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Matemática Aplicada
Matemática Aplicada
Vila Velha (ES)
2018
Escola Superior Aberta do Brasil
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Nildo Ferreira
Diretora Acadêmica
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Coordenadora do Núcleo de Educação a Distância
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Coordenador do Curso de Sistemas de Informação EAD
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Produção do Material Didático-Pedagógico
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CEP 29102-040
Apresentação
Caro estudante,
Disciplina de Matemática Aplicada. Vamos percorrer um longo caminho, que inicia 
nos conceitos mais elementares da matemática, chegando até suas aplicações no 
curso de Administração. Alguns assuntos talvez você já tenha estudado, no entanto, 
aqui eles terão uma nova abordagem para contribuir de forma significativa na sua 
vida profissional.
Na elaboração deste material didático foram utilizados os seguintes autores como 
referência básica: Guidorizzi (2010), Murolo (2012), Silva e Abrão (2008), por isso as 
maiores contribuições deste material são encontradas nessas três obras. Como 
referências complementares contaremos com os autores: Demana et al. (2009), 
Goldstein, Schneider e Lay (2012), Medeiros (2005), Silva, Silva e Silva (2011) e 
Jacques (2010), que no geral trabalham com conceitos mais aprofundados sobre a 
disciplina de Matemática.
Estudar matemática requer dedicação, concentração e exata compreensão dos 
conceitos. Como trataremos dessas questões com foco nas aplicações em sua área 
de interesse, pretendemos que este estudo seja bastante prazeroso e interessante.
Convidamos você a iniciar esta disciplina com muita motivação para que, ao final 
deste estudo, você possa ter um novo olhar sobre os problemas de administração.
Bom estudo!
Objetivo
O nosso objetivo é desenvolver oportunidades de compreender aplicações da 
matemática, estabelecendo relações entre conhecimentos específicos do curso de 
administração. Para isso, é necessário identificar situações-problema, propor soluções 
frente a diferentes níveis de dificuldade e desenvolver o raciocínio lógico e crítico.
Habilidades e competências
• Reconhecer a importância do conhecimento matemático em diferentes situações-
problema do curso de Administração.
• Reconhecer os conceitos de funções, limites e derivadas e suas aplicações no curso
de Administração.
• Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses
temas e conhecimentos de outras áreas curriculares.
• Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos
números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
• Comparar e saber utilizar conhecimentos sobre funções, limites e derivadas
no curso de Administração, analisando as informações para a construção de
argumentos.
Ementa
Números reais (operações, representações e intervalos). Álgebra (uso de equações 
e inequações na resolução de problemas). Funções (linear, quadrática, inversa, 
composta, exponencial, logarítmica) e suas aplicações (problemas de demanda e 
oferta de mercado, receita, custo e lucro). Cálculo diferencial no dia a dia de um 
gestor (limites e derivadas) e suas aplicações.
Sumário
1. Conjuntos numéricos e números reais .............................................................................7
2. Uso de calculadora na resolução de operações matemáticas .........................................16
3. Equações do primeiro grau ............................................................................................21
4. Equações do segundo grau ............................................................................................26
5. Inequações do primeiro grau ........................................................................................31
6. Inequações do segundo grau ........................................................................................37
7. Introdução ao conceito de funções ................................................................................43
8. Função linear – parte I ..................................................................................................49
9. Função linear – parte II .................................................................................................54
10. Aplicações de função linear ...........................................................................................60
11. Equação da reta ............................................................................................................69
12. Exercícios sobre função linear ........................................................................................75
13. Função quadrática ........................................................................................................84
14. Função quadrática – parte I ..........................................................................................89
15. Função quadrática – parte II .........................................................................................95
16. Aplicações de função quadrática .................................................................................102
17. Exercícios sobre função quadrática ..............................................................................106
18. Função inversa ............................................................................................................111
19. Função composta ........................................................................................................117
20. Função exponencial – parte I ......................................................................................123
21. Função exponencial – parte II .....................................................................................129
22. Aplicações de função exponencial ...............................................................................135
23. Função logarítmica – parte I .......................................................................................141
24. Função logarítmica – parte II ......................................................................................147
25. Aplicações de funções logarítmicas .............................................................................156
26. Exercícios sobre função inversa, composta, exponencial e logarítmicas......................161
27. O limite de uma função ...............................................................................................166
28. Cálculo de limites usando suas leis – parte I ...............................................................171
29. Cálculo de limites usando suas leis – parte II ..............................................................176
30. Cálculo de limites usando suas leis – parte III .............................................................181
31. Continuidade e descontinuidade de funções ...............................................................18632. Limites no infinito .......................................................................................................195
33. Assíntotas horizontais .................................................................................................200
34. Derivadas ....................................................................................................................207
35. Derivadas: Taxa de Variação .........................................................................................213
36. Derivadas de Funções Polinominais e Exponenciais ....................................................220
37. Derivadas: regra do produto ........................................................................................228
38. Derivadas: regra do quociente .....................................................................................233
39. Exercícios sobre derivadas ...........................................................................................238
40. Derivadas: regra da cadeia – parte I ............................................................................243
41. Regra da cadeia – parte II ...........................................................................................247
42. Derivada de ordem superior ........................................................................................253
43. Exercícios sobre derivadas ...........................................................................................258
44. Aplicações de derivadas no estudo das funções...........................................................263
45. Aplicações de derivadas no estudo das funções – parte I ............................................270
46. Aplicações de derivadas no estudo das funções – parte II ...........................................277
47. Aplicações das derivadas nas áreas econômica e administrativa .................................284
48. Exercícios de revisão ....................................................................................................289
Glossário ............................................................................................................................296
Referências ........................................................................................................................303
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1 Conjuntos numéricos e números reais
Objetivo
Representar e fazer operações com números reais, além de trabalhar 
com notação de intervalo e potenciação com expoentes inteiros.
Você já observou que uma das atividades mais presentes do nosso dia a 
dia é a contagem? Contamos o dinheiro, a quilometragem até chegar ao 
trabalho, os habitantes de certa cidade, as páginas de um livro etc.
Houve um tempo em que o homem não sabia contar, pois não era 
preciso. Com o passar do tempo, as pessoas passaram a se questionar: 
Qual a quantidade de animais nesse rebanho? Quantas batatas foram 
obtidas nesta colheita? Quantas pessoas vivem nesta comunidade? 
A partir de então começaram a criar diferentes representações para 
essas quantidades até chegarem à representação dos números utilizada 
atualmente.
Esta primeira unidade trata dos conjuntos de números criados para 
representar estas quantidades e sua formalização matemática. Veremos 
conceitos que dão base a esta disciplina, do ponto de vista da matemática 
e também vamos (re)conhecer tipos de conjuntos e fazer operações com 
seus elementos de forma correta, o que nos dará mais facilidade no 
momento em que formos resolver problemas. 
1.1 Representação dos números reais
De acordo com Demana et al. (2009, p. 3), “[...] um número real é 
qualquer número que pode ser escrito na forma decimal.” Esses números 
são representados por símbolos já conhecidos por você, como:
3 70, 5, 1, 44, 105, 3, , , 3, 5, , 1,3636 ... e 0,3.
3
eπ- - -
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Todos esses números fazem parte do conjunto dos números reais, 
denotado pelo símbolo R. Além disso, eles podem ser representados por
pontos em uma reta horizontal, chamada de reta real. O número 0 é 
identificado como a origem. À sua direita marcam-se os valores positivos 
e à sua esquerda os negativos, como no exemplo da Figura 1.
Números
reais negativos
Números
reais positivos
–1–2–3–4–5 2 3 4 50 1
3− π
Figura 1 – Reta real.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013). 
Exemplo 1: Represente o conjunto { }23, 5, , 5, 1,5,3- - -π sobre uma reta real.
l
–1–2–3–4–5 2 3 4 50 1
π− 1,5−
2
3
5 35−
Figura 2 – Reta real representando o conjunto do exemplo 1.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
Existem outros conjuntos numéricos conhecidos, que são subconjuntos 
dos números reais. São eles: conjunto dos números naturais, dos 
inteiros, dos racionais e dos irracionais.
O conjunto dos números naturais, representado por N, tem os seguintes
elementos: N = { 1, 2, 3, 4, 5, ...}.
Os números inteiros, cujo conjunto é representado pelo símbolo Z é
composto pelos números naturais e seus opostos, ou seja, os negativos: 
Z = { ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}. 
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O conjunto dos números racionais Q é composto por todos os números 
que podem ser escritos na forma de fração ,
a
b em que a e b são números 
inteiros e b ≠ 0. Observe os seguintes exemplos:
7 1,75
4
4 0,363636... 0,36
11
102
5
93
3
=
= =
=
-
- =
Note que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos 
números racionais.
Os números irracionais são todos os números que não 
pertencem ao conjunto dos racionais, por exemplo: 
3, , 2, 9, 1,948563840...eπ Note que nenhum destes pertence 
ao conjunto dos números racionais, pois eles não podem ser escritos 
como a razão entre dois números inteiros. 
Ao unirmos todos os conjuntos mencionados, teremos o conjunto dos 
números reais. A Figura 3 mostra como um conjunto está contido no 
outro até formar o conjunto dos números reais, que iremos trabalhar ao 
longo desta disciplina.
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Números Racionais Números Irracionais
Números Reais
Números Inteiros
Números
Naturais
Figura 3 – Conjuntos numéricos.
Fonte: <www.infoescola.com>.
1.2 Ordem e notação de intervalo
No conjunto dos números reais, é possível dizer que um número é 
“maior que” ou “menor que” outro, pois ele é considerado um conjunto 
ordenado. Essa característica pode ser identificada na reta de números 
reais (Figura 1), e são usados símbolos de desigualdade para fazer as 
representações. Os símbolos são: <, >, ≤, ≥.
Vejamos, por meio de alguns exemplos, a utilização desses símbolos.
Símbolo Leitura Significado Representação gráfica
< 3x
x menor 
que 3
Representa todos os números reais 
estritamente menores que 3. 3
> 3x
x maior 
que 3
Representa todos os números reais 
estritamente maiores que 3. 3
≤ 3x
x menor 
ou igual 
a 3
Representa todos os números reais 
menores ou iguais a 3. 3
≥ 3x
x maior 
ou igual 
a 3
Representa todos os números reais 
maiores ou iguais a 3. 3
− ≤ ≤2 4x x entre–2 e 4
Representa todos os números reais 
entre –2 e 4. 4–2
Quadro 1 – Ordem dos números reais.
Fonte: Elaborado pelos autores (2013).
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Ao tomarmos um “pedaço” do conjunto dos números reais, como nos 
exemplos do Quadro 1, é possível utilizarmos outra notação para 
representar esse intervalo de números: a notação de intervalos. 
Os intervalos são muito importantes no estudo de funções. Fique atento, pois você irá 
precisar desses conceitos daqui a pouco!
A desigualdade –2 ≤ x ≤ 4 é um intervalo limitado. Além disso, dizemos 
que ele é fechado, pois inclui os extremos –2 e 4. Existem quatro tipos 
de intervalos limitados. Vejamos sua notação em comparação com a 
notação de desigualdade.
Notação de 
intervalo
Tipo de intervalo
Notação de 
desigualdade
Representação gráfica
[2,3] Fechado ≤ ≤2 3x 32
]2,3[ Aberto < <2 3x 32
[2,3[ Fechado à esquerda e 
aberto à direita
≤ <2 3x 32
]2,3] Aberto à esquerda e 
fechado à direita
< ≤2 3x 32
Quadro 2 – Intervalos limitados de números reais.
Fonte: Elaborado pelos autores (2013).
Noteque os números 2 e 3 são os extremos do intervalo. Na 
representação gráfica, quando um valor extremo pertence ao intervalo, 
marca-se uma “bolinha” fechada sobre a reta. Já quando um valor 
extremo não pertence ao intervalo, marca-se uma “bolinha” aberta sobre 
a reta, isto é, consideram-se todos os valores muito próximos ao extremo, 
menos ele.
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Agora conheceremos os quatro intervalos não limitados, mas para isso é 
preciso lembrar que o símbolo –∞ é utilizado para representar o infinito 
negativo e o símbolo +∞ para representar o infinito positivo.
Notação de 
intervalo
Tipos de intervalo
Notação de 
desigualdade
Representação gráfica
[3, [+∞ Fechado ≥ 3x 3
]3, [+∞ Aberto > 3x 3
Fechado ≤ 3x 3
Aberto < 3x 3
Quadro 3 – Intervalos não limitados de números reais.
Fonte: Elaborado pelos autores (2013).
Observe que o intervalo aberto ]–∞, +∞ [ pode ser utilizado para 
representar o conjunto dos números reais.
Exemplo 2: Converta a notação de intervalo para desigualdade ou vice-
versa. Encontre os extremos e verifique se o intervalo é limitado, seu tipo 
e a representação gráfica.
a. ]‒3, 2]
Solução: A notação de desigualdade para esse intervalo corresponde a 
–3 < x ≤ 2; o intervalo é limitado, do tipo fechado à direita e aberto 
à esquerda, e seus extremos são ‒3 e 2.
b. 1 ≤ x ≤ 5 
Solução: A notação de intervalo é [1, 5]; o intervalo é limitado e 
fechado, com extremos 1 e 5.
c. ]–∞, 2[
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Solução: A notação de desigualdade é x < 2; o intervalo não é limitado, é 
aberto e possui apenas o extremo 2.
1.3 Propriedades básicas da álgebra
Existem algumas operações possíveis de serem feitas com o conjunto dos 
números reais. Elas são conhecidas como adição, subtração, divisão e 
multiplicação. No entanto, existem propriedades da álgebra (regras) que 
devemos conhecer para realizar as operações corretamente. 
Propriedades
1. Comutativa
• Adição: + = +3 4 4 3
• Multiplicação: ⋅ = ⋅3 4 4 3
2. Associativa
• Adição: (3 4) 5 3 (4 5)+ + = + +
• Multiplicação: ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅(3 4) 5 3 (4 5)
3. Elemento neutro
• Adição: + =3 0 3
• Multiplicação: ⋅ =3 1 3
4. Oposto
• + − =3 ( 3) 0
• Dizemos que −3 é o oposto de 3 e vice-versa.
5.
 
Inverso
•
 
⋅ =
13 1
3
• Dizemos que 
1
3 é o inverso de 3, pois seu produto é igual a 1.
6.
 
Distributiva 
•
 
⋅ + = +( )a b c ab ac
• + ⋅ = +( )a b c ac bc
Quadro 4 – Propriedades da álgebra.
Fonte: Elaborado pelos autores (2013).
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Essas propriedades serão utilizadas ao longo da disciplina como 
ferramenta na realização dos cálculos, especialmente a propriedade 
distributiva.
1.4 Potenciação com expoentes inteiros
A potenciação é uma notação (símbolo) criada para simplificar a 
representação de produtos com o mesmo termo, isto é, podemos 
representar 2 . 2 . 2 . 2 . 2 como 25. Dizemos “2 elevado a 5” e chamamos 
o número 2 de base e o 5 de expoente.
A base de uma potência pode ser qualquer número real e, neste caso, o 
expoente será um número inteiro. Nesse sentido, podemos fazer diferentes 
operações com as potências, mas observando as seguintes propriedades.
Propriedades Exemplos
1. +⋅ =m n m na a a +⋅ = =2 5 2 5 73 3 3 3
2. 
−=
m
m n
n
a a
a
−= =
5
5 2 3
2
3 3 3
3
3. =0 1a − =( 7) 1
4. 
− =
1n
na a 
− =5
0
5
13
3
5. ⋅ = ⋅( )n n na b a b − − −⋅ = ⋅4 4 4(2 3) (2 ) (3 )
6. =( )n m nma a ⋅= =5 2 5 2 10(3 ) 3 3
7.
 
  = 
 
n n
n
a a
b b
  = 
 
5 5
5
2 2
3 3
Quadro 5 – Propriedades da potenciação.
Fonte: Elaborado pelos autores (2013).
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Exemplo 3: Usando as propriedades de potenciação, simplifique as 
expressões a seguir supondo que os denominadores sejam diferentes de 
zero.
a. 
4 3
2 5
x y
x y
Solução: Pela propriedade 2, temos: 
4 3
4 2 3 5 2 2
2 5 .
x y
x y x y
x y
- - -= =
b. 
2 2 4
2
(3 )
3
x y
y
Solução: Pelas propriedades 2 e 6, temos: 
2 2 4 2 4 4
4 2
2 2
(3 ) 3 3 .
3 3
x y x y
x y
y y
= =
c. 
3
2
xy
-
 
 
 
Solução: Pelas propriedades 4, 5 e 7, temos: 
3 3 3 32 .
2 8
xy x y
xy
-
   = =  
  
Saiba mais
Note que em um dos exemplos anteriores, a 
resposta nos fornece uma dízima periódica, ou 
seja, uma repetição periódica e infinita de um 
ou mais algarismos. Nesse caso, o período é 36 e 
representamos a repetição com um traço sobre a 
sequência que se repete. Para saber mais sobre o 
assunto acesse a esta página ou assista ao vídeo 
disponível aqui.
http://www.somatematica.com.br/fundam/dizimas.php
http://www.youtube.com/watch?v=GAkULGmmbJw
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2 Uso de calculadora na resolução de operações matemáticas
Objetivo
Usar a calculadora na resolução de operações matemáticas.
A calculadora é um importante instrumento para realização de operações 
matemáticas. Existem diferentes tipos de calculadoras, que variam 
de acordo com o modelo e a capacidade de realizar operações. As 
calculadoras mais simples são aquelas que realizam apenas as operações 
básicas (adição, subtração, divisão, multiplicação e porcentagem). As que 
oferecem funções como a logarítmica, a exponencial e as trigonométricas 
usualmente são chamadas de calculadoras científicas. Além disso, temos 
calculadoras específicas para a área financeira ou para a engenharia, com 
funções mais avançadas e construção de gráficos.
Para o nosso curso, a calculadora científica é suficiente. A Figura 4 
mostra um exemplo desse modelo de calculadora.
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Figura 4 – Calculadora científica.
Fonte: <www.casio-intl.com>.
Observe que nela, além das operações básicas, estão disponíveis as 
funções trigonométrica, logarítmica, exponencial, raiz, entre outras. 
Além disso, o uso de parênteses, muito comum na matemática, também 
pode ser feito.
Para descobrir o valor de uma expressão matemática como 
× +7 (1,35 2,43)
4,5
 com o uso da calculadora científica, basta digitar a 
expressão toda, utilizando as funções destacadas na Figura 5. Perceba que 
na calculadora a operação de multiplicação é representada por um x.
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Figura 5 – Funções para resolver a expressão.
Fonte: <www.casio-intl.com>.
Inicialmente seleciona-se a função , que representa uma fração:
A função replay possui quatro flechas, e assim é possível posicionar a 
digitação no numerador ou denominador da fração. Primeiramente 
digitamos o numerador, por exemplo 7 × (1,35 + 2,43), nesse mesmo 
formato, utilizando os parênteses. Em seguida é preciso posicionar a 
digitação para que se possa inserir o denominador e finalmente apertar o 
sinal de igualdade para obter a resposta.
× +
=
7 (1,35 2,43) 5,88
4,5
Se necessário, é possível transformar os números decimais em 
fracionários, e vice-versa, com a função: . 
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Nesse caso, basta pressionar a tecla e teremos 1475,88 .
25
=
Dica
Na página, disponivel aqui, você encontra uma 
calculadora científica on-line. Não deixe de 
conhecer e praticar!
Outras funções importantes são raiz e potência. Vejamos como utilizar 
a calculadora para encontrar o valor da expressão - +4 52 144 32. 
Iremos utilizar as funções destacadas na Figura 6.
Figura 6 – Funções para resolver a expressão.
Fonte: <www.casio-intl.com>.
Para digitarmos a potência 24 utiliza-se a função destacada posicionada à 
direita, em que aparece:
Com a função replay, posiciona-se para digitar a base 2 e o expoente 5 
em seus respectivos lugares.
http://www.mycalculadora.com/calculadora-cientifica-online/
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A raiz quadrada 144 pode ser digitada com a função mostrada à 
esquerda, na Figura 6, , bastando digitar o número 144.
Para raiz quinta, isto é, raiz com índice 5, é preciso pressionar a tecla 
SHIFT (no canto esquerdo superior) e em seguida a tecla . Assim é 
selecionada a função em amarelo (acima da tecla), aparecendo o seguinte: 
. Então, basta digitar o índice 5 e o radicando 32.
Para resolver a expressão completa, usam-se todas as funções citadas em 
cada parte até formar a expressão - +4 52 144 32 e pressiona-se o sinal 
de igualdade para obtera solução.
4 52 144 32 6- + =
O uso da calculadora é bastante útil, pois facilita os cálculos com as 
operações matemáticas. No entanto, para utilizá-la é preciso saber 
resolver os cálculos de acordo com as propriedades da álgebra citadas na 
unidade 1.
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3 Equações do primeiro grau
Objetivo
Apresentar equações do primeiro grau.
As equações são importantes na resolução dos problemas que iremos 
abordar nas próximas unidades, principalmente quando falarmos sobre 
funções. Assim como as funções estão presentes no dia a dia das pessoas, 
as equações, como ferramenta de resolução de casos específicos nos 
problemas de funções, também apresentam-se em problemas do nosso 
cotidiano, como a função linear que nos dá uma relação entre o preço 
em função da quantidade litros abastecido de determinado combustível. 
Aproveite para conhecer as principais ferramentas para a resolução das 
questões que serão abordadas nesta disciplina.
3.1 Equações
Segundo Demana et al. (2009, p. 37), “[...] uma equação é uma 
afirmativa de igualdade entre duas expressões”, ou seja, em uma equação 
ambos os lados (expressões) são iguais. Isso nos permite realizar qualquer 
operação em ambos os lados da equação e a igualdade ainda se mantém.
De acordo com as definições de equação, vejamos alguns exemplos para 
melhor compreensão: 
1. − = +3 7 2 3x x
2. + + =2 2 1 0x x
3. − =6 1 0y
4. + = −2 3x x
5. − = +5 2 2
8 4
a a
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Note que a primeira equação é formada por duas expressões: 
3x – 7 e 2x + 3.
Sendo assim, você pode observar as expressões que compõem todas as 
equações dos exemplos citados.
Na equação 3x – 7 = 2x + 3, se substituirmos o valor 10 no lugar da 
variável x, teremos o seguinte:
3 . 10 – 7 = 2 . 10 + 3
30 – 7 = 20 + 3
23 = 23
Isso quer dizer que o valor 10 é solução da equação 3x – 7 = 2x + 3, pois 
torna a igualdade verdadeira. Nesse sentido, resolver uma equação é 
encontrar todos os valores que satisfazem essa igualdade.
Para resolver uma equação são utilizadas operações que mudam a “cara” 
da equação sem alterar sua solução. É o que chamamos de equações 
equivalentes. Vejamos, por meio de um exemplo, as operações utilizadas 
na resolução de uma equação.
Exemplo 1: Resolva a equação 4x – 7 = 2x + 3.
− = +4 7 2 3x x Subtraia 2x em ambos os lados para eliminar a 
variável x do lado direito e isolar no lado esquerdo.
− =2 7 3x Adicione 7 de ambos os lados para eliminar os 
números do lado esquerdo e isolar no lado direto.
=2 10x Divida ambos os lados por 2 para obter o valor da 
variável x.
= 5x Assim, o conjunto solução será {5}.
De forma geral, é possível realizar as seguintes transformações nas 
equações: adicionar o mesmo número ou a mesma expressão em ambos 
os lados; subtrair o mesmo número ou a mesma expressão em ambos os 
lados; multiplicar ambos os lados pelo mesmo número (ou expressão) 
não nulo; dividir ambos os lados pelo mesmo número (ou expressão) 
não nulo; simplificar expressões em um dos lados de uma equação.
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3.2 Equações do primeiro grau
Uma equação do primeiro grau possui a forma ax + b = 0, em que a e b 
são números reais e a ≠ 0. Além disso, ela apresenta uma única solução.
Vejamos algumas equações do primeiro grau e o processo para 
determinar seu conjunto solução.
Exemplo 2: Resolva as equações.
a. 5 2 2
8 4
x x-
= +
Solução: Veja que estamos trabalhando com frações cujos 
denominadores são 8, 1 e 4. O mínimo múltiplo comum é 8. 
−
= +
5 2 2
8 4
x x Multiplique ambos os lados por 8 para eliminar os 
denominadores em todas as parcelas.
−   ⋅ = ⋅ +   
   
5 28 8 2
8 4
x x Segundo a propriedade distributiva vista na 
unidade 1.
− = ⋅ + ⋅5 2 8 2 8
4
xx
− = +5 2 16 2x x Some 2 em ambos os membros para eliminar os 
números do lado esquerdo e isolar no lado direto.
= +5 18 2x x Subtraia 2x em ambos os membros para eliminar a 
variável x do lado direito e isolar no lado esquerdo.
=3 18x Divida ambos os membros por 3 para obter o valor 
da variável x.
= 6x Assim, o conjunto solução será {6}.
b. - = -3 2
5 4 8
x x x
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Solução: Neste caso, o mínimo múltiplo comum dos denominadores das 
frações é 40.
− = −
3 2
5 4 8
x x x Multiplique ambos os lados por 40 para eliminar 
os denominadores em todas as parcelas.
 
⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅
340 40 40 2 40
5 4 8
x x x Segundo a propriedade distributiva vista 
unidade 1.
− = −8 30 80 5x x x
 − = −22 80 5x x
Some 5x em ambos os membros para eliminar 
a variável x do lado direito e isolar no lado 
esquerdo.
− =17 80x Divida ambos os lados por -17 para obter o valor 
da variável x .
= −
80
17
x
Assim, o conjunto solução será{ }− 80 .17
c. 5x = 2x – (1 – 3x)
Solução: 
= − −5 2 (1 3 )x x x Remova os parênteses usando as regras da subtração.
= − +5 2 1 3x x x Atenção para os sinais!
= −5 5 1x x Subtraia 5x em ambos os membros para eliminar a variável x 
do lado direito e isolar no lado esquerdo.
= −0 1 A igualdade não é verdadeira. Neste caso, dizemos que a 
equação não admite solução.
d. 5 7
3
x
x
+
=
-
Solução: Os denominadores das frações são x – 3 e 1. Dessa forma, o 
mínimo múltiplo comum entre eles é x – 3.
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+
=
−
5 7
3 1
x
x
Multiplique ambos os membros por x-3 para eliminar os 
denominadores em todas as parcelas.
+ − = − − 
5( 3) 7( 3)
3
xx x
x
Segundo a propriedade distributiva vista na unidade 1.
+ = −5 7 21x x Subtraia x em ambos os membros para eliminar a variável 
x do lado esquerdo e isolar no lado direito.
 = −5 6 21x
Some 21 em ambos os membros para eliminar os 
números do lado direito e isolar no lado esquerdo.
=26 6x Divida ambos os membros por 6 para obter o valor da 
variável x.
=
26
6
x Simplifique a fração dividindo o numerador e o 
denominador por 2.
=
13
3
x Assim, o conjunto solução será { }13 .3
Note que o valor encontrado deve ser um número diferente de 3, pois 
caso contrário o denominador da fração seria zero, e não é possível 
dividir por zero.
Verifique se as soluções encontradas são verdadeiras utilizando uma calculadora. 
Assim você já estará praticando!
Fórum
Caro estudante, dirija-se ao Ambiente Virtual de 
Aprendizagem da Instituição e participe do nosso 
Fórum de discussão. Lá você poderá interagir com 
seus colegas e com seu tutor de forma a ampliar, 
por meio da interação, a construção do seu 
conhecimento. Vamos lá?
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4 Equações do segundo grau
Objetivo
Apresentar equações do segundo grau. 
As equações do segundo grau podem ser aplicadas na resolução de 
problemas relacionados a funções do segundo grau, mas também em 
problemas específicos como o cálculo das dimensões de um campo de 
futebol para a Copa do Mundo. Sabe-se que o comprimento de um 
campo tem 40m a mais do que a largura e sua área total é 10.800m2. 
A equação que encontra o tamanho dos lados do campo de futebol é a 
equação do segundo grau x2 + 40x – 10.800 = 0. Esta unidade mostra o 
que é uma equação do segundo grau e como resolvê-la.
As equações do segundo grau são da forma ax2 + bx + c = 0, em que a, 
b, e c são números reais e a é diferente de zero. Note que, se a for igual a 
zero, cairemos em uma equação do primeiro grau.
A seguir, são dados alguns exemplos de equações do segundo grau:
1. + + =23 5 2 0x x
2. − = −24 20 17x x
3. + =(3 11) 20x x
4. − − =2 20 0x x
5. − + =( 9)( 4) 0x x
Nos exemplos (3) e (5), as equações estão escritas na forma fatorada. Veja 
que ao aplicarmos a propriedade distributiva no exemplo (5), teremos a 
seguinte equação equivalente:
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(x – 9)(x + 4) = 0
x2 + 4x – 9x – 36 = 0
x2 – 5x – 36 = 0
Ao substituir o valor 9 na equação, verificamos que ele é solução desta 
equação do segundo grau.
x2 – 5x – 36 = 0
92 – 5 . 9 – 36 = 0
81 – 45 – 36 = 0
O mesmo acontece com o valor –4, isto é, ele também é solução desta 
equação.
Observe que, ao escrevermos a equação na forma fatorada ((x – 9)(x + 4) 
= 0), esses números aparecem de forma evidente. Devemos apenas tomar 
cuidado com o sinal, queé sempre o oposto (contrário) do que está 
aparecendo. Portanto, uma forma de encontrar as raízes é, se possível, 
escrever a equação na forma fatorada.
Outro caminho é utilizar a fórmula de Bhaskara. Para isso, considere 
uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0. As soluções dessa equação são 
encontradas por meio da seguinte fórmula:
- ± -
=
2 4
2
b b acx
a
Exemplo 1: Encontre o conjunto solução da equação x2 – x – 6 = 0.
Solução: Para utilizarmos a fórmula de Bhaskara, destacamos os valores 
dos coeficientes, ou seja, os valores de a, b e c. Observe neste exemplo 
que a = 1, b = 1 e c = 6. Agora basta substituir.
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2
2
4
2
( 1) ( 1) 4 1 ( 6)
2 1
1 1 24
2
1 5
2
b b acx
a
x
x
x
- ± -
=
- - ± - - ⋅ ⋅ -
=
⋅
± +
=
±
=
Então, temos como soluções:
+ -
= = = = -1 2
1 5 1 53 2
2 2
x x
O conjunto solução desta equação é {‒2, 3}. 
Observe que nos exemplos mostrados as equações apresentaram duas 
soluções. Isso sugere que as equações do segundo grau possuem duas 
soluções.
Vejamos alguns exemplos de como encontrar as soluções de uma equação 
do segundo grau.
Exemplo 2: Encontre as soluções da equação:
a. 3x2 ‒ 6x = 5 
Solução: Inicialmente devemos deixar a equação igualada a zero:
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− =23 6 5x x Assim, devemos subtrair 5 de ambos os membros para eliminar os números do lado direito.
− − =23 6 5 0x x
Aplicamos a fórmula de Bhaskara para 
= = − = −3, 6 e 5a b c para encontrarmos 
as raízes da equação.
− − ± − − ⋅ ⋅ −
=
⋅
2( 6) ( 6) 4 3 ( 5)
2 3
x
± +
=
6 36 60
6
x
±
=
6 96
6
x
Dessa forma, as soluções são:
+ -
= ≅ = ≅ -1 2
6 96 6 962,63 0,63
6 6
x x
b. (x – 2)(x + 1) = 0
Solução: Esta equação do segundo grau está na forma fatorada e suas 
soluções encontram-se visíveis na própria equação: x1 = 2 e x2 = –1. 
Observe que sempre tomamos o valor com o sinal oposto.
Ao substituirmos o valor 2 na equação (x – 2)(x + 1) = 0, ele será uma 
solução, pois (2 – 2)(2 + 1) = 0 . 3 = 0. O mesmo acontece para o valor 
–1, isto é, (–1 – 2)(–1 + 1) = (–3) . 0 = 0.
c. (x + 5)2 (2x – 7)2 = 82
Solução: Inicialmente devemos desenvolver os quadrados utilizando a 
propriedade distributiva:
(x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) = x2 + 10x + 25 e
(2x – 7)2 = (2x – 7) (2x – 7) = 4x2 –28x + 49
www.esab.edu.br 30
Assim, temos a equação:
+ − =2 2( 5) (2 7) 82x x
+ + + − + =22 10 25 4 28 49 82x x x x Combinamos os termos semelhantes.
− − =25 18 8 0x x
Aplicamos a fórmula de Bhaskara com 
= = − = −5, 18 e 8a b c e 
encontramos as raízes da equação.
− − ± − − ⋅ ⋅ −
=
⋅
2( 18) ( 18) 4 5 ( 8)
2 5
x
± +
=
18 324 160
10
x
±
=
18 22
10
x
As soluções são as seguintes:
+ -
= = = = - = -1 2
18 22 18 22 4 24
10 10 10 5
x x
É interessante notar que sempre podemos resolver uma equação do 
segundo grau pela fórmula de Bhaskara, mas é um caminho que exige ou 
pouco mais de cálculos. A forma fatorada nos dá as soluções de maneira 
mais imediata, mas se a equação não estiver inicialmente nesta forma, 
nem sempre é evidente transformá-la em sua forma fatorada.
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5 Inequações do primeiro grau
Objetivo
Apresentar inequações do primeiro grau. 
Nesta unidade precisaremos de conceitos abordados na unidade 1, 
principalmente sobre desigualdades e sua representação na reta de 
números reais. 
Uma inequação do primeiro grau com variável é uma desigualdade 
do tipo ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0 ou ax + b ≥ 0, sendo a e b 
números reais e diferente de zero. Dessa forma, alguns exemplos de 
inequações do primeiro grau são:
1. + ≥5 3 0x
2. − < 32
2 7
x
3. − − + ≤3( 5) 4( 6) 7x x
4. 
− +
− ≤ −
2 3 5 4 35
3 6 8
x x x
Resolver uma inequação significa encontrar valores de x que satisfaçam 
a desigualdade. A inequação do exemplo 1 apresenta um conjunto de 
valores como solução. Por exemplo, o valor 1:
5x + 3 ≥ 0
5∙1 + 3 = 8 ≥ 0
Portanto, o número é solução da inequação. Ao substituirmos os 
valores 2, 3, ... , eles também serão solução da inequação. Então, como 
encontrar o conjunto solução? Devemos usar algumas propriedades, 
semelhantes às utilizadas nas equações. 
www.esab.edu.br 32
Considere u, v, w, z números reais, variáveis ou expressões algébricas e c 
um número real (DEMANA et al., 2009, p. 49).
Propriedades das inequações
Transitiva Se < < <e , então .u v v w u w
Adição Se < + < +então .u v u w v w
Multiplicação
Se < > <e 0, então .u v c uc vc
Se < < >e 0, então .u v c uc vc
Quadro 6 – Propriedades das inequações.
Fonte: Demana et al. (2009).
A multiplicação de uma inequação por um número positivo preserva a 
desigualdade, enquanto a multiplicação por um número negativo inverte 
a desigualdade. 
Vejamos alguns exemplos em que aplicamos as propriedades para 
encontrar o conjunto solução das inequações.
Exemplo 1: Resolva:
a. - + ≤ +3( 1) 2 5 6x x
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Solução: 
− + ≤ +3( 1) 2 5 6x x Segundo a propriedade distributiva que vimos na 
unidade 1.
− + ≤ +3 3 2 5 6x x
− ≤ +3 1 5 6x x Adicionamos l em ambos os membros para eliminar os 
números do lado esquerdo e isolar a variável x.
≤ +3 5 7x x Subtraímos 5x em ambos os membros para eliminar a 
variável x do lado direito e isolar no lado esquerdo.
− ≤2 7x
Multiplicamos por 
 − 
 
1
2 
em ambos os membros para obter o valor da variável x.
   − ⋅ − ≤ − ⋅   
   
1 1( 2 ) 7
2 2
x Atenção: a desigualdade é invertida pois multiplicamos 
ambos os lados por um valor negativo.
≥ −
7
2
x
Portanto, o conjunto solução dessa inequação são todos os números reais 
maiores ou iguais a - 7 .
2
 Em notação de intervalos, o conjunto solução 
é  - +∞  
7 , .
2
 A visualização do conjunto solução na reta dos números 
reais é:
7
2
−
Figura 7 – Reta representando o conjunto solução  - +∞  
7 , .
2
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
b. 3(x – 5) – 4(x + 6) ≤ 7
www.esab.edu.br 34
Solução: 
− − + ≤3( 5) 4( 6) 7x x Propriedade distributiva (unidade 1).
− − − ≤3 15 4 24 7x x Simplificando.
− − ≤39 7x Somamos 39 em ambos os membros.
− ≤ 46x
Multiplicamos por −1 em ambos os membros. 
Perceba novamente que o sentido da desigualdade 
muda.
≥ −46x
O conjunto solução desta inequação são todos os números maiores ou 
iguais a –46. Em notação de intervalos, o conjunto solução é [–46, +∞[. 
A visualização do conjunto solução na reta dos números reais é:
46−
Figura 8 – Reta representando o conjunto solução [−46,+∞[.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
c. - +- > -2 3 5 4 35
3 6 8
x x x
Solução:
− +
− > −
2 3 5 4 35
3 6 8
x x x
Multiplicamos ambos os lados pelo 
mínimo múltiplo comum 24 para 
eliminar os denominadores em 
todas as parcelas.
− +
⋅ − ⋅ > − ⋅
(2 3) (5 4) 324 24 120 24
3 6 8
x x x
Simplificamos.
− − − > −16 24 20 16 120 9x x x
− − > −4 40 120 9x x
Somamos em ambos os membros 
para eliminar a variável x do lado 
direito e isolar no lado esquerdo.
>5 160x
Multiplicamos ambos os membros 
por 
1
5 para obter o intervalo em 
que a variável x está.
> 32x
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O conjunto solução desta inequação são todos os números reais maiores 
que 32. A representação em intervalos do conjunto solução é ]32, +∞[. A 
visualização do conjunto solução na reta real é:
32
Figura 9 – Reta representando o conjunto solução ]32,+∞[.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
d. 
Solução: Neste caso o conjunto solução estará entre dois valores.
+
− < ≤
2 53 5
3
x Multiplicamos por 3 todos os termos para 
eliminar os denominadores em todas as 
parcelas.
− < + ≤9 2 5 15x Subtraímos 5 em todos os termos para eliminar 
os números do lado direito e esquerdo.
− < ≤14 2 10x Multiplicamos todos os termos por 
1
2 para 
obter o intervalo em que a variável x está.
− < ≤7 5x
O conjunto solução desta inequação são todos os números reais entre –7 e 
5, incluindo o 5. Em notação de intervalos, o conjunto solução é ]–7, 5] e 
sua representação na reta de números reais é:
57−
Figura 10 – Reta representando o conjunto solução ]‒7, 5].
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
www.esab.edu.br 36
e. 0< 3 – 5x ≤ 10
Solução: 
< − ≤0 3 5 10x Subtraímos 3 em todos os membros.
− < − ≤3 5 7x Multiplicamos todos os membros por − 1 .5
> ≥ −
3 7
5 5
x Atenção: a desigualdade é invertida.
− ≤ <
7 3
5 5
x
O conjunto solução desta inequação são todos os números reais entre 
7 3e ,
5 5
- incluindo o - 7 .
5
 A notação em intervalos do conjunto 
solução é 7 3, .
5 5
 -  
 A sua representação na reta real fica: 
7
5
−
3
5
Figura 11 – Reta representando o conjunto solução 7 3, .
5 5
 -  
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
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6 Inequações do segundo grau
Objetivo
Apresentar inequações do segundo grau. 
Uma inequação do segundo grau é do tipo ax2 + bx + c > 0 (ou para 
qualquer outro símbolo de desigualdade), com a, b e c números reais e a 
diferente de zero. Veja algumas inequações do segundo grau:
1. − − ≥2 12 0x x
2. − ≤2 8 20x x
3. + ≤22 3 20x x
4. − <2 4 1x x
Para encontrarmos o conjunto solução de uma inequação do segundo 
grau, é preciso lembrar alguns conceitos de função do segundo grau. 
Em nossa disciplina, teremos apenas uma unidade abordando conceitos 
de função do segundo grau, mas algumas noções são necessárias neste 
momento.
Procurar os números reais em que a inequação do segundo grau x2 + x ‒ 2 > 0 
tem solução é o mesmo que procurar situações em que a função y = x2 + x ‒2 
é positiva.
Como podemos encontrar os valores em que uma função é positiva?
Sabemos que o gráfico de uma função do segundo grau é uma 
parábola. Além disso, é importante lembrar que, em uma função do 
tipo y = ax2 + bx + c, quando a é positivo, a parábola tem concavidade 
voltada para cima e quando a é negativo, a parábola tem concavidade 
voltada para baixo.
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O gráfico da função y = x2 + x ‒ 2 é:
x
y
0
–1
–1–3–4
–3
–2
–2
4
3
2
1
4321
Figura 12 – Gráfico da função y = x2 + x – 2.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
Os valores para os quais a função é positiva são os valores em que é 
positivo. Isto é, segundo o gráfico, se tomarmos valores de x maiores que 
1, teremos o valor y associado positivo. O mesmo acontece se tomarmos 
valores menores que ‒2. No entanto, quando tomamos valores de x entre 
‒2 e 1, o gráfico fica abaixo do eixo x, ou seja, a função é negativa.
A inequação x2 + x – 2 > 0 encontra todos os valores de x que tornam a 
função positiva. Pelo gráfico, o conjunto solução é ]–∞, –2[ ∪ ]1, +∞[.
Como podemos encontrar os valores –2 e 1?
Observe que, quando resolvemos a equação x2 + x – 2 = 0, o conjunto 
solução é {‒2, 1}. Então, basta resolver a equação para encontrarmos os 
valores nos quais a função corta o eixo x.
Não é preciso construir o gráfico para resolvermos uma inequação do 
segundo grau. Veja o processo completo nos exemplos a seguir.
www.esab.edu.br 39
Exemplo 1: Resolva as inequações.
a. x2 – x – 12 > 0
Solução: Inicialmente encontre o conjunto solução da equação x2 – x 
– 12 = 0. Pela fórmula de Bhaskara, o conjunto solução é {–3, 4}. Esses 
valores indicam onde a função y = x2 – x – 12 corta o eixo x.
Observe que nesta função a = 1 e a > 0, ou seja, a parábola tem 
concavidade voltada para cima.
É importante fazer um esboço do gráfico (Figura 13) para a melhor 
visualização do conjunto solução. Veja que este esboço não é o gráfico da 
função.
–3
–
++
4
Figura 13 – Esboço da função y = x2 – x – 12.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
Assim, fica mais fácil observar que o conjunto solução para a inequação 
x2 – x –12 > 0 são os valores de maiores que 4 e menores que ‒3. Em 
notação de intervalos temos o conjunto solução ]–∞, –3[ ∪ ]4, +∞[.
www.esab.edu.br 40
b. 2x2 + 3x ≥ 20
Solução: Pela fórmula de Bhaskara, o conjunto solução da equação 
2x2 + 3x ‒ 20 = 0 é { }- 54, .2 Observa-se também que a parábola tem 
concavidade voltada para cima, pois a = 2.
–
++
4−
5
2
Figura 14 – Esboço da função y = 2x2 + 3x – 20.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
O conjunto solução da inequação 2x2 + 3x – 20 ≤ 0 são todos os valores 
de x maiores que 
5
2 e menores que ‒4, incluindo ‒4 e 
5 ,
2 pois nesses 
valores a inequação é igual a zero. Em notação de intervalos, o conjunto 
solução é 5] , 4] , .
2
 - ∞ - ∪ +∞  
c. x2 – 8x – 20 ≤ 0
Solução: Utilizando a fórmula de Bhaskara, o conjunto solução da 
equação x2 – 8x – 20 = 0 é {–2, 10}. Fazendo um esboço do gráfico da 
função y = x2 – 8x – 20 e observando que a parábola tem concavidade 
voltada para cima, temos:
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–
++
102−
Figura 15 – Esboço da função y = x2 – 8x – 20.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
Gostaríamos de encontrar valores de x em que a função é negativa. 
Observe que os valores que estamos buscando estão entre –2 e 10, ou 
seja, o conjunto solução desta inequação é [–2, 10].
Estudo complementar
Caso você queira construir gráficos de funções, 
especialmente as do segundo grau, conheça o 
software gratuito Winplot, que você pode baixar 
na internet clicando aqui, ou fazendo uma busca 
no Google.
http://www.baixaki.com.br/download/winplot.htm
www.esab.edu.br 42
Resumo
Estas primeiras unidades servem de base para o estudo de todas as 
seguintes. Os conteúdos que estudamos são ferramentas importantes para 
a interpretação e resolução de problemas. Já que os números reais são 
aqueles que iremos abordar ao longo da disciplina, as operações com eles, 
seja por meio de calculadoras ou mentalmente, devem ser conhecidas por 
você para que não haja problemas em obter os resultados corretos.
A notação de intervalos e as desigualdades são importantes no estudo de 
funções, limites e derivadas. Dentre as funções (que são nosso próximo 
tema), temos funções do primeiro e do segundo grau, e para desenvolvê-
las é necessário o conhecimento de equações e inequações do primeiro e 
do segundo grau.
Destacamos também a importância da visualização geométrica dos 
resultados encontrados, isto é, o conjunto solução das inequações do 
primeiro grau representado na reta real e o esboço feito para observar o 
conjunto solução das inequações do segundo grau.
Esperamos que a matemática vista nestas unidades, mesmo abordada 
sem tanta aplicação no curso de administração, já tenha contribuído para 
sanar algumas dificuldades nesta área.
www.esab.edu.br 43
7 Introdução ao conceito de funções
Objetivo
Introduzir o conceito de funções a partir de problemas de 
Administração.
Agora que estudamos as equações e inequações do primeiro e do 
segundo grau, temos suporte para continuar nossos estudos através do 
conceito de funções e seu papel no curso de Administração. As funções 
que abordaremos são funções lineares, quadráticas, exponenciais e 
logarítmicas e teremos como principal base os autores Murolo e Bonetto 
(2012).
Esta unidade apresenta alguns conceitos gerais de funções (definição, 
domínio e imagem) e mostra de que forma elas podem nos auxiliar na 
resolução de certos tipos de problemas. 
Exemplo 1
Um determinado produto “A”, por exemplo, sofre alteração de preço, em 
reais, ao longo do ano de acordo com a Tabela 1.
Tabela 1 – Preço médio do produto “A”.
Mês (t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Preço (P) 6,70 6,75 6,80 6,88 6,95 7,01 7,08 7,14 7,20 7,28 7,36 7,45
Fonte: Murolo e Bonetto (2012).
Nessa tabela, os meses estão representados por números, sendo o número 
1 correspondente ao mês de janeiro, o 2 ao mês de fevereiro, e assim 
sucessivamente. 
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Você pode observar que cada mês (t) tem um único preço (P) associado, 
o que caracteriza uma função matemática. Segundo Murolo e Bonetto 
(2012, p. 2),
 “A cada valor da grandeza t está associado um único valor da grandeza P, 
caracterizando P como uma função de t, o que é indicado por p = f (t).”
Para sua reflexão
No exemplo, se um dos meses tivesse dois preços 
associados, não poderíamos caracterizar essa 
situação como uma função matemática, ou seja, 
não tem sentido falar que o preço médio do mês 
2 é 6,75 reais e 6,70 reais. Existe apenas um preço 
médio em cada mês, você concorda?
A resposta a essareflexão forma parte de sua 
aprendizagem e é individual, não precisando ser 
comunicada ou enviada aos tutores.
Na função que associa os meses (t) com o preço (p), chamamos a variável 
p de dependente, pois seu valor depende do mês que é escolhido. E a 
variável t é chamada de variável independente.
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Uma representação dos valores da Tabela 1 pode ser feita por meio de um 
gráfico, como na Figura 16.
p
t
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
321 654 987 10 12110
Figura 16 – Preço médio do produto “A”.
Fonte: Murolo e Bonetto (2012).
Você pode observar que os pontos do gráfico não formam uma linha 
reta, mas estão próximos disso. Nesse sentido, não há uma função exata 
que represente a situação do exemplo citado, mas é possível fazer uma 
aproximação que resultará na função p (t).
Essa função é encontrada utilizando-se métodos numéricos adequados. 
Existem diferentes formas de encontrar a função que melhor se ajusta 
aos dados observados. Mas neste problema foi feita uma regressão 
linear utilizando o Método de Mínimos Quadrados (MMQ). Como o 
estudo desses métodos não é o objetivo deste curso, não entraremos em 
maiores detalhes.
p (t) = 0,0676 t + 6,6104
Quando você tem a função que associa a variável independente “mês” 
com a variável dependente “preço”, é possível fazer um novo gráfico, 
traçando uma reta, em que se nota uma grande aproximação. 
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p
t
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
321 654 987 10 12110
Figura 17 – Função que aproxima o preço médio do produto “A”.
Fonte: Murolo e Bonetto (2012).
De forma geral, o conjunto de valores para variável independente (t) 
forma o domínio da função. Enquanto o conjunto de valores da variável 
dependente (p) forma a imagem da função.
No gráfico da Figura 16, nota-se que o domínio da função era 
o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Ao fazermos a 
aproximação do problema pelo MMQ, encontramos a função 
p (t) = 0,0676 t + 6,6104 e o domínio passa a ser o conjunto dos 
números reais (Figura 17).
O raciocínio é análogo para a imagem da função (MUROLO; 
BONETTO, 2012).
Existem muitos tipos de funções que representam situações de problemas 
de administração. Veja agora outros exemplos.
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Exemplo 2
A análise estatística da venda (v) de um CD ao longo dos meses (t). Por 
meio de técnicas matemáticas adequadas, encontrou-se a função:
( ) 2507
1 500 0,5t
v t =
+ ⋅
Essa função é uma estimativa das vendas ao longo do tempo e foi 
encontrada a partir dos dados disponíveis (pontos em azul). O método 
para encontrar a função (v) não é objeto de estudo desta disciplina. 
Considerando que a venda (v) é dada em milhares de exemplares e o 
tempo (t) em meses, você pode observar o gráfico da função venda na 
Figura 18.
v
t
100
50
200
150
300
250
2 64 8 10 12 14 16 18 200
Figura 18 – Vendas de um CD.
Fonte: Murolo e Bonetto (2012).
A função mostra que as vendas não ultrapassam o valor de 250.000 
cópias. Neste caso, dizemos que a função é limitada superiormente, isto 
é, se você aumentar a quantidade de meses, o valor máximo de cópias de 
CDs que é possível vender é 250.000 (MUROLO; BONETTO, 2012).
Observe que a imagem dessa função é o intervalo [0, 250]. 
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Exemplo 3
O custo (c) por unidade de certo produto é modificado de acordo com 
a quantidade (q) produzida. Por meio de dados estatísticos e utilizando 
métodos matemáticos adequados, foi obtida a função que relaciona o 
custo (em reais) com a quantidade (em unidades):
( ) 240 50c q
q
= +
Essa função é uma estimativa do custo unitário de acordo com a 
quantidade produzida. O método para encontrar a função não é objeto 
de estudo desta disciplina.
O gráfico da função está representado na Figura 19. 
c
q
100
75
50
25
20 6040 8010 100 150 250 3002000
Figura 19 – Custos unitários para a produção de um produto.
Fonte: Murolo e Bonetto (2012).
Pode-se observar que o custo (c) unitário desse produto nunca é inferior 
a 50 reais. Quanto maior o valor de (q) na função ( ) 240 50,c q
q
= + mais 
próximo de zero será o número da parcela 
240 .
q
 Dessa forma, a soma 
240 50
q
+ resulta em um número próximo de 50. 
A função representada pela Figura 19 é limitada inferiormente.
Para dar continuidade ao estudo de funções, vamos à próxima unidade. 
Bons estudos!
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8 Função linear – parte I
Objetivo
Compreender situações-problema envolvendo função linear e 
conceituar função linear, coeficiente angular e coeficiente linear.
Agora que vimos uma introdução das funções podemos dar início a esta 
unidade destacando características de funções lineares por meio de um 
exemplo-problema.
Exemplo 1
Por meio de uma pesquisa, foram coletados os dados que constam na 
Tabela 2, que mostra o custo, em reais, para a produção de pares de 
calçados em função da quantidade produzida.
Tabela 2 – Custo da produção de pares de calçados.
Quantidade (q) 0 5 10 20 50 100
Custo (C)
 
200 300140120110100
10+ 10+ 20+ 60+ 100+
 
5+ 5+ 10+ 30+ 50+
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
Observe que, quando há um aumento de 5 unidades produzidas, o custo 
aumenta em 10 reais; quando o aumento é de 10 unidades produzidas, 
o custo aumenta em 20 reais; para o aumento de 30 unidades, o custo 
aumenta em 60 reais; e para o aumento de 50 unidades produzidas, o 
custo aumenta em 100 reais.
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Esses valores indicam que a variável dependente (C) e a independente (q)
variam proporcionalmente, ou seja,
2 1
2 1
10 20 60 100 2
5 10 30 50
C CC
q q q
-D
= = = = = =
D -
Em que DC significa a variação do custo, Dq a variação da quantidade, 
C2 e C1 são dois custos quaisquer da Tabela 2 e q2 e q1 são as quantidades 
correspondentes à C2 e C1 da Tabela 2 de modo que C2 > C1 e q2 > q1.
Segundo Murolo e Bonetto (2012), essa proporcionalidade caracteriza 
uma função do primeiro grau. Ela significa que a cada unidade produzida 
temos um acréscimo de 2 reais no custo. Além disso, 
C
q
D
D
 é chamada de 
taxa de variação média do custo em relação à quantidade de calçados. 
Essa medida indica o quanto a função custo está crescendo de acordo 
com as unidades produzidas.
Observe ainda que quando não há produção de calçados (q = 0), tem-
se um custo fixo de 100 reais que se deve aos impostos, despesas com 
funcionários, instalações, entre outros.
De forma geral, a função custo é uma soma do custo fixo (Cf ) e do custo 
variável (Cv), C = Cv + Cf. Nesse exemplo, considerando que o Cf = 100 
e Cv = 2q. Onde q representa a quantidade de calçados. Assim, a função 
custo é:
C (q) = 2q + 100
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Essa função representa uma função linear, cujo gráfico é uma reta 
(Figura 20).
C
q
100
200
140
20 50
 ( ) 2 100C q q= +
 60C =Variação em
 30q =Variação em
 





       
Figura 20 – Função custo.
Fonte: Murolo e Bonetto (2012). 
Caracterização geral de uma função linear
Segundo Murolo e Bonetto (2012), chama-se função linear toda função 
do tipo y = f (x) = mx + b em que m e b são números reais e m ≠ 0. 
Chamamos de coeficiente angular o valor m que representa o crescimento 
ou decrescimento da função. O coeficiente angular é a razão entre a 
variação da variável dependente com relação à variável independente.
y
m
x
D
=
D
Se o valor de m for positivo, a função é crescente, e se for negativo, 
a função é decrescente. No exemplo anterior, como m = 2 a função é 
crescente, como observado na Figura 20.
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Temos ainda o coeficiente linear, representado na função por b. Esse 
valor nos mostra onde o gráfico corta o eixo y, ou seja, o valor de y 
quando x = 0.
y = f (0) = m . 0 + b
y = b
No exemplo anterior, em que a função foi dada por C (q) = 2q + 100, o 
coeficiente linear é b = 100. Em seu gráfico (Figura 20), você observa que 
ele intercepta o eixo y, representado pela variável C, em 100.
Exemplo 2:
Uma pesquisa de mercado revelou a variação do preço unitário (y) de 
um martelo emrelação à quantidade demandada. As informações estão 
dispostas na Tabela 3.
Tabela 3 – Variação do preço unitário de martelos.
Unidades (x) 0 10 20 30 40 50
Preço unitário (y) 100 80 60 40 20 0
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
Observa-se que ocorre uma queda no preço do martelo conforme 
a demanda cresce. Além disso, a taxa de variação média do preço 
unitário em relação à quantidade demandada é constante, uma vez 
que se pegarmos qualquer intervalo Dy e o intervalo correspondente 
Dx o resultado será o mesmo. Por exemplo, pegando y2 = 80 e y1 = 100 
teremos x2 = 10 e x1 = 0.
2 1
2 1
80 100 20 2.
10 0 10
y y y
m
x x x
D - - -
= = = = = -
D - -
Poderíamos pegar também outro intervalo: y2 = 20 e y1 = 80 o que 
corresponde a x2 = 40 e x1 = 10. Desta forma teremos:
2 1
2 1
20 80 60 2.
40 10 30
y y y
m
x x x
D - - -
= = = = = -
D - -
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Percebemos também que a taxa de variação obtida, chamada de 
coeficiente angular, é negativa. Isso significa que a função é decrescente 
e o coeficiente linear (b) é igual a 100, pois, segundo a Tabela 3, quando 
não há demanda, o preço máximo do martelo é 100 reais.
Assim, obtemos a função linear do preço:
y = -2x + 100
O gráfico da função é representado na Figura 21. 
y
x
100
50
40
40
5030
30
10
10
20
20
60
90
80
110
70
0
Figura 21 – Preço unitário do martelo de acordo com a demanda.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
É possível observar que o domínio da função é dado pelo conjunto de 
valores [0, 50] e que a imagem é o conjunto [0, 100].
Finalizamos mais uma unidade. Siga adiante! 
Tarefa dissertativa
Caro estudante, convidamos você a acessar o 
Ambiente Virtual de Aprendizagem e realizar a 
tarefa dissertativa.
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9 Função linear – parte II
Objetivo
Apresentar gráfico, domínio e imagem de função linear e interpretar 
o gráfico a partir de problemas propostos.
Para dar seguimento aos estudos, vamos iniciar esta unidade trazendo 
novas características das funções lineares. 
Dada uma função linear f (x) = mx + b, seu gráfico será sempre uma 
reta. Essa reta pode ser crescente (quando m > 0) ou decrescente 
(quando m < 0) Nos exemplos da unidade 8, vimos esses dois casos.
Você sabe ainda que por dois pontos dados passa uma única reta. 
Portanto, para construirmos o gráfico de uma função linear é preciso de, 
pelo menos, dois pontos.
Exemplo 1
Construa o gráfico e apresente o domínio e a imagem das funções.
a. f (x) = 2x ‒ 1
Solução: Para construirmos o gráfico da função linear f (x) = 2x ‒ 1 é 
interessante construir uma tabela de valores, em que sejam atribuídos 
valores quaisquer para a variável x para calcularmos o valor da variável y 
associada.
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Tabela 4 – Tabela de valores.
x y = f (x) (x, y)
0 y = 2⋅0 -1 = -1 (0, -1)
1
2
12 1 0
2
y = ⋅ - =
1 ,0
2
 
 
 
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
Agora basta localizar os pontos ( ) 10, 1 e ,0
2
 -  
 
 no plano cartesiano e 
traçar a reta.
y
x
431 2
4
3
1
2
0 1−
 1−
 2−
 2−
 3−
 3−
 4−
Figura 22 – Gráfico da função f (x) = 2x ‒ 1.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
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Para sua reflexão
Como vimos na unidade 8, o coeficiente angular 
de uma função linear é dado por .ym
x
D
=
D
 Pelos 
valores encontrados na tabela, 
1
1
2
2.ym
x
D
= = =
D
Esse é exatamente o valor que podemos observar 
na função f (x) = 2x ‒ 1 dada no problema?
A resposta a essa reflexão forma parte de sua 
aprendizagem e é individual, não precisando ser 
comunicada ou enviada aos tutores.
Observe que o coeficiente angular (m = 2) é positivo e, portanto, a reta 
é crescente. Além disso, o coeficiente linear (b = ‒1) representa o ponto 
onde a reta corta o eixo y, como você observa na Figura 22.
O domínio da função f (x) = 2x ‒ 1 são todos os valores que a variável 
independente x pode assumir. Já a imagem da função são todos os valores 
que a variável dependente y pode assumir. Neste caso, o domínio e a 
imagem são o conjunto dos números reais.
b. f (x) = ‒ x + 3
Solução: Você deve construir uma tabela de valores para que seja possível 
localizar pelo menos dois pontos no plano cartesiano e então traçar o 
gráfico da função.
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Tabela 5 – Tabela de valores.
x y = f (x) (x, y)
0 y = ‒0 +3 = 3 (0, 3)
3 y = ‒3 + 3 = 0 (3, 0)
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
Basta localizar os pontos (0, 3) e (3, 0) no plano cartesiano e construir a 
reta.
y
x
431 2
4
3
1
2
0 1−
 1−
 2−
 2−
 3−
 3−
 4−
Figura 23 – Gráfico da função f (x) = ‒x + 3.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
Observe que o coeficiente angular (m = ‒1) é negativo e isso faz com que 
a reta seja decrescente. O coeficiente linear (b = 3) representa o ponto 
onde a função corta o eixo y.
O domínio e a imagem da função f (x) = ‒x + 3 é o conjunto dos 
números reais.
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Para sua reflexão
O domínio e a imagem de uma função linear 
sempre será o conjunto dos números reais. A 
exceção ocorre quando a função linear está 
inserida no contexto de um problema, por 
exemplo, quando a variável x representa os 
meses do ano (não tem sentido falarmos de 
meses negativos) ou quando uma das variáveis 
representa uma quantidade que necessariamente 
deve ser maior ou igual a zero. Neste caso, 
restringimos o domínio e/ou a imagem de acordo 
com a situação-problema, você concorda?
A resposta a essa reflexão forma parte de sua 
aprendizagem e é individual, não precisando ser 
comunicada ou enviada aos tutores.
Exemplo 2
Um operário tem seu salário dado por um valor fixo mais uma parte 
variável que é diretamente proporcional ao número de horas extras 
trabalhadas. A função que representa o salário em função das horas extras 
é y = 20x + 600, em que a variável y representa o salário e a variável y 
representa o número de horas extras. Faça o gráfico da função encontrada 
e identifique o domínio e a imagem.
Solução: Neste caso é preciso fazer uma tabela de valores.
Tabela 6 – Tabela de valores.
x y (x, y)
0 y = 20 . 0 + 600 = 600 (0 , 600)
‒30 y = 20 . (‒30) + 600 = 0 (‒30, 0)
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
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Como a variável x representa o número de horas extras trabalhadas, não 
tem sentido termos valores de x negativo. Portanto, utilizamos uma linha 
tracejada para representar o gráfico para esses valores ou simplesmente 
não a fazemos, conforme a Figura 24.
40 6020
1500
500
1000
0
 60− 40− 20−
 500−
Figura 24 – Gráfico da função y = 20x + 600.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
Você pode observar que quanto mais horas extras o operário trabalhar, 
maior será seu salário. Podemos comparar essa informação com o 
coeficiente angular da função, m = 20, que é positivo e indica uma 
função crescente.
Na tabela de valores observa-se que o valor mínimo que o operário pode 
receber de salário, caso não faça nenhuma hora extra (x = 0), é 600 
reais. Logo, o domínio da função é o conjunto [0, +∞[ e a imagem é o 
conjunto [600, +∞[.
Agora que vimos como se comportam as funções lineares, vamos seguir para 
a próxima unidade, na qual veremos diversas aplicações desse tipo de função. 
Atividade
Chegou a hora de você testar seus conhecimentos 
em relação às unidades 1 a 9. Para isso, dirija-se 
ao Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e 
responda às questões. Além de revisar o conteúdo, 
você estará se preparando para a prova. Bom 
trabalho!
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10 Aplicações de função linear
Objetivo
Apresentar situações-problema envolvendo funções lineares, ponto 
de encontro entre duas retas.
Esta unidade apresenta problemas das áreas econômicas envolvendo 
principalmente o conceito de função linear, mas também conteúdos 
vistos nas unidades anteriores. Estas situações-problema servem como 
base para o estudo de outras funções.
Além disso, é importante, a partir de agora, ter em mente alguns 
conceitos específicos do curso de Administração para resolver problemas 
sobre funções lineares.
Os exemplos a serem citadosirão abordar os seguintes conceitos 
específicos (SILVA; ABRÃO, 2008):
Receita ou Receita Total: é a soma total de suas vendas e recebimentos. 
Pode-se dizer, a grosso modo, que a receita é o dinheiro que entra no caixa.
Custo fixo: são aqueles que dependem da quantidade vendida ou 
produzida pela empresa. Como exemplo, o aluguel é um custo fixo.
Custo variável: são aqueles que variam de acordo com a quantidade 
produzida ou vendida. A matéria-prima é um exemplo, pois, se não 
houver produção ou venda, não haverá consumo de matéria-prima.
Custo total: é a soma dos custos fixos com os custos variáveis.
Lucro: é a diferença entre a receita e o custo total, isto é, L = R ‒ C.
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Ponto de equilíbrio: ocorre quando o lucro é nulo, ou seja, a receita é 
igual ao custo.
Margem de contribuição unitária (MCU): é o “lucro” que cada 
unidade de produto nos proporciona. Por exemplo, se um produto é 
vendido a R$ 8,00 e ele tem um custo unitário de fabricação de R$ 3,50, 
a MCU desse produto é R$ 4,50.
Não confunda MCU com Lucro! Para obtermos lucro, ainda é preciso 
descontar os custos fixos de produção.
Outro conceito muito utilizado por administradores é o ponto de 
equilíbrio. Ele nos diz a quantidade necessária a serem vendidas para 
começarmos a obter lucro. Em outras palavras, interessa-nos saber 
quanto devemos vender, no mínimo, para não obtermos prejuízo.
Portanto, o ponto de equilíbrio ocorre quando o lucro é nulo (L = 0). No 
entanto, se L = R ‒ C, podemos fazer:
0 = R ‒ C
R = C
Existem duas maneiras de pensar no ponto de equilíbrio:
1. L = 0
2. R = C
Procuraremos relacionar esses conceitos presentes em situações-problema 
de Administração na resolução de problemas de funções lineares.
Exemplo 1
A Suspiro Gelado é uma fábrica de picolés que usa um sistema de aluguel 
de carrinhos para colocar seus produtos no mercado. Ela aluga cada 
carrinho de picolé por R$ 21 por dia. A pessoa que aluga o carrinho 
recebe-o abastecido com 80 picolés, pelos quais deverá pagar R$ 0,80 de 
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cada um que vender, devolvendo à sorveteria os que restarem. O preço de 
venda do picolé é de R$ 1,50 (SILVA; ABRÃO, 2008). Pergunta-se:
a. Qual a receita total da pessoa se vender em um dia apenas 10 
picolés?
Solução: A receita total (R) representa o dinheiro que entrou no caixa. 
Como cada picolé custa R$ 1,50, a receita total após a venda de 10 
picolés será:
R = 1,50 . 10 = 15 reais
b. Qual a receita total da pessoa se ela vender em um dia 100 picolés?
Solução: A receita total após a venda de 100 picolés, sendo que cada um 
deles custa R$ 1,50, será:
R = 1,50 . 100 = 150 reais
c. Qual a função que pode representar a receita total da pessoa para um 
número qualquer de picolés vendidos?
Solução: Considere que a variável x representa o número de picolés 
vendidos e, ainda, que cada picolé custa R$ 1,50. Então, a função da 
receita total torna-se:
R = 1,50 . x
d. Qual o custo fixo diário para a pessoa que aluga o carrinho?
Solução: Segundo o enunciado do problema, a pessoa que aluga o 
carrinho de picolés deve pagar R$ 21 por dia.
e. Qual o custo variável (CV) para a pessoa que aluga o carrinho?
Solução: O custo variável é aquele que depende da quantidade vendida, 
ou seja, ele só vai existir se os picolés forem vendidos. Para a pessoa que 
aluga o carrinho o custo variável é de R$ 0,80 por picolé, pois é o valor 
que ele terá que pagar para a fábrica.
f. Qual o custo variável para a pessoa se vender 10 picolés?
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Solução: Como cada picolé tem um custo variável de R$ 0,80. Se a 
pessoa vender 10 picolés, o custo variável será:
CV = valor de cada picolé × quantidade de picolés
CV = 0,80 . 10 = 8 reais
É interessante perceber que o custo variável de determinada mercadoria 
será o produto do valor pela quantidade da mercadoria.
g. Qual o custo variável para a pessoa se vender 100 picolés?
Solução: Como cada picolé tem um custo variável de R$ 0,80, se a 
pessoa vender 100 picolés, o custo variável será:
CV = 0,80 . 100 = 80 reais
h. Qual expressão pode representar o custo variável para um número 
qualquer de picolés vendidos?
Solução: Considerando que o número de picolés vendidos é 
representado pela variável x, o custo variável para qualquer número de 
picolés vendidos é representado pela função:
CV = 0,80 . x
i. Qual expressão pode representar o custo total (CT) para a pessoa 
para um número qualquer de picolés vendidos?
Solução: O custo total é a soma do custo variável com o custo fixo. 
Considerando as respostas obtidas nas letras “d” e “h”, o custo total é 
representado pela função CT = CV + CF , em que CV = 0,80x. Assim:
CT = 0,80 . x + 21
j. Qual a margem de contribuição unitária?
Solução: A margem de contribuição unitária (MCU) é a diferença 
entre a receita e o custo variável. Ela representa o quanto sobra para o 
vendedor de picolé a cada picolé vendido. Como a receita ao vender um 
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único picolé é de R$ 1,50 e o custo variável é R$ 0,80, a margem de 
contribuição unitária será:
MCU = 1,50 ‒ 0,80 = 0,70
k. Qual a expressão que pode representar a margem de contribuição em 
função do número de picolés vendidos?
Solução: Considerando que o número de picolés é representado pela 
variável x, a margem de contribuição em função do número de picolés 
vendidos será:
MC = 0,70 . x
Ou seja, o produto do valor do MCU unitário de cada picolé, 
multiplicado pela quantidade de picolés, nos dará a margem de 
contribuição total de determinada quantidade de picolés. Perceba que 
aqui não calculamos a margem de contribuição unitária. 
l. Qual o lucro (L) da pessoa se vender 100 picolés num dia?
Solução: O lucro é a margem de contribuição por unidade vendida 
menos o custo fixo, ou seja,
L = 0,70 . x ‒ 21
Na venda de 100 picolés, o lucro será de R$ 49, veja:
L = 0,70 . 100 ‒ 21
L = 49
m. Qual o ponto de equilíbrio diário em número de picolés vendidos?
Solução: O ponto de equilíbrio ocorre quando a receita é igual ao custo 
total.
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R = CT
1.50 . x = 0,80 . x + 21
0,7 . x = 21
x = 30
O ponto de equilíbrio físico é x = 30. 
n. Esboce num mesmo plano cartesiano os gráficos da receita, custo 
total e lucro em função do número de picolés vendidos.
Solução: Para construir o gráfico das funções citadas, é preciso fazer uma 
tabela de valores para cada uma delas.
Tabela 7 – Tabela de valores: receita.
x R = 1,50 . x (x, R)
0 R = 1,50 . 0 = 0 (0, 0)
30 R = 1,50 . 30 = 45 (30, 45)
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
Tabela 8 – Tabela de valores: custo total.
x CT = 0,80 ⋅ x + 21 (x, CT)
0 CT = 0,80 ⋅ 0 + 21 = 21 (0, 21)
30 CT = 0,80 ⋅ 30 + 21 = 45 (30, 45)
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
Tabela 9 – Tabela de valores: lucro bruto.
x LB = 0,70 . x ‒ 21 (x, LB)
0 LB = 0,70 . 0 ‒ 21 = ‒ 21 (0, ‒21)
30 LB = 0,70 . 30 ‒ 21 = 0 (30, 0)
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
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Observe que o ponto de equilíbrio físico é o ponto de encontro do 
gráfico da função receita e da função custo fixo. Além disso, quando x = 
30, o lucro (L) é zero.
y
x
 LB
 R
 CT
40
40
20
20
30
30
10
10
0 40− 30−
 30−
 20−
 20−
 10−
 10−
Figura 25 – Gráfico das funções receita, custo total e lucro bruto.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
o. Quantos picolés a pessoa terá que vender para lucrar R$ 100 por 
dia?
Solução: A função que representa o lucro é L = 0,70 . x ‒21. Para que 
o lucro seja R$ 100 por dia, devemos substituir esse valor no lugar da 
variável L para encontrar o número de picolés a serem vendidos.
0,70 21
100 0,70 21
121 0,70
121 172,85
0,70
L x
x
x
x
= ⋅ -
= ⋅ -
= ⋅
= =
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Será preciso vender 172,85 picolés, ou melhor, 173 picolés, pois não é 
possível vender frações de picolés.
p. Se a pessoa fizer uma promoção por sua própria conta, do tipo pague 
2 leve 3, imaginando que todas as vendas aconteçam na promoção, 
qual o novo ponto de equilíbrio?
Solução: Se cada picolé custa R$ 1,50 e as pessoas pagariam 2 e 
comprariam3, a receita a cada venda seria de R$ 3,00. Dessa forma, seria 
como se cada picolé custasse R$ 1,00. Como o ponto de equilíbrio é a 
igualdade R = CT, em que R = 1,00 . x e CT = 0,8 . x + 21, temos:
1,00 0,8 21
0,20 21
21 105
0,2
R CT
x x
x
x
=
⋅ = ⋅ +
⋅ =
= =
Portanto, será preciso vender 105 picolés ou 35 promoções para ocorrer 
o ponto de equilíbrio, isto é, para começar a ganhar lucro.
q. Na modalidade de venda do item anterior, quantas promoções terá 
que vender para lucrar o mesmo valor obtido na situação da letra 
“l”?
Solução: O lucro obtido na letra “l” foi de R$ 49. O lucro é a margem 
de contribuição por unidade vendida menos o custo fixo. Como a 
margem de contribuição por unidade vendida mudou para MCU = 1,00 
‒ 0,8 = 0,2, o lucro será:
L = 0,2 . x ‒ 21
Como se espera obter um lucro de R$ 49, esse valor é substituído na 
equação para encontrar a variável x, que representa o número de picolés.
49 0,2 21
70 0,2
70 350
0,2
x
x
x
= ⋅ -
= ⋅
= =
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Será preciso vender 350 picolés ou 116,66 promoções para obter um 
lucro de R$ 49.
r. Supondo que, em média, o vendedor vendesse 60 picolés por dia a 
R$ 0,80 cada, o que aconteceria com seu resultado se fizesse uma 
promoção baixando o preço para R$ 0,70 e a venda aumentasse para 
70 picolés em média. Justifique.
Solução: Se fossem vendidos 60 picolés por R$ 0,80, a receita seria R 
= 0,80 . 60 = 48 reais. Caso fossem vendidos 70 picolés por R$ 0,70, a 
receita aumentaria para R = 0,70 . 70 = 49 reais. Neste caso, seria melhor 
vender 70 picolés por R$ 0,70.
Com esse exemplo, encerramos mais uma unidade. Esperamos que essas 
aplicações de funções possam ter lhe auxiliado a melhor compreendê-las. 
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11 Equação da reta
Objetivo
 Apresentar a equação da reta a partir de dois pontos conhecidos.
Com o estudo de funções feito até o momento, seguiremos estudando a 
equação da reta. Em muitas situações, conhecemos alguns valores, mas 
não temos a função que representa o problema. Como toda função linear 
tem como gráfico uma reta, para encontrar a equação da reta bastam dois 
pontos. Esses dois pontos, muitas vezes, são informações oferecidas pelo 
problema.
Vamos ver um exemplo.
Exemplo 1
Uma casa de eventos promove festas com ingressos no valor de R$ 10,00 
e atinge uma lotação de 200 pessoas. Quando o valor do ingresso passa 
para R$ 15,00, a lotação é de 150 pessoas.
Veja que os valores R$ 10,00 e 200 (pessoas) estão associados, assim 
como R$ 15,00 e 150 (pessoas). Podemos representar esses valores por 
meio de pares ordenados (10, 200) e (15, 150), representando pontos do 
plano cartesiano.
Para obter a equação da reta, utiliza-se a seguinte equação:
0 0
1 0 1 0
y y x x
y y x x
- -
=
- -
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Em que:
0x 0y
10 200
1x 1y
15 150
Sabendo o valor das variáveis x0, y0, x1, y1, substituímos na equação:
( ) ( )
200 10
150 200 15 10
5 200 50 10
5 1000 50 500
5 50 1500
50 1500
5
10 300
y x
y x
y x
y x
xy
y x
- -
=
- -
- = - -
- = - +
= - +
- +
=
= - +
Note que o coeficiente angular (m = ‒10) é negativo, portanto a reta é 
decrescente. Esta reta associa a demanda em relação ao preço e mostra 
que, à medida que o preço aumenta, a demanda cai.
y
x
400200
200
300
300
100
100
0 400− 300−
 300−
 200−
 200−
 100−
 100−
Figura 26 – Gráfico da função y = ‒10x + 300.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
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Exemplo 2
Considerando a mesma situação-problema anterior, encontre a equação 
da demanda com os pontos:
a. (1, 122) e (10, 95)
Considere os pontos de acordo com as tabelas.
0x 0y
1 122
1x 1y
10 95
Substituindo os valores na equação da reta obtemos:
( ) ( )
0 0
1 0 1 0
122 1
95 122 10 1
9 122 27 1
9 1098 27 27
9 27 1125
27 1125
9
3 125 é a equação da reta.
y y x x
y y x x
y x
y x
y x
y x
xy
y x
- -
=
- -
- -
=
- -
- = - -
- = - +
= - +
- +
=
= - +
b. (9, 1075) e (40, 300)
Considere os pontos de acordo com as tabelas.
0x 0y
9 1075
1x 1y
40 300
Substituindo os valores na equação da reta obtemos:
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( ) ( )
0 0
1 0 1 0
1075 9
300 1075 40 9
31 1075 775 9
31 33325 775 6975
31 775 40300
775 40300
31
25 1300 é a equação da reta.
y y x x
y y x x
y x
y x
y x
y x
xy
y x
- -
=
- -
- -
=
- -
- = - -
- = - +
= - +
- +
=
= - +
As funções lineares também se aplicam a problemas de juros simples, 
ou seja, quando a taxa de juros incide apenas sobre o capital inicial. 
Considere as seguintes variáveis:
• J: juros
• P: capital inicial
• i: taxa de juros
• n: período de aplicação
• M: montante (juros + capital inicial)
Os juros e o montante podem ser obtidos pelas equações:
Juros Montante
J = P ⋅ i ⋅ n M = J + P
Considerando uma quantia de R$ 2.000,00 aplicada a uma taxa de juros 
simples de 5% ao mês durante certo período, a função que representa os 
juros e o montante em função dos meses será:
Juros Montante
J = P ⋅ i ⋅ n 
J = 2000 ⋅ 0,05 ⋅ n
J = 100n 
M = J + P 
M = 100n + 2000 
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Para sua reflexão
A taxa de juros i pode ser representada em 
porcentagem ou na forma decimal. Observe que 
55% 0,05.
100
= = Desta forma podemos 
dizer que calcular o juros e o montante é preciso 
escrever a taxa de juros na forma decimal? Por que?
A resposta a essa reflexão forma parte de sua 
aprendizagem e é individual, não precisando ser 
comunicada ou enviada aos tutores.
Note que o coeficiente angular das duas funções é o mesmo e é positivo: 
m = 100 e cresce na mesma proporção. O gráfico das funções juros e 
montante estão representados na Figura 27. 
n
JM
2000
Figura 27 – Gráfico das funções juros e montante.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
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O gráfico do montante é obtido fazendo-se uma translação de 2000 
unidades em relação ao gráfico dos juros. Esse valor representa o capital 
inicial.
Dessa forma, encerramos a unidade 11 e podemos seguir para a próxima, 
onde veremos diversos exercícios sobre função linear. 
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12 Exercícios sobre função linear
Objetivo
Propor exercícios sobre função linear.
Esta unidade será composta apenas por exercícios resolvidos sobre função 
linear.
Exercício 1
Em um posto de combustível, o preço do álcool é de R$ 2,30 por litro.
a. Determine uma expressão que relacione o valor pago (V) em 
função da quantidade de litros (q) abastecidos por um consumidor. 
Intuitivamente podemos pensar que o valor pago será o produto do 
preço pela quantidade.
Solução: A função que relaciona o valor pago com a quantidade de litros 
será:
V = 2,30 . q
b. Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte 50 
litros, esboce o gráfico da função obtida no item anterior.
Solução: Como o tanque do carro tem um limite de 50 litros, o valor 
máximo que a variável q pode atingir é 50. Para construir o gráfico é 
importante fazer a tabela de valores:
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Tabela 10 – Tabela de valores.
q V = 2,30 . q (q, V)
0 V = 2,30 . 0 = 0 (0, 0)
50 V = 2,30 . 50 = 115 (50, 115)
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
Essa tabela indica características relevantes sobre o problema:
• Se a quantidade de litros fosse zero (q = 0), não haveria valor a ser 
pago;
• O máximo que o consumidor pode pagar para encher o tanque do 
seu carro é R$ 115,00. Isso ocorre quando ele coloca a quantidade 
máxima de litros que seu tanque comporta (q = 50).
Então, o gráfico da função V = 2,30.q será:
x
y
100
50
40
30
10
20
60
90
80
110
120
70
0 50403010 20 60 8070
Figura 28 – Gráfico da função V = 2,30 . q.
Fonte: Elaborada pelos autores (2013).
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Exercício 2
Um produto, quando comercializado, apresenta as funções custo (C) e 
receita (R) dadas, respectivamente, por C = 3q + 90 e R = 5q, onde q é a 
quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para custo e receita 
(MUROLO; BONETTO, 2012).
a. Encontre o ponto de equilíbrio em quantidade vendida.
Solução: O ponto de equilíbrio ocorre quando C = R. Dessa forma:
C = R
3q + 90 = 5q
90 = 2q
q = 45