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PRÉ-ANPEC
Estatística
Diego Rafael Fonseca Carneiro
dr.carn@gmail.com | facebook.com/diego.carneio
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https://www.facebook.com/diego.carneio
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
DEFINIÇÃO 1.1: Número Índice
É o resultado do encadeamento de variações percentuais ao longo do
tempo de alguma coisa que se queira medir.
• Os números-índices são bastante utilizados porque facilitam o cálculo
de variações percentuais acumuladas entre determinados períodos
do tempo;
• Eles têm base igual a 100 em algum período e a partir daí basta
aplicar a variação percentual obtida no mês seguinte sobre o número-
índice do mês anterior.
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
EXEMPLO 1.1: Mostrar a evolução das exportações do país X.
Escolhendo 1995 como base (igual a 100)
encontrarmos os valores dos demais anos, o que
pode ser feito através de uma regra de três
simples. Por exemplo o valor 1991 fica:
3.211.601−−−−−−− 100
1.234.321 −−−−−−−−𝑥
𝑥 =
1.234.321 × 100
3.211.601
= 38,43
ano
valor das 
exportações em X$
Índice (base = 
1995)
1991 1.234.321 38,43
1992 2.345.678 73,04
1993 3.456.809 107,64
1994 3.312.090 103,13
1995 3.211.601 100,00
1996 4.567.011 142,20
1997 5.299.181 165,00
1998 6.450.222 200,84
1999 5.878.477 183,04
2000 4.990.670 155,40
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
EXEMPLO 1.2: Mudança de Base.
Supondo agora que 1991 seja o ano base (igual
a 100) encontrarmos os valores dos demais
anos, também através de uma regra de três
simples. Por exemplo o valor 1992 fica:
38,43 −−−−−−− 100
73,04 −−−−−−−𝑥
𝑥 =
73,04 × 100
38,43
= 190,04
ano
valor das 
exportações em X$
índice 
(base = 1995)
índice 
(base = 1991)
1991 1.234.321 38,43 100
1992 2.345.678 73,04 190,04
1993 3.456.809 107,64 280,06
1994 3.312.090 103,13 268,33
1995 3.211.601 100,00 260,19
1996 4.567.011 142,20 370,00
1997 5.299.181 165,00 429,32
1998 6.450.222 200,84 522,57
1999 5.878.477 183,04 476,25
2000 4.990.670 155,40 404,33
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
DEFINIÇÃO 1.2: Índice de Preços
Uma variável que é uma candidata natural a ser representada por
um número índice é o preço, em particular quando estamos nos
referindo a nível geral de preços.
• Como medir esta variação? Bom, como os preços não variam todos
na mesma proporção ao mesmo tempo, esta resposta não é óbvia.
Há, como veremos nas seções seguintes, mais de uma resposta
possível.
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
Índices de Laspeyres e Paasche
Quando, ao compararmos preços em dois períodos, levamos em
conta as quantidades consumidas, um problema que temos que ter
em mente é o de que as quantidades também podem mudar de um
período para outro.
𝐿 =
 𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
1𝑞𝑖
0
 𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
0𝑞𝑖
0 𝑃 =
 𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
1𝑞𝑖
1
 𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
0𝑞𝑖
1
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
EXEMPLO 1.3: Variação de preços e quantidades.
OBS.: 𝜌𝑝𝑞 < 0 → 𝐿 > 𝑃; 𝜌𝑝𝑞 > 0 → 𝑃 > 𝐿 𝑒 𝜌𝑝𝑞 = 0 → 𝑃 = 𝐿
OBS.: Normalmente, 𝜌𝑝𝑞 < 0 uma vez que a teoria econômica nos diz que quanto maior o preço de um bem,
menor será a quantidade demandada do mesmo.
L =
1000 × 4 + 1000 × 6 + 1800 × 3
1000 × 2 + 1000 × 6 + 1800 × 4
=
15400
15200
≅ 1,0132
P =
800 × 4 + 900 × 6 + 2200 × 3
800 × 2 + 900 × 6 + 2200 × 4
=
15200
15800
≅ 0,962
1999 2000
preços quantidades preços quantidades
bem A $2 1000 $4 800
bem B $6 1000 $6 900
bem C $4 1800 $3 2200
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
Uma observação sobre os índices de Laspeyres e Paasche
Podemos reescrever o índice de Laspeyres como uma média aritmética
ponderada dos preços relativos, onde os pesos são o percentual
que cada bem representa no orçamento, considerando-se o período
INICIAL (Base).
𝐿𝑝 =
 𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
1𝑞𝑖
0
 𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
0𝑞𝑖
0
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
Uma observação sobre os índices de Laspeyres e Paasche
Podemos reescrever o índice de Paasche como uma média harmônica
ponderada dos preços relativos, onde os pesos são o percentual
que cada bem representa no orçamento, considerando-se o período
FINAL (Atual).
𝑃𝑝 =
 𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
1𝑞𝑖
1
 𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
0𝑞𝑖
1
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
EXEMPLO 1.4: Variação de preços e quantidades relativas.
OBS.: Os índices de preços normalmente calculados (como o IPCA) são índices de Laspeyres.
L =
12
11
× 0,25 +
18
15
× 0,35 +
23
22
× 0,4 = 1,0509
P =
1
11
12 × 0,4 +
15
18 × 0,2 +
22
23 × 0,4
= 1,0918
1999 2000
preços % do gasto preços % do gasto
bem A $11 25% $12 40%
bem B $15 35% $18 20%
bem C $22 40% $23 40%
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
CRITÉRIOS DE FISHER
1. Critério de Identidade: se o período para o qual índice é calculado é o
mesmo do período base, então o valor do índice tem que ser igual a 1;
2. Critério da homogeneidade: o valor do índice não deve ser alterado
por alterações nas unidades de medida;
3. Critério da Proporcionalidade: se os preços relativos são todos iguais
a um certo valor, o índice também o será;
4. Critério da determinação: o índice não pode ser nulo, infinito ou
indeterminado se um único preço ou quantidade for nulo;
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
CRITÉRIOS DE FISHER
5. Critério da reversibilidade: se calcularmos o índice de março
em relação a fevereiro, por exemplo, e encontramos um aumento
nos preços, quando calculamos o índice de fevereiro em relação a
março (invertendo a ordem), deveríamos encontrar uma queda que
“cancelaria” o aumento encontrado anteriormente (reversão no tempo);
6. Critério da circularidade: se, digamos, calculamos o índice de
fevereiro em relação a janeiro, e o de março em relação a fevereiro,
o “acumulado” dos dois deveria ser igual ao cálculo feito
diretamente entre março e janeiro. (crit. de decomposição da causas).
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
ÍNDICE DE FISHER
Os Índices de Laspeyres e Paasche atendem aos critérios 1 a 4. Assim,
para acomodar as duas ultimas condições, Fisher criou seu próprio
índice, o Índice de Fisher, que nada mais é do que uma média
geométrica dos índice de Laspeyres e Paasche.
𝐹 = 𝐿 × 𝑃
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
Índices de Quantidade e de Valor
Da mesma forma que calculamos índices de preços, o que vale dizer,
comparamos preços de períodos diferentes, é possível também comparar
quantidades:
𝐿𝑞 =
 𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
0𝑞𝑖
1
 𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
0𝑞𝑖
0 𝑃𝑞 =
 𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
1𝑞𝑖
1
 𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
1𝑞𝑖
0
Repare que, em ambos os casos acima (e ao contrário do que ocorre
com os índices de preços), os preços estão fixos e as quantidades é que
variam.
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
Índices de Quantidade e de Valor
E se ambos variam? Neste caso, não estamos nem comparando preços nem
quantidades, mas gasto, ou, mais genericamente, valor. De fato, quando
fazemos isto calculamos o chamado índice de valor ou Índice de Custo de
Vida:
𝑉 =
 𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
1𝑞𝑖
1
 𝑖=1
𝑛 𝑝𝑖
0𝑞𝑖
0
OBS.: 𝑉 = 𝐿𝑝 × 𝑃𝑞
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
EXEMPLO 1.5: Índices de quantidade e valor.
𝐿𝑞 =
1 × 500 + 3 × 1200 + 4 × 1200
1 × 1000 + 3 × 1500 + 4 × 1000
= 0,9368
𝑃𝑞 =
2 × 500 + 4 × 1200 + 3 × 1200
2 × 1000 + 4 × 1500 + 3 × 1000
= 0,8545
V =
2 × 500 + 4 × 1200 + 3 × 1200
1 × 1000 + 3 × 1500 + 4 × 1000
= 0,9895
1999 2000
preços quantidades preços quantidades
bem A $1 1000 $2 500
bem B $3 1500 $4 1200
bem C $4 1000 $3 1200
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
VALORES REAIS E NOMINAIS E DEFLACIONAMENTO
EXEMPLO 1.6: Aumento do salário real.
Variação Nominal dos Salários: 
1600
1000
= 1,6
Variação do Índice de Preços: 
430
300
≅ 1,434
Aumento Real no Salário
1000 ---------- 300
x ---------- 430
X = 1434
Assim, houve um aumento real do salários de $166 a 
preços de julho.
Mês
salários a preços 
correntes
índice de preços 
(base: jan/YY = 100)
jan/XX 1.000 300
fev/XX 1.100 320
mar/XX 1.200 340
abr/XX 1.300 360
mai/XX 1.400 400
jun/XX 1.500 410
jul/XX 1.600 430
AULA 01: NúmerosÍndices e Deflacionamento
EX. 1 (ANPEC 2003) Com relação aos números-índices, é correto afirmar que:
Ⓞ O índice de Fisher é uma média harmônica dos índices de Paasche e Laspeyres.
① O índice de preços de Laspeyres é uma média harmônica de relativos de preços ponderados
pelo valor dos bens no período base.
② O índice de preços de Paasche é uma média aritmética de relativos de preços ponderados pelo
valor dos bens no período atual.
③ Embora os índices de Laspeyres e de Paasche não satisfaçam ao critério da decomposição das
causas, o produto cruzado de um Laspeyres de preço por um Paasche de quantidade satisfaz.
④ O índice de Paasche de preços pode ser calculado pela divisão de um índice de valor por um
índice Laspeyres de quantidade.
0. F – 1. F – 2.F – 3.V – 4.V
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
EX. 2 (ANPEC 2004) Dadas as seguintes informações:
É correto afirmar que o valor dos índices especificados abaixo, para o período t = 1 (use
duas decimais), é:
Ⓞ Laspeyres de preço: 1,64.
① Paasche de preço: 1,17.
② Laspeyres de quantidade: 1,28.
③ Paasche de quantidade: 1,20.
④ Um índice de valor que satisfaça ao critério de decomposição de causas: 1,50.
0. F – 1. V – 2.F – 3.F – 4.F
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
EX. 3 (ANPEC 2005) A respeito de números-índices, é correto afirmar:
Ⓞ O índice de quantidade de Fisher é a raiz quadrada do produto dos índices de
quantidade de Laspeyres e de Paasche.
① O índice de preço de Laspeyres é a média aritmética de relativos de preços ponderados
pela participação do dispêndio com cada bem na época atual.
② O índice de preço de Paasche é a média aritmética de relativos de preços ponderados
pelo valor de cada bem na época-base.
③ Os índices de Laspeyres e Paasche atendem ao critério de reversão do tempo.
④ A diferença entre os índices de Laspeyres e Paasche está na forma como os relativos
são ponderados.
0. V – 1. F – 2.F – 3.F – 4.F
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
EX. 4 (ANPEC 2006) Com relação a números-índices, são corretas as afirmativas:
Ⓞ O cálculo do índice de preços de Laspeyres requer que preços e quantidades para todos os
períodos sejam apurados conjuntamente.
① O cálculo do índice de quantidades de Paasche requer que somente os preços ou as
quantidades sejam apurados em todos os períodos.
② O índice de preços de Paasche compara o custo de uma cesta de produtos do período atual,
avaliada a preços correntes, com o custo da mesma cesta avaliada a preços do período-base.
③ O índice de preços de Fischer atende ao critério de reversão no tempo.
④ Sendo negativa a correlação entre preços relativos e quantidades relativas, o índice de preços
de Laspeyres é maior que o índice de preços de Paasche.
0. F – 1. F – 2.V – 3.V – 4.V
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
EX. 5 (ANPEC 2007)
Ⓞ O índice de Laspeyres de preços pondera preços de insumos em duas épocas, inicial e atual,
tomando como pesos quantidades arbitradas para estes insumos na época inicial.
① No cálculo do índice de preços de Paasche, a cesta de produtos é fixa, e no de Laspeyres, a
cesta é variável.
② O índice de preços de Laspeyres é a média geométrica dos índices de preços de Fisher e de
Paasche.
③ A divisão do índice de preços de Laspeyres pelo índice de quantidade de Paasche possibilita
obter o índice de valor.
④ O índice de Paasche de preços pondera preços de insumos em duas épocas, inicial e atual,
tomando como pesos quantidades arbitradas para esses insumos na época atual.
0. V – 1. F – 2.F – 3.F – 4.V
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
EX. 6 (ANPEC 2008)
Julgue as afirmações (considere até a primeira casa decimal, não aproxime o resultado):
Ⓞ Os índices de preços de Laspeyres, sendo 2004 o ano-base, são: 100; 128; 160.
① Os índices de preços de Paasche, sendo 2004 o ano-base, são: 100; 127,5; 160.
② A diferença entre os índices de Laspeyres e Paasche está na forma como os índices relativos são
ponderados.
③ O índice de Fisher é a média aritimética dos índices de Laspeyres e Paasche.
④ Um índice de preços Laspeyres de base móvel, encadeada com ponderação constante, satisfaz
ao critério de circularidade.
0. V – 1. F – 2.F – 3.F – 4.V
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
EX. 7 (ANPEC 2009) Sobre números-índices podemos dizer que:
Ⓞ O índice de preços de Laspeyres tende a ser maior que o índice de preços de Paasche, porque normalmente
a correlação entre preços relativos e quantidades relativas é negativa, e a dispersão dos preços relativos e das
quantidades relativas tem, obrigatoriamente, valores positivos.
① O índice de preços de Fisher é a raiz quadrada do produto dos índices de preços de Laspeyres e Paasche.
② Sob condições normais de demanda, um índice de valor é sempre menor do que o produto de um índice
de Paasche-preço por um índice de Paasche-quantidade, e sempre maior do que o produto de um índice de
Laspeyres-preço por um índice de Laspeyres-quantidade.
③ O índice de preços de Paasche é igual à média harmônica ponderada dos preços relativos, sendo que os
pesos são os valores das vendas de cada produto no período atual.
④ Um índice de preços é formado pelos produtos A e B. Se o preço do produto A aumenta em 312%, o preço
do produto B permanece inalterado e o índice de preço sobe 5,8%, então a ponderação em percentual do
produto A no cômputo deste índice é 18,6%.
0. V – 1. V – 2.F – 3.F – 4.F
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
EX. 8 (ANPEC 2010) Sobre números-índices podemos dizer que:
① Para recuperar o crescimento, em volume, de uma cesta de produtos de uma empresa, deve-se
dividir o índice de valor de vendas pelo índice de Laspeyres de preços.
② Não pode ser obtido um índice de preços de Laspeyres que respeite o critério da circularidade,
mesmo usando bases móveis.
③ O IPCA emprega a fórmula de Laspeyres.
④ Quando da revisão dos índices de custo de vida, aqueles produtos que não tiveram maiores
aumentos relativos de preços terão sua ponderação aumentada, supondo que as preferências dos
consumidores não mudaram e os bens possuem elasticidade renda unitária.
1. V – 2.F – 3.V – 4.F
AULA 01: Números Índices e Deflacionamento
EX. 9 (ANPEC 2013) A tabela abaixo mostra os preços e as quantidades vendidas de 3 diferentes
produtos em 2 períodos distintos de tempo. Usando essas informações, calcule a variação
percentual dos preços entre o período 1 e o período 2, qual é o valor do Índice de Preços de
Laspeyres. Multiplique o resultado por 10.
Período 1 Período 2
Produto
Preço
(R$/Kg)
Quantidade
(Kg)
Preço
(R$/Kg)
Quantidade
(Kg)
A 1,0 20,0 2,0 10,0
B 2,0 10,0 4,0 20,0
C 2,0 30,0 4,0 20,0
R: 20