Primeira avaliação de TCE 02-2021 manhã resolvida

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UFC-FEAAC-DTE 
Teoria do Crescimento Econômico -TCE 
Primeira Avaliação - Manhã 
(22/11/2021) 
Observações 
(i) As respostas às questões deverão ser manuscritas e deverão vir na sequência 
crescente 1, 2, 3, 4 e 5; 
(ii) Nas questões cujas respostas exigirem cálculo, os mesmos deverão ser 
detalhados. Isto é, não vale apresentar um resultado sem demonstrar como 
chegou ao mesmo; 
(iii) O critério de correção penaliza respostas idênticas, de modo que duas ou mais 
respostas podem ter conteúdos parecidos, mas não podem ter a mesma redação. 
Isto é, as respostas às questões têm que ter redação do próprio aluno; 
(iv) Evite copiar a resposta diretamente ipsis litteris do resumo ou do livro texto; 
(v) Após serem respondidas, as questões da prova deverão ser encaminhadas, em 
arquivo PDF único, para o e-mail jmatos@ufc.br, até às 14 horas do dia 
22/11/2021. 
 
1ª Questão (1,5 ponto): Em relação ao modelo neoclássico de Solow-Swan, pode-se 
afirmar que no equilíbrio estacionário há excesso de poupança. Sim ou não? Justifique 
detalhadamente sua resposta. 
Resposta: Depende do estoque de capital no estado estacionário ( *k ) relativamente ao 
estoque de capital que maximiza o bem estar do indivíduo representativo, chamado 
estoque de capital da Regra de Ouro ( ourok ). Neste sentido, há três possibilidades a 
explorar: 
(i) Se se ourokk 
*
, o indivíduo representativo estará consumindo mais do que 
deveria consumir e está poupando menos do que poderia poupar; 
 
(ii) Se ourokk 
*
, o indivíduo representativo estará consumindo menos do que 
deveria consumir e estará poupando em excesso. É o caso conhecido como 
Ineficiência Dinâmica; 
 
(iii) Se ourokk 
*
, o indivíduo estará consumindo de modo a maximizar seu bem 
estar. Neste caso, a economia estará em uma trajetória virtuosa, obedecendo à 
chamada Regra de Ouro de Acumulação do Capital. 
 
 
mailto:jmatos@ufc.br
2ª Questão (1,5 ponto): Com relação ao modelo neoclássico de Solow-Swan, pode-se 
afirmar que a taxa de crescimento 







k
k
 é menor quanto menor for o estoque de capital 
per capita inicial  ok . Sim ou não? Justifique detalhadamente sua resposta. 
)('lim
0
kf
k
 
Resposta: Não! Quanto menor for o estoque de capital, maior será a taxa de 
crescimento, dada por 
 
)(
)(
 n
k
ksf
k
k
 
 
Para verificar isso, basta usar a regra de L’Hôpital para os limites e mostrar que 
 
0)('lim
1
)('
lim
)(
lim 
 )('lim
1
)('
lim
)(
lim
000




kf
kf
k
kf
kf
kf
k
kf
kkk
kkk
 
 
significando que à medida em que o estoque de capital cresce, a taxa de crescimento 
diminui. 
 
3ª Questão (1,5 ponto): Sobre o modelo de crescimento AK, pode-se afirmar que as 
taxas de crescimento das variáveis per capita são sempre positivas e jamais haverá 
equilíbrio estacionário com estoque de capital 
*kkt  , onde 
*k é o estoque de capital 
per capita constante. Sim ou não? Justifique detalhadamente sua resposta. 
Resposta: Não! No modelo AK, as taxas de crescimento das variáveis per capita são 
dadas pela expressão 
)(   nsA 
Neste caso, o que se pode afirmar é que as taxas de crescimento são constantes e haverá 
equilíbrio estacionário com ,
*kkt  quando 0k . Isto é, quando )(  nsA . 
 
 
4ª Questão (2,5 pontos): No modelo AK a função de produção agregada é expressa por 
,tt AKY  onde 0A é uma constante que representa um parâmetro de escala e tK é o 
estoque de capital da economia, no período t. 
 
(a) Qual é a explicação para o fator trabalho não aparecer explicitamente na função de 
produção? 
 
Resposta: Porque, o modelo AK assume que a mão de obra (L), para ser produtiva, 
necessita de investimentos em saúde e educação. Isto é, as despesas com saúde, 
educação, alimentação etc, transformam a mão de obra em capital humano (H), uma 
forma de capital acumulável da mesma forma que o capital físico (K), podendo as duas 
formas de capital serem consideradas substitutos perfeitos. Neste sentido, a mão de obra 
(L) pode ser confundida com capital físico (K). 
 
(b) Compare as propriedades desta função de produção com aquelas da função de 
produção neoclássica do modelo de Solow-Swan, correspondentes: 
 
(i) Rendimentos constantes de escala; 
 
Resposta: Na função ,tt AKY  para um escalar qualquer 0 , se multiplicarmos a 
quantidade do capital ( K ) pelo escalar, o resultado será 
 
ttt YAKKA  )( 
 
Isto é, como as funções de produção neoclássicas, a função de produção AK tem 
rendimentos constantes de escala. 
 
(ii) Produto marginal dos fatores de produção positivos e decrescentes; 
 
Resposta: Pela função tt AKY  conclui-se que 
 
0
 0
2
2


t
t
t
t
dK
Yd
A
dK
dY
 
 
indicando que o produto marginal do capital (K) é positivo e constante, o que contraria a 
propriedade das funções de produção neoclássicas segundo a qual a produtividade 
marginal do capital (K) é positiva e decrescente. 
 
 
(iii) Condições de Inada. 
 
Resposta: Aplicando a propriedade da condição de Inada para o capital na função de 
produção tt AKY  , vem 
 
0lim
 lim
0




A
dK
dY
A
dK
dY
t
t
k
t
t
k
 
 
Isto é, diferentemente das funções de produção neoclássicas, a função de produção AK 
viola a condição de Inada para o capital (K). 
 
(c) Construa a taxa de crescimento do estoque de capital per capita como em Solow-
Swan e mostre que as taxas de crescimento do produto  y e do consumo  c são 
equivalentes à taxa de crescimento do capital per capita  k e que as taxas de 
crescimento das formas agregadas do produto  Y , do consumo  C e do capital 
 K são equivalentes às suas taxas de crescimento na forma per capita mais a taxa 
de crescimento da população  n* . 
 
Resposta: A forma per capita da função de produção AK é 
 
tt Aky  
 
de modo que a taxa de crescimento do capital per capita é 
 
)(   nsAk 
 
Como, pela função de produção AK, ky   então 
 
)(   nsAy 
 
Finalmente, como tt ysc )1(  , onde a constante )1,0(s representa a propensão a 
poupar, então 
 
yc   
de modo que 
 
)(*   nsAkyc 
 
Uma forma agregada xLX  , onde x é a variável medida em termos per capita e L é a 
população, tem taxa de crescimento dada por 
 
nxX   
 
Baseando-nos nesse resultado, concluímos que 
 
  sAnKYC
*
 
5ª Questão (3,0 pontos): No modelo de crescimento com externalidades do capital, cuja 
função de produção é dada por 
 
  tttt LAKY
 1 
 
onde  representa a externalidade do capital, cuja importância é regulada pelo 
parâmetro 0 , assuma a hipótese adotada em Romer (1986) segundo a qual a 
externalidade do capital é representada pelo estoque de capital agregado, isto é, K . 
Mostre que, neste caso, a função de produção, medida em termos per capita, assume a 
forma 
 
 LAky tt
 
 
e que a correspondente equação da taxa de crescimento é expressa por 
 
   LsAk
k
k
t
t
t 1

 
Sob que condições esta formulação se assemelha ao modelo AK? Justifique seu 
resultado detalhadamente, discutindo as razões pelas quais a equação da taxa de 
crescimento acima não é, como seria de esperar, dada por 
 
)(1 nLsAk
k
k
tt
t
t   

? 
 
Resposta: Supondo que as externalidades do capital se dêem através do capital 
agregado, LkK  , então a função de produção pode ser reescrita como 
 
      


ttttttt
t
tt
tttttt LAkkLAkkL
L
LAK
ykLLAKY 

 
1
1 
 
Isto é, a função de produção per capita é dada por 
 
 

ttt LAky
 
 
 
de modo que a acumulação de capital per capita é 
 
 
tttt knLsAkk )( 
   
 
e a taxa de crescimento é 
 
)(1    nLsAk
k
k
tt
t
t

 
 
Como a população cresce à taxa constante n
L
L
t
t 

, a mensagem que a expressão acima 
transmite é que, na medida em que o tempo passa e a população cresce,a economia 
crescerá cada vez mais e acumulará cada vez mais capital, uma possibilidade para lá de 
duvidosa. 
 
Isto posto, para se assemelhar ao modelo AK, onde a taxa de crescimento é constante, 
Romer (1986) supôs que a população é constante 





 0
L
L
LLt

, de modo que a 
função produção per capita se torna 
 
 LAky tt
 
 
e a taxa de crescimento se tranforma em 
 
   LsAk
k
k
t
t
t 1

 
 
Note que, se 1 , a taxa de crescimento se transforma em 
 
  sAL
k
k
t
t

 
 
que, como no modelo AK, só depende de constantes. 
 
O problema com esta especificação é que a taxa de crescimento, embora não padeça dos 
males do crescimento da população, sofre os efeitos do seu tamanho, o chamado efeito 
de escala. De fato, por esta expressão, quanto maior for a população (L) de um país, 
mais rico será o mesmo, um fato não confirmado pelos dados.