Avaliação A3-convertido

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CURSO BACHARELADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Natal-RN, 2020 
Nome: Israel Patrício da Silva Filho 
Matrícula: 201916685 
 
Professor(a): André 
 
Avaliação A3 
Submeter nesta atividade que contará a pontuação total para a A3 , Avaliação da N1: 
Elaborar uma questão por aula disponível na forma de apresentação (Ex.: Aula 1, preparar uma 
questão, Aula 2, Elaborar 1 questão, até a Aula 5). 
Resolver os exercícios propostos: 
Aula 1: Slides 7,15, 16, 20, 21, 24, 28, 29, 30, 31, 32, 36, 37, 38, 39. 
7- Cite outras aplicações nas quais os números complexos estão envolvidos? 
• Engenharia de Controle, Para controlar o nível de água de cada tanque existe um modelo 
matemático. 
• Engenharia de Elétrica, para calcular parâmetros de circuitos elétricos. 
• Na Física, pelo Eletromagnetismo, na Aerodinâmica do Avião. 
 
15- Simplifique as Potências da Unidade Imaginária. 
i0= 1, i1= i, i2= -1, i3= i2. i= -i 
 
i138 = i2= -1 
i2016 = i0= 1 
i537 = i1= i 
 
16- Simplifique Raízes de Números Negativos 
√−25= √−1 . √25 = 5i 
 
20- Definição de números complexos 
Qual é a parte real de 13,2i+1? = 1 
Qual é a parte imaginaria de 21-14i? = -14i 
Qual é a parte real de 17i? = 0 
 
Ex; 138 ÷ 4__ 
 -12 
 018 
 -16 
 02 = i2= -1 
 
34 
√−9 = √−1 . √9 = 3i 
https://unp.blackboard.com/webapps/assignment/uploadAssignment?content_id=_13337245_1&course_id=_567089_1&group_id=&mode=view
21- Classifique os números complexos: 
7+8i = Complexo 
 √3 = Real 
 1= Real 
 -1,3i= Imaginário Puro 
 100i= Imaginário Puro 
 
24- Encontre o conjugado dos seguintes números: 
7i -2= -7i-2 
4-3i= 4+3i 
9i= -9i 
-2= -2 
 
28- Plote o número complexo −4 + 7𝑖. Converta-o para a forma polar. 
 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 → 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟: |𝑧| = √(−4)2 + (7)2 = 8,0622 
𝜃 = atan (
7
−4
) = 119,744° 8,0622 /119,744° 
 
29- Plote o número complexo 6𝑖 + 1. Converta-o para a forma polar. 
 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 → 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟: |𝑧| = √(1)2 + (6)2 = 6,0827 
𝜃 = atan (
6
1
) = 80,5376° 6,0827 /80,5376° 
 
30- Plote o número complexo −𝑖 − 3. Converta-o para a forma polar. 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 → 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟: |𝑧| = √(−3)2 + (−1)2 = 3,1622 
𝜃 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 (
−1
−3
) = −161,50 3,1622 /-161,50° 
 
31- Plote o número complexo 4𝑖. Converta-o para a forma polar. 
 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 → 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟: |𝑧| = √(0)2 + (4)2 = 4 
𝜃 = atan (
4
0
) = 90° 4 /90° 
 
 
 
 
 
 
32- Plote o número complexo −7. Converta-o para a forma polar. 
 
𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 → 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟: |𝑧| = √(−7)2 + (0)2 = 7 
𝜃 = atan (
0
−7
) = 180° 7 /180° 
36- Aplicação: Equações de Segundo Grau com Raízes Complexas 
36.1- Determine as raízes da seguinte equação do 2º grau: 4x² – 4x + 2 
−(−4) ± √−42 − 4 ∗ 4 ∗ 2
2 ∗ 4
=
4 ± √−16
8
=
4 ± √16 ∗ √−1
8
=
1
2
±
1
2
𝑖 
37- Calcular a solução da equação x² – 14x + 50 = 0 
−(−14) ± √(−142) − 4 ∗ 1 ∗ 50
2 ∗ 1
=
14 ± √−4
2
=
14 ± √4 ∗ √−1
2
= 7 ± 1𝑖 
38- Calcular a solução da equação x² – 6x + 10 = 0 
−(−6) ± √(−62) − 4 ∗ 1 ∗ 10
2 ∗ 1
=
4 ± √−4
2
=
4 ± √4 ∗ √−1
2
= 2 ± 1𝑖 
 
-7 
39- Calcular a solução da equação −x² + 4x − 29 = 0 
−(4) ± √42 − 4 ∗ (−1) ∗ (−29)
2 ∗ (−1)
=
−4 ± √−100
−2
=
4 ± √100 ∗ √−1
−2
= −2 ± (−5𝑖) 
41- Questão elaborada: 
4.1- Converta para a forma cartesiana os valores em polar 9,89 /45° e plote no gráfico. 
• 𝒂 = |𝟗, 𝟖𝟗|𝒄𝒐𝒔(𝟒𝟓), 𝒃 = |𝟗, 𝟖𝟗|𝒔𝒆𝒏(𝟒𝟓) 
A= 6,99 = 7, B= 6,99 = 7 
Forma cartesiana 7+7i 
 
 
 
 
 
 
Aula 2: Slides 10, 13, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24. 
Submeter nesta atividade que contará a pontuação total para a A3, avaliação da N1: 
10-Considere os seguintes números complexos 
Z1= 1+2i Z2= 2+1i 
Determine: 
A) Z1+Z2= (1+2i) +(2+1i) (1+2)+(2+1)i = 3+3i 
B) Z1-Z2= (1+2i)-(2+1i) (1-2)+(2-1)i=-1+i 
13- 
Distância entre números complexos 
 
Z1=(4+3i) +(-5+7i)=-1+10i √(-1)^2+(10)^2= 10,05 
 
17- 
Multiplique -4(13+5i). Escreva o número resultante na forma a+bi. 
-4 * (13+5i) = -52-20i 
 
 
18- 
Multiplique 2i * (3-5i). Escreva o numero resultante na forma a +bi. 
2i*(3-8i) = (2i*3) + (2i.-8i) 6i-16*(-1)= 16+6i 
19- 
Multiplicação com números complexos 
3 * (-2+10i) =-6+30i 
-6i * (5+7i)= -30i+42 → 42-30i 
 
20- 
(1+4i) * (5+i), e escreva o número resultante na forma a+bi 
(1+4i)*(5+i) → 5+i+20i-4 = 1+21i 
 
21- 
(1+2i) * (3+i) 
 3+i+6i-2 = 1+7i 
(2-i) * (2+i) 
 4+2i-2i+1= 5 
(4+i )* (7-3I) 
28-12i+7i+3= 31-5i 
(1+i) * (1+i) 
1+i+i-1= 2i 
Sejam a e b números Reais. O que é (a-bi)*(a+bi) ? É a parte real ≠0, realize a operação 
indicada e simplifique 
(1+3i)^2+(2+1) resposta na forma a+bi 
(1+3i)*(1+3i) → 1+3i+3i-9 =-8+6i 
(-8+6i)*(2+i) → -16-8i+12i-6 =-22+4i 
23- Considere os seguintes números complexos 
Z1= 1+2i Z2=2+1i 
Determine Zr= Z1/Z2 
Zr = 
1+2𝑖
2+1𝑖
∗
2−1𝑖
2−1𝑖
 =
2−1𝑖+4𝑖+2
4−2𝑖+2𝑖+1
 → 
4+3𝑖
5
 = 0.8+0.6i 
24- Efetue a divisão dos seguintes números complexos. 
A) 
25+19𝑖
5−3𝑖
∗
5+3𝑖
5+3𝑖
=
125+75𝑖+95𝑖−57
25+15𝑖−15𝑖+9
→ 
68+170𝑖
34
 = 2+5i 
 
B) 
2+3𝑖
4
∗
4−0𝑖
4−0𝑖
 = 
8+12𝑖
16
 = 0.5+0.75i 
 
C) 
20−4𝑖
3+2𝑖
∗
3−2𝑖
3−2𝑖
 = 
60−40𝑖−12𝑖−8
9−6𝑖+6𝑖+6
 → 
52−52𝑖
15
 = 3.5-3.5i 
 
D) 
4+2𝑖
−1−𝑖
∗
−1−𝑖
−1−𝑖
=
−4−4𝑖−2𝑖+2
1+𝑖−𝑖+1
→ 
−2−6𝑖
2
= −1 − 3𝑖 
 
Questão elaborada: 
 
Considere o número complexo z = 1 + 8i. O produto z · , em que é o conjugado de z, é: 
A) – 63 + 16 i 
B) – 63 – 16 i 
C) – 63 
D) 2 
E) 65 
Res. 
Z*Z = (1 + 8).(1 – 8i) = 1² - (8i)² = 1 – 8². i² = 1 -64 . (- 1) = 65 
 
Aula 3: Slides 21, 23, 26, 29, 33, 34. 
21- Calcule, C1 • C2 e (converta para a forma polar e realize a operação nessa forma e depois 
volte para a forma cartesiana): 
C1 = 2 + j3 e C2 = 5 + j10 
|z1|=√2² + 3² = 3,6 |z2|=√5² + 10² = 11,18 
Tang1
-1 ( 
3
2
 ) = 56,3 Tang2-1 ( 
10
5
 ) = 63,43 
3,6 /_56,3 11,18 /_63,43 
C1.C2 = (3,6 /_56,3°) x (11,18 /_63,43°) = 40,248 /_119,73° 
Polar p/ cartesiana: 
A= 40,248.Cos.(119,73) = -19,95 
B= 40,248.Sen.(119,73) = 34,95 = -19,95 + j34,95 
C1 = -2 - j3 e C2 = 4 - j6 
|z1|=√−2² + (−3)² = 3,6 |z2|=√4² + (−6)² = 7,21 
Tang1
-1 ( 
−3
−2
 ) = -123,69 Tang2-1 (
−6
4
 ) = -56,30 
3,6 /_-123,69 7,21 /_-56,30 
C1.C2 = (3,6 /_-123,69°) x (7,21 /_-56,30°) = 25,956 /_-179,99° 
Polar p/ cartesiana: 
A= 25,956.Cos.(-179,99°) = -25,95 
B= 25,956.Sen.(-179,99°) = -4,53 = -25,95 - j4,53 
 
C1 = (2-j1) e C2 = (5+j3) 
|z1|=√2² + (−1)² = 2,236 |z2|=√52 + 3² = 5,83 
Tang1
-1 ( 
−1
2
 ) = -26,56° Tang2-1 ( 
3
5
 ) = 30,96° 
2,236 /_-26,56º 5,83 /_30,96º 
C1.C2 = (2,236 /_-26,56°) x (5,83 /_30,96°) = 13,03 /_4,4° 
Polar p/ cartesiana: 
A= 13,03.Cos.(4,4°) = 12,99 
B= 13,03.Sen.(4,4°) = 0,999 = 12,99 + j0,999 ou 13 + j1 
 
23- Calcule C1 / C2 se (converta para a forma polar e realize a operação nessa forma e depois 
volte para a forma cartesiana): 
C1 = 2 + j3 e C2 = 5 + j10 
|z1|=√2² + 3² = 3,6 |z2|=√5² + 10² = 11,18 
Tang1
-1 ( 
3
2
 ) = 56,3° Tang2-1 ( 
105
 ) = 63,43° 
3,6 /_56,3° 11,18 /_63,43° 
C1 ÷ C2 = (3,6 /_56,3°) ÷ (11,18 /_63,43°) = 0,32 /_-7,13° 
Polar p/ cartesiana: 
A= 0,32.Cos.(-7,13°) = 0,31 
B= 0,32.Sen.(-7,13°) = -0,039 = 0,31 - j0,039 
 
C1 = -2 - j3 e C2 = 4 - j6 
|z1|=√−2² + (−3)² = 3,6 |z2|=√4² + (−6)² = 7,21 
Tang1
-1 ( 
−3
−2
 ) = -123,69° Tang2-1 (
−6
4
 ) = -56,30° 
3,6 /_-123,69° 7,21 /_-56,30° 
C1 ÷ C2 = (3,6 /_-123,69°) ÷ (7,21 /_-56,30°) = 0,499 /_-67,39° 
Polar p/ cartesiana: 
A= 0,499.Cos.(-67,39°) = 0,19 
B= 0,499.Sen.(-67,39°) = -0,46 = 0,19 - j0,46 
 
C1 = (2-j1) e C2 = (5+j3) 
|z1|=√2² + (−1)² = 2,236 |z2|=√52 + 3² = 5,83 
Tang1
-1 ( 
−1
2
 ) = -26,56° Tang2-1 ( 
3
5
 ) = 30,96° 
2,236 /_-26,56º 5,83 /_30,96º 
C1 ÷ C2 = (2,236 /_-26,56°) ÷ (5,83 /_30,96°) = 0,38/_-57,52° 
Polar p/ cartesiana: 
A= 0,38.Cos.(-57,52°) = 0,20 
B= 0,38.Sen.(-57,52°) = -0,32 = 0,20 - j0,32 
26- Calcule a exponencial solicitada: 𝒛 = 𝟐[(𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎𝒐) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟐𝟎𝒐)]; 𝒛𝟐 =? 
𝒛² = 𝟐²[(𝒄𝒐𝒔. 𝟐. 𝟐𝟎𝒐) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟐. 𝟐𝟎𝒐)] 
𝒛² = 𝟒[(𝒄𝒐𝒔𝟒𝟎𝒐) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟒𝟎𝒐)] 
 
29- Calcule a exponencial solicitada: 𝑧 = 2[(𝑐𝑜𝑠20𝑜) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(20𝑜)]; 𝑧−10 =? 
Z-10 = 
1
210
 
Z-10 = 
1
210[𝐶𝑜𝑠(−10.20°)+𝑖𝑆𝑒𝑛.(−10.20°)
= 
1
210
∗ 
1
𝐶𝑜𝑠(−10.20°)+𝑖𝑆𝑒𝑛.(−10.20°)
= 
[𝐶𝑜𝑠(−10.20°)]−𝑖𝑆𝑒𝑛.(−10.20°)
[𝐶𝑜𝑠(−10.20°)−𝑖𝑆𝑒𝑛.(−10.20°)]
 
1
210
 *
𝐶𝑜𝑠(−10.20°)−𝑖𝑆𝑒𝑛.(−10.20°)
𝐶𝑜𝑠²(−10.20°)+𝑆𝑒𝑛².(−10.20°)
 
 Z-10= 2-10.[Cos(-200) + iSen(-200)] 
33- Números Complexos na resolução de problemas reais 
Observemos a figura: 
 
Usando a álgebra vetorial descrita pode ser mostrado que: 
Onde: V é o valor RMS ou seja Vm/2 
Sabendo que v1 = 1V<0° e v2 = 2V<90°, v1+v2 =? 
Polar p/ cartesiana: 
A= 1.Cos.(0°) = 1 A= 2.Cos.(90°) = 0 
B= 1.Sen.(0°) = 0 B= 2.Sen.(90°) = 2 
V1= 1 + j0 V2 = 0 + j2 
 V1+V2 = 1+j2 
|z1|=√1² + 2² = 2,23 
Tang-1 ( 
2
1
 ) = 63,43° 
 Vrms = 2,23V/_63,43° 
 
34- Calcule a tensão de entrada no circuito visto na figura: 
 
Polar p/ cartesiana: 
Va = 50 /_30° Vb = 30 /_60° 
A = 50.Cos.(30°) = 43,3 A= 30.Cos.(60°) = 15 
B = 50.Sen.(30°) = 25 B= 30.Sen.(60°) = 25,98 
 
Va = 43,3 + j25 Vb = 15 + j25,98 
Va + Vb = 58,3 + j50,98 
 
|z1|=√58,3² + 50,98² = 77,44 
Tang-1 ( 
50,98
58,3
 ) = 41,16° 
Vrms = 77,44V/_41,16° 
 
Questão elaborada: 
Dado os números complexos z = 4 · (cos8° + isen8°) e u = 6 · (cos40° + isen40°). A 
forma trigonométrica do complexo z · u é igual a: 
a) z · u = (cos (56°) + isen (56°)) 
b) z · u = 8 (cos (56°) + isen (56°)) 
c) z · u = 24 (cos (56°) + isen (56°)) 
Resposta: 
z = 4 · (cos8° + isen8°); u = 6 · (cos40° + isen40°) 
z · u = 4 · (cos8° + isen8°) · 6 · (cos40° + isen40°) 
z · u = 4 · 6 · (cos (8° + 40°) + isen (8° + 40°) 
z · u = 24 · (cos (48°) + isen (48°)) 
 
Aula 4: Slides 32, 33. 
32- Calcule a transformada de Laplace das expressões no domínio do tempo abaixo: 
y(t) = 1 + 2t + sen (5) = 
L{1+2t+sin(5)} 
=L{1}+2L{t}+L{\sin(5)} 
L{1}= 1/s 
L{t}=1/s2 
L{sin(5)}= 
sin (5)
𝑠
 
1
𝑠
+ 2 ∗
1
𝑠²
+
sin (5)
𝑠
 
2 ∗
1
𝑠2
=
1 ∗ 2
𝑠2
=
2
𝑠²
 
1
𝑠
+
2
𝑠²
+
sin (5)
𝑠
 
 
y(t) = 3 - 𝒆−𝒕+ 3cos(t) = 
L {3 - e-t + 3cos (t)} 
=L {3} - L{ e-t } + 3L{cos(t)} 
L {3} = 
3
𝑠
 
L {e-t} = 
1
𝑠+1
 
L{cos(t)}= 
3
𝑠
−
1
𝑠+1
+ 3 ∗
s
𝑠2+1
 
= 
3
𝑠
−
1
𝑠+1
+
3s
𝑠2+1
 
 
y(t) = - 
𝟏
𝟑
𝒆−𝒕 − 𝒕𝒆−𝟐𝒕 − 𝒆𝟐𝒕𝒕= 
 
Domínio de - 
1
3
𝑒−𝑡 − 𝑡𝑒−2𝑡 − 𝑒2𝑡𝑡 
- ∞ < (t) < ∞ 
[ (- ∞ , ∞) ] 
Imagem de - 
1
3
𝑒−𝑡 − 𝑡𝑒−2𝑡 − 𝑒2𝑡𝑡 
- ∞ < f(t) < ∞ 
[ (- ∞ , ∞) ] 
 
y(t) = 5 - 𝒆−𝒕sen(5t) = 
L {5 – e-t sen (5t)} 
L {5} – L {e-t sen (5t)} 
5
𝑠
−
5
(𝑠 + 1)2 + 25
 
 
33- Encontre a função de transferência (GS)= Y(s)/U(s), dos modelos de plantas abaixo. 
 
5
𝒅𝒚(𝒕)
𝒅𝒕
= + 𝟐𝒚 = 𝒖 
5y’(t) + 2y = u 
5L { y’(t)} + 2L{y} = L{u} 
5s.y(s) + 2.y(s) = 1u(s) 
y(s).(5s + 2) = 1.u(s) 
𝑦(𝑠)
𝑢(𝑠)
=
𝟏
𝟓𝒔 + 𝟐
 
 
Y’’ + 4y’ + 3y = 3u’’ 
L { y’’} + 4L{y’} + 3L {y} = 3.{u’} 
s².y(s) + 4s.y(s) + 3.y(s) = 3s.u(s) 
y(s).(s² + 4s + 3) = 3s.u(s) 
𝑦(𝑠)
𝑢(𝑠)
=
𝟑𝒔
𝒔𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟑
 
 
y’’ + 2y’ + y = u’ + 2u 
L{y’’} + 2L{y’} + {y} = {u’} + 2L{u} 
s².y(s) + 2s.y(s) + y(s) = s.u(s) + 2u(s) 
y(s).(s² + 2s + 1) = u(s).(s + 2) 
𝑦(𝑠)
𝑢(𝑠)
=
𝒔 + 𝟐
𝒔𝟐 + 𝟒𝒔 + 𝟏
 
 
Aula 5: Slide 22, adicionar ao exercício o diagrama de bode conforme apresentado na aula. 
 
Ve = R . i1 + Vs 
i = i2 + i3 
i3 = C * 
dVc
dt
 
i2 = 
1
L
∗ ∫ VL ∗ dt = 
1
L
∗ ∫ Vs ∗ dt 
i1 = 
1
L
∗ ∫ Vs ∗ dt + C ∗ 
dVc
dt
 
V = R * i1 
V = R * ( 
1
L
∗ ∫ Vs ∗ dt + C ∗ 
dVc
dt
 ) + Vs 
L{ S } = 
Ve (s) = R * ( 
1
L
 * 
1
s
∗ Vs(s) + C(s) ∗ Vc(s) ) + Vs(s) = 
Vs (s) * ( 
R
RS
+ RCS + 1 ) = 
 
Vs(S)
Ve(S)
 = 
1
R
Ls
+RCs+1
 = G(S) = 
1
R+RLCS2+LS
LS
 = 
1∗LS
R + RLCs²+1
 = 
 G(J⍵) = 
L∗J⍵
R + RLC∗(J⍵)²+1