3 lista de exercícios - Volumes por cascas cilíndricas, integração por partes e integrais trigonométricas

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROFESSOR: RODRIGO CLEMENTE
3a LISTA DE EXERCÍCIOS - VOLUMES POR CASCAS CILÍNDRICAS, INTEGRAÇÃO
POR PARTES E INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
1. Use o método das cascas ciĺındricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das
regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.
(a) (b)
(c) (d)
2. Use o método das cascas ciĺındricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas
curvas, em torno do eixo y, das regiões limitadas pelas curvas e retas abaixo:
(a) y = x, y = −x2 , x = 2
(b) y = 2x, y = x2 , x = 1
(c) y = x2, y = 2− x, x = 0, para x ≥ 0
(d) y = 2− x2, y = x2, x = 0
(e) y = 2x− 1, y =
√
x, x = 0
(f) y = 1x , y = 0, x = 1, x = 2
(g) y = x2, y = 0, x = 1
3. Use o método das cascas ciĺındricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas
curvas, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas abaixo:
(a) xy = 1, x = 0, y = 1, y = 3
(b) y =
√
x, x = 0, y = 2
1
2
(c) y = x3, y = 8, x = 0
(d) x =
√
y, x = −y, y = 2, y ≥ 0
4. Calcule a integral usando integração por partes.
(a)
∫
x cos(5x) dx (b)
∫
(x2 + 2x) cosx dx (c)
∫
xe−x dx (d)
∫
t sen(2t) dt
(e)
∫
ln( 3
√
x) dx (f)
∫
x ln(1 + x) dx (g)
∫
xsen
x
2
dx (h)
∫
θ cos(πθ) dθ (i)
∫
t2 cos tdt
(j)
∫
x2senxdx (k)
∫
x3 lnxdx
5. Calcule as integrais usando a substituição trigonométrica indicada.
(a)
∫
1
x2
√
x2 − 9
dx, x = 3 sec θ
(b)
∫
x3
√
9− x2 dx, x = 3senθ
(c)
∫
x3√
x2 + 9
dx, x = 3 tan θ
6. Calcule as integrais trigonométricas.
(a)
∫
sen3x cos2 xdx (b)
∫
sen6x cos3 xdx (c)
∫
t sen2tdt
7. Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especi-
ficados.
(a) y = senx, y = 0, π2 ≤ x ≤ π, em torno do eixo x
(b) y = senx, y = cosx, 0 ≤ x ≤ π4 , em torno de y = 1