Fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral

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Fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral
1. As integrais, quando transformadas em um limite de somas de Riemann, consistem em um procedimento longo e difícil. Assim, a segunda parte do teorema fundamental do cálculo (TFC) se apresenta como um método simples para o cálculo de integrais, inclusive para o cálculo de áreas. Nesse contexto, determine a área sob a parábola y = x2 de 0 até 1 como apresentado na figura a seguir: 
2. Assinale a alternativa correta: 
1/5 u.a.
 1 u.a.
1/8 u.a.
1/3  u.a. (Alternativa correta)
2. O teorema fundamental do cálculo (TFC) traduz a ideia central do cálculo diferencial e integral, que é o elo entre esses dois cálculos. Sobre o teorema fundamental do cálculo, avalie as proposições a seguir: I. O TFC conclui que a integração e a diferenciação são operações inversas. II. Problemas de cálculos de área sob um gráfico de uma função em um intervalo e o problema de construção de uma reta tangente em um ponto da função estão interligados e podem ser resolvidos juntos, fato este constatado pelo TFC. III. Integral e derivada estão relacionadas como operações complementares associadas a uma constante. Está correto o que se afirma em:   
I e III, apenas.
I, apenas.
I e II, apenas. (Alternativa correta)
II, apenas.
3. Uma integral é um número associado a uma função definida sobre determinado conjunto e que pode ser encontrada mediante um processo de exaustão segundo determinada medida. As somas de Riemann se apresentam como mais uma alternativa para solucionar integrais. Com base na concepção de Riemann, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas: I. A definição atual de integral definida em termos de somas superiores e inferiores recebe o nome de "integral de Riemann". PORQUE II. Seu estudo fornece condições necessárias e suficientes para que uma função ilimitada seja integrável. A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.     
 As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II justifica a I.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II, verdadeira.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II, falsa. (Alternativa correta)
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I.
4. A soma de Riemann é um método que permite encontrar a integral definida para uma classe de funções utilizando limites de somas. Assinale a alternativa que contenha a soma de Riemann para                f(x) = 2 - x3, 0 ≤ x ≤ 2 e P a partição de [0, 2] em quatro subintervalos de mesmo comprimento. Admita c como o extremo direito do subintervalo [xi-1,xi ].     
S4 (f) = f(1/2) × 1/2 + f(1) × 2/2 + f(3/2) × 3/2 + f(2) × 4/2.
S4 (f) = f(1/2) × 1/2 + f(1) × 1/2 + f(3/2) × 1/2 +f(2) × 1/2. (Alternativa correta)
S4 (f) = f(1/2) × 2 + f(1) × 2 + f(3/2) × 2 +f(2) × 2.
S4 (f) = f(1/2) × 1 + f(1) × 1 + f(3/2) × 1 + f(2) × 1.
5. Sabe-se que a área sob a curva de uma função em um intervalo pode ser aproximada por retângulos, em particular por um retângulo de altura média, definido pelo teorema do valor médio. Ache o valor médio da função f(x)=√x  no intervalo [1,4]  e todos os pontos do intervalo nos quais o valor de f é igual ao valor médio. Assinale a alternativa correta.     
  1,5556 e 196/81. (Alternativa correta)
-1 e 2.
1 e 2.
-1,556 e 196/81.
6. Se a velocidade de uma partícula é dada por v(t) = 3t em m/s, qual é o seu deslocamento depois de 10 segundos?   
0m.
15m.
150m. (Alternativa correta)
1m.
7. As integrais são utilizadas, entre outras aplicações, para determinar a área entre uma curva em um intervalo do eixo x. Ache a área total entre a curva y=1-x2 e o intervalo [0, 1]. Assinale a alternativa correta.     
150.
-2.
-2/3.
2/3. (Alternativa correta)
8. Dada a função f(x) = 3x + 1, qual é a sua integral?   
3/2 x2 + x + C (Alternativa correta)
x + C
3/2 x2 + C
3x2 + x + C
9. Uma função só é integrável em um intervalo se ela for contínua e limitada no intervalo considerado. Assim, calcule: 
  0.
192/3.
128/3. (Alternativa correta)
8/3.
10. A integral da função f(x) = 10x + 2 no intervalo [1,2] é:     
3/2.
0.
17. (Alternativa correta)
10.