Matemática - Teórico_VOLUME6

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Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em pe-
ríodo integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos 
de aula e 107 livros, totalizando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto 
contém uma rica teoria que contempla, de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de 
material alternativo complementar. Para melhorar a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A 
seguir, apresentamos cada seção:
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cuidadosa 
seleção de conteúdos multimídia para complementar o repertório 
do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreensão, com 
indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. Tudo isso é en-
contrado em subcategorias que facilitam o aprofundamento nos 
temas estudados – há obras de arte, poemas, imagens, artigos e até 
sugestões de aplicativos que facilitam os estudos, com conteúdos 
essenciais para ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, 
em uma seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais 
o conhecimento do nosso aluno.
multimídia
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu 
distanciamento da realidade cotidiana, o que dificulta a compreensão 
de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos temas 
para além da superficial memorização de fórmulas ou regras. Para 
evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida 
a seção “Vivenciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma 
preocupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações entre 
aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato em 
seu dia a dia.
vivenciando
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desempenho ao 
fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o 
aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas 
na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, 
a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de 
Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são 
apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva 
e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. 
Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a 
apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resolvê-
-las com tranquilidade.
áreas de conhecimento do Enem
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, cria-
mos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los 
em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aque-
les que aprendem visualmente os conteúdos e processos por meio 
de esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo 
da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos 
principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organiza-
ção dos estudos e até a resolução dos exercícios.
diagrama de ideias
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é ela-
borada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata 
de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não 
exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos 
conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abrangem 
conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, como Bio-
logia e Química, História e Geografia, Biologia e Matemática, entre 
outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com essa realidade 
por meio de explicações que relacionam a aula do dia com aulas 
de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, sempre utilizan-
do temas da atualidade. Assim, o aluno consegue entender que 
cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz parte de uma 
grande engrenagem no mundo em que ele vive.
conexão entre disciplinas
Herlan Fellini
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desenvol-
vida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos 
principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo 
o território nacional.
incidência do tema nas principais provas
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada coleção 
tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolução das ques-
tões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, com-
pletos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas 
que complementam as explicações dadas em sala de aula. Qua-
dros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados 
e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno 
que vai se dedicar à rotina intensa de estudos.
teoria
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fazem 
parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compilados, 
deparamos-nos com modelos de exercícios resolvidos e comenta-
dos, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difícil com-
preensão torne-se mais acessível e de bom entendimento aos olhos 
do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, a qualquer 
momento, as explicações dadas em sala de aula.
aplicação do conteúdo
2
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SUMÁRIO
MATEMÁTICA
NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS
Aulas 45 e 46: Números complexos: representação geométrica e módulo 6
Aulas 47 e 48: Números complexos: forma trigonométrica 11
Aulas 49 e 50: Polinômios 18
Aulas 51 e 52: Operações com polinômios 30
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
Aulas 45 e 46: Matrizes e operações 38
Aulas 47 e 48: Matriz inversa e equações matriciais 52
Aulas 49 e 50: Determinantes 56
Aulas 51 e 52: Sistemas lineares 69
GEOMETRIA ANALÍTICA
Aulas 45 e 46: Distância de ponto à reta, ângulos e áreas 88
Aulas 47 e 48: Circunferência: equações reduzida e normal 92
Aulas 49 e 50: Circunferência: posições relativas 98
Aulas 51 e 52: Secções cônicas: elipse 105
4
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidadede um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
5
NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS: Incidência 
do tema nas principais provas
UFMG
A prova apresenta questões medianas sobre 
números complexos. Já os polinômios podem 
aparecer na forma gráfica ou abordando 
assuntos de fatoração.
A prova apresenta os conteúdos deste livro, 
mesclando com geometria espacial e até 
mesmo trigonometria.
Em sua primeira fase, a prova apresenta 
questões diretas sobre polinômios e com baixa 
incidência de números complexos.
O candidato deve esperar uma questão 
contextualizada, com elevado grau, para poli-
nômios. Números complexos podem aparecer 
de forma direta em suas questões, porém, com 
baixa incidência.
A prova pode apresentar questões de polinô-
mios, abordando outras áreas da Matemática 
junto com alguma aplicação científica.
Esta prova procura elaborar questões de alto 
nível para seus candidatos. Ambos os temas 
têm uma boa incidência.
A Santa Casa pode trazer questões diretas e 
bem elaboradas sobre os dois grandes temas 
deste livro. As questões possuirão um grau 
mediano.
A prova do Enem não tem incidência de 
questões de números complexos e polinômios. 
Caso haja alguma questão, ela será relacionada 
com outros assuntos da Matemática e baixo 
nível de dificuldade.
Por se tratar de um vestibular tradicional, trará 
questões sobre números complexos envolvendo 
polinômios. O candidato deve estar atento ao 
realizar o mecanismo de Briot-Ruffini.
A prova apresenta questões de polinômios e 
números complexos, com dificuldades baixa 
e mediana.
A prova apresenta questões objetivas que 
serão diretas nas propriedades das operações 
polinomiais e dos números complexos.
A prova abordará os temas deste livro com 
questões medianas e fáceis. O candidato deve 
atentar-se a problemas com polinômios.
Não há uma boa incidência dos temas deste 
livro, porém, quando há alguma questão, 
observamos um alto nível de dificuldade e boa 
elaboração.
Números complexos e polinômios são temas 
com elevado índice de aplicação nesse 
vestibular.
A prova não tem uma boa incidência para 
números complexos, mas aproveita muitos 
conceitos de polinômios em suas questões.
6
 Números complexos: represeNtação 
geométrica e módulo
CompetênCia: 5 Habilidades: 20, 21, e 23
AULAS 
45 e 46
1. Divisão De números complexos
O quociente 
z1 __ z2
 entre dois números complexos, com z2 ≠ 0, 
é dado por 
z1 __ z2
 = 
z1 · 
— z 2 ____ 
z2 · 
— z 2
 
 Aplicação do conteúdo
1.Escreva na forma a + bi o número complexo 1 ____ 
3 – i
 .
Resolução:
 1 ____ 
3 – i
 = 1(3 + i) __________ 
(3 – i)(3 + i)
 = 3 + i _____ 
9 + 1
 = 3 ___ 
10
 + 1 ___ 
10
 i 
2. Efetue 
z1 __ z2
 , sabendo que z1 = 1 + 2i e z2 = 2 + 5i.
Resolução:
 
z1 __ z2
 = 1 + 2i _____ 
2 + 5i
 = (1 + 2i) (2 – 5i) ____________ 
(2 + 5i) (2 – 5i)
 = 2 – 5i + 4i – 10i
2
 _____________ 
22 + 52
 ä
 
z1 __ z2
 = 12 – i _____ 
29
 = 12 ___ 
29
 – 1 ___ 
29
 i
Logo, 
z1 __ z2
 = 12 ___ 
29
 – 1 ___ 
29
 i.
3. Calcule ( 1 ____ 1 – i ) 
 10
.
Resolução:
Escrevendo a base da potência na forma a + bi:
 1 ____ 
1 – i
 
 
= 1 ____ 
1 – i
 · (1 + i) ____ 
(1 + i)
 = 1 + i _____ 
1 + 1
 = 1 + i ____ 
2
 
Logo:
 ( 1 ____ 1 – i ) 
 10 
= ( 1 + i ____ 2 ) 
 10 
= ( 1 + i ) _____ 
210
 
10 
 
Para calcular (1 + i)10, lembramos que:
(1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i
Logo:
(1 + i)10 = [(1 + i)2]5 = [2i]5 = 32i 
Portanto, a potência é dada por:
 ( 1 + i ) _____ 
210
 
10 
= 32i _____ 
1024 
 = i ___ 
32
 
2. representação geométrica 
Dos números complexos
Como foi dito, os números complexos podem ser represen-
tados de várias formas. Até agora, foi vista a forma algé-
brica a + bi. Outra maneira de representar um complexo z 
é com um par ordenado de números reais. Se z = a + bi, 
pode-se escrever z = (a, b), notação usada por Gauss.
Por outro lado, a cada par de números reais (a, b) está as-
sociado um único ponto do plano. Logo, pode-se associar 
a cada número complexo z = a + bi o ponto P do plano de 
coordenadas a e b: P(a, b).
O plano cartesiano no qual estão representados os núme-
ros complexos é denominado plano complexo ou plano de 
Argand-Gauss. Diz-se que o ponto P(a, b) é o afixo do nú-
mero complexo a + bi.
i
R
Exemplo:
 § Representação geométrica dos números complexos:z1 = 3 – 2i, z2 = 5, z3 = –2i, z4 = 2 + i e z5 = –2 + i
z1 = 3 – 2i ä (3, –2)
z2 = 5 ä (5, 0)
z3 = – 2i ä (0, –2)
z4 = 2 + i ä (2, 1)
z5 = – 2 + i ä (–2, 1)
7
Notas
1. Os números complexos reais pertencem ao eixo x e 
mantêm a correspondência, segundo a qual para cada 
número real existe um ponto da reta.
2. Os números imaginários puros pertencem ao eixo y.
3. Os demais números complexos (a + bi, com a ≠ 0 e 
b ≠ 0) pertencem aos vários quadrantes, de acordo com 
os sinais de a e b.
4. Para cada número complexo existe um único ponto 
do plano e vice-versa.
5. A cada complexo z = a + bi pode-se associar um 
único vetor, com extremidades no ponto O, origem do 
sistema de coordenadas cartesianas, e no ponto P(a, 
b). Nesse plano complexo, além do número complexo 
z = a + bi, estão representados outros dois números 
complexos, z1 e z2, e a soma deles, z1 + z2 (diagonal do 
paralelogramo formado por z1 e z2).
6. A associação dos números complexos z = a + bi aos 
vetores permite o uso, em diversos campos, dos nú-
meros complexos e os de suas respectivas grandezas. 
Exemplo disso é o estudo da eletricidade em grau uni-
versitário. A corrente elétrica, a voltagem, a impedância 
etc. são tão grandes que podem ser representados por 
números complexos.
 Aplicação do conteúdo
1. Dados os números complexos z1 = –4 + 2i, z2 = –3i 
e z3 = 4, localize, no plano complexo, os pontos corres-
pondentes a cada número.
Resolução:
z1 = – 4 + 2i ä (–4, 2)
z2 = –3i ä (0, –3)
z3 = 4 ä (4, 0)
2. Determine os números complexos correspondentes 
aos pontos A, B, C, D e E nesta figura.
Resolução:
A (3, 0) ä z = 3
B (0, 2) ä z = 2i
C (2, 1) ä z = 2 + i
D (–2, – 1) ä z = –2 – i
E (1, –1) ä z = 1 – i
3. Dados os pontos correspondentes aos números com-
plexos z1 e z2, descubra os pontos correspondentes aos 
números –z1 e –z2.
R
i
i
R
i
i
R
R
8
Resolução:
P(1, 1) ä z1 = 1 + i ä –z1 = –1 – i ä P’ (–1, –1)
Q(–2, –1) ä z2 = –2 – i ä –z2 = 2 + i ä Q’ (2, 1)
4. Efetue, algébrica e geometricamente, a adição dos 
números complexos z1 = 1 + 2i e z2 = 4 + i.
Resolução:
Algebricamente: z1 + z2 = (1 + 2i) + (4 + i) = 5 + 3i = z3
Geometricamente: 
Observe que z3 corresponde ao ponto (5, 3), ou seja, ao 
número complexo z3 = 5 + 3i.
3. interpretação 
geométrica Do conjugaDo
Geometricamente, o conjugado  z de z é representado pelo 
simétrico de z em relação ao eixo x.
+ bi
4. móDulo De um número complexo
Geometricamente, o módulo de um número complexo é 
a distância da origem do sistema de coordenadas O ao 
afixo de z.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OAP, ob-
tém-se:
|z|2 = a2 + b2 ä |z| = dXXXXXX a2 + b2 
Essa igualdade vale também para os pontos situados nos 
eixos e nos demais quadrantes.
Pode-se dizer, portanto, que, dado um número complexo 
z = a + bi, chama-se módulo de z e indica-se por |z| o 
número real positivo ou nulo dado por:
|z| = dXXXXXX a2 + b2 
Nota
Há uma conexão interessante com a geometria analí-
tica. Pensando nos complexos z e w como pontos no 
plano, o módulo da diferença é a distância entre os dois 
pontos: |z – w| = d(z, w).
Observe que a definição geométrica de módulo de um nú-
mero complexo é a mesma de um número real: a distância 
do seu afixo até a origem, porém, quando trabalhamos com 
números reais, os representamos em uma reta.
 Aplicação do conteúdo
1. Determine o módulo dos seguintes números complexos:
a) z = 2 + 3i
Resolução:
Se z = 2 + 3i:
|z| = |2 + 3i| = dXXXXX 4 + 9 = dXXX 13 
b) z = 3i
Resolução:
Se z = 3i:
|z| = |3i| = dXX 9 = 3
i
i
R
R
i
R
9
c) z = –1 – 2i
Resolução:
Se z = –1 – 2i:
|z| = | –1 – 2i| = dXXXXXXXXXX (–1)2 + (–2)2 = dXXXXX 1 + 4 = dXX 5 
d) z = 1 __ 
2
 
Resolução:
Se z = 1 __ 
2
 :
|z| =  1 __ 2  = 1 __ 2 
e) z = –3
Resolução:
Se z = –3:
|z| = |– 3| = 3
f) z = 0
Resolução:
Se z = 0:
|z| = |0| = 0
2. Descubra a distância do ponto A(1, 2) ao ponto B(5, –1)
no plano de Argand-Gauss.
Resolução:
z = 1 + 2i e w = 5 – i
z – w = –4 + 3i
d(A, B) = |z – w| = | –4 + 3i| = dXXXXXX 16 + 9 = 5
5. proprieDaDes 
envolvenDo móDulo
1. Se z é um número complexo:
z  z = |z|2
Demonstração:
Sabe-se que:
z  z = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2
|z| = dXXXXXX a2 + b2 
Logo:
|z|2 = ( dXXXXXX a2 + b2 ) 2 = a2 + b2 = z · — z 
Portanto, z  z = |z|2.
2. Se z é um número complexo:
|z| = |  z |
Demonstração:
Dado z = a + bi, obtém-se:
  z = a – bi
|z| = dXXXXXX a2 + b2 
|  z | = dXXXXXXXX a2 + (–b)2 = dXXXXXX a2 + b2 
Portanto, |z| = |  z |.
3. Se z1 e z2 são números complexos:
|z1z2| = |z1||z2|
Demonstração:
De acordo com a primeira propriedade:
|z1z2|
2 = (z1z2) ( 
 z1z2 ) (I)
Mas sabe-se que:
(  z1z2 ) = 
 z1 
 z2 (II)
Se substituído (II) por (I), obtém-se:
|z1z2|
2 = z1 z2 
 z1 
 z2 = (z1 
 z1 ) (z2 
 z2 ) = |z1|
2|z2|
2 = (|z1||z2|)
2
Uma vez que o módulo é um número positivo ou nulo, ex-
trai-se a raiz quadrada de ambos os membros e chega-se 
ao que se pretendia demonstrar:
|z1z2| = |z1||z2|
10
 DIAGRAMA DE IDEIAS
NÚMEROS COMPLEXOS
REPRESENTAÇÃO 
GEOMÉTRICA
DIVISÃO
MÓDULO
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
 DO CONJUGADO
Z1 __ 
Z2
 = 
Z1 ∙ 
—
 Z 2
Z2 ∙ 
—
 Z 2
Z1 e Z2 → números complexos
 
—
 Z2 → conjugado do nº complexo Z2
Z = a + bi
Notação de Gauss
Z = (a, b)
Plano de Argand-Gauss
P(a, b) → afixo do
número complexo
Propriedades
- Números reais → pertencem ao eixo 
horizontal
- Números imaginários → pertencem ao 
eixo vertical
- Para cada número complexo existe um 
único ponto do plano e vice-versa.
Propriedades
Z 
—
 Z =  Z  2
  Z  =  
—
 Z  
  Z1Z2  =  Z1   Z2  
Z1 e Z2 → números complexos
R
P(a, b) 
a
b
i
O
O
Z
 
—
 Z 
 
—
 Z = (a, –b) = a – bi 
Z = (a, b) = a + bi 
R
i
  Z 
 
Z
P(a, b) 
ou afixo de 
z = a + bi 
a
b
A
y
  z  2 = a2 + b2
  z  = a2 +b2√
11
 Números complexos: 
forma trigoNométrica
CompetênCia: 5 Habilidades: 20, 21 e 23
AULAS 
47 e 48
1. Forma trigonométrica 
dos números complexos
Sabe-se que um número complexo z = a + bi é representa-
do por um ponto do plano com coordenadas (a, b) e coor-
denadas cartesianas do ponto z. Esse mesmo ponto pode 
ser representado por suas coordenadas polares:
1. o módulo do vetor 
 _____
 
›
 Oz , indicado por |z| ou ρ, represen-
tando a distância do ponto P à origem do plano (supondo 
|z| ≠ 0); e
2. o ângulo q, em que 0 ≤ q < 2p, que o vetor 
 _____
 
›
 Oz forma 
com o eixo x; esse ângulo q é denominado argumento de z 
(ou argumento principal de z) e é indicado por arg(z).
ρ
 § z = a + bi, z ≠ 0
 § |z| = ρ = dXXXXXX a2 + b2 
 § arg(z) = q
Foi visto em Trigonometria que:
cos q = a __ 
|z|
 sen q = b __ 
|z|
 (como 0 ≤ q < 2p)
Essas igualdades levam a:
 § cos q = a __ 
|z|
 ⇒ a = |z| · cos q
 § sen q = b __ 
|z|
 ⇒ b = |z| · sen q
Substituindo esses valores por z = a + bi, obtém-se:
z = a + bi = |z| · cos q + |z| · sen qi = |z|(cos q + i · sen q)
Assim:
z = |z|(cos q + i · sen q)
que é chamada forma trigonométrica ou forma polar de z.
 Aplicação do conteúdo 
1. Determine a representação geométrica e a forma tri-
gonométrica do número complexo dado em cada item:
a) z = 1 + i √
__
 3 
Resolução:
a = 1
b = dXX 3 
Portanto:
|z| = |1 + i √
__
 3 | = √
________
 12 + ( √
__
 3 )2 = √
__
 4 = 2
 § cos q = a __ 
|z|
 = 1 __ 
2
 
 § sen q = b __ 
|z|
 = 
dXX 3 ___ 
2
 
Assim, q = arg(z) = p __ 
3
 .
10
Portanto, a forma trigonométrica é dada por:
z = 2 ( cos p __ 3 + i · sen p __ 3 ) 
Im
Im
R
R
12
b) z = - 1 + i
Resolução:
a = –1
b = 1
|z| = |–1 + i| = √
________
 (-1)2 + 12 = √
__
 2 
 § cos q = a __ 
|z|
 = –1 ___ 
 dXX 2 
 = – 
dXX 2 ___ 
2
 
 § sen q = b __ 
|z|
 = 1 ___dXX 2 
 = 
dXX 2 ___ 
2
 
Assim, q = arg(z) = 3p ___ 
4
 .
Portanto, a forma trigonométrica é dada por:
z = √
__
 2 ( cos 3p ___ 4 + i · sen 3p ___ 4 ) 
2. Escreva na forma algébrica os seguintes números 
complexos:
a) z = 2 ( cos p __ 4 + i · sen 
p __ 
4
 ) 
Resolução:
z = 2 ( √
__
 2 ___ 
2
 + i ∙ √
__
 2 ___ 
2
 ) = 2 √
__
 2 ____ 
2
 + i ∙ 2 √
__
 2 ____ 
2
 = √
__
 2 + i √
__
 2 
Assim, z = √
__
 2 + i √
__
 2 .
b) z = 8 ( cos 7p ___ 6 + i sen 
7p ___ 
6
 ) 
Resolução:
z = 8 [ –cos p __ 6 + i ( –sen p __ 6 ) ] = 8 [ – √
__
 3 ___ 
2
 + i ( –1 ___ 2 ) ] 
z = –4 √
__
 3 – 4i
Assim, z = –4 √
__
 3 – 4i.
2. multiplicação de números complexos na Forma trigonométrica
Considere os números complexos z1 e z2 dados na forma trigonométrica:
z1 = |z1|(cos q1 + i · sen q1)
z2 = |z2|(cos q2 + i · sen q2 )
O produto z1z2 é dado por:
z1z2 = |z1|(cos q1 + i · sen q1) |z2| (cos q2 + i · sen q2) ⇒
z1z2 = |z1IIz2| (cos q1 + i · sen q1) (cos q2 + i · sen q2) ⇒
z1z2 = |z1||z2|[(cos q1 · cos q2 – sen q1 · sen q2) + i(sen q1 · cos q2 + sen q2 · cos q1)] 
Assim:
z1z2 = |z1||z2| [cos(q1 + q2) + i · sen(q1 + q2)]
O produto de dois números complexos escritos na forma trigonométrica é o número complexo, cujo módulo é igual ao 
produto dos módulos dos fatores e cujo argumento é igual à soma dos argumentos dos fatores, reduzida à primeira volta 
(0 ≤ arg (z1 z2) < 2p).
 Aplicação do conteúdo
1. Calcule o produto z1z2 com z1 = 2 ( cos p __ 4 + i · sen 
p __ 
4
 ) e z2 = 3 ( cos p __ 2 + i · sen 
p __ 
2
 ) .
Resolução:
Ao substituir os dados do problema pela fórmula, obtém-se:
z1z2 = 2 · 3 [ cos ( p __ 4 + p __ 2 ) + i · sen ( p __ 4 + p __ 2 ) ] = 6 ( cos 3p ___ 4 + i · sen 3p ___ 4 ) 
Im
R
13
Ao fazer a interpretação geométrica desse problema, 
obtém-se:
Em z1z2, houve uma rotação positiva a z1 de um ângulo 
igual ao ângulo de z2. Ou seja, nesse caso, houve uma rota-
ção de p __ 
2
 a z1. Como o argumento de z1 era 
p __ 
4
 e z1 recebeu 
uma rotação de p __ 
2
 , o produto z1 e z2 passa a ter argumento 
igual a p __ 
4
 + p __ 
2
 = 3p ___ 
4
 . O módulo, que é 6, corresponde a 
2 · 3 ou |z1||z2|.
Nota
A fórmula da multiplicação de dois números complexos, 
de acordo com a qual basta multiplicar os módulos e 
somar seus argumentos, é válida para um número 
qualquer finito de valores. Isso levará à potenciação de 
números complexos.
3. divisão de números complexos 
na Forma trigonométrica
Dados os números complexos z1 e z2 na forma trigonométrica:
z1 = |z1|(cos q1 + i · sen q1)
z2 = |z2|(cos q2 + i · sen q2 )
O quociente 
z1 __ z2
 , para z2 ≠ 0, pode ser obtido assim:
 
z1 __ z2
 = 
|z1| ___ 
|z2|
 [cos(q1 – q2) + i · sen(q1 – q2)]
A demonstração dessa relação pode ser realizada mostran-
do que o produto de 
|z1| ___ 
|z2|
 [cos(q1 – q2) + i · sen(q1 – q2)] por 
z2 é igual a z1.
O quociente de dois números complexos na forma trigono-
métrica, com o segundo número diferente de 0, é o número 
complexo, cujo módulo é o quociente dos módulos e cujo 
argumento é a diferença dos argumentos dos dois números 
na ordem dada, reduzida à primeira volta ( 0 ≤ arg ( z1 __ z2 ) < 2p ) .
 Aplicação do conteúdo
1. Calcule o quociente 
z1 __ z2
 para z1 = 2 ( cos p __ 4 + i · sen 
p __ 
4
 ) e 
z2 = 3 ( cos p __ 2 + i · sen 
p __ 
2
 ) .
Resolução:
Ao substituir z1 e z2 na fórmula dada, obtém-se:
 
z1 __ z2
 = 2 __ 
3
 [ cos ( p __ 4 – p __ 2 ) + i · sen ( p __ 4 – p __ 2 ) ] = 
 2 __ 
3
 [ cos ( – p __ 4 ) + i · sen ( – p __ 4 ) ] = 2 __ 3 [ cos 7p ___ 4 + i · sen 7p ___ 4 ] 
Assim, 
z1 __ z2
 = 2 __ 
3
 [ cos 7p ___ 4 + i · sen 7p ___ 4 ] .
4. potenciação de números complexos na Forma 
trigonométrica – primeira Fórmula de de moivre
A potência zn, n ∈ N*, é dada por zn = z · z · z ... z
n vezes
.
Se um número complexo z estiver escrito na forma trigonométrica z = |z|(cos q + i · sen q), obtém-se:
zn = z · z · z ... z
multiplicação 
de n fatores
 = |z| · |z| · |z| ... |z|
produto de n módulos
 [cos(q + q + ... +q
soma de n 
argumentos
) + i sen(q + q + q ... q
soma de n 
argumentos
)] ⇒ 
⇒  zn = |z|n[cos(nq) + i · sen(nq)] (fórmula de De Moivre)
Para n = 0, obtém-se:
z0 = |z|0[cos (0 · q) + i · sen (0 · q)] = 1 (cos 0 + i · sen 0) = 1(1 + 0) = 1
14
Assim, é possível afirmar que a potência de ordem n de 
um número complexo escrito na forma trigonométrica é o 
número complexo, cujo módulo é igual ao módulo do nú-
mero elevado a n e cujo argumento é igual ao argumento 
do número multiplicado por n, reduzido à primeira volta 
(0 ≤ arg(zn) < 2p).
 Aplicação do conteúdo
1. Dado o número z = 2 ( cos p __ 4 + i · sen 
p __ 
4
 ) , determine z7.
Resolução:
Na forma trigonométrica, tem-se:
z7 = [ 2 ( cos p __ 4 + i · sen p __ 4 ) ] 7 = 27 ( cos 7 · p __ 4 + i · sen 7 · p __ 4 ) = 
z7 = 128 ( cos 7p ___ 4 + i · sen 7p ___ 4 ) 
Assim, z7 = 128 ( cos 7p ___ 4 + i · sen 7p ___ 4 ) .
Na forma algébrica, tem-se:
z = 2 ( cos p __ 4 + i · sen p __ 4 ) = 2 ( √
__
 2 ___ 
2
 + i · √
__
 2 ___ 
2
 ) = 
z = √
__
 2 + i √
__
 2 
z7 = 128 ( cos 7p ___ 4 + i · sen 7p ___ 4 ) = 
z7 = 128 ( √
__
 2 ___ 
2
 – i · √
__
 2 ___ 
2
 ) = 
z7 = 64 √
__
 2 – 64 √
__
 2 i
Assim, z7 = 64 √
__
 2 – 64 √
__
 2 i.
2. Determine o menor valor de n ∈ N*, para o qual 
(2 dXX 3 i + 2)n é real e positivo.
Resolução:
Ao passar o número z = 2 + 2 √
__
 3 i para a forma trigono-
métrica, obtém-se:
|z| = √
_________
 22 + (2 √
__
 3 )2 = √
______
 4 + 12 = 4
 § cos q = a __ 
|z|
 = 2 __ 
4
 = 1 __ 
2
 
 § sen q = b __ 
|z|
 = 2 
dXX 3 ____ 
4
 = 
dXX 3 ___ 
2
 
Assim, q = p __ 
3
 (60º).
Ao usar a fórmula de De Moivre, obtém-se:
zn = |z|n(cos nq + i · sen nq) =
zn = 4n ( cos np ___ 3 + i sen np ___ 3 ) 
Para que zn seja real e positivo, deve-se ter:
sen np ___ 
3
 = 0 cos np ___ 
3 
 > 0
Uma vez que n ∈ N*, deve-se fazer:
n = 1 ⇒ sen 1p ___ 
3
 = 
dXX 3 ___ 
2
 ≠ 0
n = 2 ⇒ sen 2p ___ 
3
 = 
dXX 3 ___ 
2
 ≠ 0
n = 3 ⇒ sen 3p ___ 
3
 = 0 e cos 3p ___ 
3
 = cos p = –1 < 0
n = 6 ⇒ sen 6p ___ 
3
 = sen 2p = 0 e 
cos 6p ___ 
3
 = cos 2p = 1 > 0
Assim, o menor valor de n ∈ N* é 6.
Nesse caso, tem-se:
(2 √
__
 3 i+ 2)6 = 46(cos 2p + i · sen 2p) = 4.096 (real positivo)
5. radiciação – raízes 
enésimas de números complexos
Dado um número complexo z e um número natural n, n > 1, 
definimos em C:
Raiz enésima de z é um número complexo tal que xn = z.
Exemplos:
1. 2, –2, 2i e –2i são as raízes quartas do número 
complexo 16.
2, uma vez que 24 = 16
–2, uma vez que (–2)4 = 16
2i, uma vez que (2i)4 = 16
–2i, uma vez que (– 2i)4 = 16
Em C há, portanto, quatro raízes quartas de 16.
2. i e – i são as raízes quadradas do número complexo –1.
i, uma vez que i2 = –1 
–i, uma vez que (–i)2 = –1
Em C há, portanto, duas raízes quadradas de –1.
3. 3 e –3 são as raízes quadradas do número complexo 9.
3, uma vez que 32 = 9
–3, uma vez que (–3)2 = 9
Em C há, portanto, duas raízes quadradas de 9.
4. 1, –1, i e – i são as raízes quartas do número 
complexo 1.
15
1, uma vez que 14 = 1
–1, uma vez que (–1)4 = 1
i, uma vez que i4 = 1
– i, uma vez que (–i)4= 1
Em C há, portanto, quatro raízes quartas de 1.
5. A única raiz quinta de 0 é 0, uma vez que 0 é o único 
número complexo tal que 05 = 0.
A pergunta então é: Quantas são as raízes enésimas de um 
número complexo z ≠ 0 e como podemos determiná-las? 
Isso será analisado com a segunda fórmula de De Moivre.
5.1. A segunda fórmula de De Moivre
Considere o número complexo z ≠ 0 tal que z = |z|(cosq + i ·senq). 
Encontrar as raízes enésimas de z significa determinar to-
dos os números complexos distintos do tipo:
w = |w| (cosa + i · sena)
De modo que wn = z, para n > 1, isto é, procurar números 
w tal que:
[|w|(cosa + i · sena)]n = |z|(cosq + i · senq)
Da igualdade:
wn = |w|n (cos na + i · sen na)n = z = |z|(cosq + i · senq)
Resulta:
 § |w|n = |z|
 § cos na = cos q
 § sen na = sen q
De |w|n = |z|, obtém-se |w| = n dXXX |z| (sempre real e positivo).
De cos na = cosq e sen na = senq, obtém-se:
na = q + 2kp ⇒ a =  + 2kp _______ n (com k ∈ Z)
No entanto, para que 0 ≤ a < 2p, é necessário que 
0 ≤ k ≤ n – 1.
Em razão disso, conclui-se que:
wk = 
n
 dXXX |z| ( cos (  + 2kp _______ n ) + i · ( sen  + 2kp _______ n ) ) 
(segunda fórmula de De Moivre para k = 0, 1, 2, ..., (n –1)).
Em seguida a k = n – 1, os valores repetem-se. De 0 a n – 
1, obtém-se n raízes distintas.
Observe que essa fórmula também pode ser escrita da se-
guinte maneira:
wk = 
n
 dXXX |z| [ cos (  __ n + k · 2p ___ n ) + i · sen (  __ n + k · 2p ___ n ) ] 
Qualquer número complexo z, não nulo, admite n raízes 
enésimas distintas. Todas elas têm módulo igual a n dXXX |z| e 
seus argumentos formam uma progressão aritmética de 
primeiro termo q __ n e razão 
2p ___ n .
Geometricamente, as n raízes são vértices de um polígono 
regular de n lados.
Assim, sabendo uma delas e sabendo quantas são no total, 
é possível obter as n – 1 raízes desconhecidas.
 Aplicação do conteúdo
1. Determine as raízes cúbicas de –i e interprete-as 
geometricamente.
Resolução:
Ao escrever z na forma trigonométrica, obtém-se:
z = –i
a = 0
b = –1
|z| = √
________
 02 + (–1)2 = √
__
 1 = 1
 § cos q = 0 __ 
1
 = 0
 § sen q = –1 ___ 
1
 = –1
Assim, q = arg(z) = 3p ___ 
2
 , pois 0 ≤ q < 2p.
Portanto:
z = 1 ( cos 3p ___ 2 + i · sen 3p ___ 2 ) 
Ao empregar a segunda fórmula de De Moivre, obtém-se:
wk = 
n
 dXXX |z| ( cos  + 2kp _______ n + i · sen  + 2kp _______ n ) =
= 3 √
__
 1 ( cos 3p ___ 2 + 2kp ________ 3 + i · sen 
3p ___ 
2
 + 2kp
 ________ 
3
 ) 
 3 √
__
 1 = 1 (real positivo)
16
Uma vez que n = 3, k poderá ser 0, 1 ou 2:
 § para k = 0
 
 3p ___ 
2
 + 2kp
 ________ 
3
 = 
 3p ___ 
2
 
 ___ 
3
 = 3p ___ 
6
 = p __ 
2
 
 § para k = 1
 
 3p ___ 
2
 + 2kp
 ________ 
3
 = 
 3p ___ 
2
 + 2p
 _______ 
3
 = 
 7p ___ 
2
 
 ___ 
3
 = 7p ___ 
6
 
 § para k = 2
 
 3p ___ 
2
 + 2kp
 ________ 
3
 = 
 3p ___ 
2
 + 4p
 _______ 
3
 = 
 11p ____ 
2
 
 ____ 
3
 = 11p ____ 
6
 
Observe que p __ 
2
 = 3p ___ 
6
 , 7p ___ 
6
 , 11p ____ 
6
 é uma PA de razão 4p ___ 
6
 .
w0 = 0 + i · 1 = i
w1 = 
– √
__
 3 ____ 
2
 – 1 __ 
2
 i
w2 = 
 √
__
 3 ___ 
2
 – 1 __ 
2
 i
Interpretando geometricamente, as três raízes cúbicas es-
tão sobre uma circunferência de raio |w| = 1 e dividem a 
circunferência em três arcos congruentes de 4p ___ 
6
 rad, for-
mando um triângulo equilátero de vértices P0, P1 e P2. Se 
fosse calculado w3, resultaria que w3 = w0 e P3 coincidiria 
com P0; e assim por diante: P4 = P1, P5 = P2 etc.
6. equações binomiais 
e trinomiais
Qualquer equação que possa ser reduzida à forma axn + b = 0 
(com a ∈ C e b ∈ C, a ≠ 0 e n ∈ N) é denominada 
equação binômial.
Para resolvê-la, deve-se isolar xn no primeiro membro e 
aplicar a segunda fórmula de De Moivre:
axn + b = 0 ⇒ xn = –b ___ a 
Essa equação admite n raízes enésimas de –b ___ a .
Outro tipo muito comum de equação que compreende nú-
meros complexos é o que se pode reduzir à denominada 
equação trinomial:
ax2n + bxn + c = 0
(com a ∈ C, e b ∈ C, a ≠ 0, b ≠ 0 e n ∈ N)
Para resolvê-la, deve-se fazer uma mudança de variável 
xn = y e obter uma equação do segundo grau:
ay2 + by + c = 0
As soluções são y’ e y’’.
Volta-se então para as equações anteriores, pois y’ = xn e 
y’’ = xn.
Ao resolvê-las, são obtidas as raízes da equação inicial.
 Aplicação do conteúdo
1. Resolva a equação 2x3 – 16i = 0 em C.
Resolução:
2x3 – 16i = 0 ⇒ 2x3 = 16i ⇒ x3 = 8i
Calcule as raízes cúbicas de 8i:
z = 8i
a = 0
b = 8
|z| = √
_________
 02 + 82 = 8
 § cos q = 0 __ 
8
 = 0
 § sen q = 8 __ 
8
 = 1
Assim, q = arg(z) = p __ 
2
 , pois 0 ≤ q < 2p.
Portanto:
z = 8i = 8 ( cos p __ 2 + i sen p __ 2 ) 
Uma vez que n = 3, 0 ≤ k ≤ 2, 3 dXX 8 = 2 e q = p __ 
2
 , obtém-se:
w0 = √
__
 3 + i
w1 = – √
__
 3 + i
w2 = –2i
Portanto, o conjunto solução da equação 2x3 – 16i = 0 é:
S = { √
__
 3 + i, – √
__
 3 + i, –2i}.
17
 DIAGRAMA DE IDEIAS
NÚMEROS COMPLEXOS
EQUAÇÕES
FORMA TRIGONOMÉTRICA
R
Z = a + bi
ou
P(a, b) 
q   Z  = ρ 
a
b
Im
O
• |Z  = ρ = a2 + b2
• arg (Z) = q
• a =  Z  · cosq
• b =  Z  · senq
Z =  Z  (cosq + i · senq)
Seja:
Z1 =  Z1  (cosq1 + i · senq1)
Z2 =  Z2  (cosq2 + i · senq2)
Multiplicação
Z1 Z2 = | Z1| |Z2| [cos(q1 + q2) + i·sen(q1 + q2)]
Divisão
 
Z1 __ 
Z2
 = 
  Z1  ___ 
  Z2  
 [cos(q1 – q2) + i · sen (q1 – q2)]
Potenciação → fórmula de De Moivre
Zn =  Z  n [cos(nq) + i · sen(nq)]
Binomiais
axn + b = 0
xn = -b __ a 
Trinomiais
ax2n + bxn + c = 0
Mudança de variável
xn = y
ay2 + by + c = 0
 √
_________
 
18
 Polinômios
CompetênCia: 5 Habilidades: 20, 21 e 23
AULAS 
49 e 50
1. Introdução
Na resolução de problemas, é frequente a ocorrência de 
situações em que a leitura e a compreensão dos enuncia-
dos levam à formulação de expressões que permitem resol-
vê-los por meio de uma equação oriunda das expressões 
obtidas. Considere que os enunciados de determinados 
problemas levem a estas figuras e suas dimensões:
A primeira delas é uma região retangular de dimensões x e 
x + 3, cujo perímetro é indicado pela expressão:
2x + 2(x + 3) ou 4x + 6
E cuja área é indicada por:
x(x + 3) ou x2 + 3x
A segunda figura é um cubo com arestas de medida x, cuja 
área total é indicada por:
6x2
E cujo volume é expresso por:
x3
A terceira figura é outro cubo com arestas x + 2, cuja área 
total é:
6(x + 2)2 ou 6(x2 + 4x + 4) ou 6x2 + 24x + 24
E cujo volume é expresso por:
(x + 2)3 ou x3 + 6x2 + 12x + 8
2. defInIção
Expressão polinomial ou polinômio na variável complexa x 
é toda expressão da forma:
anx
n + an-1x
n-1 + an-2x
n-2 + ... + a2x
2 + a1x + a0
Em que:
 § an, an-1, an-2, ..., a2, a1 , a0 são números complexos deno-
minados coeficientes;
 § n é um número inteiro positivo ou nulo; e
 § o maior expoente de x, com coeficiente não nulo, é o 
grau da expressão.
Observe as seguintes expressões polinomiais:
1. 4x + 6: expressão polinomial do primeiro grau (grau 1).
2. x2 + 3x: expressão polinomial do segundo grau (grau 2).
3. x3: expressão polinomial do terceiro grau (grau 3).
4. 6x2 + (1 – i)x + 5: expressão polinomial do segundo 
grau (grau 2).
Por definição, não são expressões polinomiais:
 § x–2 + 3x–1 + 1, uma vez que o expoente da variável x 
não pode ser negativo.
 § x3 + 1 __ 
x2
 + 1 __ x , uma vez que a variável x não pode apare-
cer em denominador.
 § x + 5x + 6, uma vez que o expoente da variável x não 
pode ser fracionário.
 § 3 dXX x + 6 dXX x + 2, uma vez que a variável x não pode 
aparecer sob radical.
3. função polInomIal
As funções complexas f: C é C definidas por expressões 
polinomiais são denominadas funções polinomiais:
19
 § f(x) = 2x – 1 é uma função polinomial de grau 1.
 § g(x) = 3x2 – 2x – 1 é uma função polinomial de grau 2.
 § h(x) = 3x3 – 6x2 + x – 1 é uma função polinomial de 
grau 3.
 § p(x) = x4 – ix2 é uma função polinomial de grau 4.
Assim, toda função definida por:
f(x) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + a2x
2 + a1x + a0
para todo x complexo, é denominada função polinomial de 
grau n, em que n é um número inteiro positivo ou nulo, e 
an é diferente de 0.
Se o grau de uma função polinomial for 0,a função será 
definida por f(x) = a0.
Exemplos:
1. f(x) = 5
2. p(x) = –2
4. polInômIo
A cada função polinomial associa-se um único polinômio 
(ou expressão polinomial) e vice-versa. Por essa razão, é 
possível se referir indistintamente às funções polinomiais 
ou aos polinômios.
Exemplos:
1. p(x) = 5 é um polinômio de grau 0 ou polinômio constante.
2. p(x) = 2x + 1 é um polinômio do primeiro grau.
3. p(x) = x2 – 5x + 6 é um polinômio do segundo grau.
4.1. Polinômio identicamente nulo
Define-se o polinômio identicamente nulo (Pin) como o 
polinômio cujos coeficientes são todos nulos: p(x) = anx
n + 
an-1x
n-1 + ... + a1x + a0 é um polinômio nulo se, e somente 
se, an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0.
 Aplicação do conteúdo
1.Dado o polinômio p(x) = (m2 – 1)x3 + (m + 1)x2 – x + 4, 
com m [ R, discuta o grau de p(x).
Resolução:
Reduza os coeficientes de x3 e x2 a 0:
m2 – 1 = 0 ä m2 = 1 m = + – 1
m + 1 = 0 ä m = –1
Analise-os:
 § se m ≠ 1 e m ≠ –1, o polinômio será do terceiro grau;
 § se m = 1, o polinômio será do segundo grau;
 § se m = –1, o polinômio será do primeiro grau.
Calcule os valores de a, b e c para os quais o polinômio 
p(x) = (a + b)x2 + (a – b – 4)x + (b + 2c – 6) seja nulo:
Se p(x) = 0 ä 
Ao reunir (I) e (II), obtém-se:
Resolvido o sistema, obtém-se a = 2 e b = –2.
Substituído b por (III), obtém-se:
b + 2c – 6 = 0 ä –2 + 2c – 6 = 0 ä 
ä 2c = 8 ä c = 4
Logo, a = 2, b = –2 e c = 4.
5. Valor numérIco 
de um polInômIo
Considere um polinômio p(x) e um número real a.
O valor numérico do polinômio p(x) para x = a é o número 
que se obtém ao substituir x por a e ao se efetuarem os 
cálculos necessários. Indica-se p(a).
Portanto, p(a) é o valor numérico de p(x) para x = a.
Exemplos:
1. O valor numérico de p(x) = 2x2 – 3x + 5 para x = 4 é:
p(4) = 2(4)2 – 3(4) + 5 = 32 – 12 + 5 = 25
Assim, p(4) = 25.
2. Dado p(x) = 4x3 – 3x2 + 5x – 10, o valor de p(x) para 
x = 3 é:
p(3) = 4(3)3 – 3(3)2 + 5(3) – 10 = 
p(3) = 108 – 27 + 15 – 10 = 86
Assim, p(3) = 86.
3. Se p(x) = – 3x2 – 7, logo, para x = 1, o valor numérico 
de p(x) será:
p(1) = –3 – 7 = –10.
Portanto, de modo geral, dado o polinômio:
p(x) = anx
n + an – 1x
n – 1 + an – 2x
n – 2 + ... + a1x + a0
20
o valor numérico de p(x) para x = a será:
p(a) = ana
n + an – 1a
n – 1 + an – 2a
n – 2 + ... + a1a + a0
Notas
Se a = 1, o valor numérico de p(x) 
será a soma de seus coeficientes:
p(1) = an · 1
n + an – 1 · 1
n – 1 + an – 2 · 1
n – 2 · 1n – 2 + ... + 
+ a1 · 1 + a0 ä
ä p(1) = an + an – 1 + an – 2 + ... + a1 + a0
Se a = 0, o valor numérico de p(x) 
será o termo independente:
p(0) = an · 0
n + an – 1 · 0
n – 1 + an – 2 · 0
n – 2 + ... +
+ a1 · 0 + a0 ä p(0) = a0
Aplicação do conteúdo
1. Dado o polinômio p(x) = 2x3 – x2 + x + 5, calcule 
p(2) – p(–1).
Resolução:
Calculando p(2) e p(–1) separadamente, obtém-se:
p(2) = 2(2)3 – (2)2 + 2 + 5 = 16 – 4 + 2 + 5 = 19
p(–1) = 2(–1)3 – (–1)2 + (–1) + 5 = –2 – 1 – 1 + 5 = 1
Assim:
p(2) – p(–1) = 19 – 1 = 18
2. Dado o polinômio, na forma fatorada, p(x) = (x2 + 2)2 
(x3 – 2)5, determine o que se pede em cada item:
a) a soma de seus coeficientes;
Resolução:
Para se obter a soma dos coeficientes, basta fazer:
p(1) = (12 + 2)2 (13 – 2)5 = 32 · (–1)5 = –9
b) o termo independente.
Resolução:
Para se obter o termo independente, basta fazer:
p(0) = (02 + 2)2 (03 – 2)5 = 22 · (–2)5 = 
p(0) = 4(–32) = –128
3. Um polinômio p(x) é do segundo grau. Sabendo que 
p(2) = 0, p(–1) = 12 e p(0) = 6, escreva o polinômio e 
determine p(5).
Resolução:
Se p(x) é um polinômio de segundo grau, sua forma é:
p(x) = ax2 + bx + c
Assim:
p(2) = 0 ä a(2)2 + b(2) + c = 0 ä 
ä 4a + 2b + c = 0 (I)
p(–1) = 12 ä a(–1)2 + b(–1) + c = 12 ä
ä a – b + c = 12 (II)
p(0) = 6 ä a(0)2 + b(0) + c = 6 ä 
 ä c = 6 (III)
Substituindo (III) por (I) e (II), obtém-se:
Resolvido o sistema, obtém-se a = 1 e b = –5.
Sabendo que a = 1, b = –5 e c = 6, escreve-se:
p(x) = x2 – 5x + 6
Calculando p(5):
p(5) = (5)2 – 5(5) + 6 = 25 – 25 + 6 = 6
Assim, p(x) = x2 – 5x + 6 e p(5) = 6.
6. Igualdade de polInômIo
Dois polinômios são iguais ou idênticos se, e somente se, 
seus valores numéricos forem iguais para todo a [ C:
p(x) = q(x) à p(a) = q(a)(? a [ C)
Para que isso ocorra, a diferença p(x) – q(x) deve ser 
o Pin. Portanto, dois polinômios p(x) e q(x) são iguais 
se, e somente se, tiverem coeficientes respectivamente 
iguais (os coeficientes dos termos de mesmo grau são 
todos iguais).
Exemplo
Dados os polinômios p(x) = ax3 + bx2 + cx + d e 
q(x) = 2x3 + 5x2 – 4x + 3, obtém-se:
p(x) = q(x) à a = 2, b = 5, c = –4 e d = 3
21
7. raIz de um polInômIo
Já foi visto que p(a) é o valor numérico do polinômio p(x) 
para x = a.
Se um número complexo (real ou imaginário) a for tal que 
p(a) = 0, esse número a será denominado raiz do polinômio 
p(x).
Exemplos:
1. Dado o polinômio p(x) = x2 – 7x + 10, obtém-se:
p(5) = 0 ä 5 é raiz de p(x).
p(3) = –2 ä 3 não é raiz de p(x).
2. Dado o polinômio p(x) = x3 – 3x2 + 2, obtém-se:
p(1) = 0 ä 1 é raiz de p(x).
p(3) = 2 ä 3 não é raiz de p(x).
3. O número i é raiz do polinômio p(x) = x2 + 1, pois 
p(i) = –1 + 1 = 0.
 Aplicação do conteúdo
1. Sabendo que –3 é raiz de p(x) = x3 – 4x2 – ax + 48, 
calcule o valor de a.
Resolução:
Se –3 é raiz de p(x), logo p(–3) = 0.
Portanto:
p(–3) = (–3)3 – 4(–3)2 – a(–3) + 48 = 0 ä
–27 – 36 + 3a + 48 = 0 ä 3a = 15 ä
ä a = 5
Assim, a = 5.
2. O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx admite as raízes 6 e 1.
Calcule os coeficientes a e b.
Resolução:
Se p(x) admite a raiz 6, logo p(6) = 0.
p(6) = 63 + a(6)2 + b(6) = 0 ä 
ä 216 + 36a + 6b = 0 ä 36 + 6a + b = 0
Se p(x) admite a raiz 1, logo p(1) = 0.
p(1) = 13 + a(1)2 + b(1) = 0 ä 1 + a + b = 0
Formando o sistema:
Ao resolver o sistema, obtém-se a = –7 e b = 6.
Assim, a = – 7 e b = 6.
8. equações polInomIaIs 
ou algébrIcas
Equação polinomial ou algébrica é toda equação que pode 
ser escrita na forma:
anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0 = 0 (com an ≠ 0)
da qual os an (an, an – 1, ..., a2, a1, a0) são elementos do 
conjunto dos números complexos, n [ N* e n representa 
o grau da equação.
Exemplos:
1. 3x + 1 = 0 é uma equação algébrica do primeiro grau.
2. x2 – 3x – 4 = 0 é uma equação algébrica do segundo grau.
3. x3 – 2x2 + x – 2 = 0 é uma equação algébrica do 
terceiro grau.
4. x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0 é uma equação algébrica 
do quarto grau.
5. 3x2 – 2ix + 1 = 0 é uma equação algébrica do segundo grau.
8.1. Raiz ou zero de uma equação 
polinomial ou algébrica
anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0 = 0
O valor a de x que satisfaz a igualdade, isto é, o valor tal que:
ana
n + an – 1a
n – 1 + ... + a1a + a0 = 0
Exemplos:
1. x2 – 7x + 10 = 0 admite x = 5 como raiz:
(5)2 – 7(5) + 10 = 25 – 35 + 10 = 0
2. x3 – 3 x2 + 2 = 0 admite x = 1 como raiz:
(1)3 – 3(1)2 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0
3. x4 + x3 – x2 – 4 = 0 admite x = –2 como raiz:
(–2)4 + (–2)3 – (–2)2 – 4 = 16 – 8 – 4 – 4 = 0
4. x2 + 1 = 0 admite x = i como raiz:
i2 + 1 = –1 + 1 = 0
22
De acordo com esse teorema, é possível mostrar que os 
polinômios de grau n > 1 podem ser decompostos num 
produto de fatores do primeiro grau.
Exemplos:
1. 2 é raiz de p(x) = x2 + 3x – 10, uma vez que p(2) = 0. De acor-
do com o teorema de D’Alembert, p(x) é divisível por x – 2:
q1(x) = x + 5
Portanto:
p(x) = (x – 2) ⋅ q1(x) = (x – 2)(x + 5)
2. –1 é raiz de p(x) = x3 – 2x2 – x + 2, uma vez que p(–1) = 0. De 
acordo com o teorema de D’Alembert, p(x) é divisível 
por x + 1:
q(x) = x2 – 3x + 2
Portanto:
p(x) = (x + 1) ⋅ q(x) = (x + 1)(x2 – 3x + 2)
Resolvendo x2 – 3x + 2 = 0, de acordo com a fórmula de 
Bhaskara, obtém-se as raízes 1 e 2:
q(x) = x2 – 3x + 2 = (x – 1) (x – 2)
Em razão disso, pode-se escrever:
p(x) = (x + 1)(x – 2)(x – 1)
8.5. Generalização
Dado o polinômio de grau n, do qual n > 1:
p(x) = anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0
se x1, x2, …, xn são raízes de p(x), pode-se escrevê-lo desta 
forma:
p(x) = (x – x1) (x – x2) (x – x3)... (x – xn)⋅ qn(x), com 
q n (x) = an
Assim:
p(x) = an(x – x1) (x – x2) (x – x3)... (x – xn)
da qual xn são as raízes de p(x) e an é o coeficiente de x
n.
8.2. Conjunto solução de 
uma equação algébrica
Trata-se do conjunto das raízes da equação.
Exemplos:
1. x2 – 7x + 10 = 0 3. x3 + x2 – 4x – 4 = 0
S = {2, 5} S = {–2, –1, 2}
2. 3x – 5 = 0 4. x2 + 1 = 0
S = { 5 __ 3 } S = {–i, i}
8.3. Determinação das raízes 
de uma equação algébrica
O objetivo é determinar o conjunto solução formado pelas 
raízes de uma equação algébrica, ou seja, resolver a equa-
ção da forma p(x) = 0, da qual p(x) é um polinômio.
Foi visto como resolver equações do primeiro e do segundo 
graus por meio de fórmulas simples, além de algumas de 
grau maior do que 2 por meio de fatoração ou outro artifício:
 § ax + b = 0 (como a ≠ 0) ä x = – b __ a (raiz da equação 
de primeiro grau);
 § ax2 + bx + c = 0 (com a ≠ 0) ä
ä x = –b ± dXX D _______ 
2a
 (raízes da equação de segundo grau), 
em que D = b2 – 4ac.
Não faltaram esforços para encontrar fórmulas que permi-
tissem resolver qualquer equação algébrica de grau maior 
que 2, como estas:
 § x4 – 6x2 – 7x + 60 = 0
 § x4 – 8x3 – 25x2 + 44 = 0
Por fim, concluiu-se que o melhor meio de resolver essas equa-
ções polinomiais é realizar estimativas de possíveis soluções.
A seguir, serão examinados alguns métodos que permitem 
estimar uma ou mais raízes de uma equação polinomial e, 
com isso, determinar todas elas.
8.4. Decomposição em 
fatores de primeiro grau
Em 1799, o matemático alemão Carl F. Gauss (1777-1855) 
demonstrou o Teorema Fundamental da Álgebra:
Toda equação algébrica p(x) = 0 de grau n (n > 1) tem pelo 
menos uma raiz complexa (real ou não).
23
 Aplicação do conteúdo
1. Uma das raízes da equação 2x3 – 4x2 – 2x + 4 = 0 é 1. 
Resolva a equação.
Resolução:
Se 1 é raiz de p(x) = 0:
p(x) = (x – 1) ⋅ q1 (x) = 0 ä x – 1 = 0 ou q1 (x) = 0
Se o grau de q1(x) é 2 e sabendo resolver uma equação 
do segundo grau, pode-se dizer que q1(x) = 0 fornece as 
demais raízes.
Ao determinar q1(x), obtém-se:
q1(x) = 2x
2 – 2x – 4
Ao determinar as raízes de q1(x) = 0, obtém-se:
2x2 – 2x – 4 = 0
D = 4 + 32 = 36
x = 2 ± 6 _____ 
4
 ä x’ = 2 e x” = –1
Assim, as demais raízes são 2 e –1 e o conjunto solução da 
equação é S = {–1, 1, 2}.
2. Resolva a equação x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0, sabendo 
que –2 e 1 são raízes da equação.
Resolução:
Se –2 e 1 são raízes de p(x), obtém-se:
p(x) = (x + 2)(x – 1) ⋅ q1(x) = 0.
Ao dividir p(x) por x + 2 e, em seguida, o coeficiente dessa 
divisão por x – 1, obtém-se:
q1(x) = x
2 – 2x – 3
Ao determinar as raízes de q1(x) = 0, obtém-se.
x2 – 2x – 3 = 0
D = 16
x = 2 ± 4 _____ 
2
 ä x’ = 3 e x” = –1
Assim, S = {–2, –1, 1, 3}.
3. Determine os valores de a, b e c, sabendo que as raízes 
da equação 3x3 + ax2 + bx + c = 0 são 1, –1 e 5.
Resolução:
Se 1, –1 e 5 são raízes da equação p(x) = 0, então p(x) é 
divisível por x – 1, x + 1 e x – 5.
Assim, tem-se:
-1
Uma vez que os restos devem ser iguais a zero:
Ao substituir os valores de a e b na primeira equação, ob-
tém-se:
a = –15, b = –3 e c = 15
8.6. Multiplicidade da raiz
Na decomposição de um polinômio p(x) de grau n > 0 em 
um produto de n fatores do primeiro grau, são encontrados 
dois ou mais fatores idênticos.
Numa equação algébrica de grau n, obtém-se n raízes, das 
quais algumas podem ser iguais, ou seja, toda equação al-
gébrica de grau n > 0 tem, no máximo, n raízes diferentes.
O número de vezes que uma mesma raiz aparece indica a 
multiplicidade da raiz.
Exemplos:
1. No polinômio p(x) = x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = (x – 3)
(x – 3), há dois fatores idênticos a x – 3. Nesse caso, 
afirma-se que 3 é raiz dupla ou de multiplicidade 2.
2. No polinômio p(x) = x3 – 3x – 2 = (x + 1) (x + 1) (x – 2) 
= (x + 1)2(x – 2), afirma-se que –1 é raiz dupla ou de mul-
tiplicidade 2, e 2 é raiz simples ou de multiplicidade 1.
3. No polinômio p(x) = x5 – 7x4 + 10x3 + 18x2 – 27x – 27 
= (x – 3)3(x + 1)2 = (x – 3)(x – 3)(x – 3)(x + 1)(x + 1), há 
três fatores idênticos a (x – 3) e dois fatores idênticos a 
(x + 1). Nesse caso, afirma-se que 3 é raiz tripla ou de 
multiplicidade 3 e –1 é raiz dupla ou de multiplicidade 2.
 Aplicação do conteúdo
1. Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio 
p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?
24
Resolução:
Eliminando sucessivas vezes a raiz 2 do polinômio até que 
isso não seja mais possível.
O que resulta em:
p(x) = (x – 2)3(x + 1)
Assim, 2 é raiz tripla ou de multiplicidade 3.
2. Resolva a equação x4 – 3x3 – 3x2 + 7x + 6 = 0, sabendo 
que –1 é raiz dupla.
Resolução:
Se –1 é raiz dupla da equação, ela pode ser escrita na for-
ma (x + 1)2 . q(x) = 0.
Para determinar q(x), deve-se eliminar duas vezes sucessi-
vas a raiz 1 da equação:
q1(x) = x
2 – 5x + 6
A equação transforma-se em x2 – 5x + 6 = 0.
Ao resolvê-la, obtém-se x’= 3 e x” = 2.
Assim, S = {–1, 2, 3}.
3. Dada a equação x3 + ax2 – 8x + b = 0, calcule os valo-
res de a e b, de forma que 2 seja raiz dupla da equação.
Resolução:
Ao eliminar duas vezes sucessivas a raiz 2, obtém-se:
Ao reduzir os restos a zero, obtém-se:
Da equação (I), obtém-se:
4a + 4 = 0 ä 4a = – 4 ä a = –1
Ao substituir a = –1 na equação (II), obtém-se:
–4 – 8 + b = 0 ä b = 12
Assim, a = –1 e b = 12.
4. Determine uma equação algébrica do quarto grau 
que tenha –1 com raiz de multiplicidade 3 e 2 como 
outra raiz.
Resolução:
De acordo com os dados do problema:
(x + 1) (x + 1) (x + 1) (x – 2) = 0 ä 
ä (x + 1)3 (x – 2) = 0 ä 
ä (x3 + 3x2 + 3x + 1) (x – 2) = 0 ä
ä x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0
Assim, a equação procurada é 
x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0, ou qualquer outra equivalente 
a ela, como 
2x4 + 2x3 – 6x2 – 10x – 4 = 0.
Se for resolvida a equação 
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Em R, ou seja, com variáveis e coeficientes reais, será 
possível obter:
 § D > 0 duas raízes reais distintas;
 § D = 0 duas raízes reais iguais, isto é, uma raiz real 
de multiplicidade 2; e
 § D < 0 nenhuma raiz real.
Em C, ou seja, com variável e coeficientes complexos, 
será possível obter:
 § D = 0 uma raiz complexa de multiplicidade 2; e
 § D ≠ 0 duas raízes complexas distintas.
8.7. Relações de Girard
Considere a equação algébrica do segundo grau.
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Sendo x1 e x2 as suas raízes. A decomposição do primeiro 
membro em fatores do primeiro grau é:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
25
Ao desenvolver o produto, obtém-se:
ax2 + bx + c = a[x2 – (x1 + x2) x + x1x2 ]
Ao dividir todos os termos por a, obtém-se:
x2 + b __ a x + 
c __ a = x
2 – (x1 + x2) x + x1x2
Pela igualdade de polinômios, obtém-se:
– (x1 + x2) = 
b __ a ä x1 + x2 = – 
b __ a e x1x2 = 
c __ a 
Conhecidas de estudos anteriores, essas relações se es-
tabelecem entre os coeficientes e as raízes de uma equa-
ção algébrica do segundo grau. A seguir, serão analisadas 
equações algébricas de grau maior que 2.
Considere a equação algébrica do terceiro grau.
ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)
E sejam x1, x2 e x3 as suas raízes.
Ao decompô-la em fatores do primeiro grau:
ax3 + bx2 + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3)
Ao desenvolver o produto, obtém-se:
ax3 + bx2 + cx + d = 
= a[x3 – (x1 + x2 + x3)x
2 + (x1x2 + x1x3 + x2 x3)x – x1x2x3]
Ao dividir todos os termos por a, obtém-se:
x3 + b __ a x
2 + c __ a x + 
d __ a = 
= x3 – (x1 + x2 + x3)x
2 + (x1x2 + x1x3 + x2 x3)x – x1x2x3
Pela igualdade de polinômios, obtém-se:
– (x1 + x2 + x3) = 
b __ a ä x1 + x2 + x3 = – 
b __ a 
x1x2 + x1x3 + x2 x3 = 
c __ a 
– x1x2x3 = 
d __ a ä x1x2x3 = – 
d __ a 
De forma análoga, considerando a equação algébrica de 
grau n:
anx
n + an – 1x
n – 1 + an – 2x
n – 2 + … + a2x
2 + a1x + a0 = 0
cujas raízes x1, x2, x3, x4, ..., xn, são válidas estas relações 
entre as raízes e os coeficientes:
1. A soma das n raízes é:
x1 + x2 + x3 + ... + xn = – 
an – 1 ____ an
 
2. O produto das n raízes é:
x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ ... ⋅ xn (–1)
n = 
a0 __ an
 
3. A soma dosprodutos das raízes, quando tomadas:
a) duas a duas, é:
x1x2 + x1x3 + ... + xn – 1xn = 
an – 2 ____ an
 
b) três a três, é:
x1x2x3 + x1x2x4 + ... + xn – 2xn – 1xn = – 
an – 3 ____ an
 
c) quatro a quatro, é:
x1x2x3x4 + x1x2x3x5 + ... + xn – 3xn – 2xn – 1xn = 
an – 4 ____ an
 
Essas relações entre as raízes e os coeficientes de uma 
equação algébrica são denominadas relações de Girard.
 Aplicação do conteúdo
1. Escreva as relações de Girard para a equação algébri-
ca x3 + 7x2 – 3x + 5 = 0, considerando x1, x2, e x3 as raízes 
da equação.
Resolução:
De acordo com a equação:
a3 = 1; a2 = 7; a1 = –3; a0 = 5
Portanto, obtém-se:
x1 + x2 + x3 = – ( 7 __ 1 ) = –7
x1x2 + x1x3 + x2x3 = + ( –3 ___ 1 ) = –3
x1x2x3 = – ( 5 __ 1 ) = –5
2. Uma equação algébrica do terceiro grau tem raízes 
–1, 1 e 2. Sabendo que o coeficiente do termo de tercei-
ro grau é 2, determine os outros coeficientes e escreva 
a equação.
Resolução:
Se a equação é de terceiro grau, a forma é:
ax3 + bx2 + cx + d = 0, com a = 2.
Portanto, obtém-se:
2x3 + bx2 + cx + d = 0
Da qual resulta:
x1 + x2 + x3 = –1 + 1 + 2 = 2 = – ( b __ 2 ) ä 
ä b = –4
x1x2 + x1x3 + x2x3 = –1 – 2 + 2 = –1 = + ( c __ 2 ) 
ä c = –2
x1x2x3 = (–1) · 1 · 2 = –2 = – ( d __ 2 ) ä d = 4
26
Assim, os outros coeficientes são b = –4, c = –2 e d = 4, e 
a equação pedida é 
2x3 – 4x2 – 2x + 4 = 0.
3. Sabendo que x1, x2 e x3 são as raízes da equação 
x3 – 2x2 – 4x + 1 = 0, calcule x 2 1 + x 
2 2 + x 
2 3 .
Resolução:
De acordo com as relações de Girard, sabe-se que:
x1 + x2 + x3 = 2 (I)
x1x2 + x1x3 + x2x3 = –4 (II)
x1x2x3 = –1 (III)
Considerando a relação (I), deve-se elevar ambos os mem-
bros ao quadrado:
(x1 + x2 + x3)
2 = 22 ä
ä x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = 4 ä
ä x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2 (x1x2 + x1x3 + x2x3) = 4
Uma vez que x1x2 + x1x3 + x2x3 = –4, obtém-se:
x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2 (–4) = 4 ä
x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 12
Assim, x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 12.
4. As raízes da equação x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0 estão em 
PA. Nessa condição, resolva a equação.
Resolução:
Se x1, x2 e x3 são as raízes da equação, elas devem ser re-
presentadas por:
x1 = a – r
x2 = a
x2 = a + r
De acordo com as relações de Girard, tem-se:
x1 + x2 + x3 = 9 ä a – r + a + a + r = 9 ä 
ä 3a = 9 ä a = 3
Uma vez que x2 = a = 3 é uma das raízes, obtém-se:
p(x) = (x – 3) · q(x) = 0
q(x) = x2 – 6x + 5 = 0
Ao resolver a equação, obtém-se x’ = 5 e x” = 1.
Assim, S = {1, 3, 5}.
5. Resolva a equação x3 – 5x2 + 7x – 3 = 0, sabendo que 
uma raiz é dupla.
Resolução:
Uma vez que uma raiz é dupla, deve-se indicar as raízes 
por x1, x1 e x2.
De acordo com as relações de Girard, obtém-se:
x1 + x1 + x2 = 5 ä 2x1 + x2 = 5 (I)
x1x1 + x1x2 + x1x2 = 7 ä x 
2 1 + 2x1x2 = 7 (II)
x1x1 x2 = 3 ä x 
2 1 x2 = 3 (III)
Da relação (I), tem-se:
2x1 + x2 = 5 ä x2 = 5 – 2x1
Ao substituir por (II), obtém-se:
x 2 1 + 2x1x2 = 7 ä x 
2 1 + 2x1(5 – 2x1) = 7 ä 
ä x 2 1 + 10x1 – 4x 
2 1 – 7 = 0 ä
ä – 3 x 2 1 + 10x1 – 7 = 0 ä 3x 
2 1 – 10x1 + 7 = 0
D = 16
x1 = 
10 ± 4 ______ 
6
 ä x’ = 7 __ 
3
 e x” = 1
Verificando qual dos valores de x1 é raiz da equação inicial:
p ( 7 __ 3 ) = 32 ___ 27 ä 7 __ 2 (não é a raiz da equação) e
p(1) = 0 ä 1 (é a raiz dupla da equação)
Portanto, se x1 = 1, obtém-se:
x2 = 5 – 2(1) = 3
Assim, S = {1, 3}.
8.8. Pesquisa de raízes racionais 
de uma equação algébrica 
de coeficientes inteiros
Foi visto que as equações polinomiais de grau maior que 2 
não têm um processo determinado de resolução por meio 
de fórmulas. Deve-se procurar, então, uma ou mais raízes e, 
a partir delas, encontrar todas as raízes.
É possível demonstrar uma propriedade que auxilia a pes-
quisa das raízes racionais de uma equação algébrica de 
coeficientes inteiros.
Se o número racional 
p
 __ q , com p e q primos entre si, for raiz 
de uma equação algébrica de coeficiente inteiros:
27
anx
n + an - 1x
n - 1 + an - 2x
n - 2 + ... + a2x
2 + a1x + a0 = 0
p é divisor de a0 e q é divisor de an.
 Aplicação do conteúdo
1. Pesquise as raízes racionais da equação 
3x3 + 2x2 – 7x + 2 = 0.
Resolução:
Na equação dada, a0 = 2 e a3 = 3.
p é divisor de 2 ä p [ {–1, 1, –2, 2}.
q é divisor de 3 ä q [ {–1, 1, –3, 3}.
Pela propriedade, as prováveis raízes racionais são:
 
p
 __ q [ { –1, 1, –2, 2, – 1 __ 3 , 1 __ 3 , – 2 __ 3 , 2 __ 3 } 
Ao verificar, obtém-se:
p(–1) = 8 ä –1 (não é raiz)
p(1) = 0 ä 1 é raiz
A partir da raiz descoberta:
3x2 + 5x – 2 = 0
D = 25 + 24 = 49
x = –5 ±7 _____ 
6
 ä x’ = 2 __ 
6
 = 1 __ 
3
 e x” = –12 ____ 
6
 = –2
Assim, S = { –2, 1 __ 3 , 1 } .
Nota
Como as outras duas raízes, além de 1, também são 
números racionais, elas seriam descobertas se a pesqui-
sa das raízes racionais prosseguisse:
p(–2) = 0 ä –2 é raiz
p(2) = 20 ä 2 não é raiz
p ( – 1 __ 3 ) = 40 ___ 9 ä – 1 __ 3 não é raiz
p ( 1 __ 3 ) = 0 ä 1 __ 3 é raiz
p ( – 2 __ 3 ) = 20 ___ 3 ä – 2 __ 3 não é raiz
p ( 2 __ 3 ) = – 8 __ 9 ä – 2 __ 3 não é raiz
2. Resolva a equação x4 + x3 – 7x2 – x + 6 = 0.
Resolução:
Pela equação dada, tem-se a0 = 6 e a4 = 1.
p é divisor de 6 ä p [ {–1, 1, –2, 2, –3, 3, –6, 6}.
q é divisor de 1 ä q [ {–1, 1}.
Pela propriedade, as possíveis raízes racionais são:
 
p
 __ q [ {–1, 1, –2, 2, –3, 3, –6, 6}
Ao pesquisar, obtém-se:
p(–1) = 0 ä –1 é raiz
p(1) = 0 ä 1 é raiz
Considerando que –1 e 1 são raízes da equação, deve-se 
obter as outras duas raízes:
p(x) = (x + 1)(x – 1) . q(x) = 0 e q(x) = x2 + x – 6
Ao fazer x2 + x – 6 = 0 e resolvendo a equação, obtém-se 
x’ = 2 e x” = – 3.
Assim, S = {–3,–1, 1, 2}.
8.9. Raízes complexas não 
reais numa equação algébrica 
de coeficientes reais
Considere a equação algébrica x2 – 2x + 2 = 0, que tem to-
dos os coeficientes reais e pode ser resolvida pela chamada 
fórmula de Bhaskara:
x = 2 ± √
__
 –4 _______ 
2
 = 2 ± 2i _____ 
2
 ä x’ = 1 + i e x” = 1 – i
S = {1 + i, 1 – i}
Observe que a raiz 1 + i é um número complexo não real e 
a outra raiz, 1 – i, é o seu conjugado.
Será demonstrado que, se uma equação polinomial de co-
eficientes reais admitir como raiz o número complexo 
a + bi, com b ≠ 0, o complexo conjugado a – bi também 
será raiz da equação.
Para realizar essa demonstração, é preciso relembrar as 
propriedades do conjugado de um número complexo es-
tudadas no capítulo anterior.
28
Dados os números complexos z1 e z2, dos quais 
— z1 e 
— z2 são 
seus respectivos conjugados, obtém-se:
z1 = z2 à 
— z1 = 
— z2 
 ——— z1 + z2 = 
— z1 + 
— z2 
z1 = 
— z1 à z1 é número real
 —— z1z2 = 
— z1 
— z2 
 — z n 1 = ( 
—
 z 1 ) n
Considerando a equação algébrica de grau n > 1, com to-
dos os coeficientes reais:
anx
n + an – 1x
n – 1+ ... + a1x + a0 = 0
Considere que o número complexo não real z seja raiz des-
sa equação. Observe que — z também o é.
z é raiz ⇒ anz
n + an – 1z
n - 1 +... + a1z + a0 = 0 ä
ä 
————————————
 anz
n + an – 1z
n – 1 + ... + a1z + a0 = 0
ä —— anz
n + an – 1 
——
 zn – 1 + ... + a1 
— z + a0 = 0 é raiz
ä an ( 
— z ) n + an – 1 ( 
— z ) n – 1 + ... + a1 
— z + a0 ∴ 
— z é raiz
 Aplicação do conteúdo
1. Resolva estas equações.
a) x4 – 9x3 + 30x2 – 42x + 20 = 0, sabendo que 3 + i 
é uma raiz da equação.
Resolução:
Se 3 + i é raiz da equação dada, seu conjugado 3 – i tam-
bém é raiz da equação. Assim:
p(x) = [x – (3 + i)][x – (3 – i)] . q(x) = [(x – 3) – i][(x – 3) + i] . q(x) ä
 ä p(x) = [(x – 3)2 – i2] . q(x) ä
ä p(x) = (x2 – 6x + 10) . q(x)
Calculando q(x), dividindo p(x) por x2 – 6x + 10:
x4 – 9x3 + 30x2 – 42x + 20 x2 – 6x + 10
– x4 + 6x3 – 10x2 x2 – 3x + 2
– 3x3 + 20x2 – 42x + 20
+ 3x3 – 18x2 + 30x
2x2 – 12x + 20 
– 2x2 + 12x – 20
0
q(x) = x2 – 3x + 2
Ao fazer x2 – 3x + 2 = 0 e resolvendo a equação, obtém-se 
x’ = 2e x” = 1.
Logo, S = {3 + i, 3 –, i, 2, 1}.
b) x5 – 3x4 + 5x3 – 15x2 + 4x – 12 = 0, 
sabendo que i e 2i são raízes.
Resolução:
Se i e 2i são raízes, e como todos os coeficientes são nú-
meros reais, pode-se garantir que seus conjugados –i e –2i 
também são raízes. Resta descobrir a quinta raiz, que é um 
número real:
i 1 –3 5 –15 4 –12
–i 1 –3 + i 4 – 3i –12 + 4i –12i 0
2i 1 –3 4 –12 0
–2i 1 –3 + 2i –6i 0
1 –3 0
x – 3 = 0 ä x = 3
Assim, S = {i, –i, 2i, –2i, 3}.
Polinômios do segundo grau são polinômios muito simples quando comparados aos polinômios utilizados no cotidi-
ano. Em geral, são usados polinômios de graus muitos maiores que 2 para modelamento de funções, uma vez que, 
quanto maior o grau, dependendo do modelo matemático utilizado, maior será a precisão da função modelada.
VIVENCIANDO
29
 DIAGRAMA DE IDEIAS
POLINÔMIOS FUNÇÃO POLINOMIAL
POLINÔMIO
NULO (PIN)
IGUALDADE
RAIZ
RELAÇÃO DE GIRARD
DEFINIÇÃO
DETERMINAÇÃO 
DAS RAÍZES
f : C → C
f(x) = anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0
anx
n + an – 1x
n – 1 + an – 2x
n – 2 + ... + a2x
2 + a1x
1 + a0
- an, an – 1, an – 2, ..., a2, a1, a0 → coeficientes
- n → número inteiro positivo ou nulo
- maior expoente de x → grau da expressão
Todos os coeficientes são nulos.
an = an – 1 = ... = a1 = a0 = 0
p(x) = q(x)
p(α) = q(α), 
∀α ∈ C
⇔
p(α) = 0
α → raiz do 
polinômio p(x)
Equação do 2.º grau
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
x1 + x2 = - 
b __ a (soma)
x1x2 = 
c __ a (produto)
Equação de grau n
anx
n + an – 1x
n – 1 + an – 2x
n – 2 + ... + a2x
2 + a1x + a0 = 0
x1 + x2 + x3 + ... + xn = 
an-1 ___ an
 
x1 · x2 · x3 · ... · xn(–1)
n = 
a0 __ an
 
1.º grau
ax + b = 0
x= –b/a
(raiz)
2.º grau
ax2 + bx + c = 0
x = -b 
+- b2 - 4ac __________ 
2a
 
(raízes)
Decomposição em fatores de primeiro grau
p(x) = an(x – x1)(x – x2)(x – x3) ... (x – xn)
√
30
 Operações cOm pOlinômiOs 
CompetênCia: 5 Habilidades: 20, 21 e 23
AULAS 
51 e 52
1. Operações cOm pOlinômiOs
A seguir, serão retomados exemplos de operações conheci-
das no estudo de expressões algébricas: adição, subtração 
e multiplicação de polinômios e multiplicação de um nú-
mero real por um polinômio. Em seguida, será estudada 
detalhadamente a divisão de polinômios.
1. Se p(x) = 3x2 + 2x – 1 e q(x) = –x3 + 4x2 – 2x – 5, 
obtém-se:
p(x) + q(x) = –x3 + (3 + 4)x2 + (2 – 2)x + (–1 – 5) ä 
p(x) + q(x) = –x3 + 7x2 – 6
2. Se p(x) = 3x2 – 4x + 1 e q(x) = 5x2 – 3x + 4, obtém-se:
p(x) – q(x) = 3x2 – 4x + 1 – 5x2 + 3x – 4 = –2x2 – x – 3
3. Dados p(x) = 2x3 – 4x2 + 5x – 3 e q(x) = 7, obtém-se:
q(x) · p(x) = 7(2x3 – 4x2 + 5x – 3) = 14x3 – 28x2 + 35x – 21
4. Dados p(x) = 3x – 4 e q(x) = –2x + 5, obtém-se:
p(x) · q(x) = (3x – 4)(–2x + 5)= –6x2 + 15x + 8x – 20 ä
p(x) · q(x) = –6x2 + 23x – 20
 Aplicação do conteúdo
1. Sabendo que a _____ 
x + 2
 + b ____ 
x – 1
 = 7x + 8 ________ 
x2 + x – 2
 , determine os 
valores de a e b.
Resolução:
Uma vez que (x + 2)(x –1) = x2 + x – 2, obtém-se:
 a(x – 1) + b(x + 2) ______________ 
 (x + 2)(x – 1)
 = 7x + 8 ________ 
 x2 + x – 2
 ä
ä ax – a + bx + 2b _____________ 
 (x + 2)(x – 1)
 = 7x + 8 ________ 
 x2 + x –2
 ä
ä (a + b)x + (–a + 2b) ________________ 
 (x + 2)(x – 1)
 = 7x + 8 ________ 
 x2 + x – 2
 
Para que a igualdade se verifique, deve-se ter:
Ao resolver o sistema, obtém-se a = 2 e b = 5.
2. Se os polinômios p, q e r têm, respectivamente, graus 
3, 5 e 1, determine o grau de:
a) p + q
Resolução:
Na soma de um polinômio de grau 3 com um de grau 5 
prevalece o maior grau. Assim, o grau de (p + q) é 5.
b) p · q
Resolução:
No produto de um polinômio de grau 3 com um de grau 5 
o resultado terá grau 3 + 5 = 8.
c) p · r – q
Resolução:
O grau do produto p · r é 3 + 1 = 4. Na subtração p · r – q, 
prevalece o maior grau, entre o grau 4 de p · r e o grau 
5 de q. 
Assim, o grau de (p · r – q) é 5.
2. DivisãO De pOlinômiOs
Considerando dois polinômios p(x) e h(x), com h(x) não 
nulo, dividir p(x) por h(x) significa encontrar dois polinô-
mios q(x) e r(x) que satisfaçam as seguintes condições:
1. p(x) = h(x) · q(x) + r(x)
2. o grau de r(x) não pode ser igual nem maior que o 
grau de h(x) ou então r(x) = 0.
Portanto, afirma-se que:
 § p(x) é o dividendo;
 § h(x) é o divisor;
 § q(x) é o quociente;
 § r(x) é o resto.
Para dividir o polinômio, utiliza-se o método da chave, se-
melhante ao empregado para números inteiros.
31
2.1. Método da chave
Considerando a seguinte divisão de números inteiros:
1º) 
 
»
 
 33 7 8
4
33 : 8 é 4
3º) 
 
»
 
 33 7 8
–32 42
17
17 : 8 é 2
2º) 
 
»
 
 33 7 8
 –32 
 1
Subtraindo (ou 
somando
com o sinal trocado):
33 – 32 = 1
4º) 
 
»
 
 33 7 8
–32 42
17
–16
1
2 · 8 = 16
17 – 16 = 1
Observa-se que:
Utilizando a mesma técnica para a divisão de polinômios.
1. 
x2 : x = x
2. 
x(x – 3) = x2 – 3x
Trocando o sinal: –x2 + 3x
3. 
–2x : x = –2
4. 
–2(x – 3) = –2x + 6
Trocando o sinal: 2x – 6
Verificamos que:
 Aplicação do conteúdo
1. Efetue a divisão de p(x) = 2x4 – 2x3 – 13x2 + 10x – 1 por 
h(x) = 2x2 + 4x – 3 e faça a verificação.
Resolução:
Ao fazer a verificação, obtém-se:
q(x) · h(x) + r(x) = (x2 – 3x + 1)(2x2 + 4x – 3) + (–3x + 2)
q(x) · h(x) + r(x) = (2x4 – 2x3 – 13x2 + 13x – 3) + (–3x + 2)
p(x) = 2x4 – 2x3 – 13x² + 10x – 1
2. O polinômio p(x) = x3 – 4x2 – x + 4 é divisível por 
h(x) = x2 – 3x – 4. Nessas condições, resolva a equação 
x3 – 4x2 – x + 4 = 0.
Resolução:
x3 – 4x2 – x + 4 = (x2 – 3x – 4)(x – 1)
Uma vez que x3 – 4x2 – x + 4 = 0, obtém-se:
(x2 – 3x – 4)(x – 1) = 0
Assim, a resolução da equação dada recai na resolução já 
conhecida de equações de graus menores:
(x2 – 3x – 4)(x – 1) = 0 ä x2 – 3x – 4 = 0 ou 
x – 1 = 0
Ao resolver a primeira equação, obtém-se:
x2 –3x – 4 = 0 ä x’ = 4 e x” = –1
Ao resolver a segunda, obtém-se:
x – 1 = 0 ä x = 1
Assim, S = {–1, 1, 4}.
32
3. DivisãO pOr x – a (DispOsitivO 
práticO De BriOt-ruffini)
Efetuando a divisão de p(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2 por 
h(x) = x – 2 com o método da chave: 
q(x) = 3x2 + x + 3
r(x) = 4
Contudo, há um dispositivo que permite que as divisões 
por polinômios do tipo x – a sejam efetuadas de uma ma-
neira mais simples e rápida: é o denominado dispositivo 
prático ou algoritmo de Briot-Ruffini.
3.1. Roteiro desse dispositivo
prático na divisão de 
p(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2 por h(x) = x – 2
1. 
2. 
3. Deve-se repetir (ou “baixar”) o primeiro coeficiente 
do dividendo:
3 · 2 = 6 e 6 + (–5) = 1
4. Multiplica-se o termo repetido pelo divisor e soma-se 
o produto com o próximo termo do dividendo:
1 · 2 = 2 e 2 + 1 = 3
5. Deve-se repetir o processo para se obter o novo ter-
mo do quociente:
3 · 2 = 6 e 6 + (–2) = 4
De acordo com o quadro, obtém-se:
q(x) = 3x2 + x + 3
r(x) = 4
que é o mesmo resultado obtido pelo método da chave.
Assim:
3x3 – 5x2 + x – 2 = (x – 2)(3x2 + x + 3) + 4
 Aplicação do conteúdo
1. Divida p(x) = 2x4 + 7x3 – 4x + 5 por h(x) = x + 3.
Resolução:
Quociente: q(x) = 2x3 + x2 – 3x + 5
Resto: r(x) = –10
Assim, 2x4 + 7x3 – 4x + 5 = (x + 3)(2x3 + x2 – 3x + 5) – 10.
2. Determine o quociente e o resto da divisão de 
p(x) = 2x2 – 5x + 2 por h(x) = 2x – 1.
Resolução:
Observe que, nesse caso, o coeficiente de x no binômio não 
é igual a 1. Para que sejam obtidos o quociente e o resto 
pedidos, deve-se dividir todos os coeficientes de p(x) e de 
h(x) por 2. O quociente procurado será q(x), e o resto tam-
bém ficará dividido por 2 · ( r(x) ___ 2 ) .
 
p(x)
 ___ 
2
 = x2 – 5 __ 
2
 x + 1
 h(x) ___ 
2
 = x – 1 __ 
2
 
33
Ao aplicar o dispositivo prático, obtém-se:
Quociente: q(x) = x – 2
Resto: r(x) ___ 
2
 = 0 ⇒ r(x) = 0
Assim, 2x2 – 5x + 2 = (x – 2)(2x – 1).
3. Calcule o valor de m de modo que o polinômio 
p(x) = 2x3 + 5x2 + mx + 12 seja divisível por h(x) = x + 3.
Resolução:
Para que p(x) seja divisível por h(x), o resto deve ser nulo, 
ou seja:
–3m + 3 = 0 ⇒ 3m = 3 ⇒ m = 1Assim, m = 1.
4. Efetue a divisão de p(x) por q(x) para 
p(x) = x3 – (4 + 2i)x2 + 9ix + 2 e q(x) = x – 2i.
Resolução:
Assim, p(x)= q(x) . (x² – 4x + i).
4. teOrema De D’alemBert
De acordo com o teorema de D’Alembert, o resto da divi-
são de um polinômio p(x) por x – a é p(a).
Antes da demonstração, o teorema será verificado median-
te um exercício.
O resto da divisão de p(x) = x3 – x2 – 2x + 3 por x + 2 será 
determinado e comparado com p(–2).
 § Pelo método da chave:
+
 -x3 - 2x2
 § Pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini:
Ao verificar o teorema de D’Alembert:
p(–2) = (–2)3 – (–2)2 – 2(–2) + 3 = –8 – 4 + 4 + 3 = –5
Observe a demonstração:
Considere que a divisão de p(x) por x – a resulta um quo-
ciente q(x) e um resto r:
p(x) = (x – a) . q(x) + r
Se x = a, obtém-se:
p(a) = (a – a) . q(a) + r = 0 · q(a) + r = 0 ⇒ r = p(a)
 Aplicação do conteúdo
1. Calcule o resto da divisão de p(x) = 2x3 – x2 + 5x – 3
 por h(x) = x – 4.
Resolução:
De acordo com o teorema de D’Alembert, o resto é igual a:
p(4) = 2(4)3 – (4)2 + 5(4) – 3 = 128 – 16 + 20 – 3 = 129
Assim, o resto dessa divisão é 129.
2. Determine o valor de a, de modo que o polinômio 
p(x) = 2x3 + 5x2 – ax + 2
 
seja divisível por h(x) = x – 2.
Resolução:
Se p(x) é divisível por h(x), o resto da divisão é 0. De acordo 
com o teorema de D’Alembert:
p(2) = 0 ⇒ 2(2)3 + 5(2)2 – a(2) + 2 = 0 ⇒ 
⇒ 16 + 20 – 2a + 2 = 0 ⇒ 2a = 38 ⇒ a = 19
Assim, a = 19.
5. teOrema DO fatOr
Se c é uma raiz de um polinômio p(x) de grau n > 0, x – c 
é um fator de p(x).
De acordo com o teorema de D’Alembert, a divisão de p(x) 
por x – c resulta um quociente q(x) e um resto p(c) tal que:
p(x) = (x – c)q(x) + p(c)
Se c é uma raiz de p(x), p(c) = 0, obtém-se:
p(x) = (x – c)q(x)
Assim, x – c é um fator de p(x).
34
Consequentemente, p(x) é divisível por (x – a) e por (x – b), 
com a ≠ b, se, e somente se, p(x) for divisível por (x – a)
(x – b).
 Aplicação do conteúdo
1. Dados p(x) = x3 + x2 – 10x + 8, determine p(x) para x = 3, 
x = 2 e x = 0. Em seguida, escreva p(x) como produto 
de dois fatores.
Resolução:
p(3) = (3)3 + (3)2 – 10(3) + 8 = 27 + 9 – 30 + 8 = 14
p(2) = (2)3 + (2)2 – 10(2) + 8 = 8 + 4 – 20 + 8 = 0
p(0) = (0)3 + (0)2 – 10(0) + 8 = 8
Como p(2) = 0, x – 2 é um fator de p(x).
De acordo com Briot-Ruffini:
Assim, q(x) = x2 + 3x – 4.
p(x) = (x – 2)(x2 + 3x – 4)
2. Determine os valores de a e b para que o polinômio 
p(x) = x3 + ax2 + bx + 20
 
seja divisível por (x + 1)(x – 4).
Resolução:
Se p(x) é divisível por (x + 1)(x – 4), ele deve ser divisível por 
(x + 1) e por (x – 4).
Se p(x) é divisível por x + 1, obtém-se:
p(–1) = 0 ⇒ (–1)3 + a(–1)2 + b(–1) + 20 = 0 ⇒ 
⇒ – 1 + a – b + 20 = 0 ⇒ a – b = – 19
Se p(x) é divisível por x – 4, obtém-se:
p(4) = 0 ⇒ (4)3 + a(4)2 + b(4) + 20 = 0 ⇒
⇒ 64 + 16a + 4b + 20 = 0 ⇒ 4a + b = –21
Portanto:
a – b = –19
4a + b = –21
Ao resolver o sistema, obtém-se a = –8 e b = 11.
35
 DIAGRAMA DE IDEIAS
OPERAÇÕES COM 
POLINÔMIOS
SOMA, SUBTRAÇÃO 
E MULTIPLICAÇÃO
DIVISÃO
MÉTODO 
DA CHAVE
BRIOT-RUFFINI
Considerando
p(x) = 3x – 4
q(x) = –2x2 – 4x + 2 
p(x) = h(x) ⋅ q(x) + r(x) D’ Alembert
O resto da divisão
de um polinômio p(x)
por x – a é p(a).
Do fator
Se c é raiz de um 
polinômio p(x)
de grau n > 0, x – c
é um fator de p(x).
Teoremas
Adição → somam-se os termos de mesmo grau
p(x) + q(x) = (3x – 4) + (–2x2 – 4x + 2) =
p(x) + q(x) = –2x2 – x – 2
Subtração → subtraem-se os termos de mesmo grau
p(x) – q(x) = (3x – 4) – (–2x2 – 4x + 2) =
p(x) – q(x) = 3x – 4 + 2x2 + 4x – 2 =
p(x) – q(x) = 2x2 + 7x – 6
Multiplicação → multiplicam-se todos os termos
p(x) · q(x) = (3x – 4) · (–2x2 – 4x + 2) = 
p(x) · q(x) = 3x · (–2x2 – 4x + 2) + (–4)(–2x2 – 4x + 2) =
p(x) · q(x) = –6x3 – 12x2 + 6x + 8x2 + 16x – 8 =
p(x) · q(x) = –6x3 – 4x2 + 22x – 8
p(x) → dividendo
h(x) → divisor
q(x) → quociente
r(x) → resto
II x2 – 5x + 6
 –x2 + 3x _____________
 –2x + 6
 +2x – 6_____________
 0
I
III
x – 3 
x – 2
Resto
Terá SEMPRE 
o grau menor 
que o divisor
1.º passo
Escolher o termo que
multiplica por tem
como resultado
I
II
2.º passo
Multiplicar pelo
divisor. Não se 
esquecer de trocar o 
sinal, quando passar 
para o dividendo
III
x2 – 5x + 6 ÷ x – 3
3+ –6
3 1 –5 6
 1 –2 0
- Repete-se o 1.º coeficiente
- Multiplica-se pela raiz
- Soma-se com o próximo coeficiente
Repetir até o final!
Termo constante
do divisor com 
sinal trocado
Coeficientes de 
x do dividendo
p(x)
Coeficientes do 
quociente
Resto
Termo constante 
do dividendo
p(x)
37
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES: 
Incidência do tema nas principais provas
UFMG
A prova apresenta questões medianas sobre 
números complexos. Já os polinômios podem 
aparecer na forma gráfica ou abordando 
assuntos de fatoração.
A prova apresentará questões muito bem 
elaboradas e difíceis sobre os temas deste 
livro.
Para ingressar na Unicamp, o candidato 
pode se deparar com questões de matrizes e 
determinantes na prova da primeira fase. Já 
na segunda fase, podemos encontrar questões 
muito bem elaboradas sobre sistemas 
lineares.
A prova apresenta matrizes associadas a 
problemas do dia a dia. Os sistemas lineares 
podem ser menos abordados nessa prova.
Os temas abordados neste livro têm baixa 
incidência na prova.
A prova não deixará de lado os temas deste 
livro.
O candidato deve atentar-se aos conceitos 
abordados nas aulas de determinantes e 
levá-los com clareza para a prova.
O Enem tem uma boa incidência para sistemas 
lineares e baixa para matrizes e determinantes. 
Para todos os temas, sempre teremos questões 
aplicadas ao cotidiano do candidato.
A prova abordará um ou até mesmo dois assun-
tos deste livro em sua primeira ou segunda fase. 
Apresenta questões muito bem elaboradas, nas 
quais podem aparecer outras áreas da Matemá-
tica, como logaritmos e trigonometria.
A prova poderá trazer questões de 
multiplicação de matrizes e propriedades de 
determinantes, todas com elevado grau de 
dificuldade.
Para essa prova, podemos esperar uma 
questão sobre os temas deste livro, de forma 
direta e sem contextualização.
Por meio de uma prova muito bem elaborada 
e contextualizada, o candidato deve ficar aten-
to às diversas propriedades dos determinantes 
– sistemas lineares também deverão aparecer.
Questões difíceis apareceram nessa prova. O 
candidato deve estar atento à multiplicação de 
matrizes e ao cálculo de determinantes.
Podemos encontrar nessa prova questões 
muito bem elaboradas, de elevado grau de 
dificuldade, com os temas deste livro e envol-
vendo outras áreas da Matemática.
A prova pode trazer questões sobre matrizes 
e determinantes, considerando diversas 
propriedades. Para sistemas lineares, é comum 
aparecer alguma questão contextualizada.
38
 Matrizes e operações
CompetênCia: 6 Habilidades: 24, 25 e 26
AULAS 
45 e 46
1. Introdução
Numa editora, a venda de livros de Matemática, Física e 
Química, no primeiro trimestre de um ano, pode ser expressa 
por esta tabela:
Janeiro Fevereiro Março
Matemática 20 000 32 000 45 000
Física 15 000 18 000 25 000
Química 16 000 16 000 23 000
Se quisermos saber:
 § Quantos livros de Matemática foram vendidos em fevereiro? 
Basta olhar o número na primeira linha e na segunda 
coluna.
 § Quantos livros de Física foram vendidos em janeiro? 
Basta olhar o número na segunda linha e na primeira coluna.
 § Quantos livros de Química foram vendidos em março? 
Basta olhar o número na terceira linha e na terceira coluna.
Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos 
em 3 linhas e em 3 colunas, denomina-se matriz 3 x 3 (lê-
-se três por três) e pode ser representada por:
ou
ou
2. defInIção
Sejam m e n dois números naturais não nulos.
Denomina-se matriz m x n (lê-se m por n) uma tabela re-
tangular formada por m · n números reais ou qualquer lista 
ordenada, disposta em m linhas e n colunas.
Exemplos:
 § 2 3
5 1
 é uma matriz