Lista - Cascas Cilíndricas

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Volumes por Cascas Cilíndricas
Definição 0.1 (Volume por cascas cilíndricas em torno do eixo y) Sejam f uma
função contínua não negativa em [a, b] (0 ≤ a < b) e R a região limitada acima por
y = f(x), abaixo pelo eixo x e nas laterais pelas retas x = a e x = b. Então, o volume V
do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo y é dado por
V = 2pixf(x)dx
onde x é o raio da casca e f(x) a altura da casca.
A figura abaixo ilustra uma casca cilíndrica:
e as figuras abaixo ilustram o processo para se calcular o volume de um sólido de revolução
por cascas cilíndricas:
1
2
Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que resulta quando a região
sombreada gira em torno do eixo indicado.
1. Gira em torno de Oy. Resp.:
15pi/2
2. Gira em torno de Ox. Resp.:
pi/3
3-6. Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que resulta quando a região
sombreada gira em torno do eixo y.
3. y = x3, x = 1, y = 0. Resp.: 2pi/5
4. y = 1/x, y = 0, x = 1, x = 3. Resp.: 4pi
5. y = 2x− 1, y = −2x+ 3, x = 2. Resp.: 20pi/3
6. y =
1
x2 + 1
, x = 0, x = 1, y = 0. Resp.: pi ln 2
7-9. Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que resulta quando a região
sombreada gira em torno do eixo x.
7. y2 = x, y = 1, x = 0. Resp.: pi/2
8. y = x2, x = 1, y = 0. Resp.: pi/5
9. Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por y = ex e y = 0
para 1 ≤ x ≤ 2 gira em torno do eixo y. Resp.: 2pie2
10. Seja R a região plana limitada pelos gráficos de y = x3/2 (veja gráfico na figura
abaixo), y = 1, x = 1 e x = 3, e seja S o sólido gerado pela revolução de R em torno
do eixo y. Use o método das cascas cilíndricas para determinar o volume V de S. Resp.:
2pi
[
54
√
3−30
7
]
.
3
11. Seja R a região plana limitada pelos gráficos de y =
√
x, y = 1 e x = 4. Use o método
das cascas cilíndricas para calcular o volume V do sólido S gerado pela rotação de R em
torno da reta y = −2. Resp.: 67pi/6.
4