Negação de Proposições Lógicas

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Negação de Proposições Lógicas
Sendo p, q proposições, a negação de uma conjugação é a dada por:
~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q
 
Exemplos:
            p: 2 é um número par.
            q: 2 é um número primo.
  (p ∧ q): 2 é um número par e 2 é um número primo.
~(p ∧ q): 2 não é um número par ou 2 não é um número primo.
 
            p: Usar roupa preta.
            q: Ir ao cinema.
  (p ∧ q): Usar roupa preta e ir ao cinema.
~(p ∧ q): Não usar roupa preta ou não ir ao cinema.
 
Sendo p, q proposições, a negação de uma disjunção é dada por:
~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q
 
Exemplos:
            p: 2 é um número par.
            q: 2 é um número primo.
  (p ∧ q): 2 é um número par ou 2 é um número primo.
~(p ∧ q): 2 não é um número par e 2 não é um número primo.
 
            p: Usar roupa preta.
            q: Ir ao cinema.
  (p ∨ q): Usar roupa preta ou ir ao cinema.
~(p ∨ q): Não usar roupa preta e não ir ao cinema.
 
Sendo p, q proposições, a negação de uma condicional simples é dada por:
~(p  q) ⇔ p ∧ ~q
 
Exemplos:
            p: 7 é um número racional. (7∈ Q)
            q: 7 é um número real.  (7∈ R)
(p → q): Se 7 é um número racional então 7 é um número real. (7∈ Q →7∈ R)
~(p → q): 7 é um número racional e 7 não é um número real. (7∈ Q e 7∉ R)
p: Usar roupa preta.
            q: Ir ao cinema.
  (p → q): Se usar roupa preta então irá ao cinema.
~(p → q): Usar roupa preta e não ir ao cinema.
 
Sendo p uma proposição, a negação do quantificador universal é dada por:
~(∀x)(p(x)) ⇔ (∃x)(~p(x))
 
Exemplos:
p(x):  fala alemão.
(∀x)(p(x)): Toda pessoa fala alemão.
~(∀x)(p(x)): Existe pelo menos uma pessoa fala que alemão.
 
p(x): x+7=1. 
(∀x∈ R)(p(x)): Para todo x ∈ R, x+7=1
~(∀x)(p(x)): Existe pelo menos um x∈ R tal que x+7≠1.
 
Sendo p uma proposição, a negação do quantificador existencial é dada por:
~(∃x)(p(x)) ⇔ (∀x)(~p(x))
 
Exemplos:
p(x): x foi a Marte.
(∃x)(p(x)): Existe uma pessoa que foi a Marte.
~(∃x)(p(x)): Todas as pessoas não foram a Marte.
 
p(x): x+7=1.
(∃x∈ R)(p(x)): Existe um x ∈ R tal que x+7=1.
~(∃x)(p(x)): Para todo x ∈ R, x+7≠1.
 
Sendo p uma proposição, a negação do quantificador existencial com unicidade é dada por:
~(∃!L)(p(L)) ⇔ (∀L)(~p(L)) ∨ (∃L ₁,L₂)(p(L ₁) ∧ p(L₂))
 
Exemplos:
p(L): O losango L é um quadrado.
(∃!L∈ R)(p(L)): Existe um único losango L que é um quadrado.
~(∃!L)(p(L)): Para todo losango L temos que L não é um quadrado, ou existem pelo menos dois losangos  L ₁ e L₂ que não são quadrados.
 
 
 
 
Atividade extra
Ler o Capítulo 17 do livro Iniciação a Lógica Matemática, de Edgard de Alencar Filho, sobre o tópico de negação de quantificadores múltiplos.
 
Referência Bibliográfica
Iezzi, Gelson Carlos Murakami. Fundamentos de Matemática Elementar, 1: Conjuntos, Funções. 9ª edição. Editora Atual. São Paulo, 2013.
Alencar Filho, Edgard de. Iniciação a Lógica Matemática. Editora Nobel. São Paulo, 2002.
Morgado, Augusto C. Cesar, Benjamin. Raciocínio Lógico-Quantitativo. 4ª edição. Editora Campus Concursos.
QUESTAO 1
A negação de “Se m é ímpar e n é par, então m + n é par” é:
1. Se m é par e n é ímpar, então m + n é ímpar
2. Se m é ímpar e n é par, então m + n é ímpar
3. Se m + n é ímpar, então m é par ou n é par
4. m é ímpar, n é par e m + n é ímpar
5. m é par, n é ímpar e m + n é par
QUESTAO 2
A negação para a proposição “existe um losango que não é quadrado e todo número primo é ímpar” é dada por:
1. “Todo losango é um quadrado e todo número primo é par”
2. “Todo losango não é um quadrado ou todo número par é par”
3. “Existe um único losango que não é um quadrado e existe um número primo que é par”
4. “Todo losango é um quadrado ou existe um número primo que é par”
5. “Existe um losango que não é quadrado ou todo número primo é ímpar”
QUESTAO 3
Em uma vaga de emprego, as exigências mínimas eram que “o candidato tivesse fluência em inglês ou espanhol, e além disto, também tivesse pelo menos 5 anos de experiência na função”. Se um candidato foi descartado do processo seletivo por não cumprir as exigências mínimas então podemos afirmar com toda a certeza que:
1. O candidato tinha fluência em inglês e não tinha fluência em espanhol, ou não tinha pelo menos 5 anos de experiência na função
2. O candidato tinha fluência em inglês e espanhol, e não tinha pelo menos 5 anos de experiência no cargo
3. O candidato não tinha fluência em inglês ou em espanhol, mas tinha pelo menos 5 anos de experiência no cargo
4. O candidato tinha fluência em inglês e em espanhol, mas não tinha pelo menos 5 anos de experiência no cargo
5. O candidato não tinha fluência em inglês e não tinha fluência em espanhol, ou não tinha pelo menos 5 anos de experiência no cargo
QUESTAO 4
A negação correta da sentença “existe apenas um único número real x tal que x2-1=0”, assim como o valor-lógico desta negação, é:
1. Para todo número real x vale que x2-1≠0, com valor-lógico falso
2. Existem dois números reais x1 , x2 tais que x2-1=0, com valor-lógico verdadeiro
3. Para todo número real x vale que x2 - 1 ≠ 0 ou existem pelo menos dois números reais x1, x2 tais que x2 - 1 = 0, com valor-lógico verdadeiro.
4. Para todo número real x vale que x2 - 1 ≠ 0 ou existem pelo menos dois números reais x1, x2 tais que x2 - 1 = 0, com valor-falso.
5. Para todo número real x vale que x2 - 1 = 0 ou existem pelo menos dois números reais x1, x2 tais que x2 - 1 ≠ 0, com valor-falso.
QUESTAO 5
A negação da sentença “existe um único gerente responsável por este assunto, e nenhum outro funcionário pode resolver esta questão” é:
1. Existe pelo menos dois gerentes responsáveis por este assunto ou existe um outro funcionário que pode resolver esta questão
2. Nenhum gerente é responsável por este assunto, mas outro funcionário pode resolver esta questão
3. Nenhum gerente é responsável por este assunto, ou pelo menos existem dois gerentes responsáveis por este assunto, ou existe um outro funcionário que pode resolver esta questão
4. Nenhum gerente é responsável por este assunto, ou pelo menos existem dois gerentes responsáveis por este assunto, e existe um outro funcionário que pode resolver esta questão
5. Nenhum gerente é responsável por este assunto, ou pelo menos existem dois gerentes responsáveis por este assunto, ou qualquer outro funcionário que pode resolver esta questão
QUESTAO 6
A negação da sentença lógica (p ∧ q) → (∀ x)(r(x)) é dada por:
1. (p ∨ q) → (∃ x)(~r(x))
2. (p ∨ q) → (∀ x)(~r(x))
3. (p ∧ q) ∧ (∃ x)(~r(x))
4. (p ∨ q) ∧ (∃ x)(~r(x))
5. (p ∨ q) ∨ (∀ x)(~r(x))