Avaliação - Fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral

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Fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral 
Avaliação 
1. O teorema fundamental do cálculo (TFC) traduz a ideia central do cálculo diferencial 
e integral, que é o elo entre esses dois cálculos. Sobre o teorema fundamental do 
cálculo, avalie as proposições a seguir: 
I. O TFC conclui que a integração e a diferenciação são operações inversas. 
II. Problemas de cálculos de área sob um gráfico de uma função em um intervalo 
e o problema de construção de uma reta tangente em um ponto da função estão 
interligados e podem ser resolvidos juntos, fato este constatado pelo TFC. 
III. Integral e derivada estão relacionadas como operações complementares 
associadas a uma constante. Está correto o que se afirma em: 
I e III, apenas. 
I, apenas. 
I e II, apenas. (Alternativa correta) 
II, apenas. 
2. Os métodos de integração são utilizados mediante as características e os elementos 
que compõem a integral. Dessa forma, é necessário conhecer as estratégias que auxiliam 
no processo de reconhecimento de qual técnica utilizar.
 
Qual(is) das integrais apresentadas pode(m) ser solucionada(s) utilizando-se o método 
de substituição de variáveis? 
I, III e IV, apenas. (Alternativa correta) 
I, apenas. 
II, III e IV, apenas. 
II e IV, apenas. 
3. As integrais são utilizadas, entre outras aplicações, para determinar a área entre uma 
curva em um intervalo do eixo x. Ache a área total entre a curva y=1-x
2
 e o intervalo [0, 
1]. Assinale a alternativa correta. 
150. 
-2/3. 
-2. 
2/3. (Alternativa correta) 
4. A soma de Riemann é um método que permite encontrar a integral definida para uma 
classe de funções utilizando limites de somas. Assinale a alternativa que contenha a 
soma de Riemann para f(x) = 2 - x
3
, 0 ≤ x ≤ 2 e P a partição de [0, 2] em quatro 
subintervalos de mesmo comprimento. Admita c como o extremo direito do 
subintervalo [xi-1,xi ]. 
S4 (f) = f(1/2) × 1 + f(1) × 1 + f(3/2) × 1 + f(2) × 1. 
S4 (f) = f(1/2) × 1/2 + f(1) × 2/2 + f(3/2) × 3/2 + f(2) × 4/2. 
S4 (f) = f(1/2) × 1/2 + f(1) × 1/2 + f(3/2) × 1/2 +f(2) × 1/2. (Alternativa correta) 
S4 (f) = f(1/2) × 2 + f(1) × 2 + f(3/2) × 2 +f(2) × 2. 
5. Sabe-se que a área sob a curva de uma função em um intervalo pode ser aproximada 
por retângulos, em particular por um retângulo de altura média, definido pelo teorema 
do valor médio. Ache o valor médio da função f(x)=√x no intervalo [1,4] e todos os 
pontos do intervalo nos quais o valor de f é igual ao valor médio. Assinale a alternativa 
correta. 
-1,556 e 196/81. 
1 e 2. 
 1,5556 e 196/81. (Alternativa correta) 
-1 e 2. 
6. Qual das opções abaixo representa uma integral indefinida? 
f' (x) = 30x2 
∫a
b f(x)dx. 
∫4dx. (Alternativa correta) 
f(x) = 4x + C. 
 
7. Uma integral é um número associado a uma função definida sobre determinado 
conjunto e que pode ser encontrada mediante um processo de exaustão segundo 
determinada medida. As somas de Riemann se apresentam como mais uma alternativa 
para solucionar integrais. Com base na concepção de Riemann, avalie as seguintes 
asserções e a relação proposta entre elas: 
I. A definição atual de integral definida em termos de somas superiores e 
inferiores recebe o nome de "integral de Riemann". 
PORQUE 
II. Seu estudo fornece condições necessárias e suficientes para que uma função 
ilimitada seja integrável. A respeito dessas asserções, assinale a alternativa 
correta. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I. 
 As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II justifica a I. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II, falsa. (Alternativa correta) 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II, verdadeira. 
8. As integrais, quando transformadas em um limite de somas de Riemann, consistem 
em um procedimento longo e difícil. Assim, a segunda parte do teorema fundamental do 
cálculo (TFC) se apresenta como um método simples para o cálculo de integrais, 
inclusive para o cálculo de áreas. Nesse contexto, determine a área sob a parábola y = 
x
2
 de 0 até 1 como apresentado na figura a seguir: 
Assinale a alternativa correta: 
1/5 u.a. 
1/8 u.a. 
1/3 u.a. (Alternativa correta) 
 1 u.a. 
9. Uma função só é integrável em um intervalo se ela for contínua e limitada no 
intervalo considerado. Assim, calcule: 
 
192/3. 
8/3. 
 0. 
128/3. (Alternativa correta) 
10. Se a velocidade de uma partícula é dada por v(t) = 3t em m/s, qual é o seu 
deslocamento depois de 10 segundos? 
1m. 
0m. 
15m. 
150m. (Alternativa correta)