 
TRELIÇA 
(m) 
UNIDADES 
CAPA 
(cm) 
BASE 
VIGOTA 
(m²) 
ÁREA 
VIGOTA 
(m²) 
ÁREA 
LAJE 
(m²) 
TOTAL 
(m³) 
L1=L3=L7=L9 4,83 9 4 0,0036 0,0081 23,64 1,454 
L2=L8 4,90 13 4 0,0036 0,0081 33,32 2,078 
L4=L6 4,83 13 4 0,0036 0,0081 32,81 2,047 
L5 7,80 13 4 0,0036 0,0117 46,24 3,401 
 
Quadro 19: Volume de concreto por laje 
 
 
DEF. IMEDIATAS (FLECHA) - (cm) 
 
 
PERM+ACID CONTRAFLECHA TOTAL 
L1=L3=L7=L9 1,21 1 0,21 
L2=L8 1,56 1 0,56 
L4=L6 1,59 1 0,59 
L5 2,92 2 0,92 
 
Quadro 20: Flechas das Lajes Treliçadas 
 
Nos quadros abaixo uma comparação entre os métodos apresentados os 
quais são cálculo de lajes maciças pelas tabelas de Czerny e cálculo pelo software 
CAD/TQS de lajes maciças e treliçadas: 
 
 
VOLUME CONCRETO (m³) 
 
MACIÇA - TAB MACIÇA -TQS TRELIÇADA -TQS 
L1=L3=L7=L9 2,837 2,837 1,454 
L2=L8 3,998 3,998 2,078 
L4=L6 3,937 3,937 2,047 
L5 5,549 5,549 3,401 
 
Quadro 21: Comparação de volume de concreto 
38 
 
 
Figura 14: Comparação do volume de concreto 
 
 
ARMADURAS (cm²/m²) 
 
MACIÇA - TAB MACIÇA -TQS TRELIÇADA -TQS 
L1=L3=L7=L9 9,496 10,620 4,418 
L2=L8 11,432 12,556 4,418 
L4=L6 11,120 11,432 4,418 
L5 13,368 13,680 6,192 
 
Quadro 22: Comparação de área de armadura por metro por laje 
 
 
Figura 15: Comparação de área de armadura por metro por laje 
 
 
 
 
 
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
L1=L3=L7=L9 L2=L8 L4=L6 L5
Volume de Concreto (m³) 
MACIÇA - TAB
MACIÇA -TQS
TRELIÇADA -TQS
0
5
10
15
L1=L3=L7=L9 L2=L8 L4=L6 L5
Armaduras (cm²/m²) 
MACIÇA - TAB
MACIÇA -TQS
TRELIÇADA -TQS
39 
 
 
DEF.IMEDIATAS (FLECHA) - (cm) 
 
MACIÇA - TAB MACIÇA -TQS TRELIÇADA -TQS 
L1=L3=L7=L9 0,17 0,29 0,21 
L2=L8 0,27 0,52 0,56 
L4=L6 0,25 0,49 0,59 
L5 0,40 0,90 0,92 
 
Quadro 23: Comparação de deslocamentos imediatos 
 
 
Figura 16: Comparação de deslocamentos imediatos 
 
 
ARMADURA (cm²/m) 
 
MACIÇA - TAB MACIÇA -TQS TRELIÇADA -TQS 
L1=L3=L7=L9 9,496 10,620 5,018 
L2=L8 11,432 12,556 5,018 
L4=L6 11,120 11,432 5,018 
L5 13,368 13,680 6,792 
 
Quadro 24: Comparação área de aço com adição de armaduras negativas na laje treliçada 
 
Baseando-se na análise do Quadro 21 e na Figura 13, a diferença no 
consumo de concreto apresentado entre as lajes maciças e treliçada, em torno de 
50% maior nas lajes maciças, era esperado, visto que a laje treliçada apresenta 
como vantagem a redução do volume de concreto com uso de material na zona de 
tração do concreto, abaixo da linha neutra. 
Analisando o Quadro 22 e Figura 14 percebe-se que quando comparados os 
resultados obtidos através dos dois métodos de cálculo das lajes maciças, tabelas 
de Czerny e TQS, observa-se que a área de aço necessária para o equilíbrio da 
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
L1=L3=L7=L9 L2=L8 L4=L6 L5
Flechas (cm) 
MACIÇA - TAB
MACIÇA -TQS
TRELIÇADA -TQS
40 
 
seção são semelhantes. Sendo o resultado do cálculo pelo TQS aproximadamente 
10% superior. 
Entretanto, a comparaçãode área de aço entre lajes maciças e lajes 
treliçadas ambas dimensionadas pelo software TQS apresenta uma diferença 
considerável, sendo necessária menos da metade de área de aço para laje treliçada 
em relação à maciça. Isso se deve ao fato que as lajes treliçadas são biapoiadas 
não necessitando de armaduras negativas, provavelmente também poderá estar 
relacionado à redução de peso próprio das lajes maciças para lajes treliçadas. 
Contudo, recomenda-se o uso de uma armadura negativa construtiva que tem 
a finalidade de combater a fissuração. O Quadro 24 apresenta um comparativo entre 
os métodos adicionando-se armadura negativa mínima correspondente a seção de 
concreto da capa (4cm) da laje treliçada. 
Em relação aos deslocamentos imediatos conforme Quadro 23 e Figura 15, o 
método pelas Tabelas de Czerny para lajes maciças resulta em flechas 
aproximadamente 50% menores em relação ao cálculo das lajes maciças pelo TQS. 
Explica-se tal diferença pelo fato que o software considera também a flexão das 
vigas para cálculo das flechas. 
Porém, quando comparados resultados entre lajes treliçadas e maciças pelo 
software, os deslocamentos são semelhantes. Para tal, deve-se respeitar as 
orientações do fabricante relacionadas à contraflecha necessária nas lajes 
treliçadas. 
Assim, embora haja uma diferença nas flechas nos métodos apresentados, 
especialmente entre as lajes maciças calculadas pelas tabelas e pelo software, 
todas as lajes estão de acordo com os limites sensoriais da Norma Brasileira. 
 
 
 
41 
 
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Com base nos quadros e gráficos comparativos apresentados, conclui-se que 
a laje treliçada é mais econômica em relação ao consumo de materiais – aço e 
concreto – afetando diretamente o orçamento da estrutura não só no quantitativo 
das lajes como nos demais elementos construtivos, visto que o peso próprio é 
bastante inferior às lajes maciças ocasionando um alívio na estrutura. 
A comparação entre as lajes maciças pelos dois métodos de análise, tabelas 
de Czerny e CAD/TQS, apresentou grande semelhança de área de aço necessária o 
que indica confiabilidade nos resultados através do método simplificado quando não 
há disponibilidade de softwares adequados para dimensionamento. 
Análises experimentais poderiam ser realizadas para obtenção de 
deslocamentos em laboratório, assim como um estudo mais abrangente inserindo os 
custos referentes às lajes maciças e treliçadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ALBUQUERQUE, A.T. Análise de alternativas estruturais para edifícios em 
concreto armado. 1999.100f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) 
– Universidade de São Paulo, São Carlos, 1999. 
 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 2. ed. Rio Grande, 2014.v.2. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: projeto de 
estruturas de concreto: procedimento. Rio de Janeiro, 2014. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120: cargas para o 
cálculo de projetos de edificações. Rio de Janeiro, 1980. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14859-1: laje pré-
fabricada – requisitos parte 1: lajes unidirecionais. Rio de Janeiro, 2002. 
 
BASTOS, P. S. S. Apostila de lajes de concreto. 2013. Universidade Estadual 
Paulista, Bauru, 2013. 
 
BELGO. Manual Técnico de Lajes Treliçadas. 40f. Grupo Arcelor. 
 
CARVALHO, R. S.; PINHEIRO, L, M. Cálculo e detalhamento de estruturas 
usuais de concreto armado. Pini, 2009. 
 
PAULA, W. C. Comportamento estrutural de lajes nervuradas de concreto 
armado com base no emprego do programa ANSYS. 2007.91f. Dissertação 
(Mestrado em Engenharia Civil) – Universidade de Estado do Rio de Janeiro, Rio de 
Janeiro, 2007. 
 
43 
 
SILVA, L. Estudo comparativo entre lajes nervuradas e maciças em função dos 
vãos entre apoios. 2010.99f. (Trabalho de conclusão de curso em Engenharia Civil) 
– Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2010. 
 
SOUZA, V. C. M; CUNHA, A, J, P. Lajes em Concreto Armado e Protendido. Rio 
de Janeiro. Ed. UERJ, 1998. 
 
TQS - Manuais de Utilização – Versão 18.9 - TQS Informática Ltda. – São 
Paulo – Setembro 2013. 
 
VASCONCELLOS, J. C. Concreto Armado, Arquitetura Moderna, Escola Carioca 
– Levantamento e Notas. 2004.313f. Dissertação (Mestrado em Arquitetura) – 
Universidade de Estado do Rio de Janeiro, Porto Alegre, 2004. 
 
VITALLI, L. Estudo Comparativo entre lajes nervuradas com diferentes materiais 
de enchimento. 2010. 56f. (Trabalho de conclusão de curso em Engenharia Civil) – 
Universidade do Extremo Sul Catarinense, Criciúma, 2010. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apêndice A – Planta de armaduras positivas e negativas pelo 
Método de Czerny 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
Figura 17: Armaduras Positivas - Lajes Maciças 
46 
 
 
Figura 18: Armaduras Negativas - Lajes Maciças 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apêndice B – Planta de armaduras positivas e negativas pelo 
Software CAD/TQS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
Figura 19: Armaduras Positivas - Lajes Maciças 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
Figura 20: Armaduras Negativas - Lajes Maciças 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo A – Tabelas para dimensionamento das lajes maciças pelo 
Método de Czerny 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
Tabela 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
Tabela 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
Tabela 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo B – Tabelas para dimensionamento das lajes treliçadas pelo 
software CAD/TQS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
Tabela 5