Revisão de números complexos1

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Revisão de 
Números ComplexosNúmeros Complexos
Números Complexos
?=− 4
Unidade imaginaria: 
Desta forma:
ou
Definição:
1−=j 1
2 −=j
241414 j=−=−=− .).(
Deduções:
jjjjj −=−== ).(. 123
111
224 =−−== )).((. jjj
jjjjjj =−−== ).).((.. 11225
1111
2226 −=−−−== )).().((.. jjjj
Formas de Representação de um Numero Complexo
•Forma Carteziana
•Forma Polar 
•Forma Trigonometrica
Forma Carteziana
a e b são números reais
j é a unidade imaginaria
Z=a+jb
Plano CartezianoZ(a,b)
Eixo Imaginario (Im)
Forma Carteziana
Eixo Real (R)
b
a
Exemplos:
Representar os números complexos no plano carteziano
Z1=4+j4
4
Im
Z1
4 R
Z2=7 (não tem parte imaginaria)
Im
R
Z2
7
Im
Z3=j3 (não tem parte real)
R
3Z3
Z5=3+j3
Im
-1-2 1
1
2
3
2 3-3
Z4
Z5
Z4=-3+j2
R
-1-2 1
-1
-2
-3
2 3-3
Im
b P
Z
φ
Z=a +jb forma cartezianaMÓDULO
FASE
Forma Polar
Ra
o
Segmento de reta
ZOP =
Representa o MODULO
Do numero complexo z
O ângulo φ representa o 
ARGUMENTO ou ÂNGULO DE
FASE de z
Na forma polar um numero complexo é representado por:
z = Z φ
Z é o modulo
e
φ é a fase do numero complexo
Forma Polar
Numero complexo é representado por letra minúscula, z
E o seu modulo por letra maiúscula, Z
Z= Z φ Forma alternativa
Transformação da Forma Carteziana para Polar
Im
b
Z
22 baZ += Dado: z=a+jb
Determinar: Z e φ
φ
a
b
tg =φ
a
b
arctg ==φ
Ra
z = Z φ
a
Exemplos: 
Transformar os números para a forma polar
Z1=4+j4
Im
4
Z1
z1
24441
22 =+=Z
0
1
45
4
4
== arctgφ
R
4
Z1
φ1
1
45
4
== arctgφ
z1 = 24
0
45
Z2=7 (não tem parte imaginaria)
Im
φ2=00
Z2=7
R
7
Z2
z2
φ2 z2 = 7 
0
0
z3=j3 (não tem parte real)
Im
z3
Z3=3
3
φ3=900
z3 = 3 
0
90
R
Z3 φ3
z3 = 3 
90
Ou..........
z3 = 3 
0
270−
Z4=-3+j2
Im
z4
Z4
631323
22
4
,)( ≅=+−=Z
φ’
0
34
3
2
≅= arctg'φ2
φ4 φ4=180-34=1460
R
φ’
-3
φ4=180-34=146
z4 = 3,6 
0
146
Z5=-5
Im
z5
Z5=5
Z5
φ5
φ5=1800
R
z5 Z5
z5 = 5 
0
180
Z6=-4-j3
Im
R
-4
Z6
534
22
6
=−+−= )()(Z
φ6
φ’
0
37
4
3
≅= arctg'φ
-3
z6
Z6
φ6=180+37=2170
z6 = 5 
0
217
Z7=-j4
Im
R
Z7=4
φ7
φ7=2700
z7 -4
z7 = 4 
0
270
Ou.....
z7 = 4 
0
90−
Z8=4-j3
Im
R
z8Z8
4
534
22
8
=−+= )(Z
φ8
φ’
0
37
4
3
≅= arctg'φ
φz8
Z8
-3 φ8=360-37=3230
z8 = 5 
0
323
ou............... z8 = 5 
0
37−
Operações com Números Complexos
SOMA e SUBTRAÇÃO
Na soma e na subtração é usada a forma cartesiana
z1=10+j10 z2=5+j4
z3=z1+z2=(10+j10) + (5+j4)= (10+5)+j(10+4)=15+j14
z4=z1-z2= (10+j10) - (5+j4)= (10-5)+j(10-4)=5+j6
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Na multiplicação e divisão é usada a forma polar
z1=4+j4=5,65 450
z2=5+j8,66=10 600 Z4= -5+j8,66= 10 1200
Z3=-j4=4 -900
Operações com Números Complexos
z2=5+j8,66=10 600 Z4= -5+j8,66= 10 1200
Exercícios Propostos
Dados os complexo:
Z3=-j4=4 -900
z1=4+j4=5,65 450 z2=5+j8,66=10 600
Z4= -5+j8,66= 10 1200
Obter: 
a) Representação no plano cartesiano de z1,z2,z3 e z4
b) z2.z4 z2.z3
c) z2/z4 z2/z3