Teoria Eletromagnética_Lei de Gauss Eletricidade

Prévia do material em texto

PROFA. DRA MARIA ELENICE DOS SANTOS 
 
A TEORIA ELETROMAGNÉTICA: LEI DE GAUSS PARA A ELETRICIDADE 
 
 Nesta aula iremos tratar das bases experimentais da Teoria Eletromagnética. 
 A Teoria Eletromagnética é composta de quatro leis fundamentais. São elas: a Lei de Gauss 
para a eletricidade, a Lei de Gauss para o magnetismo, a Lei da Indução de Faraday e a Lei de 
Ampère-Maxwell. Estas leis também são chamadas de “As Leis de Maxwell”. Aqui, serão detalhadas 
cada uma de tais leis. 
 
LEI DE GAUSS 
 
 A Lei de Gauss pode ser descrita como uma sofisticação da “Lei de Coulomb”, sendo esta a lei 
mais fundamental do Eletromagnetismo. A Lei de Coulomb implica na Lei de Gauss e, o contrário 
também é verdadeiro. A Lei de Coulomb é descrita como a lei do inverso do quadrado da distância, 
dada pela equação 01, a seguir. 
 
)01(ˆ.
.
.
2
21 r
r
qq
kF 

 
 
Onde: F é a força elétrica exercida de uma carga elétrica sobre a outra, q1 e q2 constituem as cargas 
elétricas, r trata-se da distância entre as cargas e k, a constante elétrica do meio. 
 Conforme descreve a Equação 01, as cargas q1 e q2 podem atrai-se ou repelir-se de acordo com 
o sinal destas cargas. OBS.: cargas de mesmo sinal repelem-se e cargas de sinal contrário, atraem-se. 
 
 Figura 01: representação de linhas de campo elétrico em uma região do espaço e de uma superfície esférica fechada. 
 
 Para definir a Lei de Gauss vamos imaginar certa região do espaço na qual existe a presença de 
um campo elétrico E. Assim, nesta região existe a presença de linhas de campo E na configuração 
mostrada na Figura 01. Para a dada região, vamos imaginar um objeto (esférico) que possui volume V 
e superfície S definidos (Figura 01). Imagine agora que, estando o objeto imerso na região de campo 
elétrico E, as linhas de campo elétrico estão furando a superfície, ora entrando ora saindo desta. 
 Neste contexto, vamos definir uma quantidade denominada fluxo de campo elétrico, dada pela 
letra grega ϕ. O fluxo é definido como um produto escalar de um vetor, neste caso o vetor campo 
elétrico, com uma superfície. A Equação 02 define a chamada Lei de Gauss. 
 
)02(  sdE


 
 
Onde: ϕ é o fluxo de campo elétrico que passa em uma superfície, E o vetor campo elétrico e ds a 
representação da superfície. Vale ressaltar que ds refere-se a uma parte infinitesimal da superfície. 
 
 
)03(
0
 env
Q

 
 Na Equação 03, o termo que se encontra à direta da mesma é descrito como a carga total 
envolvida pela superfície dividida pela constante de permissividade elétrica do meio no qual as linhas 
de campo elétrico estão imersas. Na Equação 02, a integral dupla fechada remete-se ao fato de que a 
superfície em questão precisa ser fechada (no caso aqui uma superfície volumétrica esférica). A 
Equação 02 mostra uma integral dupla fechada de um produto escalar entre o vetor campo elétrico E e 
o infinitesimal de superfície ds. A integral deste produto escalar constuti a soma dos produtos escalares 
entre estes dois termos distribuídos por toda a superfície. A Figura 01 ilustra três diferentes produtos 
escalares entre os referidos termos vetoriais, mostrando que ora tal produto pode ser positivo, negativo 
ou nulo. 
 
FORMALIZAÇÃO DA LEI DE GAUSS 
 
 A forma integral da Lei de Gauss é dada pela seguinte relação: 
 
0
 env
Q
sdE  

 
 
 
 Assim, define-se a Lei de Gauss como: medida do fluxo de campo elétrico que é proporcional à 
quantidade de carga envolvida pela superfície. Nos casos em que a carga total dentro da superfície 
(chamada Gaussiana) for equivalente a zero, o resultado da integral também será zero. Quanto mais 
simples for a superfície utilizada, mais simples será a solução da integral dupla, o que explica o fato de 
utilizar-se de superfícies que apresentam simetria nas soluções envolvendo a Lei de Gauss.