Cálculo - Parte 1

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Os tópicos abordados aqui possuem diversas aplicações na 
vida real. Os itens listados abaixo são exemplos destas aplicações.
■ Vendas, Exercício 35, página 7
■ Controle de qualidade, Exercício 51, página 12
■ Nível de produção, Exercício 75, página 23
■ Tomada de decisão: estoque, Exercício 48, página 31
Aplicações
0.1 Reta real e ordem 
0.2 Valor absoluto e distância na reta real
0.3 Expoentes e radicais
0.4 Fatoração de polinômios
0.5 Frações e racionalização 
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2MMMCálculo Aplicado
Seção 0.1
Reta real e ordem ■ Representar, classificar e ordenar números reais.
■ Utilizar desigualdades para representar conjuntos de números reais.
■ Resolver inequações.
■ Utilizar desigualdades para modelar e resolver problemas da vida real.
Reta real
Os números reais podem ser representados pelo sistema de coordenadas chamado
reta real (ou eixo x), como mostra a Figura 0.1. O sentido positivo (para a di-
reita) é denotado pela ponta da seta e mostra o sentido dos valores crescentes de
x. O número real que corresponde a um determinado ponto na reta real é chamado
de coordenada do ponto. Como mostra a Figura 0.1, costuma-se marcar os pon-
tos cujas coordenadas são números inteiros.
O ponto na reta real que corresponde ao zero é chamado de origem. Os nú-
meros à direita da origem são positivos e os números à esquerda da origem são ne-
gativos. O termo não negativo descreve um número que tanto pode ser positivo
como zero. 
A reta real é importante porque fornece uma representação conceitualmente
perfeita dos números reais. Ou seja, cada ponto da reta real corresponde a um, e
somente a um, número real e cada número real corresponde a um, e somente a um,
ponto na reta real. Esse tipo de relação é chamado de correspondência biunívoca
e é ilustrado na Figura 0.2.
Cada um dos quatro pontos da Figura 0.2 corresponde a um número real que
pode ser expresso com a razão de dois números inteiros.
Esses números são chamados de racionais. Os números racionais podem ser tanto
representações decimais finitas como dízimas periódicas.
Decimais finitos Dízimas periódicas
1
Os números reais que não são racionais são chamados de irracionais e não
podem ser representados como a razão de dois números inteiros (ou por decimais
finitos ou dízimas periódicas). Por isso, uma aproximação decimal é utilizada para
representar um número irracional. Alguns números irracionais ocorrem com tanta
frequência nas aplicações que os matemáticos inventaram símbolos especiais para
representá-los. Por exemplo, os símbolos e e representam números irracio-
nais cujas aproximações decimais são mostradas. (Veja Figura 0.3.)
Ordem e intervalos na reta real
Uma propriedade importante dos números reais é que eles são ordenados: 0 é menor
que 1, �3 é menor que �2,5, π é menor que e assim por diante. É possível vi-
sualizar essa propriedade na reta real, observando que a é menor que b se e somente
�2 � 1,4142135623
22
7 ,
e � 2,7182818284� � 3,1415926535
��2,
12
7
� 1,714285714285 . . . � 1,714285
7
8
� 0,875
1
3
� 0,333 . . . � 0,3
2
5
� 0,4
1,85 � 3720�
7
3
5
4�2,6 � �
13
5
1 A barra indica qual algarismo ou algarismos se repetem infinitamente.
x
−4 −3 −2 −1 0 4321
Sentido positivo
(x aumenta)
Sentido negativo
(x diminui)
FIGURA 0.1 Reta real
0 21−1 3
x
π
e2
FIGURA 0.3
Cada número real corresponde a um, e 
somente a um, ponto na reta real.
Cada ponto na reta real corresponde a um, 
e somente a um, número real. 
−3 −2 −1 1 30 2
x
1,85
7
3−
−3 −2 −1 1 30 2
x
5
4−2,6
FIGURA 0.2
Larson_00:Larson 15.05.10 09:59 Page 2
Revisão de pré-cálculoMMM3
se a estiver à esquerda de b na reta real. Simbolicamente, “a é menor que b” é de-
notado pela desigualdade Por exemplo, a desigualdade é resultado do
fato de estar à esquerda de 1 na reta real, como mostrado na Figura 0.4.
FIGURA 0.4
Quando três números reais a, x e b estão ordenados de modo que a < x e x <
b, diz-se que x está entre a e b e escreve-se 
x está entre a e b.
O conjunto de todos os números reais entre a e b é chamado de intervalo
aberto entre a e b e é denotado por (a, b). Um intervalo da forma (a, b) não con-
tém as “extremidades” a e b. Os intervalos que incluem suas extremidades são
chamados de fechados e são denotados por [a, b]. Intervalos da forma [a, b) e 
(a, b] não são abertos nem fechados. A Figura 0.5 mostra os nove tipos de inter-
valos na reta real.
a < x < b.
21−1 0
x
134
está à esquerda de 1, assim < 1.34
3
4
3
4
3
4 < 1a < b.
a
a < x < b
b
(a, b)
ba
ba
a < x ≤ b
(a, b]
a ≤ x < b
[a, b)
a b
a b a b
baba
x < a x > b
x ≤ a x ≥ b
(−∞, ∞)
(−∞, a] [b, ∞)
(−∞, a) (b, ∞)
ba
a ≤ x ≤ b
[a, b]
FIGURA 0.5 Intervalos na reta real
Intervalo aberto Intervalos que não são abertos nem fechados Intervalos infinitos
Intervalo fechado
Resolução de inequações
Em cálculo, é comum que você precise “resolver desigualdades” que envolvem ex-
pressões variáveis, como O número a é uma solução de uma ine-
quação se a desigualdade for verdadeira quando x for substituído por a. O conjunto
de todos os valores de x que satisfazem uma desigualdade é denominado conjunto
solução da inequação. As propriedades a seguir são úteis para a resolução de ine-
quações. (Propriedades similares são obtidas se for substituído por e for
substituído por )≥.
>≤<
3x � 4 < 5.
ATENÇÃO
Observe que o colchete é utilizado para denotar “menor ou igual a” ou
“maior ou igual a” Além disso, os símbolos e denotam infinito
positivo e negativo. Estes símbolos não representam números reais; apenas
permitem a descrição de condições ilimitadas de forma mais concisa. Por
exemplo, o intervalo é ilimitado à direita, pois inclui todos os números
reais maiores ou iguais a b.
�b, ��
����≥�.
�≤�
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4MMMCálculo Aplicado
Observe que a desigualdade é invertida quando multiplicada por um número ne-
gativo. Por exemplo, se então Esse princípio também se
aplica à divisão por um número negativo. Portanto, se então 
Exemplo 1 Resolução de uma inequação
Determine o conjunto solução da inequação 
SOLUÇÃO
Escreva a inequação original.
Some 4 em cada lado.
Simplifique.
Multiplique cada lado por
Simplifique.
Portanto, o conjunto solução é o intervalo como mostra a Figura 0.6.
✓AUTOAVALIAÇÃO 1
Determine o conjunto solução da inequação ■
No Exemplo 1, as cinco inequações listadas como etapas da solução possuem
o mesmo conjunto solução e são chamadas de inequações equivalentes.
A inequação no Exemplo 1 envolve um polinômio de primeiro grau. Para re-
solver inequações que envolvam polinômios de graus mais altos, é possível utili-
zar o fato de que um polinômio pode mudar o sinal somente em seus zeros reais
(os números reais nos quais o polinômio é igual a zero). Entre dois zeros reais con-
secutivos, um polinômio deve ser sempre positivo ou sempre negativo. Isso sig-
nifica que quando os zeros reais de um polinômio são colocados em ordem, eles
dividem a reta real em intervalos de teste, nos quais o polinômio não apresenta
mudanças de sinal. Ou seja, se um polinômio possui a forma fatorada
então, seus intervalos de teste são
e 
Por exemplo, o polinômio
x2 � x � 6 � �x � 3��x � 2�
�rn, ��.�rn�1, rn �,. . . ,�r1, r2�,���, r1�,
r1 < r2 < r3 < . . . < rn�x � r1��x � r2�, . . . , �x � rn �,
2x � 3 < 7.
���, 3�,
x < 3
1
3.
1
3
�3x� < 1
3
�9�
3x < 9
3x � 4 � 4 < 5 � 4
3x � 4 < 5
3x � 4 < 5.
x < �2.�2x > 4,
�4x > �12.x < 3,
Propriedades das desigualdades
Suponha que a, b, c e d sejam números reais.
1. Propriedade transitiva: e 
2. Adição de desigualdades: e 
3. Multiplicação por uma constante positiva:
4. Multiplicação por uma constante negativa:
5. Adição de uma constante:
6. Subtração de uma constante: a � c < b � ca < b
a � c < b � ca < b
c < 0ac > bc,a < b
c > 0ac < bc,a < b
a � c < b � dc < da < b
a < cb < ca < b
ATENÇÃO
Observe as diferenças entre as
Propriedades 3 e 4. Por exemplo, 
e
�3 < 4 ⇒ ��3���2� > �4���2�.
�3 < 4 ⇒ ��3��2�< �4��2�
ATENÇÃO
Uma vez resolvida a inequação,
é uma boa ideia testar alguns
valores de x do conjunto solu-
ção para verificar se eles satisfa-
zem a desigualdade original. É 
interessante também verificar
alguns valores que estejam fora
do conjunto solução para 
confirmar que eles não 
satisfazem a desigualdade. Por
exemplo, a Figura 0.6 mostra
que quando ou a
desigualdade é satisfeita, mas
quando a desigualdade
não é satisfeita.
x � 4
x � 2x � 0
876543210
x
Conjunto solução de
3x − 4 < 5
 x = 2, 3(2) − 4 = 2.Para
Para x = 4, 3(4) − 4 = 8.
−1
Para x = 0, 3(0) − 4 = −4.
FIGURA 0.6
Larson_00:Larson 15.05.10 10:01 Page 4
Revisão de pré-cálculoMMM5
pode mudar de sinal somente em e Para determinar o sinal do po-
linômio nos intervalos e é necessário testar somente
um valor em cada intervalo.
Exemplo 2 Resolução de uma inequação polinomial
Determine o conjunto solução da inequação
SOLUÇÃO
Escreva a inequação original.
Forma polinomial.
Fatore.
Portanto, o polinômio possui e como seus zeros. É pos-
sível resolver a inequação testando o sinal do polinômio em cada um dos seguin-
tes intervalos.
Para testar um intervalo, escolha um número representativo no intervalo e deter-
mine o sinal de cada fator. Por exemplo, para qualquer ambos os fatores
e são negativos. Consequentemente, seu produto (de dois núme-
ros negativos) é positivo e a desigualdade não é satisfeita no intervalo
Um formato de teste conveniente é mostrado na Figura 0.7. Uma vez que a desi-
gualdade é satisfeita somente pelo intervalo de teste do centro, é possível concluir
que o conjunto solução é dado pelo intervalo
Conjunto solução
✓AUTOAVALIAÇÃO 2
Determine o conjunto solução da inequação ■
Aplicação
As desigualdades são frequentemente utilizadas para descrever situações que ocor-
rem em negócios e em ciência. Por exemplo, a desigualdade
descreve o peso recomendado P, em libras, para um homem cuja altura é 5 pés e
10 polegadas. O Exemplo 3 mostra como uma inequação pode ser usada para des-
crever os níveis de produção de uma fábrica.
Exemplo 3 Níveis de produção
Além dos custos fixos de despesas gerais de $ 500 por dia, o custo da produção de
x unidades de um item é $ 2,50 por unidade. Durante o mês de agosto, o custo total
de produção variou de uma alta de $ 1.325 para uma baixa de $ 1.200 por dia. De-
termine os níveis de produção alto e baixo durante o mês.
SOLUÇÃO Por custar $ 2,50 para produzir uma unidade, há um custo de 2,5x
para produzir x unidades. Além disso, por haver um custo fixo de $ 500 por dia, o
x � �2 x � 3.
�3, ��,���, �2�, ��2, 3�
144 ≤ P ≤ 180
x2 > 3x � 10.
�2 < x < 3.
x < �2.
�x � 2��x � 3�
x < �2,
x > 3�2 < x < 3,x < �2,
x � 3x � �2x2 � x � 6
�x � 3��x � 2� < 0
x2 � x � 6 < 0
x2 < x � 6
x2 < x � 6.Sinal de �x � 3��x � 2�
x Sinal < 0?
�3 � � �� � � Não
�2 � � ��0� Não
�1 � � �� � � Sim
0 � � �� � � Sim
1 � � �� � � Sim
2 � � �� � � Sim
3 �0�� � � Não
4 � � �� � � Não
x
3−2
NãoSimNão
(−)(−) > 0 (+)(+) > 0(−)(+) < 0
FIGURA 0.7 �x � 3��x � 2� < 0?
Larson_00:Larson 15.05.10 10:03 Page 5
6MMMCálculo Aplicado
custo total diário para produzir x unidades é Agora, uma vez que
o custo variou de $ 1.200 a $ 1.325, é possível descrever essa situação da seguinte
forma.
Escreva a inequação original.
Subtraia 500 de cada parte.
Simplifique.
Divida cada parte por 2,5.
x Simplifique.
Portanto, os níveis diários durante o mês de agosto variaram de uma produção
baixa de 280 unidades a uma alta de 330 unidades, como mostra a Figura 0.8.
FIGURA 0.8
✓AUTOAVALIAÇÃO 3
Utilize as informações do Exemplo 3 para determinar os níveis alto e baixo de pro-
dução se, durante o mês de outubro, o custo total de produção teve variação de
uma alta de $ 1.500 a uma baixa de $ 1.000 por dia. ■
C � 2,5x � 500.
1 200 ≤ 2,5x � 500 ≤ 1 325
x
5004003002001000
Baixa 
produção diária
Alta 
produção diária
330280
A produção de cada 
dia durante o mês 
está neste intervalo
≤ 330280 ≤
≤ 825
2,5
2,5x
2,5
700
2,5
≤
≤ 8252,5x700 ≤
≤ 1.325 � 5002,5x � 500 � 5001.200 � 500 ≤
Nos Exercícios 1-10, determine se o número real é ra-
cional ou irracional.
1. 0,25 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
Nos Exercícios 11-14, determine se cada valor dado de x
satisfaz a desigualdade.
11.
(a) (b) (c) 
12.
(a) (b) (c) 
13.
(a) (b) (c) 
14.
(a) (b) (c) 
Nos Exercícios 15-28, resolva as inequações e faça um
esboço do gráfico da solução na reta real.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28. 2x2 � 1 < 9x � 32x2 � x < 6
x
2
�
x
3
> 5
x
2
�
x
3
> 5
�1 < �
x
3
< 1
3
4
> x � 1 >
1
4
0 ≤ x � 3 < 5�4 < 2x � 3 < 4
x � 4 ≤ 2x � 14 � 2x < 3x � 1
2x � 7 < 34x � 1 < 2x
2x > 3x � 5 ≥ 7
x � 5x � 1x � 0
�1 <
3 � x
2
≤ 1
x � 0x � 10x � 4
0 <
x � 2
4
< 2
x � �4x � 4x � 0
x � 1 <
x
3
x � 52x � �3x � 3
5x � 12 > 0
2e3�60
0,81773�64
22
7
4,3451
3�2 � 1
3�
2
�3 678
Exercícios 0.1
Larson_00:Larson 15.05.10 10:06 Page 6
Revisão de pré-cálculoMMM7
Nos Exercícios 29-32, utilize a notação de desigualdade
para descrever o subconjunto dos números reais.
29. Uma empresa espera que seu lucro por ação E para o próximo
trimestre seja de no mínimo $ 4,10 e, no máximo, de $ 4,25.
30. A produção diária estimada de petróleo p em uma refina-
ria é maior que 2 milhões de barris, mas menor que 2,4 mi-
lhões de barris.
31. De acordo com uma pesquisa, o porcentual p de norte-ame-
ricanos que agora conduzem a maior parte de suas transa-
ções bancárias on-line não chega a 40%.
32. A estimativa da renda líquida I de uma empresa é de no mí-
nimo $ 239 milhões.
33. Fisiologia A frequência cardíaca máxima de uma pessoa
com saúde normal está relacionada à sua idade por meio da
equação 
em que f é a frequência cardíaca máxima em batimentos por
minuto e I é a idade da pessoa em anos. Alguns fisiologistas
recomendam que, durante a atividade física, o indivíduo de-
veria esforçar-se para aumentar sua frequência cardíaca até
pelo menos 60% da frequência cardíaca máxima de sedentá-
rios e, no máximo, 90% da frequência cardíaca máxima de
pessoas em ótimas condições físicas. Expresse na forma de
intervalo a variação da frequência cardíaca alvo para uma pes-
soa com 20 anos de idade.
34. Lucro A receita pelas vendas de x unidades de um produto
é e o custo de produção de x unidades é de
Para obter lucro, a receita deve ser maior
que o custo. Para quais valores de x esse produto retornará
lucro?
35. Vendas Uma loja de rosquinhas em um shopping center
vende uma dúzia de rosquinhas por $ 4,50. Além do custo
fixo (com aluguel, serviços públicos e seguro) de $ 220 por
dia, são necessários $ 2,75 em materiais (farinha, açúcar
etc.) e mão de obra para produzir cada dúzia das rosquinhas.
Se o lucro diário varia entre $ 60 e $ 270, entre quais níveis
(em dúzias) variam as vendas diárias?
36. Custo operacional anual Uma empresa de serviços públi-
cos possui uma frota de vans. O custo operacional anual C (em
dólares) de cada van é estimado em em
que m é o número de milhas percorridas. A empresa quer que
o custo operacional anual de cada van seja de, no máximo, 
$ 13.000. Para isso, m deve ser menor que qual valor?
Nos Exercícios 37 e 38, determine se cada afirmação é
verdadeira ou falsa, dado que a < b. 
37. (a) 38. (a) 
(b) (b)
(c) (c) 
(d) (d)
1
a
<
1
b
a
4
<
b
4
6a < 6b �3b < �3a
a � 2 < b � 2 4 � a < 4 � b
�2a < �2b a � 4 < b � 4
C � 0,35m � 2 500,
C � 95x � 750.
R � 115,95x,
f � 220 � I
Seção 0.2
Valor absoluto e
distância na 
reta real
■ Determinar os valores absolutos dos números reais e compreender as proprie-
dades do valor absoluto.
■ Determinar a distância entre dois números na reta real.
■ Definir os intervalos na reta real.
■ Determinar o ponto médio de um intervalo e utilizar intervalos para modelar
e resolver problemas da vida real.
Valor absoluto de um número real
Definição de valor absoluto
O valor absoluto de um número real a é
	a	 � 
a,�a, se a ≥ 0se a < 0.
À primeira vista, pode parecer que a definição afirma que o valor absoluto de um
número realpode ser negativo, mas isso não é possível. Por exemplo, suponha que
Então, como tem-se
As propriedades a seguir são úteis ao se trabalhar com valores absolutos.
	a	 � 	�3	 � ���3� � 3.
a � �3. �3 < 0,
As expressões com 
valores absolutos podem
ser calculadas em uma ferra-
menta gráfica. Quando uma 
expressão como é 
calculada, parênteses devem
envolver a expressão, como em
abs�3 � 8�.
	3 � 8	
TECNOLOGIA
Larson_00:Larson 15.05.10 10:07 Page 7
Certifique-se de que compreendeu a quarta propriedade dessa lista. Um erro
comum em álgebra é imaginar que ao elevar um número ao quadrado e depois
obter sua raiz quadrada, obtém-se novamente o número original. Isso é verdade so-
mente se o número original é não negativo. Por exemplo, se então 
mas se então
A razão para isso é que, por definição, o símbolo da raiz quadrada denota so-
mente raiz não negativa.
Distância na reta real
Considere dois pontos distintos na reta real, como mostra a Figura 0.9.
1. A distância orientada de a até b é
2. A distância orientada de b até a é
3. A distância entre a e b é ou 
Na Figura 0.9, observe que, como b está à direita de a, a distância orientada
de a até b (movimento à direita) é positiva. Além disso, como a está à esquerda de
b, a distância orientada de b até a (movimento à esquerda) é negativa. A distância
entre dois pontos na reta real nunca pode ser negativa.
	a � b	 	b � a	.
a � b.
b � a.
�
���2�2 � �4 � 2.
a � �2,
�22 � �4 � 2
a � 2,
8MMMCálculo Aplicado
Propriedades dos valores absolutos
1. Multiplicação:
2. Divisão:
3. Potência:
4. Raiz quadrada: �a2 � 	a	
	an	 � 	a	n
b � 0	ab	 � 	a		b	,
	ab	 � 	a		b	
Distância entre dois pontos na reta real
A distância d entre pontos e na reta real é dada por
d � 	x2 � x1	 � ��x2 � x1�2.
x2x1
Observe que a ordem de subtração de e não importa, pois
e 
Exemplo 1 Determinação da distância na reta real
Determine a distância entre �3 e 4 na reta real. Qual é a distância orientada de �3
até 4? Qual é a distância orientada de 4 até �3?
SOLUÇÃO A distância entre �3 e 4 é dada por
ou ou
como mostra a Figura 0.10.
x2x1
	�3 � 4	 � 	�7	 � 7 	4 � ��3�	 � 	7	 � 7 	a � b	 	b � a	
	x2 � x1	 � 	x1 � x2	 �x2 � x1�2 � �x1 � x2�2.
x
x
x
Distância entre
a e b:
Distância orientada 
de b até a:
b − a
a − b
a b
a
a
b
b
 ou a − b b − a⏐ ⏐ ⏐ ⏐
Distância orientada 
de a até b:
FIGURA 0.9
Larson_00:Larson 15.05.10 10:08 Page 8
FIGURA 0.10
A distância orientada de �3 até 4 é
A distância orientada de 4 até �3 é
✓AUTOAVALIAÇÃO 1
Determine a distância entre �2 e 6 na reta real. Qual é a distância orientada de �2
até 6? Qual é a distância orientada de 6 até �2? ■
Intervalos definidos por valores absolutos
Exemplo 2 Definição de um intervalo na reta real
Determine o intervalo da reta real que contém todos os números que estão até duas
unidades de 3.
SOLUÇÃO Suponha que x seja qualquer ponto deste intervalo. É preciso deter-
minar todos os x de modo que a distância entre x e 3 seja menor ou igual a 2. Isso
implica que
Exigir que o valor absoluto de seja menor ou igual a 2 significa que
deve estar entre �2 e 2. Portanto, pode-se escrever que
Ao resolver esse par de inequações, tem-se
x Conjunto solução
Portanto, o intervalo é como mostra a Figura 0.11.
✓AUTOAVALIAÇÃO 2
Determine o intervalo da reta real que contém todos os números que estão até qua-
tro unidades de 6. ■
�2 � 3 ≤ x � 3 � 3 ≤ 2 � 3
�1, 5�,
1 ≤ ≤ 5.
�2 ≤ x � 3 ≤ 2.
x � 3 x � 3
	x � 3	 ≤ 2.
�3 � 4 � �7. a � b
4 � ��3� � 7. b � a
54321−4 −3 −2 −1 0
x
Distância = 7
Revisão de pré-cálculoMMM9
6
x
54210 3
2 unidades 2 unidades
x − 3 ≤ 2⏐ ⏐
FIGURA 0.11
Larson_00:Larson 15.05.10 10:09 Page 9
Aplicação
Exemplo 3
TOMADA DE DECISÃO Controle de qualidade 
Um grande fabricante contratou uma empresa de controle de qualidade para de-
terminar a confiabilidade de um produto. Utilizando métodos estatísticos, a em-
presa determinou que o fabricante poderia ter uma expectativa de
de unidades com defeito. Se o fabricante oferecer uma garantia de ressarcimento
para este produto, qual será o valor do orçamento para cobrir as restituições refe-
rente a 100.000 unidades? (Considere que o preço no varejo é de $ 8,95.) O fabri-
cante terá que reservar um orçamento para os ressarcimentos maior que $ 5.000?
SOLUÇÃO Suponha que r represente o percentual das unidades defeituosas (es-
crito na forma decimal). Sabe-se que r poderá ser diferente de 0,0035 por, no má-
ximo, 0,0017.
Figura 0.12(a)
Agora, denotando por x o número de unidades defeituosas dentre 100.000, segue
que, e tem-se
x Figura 0.12(b)
Finalmente, supondo que C seja o custo dos ressarcimentos, tem-se
Portanto, o custo total de ressarcimentos referente a 100.000 unidades estará no in-
tervalo dado por
C Figura 0.12(c)
Não, o orçamento para os ressarcimentos será de menos de $ 5.000.
✓AUTOAVALIAÇÃO 3
Utilize as informações do Exemplo 3 para determinar o valor que será orçado para
cobrir os ressarcimentos referentes a 250.000 unidades. ■
≤ $ 4654.$ 1611 ≤
180�8,95� ≤ 8,95x ≤ 520�8,95�
C � 8,95x.
≤ 520.180 ≤
0,0018�100,000� ≤ 100,000r ≤ 0,0052�100,000�
x � 100 000r
0,0018 ≤ r ≤ 0,0052
0,0035 � 0,0017 ≤ r ≤ 0,0035 � 0,0017
0,35% ± 0,17%
10MMMCálculo Aplicado
Dois tipos básicos de inequações que envolvem valores absolutos
Suponha que a e d sejam números reais, em que 
se e somente se
se e somente se x ≤ a � d ou a � d ≤ x.	x � a	 ≥ d
a � d ≤ x ≤ a � d.	x � a	 ≤ d
d > 0.
Todos os números x
cuja distância a 
é menor ou igual a d.
InterpretaçãoInequação Gráfico
Todos os números x
cuja distância a é
maior ou igual a d.
	x � a	 ≤ d
	x � a	 ≥ d
x
x
a − d
a − d a
a + d
a + d
a
d d
d d
ATENÇÃO
Certifique-se de entender que as
desigualdades da forma
possuem conjuntos
soluções que consistem de dois
intervalos. Para descrever os
dois intervalos sem utilizar 
valores absolutos, é necessário
utilizar duas desigualdades 
separadas, conectadas por um
“ou” a fim de indicar união.
	x � a	 ≥ d
r
0 0,002 0,004 0,006
6004002000
x
C
100 300 500
0 1000 2000 3000 4000 5000
(c) Custo dos ressarcimentos
(b) Número de unidades com defeito
(a) Porcentual de unidades com defeito
180 520
1611 4654
0,0018 0,0052
FIGURA 0.12
Larson_00:Larson 15.05.10 10:10 Page 10
No Exemplo 3, o fabricante espera gastar de $ 1.611 a $ 4.654 com ressarci-
mentos. É claro que o orçamento mais seguro para os ressarcimentos seria o maior
valor estimado. No entanto, do ponto de vista estatístico, a estimativa mais repre-
sentativa seria uma média dos dois extremos. Graficamente, a média de dois nú-
meros é o ponto médio do intervalo com os dois números como extremidades,
como mostra a Figura 0.13.
Revisão de pré-cálculoMMM11
Ponto médio de um intervalo
Determina-se o ponto médio do intervalo com extremidades a e b tomando a
média das extremidades.
Ponto médio �
a � b
2
Nos Exercícios de 1-6, determine (a) a distância orien-
tada de a até b; (b) a distância orientada de b até a; e
(c) a distância entre a e b. 
1. 2.
3. 4.
5. 6.
Nos Exercícios 7-18, utilize valores absolutos para des-
crever o intervalo dado (ou par de intervalos) na reta
real.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. Todos os números a menos de três unidades de 5
16. Todos os números acima de cinco unidades de 2
17. y está no máximo a duas unidades de a.
18. y está a menos de h unidades de c.
Nos Exercícios 19-34, resolva a inequação e faça o es-
boço da solução na reta real.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
Nos Exercícios 35-40, determine o ponto médio do in-
tervalo dado.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. Química O cobre possui um ponto de fusão F a menos de
0,2 °C de 1083,4 °C. Utilize valores absolutos para expres-
sar essa variação como uma desigualdade.
42. Preço de ações Uma análise do mercado de ações prevê
que no próximo ano o preço p de uma ação não variará mais
que $ 2 de seu preço atual de $ 33,15. Utilize valores absolu-
tos para expressar essa previsão como uma desigualdade.43. Altura de uma população A altura h de dois terços dos
membros de uma população satisfaz a desigualdade 
em que h é medido em polegadas. Determine o intervalo na
reta real em que se encontram essas alturas.
44. Biologia O American Kennel Club desenvolveu orienta-
ções para julgar as características de diversas raças de cães.
Para os collies, as orientações especificam que o peso dos
machos deve satisfazer a desigualdade
em que p é medido em libras. Determine o intervalo na reta
real em que se encontram esses pesos.
45. Produção A produção diária estimada x em uma refinaria
é dada por
	x � 200,000	 ≤ 25,000
	p � 67,57,5 	 ≤ 1
	h � 68,52,7 	 ≤ 1
�56, 52���12, 34�
��4,6, �1,3���6,85, 9,35�
�7,3, 12,7��8, 24�
b > 0	a � 5x2 	 > b,b > 0	3x � a4 	 < 2b,
b > 0	2x � a	 ≥ b,b > 0	x � a	 ≤ b,
	1 � 2x3 	 < 1	9 � 2x	 < 1
	25 � x	 ≥ 20	10 � x	 > 4
	2x � 1	 < 5	x � 32 	 ≥ 5
	3x � 1	 ≥ 4	x � 5	 < 2
	3x	 > 12	x2	 > 3
	2x	 < 6	x	 < 4
���, 20� � �24, �����, 0� � �4, ��
��7, �1��2, 8�
���, �3� � �3, �����, �2� � �2, ��
��3, 3���2, 2�
a � �185 , b �
61
15a �
16
5 , b �
112
75
a � �2,05, b � 4,25a � 9,34, b � �5,65
a � �126, b � �75a � 126, b � 75
500040003000200010000
C
46541611
 = 3132,52Ponto médio = 
1611 + 4654
FIGURA 0.13
Exercícios 0.2
Larson_00:Larson 15.05.10 10:13 Page 11
12MMMCálculo Aplicado
em que x é medido em barris de petróleo. Determine os ní-
veis de produção alto e baixo.
46. Fabricação O peso aceitável de uma caixa de cereais de
20 onças é dado por em que x é medido
em onças. Determine o peso mínimo e máximo de uma
caixa de cereais.
Variação orçamentária Nos Exercícios 47-50, (a) utilize
a notação do valor absoluto para representar os dois in-
tervalos nos quais os gastos devem estar se for exigido
que eles estejam a menos de $ 500 e a menos de 5% do
orçamento especificado e (b) utilizando-se a restrição
mais severa, determine se os gastos dados são diver-
gentes da restrição orçamentária.
Item Orçamento Gastos
47. Serviços públicos $ 4.750 $ 5.116,37
48. Seguro $ 15.000 $ 14.695
49. Manutenção $ 20.000 $ 22.718,35
50. Impostos $ 7.500 $ 8.691
51. Controle de qualidade Ao determinar a confiabilidade
de um produto, um fabricante determina que 0,05% ± 0,01%
das unidades podem apresentar defeitos. Se o fabricante ofe-
recer uma garantia de ressarcimento para este produto, qual
será o valor do orçamento para cobrir as restituições refe-
rente a 150.000 unidades? (Considere que o preço no varejo
é de $ 195,99.)
	x � 20	 ≤ 0,75,
Seção 0.3
Expoentes e 
radicais
■ Calcular expressões envolvendo expoentes e radicais.
■ Simplificar expressões com expoentes.
■ Determinar os domínios de expressões algébricas.
Expressões que envolvem expoentes e radicais
Propriedades dos expoentes
1. Expoentes inteiros:
n fatores
2. Expoente zero:
3. Expoentes negativos: , 
4. Radicais (raiz enésima principal):
5. Expoentes racionais
6. Expoentes racionais
7. Convenção especial (raiz quadrada): 2�x � �x
xm�n � �xm�1�n � n�xm
xm�n � �x1�n�m � � n�x�m�m�n�:
x1�n � n�x�1�n�:
x � ann�x � a
x � 0x�n �
1
xn
x � 0x0 � 1,
xn � x � x � x . . . x
Exemplo 1 Cálculo de expressões 
Expressão Valor de x Substituição
a.
b.
c. y � ��x�2 x � 1
2
y � 
�12�
2
�
1
4
y � 3��1��3 � 3��1�3 �
3
�1
� �3x � �1y � 3x�3
y � �2�42� � �2�16� � �32x � 4y � �2x2
ATENÇÃO
Se n for par, então a raiz 
enésima principal é positiva. Por
exemplo, e
4�81 � �3.
�4 � �2
Larson_00:Larson 15.05.10 10:15 Page 12
d.
Exemplo 2 Cálculo de expressões
Expressão Valor de x Substituição
a.
b.
Operações com expoentes
y � 82�3 � �81�3�2 � 22 � 4x � 8y � 3�x2
y � 2�4 � 2�2� � 4x � 4y � 2x1�2
y �
2
3�2
� 2�32� � 18x � 3y � 2
x�2
Revisão de pré-cálculoMMM13
Operações com expoentes
1. Multiplicação de mesma base: Somar expoentes.
2. Divisão de mesma base: Subtrair expoentes.
3. Remoção de parênteses:
4. Convenções especiais:
xnm � �xn�mxnm � x�nm�,
cxn � �cx�ncxn � c�xn�,
�xn � ��x�n�xn � ��xn�,
�xn�m � xnm

xy�
n
�
xn
yn
�xy�n � xnyn
xn
xm
� xn�m
xnxm � xn�m
✓AUTOAVALIAÇÃO 1
Calcule para ■x � 3.y � 4x�2
✓AUTOAVALIAÇÃO 2
Calcule para ■x � 8.y � 4x1�3
Exemplo 3 Simplificação de expressões com expoentes
Simplifique cada expressão.
a. b. c.
d. e. f.
SOLUÇÃO
a.
b.
c.
d.
e. x�1�2x2� � 2x�1x2 � 2x2�1 � 2x xnxm � xn�m
xn
xm
� xn�m�xn�m � xnm,
5x4
�x2�3 �
5x4
x6
� 5x4�6 � 5x�2 �
5
x2
xn
xm
� xn�m�xn�m � xnm,
3x2
�x1�2�3 � 3
x2
x3�2� � 3x2��3�2� � 3x1�2
xnxm � xn�m�3x�2 3�x � 9x2x1�3 � 9x2��1�3� � 9x7�3
xnxm � xn�m2x2�x3� � 2x2�3 � 2x5
��x
5x�1
x�1�2x2�5x
4
�x2�3
3x2
�x1�2�3�3x�
2 3�x2x2�x3�
As ferramentas gráficas
usam uma ordem 
estabelecida de operações ao
calcular uma expressão. Para 
observar isto tente inserir as 
expressões
e
em sua ferramenta gráfica para
confirmar que as expressões 
resultam em valores diferentes.
1200 	 1 � 
0,0912 �
12�6
1200
1 � 0,0912 �
12�6
TECNOLOGIA
Larson_00:Larson 15.05.10 10:19 Page 13
f.
✓AUTOAVALIAÇÃO 3
Simplifique cada expressão.
a. b. c.
■
Observe no Exemplo 3 que uma característica das expressões simplificadas é
a ausência de expoentes negativos. Outra característica é que somas e subtrações
estão escritas na forma fatorada. Para isso, pode-se utilizar a Propriedade Dis-
tributiva.
Estude o próximo exemplo com cuidado para se certificar de que compreendeu os
conceitos envolvidos no processo de fatoração.
Exemplo 4 Simplificação por fatoração
Simplifique cada expressão utilizando fatoração.
a. b. c. d.
SOLUÇÃO
a.
b.
c.
d.
Muitas expressões algébricas obtidas em cálculo estão em sua forma não sim-
plificada. Por exemplo, as duas expressões mostradas no exemplo a seguir são re-
sultados de uma operação de cálculo chamada derivação. [A primeira é a derivada
de e a segunda é a derivada de 
Exemplo 5 Simplificação por fatoração
Simplifique cada expressão utilizando fatoração.
a.
b.
��x
5x�1
� �
1
5 
x1�2
x�1� � �
1
5
x�1�2��1 � �
1
5
x3�2 x
n
xm
� xn�m
�
�2x � 3�3�2�12x � 7�
�x � 1�1�2
� �x � 1��1�2�2x � 3�3�2�12x � 7�
� �x � 1��1�2�2x � 3�3�2�2x � 3 � 10x � 10�
� �x � 1��1�2�2x � 3�3�2��2x � 3� � 10�x � 1��
�x � 1��1�2�2x � 3�5�2 � 10�x � 1�1�2�2x � 3�3�2
� �x � 1�1�2�2x � 3�3�2�16x � 1�
� �x � 1�1�2�2x � 3�3�2�6x � 9 � 10x � 10�
� �x � 1�1�2�2x � 3�3�2�3�2x � 3� � 10�x � 1��
3�x � 1�1�2�2x � 3�5�2 � 10�x � 1�3�2�2x � 3�3�2
2�x � 1�1�2�2x � 3�5�2.�2�x � 1�3�2�2x � 3�5�2
2x�1�2 � 3x5�2 � x�1�2�2 � 3x3� � 2 � 3x
3
�x
2x1�2 � 4x5�2 � 2x1�2�1 � 2x2�
2x3 � x2 � x2�2x � 1�
2x2 � x3 � x2�2 � x�
2x�1�2 � 3x5�22x1�2 � 4x5�22x3 � x22x2 � x3
abxn � acxn�m � axn�b � cxm�
4x2
�x1�3�2�2x�
3�x3x2�x4�
14MMMCálculo Aplicado
✓AUTOAVALIAÇÃO 4
Simplifique cada expressão 
utilizando fatoração.
a.
b. ■2x1�2 � 8x3�2
x3 � 2x
✓AUTOAVALIAÇÃO 5
Simplifique cada expressão 
utilizando fatoração.
■� 4�x � 2��1�2�3x � 1�5�2
�x � 2�1�2�3x � 1�3�2
ATENÇÃO
Para verificar se a expressão 
simplificada é equivalente à 
expressão original, tente 
substituir x por valores em 
cada expressão.
Larson_00:Larson 15.05.10 10:24 Page 14
O Exemplo 6 mostra alguns tipos adicionais de expressões que podem aparecer
em cálculo. A expressão no Exemplo 6(d) é a primitiva de e a
expressão no Exemplo 6(e) é a derivada de 
Exemplo 6 Fatorações que envolvem quocientes
Simplifique cada expressão utilizando fatoração.
a.
b.
c.
d.
e.
SOLUÇÃO
a.
b.
c.
d.
e.
Domínio de uma expressão algébrica
Ao trabalhar com expressões algébricas que envolvem x, enfrenta-se a potencial di-
ficuldade de substituir um valor de x para o qual a expressão não está definida, ou
seja, não produz um número real. Por exemplo, a expressão não está
definida quando , porque não é um número real.�2��2� � 3x � �2
�2x � 3
�
�9�x � 2�2
�x � 1�4
�
3�x � 2�2�x � 1 � x � 2�
�x � 1�6�2
�
3�x � 2�2�x � 1�2��x � 1� � �x � 2��
�x � 1�6
3�x � 2�2�x � 1�3 � 3�x � 2�3�x � 1�2
��x � 1�3�2
�
3
20
�x � 1�5�3�5x � 9�
�
3
20
�x � 1�5�3�4 � 5x � 5�
�
3
20
�x � 1�5�3�4 � 5�x � 1��
3
5
�x � 1�5�3 � 3
4
�x � 1�8�3 � 12
20
�x� 1�5�3 � 15
20
�x � 1�8�3
�
1 � 18�9x � 2�4�3
3�9x � 2
�9x � 2��1�3 � 18�9x � 2� � �9x � 2��1�3�1 � 18�9x � 2�4�3�
�x � x3�2
x
�
x1�2�1 � x�
x
�
1 � x
x1��1�2�
�
1 � x
�x
3x2 � x4
2x
�
x2�3 � x2�
2x
�
x2�1�3 � x2�
2
�
x�3 � x2�
2
3�x � 2�2�x � 1�3 � 3�x � 2�3�x � 1�2
��x � 1�3�2
3
5
�x � 1�5�3 � 3
4
�x � 1�8�3
�9x � 2��1�3 � 18�9x � 2�
�x � x3�2
x
3x2 � x4
2x
�x � 2�3��x � 1�3.�
�x � 1�2�3�2x � 3�,�
Revisão de pré-cálculoMMM15
✓AUTOAVALIAÇÃO 6
Simplifique cada expressão 
utilizando fatoração.
■
5x3 � x6
3x
Uma ferramenta gráfica
oferece diversas maneiras
de calcular expoentes racionas e
radicais. Familiarize-se com 
a tecla x ao quadrado . Essa
tecla eleva o valor de uma 
expressão ao quadrado.
Para expoentes racionais ou
expoentes diferentes de 2, utilize
a tecla .
Para radicais, pode-se usar a
tecla de raiz quadrada sím, a tecla
de raiz cúbica [sím ou a tecla de
raiz de índice x símb. Consulte o
guia do usuário da ferramenta
gráfica para obter mais informa-
ções sobre teclas específicas que
podem ser utilizadas para calcular
expoentes racionais e expressões
com radicais.
Utilize uma ferramenta grá-
fica para calcular as seguintes
expressões.
a. b.
c. d.
e. 4��16�3
3�729�576
�16 � 5�4��8�2�3
TECNOLOGIA
x2
>
�
�3
�x
Larson_00:Larson 15.05.10 10:28 Page 15
O conjunto de todos os valores para os quais uma expressão é definida é chamado
de domínio. Portanto, o domínio de é o conjunto de todos os valores de x
para os quais é um número real. Para que represente um número
real, é necessário que Em outras palavras, é definida somente
para valores de x que estão no intervalo como mostra a Figura 0.14.
FIGURA 0.14
Exemplo 7 Determinação do domínio de uma expressão
Determine o domínio de cada expressão.
a.
b.
c.
SOLUÇÃO
a. O domínio de consiste de todos os x tais que
A expressão deve ser não negativa.
o que implica que Portanto, o domínio é 
b. O domínio de é o mesmo domínio de exceto que
não está definida quando Como isso ocorre quando
o domínio será
c. Como está definida para todos os números reais, seu domínio é
✓AUTOAVALIAÇÃO 7
Determine o domínio de cada expressão.
a.
b.
c. ■3�x � 2
1
�x � 2
�x � 2
���, ��.
3�9x � 1
�23, ��.x � 23,
3x � 2 � 0.1��3x � 2
�3x � 2,1��3x � 2
�23, ��.x ≥ 23.
3x � 2 ≥ 0
�3x � 2
3�9x � 1
1
�3x � 2
�3x � 2
321−1−2−3 0
x
3
2−
 2x + 3 
não está definida 
para estes x.
 2x + 3 
está definida
para estes x.
��32, ��,
2x � 3 ≥ 0. �2x � 3
�2x � 3�2x � 3
�2x � 3
16MMMCálculo Aplicado
Larson_00:Larson 15.05.10 10:30 Page 16
Nos Exercícios 1-20, calcule a expressão para o valor de
x dado.
Expressão Valor de x Expressão Valor de x
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
Nos Exercícios 21-30, simplifique a expressão.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
Nos Exercícios 31-36, simplifique pela remoção de todos
os fatores possíveis do radical.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
Nos Exercícios 37-44, simplifique cada expressão utili-
zando fatoração.
37. 38.
39. 40.
41.
42.
43.
44.
Nos Exercícios 45-52, determine o domínio da expres-
são dada.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
Juros compostos Nos Exercícios 53-56, um certificado
de depósito possui um principal P e uma taxa de juros
porcentual anual r (expressa na forma decimal) capita-
lizados n vezes por ano. Insira a fórmula dos juros com-
postos
em uma ferramenta gráfica e utilize-a para determinar
o saldo após N capitalizações.
53.
54.
55.
56.
57. Período de um pêndulo O período de um pêndulo é
em que T é o período em segundos e L é o comprimento do
pêndulo em pés. Determine o período de um pêndulo cujo
comprimento é 4 pés.
58. Anuidade Um saldo A, após n pagamentos anuais de P
dólares terem sido feitos em uma anuidade que rende juros
r capitalizados anualmente, é dado por
Reescreva essa fórmula completando a seguinte fatoração:
59. Aplicação estendida Para trabalhar uma aplicação esten-
dida que analise a população por milha quadrada dos Estados
Unidos, consulte a página deste texto em college.hmco.com
(Fonte: U.S. Census Bureau)
A � P�1 � r�� �.
A � P�1 � r� � P�1 � r�2 � . . . � P�1 � r�n.
T � 2�� L32
N � 90n � 6,r � 7%,P � $8.000,
N � 60n � 4,r � 5,5%,P � $5.000,
N � 1.000n � 365,r � 5%,P � $7.000,
N � 120n � 12,r � 6,5%,P � $10.000,
A � P�1 � rn�
N
1
�2x � 3
� �6 � 4x
�x � 2
1 � x
1
3�x � 4
1
3�x � 4
�4x2 � 1�x2 � 3
�5 � 2x�x � 4
�x4 � 2�3�x � 3��1�2 � 4x3�x4 � 2�2�x � 3�1�2
�x � 1��x � 1�2 � �x � 1�3
�x � 1�2
2x�x � 1�5�2 � 4�x � 1�3�2
3x�x � 1�3�2 � 6�x � 1�1�2
5x3�2 � x�3�22x5�2 � x�1�2
8x4 � 6x23x3 � 12x
4�32xy5z�83�144x9y�4z5
4��3x2y3�43�54x5
3�1627�8
� 3�x2 �33x�x
x1�2

12s
2
9s �
310�x � y�3
4�x � y��2
x�3
�x
7x2
x�3
�4x3�210�x2�2
z�3�3z4�6y�2�2y4��3
x � 3256�xx � �1543�x
x � 1,075
10.000
x120
x � 1,01500x60
x � 10�x2�3�3x � �32x�2�5
x � 16x�3�4x � 4x�1�2
x � 19�x
3x � 273�x2
x � 4
1
��x��3x � 106x
0 � �6x�0
x � 35��x�3x � �23x2 � 4x3
x � 3x � 4x�2x � 3
1 � x�1
x�1
x � 57x�2x � 24x�3
x � 6
x2
3
x � 3�2x3
Revisão de pré-cálculoMMM17
Exercícios 0.3
Larson_00:Larson 15.05.10 10:36 Page 17
18MMMCálculo Aplicado
Seção 0.4
Fatoração de
polinômios
■ Utilizar produtos especiais e técnicas de fatoração para fatorar polinômios.
■ Determinar os domínios das expressões radicais.
■ Utilizar divisões sintéticas para fatorar polinômios de grau maior ou igual a três.
■ Utilizar o Teorema do Zero Racional para determinar os zeros reais dos po-
linômios.
Técnicas de fatoração 
O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todos os polinômios de ené-
simo grau 
possuem precisamente n zeros. (Os zeros podem ser repetidos ou imaginários.) O
problema de determinar os zeros de um polinômio é equivalente ao problema de
fatorar um polinômio em fatores lineares.
an � 0anx
n � an�1x
n�1 � . . . � a1x � a0,
Técnicas de fatoração e produtos especiais
Fórmula quadrática Exemplo
Produtos especiais Exemplos
Teorema binominal Exemplos
2
Fatoração por agrupamento Exemplo
2 O símbolo fatorial ! é definido da seguinte forma:
e assim por diante.4! � 4 � 3 � 2 � 1 � 24,3! � 3 � 2 � 1 � 6,
2! � 2 � 1 � 2,1! � 1,0! � 1,
� �x2 � 2��3x � 2�� �ax2 � b��cx � d�
3x3 � 2x2 � 6x � 4 � x2�3x � 2� � 2�3x � 2�acx3 � adx2 � bcx � bd � ax2�cx � d� � b�cx � d�
�x � a�n � xn � naxn�1 � n�n � 1�
2!
a2xn�2 �
n�n � 1��n � 2�
3!
a3xn�3 � . . . ± nan�1x 
 an
�x � a�n � xn � naxn�1 � n�n � 1�
2!
a2xn�2 �
n�n � 1��n � 2�
3!
a3xn�3 � . . . � nan�1x � an
�x � 4�4 � x4 � 16x3 � 96x2 � 256x � 256�x � a�4 � x4 � 4ax3 � 6a2x2 � 4a3x � a4
�x � 2�4 � x4 � 8x3 � 24x2 � 32x � 16�x � a�4 � x4 � 4ax3 � 6a2x2 � 4a3x � a4
�x � 1�3 � x3 � 3x2 � 3x � 1�x � a�3 � x3 � 3ax2 � 3a2x � a3
�x � 2�3 � x3 � 6x2 � 12x � 8�x � a�3 � x3 � 3ax2 � 3a2x � a3
�x2 � 5�2 � x4 � 10x2 � 25�x � a�2 � x2 � 2ax � a2
�x � 3�2 � x2 � 6x � 9�x � a�2 � x2 � 2ax � a2
x4 � 16 � �x � 2��x � 2��x2 � 4�x4 � a4 � �x � a��x � a��x2 � a2�
x3 � 64 � �x � 4��x2 � 4x � 16�x3 � a3 � �x � a��x2 � ax � a2�
x3 � 8 � �x � 2��x2 � 2x � 4�x3 � a3 � �x � a��x2 � ax � a2�
x2 � 9 � �x � 3��x � 3�x2 � a2 � �x � a��x � a�
x �
�3 ± �13
2
x2 � 3x � 1 � 0x �
�b ± �b2 � 4ac
2a
ax2 � bx � c � 0
Larson_00:Larson 15.05.10 10:42 Page 18
Exemplo 1 Aplicação da Fórmula Quadrática
Utilize a Fórmula Quadrática para determinar todos os zeros reais de cada polinômio. 
a. b. c.
SOLUÇÃO
a. Utilizando e tem-se
Portanto, existem dois zeros reais:
e 
b. Neste caso, e e a Fórmula Quadrática fornece
Portanto, existe um zero real, repetido:
c. Para esta equação quadrática, e Portanto,
Como é imaginário, não existem zeros reais.
✓AUTOAVALIAÇÃO 1
Utilize a Fórmula Quadrática para determinar todos os zeros reais de cada polinômio.
a. b. c. ■
Os zeros no Exemplo 1(a) são irracionais, e os zeros no Exemplo 1(c) são
imaginários. Em ambos os casos, diz-se que a quádrica é irredutível porque não
pode ser fatorada em fatores lineares com coeficientes racionais. O exemplo a se-
guir mostra como determinar zerosassociados às quádricas redutíveis. Neste exem-
plo, a fatoração é utilizada para determinar os zeros de cada quádrica. Tente utilizar
a Fórmula Quadrática para obter os mesmos zeros.
Exemplo 2 Fatoração de quádricas
Determine os zeros dos polinômios quadráticos.
a. b. c. 2x2 � 5x � 3x2 � 6x � 9x2 � 5x � 6
2x2 � x � 5x2 � 8x � 162x2 � 4x � 1
��4
x �
�b ± �b2 � 4ac
2a
�
6 ± �36 � 40
4
�
6 ± ��4
4
.
c � 5.b � �6a � 2,
x � �3.
x �
�b ± �b2 � 4ac
2a
�
�6 ± �36 � 36
2
� �
6
2
� �3.
c � 9;b � 6a � 1,
x �
�3 � �5
4
� �0,191.x �
�3 � �5
4
� �1,309
�
�3 ± �5
4
.
�
2��3 ± �5 �
2�4�
�
�6 ± 2�5
8
�
�6 ± �20
8
x �
�b ± �b2 � 4ac
2a
�
�6 ± �36 � 16
8
c � 1,b � 6a � 4,
2x2 � 6x � 5x2 � 6x � 94x2 � 6x � 1
Revisão de pré-cálculoMMM19
ATENÇÃO
Tente resolver o Exemplo 1(b)
utilizando fatoração. Obtém-se a
mesma resposta?
Larson_00:Larson 15.05.10 10:45 Page 19
SOLUÇÃO
a. Como
os zeros são e 
b. Como
o único zero é
c. Como
os zeros são e 
✓AUTOAVALIAÇÃO 2
Determine os zeros de cada polinômio quadrático.
a. b. c. ■
Exemplo 3 Determinação do domínio de uma expressão radical
Determine o domínio de 
SOLUÇÃO Como
sabe-se que os zeros da quádrica são e Portanto, é necessário testar
o sinal da quádrica em três intervalos e como ilustrado na
Figura 0.15. Após o teste de cada um destes intervalos, percebe-se que a quadrá-
tica é negativa no intervalo central e positiva nos dois intervalos de fora. Além
disso, como a quádrica é zero quando e pode-se concluir que o do-
mínio de é 
Domínio
FIGURA 0.15
Fatoração de polinômios de grau maior ou igual a três
Pode ser difícil determinar os zeros de polinômios de grau maior ou igual a três.
No entanto, conhecendo-se um dos zeros do polinômio, é possível usar este zero
para reduzir o grau do polinômio. Por exemplo, sabendo-se que é um zero
de , conclui-se que é um fator e se pode usar a divi-
são para fatorar o polinômio, como mostrado abaixo:
Como alternativa para a divisão usual, muitas pessoas preferem utilizar um al-
goritmo chamado divisão sintética ou algoritmo de Briot-Ruffine para reduzir
o grau de um polinômio.
� �x � 2��x � 1��x � 1�
x3 � 4x2 � 5x � 2 � �x � 2��x2 � 2x � 1�
�x � 2�
x � 2
x3 � 4x2 � 5x � 2
43210
x
está definida.não está definida.está definida.
−1
x2 − 3x + 2 x2 − 3x + 2 x2 − 3x + 2
���, 1� � �2, ��.
�x2 � 3x � 2
x � 2,x � 1
�2, ��,���, 1�, �1, 2�
x � 2.x � 1
x2 � 3x � 2 � �x � 1��x � 2�
�x2 � 3x � 2.
2x2 � 7x � 6x2 � 2x � 1x2 � 2x � 15
x2 � 5x � 6 � �x � 2��x � 3�
x � �3.x � 12
2x2 � 5x � 3 � �2x � 1��x � 3�
x � 3.
x2 � 6x � 9 � �x � 3�2
x � 3.x � 2
20MMMCálculo Aplicado
ATENÇÃO
Os zeros de um polinômio em x
são os valores de x que tornam o
polinômio zero. Para determinar
os zeros, fatore o polinômio em
fatores lineares e iguale cada
fator a zero. Por exemplo, os
zeros de ocorrem
quando e x � 3 � 0.x � 2 � 0
�x � 2��x � 3�
Valores de �x2 � 3x � 2
x �x2 � 3x � 2
0 �2
1 0
1,5 Não definido
2 0
3 �2
✓AUTOAVALIAÇÃO 3
Determine o domínio de
■�x2 � x � 2.
Larson_00:Larson 15.05.10 10:47 Page 20
A aplicação da divisão sintética ao polinômio
utilizando o zero fornecido, x = 2, resulta no seguinte:
Ao utilizar a divisão sintética, é preciso lembrar-se de levar em conta todos os
coeficientes – mesmo se algum deles for zero. Por exemplo, sabendo-se que
é um zero de é possível aplicar a divisão sintética, como
mostrado a seguir:
x3 � 3x � 14,x � �2
x3 � 4x2 � 5x � 2
Revisão de pré-cálculoMMM21
Divisão sintética de um polinômio cúbico
Dado que: é um zero de 
x1 a
a
b c d
0
ax3 � bx2 � cx � d.x � x1
Teorema do Zero Racional
Se um polinômio
possuir coeficientes inteiros, então todos seus zeros racionais serão da forma
em que p é um fator de e q é um fator de an.a0x � p�q,
anx
n � an�1x
n�1 � . . . � a1x � a0
Coeficientes do
fator quadrático
Padrão vertical: 
adicionar termos.
Padrão diagonal: 
multiplicar por x1.
2 1
1
�4
2
�2
5
�4
1
�2
2
0
�x � 2��x2 � 2x � 1� � x3 � 4x2 � 5x � 2
�2 1
1
0
�2
�2
3
4
7
14
�14
0
�x � 2��x2 � 2x � 7� � x3 � 3x � 14
ATENÇÃO
O algoritmo para a divisão sintética fornecido acima funciona apenas para fa-
tores da forma Deve-se lembrar que x � x1 � x � ��x1�.x � x1.
Teorema do Zero Racional
Existe uma maneira sistemática de determinar os zeros racionais de um polinômio.
Pode-se utilizar o Teorema do Zero Racional (também chamado de Teorema das
Raízes Racionais).
Exemplo 4 Utilização do Teorema do Zero Racional
Determine todos os zeros reais do polinômio
2x3 � 3x2 � 8x � 3
Larson_00:Larson 15.05.10 10:49 Page 21
SOLUÇÃO
Os zeros racionais possíveis são os fatores do termo constante divididos pelos fa-
tores do coeficiente principal.
Testando estes zeros possíveis, percebe-se que funciona.
Pela divisão sintética, o que se obtém é o seguinte:
Por fim, a fatoração da quádrica 2x2 + 5x – 3 = (2x – 1) (x + 3) resulta em
chegando-se, assim, à conclusão de que os zeros são e 
✓AUTOAVALIAÇÃO 4
Determine todos os zeros reais do polinômio 
■2x3 � 3x2 � 3x � 2
x � �3.x � 12x � 1,
2x3 � 3x2 � 8x � 3 � �x � 1��2x � 1��x � 3�
2�1�3 � 3�1�2 � 8�1� � 3 � 2 � 3 � 8 � 3 � 0
x � 1
1, �1, 3, �3,
1
2
, �
1
2
,
3
2
, �
3
2
22MMMCálculo Aplicado
Fatores do coeficiente principal: ±1, ±2
Fatores do termo constante: ±1, ±3
2 x3 � 3x2 � 8x � 3
�x � 1��2x2 � 5x � 3� � 2x3 � 3x2 � 8x � 3
1 2
2
3
2
5
�8
5
�3
3
�3
0
ATENÇÃO
No Exemplo 4, é possível verificar que os zeros estão corretos fazendo-se a
substituição no polinômio original.
Verificando que é um zero.
Verificando que é um zero.
Verificando que é um zero.
2
12�
3
� 3
12�
2
� 8
12� � 3
� 0
� �54 � 27 � 24 � 3
2��3�3 � 3��3�2 � 8��3� � 3
x � �3
� 0
�
1
4
�
3
4
� 4 � 3
x � 12
� 0
� 2 � 3 � 8 � 3
2�1�3 � 3�1�2 � 8�1� � 3
x � 1
Larson_00:Larson 15.05.10 10:52 Page 22
Nos Exercícios 1-8, utilize a Fórmula Quadrática para de-
terminar todos os zeros reais do polinômio de grau 2.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
Nos Exercícios 9-18, escreva o polinômio de grau 2 como
o produto de dois fatores lineares.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
Nos Exercícios 19-34, fatore completamente o polinô-
mio.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
Nos Exercícios 35-54, determine todos os zeros reais do
polinômio.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53. 54.
Nos Exercícios 55-60, determine o intervalo (ou interva-
los) nos quais a expressão fornecida está definida.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
Nos Exercícios 61-64, utilize a divisão sintética para com-
pletar a fatoração indicada.
61.
62.
63.
64.
Nos Exercícios 65-74, utilize o Teorema do Zero Racional
como auxílio para determinar todos os zeros reais do
polinômio.
65. 66.
67. 68.
69. 70.
71. 72.
73. 74.
75. Nível de produção O custo médio mínimo para produ-
zir x unidades de um produto ocorre quando o nível de pro-
dução é dado pela solução positiva de
Quantas soluções tem essa equação? Determine e interprete
a(s) solução(ões) no contexto do problema. Qual o nível de
produção que minimizará o custo médio?
76. Lucro O lucro P sobre as vendas é dado por
em que x é o número de unidades vendidas por dia (em cen-
tenas). Determine o intervalo para x no qual o lucro seja
maior que 1.000.
77. Química: determinando concentrações Utilize a
Fórmula Quadrática para resolver a expressão
que é necessário na determinação da quantidade de íons de hi-
drogênio em uma solução de de ácido
acético. Como x representa uma concentração de , so-
mente valores positivos de x são soluções possíveis. (Fonte:
Adaptado de Zumdahl, Chemistry, sétima edição)
78. Finanças Após dois anos, um investimento de $ 1.200,
feito a uma taxa de juros r, capitalizada anualmente, renderá
um montante Determine a taxa de juros
se 
�H ��
A � $1 300.
A � 1 200�1 � r�2.
1,0 	 10�4M��H���
1,8 	 10�5 �
x2
1,0 	 10�4 � x
P � �200x2 � 2.000x � 3.800
0,0003x2 � 1.200 � 0.
3x3 � 4x2 � 13x � 64x3 � 11x2 � 5x � 2
2x3 � x2 � 13x � 6x3 � 3x2� 3x � 4
18x3 � 9x2 � 8x � 46x3 � 11x2 � 19x � 6
x3 � 2x2 � 5x � 6x3 � 6x2 � 11x � 6
x3 � 7x � 6x3 � x2 � 10x � 8
x4 � 16x3 � 96x2 � 256x � 256 � �x � 4�� �
2x3 � x2 � 2x � 1 � �x � 1)� �
x3 � 2x2 � x � 2 � �x � 2�� �
x3 � 3x2 � 6x � 2 � �x � 1�� �
�3x2 � 10x � 3�5x2 � 6x � 1
�x2 � 8x � 15�x2 � 7x � 12
�4 � x2�x2 � 4
2x3 � x2 � 6x � 3x3 � x2 � 4x � 4
x4 � 625x4 � 16
x3 � 216x3 � 64
2x2 � x � 13x2 � 5x � 2
x2 � x � 20x2 � 5x � 6
x2 � 5x � 6x2 � x � 2
�x � 1�2 � 36�x � 3�2 � 9
x2 � 8x2 � 3
x2 � 25x2 � 9
2x2 � 3xx2 � 5x
2x4 � 49x2 � 25x4 � 15x2 � 16
x3 � 7x2 � 4x � 282x3 � 4x2 � x � 2
x3 � 5x2 � 5x � 252x3 � 3x2 � 4x � 6
x3 � x2 � x � 1x3 � 4x2 � x � 4
�x � a�3 � b3x3 � y3
z3 � 125y3 � 64
y3 � 64x3 � 8
x4 � 1681 � y4
a2b2 � 2abc � c2x2 � 4xy � 4y2
x2 � xy � 2y23x2 � 5x � 2
2x2 � x � 13x2 � 4x � 1
9x2 � 12x � 44x2 � 4x � 1
x2 � 10x � 25x2 � 4x � 4
3x2 � 8x � 42x2 � 3x � 4
y2 � 5y � 2y2 � 4y � 1
9x2 � 12x � 44x2 � 12x � 9
8x2 � 2x � 16x2 � 7x � 1
Revisão de pré-cálculoMMM23
Exercícios 0.4
Larson_00:Larson 15.05.10 10:59 Page 23
24MMMCálculo Aplicado
Seção 0.5
Frações e
racionalização
■ Somar e subtrair expressões racionais.
■ Simplificar expressões racionais que envolvem radicais.
■ Racionalizar numeradores e denominadores de expressões racionais.
Operações com frações
Nesta seção, serão revistas as operações que envolvem expressões fracionárias tais
como
e 
As duas primeiras expressões possuem polinômios tanto como numerador quanto
como denominador e são chamadas de expressões racionais. Uma expressão ra-
cional é própria se o grau do numerador é menor que o grau do denominador. Por
exemplo, 
é própria. Se o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador, então
a expressão racional é imprópria. Por exemplo,
e 
são ambas impróprias.
x3 � 2x � 1
x � 1
x2
x2 � 1
x
x2 � 1
1
�x2 � 1
.x
2 � 2x � 4
x � 6
2
x
,
Operações com frações
1. Soma de frações (determinação de um denominador comum):
2. Subtração de frações (determinação de um denominador comum):
3. Multiplicação de frações:
4. Divisão de frações (inversão e multiplicação):
5. Cancelamento de fatores iguais:
a � 0, c � 0, d � 0
ab � ac
ad
�
a�b � c�
ad
�
b � c
d
,
ab
ac
�
b
c
,
c � 0, d � 0
b � 0,
a�b
c
�
a�b
c�1
� 
ab�
1
c� �
a
bc
,
a�b
c�d
� 
ab�
d
c� �
ad
bc
,
b � 0, d � 0
ab�
c
d� �
ac
bd
,
b � 0, d � 0
a
b
�
c
d
�
a
b 
d
d� �
c
d 
b
b� �
ad
bd
�
bc
bd
�
ad � bc
bd
,
b � 0, d � 0
a
b
�
c
d
�
a
b 
d
d� �
c
d 
b
b� �
ad
bd
�
bc
bd
�
ad � bc
bd
,
Exemplo 1 Soma e subtração de expressões racionais
Efetue as operações indicadas e simplifique.
a. b.x �
1
x
1
x � 1
�
2
2x � 1
/
/
Larson_00:Larson 15.05.10 11:02 Page 24
Revisão de pré-cálculoMMM25
SOLUÇÃO
a. Escreva com denominador comum.
Some as frações.
b.
✓AUTOAVALIAÇÃO 1
Efetue as operações indicadas e simplifique.
a. b.
■
Na soma (ou subtração) das frações cujos denominadores não possuem fato-
res comuns, é conveniente utilizar o seguinte padrão.
No Exemplo 1(b), seria possível utilizar este padrão, como mostrado.
No Exemplo 1, os denominadores das expressões racionais não possuem fa-
tores comuns. Quando os denominadores têm fatores comuns, é melhor que se de-
termine o mínimo denominador comum antes de somar ou subtrair. Por exemplo,
ao somar e é possível reconhecer que o mínimo denominador comum é
e escrever
Escreva com denominador comum.
Some as frações.
Isso é mais ilustrado no Exemplo 2.
Exemplo 2 Adição e subtração de expressões racionais
Efetue as operações indicadas e simplifique.
a. b.
SOLUÇÃO
a. Como o mínimo denominador comum é 
Fatore.
Some as frações.�
x � 3x � 3
�x � 1��x � 1�
�
x
�x � 1��x � 1� �
3�x � 1�
�x � 1��x � 1�
x
x2 � 1
�
3
x � 1
�
x
�x � 1��x � 1� �
3
x � 1
x2 � 1.x2 � 1 � �x � 1��x � 1�,
1
2�x2 � 2x� �
1
4x
x
x2 � 1
�
3
x � 1
�
x � 2
x2
.
1
x
�
2
x2
�
x
x2
�
2
x2
2�x2,1�x
x2
�
2x � 1 � 2x � 2
�x � 1��2x � 1� �
�3
2x2 � x � 1
1
x � 1
�
2
2x � 1
�
�2x � 1� � 2�x � 1�
�x � 1��2x � 1�
a
b
�
c
d
�
a
b
�
c
d
�
ad � bc
bd
2
x � 1
�
1
2x � 1
x �
2
x
�
2x � 1 � 2x � 2
2x2 � x � 1
�
�3
2x2 � x � 1
1
x � 1
�
2
2x � 1
�
�2x � 1�
�x � 1��2x � 1� �
2(x � 1�
�x � 1��2x � 1�
�
x2 � 1
x
x �
1
x
�
x2
x
�
1
x
Escreva com deno-
minador comum.
Larson_00:Larson 15.05.10 11:05 Page 25
Simplifique.
b. Neste caso, o mínimo denominador comum é 
Fatore.
Simplifique.
✓AUTOAVALIAÇÃO 2
Efetue as operações indicadas e simplifique.
a. b.
■
x
x2 � 4
�
2
x � 2
1
3�x2 � 2x� �
1
3x
x � 0�
�1
4�x � 2�,
�
�x
4x�x � 2�
�
2 � x � 2
4x�x � 2�
�
2
2�2x��x � 2� �
x � 2
2�2x��x � 2�
1
2�x2 � 2x� �
1
4x
�
1
2x�x � 2� �
1
2�2x�
4x�x � 2�.
�
4x � 3
x2 � 1
26MMMCálculo Aplicado
Escreva com deno-
minador comum.
Subtraia as frações
Cancele os fatores
iguais.
ATENÇÃO
Para somar mais de duas frações, deve-se determinar um denominador que
seja comum a todas as frações. Por exemplo, para somar e utilize o (mí-
nimo) denominador comum 30 e escreva
Escreva com denominador comum.
Some as frações.�
31
30
.
1
2
�
1
3
�
1
5
�
15
30
�
10
30
�
6
30
1
5,
1
3
1
2,
Para somar mais de duas expressões racionais, um procedimento semelhante
é usado, como mostra o Exemplo 3 (expressões como as mostradas neste exemplo
são utilizadas em cálculo para aplicar uma técnica de integração chamada inte-
gração por frações parciais).
Exemplo 3 Adição de mais de duas expressões racionais 
Efetue cada soma indicada das expressões racionais.
a.
b.
SOLUÇÃO
a. O mínimo denominador comum é
�
A�x2 � x � 12� � B�x2 � 6x � 8� � C�x2 � x � 6�
�x � 2��x � 3��x � 4�
�
A�x � 3��x � 4� � B�x � 2��x � 4� � C�x � 2��x � 3�
�x � 2��x � 3��x � 4�
A
x � 2
�
B
x � 3
�
C
x � 4
�x � 2��x � 3��x � 4�.
A
x � 2
�
B
�x � 2�2 �
C
x � 1
A
x � 2
�
B
x � 3
�
C
x � 4
Larson_00:Larson 15.05.10 11:09 Page 26
b. Aqui o mínimo denominador comum é 
✓AUTOAVALIAÇÃO 3
Efetue cada soma indicada das expressões racionais.
a.
b.
■
Expressões que envolvem radicais
Em cálculo, a operação de derivação tende a produzir expressões “bagunçadas”
quando aplicada às expressões fracionárias. Isso é verdadeiro especialmente quando
as expressões fracionárias envolvem radicais. Quando a derivação é utilizada, é im-
portante tentar simplificar essas expressões, a fim de obter formas mais manejá-
veis. Todas as expressões dos Exemplos 4 e 5 são resultados de derivação. Em cada
caso, observe o quanto a forma simplificada é mais simples que a original.
Exemplo 4 Simplificação de uma expressão com radicais
Simplifique cada expressão.
a. b. 
SOLUÇÃO
a. Escreva com denominador comum.
Subtraia as frações.
Divida, inverta e multiplique.�
x � 2
2�x � 1 
1
x � 1�
�
2x � 2 � x
2�x � 1
x � 1
1
�x � 1 �
x
2�x � 1
x � 1
�
2�x � 1�
2�x � 1
�
x
2�x � 1
x � 1

 1x � �x2 � 1�
1 �
2x
2�x2 � 1�
�x � 1 �
x
2�x � 1
x � 1
A
x � 1
�
B
�x � 1�2 �
C
x � 2
A
x � 1
�
B
x � 1
�
C
x � 2
�
�A � C�x2 � �A � B � 4C�x � ��2A � B � 4C�
�x � 2�2�x � 1�
�
Ax2 � Cx2 � Ax � Bx � 4Cx � 2A � B � 4C
�x � 2�2�x � 1�
�
A�x2 � x � 2� � B�x � 1� � C�x2 � 4x � 4�
�x � 2�2�x � 1�
�
A�x � 2��x � 1� � B�x � 1� � C�x � 2�2
�x � 2�2�x � 1�
A
x � 2
�
B
�x � 2�2 �
C
x � 1
�x � 2�2�x � 1�.
�
�A � B � C�x2 � �A � 6B � C�x � ��12A � 8B � 6C�
�x � 2��x � 3��x � 4�
�
Ax2 � Bx2 � Cx2 � Ax � 6Bx � Cx � 12A � 8B � 6C
�x � 2��x � 3��x � 4�
Revisão de pré-cálculoMMM27
Larson_00:Larson 15.05.10 11:13 Page 27
Multiplique.
b.
✓AUTOAVALIAÇÃO 4
Simplifique cada expressão.
a. b.
■
Exemplo 5 Simplificação de uma expressão com radicais
Simplifique a expressão.
SOLUÇÃO Com o Exemplo 4(b), sabe-se que, simplificando, a segunda parte
desta soma fica A primeira parte é simplificada da seguinte forma.
Portanto, a soma é 
�
�x2 � 1
x2
.
�
x2 � 1
x2�x2 � 1
�
1
x2�x2 � 1
�
x2
x2�x2 � 1
�
1
x2�x2 � 1
�
1
�x2 � 1
�x
 2x2�x2 � 1� � �x2 � 1
x2
� 
 1x � �x2 � 1�
1 �
2x
2�x2 � 1�
�
1
x2�x2 � 1
�
�x2 � x2 � 1
x2�x2� 1
�
�x2
x2�x2 � 1
�
x2 � 1
x2�x2 � 1
�x
 2x2�x2 � 1� � �x2 � 1
x2
�
�x2
x2�x2 � 1
�
�x2 � 1
x2
1��x2 � 1.
�x
 2x2�x2 � 1� � �x2 � 1
x2
� 
 1x � �x2 � 1�
1 �
2x
2�x2 � 1�

 1x � �x2 � 4�
1 � x�x2 � 4�
�x � 2 �
x
4�x � 2
x � 2
�
1
�x2 � 1
� 
 1x � �x2 � 1�
x �
�x2 � 1
�x2 � 1 �
� 
 1x � �x2 � 1�
�x2 � 1
�x2 � 1
�
x
�x2 � 1�
� 
 1x � �x2 � 1�
1 �
x
�x2 � 1�

 1x � �x2 � 1�
1 �
2x
2�x2 � 1�
�
x � 2
2�x � 1�3�2
28MMMCálculo Aplicado
Larson_00:Larson 15.05.10 11:18 Page 28
✓AUTOAVALIAÇÃO 5
Simplifique a expressão.
■
�x
 3x3�x2 � 4� � �x2 � 4
x2
� 
 1x � �x2 � 4�
1 �
3x
3�x2 � 4�
Revisão de pré-cálculoMMM29
ATENÇÃO
Para verificar se a expressão simplificada no Exemplo 5 equivale à expressão
original, tente substituir valores de x em cada expressão. Por exemplo, ao
substituir em cada expressão, obtém-se �2.x � 1
Técnicas de racionalização
Ao trabalhar com quocientes que envolvem radicais, costuma ser conveniente
mover a expressão radical do denominador para o numerador ou vice-versa. Por
exemplo, pode-se mover do denominador para o numerador quociente a seguir,
multiplicando por 
Radical no denominador Racionalização Radical no numerador
Esse processo é chamado de racionalização do denominador. Utiliza-se um pro-
cesso similar para racionalizar o numerador. 
�2
2
1
�2
�2
�2�
1
�2
�2��2.
�2
Técnicas de racionalização
1. Se o denominador é multiplica-se por
2. Se o denominador é multiplica-se por
3. Se o denominador é multiplica-se por
As mesmas instruções aplicam-se à racionalização dos numeradores.
�a � �b
�a � �b
.�a � �b,
�a � �b
�a � �b
.�a � �b,
�a
�a
.�a,
Exemplo 6 Racionalização de denominadores e numeradores
Racionalize o denominador ou o numerador.
a. b. c. d.
SOLUÇÃO
a.
b.
c.
�
x � 1
2�x � 1
1
�5 � �2
�
1
�5 � �2 
�5 � �2
�5 � �2� �
�5 � �2
5 � 2
�
�5 � �2
3
�x � 1
2
�
�x � 1
2 
�x � 1�x � 1�
3
�12
�
3
2�3
�
3
2�3 
�3
�3� �
3�3
2�3�
�
�3
2
1
�x � �x � 1
1
�5 � �2
�x � 1
2
3
�12
ATENÇÃO
O sucesso da segunda e da 
terceira técnicas de 
racionalização tem origem no
seguinte.
� a � b
��a � �b ���a � �b �
Larson_00:Larson 15.05.10 11:21 Page 29
d.
✓AUTOAVALIAÇÃO 6
Racionalize o denominador ou o numerador.
a. b. c. d.
■
5
�8
�x � 2
4
1
�6 � �3
1
�x � �x � 2
� ��x � �x � 1
�
�x � �x � 1
x � �x � 1�
1
�x � �x � 1
�
1
�x � �x � 1 
�x � �x � 1
�x � �x � 1�
30MMMCálculo Aplicado
Nos Exercícios 1-16, efetue as operações indicadas e sim-
plifique sua resposta.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9.
10.
11. 12.
13. 14.
15.
16.
Nos Exercícios 17-28, simplifique cada expressão.
17. 18.
19. 20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Nos Exercícios 29-44, racionalize o numerador ou o de-
nominador e simplifique.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
�x � 1 � 1
x
�x � 2 � �2
x
10
�x � �x � 5
2
�x � �x � 2
�15 � 3
12
1
�6 ��5
x
�2 ��3
2x
5 � �3
13
6 � �10
5
�14 � 2
10�x � 2�
�x2 � x � 6
49�x � 3�
�x2 � 9
5y
�y � 7
4x
�x � 1
3
�21
2
�10
�x
2�3 � x2�3�2 �
3
�3 � x2�1�2
�x2
�2x � 3�3�2 �
2x
�2x � 3�1�2
2x2
3�x2 � 1�2�3 � �x
2 � 1�1�3
x2
�x � 1
�x
�
�x
�x � 1
2�x � 1�
x�x � 1��1�2 � �x � 1�1�2
x2
�x2 � 2�1�2 � x2�x2 � 2��1�2
x2

�x3 � 1 � 3x32�x3 � 1� � �x3 � 1�

2x�x2 � 1 � x3�x2 � 1� � �x2 � 1�
�
�x2 � 1
x2
�
1
�x2 � 1
2 � t
2�1 � t
� �1 � t
2�x �x � 2� � �x � 2�
2
2�x
�x
�x � 1�3�2 �
2
�x � 1�1�2
x � 1
x2 � 5x � 4
�
2
x2 � x � 2
�
10
x2 � 2x � 8
1
x2 � x � 2
�
x
x2 � 5x � 6
2
x � 1
�
1 � x
x2 � 2x � 3
�
2
x
�
1
x2 � 2
Ax � B
x2 � 2
�
C
x � 4
A
x � 6
�
Bx � C
x2 � 3
A
x � 5
�
B
x � 5
�
C
�x � 5�2
A
x � 1
�
B
�x � 1�2 �
C
x � 2
x
2 � x
�
2
x � 2
5
x � 3
�
3
3 � x
x
x2 � x � 2
�
1
x � 2
2
x2 � 4
�
1
x � 2
5x � 10
2x � 1
�
2x � 10
2x � 1
2x
x2 � 2
�
1 � 3x
x2 � 2
2x � 1
x � 3
�
1 � x
x � 3
x
x � 2
�
3
x � 2
Exercícios 0.5
Larson_00:Larson 15.05.10 11:29 Page 30
Nos Exercícios 45 e 46, efetue as operações indicadas e
racionalize-as conforme necessário.
45. 46.
47. Empréstimo a prestações O pagamento mensal M de
empréstimo é dado pela fórmula
em que P é o montante do empréstimo, r é a taxa porcentual
anual e N é o número de pagamentos mensais. Insira a fór-
mula em uma ferramenta gráfica e utilize-a para determinar
o pagamento mensal para um empréstimo de $ 10.000 a uma
taxa porcentual anual de 7,5% (r = 0,075) por 5 anos 
(N = 60 pagamentos mensais).
48. Tomada de decisão: estoque Um varejista determi-
nou que o custo C de encomendar e armazenar x unidades de
um produto é 
(a) Escreva a expressão para o custo na forma de uma única
fração.
(b) Qual o tamanho do pedido que o varejista deveria fazer:
240 unidades, 387 unidades ou 480 unidades? Explique
sua conclusão.
�4 � x2
x4
�
2
x2�4 � x2
4 � x2
�x2 � 1
x2 �
1
x�x2 � 1
x2 � 1
C � 6x �
900 000
x
.
M � P� r�121 � 
 1�r�12� � 1�N�
Revisão de pré-cálculoMMM31
Larson_00:Larson 15.05.10 11:30 Page 31
1Funções, gráficos e limites
Os conceitos de funções e limites possuem inúmeras aplicações 
na vida real. Os itens listados abaixo são exemplos destas aplicações. 
■ Saúde, Exercício 36, página 41
■ Gasto federal com educação, Exercício 70, página 53
■ Análise de lucro, Exercício 93, página 64
■ Tomada de decisão: oferta de emprego, Exercício 95, página 64
■ Medicamentos controlados, Exercício 63, página 76
■ Conscientização do consumidor, Exercício 61, página 97
Aplicações
1.1 O plano cartesiano e a Fórmula da Distância
1.2 Gráficos de equações
1.3 Retas no plano e inclinações
1.4 Funções
1.5 Limites 
1.6 Continuidade
Larson_01:Larson 14.05.10 12:01 Page 33
■ Marcar os pontos em um plano coordenado e ler dados apresentados grafica-
mente.
■ Determinar a distância entre dois pontos em um plano coordenado.
■ Localizar pontos médios de segmentos de reta que unem dois pontos.
■ Transladar pontos no plano coordenado.
O plano cartesiano
Assim como é possível representar números reais por meio de pontos em uma reta
real, é possível representar pares ordenados de números reais por pontos em um
plano denominado sistema de coordenadas retangulares ou plano cartesiano,
assim chamado em homenagem ao matemático francês René Descartes (1596-1650).
O plano cartesiano é formado pela utilização de duas retas reais que se cruzam
em ângulos retos, como mostra a Figura 1.1. A reta real horizontal costuma ser
chamada de eixo x, e a reta real vertical costuma ser chamada de eixo y. O ponto
de interseção desses dois eixos é a origem e os dois eixos dividem o plano em
quatro partes denominadas quadrantes.
Cada ponto no plano corresponde a um par ordenado (x, y) de números reais
x e y, chamados coordenadas do ponto. A coordenada x representa a distância
orientada do eixo y até o ponto, e a coordenada y representa a distância orientada
do eixo x até o ponto, como mostra a Figura 1.2.
�x, y�
Seção 1.1
O plano cartesiano
e a Fórmula da 
Distância
ATENÇÃO
A notação (x, y) denota tanto um ponto no plano como um intervalo aberto na
reta real. O contexto esclarece o significado pretendido.
distância orien-
tada do eixo x
distância orien-
tada do eixo y
Exemplo 1 Marcação de pontos no plano cartesiano
Marque os pontos e 
SOLUÇÃO Para marcar o ponto
imagine uma reta vertical por �1 no eixo x e uma reta horizontal por 2 no eixo y.
A interseção dessas duas retas é o ponto (�1, 2). Os outros quatro pontos podem
ser marcados da mesma maneira e estão mostrados na Figura 1.3.
✓AUTOAVALIAÇÃO 1
Marque os pontos e ■
O sistema de coordenadas retangulares permite a visualização de relações entre
duas variáveis. No Exemplo 2, observe o quanto sua intuição é facilitada pelo uso
da representação gráfica.
��1, �2�.��3, 2�, �4, �2�, �3, 1�, �0, �2�,
��1, 2�
��2, �3�.��1, 2�, �3, 4�, �0, 0�, �3, 0�
coordenada x coordenada y
−3 
−4 
1 3 2 4 −1 −3 −2 −4 
1 
2 
3 
4 
−1 
−2 
eixo x
Reta real vertical
Reta real horizontalOrigem
Quadrante II Quadrante I
Quadrante III Quadrante IV
eixo y
FIGURA 1.1 Oplano cartesiano
eixo x
x
y
(x, y)
eixo y
FIGURA 1.2
xx
(3, 0)(0, 0)
(3, 4)
(−1, 2)
(−2, −3)
−3
−4
1 32 4−1−3 −2−4
1
3
4
−1
−2
y
FIGURA 1.3
34MMMCálculo Aplicado
Larson_01:Larson 14.05.10 12:01 Page 34
Exemplo 2 Esboço de um diagrama de dispersão 
Os valores A (em milhões de dólares) gastos em veículos para neve nos Estados
Unidos de 1997 a 2006 são mostrados na tabela, em que t representa o ano. Faça
o esboço de um diagrama de dispersão com os dados fornecidos. (Fonte: Interna-
tional Snowmobile Manufacturers Association)
SOLUÇÃO Para compor um diagrama de dispersão com os dados fornecidos na ta-
bela, simplesmente representa-se cada par de valores por um par ordenado (t, A) e
marca-se os pontos resultantes, como mostra a Figura 1.4. Por exemplo, o primeiro
par de valores é representado pelo par ordenado (1997, 1.006). Observe que há uma
quebra no eixo t, indicando que os números entre 0 e 1996 foram omitidos.
✓AUTOAVALIAÇÃO 2
São mostradas as matrículas E (em milhões) de estudantes norte-americanos em fa-
culdades públicas entre 1995 a 2004, em que t representa o ano. Faça um esboço
do diagrama de dispersão para os dados fornecidos. (Fonte: U.S. National Center for
Education Statistics) 
t 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
A 1.006 975 883 821 894 817 779 712 826 741
t 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
E 11,1 11,1 11,2 11,1 11,3 11,8 12,2 12,8 12,9 13,0
O diagrama de dispersão no
Exemplo 2 é apenas uma das 
maneiras de representar graficamente 
os dados fornecidos. Duas outras 
técnicas são mostradas à direita. 
A primeira é um histograma gráfico 
de barras e a segunda é o gráfico de 
linhas. As três representações gráficas
foram criadas em um computador. Se
tiver acesso fácil a um software de 
gráficos, tente utilizá-lo para 
representar graficamente os dados 
do Exemplo 2.
TECNOLOGIA
D
ól
ar
es
 (
em
 m
ilh
õe
s)
Ano
Valores gastos com veículos para neve
t
A
1997 1999 2001 2003 2005
600
800
1.000
1.200
Ano
Valores gastos com veículos para neve
D
ól
ar
es
 (
em
 m
ilh
õe
s)
t
A
1997 1999 2001 2003 2005
600
800
1.000
1.200
Fórmula da Distância
Lembre-se de que pelo Teorema de Pitágoras, para um triângulo retângulo com
hipotenusa de comprimento c e lados de comprimento a e b, temos
Teorema de Pitágoras
como mostra a Figura 1.5 (o oposto também é verdadeiro. Ou seja, se
então o triângulo é um triângulo retângulo).
Suponha que se deseje determinar a distância d entre dois pontos e
no plano. Com esses dois pontos, é possível formar um triângulo retângulo,
como mostra a Figura 1.6. O comprimento do lado vertical do triângulo é
�y2 � y1�
�x2, y2�
�x1, y1�
a2 � b2 � c2,
a2 � b2 � c2
Ano
Valores gastos com veículos para neve
D
ól
ar
es
 (
em
 m
ilh
õe
s)
t
A
1997 1999 2001 2003 2005
600
800
1.000
1.200
FIGURA 1.4
ATENÇÃO
No Exemplo 2, pode-se 
fazer com que represente o
ano de 1997. Nesse caso, o eixo
horizontal não estaria 
interrompido e as marcas teriam
sido identificadas com 
números de 1 a 10 (em vez 
de 1997 a 2006).
t � 1
c
b
a
a2 + b2 = c2
FIGURA 1.5 Teorema de Pitágoras
Funções, gráficos e limitesMMM35
Larson_01:Larson 14.05.10 12:01 Page 35
e o comprimento do lado horizontal é
Pelo Teorema de Pitágoras, pode-se escrever que
Esse resultado é a Fórmula da Distância.
Exemplo 3 Determinação de uma distância
Determine a distância entre os pontos e 
SOLUÇÃO Sejam e Então, aplique a Fórmula
da Distância como mostrado.
Fórmula da Distância
Substitua os valores de e
Simplifique.
Utilize uma calculadora.
Observe na Figura 1.7 que uma distância de 5,83 parece coerente.
✓AUTOAVALIAÇÃO 3
Determine a distância entre os pontos e ■
Exemplo 4 Verificação de um triângulo retângulo
Utilize a Fórmula da Distância para mostrar que os pontos e são
vértices de um triângulo retângulo.
SOLUÇÃO Os três pontos estão marcados na Figura 1.8. Ao utilizar a Fórmula da
Distância, é possível determinar o comprimento dos três lados conforme abaixo.
Como
é possível aplicar a recíproca do Teorema de Pitágoras para concluir que este triân-
gulo deve ser um triângulo retângulo.
✓AUTOAVALIAÇÃO 4
Utilize a Fórmula da Distância para mostrar que os pontos e
são vértices de um triângulo retângulo. ■�6, �3�
�5, 5��2, �1�,
d1
2 � d2
2 � 45 � 5 � 50 � d3
2
d3 � ��5 � 4�2 � �7 � 0�2 � �1 � 49 � �50
d2 � ��4 � 2�2 � �0 � 1�2 � �4 � 1 � �5
d1 � ��5 � 2�2 � �7 � 1 �2 � �9 � 36 � �45
�5, 7��2, 1�, �4, 0�
�2, 4�.��2, 1�
� 5.83
� �34
� ��5�2 � �3�2
y2.x1, y1, x2� ��3 � ��2��2 � �4 � 1�2
d � ��x2 � x1�2 � �y2 � y1�2
�x2, y2� � �3, 4�.�x1, y1� � ��2, 1�
�3, 4�.��2, 1�
d � ��x2 � x1�2 � �y2 � y1�2.
d � ��x2 � x1�2 � �y2 � y1�2
d2 � �x2 � x1�2 � �y2 � y1�2
�x2 � x1�.
Fórmula da Distância
A distância d entre dois pontos e no plano é 
d � ��x2 � x1�2 � �y2 � y1�2.
�x2, y2��x1, y1�
x
d
x2 − x1
(x2, y2)
x2
(x1, y1)
y1
y2
x1
y2 − y1⏐⏐
⏐⏐
y
FIGURA 1.6 Distância entre dois
pontos
4
3
21 43−2 −1
−1
−3
x
3
d
5
(3, 4)
(−2, 1)
y
FIGURA 1.7
8
6
4
2
642
x
d3
d1
d2
(5, 7)
(2, 1)
(4, 0)
y
FIGURA 1.8
36MMMCálculo Aplicado
Larson_01:Larson 14.05.10 12:01 Page 36
As figuras fornecidas nos Exemplos 3 e 4 não foram essenciais na resolução.
No entanto, recomendamos fortemente que se adquira o hábito de incluir esboços
em suas soluções – mesmo quando não for solicitado.
Exemplo 5 Determinação do comprimento de um passe 
Em um jogo de futebol americano, o quarterback arremessa a bola a partir da linha
das 5 jardas, a 20 jardas de distância da linha lateral. O recebedor agarra a bola na
linha de 45 jardas, distando 50 jardas da mesma linha lateral, como mostra a Fi-
gura 1.9. Quão longo foi o passe?
SOLUÇÃO É possível determinar o comprimento do passe encontrando a distân-
cia entre os pontos (20, 5) e (50, 45).
Fórmula da Distância
Simplifique.
Portanto, o passe terá 50 jardas de comprimento.
Fórmula do ponto médio
Para determinar a fórmula do ponto médio do segmento de reta que une dois pon-
tos em um plano coordenado, basta determinar os valores médios das respectivas
coordenadas das duas extremidades.
Exemplo 6 Determinação do ponto médio de um segmento
Localize o ponto médio do segmento de reta que une os pontos e
como mostra a Figura 1.10.
SOLUÇÃO Sejam e 
Ponto médio
✓AUTOAVALIAÇÃO 6
Localize o ponto médio do segmento de reta que une e ■�2, 8�.��6, 2�
� 	x1 � x22 ,
y1 � y2
2 
 � 	
�5 � 9
2
,
�3 � 3
2 
 � �2, 0�
�x2, y2� � �9, 3�.�x1, y1� � ��5, �3�
�9, 3�,��5, �3�
� 50
� �900 � 1.600
d � ��50 � 20�2 � �45 � 5�2
Fórmula do ponto médio
O ponto médio do segmento que une os pontos e é
Ponto médio � 	x1 � x22 ,
y1 � y2
2 
.
�x2, y2��x1, y1�
ATENÇÃO
No Exemplo 5, a escala sobre a linha do gol, que mostra a distância da linha la-
teral, não aparece usualmente no campo de futebol. No entanto, ao utilizar a geo-
metria de coordenadas para resolver questões da vida real, pode-se posicionar o
sistema de coordenadas da forma mais conveniente para a solução do problema.
FIGURA 1.9
10 20 30 40 50
(20, 5)
(50, 45)
Linha de 
passe
✓AUTOAVALIAÇÃO 5
Um quarterback lança a bola da
linha das 10 jardas, a 10 jardas de
distância da linha lateral. O 
recebedor agarra a bola na linha das
30 jardas, a uma distância de
25 jardas da mesma linha lateral.
Qual é o comprimento do passe? ■
9 
6 
3 
6 3 
−3 
−6 
−3 −6 
x 
(9, 3) 
(2, 0) 
Ponto médio
(−5, −3) 
y 
FIGURA 1.10
Funções, gráficos e limitesMMM37
Larson_01:Larson 14.05.10 12:01 Page 37
Exemplo 7 Estimativa das vendas anuais 
A Starbucks Corporation teve vendas anuais de $ 4,08 bilhões em 2003 e $ 6,37
bilhões em 2005. Sem qualquer informação adicional, determine uma estimativa
das vendas em 2004. (Fonte: Starbucks Corp.)
SOLUÇÃO Uma solução para o problema é assumir que as vendas seguiram um
padrão linear. Com essa hipótese, pode-se estimar as vendas de 2004 encontrando-
-se o ponto médio do segmento que une os pontos (2003, 4,08) e (2005, 6,37).
Ponto médioPortanto, pode estimar que as vendas em 2004 foram de $ 5,23 bilhões, como mos-
tra a Figura 1.11. (O valor real das vendas em 2004 foi de $ 5,29 bilhões.)
✓AUTOAVALIAÇÃO 7
A Whirlpool Corporation teve vendas anuais de $ 12,18 bilhões em 2003 e $ 14,32
bilhões em 2005. Determine uma estimativa das vendas em 2004. (Fonte: Whirl-
pool Corporation.) ■
Translação de pontos no plano
Exemplo 8 Translação de pontos no plano
A Figura 1.12(a) mostra os vértices de um paralelogramo. Localize os vértices do
paralelogramo depois dele ter sido transladado duas unidades para baixo e quatro
unidades para a direita.
SOLUÇÃO Para transladar cada vértice duas unidades para baixo, subtraia 2 de
cada coordenada y. Para transladar cada vértice quatro unidades à direita, some
4 a cada coordenada x.
Ponto original Ponto transladado
O paralelogramo transladado é mostrado na Figura 1.12(b)
(a) (b)
FIGURA 1.12
✓AUTOAVALIAÇÃO 8
Localize os vértices do paralelogramo no Exemplo 8 após este ter sido transladado
duas unidades para a esquerda e quatro unidades para baixo. ■
(3, 6)
(7, 4)
(5, 2)
(7, 0)(1, 0)
(1, 4)
(3, 2)
(5, 2)−
−4
−6 12
8
(3, 6)
(1, 0)
(1, 4)
(3, 2)
−4
−6 12
8
�1 � 4, 4 � 2� � �5, 2��1, 4�
�3 � 4, 6 � 2� � �7, 4��3, 6�
�3 � 4, 2 � 2� � �7, 0��3, 2�
�1 � 4, 0 � 2� � �5, �2��1, 0�
� 	2003 � 20052 ,
4,08 � 6,37
2 
 � �2004, 5,23�
V
en
da
s
(e
m
 b
ilh
õe
s 
de
 d
ól
ar
es
)
Ano
Vendas anuais da 
Starbucks Corporation
2003 2004 2005
Ponto médio
(2004, 5,23)
(2005, 6,37)
(2003, 4,08)
3
4
5
6
7
FIGURA 1.11
38MMMCálculo Aplicado
Larson_01:Larson 14.05.10 12:01 Page 38
Nos Exercícios 1 e 2, marque os pontos no plano carte-
siano.
1.
2.
Nos Exercícios 3-12, (a) marque os pontos, (b) determine
a distância entre os pontos e (c) localize o ponto médio
do segmento de reta que une os pontos.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9.
10.
11.
12.
Nos Exercícios 13-16, (a) determine o comprimento de
cada lado do triângulo retângulo e (b) demonstre que
essas medidas satisfazem o Teorema de Pitágoras.
13. 14.
15. 16.
x
cb
a
(2, 5)
(6, −2)(2, −2)
y
x
b
a
c
(7, 1)
(7, 4)
(−3, 1)
y
x
b
a
c
(1, 1) (13, 1)
(13, 6)
y
x
bc
a
(4, 3)
(4, 0)(0, 0)
y
�5,2, 6,4�, ��2,7, 1,8�
�0, �4,8�, �0,5, 6�
��2, 0�, �0,�2 �
�1, �3 �, ��1, 1�
��3, 7�, �1, �1��2, 2�, �4, 14�
�23, �13�, �56, 1��12, 1�, ��32, �5�
��3, 2�, �3, �2��3, 1�, �5, 5�
�0, �4�, �5, 1�, ��3, 5�, �2, �2�, ��6, �1�
��5, 3�, �1, �1�, ��2, �4�, �2, 0�, �1, �6�
1. Qual é a coordenada y de qualquer ponto no eixo x? Qual é a coordenada
x de qualquer ponto no eixo y? 
2. Descreva os sinais das coordenadas x e y de pontos que estão no primeiro e
no segundo quadrantes.
3. Quantas vezes a fórmula do ponto médio é utilizada para que um seg-
mento de reta seja dividido em quatro partes iguais?
4. Ao determinar a distância entre dois pontos, faz alguma diferença qual dos
pontos é escolhido como Explique.�x1, y1�?
VERIFICAÇÃO DOS CONCEITOS
Os exercícios preparatórios a seguir envolvem conceitos vistos em seções anteriores. Esses 
conceitos serão utilizados no conjunto de exercícios desta seção. Para obter mais ajuda, 
veja novamente a Seção 0.3.
Nos Exercícios 1-6, simplifique cada expressão.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
Nos Exercícios 7–10, determine ou 
7. 8.
9. 10.
y.x
�7 � y
2
� �3
x � ��5�
2
� 7
��6 � 2�2 � ��2 � y�2 � �52��3 � x�2 � �7 � 4�2 � �45
�8 � �18�27 � �12
�3 � ��1�
2
5 � ��4�
2
���2 � 0�2 � ��7 � ��3��2��3 � 6�2 � �1 � ��5��2
Recapitulação 1.11
Exercícios 1.1
1 As respostas para os exercícios de recapitulação estão no final do livro. 
Funções, gráficos e limitesMMM39
Larson_01:Larson 14.05.10 12:01 Page 39
Nos Exercícios 17-20, mostre que os pontos formam os
vértices da figura dada. (Um losango é um quadrilátero
cujos lados têm o mesmo comprimento.)
Vértices Figura
17. Triângulo retângulo
18. Triângulo isósceles
19. Losango
20. Paralelogramo
Nos Exercícios 21 e 22, determine x de forma que a dis-
tância entre os pontos seja 5.
21. 22.
Nos Exercícios 23 e 24, determine y de forma que a dis-
tância entre os pontos seja 8.
23. 24.
25. Dimensão de construções A base e a altura da arma-
ção do telhado de uma casa são 32 pés e 5 pés, respectiva-
mente (veja a figura).
(a) Determine a distância dos beirais até o topo do telhado.
(b) O comprimento da casa é de 40 pés. Utilize o resultado
da questão (a) para determinar o número de pés quadra-
dos do telhado.
Figura para o Exercício 25 Figura para o Exercício 26
26. Comprimento de um cabo Um cabo é esticado de
uma torre de transmissão em um ponto a 200 pés acima do
chão até uma estaca, 125 pés a partir da base (veja a figura).
Qual o comprimento do cabo?
Nos exercícios 27 e 28, use uma ferramenta gráfica para
fazer um diagrama de dispersão, um gráfico de barras
ou de linhas para representar os dados. Descreva quais-
quer tendências que apareçam.
27. Tendência de consumo O número (em milhões) de as-
sinantes do plano básico de TV a cabo nos Estados Unidos
de 1996 a 2005 é mostrado na tabela. (Fonte: National
Cable & Telecommunications Association)
28. Tendência de consumo O número (em milhões) de as-
sinantes de telefonia celular nos Estados Unidos de 1996 a
2005 é mostrado na tabela. (Fonte: Cellular Telecommuni-
cations & Internet Association)
Dow Jones Industrial Average Nos Exercícios 29 e
30, utilize a figura abaixo, que mostra o índice Dow
Jones Industrial Average (ou simplesmente Dow
Jones) para ações comuns. (Fonte: Dow Jones, Inc.)
29. Calcule uma estimativa do índice Dow Jones para cada data.
(a) março de 2005 (b) dezembro de 2005
(c) maio de 2006 (d) janeiro de 2007
30. Calcule uma estimativa da queda ou do aumento porcentual
no índice Dow Jones (a) de março a novembro de 2005 e
(b) de maio 2006 a fevereiro de 2007.
Figura para os Exercícios 29 e 30
Construção Nos Exercícios 31 e 32, utilize a figura que
mostra os preços médios de venda de imóveis (casa ou
apartamento) (em milhares de dólares) nos Estados Uni-
dos de 1990 a 2005. (Fonte: National Association of
Realtors)
31. Calcule uma estimativa do preço médio de venda de imó-
veis para cada ano.
(a) 1990 (b) 1992 (c) 1997 (d) 2005
32. Calcule uma estimativa dos aumentos porcentuais do preço
dos imóveis (a) de 1993 a 1994 e (b) de 2003 a 2004.
Figura para os Exercícios 31 e 32
Projeto de pesquisa Nos Exercícios 33 e 34, (a) utilize
a fórmula do ponto médio para estimar a receita e o
lucro das empresas em 2003. (b) Em seguida, utilize uma
Pr
eç
o 
m
éd
io
 d
e 
ve
nd
a
(e
m
 m
ilh
ar
es
 d
e 
dó
la
re
s)
Ano
80
60
100
120
140
160
180
200
220
1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005
D
ow
 J
on
es
 I
nd
us
tr
ia
l A
ve
ra
ge
2005 2006 2007
J F MAM J J A S O N D J F MAM J J A S O N D J F
10,000
10,400
10,800
11,200
11,600
12,000
12,400
Mar. Dez.
Maio
Jan.12,800
13,200
�0, 1�, �3, 7�, �4, 4�, �1, �2�
�0, 0�, �1, 2�, �2, 1�, �3, 3�
�1, �3�, �3, 2�, ��2, 4�
�0, 1�, �3, 7�, �4, �1�
200 pés
125 pés
c
5
40
32
d
�5, 1�, �5, y��0, 0�, �3, y�
�2, �1�, �x, 2��1, 0�, �x, �4�
40MMMCálculo Aplicado
Ano 1996 1997 1998 1999 2000
Assinantes 62,3 63,6 64,7 65,5 66,3
Ano 2001 2002 2003 2004 2005
Assinantes 66,7 66,5 66,0 65,7 65,3
Ano 1996 1997 1998 1999 2000
Assinantes 44,0 55,3 69,2 86,0 109,5
Ano 2001 2002 2003 2004 2005
Assinantes 128,4 140,8 158,7 182,1 207,9
Larson_01:Larson 14.05.10 12:01 Page 40
biblioteca, a internet ou outra fonte de referência para
determinar a receita e o lucro real de 2003. (c) A receita
e o lucro aumentaram em um padrão linear de 2001 a
2005? Explique sua conclusão. (d) Quais foram os gastos
da empresa durante cada um dos anos mencionados?
(e) Como o crescimento da empresa poderia ser classifi-
cado de 2001 a 2005? (Fonte: The Walt Disney Company
e CVS Corporation)
33. The Walt Disney Company
34. CVS Corporation
35. Economia A tabela mostra o número de inflamações no ou-
vido, tratadas por médicos de clínicas que fazem parte das
Organizações Mantenedoras de Saúde de três tamanhos