ISC236_BioFono_Probabilidade_Aula1

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Experimentos Aleatórios e 
Probabilidade 
Prof. Tania Guillén de Torres 
 E-mail: tguillen@iesc.ufrj.br 
Bioestatística I 
 Experimentos aleatórios, Espaço 
Amostral, Eventos Especiais. 
 Noções de probabilidade:definições, 
propriedades e interpretações. 
 Probabilidade condicional e 
independência; 
Experimento, espaço amostral e eventos 
São os fenômenos não determinísticos ou aleatórios, que serão 
estudados neste modulo, utilizando-se conceitos probabilísticos. 
Experimento aleatórios 
São experiências que quando repetidas inúmeras vezes, sob as 
mesmas condições, não é possível prever com exatidão os resultados. 
Exemplos: 
E1 = jogar um dado e observar o número da face superior. 
E2 = observar o número de crianças que sofreram acidentes 
domésticos e que procuram a Emergência do Hospital X, numa 
manhã de segunda-feira. 
E3 = observar o tempo de recidiva de uma doença D em um 
 determinado paciente. 
Espaço amostral e eventos 
O conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório E é chamado de espaço amostral 
denotado simbolicamente por W (leia-se ômega). 
 W = {cara, coroa} 
 
Pelo número de elementos que contém um espaço 
amostral W, ele pode ser classificado como sendo finito ou 
infinito. 
Espaço amostral e eventos 
Os espaços amostrais associados aos experimentos aleatórios 
mencionados acima seriam: 
W 1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
W 2 = {0, 1, 2, ..., N}, onde N é o máximo de crianças que podem 
ser atendidas no ambulatório no tempo fixado. 
W 3 = { t   / t  0 }, isto é, o tempo t de recidiva da doença D 
em determinado paciente pode ser qualquer valor real maior ou 
igual a zero. 
Assim, W 1 e W 2 seriam exemplos de espaços amostrais finitos, 
enquanto que W 3 exemplifica um espaço amostral infinito. 
Eventos 
Qualquer subconjunto do espaço amostral W associado ao 
experimento aleatório “ E” é chamado de evento. 
A figura a seguir exemplifica os eventos A e B no espaço 
amostral W. 
W 
O próprio espaço amostral ( W ), chamado de evento certo e o evento 
nulo ou vazio () são subconjuntos do espaço amostral W , portanto, 
eventos. 
B 
Eventos 
Os resultados individuais de um experimento são chamados de 
eventos elementares (w). 
Eventos associados aos espaços amostrais acima, poderiam 
ser: 
A1 = {ocorrência de número par} = {2, 4, 6} 
A2 = {número de atendimento menor que 10} 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
A3 = {tempo de recidiva é inferior a 6 meses} 
 = { t   / t < 6 } 
Eventos 
Exercicio: 
Suponha que a experiência aleatória seja lançar um par de dados. 
 
 
 
1. Descreva o Espaço amostral associado ao experimento. 
2. Indique os elementos do evento A, definido como o conjunto de 
elementos do espaço amostral com pelo menos um número par e 
com soma dos elementos menor que 5. 
3. Quais os elementos do evento B, definido como o conjunto dos 
elementos cuja soma é igual a 10? 
Eventos Especiais 
 Utilizando-se operações da teoria dos conjuntos, pode-se 
definir novos eventos: 
O evento complementar (Ā) é o evento que ocorre se e 
somente se o evento A não ocorre. 
W 
Exemplo: A = conjunto de pessoas com tuberculose. 
 Ā = conjunto de pessoas sem tuberculose. 
Eventos Especiais 
 O evento interseção de A e B é o evento que ocorre se 
e somente se A e B ocorrem simultaneamente. 
W 
Exemplo: A = conjunto de pessoas que têm diabetes. 
 B = conjunto de pessoas que têm hipertensão. 
 = conjunto de pessoas que têm as duas doenças 
 (diabetes e hipertensão). 
As pessoas acometidas por essas duas doenças constituiriam um 
grupo de risco para infarto agudo do miocárdio 
 
 
BA
BA
Eventos Especiais 
Dois eventos A e B são mutuamente excludentes se eles 
não podem ocorrer simultaneamente. 
Ou seja, os dois eventos não têm nenhum elemento do 
espaço amostral em comum; isto é, . 
W 
Exemplo: A = conjunto de pessoas do sexo masculino. 
 B = conjunto de pessoas com câncer de útero. 
=BA
=BA
Eventos Especiais 
 O Evento união de A e B é o evento que ocorre se e 
somente se A ou B ou ambos ocorrem. Pode-se ver o 
evento união na parte sombreada das figuras a seguir. 
W 
Exemplo: 
 A = conjunto de pessoas que têm diabetes. 
 B = conjunto de pessoas que têm hipertensão. 
 = conjunto de pessoas que têm pelo menos uma 
 das doenças (diabetes ou hipertensão). 
 
A 
 
B 
 
 
 
 
 
 
 
W 
BA
Probabilidades: 
A probabilidade associada a um evento aleatório A mede de 
alguma maneira, o grau de certeza de que o evento A pode 
ocorrer. 
É expresso como um número que varia entre 0 e 1 (ou em 
termos percentuais entre 0 % e 100 %). 
Abordagens: 
 Clássica 
 Frequentista 
 Subjetiva 
 
Probabilidades: 
Definição Clássica 
É aplicada quando o espaço amostral W é finito e os eventos elementares são 
equiprováveis; isto é, eles têm a mesma probabilidade de ocorrer. Seja A um 
evento qualquer do espaço amostral W. Define-se a probabilidade de A como a 
razão entre o número de resultados favoráveis ao evento A e o número total de 
resultados possíveis, onde todos os resultados possíveis têm a mesma chance 
de ocorrer. 
 
 
Essa interpretação é difícil de ser utilizada como regra geral, até pela 
dificuldade de garantir que os resultados tenham a mesma possibilidade de 
ocorrência. 
 possíveis resultados de número
A de ocorrência à favoráveis resultados de número
)( =AP
Probabilidades: 
Exercicio: 
Suponha que a experiência aleatória seja selecionar uma carta de um 
baralho e anotar a configuração. 
O Espaço amostral associado ao experimento é: 
W = { K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2,A, 
 K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, A, 
 K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, A, 
 K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, A }. 
1. Qual a probabilidade de obter número par menor ou igual a 8? 
2. Qual a probabilidade de obter uma rainha? 
3. Qual a probabilidade de A = {4, 3, 2} ? 
Probabilidade Freqüentista 
Em situações onde os elementos do espaço amostral não são 
igualmente prováveis, a probabilidade de ocorrer o evento A 
pode ser calculada através da noção de freqüência relativa. 
Se um experimento E for repetido um grande número de 
vezes (n) e se algum evento A ocorre nA vezes, a frequência 
relativa do evento A é definida por: 
 
oexperiment do repetições de totalNº
ocorreuA que vezesNº
=f
A
Probabilidades: 
Exemplo: estimar a P(Recem nascido ser do sexo masculino) 
Total
Região N p N p N
São José de Ubá 43 0,5375 37 0,4625 80
Masculino Feminino 
Total
Região N p N p N
São Sebastião do Alto 53 0,48624 56 0,51376 109
Masculino Feminino 
Total
Região N p N p N
São José de Ubá 43 0,5375 37 0,4625 80
Comendador Levy Gasparian 54 0,54545 45 0,45455 100
São Sebastião do Alto 53 0,48624 56 0,51376 109
Macuco 57 0,50893 55 0,49107 112
Rio das Flores 48 0,43243 63 0,56757 113
Paraíba do Sul 267 0,55165 217 0,44835 490
Saquarema 509 0,52746 456 0,47254 965
330330 Niterói 3159 0,51441 2982 0,48559 6152
Municipio de Rio de Janeiro 44603 0,50971 42904 0,49029 87909
Estado de Rio de Janeiro 118350 0,51099 113259 0,48901 232255
Região Sudeste 604187 0,51198 575907 0,48802 1181131
Total 1554918 0,51251 1479019 0,48749 3038251
Masculino Feminino 
Probabilidades: P(Recem nascido ser do sexo masculino) 
À medida que o número de repetições do experimento aumenta, 
a freqüência relativa de ocorrência de algum evento A tende a 
se estabilizar e será igual à probabilidade de ocorrência de A. 
Esta característica é conhecida como regularidade estatística.ERJ - Frequencia relativa do recem nascido sexo masculino 
por número de nascidos vivos.
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0 50000 100000 150000 200000 250000
(%
)
Probabilidade Subjetiva 
Esta interpretação expressa na probabilidade a confiança 
que determinado indivíduo tem acerca da verdade de uma 
proposição, incorporando o conhecimento que ele dispõe 
sobre o evento. 
Exemplo: Pela sua experiência, um cirurgião pode 
tranquilizar os familiares de um paciente que será submetido 
a uma cirurgia delicada, com base na sua confiança no 
sucesso cirurgias anteriores. 
Propriedades Gerais 
Seja E um experimento aleatório e seja W o espaço amostral associado 
a E. A cada evento A associaremos um número real representado por 
P(A) e denominado probabilidade de A que satisfaz as seguintes 
propriedades: 
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 * 
2. P(W) = 1 
3. Se A e B forem eventos mutuamente excludentes então : 
P(A  B) = P(A) + P(B) 
observe-se que da propriedade 3 decorre imediatamente que para 
qualquer n finito e se A1 , A2 ,...., An, forem eventos mutuamente 
excludentes dois a dois, então: 
P(A1  A2  … An ) = P (A1) + P(A2)+ … + P(An ) 
* P (A) mais próxima de 1 significa que é maior a possibilidade de ocorrência de A, 
e P (A) próxima de 0 significa que é pequena a possibilidade de ocorrência de A. 
Propriedades Gerais 
Enunciaremos a seguir várias consequências relacionadas a 
P(A) que decorrem das condições acima e não dependem da 
maneira pela qual nós calcularmos P(A). 
1. Se A =  for o evento vazio, então P(A) = P() = 0 
Obs.: a recíproca do teorema não é verdadeira. i.e. se : 
 P(A) = 0 não implica que A =  
2. Se Ᾱ for o evento complementar de A então: 
P( Ᾱ ) = 1 - P( A ) 
3. Se A e B forem 2 eventos quaisquer, então: 
P ( A  B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A  B ) 
Exemplo: 
Foi realizado um estudo prospectivo de um ano, de 477 pacientes 
tratados por acidentes com corpos estranhos (CE) 
otorrinolaringológicos pelo serviço de ORL / EPO–HMSA / RJ, 
observando-se a seguinte distribuição: Qual a probabilidade de que 
um paciente escolhido ao acaso seja tratado por um acidente com CE 
auricular (CE-A), sabendo que ele é do sexo masculino? E se for do 
sexo feminino? 
Tipo de Corpo 
 
Sexo 
 
Extranho 
 
Masculino 
 
Femenino 
 
Total 
 
Nasal 
 
130 
 
99 
 
229 
 
Auricular 
 
71 
 
75 
 
146 
 
Faríngeo 
 
47 
 
55 
 
102 
 
Total 
 
248 
 
229 
 
477 
 
Fonte: Marques, M.P.C.; et al. Revista Brasileira de Otorrinolaringologia 64(1) – parte 1, pag 42 – 47. 
1. Qual a probabilidade de que um paciente escolhido ao acaso seja 
do sexo masculino (M)? 
52.0
477
248
=
Tipo de Corpo Sexo 
Extranho Masculino Femenino Total 
Nasal 130 99 229 
Auricular 71 75 146 
Faríngeo 47 55 102 
Total 248 229 477 
 P(M) = 
2. Qual a probabilidade de que um paciente escolhido ao acaso seja 
tratado por um acidente com CE auricular (A)? 
Tipo de Corpo Sexo 
Extranho Masculino Femenino Total 
Nasal 130 99 229 
Auricular 71 75 146 
Faríngeo 47 55 102 
Total 248 229 477 
P(A) = 31.0
477
146
=
4. Qual a probabilidade de que um paciente escolhido ao acaso seja do 
sexo masculino ( M ) e tratado por um acidente com CE auricular 
(A) ? 
Tipo de Corpo Sexo 
Extranho Masculino Femenino Total 
Nasal 130 99 229 
Auricular 71 75 146 
Faríngeo 47 55 102 
Total 248 229 477 
P( M  A ) = 
3. Qual a probabilidade de que um paciente escolhido ao acaso seja 
tratado por um acidente com CE que não seja do tipo auricular (Ᾱ )? 
P(Ᾱ ) = 1 - P(A) = 1- 0.31 = 0.69 
Tipo de Corpo Sexo 
Extranho Masculino Femenino Total 
Nasal 130 99 229 
Auricular 71 75 146 
Faríngeo 47 55 102 
Total 248 229 477 
5. Qual a probabilidade de que um paciente escolhido ao acaso seja do 
sexo masculino (M) ou ser tratado por um acidente com CE auricular 
(A)? 
P( M  A ) = P(M) + P(A) - P( M  A ) 
 = 248/477 + 146/477 - 71/477 
 = 0.52 + 0.31 – 0.15 
 = 0.68 
Probabilidade Condicional 
A probabilidade de um evento A ocorrer, dado que se sabe que 
um outro evento B ocorreu, é chamada de probabilidade 
condicional do evento A dado B. Ela e denotada por 
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP

=
Probabilidade Condicional 
Tipo de Corpo 
 
Sexo 
 Extranho 
 
Masculino 
 
Femenino 
 
Total 
 Nasal 
 
130 
 
99 
 
229 
 Auricular 
 
71 
 
75 
 
146 
 Faríngeo 
 
47 
 
55 
 
102 
 Total 
 
248 
 
229 
 
477 
 
Exemplo: 
Foi realizado um estudo prospectivo de um ano, de 477 pacientes 
tratados por acidentes com corpos estranhos (CE) 
otorrinolaringológicos pelo serviço de ORL / EPO–HMSA / RJ, 
observando-se a seguinte distribuição: Qual a probabilidade de que 
um paciente escolhido ao acaso seja tratado por um acidente com CE 
auricular (A), sabendo que ele é do sexo masculino (M)? E se for do 
sexo feminino? 
 
)(
))(
)|(
MP
MAP
MAP

=
Tipo de Corpo 
 
Sexo 
 Extranho 
 
Masculino 
 
Femenino 
 
Total 
 Nasal 
 
130 
 
99 
 
229 
 Auricular 
 
71 
 
75 
 
146 
 Faríngeo 
 
47 
 
55 
 
102 
 Total 
 
248 
 
229 
 
477 
 
Qual a probabilidade de que um paciente escolhido ao acaso seja do 
sexo feminino (F) sabendo que foi tratado por um corpo extranho 
nasal (N) 
ESTUDOS DE COORTE 
Seleciona expostos e não expostos e compara a ocorrência do 
desfecho depois de um período de seguimento 
Presente Futuro 
Expostos 
Não Expostos 
Doentes? 
anodoinicionovivosdenúmero
anonoDoentesdenúmero
RDoença =Risco de doença 
Aplicações do Conceito de Probabilidades Condicionais 
N
I
RiscoR ==
42,1
0065,0
0092,0
min
/: ===
R
R
RR
morte
morte
inofe
masculino
femmascmorte
Estudo de Coorte 
anodoinicionovivosdenúmero
anonomortesdenúmero
RMorte =
Sexo Óbitos Pop_Resident Probabilidade de Morte Razao de Prob
Masc 65934 7136931 0.009238425 1.421702489
Fem 50310 7742213 0.006498142
Total 116318 14879144 0.00781752
ERJ – Probabilidade de Morte por todas as causas segundo o sexo - 2003 
0092,0
7136931
65934
==Rmortemasculino
0065,0
7742213
50310
min
==Rmorte inofe
Razão de Riscos: 
Interpretação: 
O risco de morte no sexo masculino é 1,42 
vezes o risco de morte no sexo feminino 
 
Probabilidade
Idade Masculino Feminino RR
Menor 1 ano 0.018031028 0.014716583 1.225218341
1 a 4 anos 0.000727395 0.000613201 1.186226949
5 a 9 anos 0.000361247 0.000234514 1.540407538
10 a 14 anos 0.000485368 0.000256744 1.890472989
15 a 19 anos 0.002821425 0.00053035 5.319928537
20 a 29 anos 0.004154793 0.000826367 5.027782956
30 a 39 anos 0.003988123 0.001491504 2.673893031
40 a 49 anos 0.007289989 0.003555948 2.050083484
50 a 59 anos 0.014945402 0.007884982 1.895426295
60 a 69 anos 0.029601933 0.016255489 1.821042227
70 a 79 anos 0.063303795 0.039493554 1.602889291
80 anos e mais 0.140738117 0.116693236 1.206052052
ERJ – Razão de Probabilidade de Morte por todas as 
causas, por sexo segundo faixa etária - 2003 
ESTUDOS CASO-CONTROLE 
Seleciona casos com doença e controles sem doença e 
compara a freqüência da exposição 
Presente Passado 
Casos 
Controles 
 Expostos 
 Não 
Expostos 
Aplicações do Conceito de Probabilidades 
0091,0
009,01
009,0
)(1
)(
=

=

=


D
D
P
P
odds
4217,1
006,01
006,0
009,01
009,0
)|(1
)|(
)|(1
)|(
=


=


==






eD
eD
eD
eD
odds
odds
P
P
P
P
e
eOR
Estudos Caso-Controle 
Sexo Óbitos Pop_Resident Probabilidade de Morte OR
Masc 65934 7136931 0.009238425 1.421702489
Fem 50310 7742213 0.006498142
Total 116318 14879144 0.00781752
ERJ – Probabilidade de Morte por todas as causas - 2003 
Odds ou 
Chance 
OR - Razão de 
Chances 
Interpretação: 
A chance de morte no sexo masculino é 1,42 vezes a chance de morte no sexo 
feminino 
Aplicações doConceito de Probabilidades 
)(
)(
)(1
)(


=


=
 FP
FP
FP
FP
oddsF
11.0048
9167,0
0833,0
5000,0
5000,0
)|(
)|(
)|(
)|(
====









CaF
CaF
CaF
CaF
odds
odds
OR
P
P
P
P
F
F
F
Ca
Ca
Chance (Odds) de Fumo 
ERJ – Probabilidade de Fumar nos grupos com e sem Ca. Laringe 
n p n p n %
Não (CA-) 330 0,9167 30 0,0833 360 0,50
Sim (Ca+) 180 0,50 180 0,50 360 0,50
Total 510 0,7083 210 1.00 720 1,00
 Cancer de Laringe - Ca
 Fumo (F) 
 Total Não (F-) Sim (F+)
Estudos Caso-Controle 
Interpretação: 
A chance de fumar no grupo com câncer é 11 vezes a chance de fumar no grupo 
sem câncer 
Aplicações do Conceito de Probabilidades 
ERJ – Probabilidade de Cancer de Laringe nos grupos fuma e não fuma 
n % n % n %
Não 330 64,71 30 14,29 360 50
Sim 180 35,29 180 85,71 360 50
Total 510 100,00 210 100,00 720 100
 Cancer de Laringe
 Fumo 
 Total Não Sim
)(1
)(
Ca
Ca
odds
P
P
Ca



=

11.0048
6471,0
3529,0
1429,0
8571,0
)|(
)|(
)|(
)|(
/
/
====









FCa
FCa
FCa
FCa
odds
odds
OR
P
P
P
P
Ca
Ca
Ca
F
F
Estudos Caso-Controle 
Odds de Câncer de Laringe: 
Razão de Odds de Câncer de 
Laringe: 
Interpretação: 
A chance de câncer no grupo que fuma é 11 vezes a chance de câncer no grupo que não fuma. 
INQUÉRITO OU ESTUDO SECCIONAL 
Estimam a prevalência da doença na população total, 
ou em estratos dessa população. 
Disfonia em professores do ensino municipal: 
prevalência e fatores de risco 
A disfonia é um sintoma muito freqüente em professores, 
profissionais para os quais a voz é elemento indispensável. 
Objetivos: 
 Observar a prevalência deste sintoma em professores 
de pré-escola e da escola primária. 
Casuística e Método: 
• Estudo transversal consistindo de questionários respondidos 
por 451 professores (pré-escola e quatro primeiras séries do 
ensino fundamental) de 66 escolas municipais de Mogi das 
Cruzes 
Disfonia em professores do ensino municipal: 
prevalência e fatores de risco 
Resultados: 
80,7% dos professores referiram algum grau de disfonia. 
Não observamos relação entre idade, tempo de profissão e 
classe atendida e freqüência referida de disfonia. 
n p n p n p
Pré-escola 40 0,20 228 0,80 268 0,61
EnsinoFund. 42 0,25 129 0,75 171 0,39
Total 82 0,19 357 0,81 439 1,00
 Cancer de Laringe
Disfonia
 Total Não Sim
07,1
75,0
80,0Pr === 
P
P
RP
Disf
Disf
Disf
EnsinoFund
escolaéP = Prevalência da doença 
 
RP = Razão de Prevalência 
Independência Estatística: 
 Se a probabilidade de morte é a mesma se o 
indivíduo está exposto ou não a algum fator, diz-se que a 
morte e o fator de exposição são estatisticamente 
independentes. 
 Dois eventos são independentes se a ocorrência 
ou não ocorrência de um deles não afeta a probabilidade 
de ocorrência ou não ocorrência do outro. 
Exemplo: Suponha agora o estudo de câncer (M = morte, S = sobrevida) 
e cor dos cabelos (L = louro, NL = não louro). 
Obs: Câncer e cor natural dos 
cabelos seriam eventos 
independentes, pois 
P(M|L) = P(M|NL) = 0,009 
Exemplo de Dependência Estatística: 
 As probabilidades de morte por câncer de pulmão 
podem ser melhor preditas, se são conhecidos os hábitos de 
fumo dos indivíduos. Suponha que as probabilidades são de 
0.015 para os fumantes e 0.005 para os não fumantes, então 
essas probabilidades são condicionais e dependentes ao 
tabagismo (exposição). 
No exemplo, a probabilidade de 
morte difere de acordo com a 
exposição ou não ao fumo. 
P(M|E+) = 0,015  0,005) = P(M|E-) 
logo: 
 os eventos “Morte” e “Fumo” 
são eventos dependentes. 
Exercícios - Monitoria: 
1) Um conjunto de pessoas foi classificado segundo peso e pressão 
arterial de acordo com as proporções apresentadas na tabela: 
Pressão 
Arterial 
Peso 
Total 
Excesso Normal Deficiente 
Elevada 0,10 0,08 0,02 0,20 
Normal 0,15 0,45 0,20 0,80 
Total 0,25 0,53 0,22 1,00 
a) Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter pressão 
elevada? 
b) Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter peso normal 
ou excesso? 
c) Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter peso 
deficiente e ter pressão arterial elevada? 
d) Considerando que a pessoa tem excesso de peso, qual é a probabilidade 
dela ter pressão elevada? 
Distribuição da proporção (frequência relativa) de um conjunto de paciente 
segundo peso e pressão arterial. 
 
Exercícios – Monitoria: 
2) Dentre 9.728 óbitos ocorridos em um município, 90 foram devido a insuficiência 
renal e 2 devido à febre reumática. Quais as probabilidades de óbito causados pela 
insuficiência renal e pela febre reumática que podem ser estimadas a partir destes 
dados? 
 
3) A frequência esperada de alunos aprovados na disciplina “XYZ” é estimada em 
90%. Supondo que dois estudantes se matriculam na disciplina, descreva o espaço 
amostral associado. Qual a probabilidade de: 
a) Ambos serem aprovados na disciplina? 
b) Ambos serem reprovados na disciplina? 
c) Um ser aprovado e o outro reprovado? 
 
4) Em 660 lançamentos de uma moeda, foram observadas 310 caras. Qual é a 
probabilidade de, num lançamento dessa moeda, obter-se coroa? 
 
5) Se os registros indicam que 504, dentre 8135 lavadoras automáticas de pratos 
vendidas por uma grande loja de varejo, exigiram reparos dentro da garantia de um 
ano, qual é a probabilidade de uma lavadora dessa loja não exigir reparo dentro da 
garantia?