NÚMEROS COMPLEXOS

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Números Complexos 
O conjunto dos números complexos é formado por uma parte inteira 
e uma parte imaginária, em que a parte imaginária corresponde a raiz, 
de índice par, de um número negativo. 
Os números complexos podem ser representados de três formas, são 
elas: 
1. Forma Algébrica: , composta por uma parte real 
e uma parte imaginária ; 
2. Forma Geométrica: representada no plano complexo conhecido 
como plano de Argand-Gauss; 
3. Forma Trigonométrica: forma polar. 
Os números complexos possuem operações bem definidas: adição, 
subtração, multiplicação, divisão e potenciação. 
Forma Algébrica 
Para definir-se a forma algébrica, foi utilizada a letra , conhecida 
como unidade imaginária de um número complexo. 
 √ 
 , em que e são números reais. 
Ex: √ √ ( ) (√ 
√ ) ( ) 
 e . 
Exemplos: 
 ; 
 ; 
 
 
 
 ; 
 . 
Quando a parte imaginaria é nula ( ), o número é conhecido 
como imaginário puro; e são imaginários puros por não 
possuírem parte real. 
Adição com números complexos 
Fazemos a soma da parte real e a soma da parte imaginária. 
 
 
 ( ) ( ) , parte real e parte imaginária. 
Ex1: 
 
 
 ( ) ( ) 
Ex2: 
 
 
 ( ( )) ( ) ( ) 
Subtração com números complexos 
Se , seu inverso é ( ) . Sendo: 
 
 
 ( ) , - , ( )- , - 
, - ( ) ( ) . 
Ex3: 
 
 
 ( ) ( ) . 
Ex4: 
 
 
 ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Potências da unidade imaginária 
 
 √ 
 (√ )
 
 
 ( ) √ 
Nas próximas potências (4, 5, 6, ...) acontece a repetição das 
potências 0, 1, 2 e 3, exatamente nessa ordem. 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Ao continuarmos calculando as potências, os resultados sempre 
serão do conjunto * +. Então para encontrarmos uma 
potencia , fazemos a divisão 
 
 
 e o resto dessa divisão (onde o resto 
será sempre 0, 1, 2 ou 3) será o novo expoente de . 
Ex5: 
 
 
 
 ( ) (resto 1), então 
 
 
 
 ( ) (resto 3), então 
Multiplicação de números complexos 
Fazemos pela propriedade distributiva. 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
Ex6: 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
Conjugado de um número complexo 
Para encontrarmos o conjugado de um numero complexo, basta 
trocarmos o sinal da parte imaginária. 
 
 
 
 
Divisão de números complexos 
Para dividirmos números complexos, precisamos multiplicar o 
numerador e o denominador da fração pelo conjugado do 
denominador da fração. 
Ex7: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )( )
( )( )
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 (
 
 
) 
Plano complexo ou plano de Argand-Gauss 
Esse plano é uma adaptação do plano cartesiano, para representar 
um numero complexo geometricamente. O eixo horizontal é o eixo da 
parte real Re(z) e o eixo vertical é o eixo da parte imaginária Im(z). O 
número complexo , gera os pontos no plano complexo formado 
pelo par ordenado ( ). 
 
 
Ex8: representar o número na forma geométrica ( ) 
 
Módulo e argumento de um número complexo 
O módulo de um número complexo, geometricamente, é a distância 
do ponto ( ) até a origem. 
 
Podemos perceber que é a hipotenusa do triângulo retângulo, 
logo ela pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras. 
 √ 
Ex9: o módulo de é 
 √ √ √ 
O argumento de um número complexo é o ângulo formado pelo eixo 
horizontal e o segmento . 
 
Para encontrar o valor do ângulo , temos: 
 
 
 
 e 
 
 
 
Ex9: encontre o argumento do número complexo . 
Se , então e . 
 √ √ √ √ √ 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
√ 
 (
 
√ 
 
√ 
√ 
) 
√ 
 
 
 
Forma polar ou trigonométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
( ( )) 
 
Ex10: √ 
 √(√ ) √ √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 ( ( )) ( 
 
 
 
 
 
)