INTEGRAÇAO NUMERICA- REGRA DE ORDEM SUPERIOR-EMERSON ANGELO ERNESTO

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UNIVERSIDADE LURIO 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
LICENCIATURA DE ENGENHARIA MECANICA 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMERICO 
 
INTEGRAÇȂO NUMERICA (REGRA DE ORDEM SUPERIOR 
 
 
NOME: 
EMERSON ANGELO ERNESTO 
DOCENTE: 
SUFIA SUMAILA, Lic. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pemba, Maio de 2021 
 
 
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UNIVERSIDADE LURIO 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
LICENCIATURA DE ENGENHARIA MECANICA 
 
 
 
MÉTODOS NUMERICO 
 
 
 
INTEGRAÇȂO NUMERICA ( REGRA DE ORDEM SUPERIOR) 
 
 
Trabalho de caráter avaliativo, com o 
tema: Regra de ordem superior, a ser 
apresentado ao docente da disciplina 
de Métodos numéricos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pemba, Maio de 2021 
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ĺNDICE 
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................ 4 
2. OBJECLIVOS ........................................................................................................................................... 5 
3. REGRA DE ORDEM SUPERIOR ............................................................................................................... 6 
3.1. Regra 3/8 ............................................................................................................................................ 6 
3.2. Regra de Bode .................................................................................................................................... 7 
3.3. Exercício Resolvido ............................................................................................................................. 9 
4. CONCLUSÃO ........................................................................................................................................ 11 
5. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 12 
 
4 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
Os integrais surgem sempre que pretendemos determinar a variação de uma quantidade y, quando 
a taxa de variação de y em relação a x for descrita pela expressão f (x). Ou seja, conhecida a relação 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇(𝒙) 
O valor da integral definida de f pode ser determinada como: 
I=∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒂) − 𝑭(𝒃)
𝒃
𝒂
. 
 
No presente trabalho abordar-se-á regra de ordem superior. A regra de ordem superior aproxima o 
gráfico da função em cada subintervalo pela interpolação polinomial. Falarei também dos erros no 
cálculo das áreas pois O erro é a diferença entre os valores obtidos com os cálculos numéricos e 
exatos. Da integral. Uma situação comum ocorre quando a integral é uma expressão matemática 
cuja integral analítica é difícil ou impossível de resolver, sendo necessária à sua avaliação 
numérica. Nesse caso, o erro pode ser estimado com o emprego de algum método de integração 
numérica. 
 
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2. OBJECLIVOS 
 
Objetivo Geral 
 Estudar a regra de ordem superior para integração numérica 
 
Objetivos Específicos 
 
 Apresentar e justificar a regra de ordem superior para integração numérica 
 Demostrar a aplicação pratica da regra de ordem superior com exercícios resolvidos 
 
 
 
 
 
 
6 
 
3. REGRA DE ORDEM SUPERIOR 
 
Na regra de ordem superior é usado a terceira fórmula regra de Newton-Cote fechado. Seguindo 
esse programa, podemos desenvolver quadraturas com maior número de pontos, por exemplo, as 
quadraturas com quatro e cinco pontos possuem nome próprio. São a regra 3/8 e a regra de Bode. 
Basta utilizar a fórmula (1) fixar um grau n e tomar n+1 pontos igualmente espaçados xi=a+ih, 
i=0,1,2,...,n com que h=( b-a)/n. Desta forma podemos repetir este processo para n=3,4,.... 
 3.1. Regra 3/8 
 
Para n=3 obtemos a regra dos três oitavos 
A Regra 3/8, caracteriza-se por: 
 Pontos de interpolação: 4; 
 Polinómio interpolador: P3(x), de terceiro grau; 
 Números de subintervalos: 3; 
 Passo da tabela: h=(b-a)/3 
 
 
Figure 1. Exemplo de gráfico para regra de 3/8 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
3ℎ
8
[𝑓(𝑎) + 3𝑓(𝑎 + ℎ) + 3𝑓(𝑏 − ℎ) + 𝑓(𝑏)
𝑏
𝑎
 
7 
 
 
E correspondente erro 
 
E(f)=− 
3
80
 h5f4(ᶓ) ᶓ ϵ (a,b) 
 
Podendo-se estabelecer a formula composta 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
3ℎ
8
[(𝑓0 + 𝑓𝑛) + 3
𝑏
𝑎
∑ 
𝑛/3
𝑖=1 f3i-2+3∑ 
𝑛/3
𝑖=1 f3i-1+2∑ 
𝑛/3
𝑖=1 f3i] 
 
Com h=(b-a)/n , xi=a+ih, fi=f(xi), i= 0,1,2,...,n. 
 
 
E(f)=− 
(𝑏−𝑎)
80
 h4f4(ᶓ) ᶓ ϵ (a,b). 
 
3.2. Regra de Bode 
 
Para n=4 obtemos a regra de Bode 
Regra de Bode, caracteriza-se por: 
 Pontos de interpolação: 5; 
 Polinómio interpolador: P4(x), de quarto grau; 
 Números de subintervalos: 4; 
 Passo da tabela: h=(b-a)/4; 
8 
 
 
Figure 2. Exemplo de gráfico para regra de Bode 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
2ℎ
45
[7𝑓(𝑎) + 33𝑓(𝑎 + ℎ) + 12𝑓 (
𝑏 + 𝑎
2
) + 32𝑓(𝑏 − ℎ)
𝑏
𝑎
+ 7𝑓(𝑏)] 
 
E o respeito erro 
E(f)=− 
8
945
 h7f6(ᶓ) ᶓϵ (a,b) 
 
Tendo a formula composta a seguinte expressão: 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
2ℎ
45
[7(𝑓0 + 𝑓𝑛) +
𝑏
𝑎
32 ∑ 
𝑛/4
𝑖=1 f4i-3+12∑ 
𝑛/4
𝑖=1 f4i-2+32∑ 
𝑛/4
𝑖=1 f4i-1+14∑ 
𝑛/4
𝑖=1 f4i] 
 
Com h=(b-a)/n , xi=a+ih, fi=f(xi), i= 0,1,2,...,n. 
 
 
E(f)=− 
(𝑏−𝑎)
945
 2h6f6(ᶓ) ᶓ ϵ (a,b). 
9 
 
 
Obs..: Do estudo anterior constata-se que as formulas de integração obtidas fazendo n=1, ou n=3 
são de grau n, enquanto que as formulas de integração obtidas fazendo n=0, ou n=2 ou n=4 são 
grau n+1. De facto, demostra-se que as formulas de Newton-cotes para n ímpar são de grau n, 
enquanto que para n par são de grau n+1. 
 
 
3.3. Exercício Resolvido 
 
1. Determine um valor aproximado de ∫ (𝑋 + 1)𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
8
2
. 
(a) Usando regra de 3/8 
(b) Usando regra de Bode. 
 
(a) f(x)=(X+1)sen(x), a=2; b=8; h= (8-2)/3= 2 
X Xi F(xi) 
0 2 0,1047 
1 4 0,3449 
2 6 0,7317 
3 8 1,2526 
 
 
∫ (𝑋 + 1)𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
8
2
 = 
3ℎ
8
[𝑓(𝑥0) + 3𝑓(𝑥1) + 3𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3) 
 = 
3
8
 *2*(0,1047+3*0,3449+3*0,7317+1,2526) 
 = 3,4403 
 
10 
 
(b) f(x)=(X+1)sen(x), a=2; b=8; h= (8-2)/4= 1.5 
 
 
i Xi f(Xi) 
0 2 0,1047 
1 3,5 0,2747 
2 5 O,5229 
3 6,5 0,8490 
4 8 1,2526 
 
 
∫ (𝑋 + 1)𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
8
2
 = 
2ℎ
45
[7𝑓(𝑥0) + 33𝑓(𝑥1) + 12𝑓(x2) + 32𝑓(𝑥3) + 7𝑓(𝑥4) 
 = 
2
45
*(7*0,1047+33*0,2747+12* O,5229+32*0,8490+7*1,2526) 
 =3,4673 
11 
 
4. CONCLUSÃO 
 
 
Chegado o fim do presente trabalho conclui-se que em geral, Os metodos de integração numérica 
são usados quando f(x) e impossível ou difícil integrar analiticamente, ou ainda quando a função 
integrada e conhecida através de uma tabela de valores. 
12 
 
5. BIBLIOGRAFIA 
 
WYLIE, J. E BARRET, L. C. , Advanced Engineering Mathematics, McGraw-hill, 1995. 
NOGUEIRA, J.M., NAPOLES, S.M., RODRIGES,J.A., MONTEIRO, A. A. e CARREIRA, M. 
A., contar e Fazer Contas : uma introdução a aritmética, Coleção Temas Fundamentais da 
Matemática ( vol.1), Gradiva eb SPM,2003.