Física - Teórico_VOLUME1

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Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em pe-
ríodo integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos 
de aula e 107 livros, totalizando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto 
contém uma rica teoria que contempla, de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de 
material alternativo complementar. Para melhorar a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A 
seguir, apresentamos cada seção:
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cuidadosa 
seleção de conteúdos multimídia para complementar o repertório 
do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreensão, com 
indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. Tudo isso é en-
contrado em subcategorias que facilitam o aprofundamento nos 
temas estudados – há obras de arte, poemas, imagens, artigos e até 
sugestões de aplicativos que facilitam os estudos, com conteúdos 
essenciais para ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, 
em uma seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais 
o conhecimento do nosso aluno.
multimídia
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu 
distanciamento da realidade cotidiana, o que dificulta a compreensão 
de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos temas 
para além da superficial memorização de fórmulas ou regras. Para 
evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida 
a seção “Vivenciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma 
preocupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações entre 
aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato em 
seu dia a dia.
vivenciando
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desempenho ao 
fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o 
aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas 
na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, 
a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de 
Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são 
apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva 
e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. 
Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a 
apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resolvê-
-las com tranquilidade.
áreas de conhecimento do Enem
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, cria-
mos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los 
em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aque-
les que aprendem visualmente os conteúdos e processos por meio 
de esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo 
da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos 
principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organiza-
ção dos estudos e até a resolução dos exercícios.
diagrama de ideias
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é ela-
borada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata 
de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não 
exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos 
conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abrangem 
conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, como Bio-
logia e Química, História e Geografia, Biologia e Matemática, entre 
outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com essa realidade 
por meio de explicações que relacionam a aula do dia com aulas 
de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, sempre utilizan-
do temas da atualidade. Assim, o aluno consegue entender que 
cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz parte de uma 
grande engrenagem no mundo em que ele vive.
conexão entre disciplinas
Herlan Fellini
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desenvol-
vida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos 
principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo 
o território nacional.
incidência do tema nas principais provas
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada coleção 
tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolução das ques-
tões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, com-
pletos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas 
que complementam as explicações dadas em sala de aula. Qua-
dros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados 
e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno 
que vai se dedicar à rotina intensa de estudos.
teoria
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fazem 
parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compilados, 
deparamos-nos com modelos de exercícios resolvidos e comenta-
dos, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difícil com-
preensão torne-se mais acessível e de bom entendimento aos olhos 
do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, a qualquer 
momento, as explicações dadas em sala de aula.
aplicação do conteúdo
2
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Herlan Fellini
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3
SUMÁRIO
FÍSICA
CINEMÁTICA
CALORIMETRIA
ELETROSTÁTICA
Aulas 1 e 2: Vetores 6
Aulas 3 e 4: Introdução ao estudo dos movimentos 18
Aulas 5 e 6: Movimento retilíneo uniforme 28
Aulas 7 e 8: Gráficos do MRU 38
Aulas 1 e 2: Calor sensível 50
Aulas 3 e 4: Mudanças de estado 61
Aulas 5 e 6: Transmissão de calor 72
Aulas 7 e 8: Expansão térmica de sólidos e líquidos 82
Aulas 1 e 2: Princípios da eletrostática 94
Aulas 3 e 4: Lei de Coulomb 104
Aulas 5 e 6: Campo elétrico 110
Aulas 7 e 8: Força elétrica e campo elétrico 119
4
Competência 1 – Compreender as ciências naturais e as tecnologias a elas associadas como construções humanas, percebendo seus papéis nos 
processos de produção e no desenvolvimento econômico e social da humanidade.
H1 Reconhecer características ou propriedades de fenômenos ondulatórios ou oscilatórios, relacionando-os a seus usos em diferentes contextos.
H2 Associar a solução de problemas de comunicação, transporte, saúde ou outro, com o correspondente desenvolvimento científico e tecnológico. 
H3 Confrontar interpretações científicascom interpretações baseadas no senso comum, ao longo do tempo ou em diferentes culturas.
H4
Avaliar propostas de intervenção no ambiente, considerando a qualidade da vida humana ou medidas de conservação, recuperação ou utilização sustentável 
da biodiversidade.
Competência 2 – Identificar a presença e aplicar as tecnologias associadas às ciências naturais em diferentes contextos.
H5 Dimensionar circuitos ou dispositivos elétricos de uso cotidiano.
H6 Relacionar informações para compreender manuais de instalação ou utilização de aparelhos, ou sistemas tecnológicos de uso comum.
H7
Selecionar testes de controle, parâmetros ou critérios para a comparação de materiais e produtos, tendo em vista a defesa do consumidor, a saúde do 
trabalhador ou a qualidade de vida.
Competência 3 – Associar intervenções que resultam em degradação ou conservação ambiental a processos produtivos e sociais e a instrumen-
tos ou ações científico-tecnológicos.
H8
Identificar etapas em processos de obtenção, transformação, utilização ou reciclagem de recursos naturais, energéticos ou matérias-primas, considerando 
processos biológicos, químicos ou físicos neles envolvidos.
H9
Compreender a importância dos ciclos biogeoquímicos ou do fluxo energia para a vida, ou da ação de agentes ou fenômenos que podem causar alterações 
nesses processos.
H10 Analisar perturbações ambientais, identificando fontes, transporte e(ou) destino dos poluentes ou prevendo efeitos em sistemas naturais, produtivos ou sociais.
H11
Reconhecer benefícios, limitações e aspectos éticos da biotecnologia, considerando estruturas e processos biológicos envolvidos em produtos biotecnológi-
cos.
H12 Avaliar impactos em ambientes naturais decorrentes de atividades sociais ou econômicas, considerando interesses contraditórios.
Competência 4 – Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando 
conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais.
H13 Reconhecer mecanismos de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de características dos seres vivos.
H14
Identificar padrões em fenômenos e processos vitais dos organismos, como manutenção do equilíbrio interno, defesa, relações com o ambiente, sexualidade, 
entre outros.
H15 Interpretar modelos e experimentos para explicar fenômenos ou processos biológicos em qualquer nível de organização dos sistemas biológicos.
H16 Compreender o papel da evolução na produção de padrões, processos biológicos ou na organização taxonômica dos seres vivos.
Competência 5 – Entender métodos e procedimentos próprios das ciências naturais e aplicá-los em diferentes contextos.
H17
Relacionar informações apresentadas em diferentes formas de linguagem e representação usadas nas ciências físicas, químicas ou biológicas, como texto 
discursivo, gráficos, tabelas, relações matemáticas ou linguagem simbólica.
H18 Relacionar propriedades físicas, químicas ou biológicas de produtos, sistemas ou procedimentos tecnológicos às finalidades a que se destinam.
H19
Avaliar métodos, processos ou procedimentos das ciências naturais que contribuam para diagnosticar ou solucionar problemas de ordem social, econômica 
ou ambiental.
Competência 6 – Apropriar-se de conhecimentos da física para, em situações problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científi-
co-tecnológicas.
H20 Caracterizar causas ou efeitos dos movimentos de partículas, substâncias, objetos ou corpos celestes.
H21 Utilizar leis físicas e (ou) químicas para interpretar processos naturais ou tecnológicos inseridos no contexto da termodinâmica e(ou) do eletromagnetismo.
H22
Compreender fenômenos decorrentes da interação entre a radiação e a matéria em suas manifestações em processos naturais ou tecnológicos, ou em suas 
implicações biológicas, sociais, econômicas ou ambientais.
H23
Avaliar possibilidades de geração, uso ou transformação de energia em ambientes específicos, considerando implicações éticas, ambientais, sociais e/ou 
econômicas.
Competência 7 – Apropriar-se de conhecimentos da química para, em situações problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científi-
co-tecnológicas.
H24 Utilizar códigos e nomenclatura da química para caracterizar materiais, substâncias ou transformações químicas
H25
Caracterizar materiais ou substâncias, identificando etapas, rendimentos ou implicações biológicas, sociais, econômicas ou ambientais de sua obtenção ou 
produção.
H26
Avaliar implicações sociais, ambientais e/ou econômicas na produção ou no consumo de recursos energéticos ou minerais, identificando transformações 
químicas ou de energia envolvidas nesses processos.
H27 Avaliar propostas de intervenção no meio ambiente aplicando conhecimentos químicos, observando riscos ou benefícios.
Competência 8 – Apropriar-se de conhecimentos da biologia para, em situações problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científico 
tecnológicas.
H28
Associar características adaptativas dos organismos com seu modo de vida ou com seus limites de distribuição em diferentes ambientes, em especial em 
ambientes brasileiros.
H29
Interpretar experimentos ou técnicas que utilizam seres vivos, analisando implicações para o ambiente, a saúde, a produção de alimentos, matérias primas 
ou produtos industriais.
H30
Avaliar propostas de alcance individual ou coletivo, identificando aquelas que visam à preservação e a implementação da saúde individual, coletiva ou do 
ambiente.
5
CINEMÁTICA: Incidência do tema 
nas principais provas
UFMG
 
O tema cinemática sempre está presente na 
prova da Unesp, com questões que exigem 
interpretrações gráficas e manipulações em 
equações horárias de movimento.
 
O tema cinemática sempre está presente 
na prova da Unifesp, com questões que 
exigem interpretrações gráficas (MRU e 
MRUV) e manipulações em equações 
horárias de movimento.
 
O tema cinemática sempre está presente na 
prova da Unicamp, com questões que exigem 
interpretrações gráficas e manipulações em 
equações horárias de movimento relacionan-
do com dinâmica.
 
O tema cinemática está presente com ques-
tões que exigem manipulações em equações 
horárias de movimento.
 
O tema cinemática está presente com ques-
tões que exigem manipulações em equações 
horárias de movimento.
 
O tema cinemática é cobrado com questões 
de manipulações de equações horárias de 
movimento.
 
O tema cinemática é abordado com questões 
que exigem interpretrações gráficas e manipu-
lações em equações matemáticas.
 
A cinemática possui grande incidência nas 
provas do ENEM, sempre relacionando 
com o cotidiano e em praticamente em to-
das as questões, e quase sempre possuem 
análise gráfica.
 
O tema cinemática sempre está presente 
na prova da Fuvest, com questões que 
exigem interpretrações gráficas (MRU e 
MRUV) e manipulações em equações 
horárias de movimento.
 
O tema cinemática sempre está presente 
na prova da Uerj, com questões que exigem 
interpretrações gráficas e manipulações em 
equações horárias de movimento.
 
O tema cinemática sempre está presente 
na prova da Unigranrio, com questões que 
exigem análise de figuras e manipulações em 
equações horárias de movimento.
 
O tema cinemática sempre está presente 
nessa prova, com questões que exigem 
interpretrações de gráficos e análise de 
figuras com manipulações em equações 
horárias de movimento.
 
O tema cinemática sempre está presente com 
questões que exigem interpretrações, análise 
de figuras e manipulações em equações 
horárias de movimento.
 
O tema cinemática sempre está presente 
na prova da UFPR. As questões abordadas 
não apenas exigem interpretrações gráficas 
e manipulações em equações horárias 
de movimento, mas também 
conceitos.
 
O tema cinemática sempre está presente 
na prova da UEL, com questões que exigem 
interpretrações gráficas e manipulações em 
equações horárias de movimento.
6
 VETORES
COMPETÊNCIA: 5 HABILIDADE: 17
AULAS 
1 E 2
1.GRANDEZAS VETORIAIS
As escalares e as vetoriais, são os dois tipos de grande-
zas físicas. Uma grandeza escalar é caracterizada apenas 
pela sua intensidade, ou seja, o valor numérico, acompa-
nhado de sua unidade de medida. O tempo, a massa e 
a temperatura de um corpo são exemplos de grandezas 
escalares. Já as grandezas vetoriais necessitam, além da 
intensidade, da informação quanto à sua direção e seu 
sentido. Ao dizer, por exemplo, que um carro se move a 
40 km/h, a informação sobre sua velocidade está incom-
pleta. A velocidade é uma grandeza vetorial e, portanto, é 
necessário informar a direção e o sentido de deslocamen-
to do carro. Neste caso, poderia ser dito que o carro trafe-
ga na Rua da Consolação (direção) em sentido à Avenida 
Paulista (sentido).
Exemplos de grandezas escalares:
Grandezas escalares Grandezas vetoriais
tempo velocidade
massa aceleração
temperatura deslocamento
trabalho posição
energia força elétrica
pressão campo elétrico
potência força magnética
potencial campo magnético
diferença de potencial força gravitacional
quantidade de mol campo gravitacional
carga elétrica força peso
intensidade da
corrente elétrica
força de reação normal
resistência elétrica força elástica
capacidade térmica força tensora
calor específico sensível força centrípeta
calor latente empuxo
fluxo magnético quantidade de movimento
vazão momento 
capacitância impulso
2. VETOR
Representam-se algumas grandezas físicas (grandezas 
vetoriais) por meio de vetores. A notação de um vetor é 
dada por uma letra (maiúscula ou minúscula) com uma 
pequena flecha para a direita acima da mesma. Vetor é 
um ente matemático representado por um segmento de 
reta orientado (flecha).
v
→
ou v
v (vetor v)
A
θ
(origem)
linha
horizontal
(direção)
(final ou extremidade: sentido)
r (reta suporte)
“para onde”
B
→
N
O L
S
SESO
NO NE
Resumo:
 sentido: é dado pela orientação do segmento. 
 direção: é dada pelo ângulo formado entre o vetor e 
o eixo horizontal.
 módulo ou intensidade: é dado pelo comprimento 
do segmento orientado (nº + unidade).
N
S
O L
NeNo
So Se
Livro que aborda de maneira simples, diver-
tida e curiosa a evolução de conceitos-chave 
de geometria e o modo que o Homem com-
preende o espaço.
Leonard Mlodonow - A janela de Euclides
multimídia: livros
7
2.1. Vetor e suas características
O vetor pode ser representado por uma letra e um segmen-
to orientado (flecha) sobre a letra:
 
 ___
 
›
 a 
 
 ___
 
›
 b 
Lembrando que as três características de um vetor são: mó-
dulo (ou intensidade), direção e sentido.
Caso eles estejam sobre retas paralelas ou sobre a mesma 
reta (denominada reta suporte), a direção de dois vetores 
são iguais. Como exemplo, suponha que as retas r e s, na 
figura a seguir, sejam paralelas. Desse modo, os os vetores 
 
 
 
__
 
›
 c e 
 
 
 ___
 
›
 d têm direções diferentes, mas os vetores 
 _
 
 ___
 
›
 a , 
 ___
 
›
 b e 
 __
 
›
 c 
possuem a mesma direção.
Os vetores 
 ___
 
›
 a e 
 ___
 
›
 b , na figura a seguir, estão orientados em 
sentidos opostos, assim como os vetores 
 ___
 
›
 b e 
 __
 
›
 c . Entre-
tanto, os vetores 
 
 
 ___
 
›
 a e 
 __
 
›
 c têm sentidos iguais. Os sentidos de 
dois vetores são iguais quando possuem a mesma direção e 
estiverem orientados para o mesmo lado. 
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
Para a aplicação da noção de vetores, algumas ideias matemáticas são necessárias, utilizamos praticamente concei-
tos de geometria espacial e geometria analítica. Noções de ponto, reta, espaço, segmento orientado e as operações 
entre os vetores são conceitos puramente matemáticos. É sempre importante lembrar que existe diferença nas 
operações entre grandezas escalares e operações entre grandezas vetoriais.
Da matemática de Euclides ficaram definidos os conceitos de ponto, reta, plano e segmento de reta. O ponto, “o 
que não tem partes”, sendo um elemento desprovido de tamanho, sem dimensões, sem forma. A reta é definida 
como um ente geométrico de apenas uma dimensão, de maneira simplista podemos dizer que uma reta é formada 
por infinitos pontos “alinhados”; duas retas podem ser classificadas como paralelas, concorrentes, perpendiculares, 
coincidentes ou ainda como reta tangente ou reta secante.
Física - Introdução a vetores e escalares - parte 1 
(Khan Academy)
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
Física I - Aula 5 - Grandezas escalares e vetoriais
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
8
Observações
 Vetores paralelos: diz-se que dois ou mais vetores 
são paralelos entre si, quando suas direções (inclina-
ções) forem idênticas, não importando os sentidos 
dos mesmos. 
 Vetor nulo: denomina-se vetor nulo a todo vetor cujo 
representante é um segmento de reta orientado, nulo, 
isto é, o início e o fim deste segmento de reta coinci-
dem. A representação do vetor nulo é um ponto ( . ). 
Também pode ser representado pelo número zero com 
uma flecha acima do mesmo (
 ___
 
›
 0 ).
 Vetores simétricos ou opostos: quando dois ve-
tores possuem o mesmo módulo, a mesma direção, 
porém sentidos opostos, diz-se que os mesmos são 
simétricos ou opostos entre si. 
 Vetores iguais: dois vetores são iguais se, e somen-
te se, tiverem o mesmo módulo, a mesma direção e o 
mesmo sentido.
 Aplicação do conteúdo
1. Ao olhar a figura, você consegue definir os vetores que: 
(UFB adaptado)
a) têm a mesma direção.
b) têm o mesmo sentido.
c) são iguais.
Resolução:
a)Os vetores 
 ___
 
›
 C e 
 ___
 
›
 D estão em uma direção oblíqua (in-
clinada), os vetores 
 ___
 
›
 E , 
 ___
 
›
 A e 
 __
 
›
 F estão na direção vertical, 
e os vetores 
 ___
 
›
 B e 
 ___
 
›
 G estão na horizontal.
b) Os vetores 
 ___
 
›
 C e 
 ___
 
›
 D estão no sentido nordeste 
e os vetores 
 ___
 
›
 A e 
 __
 
›
 F estão no sentido norte.
c) Para que um vetor seja igual ao outro, as três carac-
terísticas (módulo, direção e sentido) devem ser iguais. 
Observando om desenho, concluímos que os vetores 
 ___
 
›
 A e 
 
__
 
›
 F são iguais, pois compartilham de um módulo 2u, dire-
ção vertical e sentido norte. Os vetores 
 ___
 
›
 C e 
 ___
 
›
 D também são 
iguais por terem módulo 2 √
__
 2 u, uma direção oblíqua e 
sentido nordeste.
O módulo de um vetor, graficamente, é proporcional ao seu 
comprimento. Suponha, por exemplo, que um automóvel 
esteja se deslocando com velocidade escalar de 80 km/h 
em sentido norte. Na figura, a flecha (apontando para o 
norte) representa o vetor velocidade 
 __
 
›
 v do automóvel; o 
módulo desse vetor será u 
 __
 
›
 v u = 80 km/h. É importante des-
tacar que todo vetor que possuir mesma direção, mesmo 
sentido e mesma intensidade, representando, portanto, a 
mesma grandeza, representa uma classe de equipotência. 
A intensidade, módulo ou norma de uma grandeza veto-
rial, é o módulo do valor numérico do vetor.
 
 __
 
›
 v 
O L 
N 
S 
| 
 __
 
›
 v | = 80 km/h 
Se um objeto estiver em repouso, por exemplo, sua veloci-
dade será nula. Desse modo, o vetor nulo, denotado por 
 ___
 
›
 0 , 
pode ser utilizado para representar essa grandeza. A dire-
ção e o sentido não são definidos para o vetor nulo. Uma 
grandeza pode ter valor numérico igual a zero. 
O exemplo mais elementar de grandeza vetorial, é o des-
locamento vetorial.
Suponha que uma partícula desloca-se do ponto P até o 
ponto Q, seguindo a trajetória descrita pela figura.
Q
P 
Q
P 
 
 ___
 
›
 d 
O deslocamento vetorial realizado pela partícula é repre-
sentado pelo vetor 
 ___
 
›
 d .
Que une o ponto inicial P (chamado origem do vetor) ao 
ponto final Q (chamado extremidade do vetor).
9
 Aplicação do conteúdo
1. (UEM) Na ilustração abaixo, um trabalhador puxa por 
uma corda um carrinho que se desloca em linha reta. 
O puxão da corda efetuado pelo trabalhador pode ser des-
crito como uma força que:
a) possui somente magnitude.
b) possui somente direção.c) possui direção e magnitude.
d) não possui nem direção nem magnitude.
e) realiza um torque.
 
Resolução:
Alternativa C
Um vetor força com um módulo (magnitude), uma direção 
e um sentido, caracteriza o puxão da corda. Nesse caso, a 
direção é oblíqua (inclinada) e o sentido é nordeste, porém 
o sentido não é citado.
Como surgiu o vetor 
O conceito formal de vetores, é trabalho de alguns ma-
temáticos e físicos que estudavam os números comple-
xos, entre eles podemos destacar Willian Rowan Ha-
milton (1805-1865), Josian Willard Gibbs (1839-1903) 
e Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Porém, conceitos 
mais intuitivos remontam a a Herão de Alexandria (sé-
culo I). e Aristóteles (385-322 a.C.) 
2.3. Somando vetores
Diferente da soma de grandezas escalares, ainda assim 
as grandezas vetoriais podem ser somadas (ou adiciona-
das).Por exemplo, ao efetuar a soma de 1 kg de tomates 
com mais 2 kg de tomates, o resultado sempre será 3 kg 
de tomates.
Para somarmos vetores, no entanto, outra abordagem é 
necessária. Acompanhe abaixo, uma partícula efetua um 
deslocamento 
 ___
 
›
 a do ponto M ao ponto N e, em seguida, um 
deslocamento 
 ___
 
›
 b do ponto N ao ponto P.
VIVENCIANDO
Apesar de algumas pessoas pensarem que a utilização de conceitos vetoriais está restrita aos campos da Física e da 
Matemática, elas o fazem sem perceber. Atualmente, muitas pessoas utilizam GPS para se localizar ou localizar um 
destino. Só no fato de localizar um ponto em relação a um referencial já temos um vetor, mas quando localizamos um 
destino e seguimos os passos designados pelo GPS, cada passo trata-se de um vetor, e, a cada instrução realizada, 
estamos compondo uma soma vetorial pela regra do polígono.
Se nos dias atuais pequenos deslocamentos nas cidades se dão através da utilização de aplicativos de localização 
como o WAZE, é possível imaginar a necessidade e a importância da localização em mapas cartográficos, cartas de 
navegação e a revolução que foi a organização utilizando latitude e longitude. 
10
P
M
N
 
 ___
 
›
 a 
 
 ___
 
›
 b 
P
M
N
 
 ___
 
›
 s 
 
 ___
 
›
 a 
 
 ___
 
›
 b 
O deslocamento final da partícula, que se moveu do ponto 
M ao ponto P, é indicada na figura pelo vetor 
 __
 
›
 s . Desse modo, 
os dois deslocamentos anteriores podem ser substituídos por 
um deslocamento único, o vetor 
 __
 
›
 s . Esse vetor é a soma (ou 
resultante) de 
 ___
 
›
 a e 
 ___
 
›
 b , e indicamos:
 
 __
 
›
 s = 
 ___
 
›
 a + 
 ___
 
›
 b 
2.3.1. Polígono e sua regra
Para somar dois vetores quaisquer (não nulos), 
 ___
 
›
 a e 
 ___
 
›
 b :
Desenhamos um vetor igual a 
 ___
 
›
 b (mesmo módulo, mesma 
direção e mesmo sentido) a partir da extremidade do 
vetor 
 ___
 
›
 a .
A soma de 
 ___
 
›
 a e 
 ___
 
›
 b , o vetor 
 __
 
›
 s , é obtida ligando a origem de 
 ___
 
›
 a 
à extremidade de 
 ___
 
›
 b .
 
 ___
 
›
 a 
 
 ___
 
›
 b 
 
 ___
 
›
 a 
 ___
 
›
 b 
 
 ___
 
›
 a 
 
 __
 
›
 s 
 
 ___
 
›
 b 
 
 __
 
›
 s = 
 ___
 
›
 a + 
 ___
 
›
 b 
Ou: pode-se desenhar um vetor igual a 
 ___
 
›
 a , a partir da ex-
tremidade de 
 ___
 
›
 b .
O vetor 
 __
 
›
 s é a soma dos vetores, ligamos a origem de 
 ___
 
›
 b à 
extremidade de 
 ___
 
›
 a .
 
 ___
 
›
 a 
 
 ___
 
›
 b 
 
 ___
 
›
 a 
 
 ___
 
›
 b 
Módulo do vetor soma
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
11
 
 ___
 
›
 a 
 ___
 
›
 b 
 
 __
 
›
 s 
A propriedade comutativa na adição de vetores apresenta:
 
 ___
 
›
 a + 
 ___
 
›
 b = 
 ___
 
›
 b + 
 ___
 
›
 a 
Em caso de um dos vetores ser nulo:
 
 ___
 
›
 a + 
 ___
 
›
 0 = 
 ___
 
›
 0 + 
 ___
 
›
 a = 
 ___
 
›
 a 
Preste atenção:
 u 
 __
 
›
 s u < u 
 ___
 
›
 a u + u 
 ___
 
›
 b u 
O módulo de 
 __
 
›
 s é menor que a soma dos módulos de 
 ___
 
›
 a e 
 ___
 
›
 b .
Portanto, o módulo de 
 __
 
›
 s será obrigatoriamente igual à 
soma dos módulos de 
 ___
 
›
 a e 
 ___
 
›
 b , somente no caso em que os 
vetores 
 ___
 
›
 a e 
 ___
 
›
 b tenham direção e sentido iguais.
 Aplicação do conteúdo
1. Determinar o módulo da resultante dos vetores 
 __
 
›
 x e 
 __
 
›
 y 
. Cada quadradinho mede uma unidade.
 
 __
 
›
 x 
 
 __
 
›
 y 
Resolução:
O módulo de 
 __
 
›
 s é obtido aplicando o teorema de Pitágoras 
ao triângulo retângulo sombreado na figura:
 
 __
 
›
 x 
4 
 
 __
 
›
 s 
 
 __
 
›
 y 
3 
 u 
 __
 
›
 s u 2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
 u 
 __
 
›
 s u 2 = 25 ä u 
 __
 
›
 s u = √
___
 25 ä u 
 __
 
›
 s u = 5 unidades
Para fazer a soma de três ou mais vetores, basta aplicar 
este mesmo processo.
A seguir, estão representados os vetores 
 ___
 
›
 a , 
 ___
 
›
 b e 
 __
 
›
 c . Para ob-
ter a soma dos três vetores, isto é, o vetor 
 __
 
›
 s , tal que:
 
 __
 
›
 s = 
 ___
 
›
 a + 
 ___
 
›
 b + 
 __
 
›
 c 
Desenhamos um vetor igual ao vetor 
 ___
 
›
 b a partir da extre-
midade de 
 ___
 
›
 a , e a partir da extremidade de 
 ___
 
›
 b desenhamos 
um vetor igual a 
 __
 
›
 c , como na figura. Unindo a origem de 
 ___
 
›
 a 
à extremidade de 
 __
 
›
 c , obtemos o vetor 
 __
 
›
 s .
A regra do polígono pode ser aplicada para qualquer quanti-
dade de vetores, basta adicionar a origem de um vetor à extre-
midade do vetor anterior e, por fim, traçar o vetor resultante.
2.3.2. Paralelogramo e sua regra
Considere os vetores 
 __
 
›
 x e 
 __
 
›
 y representados na figura.
 
 __
 
›
 x 
 __
 
›
 y 
Desenhe vetores iguais a 
 __
 
›
 x e 
 __
 
›
 y a partir de uma mesma 
origem P.
12
A seguir, o segmento XXX MQ paralelo a XXX PN a partir da extremi-
dade de 
 __
 
›
 x (ponto M), e o segmento XXX NQ paralelo a XXX PM , de 
modo a obter o paralelogramo PMQN.
Assim temos o vetor 
 __
 
›
 s , que é a soma de 
 __
 
›
 x e 
 __
 
›
 y , unindo P a Q:
P 
 
 __
 
›
 x 
M 
 
 __
 
›
 y 
N 
P 
 
 __
 
›
 x 
M 
 
 __
 
›
 y 
 
 __
 
›
 s 
N 
 Q P 
 
 __
 
›
 x 
M 
N 
 Q 
A seguinte relação pode ser usada para calcular o módulo 
da soma de dois vetores quaisquer.
 
 ___
 
›
 a 
 
 ___
 
›
 b 
 
 ___
 
›
 a 
 
 ___
 
›
 b 
 
 __
 
›
 s 
 u 
 __
 
›
 s u ² = u 
 ___
 
›
 a u ² + u 
 ___
 
›
 b u ² + 2 · u 
___
 
›
 a u · u 
 ___
 
›
 b u · cos u
A regra do paralelogramo é uma prática comum na soma 
de vetores.
 Aplicação do conteúdo
1. (Unesp adaptado) Em escala, temos duas forças 
 ___
 
›
 a e ___
 
›
 b , atuando num mesmo ponto material P. 
a
b
P
1N
1N
a) Represente na figura reproduzida a força 
 ___
 
›
 R , resultante 
das forças 
 _____
 
›
 a e 
 _____
 
›
 b , e determine o valor de seu módulo, em 
newtons.
b) Determine o cosa formado entre os vetores 
 ___
 
›
 a e 
 ___
 
›
 b .
Resolução:
a) Pela regra do paralelogramo, temos que | 
 ___
 
›
 R | = 3 N.
b) Os módulos dos vetores são:
módulo de 
 ___
 
›
 a : a = 2 N
módulo de 
 ___
 
›
 b : b² = 2² + 3² 
b² = 13 b = √
___
 13 N
Aplicando a regra do paralelogramo, temos:
R² = a² + b² + 2 · a · b · cosa 
 3² = 2² + ( √
___
 13 )² + 2 · 2 · ( √
___
 13 ) cosa 
9 = 4 + 13 + 4( √
___
 13 ) cosa 
cosa = (9 – 4 – 13)/4 ( √
___
 13 ) 
 cosa = –2 ____ 
 √
___
 13 
 
2. Sobre uma superfície lisa (atrito desprezível), um cor-
po está sendo tracionado por duas cordas. Qual a inten-
sidade da força resultante Fr? (UEM)
a) Fr = √
___
 19 N
b) Fr = √
__
 8 N
c) Fr = √
___
 34 N
d) Fr = √
___
 49 N
e) Fr = √
__
 2 N
Resolução:
Alternativa A
O ângulo de 120° está no segundo quadrante, onde o cos-
seno é negativo. O valor de cos(120°)é –0,5.
Aplicando a regra do paralelogramo, temos 
(Fr)² = (3)² + (5)² + 2 · 3 · 5 · cos(120°) 
 (Fr)² = 9 + 25 + 30(–0,5) 
 (Fr)² = 34 –15 (Fr)² = 19 Fr = √
___
 19 N. 
2.4. Oposto de um vetor
Um vetor 
 ___
 
›
 a com a mesma direção, não nulo, e o mesmo 
módulo de 
 ___
 
›
 a , mas com sentido contrário, é denominado 
oposto de 
 ___
 
›
 a .
O vetor oposto de 
 ___
 
›
 a é indicado por – 
 ___
 
›
 a .
r 
s 
– 
 ___
 
›
 a 
 
 ___
 
›
 a 
13
2.5. Subtração de vetores
De modo semelhante ao que se faz com os números reais, 
diferença de dois vetores 
 ___
 
›
 a e 
 ___
 
›
 b é obtida:
 ___
 
›
 a – 
 ___
 
›
 b = 
 ___
 
›
 a + (– 
 ___
 
›
 b )
Isto é, o vetor 
 ___
 
›
 a – 
 ___
 
›
 b é obtido efetuando a adição do vetor 
 
___
 
›
 a com o oposto de 
 ___
 
›
 b .
Por exemplo
 Dados os vetores 
 ___
 
›
 a e 
 ___
 
›
 b da figura, determinaremos o 
vetor 
 ___
 
›
 d tal que 
 ___
 
›
 d = 
 ___
 
›
 a – 
 ___
 
›
 b . Utilizando a relação apresen-
tada acima, temos:
 
 ___
 
›
 d = 
 ___
 
›
 a – 
 ___
 
›
 b = 
 ___
 
›
 a + (– 
 ___
 
›
 b )
Então, fazemos a adição de 
 ___
 
›
 a com 
 _____
 
›
 –b :
O módulo da diferença de dois vetores quaisquer pode ser 
calculado usando a seguinte relação:
 u 
 ___
 
›
 d u ² = u 
___
 
›
 a u ² + u 
 ___
 
›
 b u ² – 2 · u 
___
 
›
 a u · u 
 ___
 
›
 b u cosu
Onde u é o ângulo formado entre os vetores 
 ___
 
›
 a e 
 ___
 
›
 b , quando 
ambos estão partindo da mesma origem.
 Aplicação do conteúdo
1. (UFPI) Os vetores representam quatro forças, todas 
de mesmo módulo F. Qual alternativa representa uma 
força resultante nula. 
a) 
 _____
 
›
 F1 + 
 _____
 
›
 F4 + 
 _____
 
›
 F 2
b) 
 _____
 
›
 F 1– 
 _____
 
›
 F 4+ 
 _____
 
›
 F3 
c) 
 _____
 
›
 F 1+ 
 _____
 
›
 F 2+ 
 _____
 
›
 F 3
d) 
 _____
 
›
 F 1 – 
 _____
 
›
 F4 + 
 _____
 
›
 F2 
e) 
 _____
 
›
 F 1 – 
 _____
 
›
 F 2+ 
 _____
 
›
 F3 
Resolução:
Alternativa A
Montar o seguinte diagrama vetorial, de acordo com a re-
gra do polígono:
Sendo qualquer um desses vetores ponto de partida, o 
ponto inicial sempre coincide com o ponto final, tornando 
a resultante nula.
2. Dados os vetores representados na figura, obtenha 
 ___
 
›
 D = 
 
___
 
›
 X – 
 ___
 
›
 Y .
Resolução:
Para a subtração vetorial,soma-se o vetor 
 ___
 
›
 X com o oposto 
do vetor 
 ___
 
›
 Y .
 
 ___
 
›
 D = 
 ___
 
›
 X – 
 ___
 
›
 Y 
 ___
 
›
 D = 
 ___
 
›
 X + (–1) 
 ___
 
›
 Y 
Para encontrar o vetor 
 ___
 
›
 D , invertemos o sentido do vetor 
 ___
 
›
 Y 
e aplicamos a regra da poligonal . 
14
2.6. Multiplicando e dividindo 
um vetor por um número
Sendo 
 ___
 
›
 a um vetor não nulo e k um número real não nulo. 
Multiplicar o vetor 
 ___
 
›
 a pelo número k, e obter o vetor 
 ___
 
›
 b :
 
 ___
 
›
 b = k · 
 ___
 
›
 a 
 
 ___
 
›
 b tem como característica:
 u 
 ___
 
›
 b u = u k u · u 
 ___
 
›
 a u 
 
 ___
 
›
 b tem a mesma direção de 
 ___
 
›
 a .
 Se k > 0, 
 ___
 
›
 b tem o mesmo sentido de 
 ___
 
›
 a , caso seja k < 0, 
 
___
 
›
 b tem sentido oposto ao de 
 ___
 
›
 a .
Sendo assim, temos:
a) 
 _____
 
›
 F = m . 
 ___
 
›
 a (m escalar positivo)
b) 
 _____
 
›
 F = |q| . 
 _____
 
›
 E (q > 0 ou q < 0)
Por exemplo
 Na figura, representamos os vetores 
 ___
 
›
 a , 2 
 ___
 
›
 a e –2 
 ___
 
›
 a . Note 
que tanto 2 
 ___
 
›
 a como –2 
 ___
 
›
 a têm módulos iguais ao dobro 
do módulo de 
 ___
 
›
 a . O vetor 2 
 ___
 
›
 a tem o mesmo sentido do 
vetor 
 ___
 
›
 a e o vetor –2 
 ___
 
›
 a tem sentido oposto ao do vetor 
 ___
 
›
 a .
 
 ___
 
›
 a 
2 
 ___
 
›
 a 
–2 
 ___
 
›
 a 
Podemos também dividir o vetor 
 ___
 
›
 a por k, obtendo o vetor 
 __
 
›
 c :
 
 __
 
›
 c = 
 
 
 ___
 
›
 a __ 
k
 
Sendo:
 u 
 __
 
›
 c u = 
| 
 ___
 
›
 a |
 __ 
k
 
Quanto à direção e ao sentido de 
 __
 
›
 c , valem as mesmas con-
siderações feitas para a multiplicação.
Se k = 0, não podemos calcular 
 ___
 
›
 a __ 
k
 .
2.6.1. Vamos à prática
1. Qual a soma dos vetores 
 __
 
›
 x e 
 __
 
›
 y , se cada quadradinho 
tem lados iguais a uma unidade.
a) 
b) 
 
 __
 
›
 x 
 
 __
 
›
 y 
Resolução:
a) Neste caso, temos:
 
 __
 
›
 x 
 
 __
 
›
 s 
 
 __
 
›
 y 
 u 
 __
 
›
 s u = u 
 __
 
›
 x u + u 
 __
 
›
 y u = 3 + 2 = 5 unidades
b) O vetor 
 __
 
›
 s é a soma de 
 __
 
›
 x e 
 __
 
›
 y , isto é:
 
 __
 
›
 x 
 
 __
 
›
 s 
 __
 
›
 y 
 
 __
 
›
 s = 
 __
 
›
 x + 
 __
 
›
 y 
No entanto, neste caso, temos:
 u 
 __
 
›
 s u = u 
 __
 
›
 x u – u 
 __
 
›
 y u = 5 – 3 = 2 unidades
Observação
 Versor é um vetor unitário que possui a mesma dire-
ção e mesmo sentido do eixo que o contém.
1
1
1
0
j
y
x
z
→
i
→
k
→
j
→
= 1 u
k
→
= 1 u
i
→
= 1 u
i
→
= 1 u
u ... unidade de medida
0 1 x
i
→ 1
10
j
y
x
→
i
→
i
→
= 1 u
j
→
= 1 u
2.7. Projeções ortogonais 
ou decomposição ou 
componentes de um vetor
O plano cartesiano é o sistema de referenciais que auxil-
ia adequadamente toda representação vetorial. Seja um 
vetor 
 ___
 
›
 a , conforme a representação abaixo:
x
y
 
 __
 
›
 a 
θ
 
 __
 
›
 y 
 
 __
 
›
 x 
15
A projeção de 
 ___
 
›
 a, no eixo (x) pode ser representada pelo 
vetor 
 ___
 
›
 a x, bem como a projeção do vetor 
 ___
 
›
 a no eixo (y) pode 
ser representado pelo vetor 
 ___
 
›
 a y. 
O vetor analisado pode ser representado como uma soma 
vetorial, ou seja:
___
 
›
 a = 
 ___
 
›
 ax + 
___
 
›
 ay 
Neste caso:
___
 
›
 ax = 3
 ___
 
›
 i
___
 
›
 ay = 3
 ___
 
›
 j
Sendo 
___
 
›
 i e 
 ___
 
›
 j os vetores unitários nas direções indicadas 
pelos eixos (x) e (y) respectivamente, desta forma o vetor 
também pode ser representando por:
___
 
›
 a = 3
 ___
 
›
 i + 3
 ___
 
›
 j 
Devemos lembrar que os módulos dos componentes tam-
bém podem ser representados por relações trigonométricas:
senθ = 
ay __ a ay = a · senθ
cosθ = 
ax __ a ax = a · cosθ
Os vetores unitários, quando indicarem sentido oposto aos 
eixos considerados, serão representados por:
– 
___
 
›
 i e – 
 ___
 
›
 j 
 Aplicação do conteúdo
1. Em um ponto material P, estão aplicadas seis forças 
coplanares 
 __
 
›
 F 1, 
 __
 
›
 F 2, 
 __
 
›
 F 3 , 
 __
 
›
 F 4 , 
 __
 
›
 F 5 e 
 __
 
›
 F 6 , representadas confor-
me figura a seguir, cujas intensidades são, respectiva-
mente, 12 N, 8,0 N, 15 N, 6,0 N, 8,0 N e 7,0 N.
A resultante desse sistema de forças tem intensidade:
a) 10 N.
b) 8,0 N.
c) zero.
d) 12 N.
e) 16 N.
Resolução:
Alternativa A
Vamos decompor os vetores 
 __
 
›
 F 2 e 
 __
 
›
 F 5 nos eixos 
 __
 
›
 i e 
 __
 
›
 j : 
O vetor 
 __
 
›
 F 2 será: 
 __
 
›
 F 2 = (| 
 __
 
›
 F 2| cos x) 
 __
 
›
 i + (| 
 __
 
›
 F 2| senx) 
 __
 
›
 j 
 
 __
 
›
 F 2 = (8cosx) 
 __
 
›
 i + (8senx) 
 __
 
›
 j (N)
O vetor 
 __
 
›
 F 5 será: 
 __
 
›
 F 5=(–1)(| 
 __
 
›
 F 5| cosx) 
 __
 
›
 i +(–1)(| 
 __
 
›
 F 5| senx) 
 __
 
›
 j 
 
__
 
›
 F 5 =(–8cosx) 
 __
 
›
 i + (–8senx) 
 __
 
›
 j (N)
O vetor 
 __
 
›
 F 1 será: 
 __
 
›
 F 1 = | 
 __
 
›
 F 1| 
 __
 
›
 i 
 __
 
›
 F 1= 12 
 __
 
›
 i (N)
O vetor 
 __
 
›
 F 3 será: 
 __
 
›
 F 3 = | 
 __
 
›
 F 3| 
 __
 
›
 j 
 __
 
›
 F 3= 15 
 __
 
›
 j (N)
O vetor 
 __
 
›
 F 4 será: 
 __
 
›
 F 4 = (–1) | 
 __
 
›
 F 4| 
 __
 
›
 i 
 __
 
›
 F 4= –6 
 __
 
›
 i (N)
O vetor 
 __
 
›
 F6 será: 
 __
 
›
 F 6 = (–1) | 
 __
 
›
 F 6| 
 __
 
›
 j 
 __
 
›
 F 6= –7 
 __
 
›
 j (N)
Como resultante das forças temos a soma vetorial de 
todas elas:
 
 __
 
›
 F r = 
 __
 
›
 F 1 + 
 __
 
›
 F 2 + 
 __
 
›
 F 3 + 
 __
 
›
 F 4 + 
 __
 
›
 F 5 + 
 __
 
›
 F 6 
 
 __
 
›
 F r = 12 
 ___
 
›
 i + (8cosx) 
 __
 
›
 i + (8senx) 
 __
 
›
 j + 15 
 __
 
›
 j + (– 6) 
 __
 
›
 i + 
(– 8cosx) 
 __
 
›
 i + (– 8senx) 
 __
 
›
 j + (– 7) 
 __
 
›
 j 
 
 __
 
›
 F r = (12 – 6 + 8cosx – 8cosx) 
 __
 
›
 i + ( 15 – 7 + 8senx – 
8senx ) 
 __
 
›
 j 
 
 __
 
›
 F r = (6) 
 __
 
›
 i + (8) 
 __
 
›
 j (N).
Assim, o módulo do vetor 
 __
 
›
 F r será: (Fr )²= (6)² + (8)² 
(Fr )² = 36 + 64 
 (Fr )² = 100 | 
 __
 
›
 F r| = √
____
 100 N | 
 __
 
›
 F r| = 10 N.
16
Relacionar informações apresentadas em diferentes formas de linguagem e representação usadas nas 
ciências físicas, químicas ou biológicas, como texto discursivo, gráficos, tabelas, relações matemáticas ou 
linguagem simbólica.
CONSTRUÇÃO DE HABILIDADES
17
Hablidade
A matemática entra como ferramenta fundamental para a interpretação e/ou construção de fenômenos no contexto 
da física, dessa forma se faz necessário saber o manuseio, aplicabilidade além da capacidade interpretativa dessa 
linguagem simbólica. Tal qual o terceiro eixo cognitivo da matriz de referência do ensino médio diz: “selecionar, 
organizar, relacionar, interpretar dados e informações representados de diferentes formas, para tomar decisões e 
enfrentar situações-problema.”
A utilização de vetores é inerente à física, dada a grande quantidade de grandezas vetoriais, sendo vital para a 
compreensão a fixação deste assunto, mais básico e, como dito anteriormente uma ferramenta, fundamental para 
a física.
Modelo
(Enem) Um foguete foi lançado do marco zero de uma estação e após alguns segundos atingiu a posição (6, 6, 7) no 
espaço, conforme mostra a figura. As distâncias são medidas em quilômetros.
Cursos Unicamp: Física Geral | I - Aula 4
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo multimídia: sites
www.respondeai.com.br/resumos/1/capitu-
los/1
pt.khanacademyorg/math/precalculus/vec-
tors-precalc
17
Considerando que o foguete continuou sua trajetória, mas se deslocou 2 km para frente na direção do eixo-x, 3 km 
para trás na direção do eixo-y, e 11 km para frente, na direção do eixo-z, então o foguete atingiu a posição:
a) (17, 3, 9).
b) (8, 3, 18).
c) (6, 18, 3).
d) (4, 9, –4).
e) (3, 8, 18).
Análise expositiva - Habilidade 17: No ensino médio o contato inicial que se tem em física com vetores é em 
cinemática. A ideia de representar a posição de um objeto no espaço é o exemplo mais clássico da utilização de 
vetores, além de ser um dos motivadores de sua criação.
Adotando como referência “para trás” como sendo no sentido negativo e “para frente” como um deslocamento no sentido positi-
vo de cada eixo, devemos somar o número inteiro correspondente ao deslocamento em cada coordenada, sendo assim temos que: 
(6 + 2,6 – 3,7 + 11) = (8, 3, 18).
Alternativa B
B
VETOR
MÓDULO
PROCESSO
GEOMÉTRICO
DIREÇÃO
PROCESSO
ANALÍTICO
SENTIDO
 DIAGRAMA DE IDEIAS
18
 INTRODUÇÃO AO ESTUDO
DOS MOVIMENTOS
COMPETÊNCIAS: 1 e 6 HABILIDADES: 2 e 20
AULAS 
3 E 4
A cinemática é o ramo da mecânica que descreve os movi-
mentos, que tem por objeto o estudo do movimento dos cor-
pos sem levar em conta os agentes que o produzem. Os con-
ceitos de posição, velocidade e aceleração ao longo do tempo 
são tópicos estudados por esse ramo. As dimensões dos corpos 
não interferem no estudo de determinado fenômeno, sendo 
assim tais corpos serão considerados pontos materiais.
1. A POSIÇÃO DENTRO 
DE UMA TRAJETÓRIA
Determinar a posição de um corpo em cada instante, é o 
principal objetivo da cinemática. O conceito de posição 
pode ser exemplificado pelas marcações quilométricas de 
uma rodovia, ou seja, posição é o lugar geométrico que o 
corpo está no instante da observação. Esses marcos podem 
ser utilizados para localizar os veículos que nela trafegam. 
Na figura abaixo, a posição do carro é determinada pelo 
marco km 80.
Chamamos de trajetória o conjunto de diferentes posi-
ções ocupadas, visto que ao longo do tempo, um corpo 
pode ter diferentes posições. O deslocamento é a varia-
ção da posição apresentada pelo corpo durante um inter-
valo de tempo. Como exemplo, um carro que ocupava a 
posição do marco de km 60 em um instante, e num ins-
tante posterior, a posição do marco km 80, dizemos que o 
carro percorreu a distância de 20 km.
Ainda na figura abaixo, existem dois carros, um na posi-
ção km 80 e outro na posição km 60, mas se deslocando 
em sentidos contrários. Analisando apenas o marco 
quilométrico, não é possível determinar o sentido 
do movimento.
Representação esquemática de posições numa rodovia.
O marco quilométrico km 80 localiza o carro nessa estrada e fornece sua posição.
80
Km
80
Km
60
Km
Chamado origem dos espaços, o marco zero, foi esco-
lhido arbitrariamente. A partir dessa posição, são medidos 
os comprimentos que indicam a posição do corpo. O marco 
zero é o referencial.
O CORPO A ENCONTRA-SE A 10 KM DO MARCO ZERO, E O CORPO B, A 20 KM.
Frames of Reference (1960)
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
2. GRANDEZA ESCALAR (DISTÂNCIA 
PERCORRIDA) E GRANDEZA 
VETORIAL (DESLOCAMENTO)
A diferença entre as posições final e inicial ocupadas numa 
determinada trajetória, é chamada de deslocamento 
escalar.
+
S0 S
S
ΔS
ΔS = S - S0
S0 .... posição inicial
S ...... posição final
ΔS ... variação de posição
 ou deslocamento escalar
S0
0
O total de movimento realizado por um móvel, é a Distân-
cia percorrida.
19
Observação: o deslocamento escalar nem sempre é igual à distância percorrida. Isso só é verdade quando o movi-
mento é sempre no mesmo sentido e a favor da trajetória.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
”Nada me produz tanta perplexidade como o tempo e o espaço. E, entretanto, nada me preocupa menos que o 
tempo e o espaço, já que nunca penso neles.”
Charles Lamb
Muitos filósofos já discutiram sobre o tempo e para alguns é um conceito indefinível em palavras. Zenão de Eleia 
(490-430 a.C.) foi um filósofo que se opôs à ideia de movimento, para ele o movimento era uma ideia que não pode-
ria existir: “Um móvel que está no ponto A e tenta atingir o ponto B. Isso é impossível, pois antes de atingir o ponto 
B, o móvel tem que atingir o meio do caminho entre A e B, isto é, um ponto C. Mas para atingir C, terá que primeiro 
atingir o meio do caminho entre A e C, isto é, um ponto D. E assim, infinitamente”.
Ou seja, antes de atingir o destino final, o móvel teria que passar por sucessivos pontos intermediários infinitamente, 
jamais chegando ao seu destino. Seu paradoxo mais famoso trata de Aquiles, o velocista, e a tartaruga: “Imagine 
uma corrida entre Aquiles e uma tartaruga. Por questões de justiça, é dada para a tartaruga uma vantagem inicial, 
já que ela é mais lenta, a tartaruga irá começar a disputa na metade do caminho. Aquiles jamais a alcançará, porque 
quando ele chegar ao ponto de onde a tartaruga partiu, ela já terá percorrido uma nova distância; e quando ele 
atingir essa nova distância, a tartaruga já terá percorrido uma outra nova distância, e assim, infinitamente.”
Desse modo, a ideia de encontro entre dois móveis é impossível.
Platão (427-348 a.C.) e Aristóteles (384-322 a.C.) disseram que o tempo tem origem cosmológica. Devido a inú-
meros eventos periódicos na Natureza, a ideia de tempo cíclico foi sendo desenvolvida pela Humanidade (gregos, 
egípcios, maias etc. tinham a ideia de ciclos). A cultura ocidental-cristã incorporou a ideia de tempo linear, sendo esse 
uma grandeza absoluta. Para o filósofo Santo Agostinho (345-430), não seria correto definir o tempo em termos do 
movimento periódico dos astros, pois na hipótese da ausência de movimento dos astros, automaticamente o tempo 
desapareceria,o que seria um absurdo. Para filósofos mais modernos, como Immanuel Kant (1724-1804), o tempo 
é uma criação da mente humana, assim como para Baruch Spinoza (1632-1677).
 Aplicação do conteúdo
1. Saindo de um ponto X de uma trajetória, um indiví-
duo caminha até uma posição Y e, em seguida, retorna 
para o ponto Z. Observe a figura e responda:
-50 -40 -30
t0
(X) (Z) (Y)
t1t2
-20 -10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 S (m)0
a) qual a distância percorrida de X até Y?
b) qual o deslocamento efetuado pelo indivíduo de X até Y?
c) qual a distância percorrida pelo indivíduo do instante t0 
até t2?
d) qual o deslocamento total percorrido pelo indivíduo do 
instante t0 até o instante t2?
Resolução: 
a) A distância percorrida corresponde efetivamente ao que 
o indivíduo percorreu, ou seja, 120 m, pois ele se desloca 
da posição –30 m e vai até a posição 90 m. Perceba que, 
como é um movimento no mesmo sentido e com a mesma 
direção da trajetória, a distância percorrida pode ser calcu-
lada através da expressão:
d = DS = S – S0 d = 90 – (–30) d = 120 m
b) DS = S – S0 DS = 90 – (–30) DS = 120 m
c) Desde o instante t0 até t2, o indivíduo se desloca de X 
para Y e de Y para Z; logo, a distância percorrida é a soma 
dos segmentos
d = XY
—
 + YZ
—
 d = 120 + 40 d = 160 m
20
d) O deslocamento é calculado pela expressão:
DS = S – S0 S = 50 – (–30) DS = 80 m
Observe que, quando o deslocamento se dá em um só 
sentido, a distância percorrida é numericamente igual ao 
deslocamento (vide itens a e b).
2. Partindo de X, uma pessoa efetua voltas em tor-
no de uma praça retangular. Do instante da partida, 
calcule o deslocamento e a distância percorrida, nas 
seguintes situações:
400m
300m
WZ 
YX
a) a distância percorrida por ela até chegar em W;
b) o deslocamento até W;
c) a distância percorrida e o deslocamento em uma volta 
completa.
Resolução:
a) De X até Y, a pessoa percorreu 400 m; de Y até W, per-
correu 300 m; então:
d = XY— + YW— 
d = 400 + 300
d = 700 m
b) O deslocamento de X até W é o valor da hipotenusa, que 
pelo teorema de Pitágoras é:
(XW—)2 = (XY—)2 + (YW—)2 
DS2 = (400)2 + (300)2 
DS2 = 160.000 + 90.000 
DS2 = 250.000 
 DS = 500 m
c) A distância percorrida em uma volta completa é:
d = XY— + YW— + WZ— + ZX— 
d = 400 + 300 + 400 + 300 
 d = 1.400 m
e o deslocamento é S = 0, pois a posição inicial e final são 
o mesmo lugar (X).
3. REFERENCIAL
Se a posição de um corpo é alterada ao longo do tempo em 
relação a um referencial, este está em movimento. Pode-se 
analisar o movimento de um corpo comparando sua posição 
em relação a outro corpo, que, nesse caso, será o referen-
cial. Assim, o estado de movimento ou repouso de um corpo 
depende do referencial escolhido. Um mesmo corpo pode 
estar em repouso em relação a um referencial e em movi-
mento em relação a outro. A trajetória do corpo também é 
dependente do referencial. Os corpos, por sua vez, também 
possuem uma classificação. Se a dimensão do corpo, compa-
rada com a dimensão da trajetória for desprezível, esse será 
chamado de ponto material; se ele não puder ser despreza-
do, será chamado de corpo extenso. Existem muitos casos 
em que o tamanho do corpo deverá ser considerado. 
3.1. Repouso e movimento, definição.
O PASSAGEIRO DENTRO DO ÔNIBUS ESTÁ EM MOVIMENTO EM RELAÇÃO À PESSOA EM 
PÉ NO PONTO (OBSERVADOR).
DENTRO DO ÔNIBUS, O PASSAGEIRO ESTÁ EM REPOUSO EM RELAÇÃO AO MOTORISTA.
A forma da trajetória de um ponto material depende 
do referencial adotado.
A trajetória descrita por um móvel também depende do 
referencial adotado.
A imagem abaixo exemplifica as trajetórias diferentes de 
uma lâmpada em queda livre, em relação a dois referenciais.
Quando sua posição em relação a um referencial é 
alterada durante o intervalo de tempo, consideramos 
que um ponto material esta em movimento.
Um ponto material é considerado em repouso quando 
sua posição em relação a um referencial não é altera-
da durante o intervalo de tempo considerado.
Observador
Passageiro
Dentro do ônibus, o passageiro está em repouso em relação ao motorista.
PassageiroMotorista
21
A LÂMPADA DESCREVE UMA TRAJETÓRIA RETILÍNEA VERTICAL EM RELAÇÃO AO OBSERVADOR (T).
EM RELAÇÃO AO OBSERVADOR (S), A TRAJETÓRIA DA LÂMPADA É PARABÓLICA.
A escolha do referencial é feita de modo a facilitar a reso-
lução dos exercícios e totalmente arbitrária. 
 Aplicação do conteúdo
1. Um ônibus escolar está parado no ponto de ônibus e 
um aluno está sentado em uma das poltronas. Quando 
o ônibus entra em movimento, sua posição no espaço 
se altera, afastando-se do ponto de ônibus. Nessa situ-
ação, podemos afirmar que a conclusão errada é que:
a) o aluno sentado na poltrona acompanha o ônibus e, 
portanto, também se afasta do ponto de ônibus.
b) podemos dizer que um corpo está em movimento em 
relação a um referencial quando a sua posição muda em 
relação a esse referencial.
c) o aluno está parado em relação ao ônibus e em movi-
mento em relação ao ponto de ônibus, se o referencial for 
o próprio ônibus.
d) se o referencial for o ponto de ônibus, o aluno está em 
movimento em relação ao ônibus.
e) para dizer se um corpo está parado ou em movimento, 
precisamos relacioná-lo a um ponto ou a um conjunto de 
pontos de referência.
Resolução:
Alternativa D
Observamos que o aluno está em movimento se o referencial 
adotado for o ponto de ônibus ou a rua; pois, como vimos, 
a escolha do referencial é arbitrária e é necessário escolher 
apenas um único ponto como referencial. Porém, caso o re-
ferencial escolhido seja o próprio ônibus, ou o motorista do 
ônibus, a posição do aluno não irá se alterar em relação ao 
motorista ou ao ônibus.
2. (PUC-SP) Analise a tirinha da Turma da Mônica consi-
derando os princípios da Mecânica Clássica e defina as 
afirmativas mais adequadas.
I. Cascão encontra-se em movimento em relação ao skate 
e também em relação ao amigo Cebolinha.
II. Cascão encontra-se em repouso em relação ao skate, 
mas em movimento em relação ao amigo Cebolinha.
III. Em relação a um referencial fixo fora da Terra, Cascão 
jamais pode estar em repouso.
Estão corretas:
a) apenas I.
b) I e II.
c) I e III.
d) II e III.
e) I, II e III.
Resolução:
Alternativa D
I. Incorreta, pois Cascão está em repouso em relação ao ska-
te, mas em relação ao Cebolinha ele está em movimento.
II. Correta.
III. Correta, pois a Terra gira constantemente em torno de 
seu eixo e em torno do Sol; em relação a um referencial 
fixo fora da Terra, Cascão jamais poderia estar em repouso.
4. VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
Definida como a razão entre a variação da posição do cor-
po e o intervalo de tempo decorrido durante essa variação 
na posição. A velocidade escalar de um corpo determi-
na o quão rápido é o seu deslocamento. 
Um ponto material P descreve uma certa trajetória em rela-
ção a um determinado referencial. No instante t1 sua posi-
ção é S1 e no instante posterior t2 sua posição é S2. Durante 
o intervalo de tempo Dt = t2 – t1, a variação espacial do 
ponto material é DS = S2 – S1. A velocidade escalar média 
vm no intervalo de tempo Dt é expressa pela relação:
vm = 
DS ___ 
Dt
 = 
S2 – S1 _____ t2 – t1
 
Média ou instantânea, a unidade de velocidade escalar é 
expressa em unidade de comprimento por unidade de tem-
po: km/h (quilômetros por hora), m/s (metros por segundo), 
mi/h (milhas por hora), cm/s (centímetros por segundo) etc.
Posição 1
(T) (T) (T) (T)
Posição 2 Posição 3
(S)
22
As unidades de velocidades podem ser convertidas 
umas nas outras, por exemplo, de km/h para m/s e 
vice-versa.
Sabemos que: 
1 km = 1.000 m 
1 h = 60 min e 1 min = 60 s 
1 h = 60 · 60 s = 3.600 s
Então: 1 km ___ 
h
 = 1.000 m _______ 
3.600 s
 = 1 m ____ 
3,6 s
 
Portanto: 1 km ___ 
h
 = 1 ___ 
3,6
 m __ s e 1 m/s = 3,6 km/h
 km ___ 
h
 
× 3,6 
: 3,6 m __ s 
Para converter km/h em m/s, divide-se o valor da veloci-
dade por 3,6; para converter m/s em km/h, multiplica-se o 
valor da velocidadepor 3,6.
 Aplicação do conteúdo
1. Combinando tradição e modernidade, o edifício 
Taipei 101 é um ícone de Taiwan. O edifício possui 61 
elevadores, sendo dois de ultravelocidade. Suas carac-
terísticas de segurança permitem-lhe suportar tufões e 
terremotos, que são frequentes nessa região. 
Se um desses elevadores de ultravelocidade sobe, do térreo 
até o 89º andar, percorrendo 380 metros em 40 segundos, 
conclui-se que a sua velocidade média vale, em m/s:
a) 4,7.
b) 7,2.
c) 9,5.
d) 12,2.
e) 15,5.
Resolução:
Alternativa C
De acordo com as informações fornecidas pelo enunciado, 
o deslocamento do elevador foi de DS = 380 m e o inter-
valo de tempo de Dt = 40 s.
Assim, a velocidade média do elevador é calculada da se-
guinte forma:
vm = 
DS ___ 
Dt
 = 380 ___ 
40
 ä vm = 9,5 m/s
2. (Cefet) Uma escada rolante de 6 m de altura e 8 
m de base transporta uma pessoa entre dois andares 
consecutivos num intervalo de tempo de 20 s. A velo-
cidade média desta pessoa, em m/s, é: 
a) 0,2. 
b) 0,5.
c) 0,9. 
d) 0,8. 
e) 1,5.
Resolução:
Alternativa B
Em um desenho ilustrativo do problema, percebemos:
O espaço percorrido por uma pessoa na escada rolante é 
a hipotenusa do triângulo pitagórico. Aplicando o teorema 
de Pitágoras, temos:
DS2 = 62 + 82 DS2 = 100 
 DS = √
____
 100 DS = 10 m
Assim, a velocidade média da escada rolante será: 
vm= 
DS ___ 
Dt 
 vm= 
10 ___ 
20
 vm = 0,5 m/s
3. (UFJF) Um caminhão em viagem de Juiz de Fora a Belo 
Horizonte, pretende passar por Barbacena (cidade situa-
da a 100 km de Juiz de Fora e a 180 km de Belo Horizon-
te). A velocidade máxima no trecho que vai de Juiz de 
Fora a Barbacena é de 80 km/h e de Barbacena a Belo 
Horizonte é de 90 km/h. Qual o tempo mínimo, em horas, 
de Juiz de Fora a Belo Horizonte, respeitando-se os limi-
tes de velocidades. 
a) 4,25 h
b) 3,25 h
c) 2,25 h
d) 3,50 h
e) 4,50 h 
Resolução:
Alternativa B
No desenho ilustrativo do exercício, temos:
23
O intervalo de tempo do primeiro trecho será:
v1= S1 v1= 
(S1 – S0) 80 = (100 – 0) t1 = 
100 ___ 
80
 t1 = 1,25 h.
O intervalo de tempo do segundo trecho será:
v2= S2 v2= 
(S2 – S1) 90 = 
(280 – 100) _________ t2 
 t2 = 
180 ___ 
90
 t1 = 2 h
Assim, o intervalo de tempo total será: 
ttotal = t1 + t2 ttotal = 1,25 + 2 ttotal = 3,25 horas.
VIVENCIANDO
O conceito de velocidade média tem importantes aplicações cotidianas, entre elas podemos citar o custo no transpor-
te de mercadorias, aplicações no cálculo da vazão de reservatórios, o cálculo do custo da energia elétrica no sistema 
metroviário. Na indústria, seu conceito é utilizado na produção. Atualmente, com a introdução da matemática e 
estatística nos esportes, o conceito de velocidade média é amplamente utilizado na estratégia dos esportistas, seja 
desde um maratonista, nadador ou mesmo um jogador de futebol (é possível analisar a velocidade média do jogador 
durante uma partida, a distância efetivamente percorrida por ele, sua aceleração média e muito mais). No filme ”Mo-
neyball”, que foi baseado em fatos reais, Billy Beane emprega conceitos estatísticos para a elaboração do seu time.
Física - Velocidade Média (Khan Academy)
FONTE: YOUTUBE
interatividade: vídeo
multimídia: sites
pt.khanacademyorg/science/physics/one-di-
mensional-motion/displacement-velocity-ti-
me/a/what-is-displacement
efisica.if.usp.br/mecanica/basico/referenciais/
intro/
www.estudopratico.com.br/referencial-movi-
mento-espaco-e-repouso/
4.1. Movimentos progressivo e retrógrado
Quando a posição de um material varia no sentido da orientação positiva da trajetória, o movimento é progressivo. Onde 
os valores da sua posição aumentam ao longo do tempo e sua velocidade escalar é positiva.
Retrógrado é quando o ponto material se move no sentido oposto à orientação positiva da trajetória. Os valores da sua 
posição decrescem ao longo do tempo e sua velocidade escalar é negativa.
t1
t2 t2
t1 t1
24
0 
v > 0 v < 0 
1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 
©
 R
afa
el 
Sc
ha
ffe
r G
im
en
es
/S
ch
äff
er 
Ed
ito
ria
l 
OBSERVE QUE O SINAL ATRIBUÍDO À VELOCIDADE 
ESCALAR INDICA O SENTIDO DO MOVIMENTO.
 Aplicação do conteúdo
1. Um móvel realiza um movimento uniforme e seu espaço 
varia com o tempo segundo a tabela:
t(s) 0 1 2 3 4 5
S(m) 20 17 14 11 8 5
a) Classifique o movimento dizendo se é progressivo ou 
retrógrado.
b) Calcule e velocidade escalar do móvel.
c) Qual é o espaço inicial do móvel?
Resolução:
a) Podemos perceber pela tabela que o móvel se locomove 
no sentido contrário à trajetória, pois o espaço ao longo 
do tempo diminui. Logo, temos um movimento retrógrado 
(v < 0).
b) Vamos utilizar o tempo t = 0 s e o tempo 
t = 4 s. No primeiro, temos a posição de 20 metros e, no 
segundo, de 8 metros. Assim, a velocidade escalar será:
v = ∆S __ ∆t v = 
(Sf – So) _______ 
(tf – to)
 v = (8 –20) _____ 
(4–0)
 
 v = –12 ___ 
4
 v = –3 m/s
Resposta: –3 m/s
Observação: em um movimento uniforme retrógrado, a ve-
locidade só pode ser negativa, o que confirmamos na letra b.
c) A posição inicial será localizada no início do movimento 
(t = 0 s). Temos que para t = 0 s a posição é de 20 metros.
5. FUNÇÃO HORÁRIA
A função que relaciona o espaço S com os instantes de 
tempo t correspondentes é a Função horária da posição, 
e é representada genericamente por S = f(t). Essa expres-
são é lida: S é uma função de t.
Para fornecer uma função horária, deve-se indicar as uni-
dades do espaço e do tempo: caso S esteja em metros (m) 
e t em segundos (s), podemos apenas informar que as uni-
dades são as do SI. Nesse caso, a unidade da velocidade v 
será m/s. Se S estiver em quilômetros (km) e t em horas (h), 
a unidade de v será km/h.
 Aplicação do conteúdo
1. A partícula se desloca ao longo do eixo x. Calcule a ve-
locidade média da partícula no intervalo entre t = 2 s e 
t = 8 s, em m/s.
Resolução:
Observando o gráfico, o corpo encontrava-se na posição 
–40 m no instante de tempo t = 2 s e estava na posição 
+20 m no instante de tempo t = 8 s. Desse modo, a veloci-
dade média é calculada da seguinte maneira:
vm = 
Dx ___ 
Dt
 = 
x – x0 _____ 
Dt
 = 20 – (–40) ________ 
6
 = 10 m/s
25
Associar a solução de problemas de comunicação, transporte, saúde ou outro, com o correspondente 
desenvolvimento científico e tecnológico.
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
2
Habilidade
A compreensão do mundo visto de forma racional, mecânica e cartesiana se faz necessária no universo acadêmi-
co-científico, sendo cada vez mais importante no mundo atual, aonde novas tecnologias são desenvolvidas em 
altíssima velocidade.
Dentro dos eixos cognitivos, a habilidade 2 impõe ao aluno a compreensão, dentro das várias áreas do conhecimen-
to, de fenômenos físicos com a intenção de conceber os fenômenos naturais implicando na produção tecnológica. A 
compreensão do mundo ao nosso redor é cada vez mais vital para a sobrevivência dentro uma sociedade altamente 
desenvolvida e competitiva.
Pertence também a outro eixo cognitivo, enfrentando situações-problema em que o aluno deve saber organizar, 
relacionar e interpretar as informações. Problemas relacionados ao transporte, ou mesmo saúde, para e dentro do 
desenvolvimento científico são objeto de estudo das ciências naturais. Além, é claro, de cobrar do aluno a construção 
de argumentação ao relacionar diferentes informações.
Modelo 1
(Enem) Um pesquisador avaliou o efeito da temperatura do motor (em velocidade constante) e da velocidade mé-
dia de um veículo (com temperatura do motor constante) sobre a emissão de monóxido de carbono (CO) em dois 
tipos de percurso, aclive e declive, com iguais distâncias percorridas em linha reta. Os resultados são apresentados 
nas duas figuras.
A partir dos resultados, a situação em que ocorre maior emissão de poluentes é aquela na qual o percurso é feito 
com o motor:
a) aquecido, em menores velocidades médias e em pista em declive;
b) aquecido, em maiores velocidadesmédias e em pista em aclive;
c) frio, em menores velocidades médias e em pista em declive;
d) frio, em menores velocidades médias e em pista em aclive;
e) frio, em maiores velocidades médias e em pista em aclive.
26
Análise expositiva 1 - Habilidade 2: Esse é um excelente exercício pertencente ao modelo Enem, exemplo típico 
do que é exigido no exame. Além de solicitar que o aluno faça a leitura e compreensão correta dos gráficos individu-
almente, permite ao aluno analisar dois diferentes gráficos da mesma situação-problema. Desse modo requer que o 
aluno saiba ligar problemas cotidianos, relacionados ao transporte e saúde, ao mundo técnico-científico relacionado 
ao movimento do móvel.
A primeira figura permite concluir que para menores temperaturas (motor frio) e em pista em aclive a emissão de CO é maior ao 
compararmos o gráfico de aclive (mais escuro) com o gráfico de declive (claro e tracejado). Desse modo é interessante perceber 
que a emissão é maior para a temperatura mais baixa nos dois casos do movimento do veículo, diminuindo conforme aumenta 
a temperatura (funcionamento) do motor.
A segunda figura mostra que a emissão de CO é maior para baixas velocidades médias e em pista em aclive. A análise acontece do 
mesmo modo que no primeiro gráfico, sendo que é interessante notar que o veículo emite menos CO quanto maior é a velocidade 
média, fato interessante nas grandes cidades, onde o congestionamento de veículos nas grandes vias, e consequentemente a 
baixa velocidade média, aumenta a emissão de poluentes.
Alternativa D
D
Caracterizar causas ou efeitos dos movimentos de partículas, substâncias, objetos ou corpos celestes.20
Habilidade
O estudo do movimento é objeto essencial da física e das ciências naturais. Ele pertence ao cerne da construção do 
pensamento físico e filosófico. Fator importante no desenvolvimento da física e do pensamento científico.
Para caracterizar a causa ou efeitos do movimento, é necessário que o aluno domine a linguagem matemática e 
científica, primeiro eixo cognitivo para que ele possa enfrentar situações-problema. Também é importante que o 
aluno saiba construir sua argumentação baseado no pensamento lógico e dedutivo.
Compreender as causas e efeitos dos movimentos dos corpos pertencentes ao Universo é importante, não só dentro 
do mundo acadêmico-científico mas também no cotidiano das pessoas, afinal os indivíduos estão em constante 
movimento e cercados por objetos também em movimento. Saber compreender, prever ou antecipar o movimento 
dos diferentes objetos é fundamental na produção técnico-científica. 
Modelo 2
(Enem) Uma empresa de transportes precisa efetuar a entrega de uma encomenda o mais breve possível. Para tanto, 
a equipe de logística analisa o trajeto desde a empresa até o local da entrega. Ela verifica que o trajeto apresenta 
dois trechos de distâncias diferentes e velocidades máximas permitidas diferentes. No primeiro trecho, a velocidade 
máxima permitida é de 80 km/h e a distância a ser percorrida é de 80 km. No segundo trecho, cujo comprimento vale 
60 km, a velocidade máxima permitida é 120 km/h.
Supondo que as condições de trânsito sejam favoráveis para que o veículo da empresa ande continuamente na veloci-
dade máxima permitida, qual será o tempo necessário, em horas, para a realização da entrega?
a) 0,7
b) 1,4
c) 1,5
d) 2,0
e) 3,0
Análise expositiva 2 - Habilidade 20: Esse exercício é um exemplo de que o aluno deve saber de antemão conceitos 
básicos de movimento, além de dominar a manipulação matemática em equações e fórmulas.
O exercício produz uma situação-problema pertencente ao cotidiano do aluno.
Primeiramente, temos os seguintes dados: o primeiro deslocamento ∆S1 = 80 km com a velocidade v1 = 80 km/h; já o segundo 
deslocamento é de ∆S2 = 60 km com a velocidade média v1 = 120 km/h.
Lembrando que a velocidade média é dada pela razão entre o deslocamento do móvel pelo intervalo de tempo correspondente. 
C
27
DESLOCAMENTO
A A
ESPAÇO
TEMPO
INTERVALO
DE TEMPO
POSIÇÃO
INICIAL
RAPIDEZ
POSIÇÃO
FINAL
VELOCIDADE
MÉDIA
 DIAGRAMA DE IDEIAS
v = 
Uma vez que o tempo total é a soma dos dois tempos parciais, segue que:
 = t1 + t2 t = 
S1 + S2 = 80 ___ 80 + 
60 ____ 120 = 1 + 0,5 t = 1,5 h.
Alternativa C
S
 t
v1 v2
28
 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
COMPETÊNCIAS: 1 e 6 HABILIDADES: 3 e 20
AULAS 
5 E 6
1. MRU - MOVIMENTO 
RETILÍNEO UNIFORME
O conceito de velocidade média é muito importante, po-
rém, é pouco preciso. Por isso, a partir de agora, iremos 
estudar alguns casos específicos de movimento.
Movimentos retilíneos uniformes são todos os movi-
mentos nos quais o vetor velocidade não se altera, ou seja, 
direção, sentido e intensidade não são alterados. Dessa 
forma, em um estudo unidimensional, o módulo da veloci-
dade é constante, assim, em quaisquer instantes considera-
dos a velocidade instantânea será equivalente à velocidade 
escalar média:
v = vm = 
 DS ___ 
Dt
 = constante i 0
Sendo assim, no movimento uniforme, o corpo percorre 
distâncias iguais em intervalos de tempo iguais.
VIVENCIANDO
Assim como o conceito de velocidade média, a velocidade escalar média instantânea é aplicada em diversos casos, 
afinal quando queremos uma maior precisão ao descrever o movimento de um móvel a função velocidade instantâ-
nea é muito mais reveladora. Um dos casos mais clássicos, de muito interesse, pois é aplicado em diversas situações, 
é aquele em que a velocidade é constante.
A velocidade pode ser considerada constante em inúmeras situações, tal como a esteira de produção nas indústrias, 
um carro que viaja numa estrada por um longo período de tempo sem mudar sua velocidade etc.
Física - Cinemática: MRU
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MRU (Movimento Retilíneo Uniforme) - Mundo 
Física - ENEM
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1.1. Função horária
Como visto anteriormente, a função horária de um movi-
mento é a expressão matemática que fornece a posição 
para um determinado instante de tempo t. A velocidade 
escalar instantânea, no movimento uniforme, é constante 
e coincide com a velocidade escalar média, qualquer que 
seja o intervalo de tempo. Portanto:
vm = 
 DS ___ 
Dt
 ä v = DS ___ 
Dt
 
Fazendo DS = S – S0 e Dt = t – 0 = t, vem:
v = DS ___ 
Dt
 ä v = 
S – S0 _____ t 
ä v · t = S – S0
S = S0 + v · t
FUNÇÃO HORÁRIA DO MOVIMENTO UNIFORME
Sistema 
Internacional
S0 posição inicial
metro (m)
S posição final
v velocidade escalar 
(constante e não nula)
metro por 
segundo (m/s)
t tempo segundo (s)
Desse modo, o espaço S é composto por duas parcelas: 
o espaço inicial S0 e o espaço percorrido após o início da 
contagem do tempo, cujo valor é v · t. Adotamos, neste 
estudo, o instante inicial (t0 = 0) para que a função horária 
evidencie o comportamento do corpo como se o estudo do 
movimento se desse a partir daquele instante.
Na expressão da função horária, S0 e v são constantes ao 
longo do tempo; a velocidade escalar do movimento é v; 
se o movimento é progressivo, v > 0, e se o movimento é 
retrógrado, v < 0, ou seja, quando v > 0, o movimento é a 
favor da orientação da trajetória, e quando v < 0, o movi-
mento é contra a orientação da trajetória.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
A função polinomial do primeiro grau com apenas uma variável independente e uma dependente chama-se função 
afim, definida como f de em dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e 
a ≠ 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Nesse caso, a função posição é dada em termo dos coeficientes a, que será a velocidade do móvel, e b, que será 
a posição inicial. Assim, teremos a posição S em função do tempo t.
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A tabela ilustra alguns exemplos, sendo S em metros e t 
em segundos:
S = S0 + vt S0 v
progressivo/
retrógrado
S = 50 + 20 t S0 = 50 m v = +20 m/s v > 0, progressivo
S = 60 – 9 t S0 = 60 m v = –9 m/s v < 0, retrógrado
S = –40t S0 = 0 v = –40 m/s v < 0, retrógrado
S = 18 t S0 = 0 v = 18 m/s v > 0, progressivo
Resumindo os conceitos de movimento uniforme:
S = S0 + v · t, onde v = constante i 0 v = vm = 
 DS ___ 
Dt
 
Para qualquer tipo de trajetória, o MRU é definido por es-
sas funções.
 Aplicação do conteúdo
1. (UC-GO) A figura mostra a posição de um móvel, em 
movimento uniforme, no instante t = 0.
 
Sendo 5 m/s o módulo de sua velocidade escalar, pede-se:
a) a função horária dos espaços;
b) o instante em que o móvel pas-
sa pela origem dos espaços.
Resolução:
a) A figura nos mostra que o móvel tem uma posição 
inicial de 30 m e movimenta-se no sentido contrário da 
trajetória, logo, a sua velocidade constante é –5 m/s 
(movimento retrógrado). 
Assim, a função horária do movimento será: 
S = S0 + v · t S = 30 + (–5)t S = 30 – 5t
Resposta: A função horária é S = 30 – 5t.
b) Para encontrar o instante em que o móvel passa pela 
origem dos espaços, basta igualar a posição final a 0. As-
sim, temos:
S = 30 – 5t 0 = 30 – 5t 
5t = 30 t = 30 ___ 
5
 t = 6 s.
Resposta: O tempo será de 6 segundos.
2. O espaço inicial de uma bicicleta que descreve um mo-
vimento retilíneo e uniforme é –5 m. Nesse movimento, a 
bicicleta percorre a cada intervalo de tempo de 10 s uma 
distância de 50 m. Determine a função horária do espaço 
para esse movimento, e considere-o progressivo.
Resolução:
A bicicleta percorre 50 metros em 10 segundos, logo, a 
velocidade dela será:
v = ∆S __ 
∆t
 v = 50 ___ 
10
 v = 5 m/s
A posição inicial da bicicleta é –5 m e sua velocidade cons-
tante é de 5 m/s, logo, a função horária do movimento será:
S = S0 + v · t S = –5 + 5t.
3. (Ufgrs) Um caminhoneiro parte de São Paulo com velo-
cidade escalar constante de módulo igual a 74 km/h. No 
mesmo instante, parte outro de Camaquã, no Rio Grande 
do Sul, com velocidade escalar constante de 56 km/h.
 
Em que cidade eles vão se encontrar?
a) Camboriú 
b) Garopaba 
c) Laguna
d) Araranguá 
e) Torres
Resolução:
O caminhão A tem posição inicial igual a 0 km, velocidade 
constante de 74 km/h e o sentido é o mesmo da trajetória. 
A função horária do movimento do caminhão A será:
SA = S0, A + vA t SA = 0 + 74 t SA = 74 t
O caminhão B tem posição inicial de 1.300 km e movimen-
ta-se contra a trajetória, logo sua velocidade será de –56 
km/h. A função horária do movimento do caminhão B será: 
SB = S0,B + vBt SB = 1300 + (–56)t SB = 1300 – 56 t.
MRU - Esquema - Função - Tabelas - Gráficos
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No ponto de encontro, temos que as posições finais dos 
caminhões são iguais, logo:
SA = SB 74 t = 1300 – 56 t 74 t + 56 t = 
1300 130 t = 1300 t = 1300 ____ 
130
 t = 10 h 
Agora, basta aplicar o tempo igual a 10 horas em uma das 
duas funções horárias para encontrar a posição final.
SA = 74 t SA = 74(10) SA = 740 km 
Os caminhões vão se encontrar na cidade de Garopaba.
Alternativa B
Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos fundadores do pen-
samento científico moderno baseado na experimentação, 
fazendo a transição da filosofia natural da antiguidade 
para a ciência moderna. Empregando a matemática às 
suas observações experimentais, Galileu deu importantes 
contribuições ao estudo do movimento uniforme, perce-
bendo ser impossível distinguir entre dois objetos isolados, 
qual está parado ou qual está em movimento, formulou o 
princípio da relatividade galineana.
Encontro – o encontro entre móveis significa que os 
mesmos passam pela mesma posição na trajetória ao 
mesmo tempo.
Considere 2 móveis (1 e 2) em MRU com funções horárias 
de posição S1 = S01 + v1 t e S2 = S02 + v2 t de modo que 
eles se encontrem e, se você quiser descobrir o tempo de 
encontro é só igualar as duas funções e isolar o tempo. Se 
desejar encontrar a posição do encontro basta substituir 
esse tempo numa das funções.
 Aplicação do conteúdo
1. Dois móveis, 1 e 2, movem-se com movimento unifor-
me e no mesmo sentido num certo trecho retilíneo. Suas 
velocidades escalares possuem intensidades respectiva-
mente iguais a 20 m/s e 15 m/s. No tempo inicial zero, os 
móveis encontram-se nas posições indicadas abaixo.
(m)
0 100
Determine:
a) o instante do encontro;
b) a posição do encontro.
Resolução:
a) Antes de iniciarmos a resolução, vamos escrever as fun-
ções horárias da posição de cada móvel. Assim:
S1 = S01 + v1 t e S2 = S02 + v2 t
S1 = 0 + 20 t e S2 = 100 + 15 t
Encontradas as funções horárias da posição, devemos 
igualar as mesmas para determinar o instante que 1 
encontra 2.
S1 = S2 
0 + 20 t = 100 + 15 t 
20 t – 15 t = 100 
5 t = 100 
t = 20 s
b) Para encontrarmos a posição do encontro, basta substi-
tuir o valor do tempo encontrado no item anterior em qual-
quer uma das funções horárias. Assim:
S1 = 0 + 20 · 20 
S1 = 400 m
Portanto, a posição do encontro fica a 
400 m da origem.
2. Dois veículos movem-se em MRU, um de encontro ao 
outro. Suas velocidades escalares têm módulos 22 m/s 
e 18 m/s, respectivamente. No instante t = 0 os veículos 
ocupam as posições sinalizadas na figura que se segue.
(m)
0 200
Determine:
a) o instante do encontro;
b) a posição do encontro.
Resolução:
A resolução deste exercício é similar ao anterior.
a) Escreva as funções horárias da posição de A e B. 
SA = S0A + vA t e SB = S0B + vB t
SA = 0 + 22 t e SB = 200 – 18 t
Nesse exercício a velocidade de B é –18 porque o veículo 
move-se no sentido oposto ao da orientação da trajetória. 
Igualando as funções, temos: 
32
0 + 22 t = 200 – 18 t 
22 t + 18 t = 200 
40 t = 200 
t = 5 s
b) Para determinarmos a posição em que ocorre o encontro, 
basta substituir o valor do tempo em uma das funções. Assim:
SA = 0 + 22 · 5 
SA = 110 m
Temos que a posição do encon-
tro é 110 m da origem.
1.2. Velocidade relativa
Sejam duas partículas realizando movimentos uniformes, em 
relação a um referencial qualquer, em uma mesma trajetória 
ou em trajetórias paralelas. A velocidade relativa das duas par-
tículas pode ser calculada escolhendo uma das partículas como 
um novo referencial. Como os módulos de suas velocidades 
são constantes em função do tempo, o módulo da velocidade 
relativa é dado por:
vREL = 
DSREL ____ 
Dt
 
Onde:
vREL é a velocidade relativa de um cor-
po em relação a outro;
Dt é ointervalo de tempo; e
DSREL é a distância relativa entre os corpos.
Dado que o movimento das partículas é realizado na mes-
ma trajetória ou em trajetórias paralelas, as partículas po-
dem se mover no mesmo sentido ou em sentidos opostos, 
como ilustrado na figura abaixo.
VA
VB
Vrelativa = | VB | – | VA
 | ; VB > VA
VA
VB
Vrelativa = | VB | + | VA
 |
1.2.1. As velocidades têm a mesma 
direção e mesmo sentido
Em casos de aproximação, como de afastamento, o mó-
dulo da velocidade relativa entre as partículas é dada pela 
diferença entre os módulos das suas velocidades.
vREL = |vMAIOR| – |vMENOR|
As velocidades têm a mesma 
direção e sentidos contrários
Em casos de aproximação, como de afastamento, o mó-
dulo da velocidade relativa entre as partículas é dada pela 
soma dos módulos das suas velocidades.
vREL = |vMAIOR| + |vMENOR|
 Aplicação do conteúdo
1. Três móveis, A, B e C, encontram-se numa trajetória 
retilínea descrevendo movimentos uniformes, de acor-
do com a figura a seguir:
Determine:
a) a velocidade de A em relação a B;
b) a velocidade de B em relação a C;
c) a velocidade de C em relação a A.
Resolução:
a) O móvel A está na mesma direção e sentido que o corpo 
B, logo a velocidade relativa será:
vAB = |vA| – |vB| vAB = |5| – |8| 
 vAB = –3 m/s.
Temos que o móvel A nunca irá encontrar o móvel B, pois a 
sua velocidade relativa é de afastamento (vAB < 0).
b) O móvel B está na mesma direção porém em um sentido 
contrário do corpo C, logo a velocidade relativa será:
vBC = |vB| + |vC| vBC = |8| + |–4| 
 vBC = 8 + 4 vBC = 12 m/s.
Temos que o móvel B irá encontrar o corpo C, pois a sua 
velocidade relativa é de aproximação (vBC > 0).
c) O móvel C está na mesma direção, porém em um sentido