Unidade2 - Atividade 2

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11/05/2022 13:59 Atividade 2 (A2): Revisão da tentativa
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Minhas Disciplinas 202210.ead-29782294.06 - CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS - GR0551 UNIDADE 2
Atividade 2 (A2)
Iniciado em quarta, 11 mai 2022, 13:17
Estado Finalizada
Concluída em quarta, 11 mai 2022, 13:51
Tempo
empregado
34 minutos 19 segundos
Avaliar 8,00 de um máximo de 10,00(80%)
Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal.
Expressando essa lei como a função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume de sob uma
pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por
segundo. 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use ). 
 
 
a. A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
b. A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
c. A temperatura está aumentando a uma taxa de  por segundo no instante dado.
d. A temperatura está aumentando a uma taxa de  por segundo no instante dado.
e. A temperatura está
diminuindo a uma taxa
de  por segundo no
instante dado.
 Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde ,
temos . Pelas informações do enunciado, temos , , 
 e . Derivando a função  com relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: 
, onde  e . Assim, 
. Portanto, a temperatura está
diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
A resposta correta é: A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.

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Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é,
quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário
do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função no ponto
P(-1,1). 
 
 
a.
b.  Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor
gradiente são: ,  e . Logo, 
. Como a direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário com
mesma direção e sentido do vetor gradiente, temos que o vetor procurado é 
.
c.
d.
e.
A resposta correta é: 

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Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis temos que o domínio desse tipo de função
pode ser dado como o conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei de formação da função . Assim,
para determinar o domínio da função precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. 
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. 
 
 
a. O domínio da função  é o conjunto .
b. O domínio da função  é o conjunto .
c. O domínio da função  é o conjunto 
.
 Resposta correta. A alternativa está correta. Temos
as seguintes restrições para os valores de  e :
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa,
isto é, 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula,
isto é, 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta
em . Logo, .
d. O domínio da função  é o conjunto .
e. O domínio da função  é o conjunto .
A resposta correta é: O domínio da função  é o conjunto .
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da
chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis
intermediárias e a variável dependente. Sabemos que podemos escrever . Se e e . 
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
a. As variáveis  e  são as variáveis dependentes.
b. A variável  é a variável intermediária.
c. As variáveis  e  são as
variáveis independentes.
 Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável  depende das
variáveis  e , pois . No entanto, as variáveis  e  dependem das variáveis 
 e  e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável. Dessa
forma, concluímos que as variáveis  e  são as variáveis independentes.
d. A variável  é a variável independente.
e. As variáveis  e  são as variáveis intermediárias.
A resposta correta é: As variáveis  e  são as variáveis independentes.

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Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a
partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio
da função . 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do vetor . 
 
 
a. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,93 unidades.
b. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,39 unidades.
c. A temperatura está
aumentando à taxa de
aproximadamente 9,93
unidades.
 Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor
gradiente são: ,  e . Assim, dado o ponto (3,4),
temos . O vetor  é unitário, então a derivada direcional irá nos
fornecer a taxa de variação desejada: .
d. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,38 unidades.
e. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,82 unidades.
A resposta correta é: A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, e são funções de expressas por 
 e . Para se obter a derivada de com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em relação a , isto é, , para quando . 
 
 
a.
b.
c.
d.
e.  Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que 
, onde . Assim, 
. Dado que , temos 
.
A resposta correta é: 

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Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 8
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
Chamamos de curva de nível da função  o conjunto de todos os pares  pertencentes ao domínio de  tais que ,
onde  é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de
duas variáveis. 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta.
a. A equação  é uma curva de nível para a função  para 
b. A equação  é uma curva de nível para a função  para .
c. A equação  é uma curva de nível para a função  para .
d. A equação  é uma
curva de nível para a função 
 para .
 Resposta correta. A alternativa está correta. Pela de�nição de curva de nível, temos
que . Assim, igualando a função ao valor de , temos que 
. Portanto, a curva de nível da função 
 para  é dada pela equação .
e. A equação  é uma curva de nível para a função  para .
A resposta correta é: A equação  é uma curva de nível para a função  para .
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto é, e . A derivada da
função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar
que precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com
relação à variável . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à variável ,
sabendo que e . 
 
 
a.
b.
c.
d.  Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Utilizando a regra da cadeia,
precisamos calcular as derivadas  as quais são expressas por , 
,  e . Dessa forma, .
Trocando as expressões de  e , temos .
e.
A resposta correta é: 

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Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 10
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela
quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três
componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional é expresso pela função 
. 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do potencial elétrico no ponto 
. 
 
 
a.  Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial elétrico
ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto é, 
Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é  e
sua norma é , temos que a direção procurada é 
.
b.
c.
d.
e.
A resposta correta é: 
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No
caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor
gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função. 
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função no ponto P(1,2).
a.  Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A direção de maior
crescimento é . O vetor gradiente é  e, calculado no
ponto P(1,2), é . Sua norma é . Portanto, 
.
b.
c.
d.
e.
A resposta correta é: 
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