GEOMETRIA ANALÍTICA

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA II
PRÉ-VESTIBULAR 115PROENEM.COM.BR
GEOMETRIA ANALÍTICA: 
INTRODUÇÃO30
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Situação 1
 
C
A
1 2 3 4 5 6 70
-1
-2
1
2
3
4
5
D
B
Você saberia responder qual é a distância entre os pontos A e 
B? E entre os pontos C e D?
É possível observar que a distância de A e B são 
de 4 unidades, que seria o comprimento no segmento 
AB. Tal distância pode ser calculada como o módulo da 
diferença entre as abscissas de A e B, isto é, AB = | 6 - 2 | 
 ou AB = | 2 - 6 |, ou simplesmente, a abscissa maior menos a 
menor, AB = 6 - 2 = 4.
De maneiro análoga, a distância entre os pontos C e D, pode ser 
calculada da seguinte maneira: CD = | 4 - (- 2) | = 6 
Para calcularmos a distância entre os pontos A e B basta 
calcular o módulo do vetor AB

 ou simplesmente ter a visão 
analítica e fazer a distância entre dois pontos.
Situação 2
Para calcular tal distância entre A e B, podemos aplicar o 
teorema de Pitágoras. Veja abaixo: 
Assim, podemos dizer que a distância entre qualquer dois 
pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) é dado por:
2 2 2
B A B A
2 2
B A B A
d (x x ) (y y )
d (x x ) (y y )
= − + −
= − + −
01. Determine a distância entre os pontos A(-1, 4) e B(3, 7).
Resolução:
Utilizando vetores podemos determinar o vetor e calcular o 
seu módulo.
AB

 = B - A = [3 - (-1), 7 - 4 ]
AB

 = (4,3)
2 2
2 2
AB a b
AB 4 3
AB 25
AB 5
= +
= +
=
=




Logo, a distância entre os pontos A e B é igual a 5.
Ou simplesmente podemos utilizar a relação:
2 2
B A B A
2 2
2 2
d (x x ) (y y )
d (3 ( 1)) (7 4)
d (4) (3)
d 25 5
= − + −
= − − + −
= +
= =
EXERCÍCIO RESOLVIDO
DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM UMA 
RAZÃO DADA
Se um ponto C pertence a um segmento AB e C é distinto de A e 
de B, dizemos que C divide o segmento AB na razão AC
CB
.
R
Supondo que AB não é paralelo ao eixo Ox, sendo Xa, Xc e Xb as 
abscissas de A, C e B, respectivamente, e Ya, Yc, Yb as ordenadas de 
A, C e B, respectivamente, temos pela semelhança dos triângulos 
TAC e RCB que:
a c a c
c c
c cb b
x x y yx e y
x x y y
− −
= =
− −
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR116
MATEMÁTICA II 30 GEOMETRIA ANALÍTICA: INTRODUÇÃO
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
AM MB=
 
M A B M− = −
2M A B= +
A BM
2
+
=
Assim, podemos dizer que para qualquer dois pontos A(xA, yA) 
e B(xB, yB), o ponto médio M(xM, yM) do segmento AB é dado por:
A B A B
M M
x x y yx e y
2 2
+ +
= =
02. Achar as coordenadas do ponto médio do segmento AB

, 
sendo A(2, 5) e B(4,-3).
Resolução:
( ) ( ) ( )
( )
2, 5 4, 3 6, 2A BM M
2 2 2
M 3, 1
+ −+
= → = =
=
BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO
Baricentro é o ponto de encontro das medianas de um 
triângulo.
AG 2GN
G A 2(N G)
B CG A 2N 2G, onde N
2
3G A 2N
3G A B C 
A B CG
3
=
− = −
+
− = − =
= +
= + +
+ +
=
 
Assim, podemos dizer que para qualquer três pontos A(xA, yA), 
B(xB, yB) e C(xC, yC) vértices de um triângulo, o baricentro G(xG, yG) 
desse triângulo é dado por:
A B C A B C
G G
x x x y y yx e y
3 3
+ + + +
= =
03. Determine o baricentro do triângulo A (2, 5) , B (–1, 0) e 
C (5, –2).
Resolução:
( ) ( ) ( )
( )
( )
A B CG
3
2, 5 1, 0 5, 2
G
3
6, 3
G
3
G 2, 1
+ +
=
+ − + −
=
=
=
EXERCÍCIO RESOLVIDO
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE 3 
PONTOS
Os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC) estarão alinhados se, e 
somente se:
A A
B B
C C
x y 1
x y 1 0
x y 1
=
ÁREA DO TRIÂNGULO
Caso três pontos não estejam alinhados, com certeza estarão 
formando um triângulo cuja área pode ser calculada por:
ÁLGEBRA LINEAR
SEGMENTO ORIENTADO
O segmento de reta orientado de origem em A e extremidade em 
B, será representado por AB

 e geometricamente representado por:
Caracterizado pelo sentido do segmento.
A distância de A até B (comprimento do segmento) é chamado 
de módulo do segmento orientado e representado por | AB

|.
A direção de AB

 é a direção da reta suporte do 
segmento, e o seu sentido é representado pela flecha ( AB

, 
 de A para B).
SEGMENTOS ORIENTADOS EQUIPOLENTES
Se dois ou mais segmentos orientados têm o mesmo módulo, 
a mesma direção e o mesmo sentido, serão ditos segmentos 
equipolentes.
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
30 GEOMETRIA ANALÍTICA: INTRODUÇÃO
117
MATEMÁTICA II
VETOR
Vetor v

 determinado por um segmento orientado AB

 é o 
conjunto de todos os segmentos orientados do espaço que são 
equipolentes ao segmento AB

.
Logo, podemos afirmar que AB

 é o vetor v

 aplicado em A, CD

 é o 
vetor v

 aplicado em C etc.
v AB CD= = =
  

COMPONENTES DE UM VETOR NO PLANO (2)
a ab bv AB B A (x x , y y )= = − = − −
 
Exemplo:
A(3,-1) e B(0,3), se v

 = AB

, então:
v

 = B – A = (0,3) - (3,–1) = (–3,4)
v

 = (–3,4)
REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR NO PLANO
v AB ( 3,1)= = −
 
A projeção de qualquer dos segmentos orientados acima 
no eixo x é –3, e no eixo y é 1, logo todos os segmentos 
acima representam o vetor V

 = (-3,1). Porém, em geral, 
procuramos marcar um vetor no plano cartesiano 
aplicando-o na origem, pois assim marcamos apenas o 
ponto representado pelo par do vetor.
PROEXPLICA
Analogamente, tudo que foi visto acima vale para o 3.
MÓDULO (NORMA) DE UM VETOR
O módulo ou norma de um vetor, como vimos anteriormente, 
é o comprimento do segmento orientado que representa o vetor.
Se u

 = (a, b) então | u

| = 2 2a b+
04. Determine o módulo do vetor = (3, 2).
Resolução:
2 2
2 2
| u | a b
| u | 3 2
| u | 13
= +
= +
=



Logo, se 2 2| u | a b= +

, podemos concluir que | u | u u= ⋅
  
EXERCÍCIO RESOLVIDO
05. Determine o módulo do vetor u

 = (3, 2, –4).
(definição análoga para o IR3).
Resolução:
2 2 2| u | 3 2 ( 4)
| u | 29
= + + −
=


Propriedades:
• | u | 0.≥

• | u u | | u | | v | (desigualdade triangular)+ ≤ +
   
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR118
MATEMÁTICA II 30 GEOMETRIA ANALÍTICA: INTRODUÇÃO
VETOR UNITÁRIO
O vetor é dito unitário quando | u

| = 1.
Dado um vetor u

, não nulo, o vetor 
u
| u |

 é um vetor unitário 
de mesma direção e sentido de u

. Esse vetor é denominado 
versor de u

.t
PROEXPLICA
06. Determine o versor do vetor u

 = (4, 3)
Resolução:
2 2
u (4,3) 4 3u ,
5 5| u | 4 3
 = = =  
 +



EXERCÍCIO RESOLVIDO
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Calcule a distância do ponto P(3, -4) até a origem do sistema 
cartesiano.
02. Calcule o perímetro do triângulo ABC, sendo dados A(3, 1), 
B(-1, 1) e C(-1, 4).
03. Calcule o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos 
vértices são os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1).
04. Dados os pontos A(3, 5), B(-3, 8) e C(4, n). Determine o valor de 
n para que os pontos dados sejam colineares.
05. Sabendo que A(5, -2) e B(4, -1) são vértices consecutivos de 
um quadrado, determine as coordenadas dos outros dois vértices. 
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (UDESC) Seja r uma reta passando por um ponto A e seja P 
um ponto não pertencente à reta, de tal forma que a distância entre 
os pontos P e A seja de 4 unidades de comprimento e o ângulo 
formado entre a reta r e o segmento AP seja de 30 graus, conforme 
a figura abaixo.
Sabendo-se que a equação da reta r é y = 3 e que a reta que passa 
pelos pontos A e P corta o eixo Y no ponto (0, 2), então a soma dos 
quadrados das coordenadas do ponto P é igual a: 
a) 34 b) 12 c) 4 d) 52 e) 45
02. (EEAR) Considere os pontos A (2,8) e B (8,0) A distância entre 
eles é de 
a) 14 
b) 3 2 
c) 3 7 
d) 10 
03. (ENEM) Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma 
empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para 
a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada 
rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por 
um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos 
de parada, representados por P e Q. 
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse 
percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as 
distânciaspercorridas pelo ônibus entre os pontos P E T e entre os 
pontos T e Q sejam iguais.
De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada 
são 
a) (290; 20)
b) (410; 0)
c) (410; 20)
d) (440; 0)
e) (440; 20)
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
30 GEOMETRIA ANALÍTICA: INTRODUÇÃO
119
MATEMÁTICA II
04. (UFRGS) Considere os gráficos das funções f e g, definidas por 
f (x) = x² + x – 2 e g(x) = 6 – x, representadas no mesmo sistema 
de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B, interseção dos 
gráficos das funções f e g, como na figura abaixo. 
A distância entre os pontos A e B é 
a) 2 2. 
b) 3 2. 
c) 4 2. 
d) 5 2. 
e) 6 2. 
05. (UECE) Seja (r) a reta que passa pelos pontos P1 (-1, 0) e 
P2 (0, 3). Considere M (n, q) um ponto de (r). Se a distância do ponto 
O (0, 0) ao ponto M é
3
10
cm, então q - n é igual a: 
a) 4
5
 
b) 1 
c) 6
5
 
d) 7
5
06. (ENEM) Um aplicativo de relacionamentos funciona da 
seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e informações 
pessoais, indica as características dos usuários com quem deseja 
estabelecer contato e determina um raio de abrangência a partir da 
sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se encaixam 
no perfil desejado e que estão a uma distância do usuário menor 
ou igual ao raio de abrangência. Caso dois usuários tenham perfis 
compatíveis e estejam numa região de abrangência comum a 
ambos, o aplicativo promove o contato entre os usuários, o que é 
chamado de match.
O usuário P define um raio de abrangência com medida de 3 km e 
busca ampliar a possibilidade de obter um match se deslocando 
para a região central da cidade, que concentra um maior número 
de usuários. O gráfico ilustra alguns bares que o usuário P costuma 
frequentar para ativar o aplicativo, indicados por I, II, III, IV e V. Sabe-
se que os usuários Q, R e S, cujas posições estão descritas pelo 
gráfico, são compatíveis com o usuário P, e que estes definiram 
raios de abrangência respectivamente iguais a 3 km, 2 km e 5 km. 
Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em qual bar o 
usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários Q, R 
e S, simultaneamente? 
a) I b) II c) III d) IV e) V 
07. (ENEM) Em uma cidade será construída uma galeria 
subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de 
água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B). 
Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto 
de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria 
outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses 
bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas xOy da 
figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro.
Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características 
do solo, a construção de 1m de galeria via segmento de reta 
demora 1,0 h, enquanto que 1 m de construção de galeria via 
semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar 
água para esse bairro.
Use 3 como aproximação para π e 1,4 como aproximação para 2.
O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção 
da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de 
a) 1.260.
b) 2.520.
c) 2.800.
d) 3.600.
e) 4.000.
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR120
MATEMÁTICA II 30 GEOMETRIA ANALÍTICA: INTRODUÇÃO
08. (ENEM) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região 
plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras 
de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas 
seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as 
distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. 
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso 
da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras 
regiões da cidade. No ponto P = (- 5, 5), localiza-se um hospital 
público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que 
fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância 
ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. 
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou 
corretamente que isso seja automaticamente satisfeito, pois já 
estava prevista a construção de uma estação no ponto 
a) (- 5, 0). b) (- 3, 1). c) (- 2, 1). d) (0, 4). e) (2, 6).
09. (EEAR) Seja ABC um triângulo tal que A(1, 1), B(3, - 1) e C (5, 3). 
O ponto _____ é o baricentro desse triângulo. 
a) (2, 1) b) (3, 3) c) (1, 3) d) (3, 1)
10. (ENEM (LIBRAS)) Foi utilizado o plano cartesiano para a 
representação de um pavimento de lojas. A loja A está localizada 
no ponto A (1: 2). No ponto médio entre a loja A e a loja B está o 
sanitário S, localizado no ponto S (5; 10). 
Determine as coordenadas do ponto de localização da loja B. 
a) (-3; -6) b) (-6; -3) c) (3; -6) d) (9; 18) e) (18; 9)
11. (ENEM PPL) Considere que os quarteirões de um bairro 
tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem 
o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. 
Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e 
todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de 
seu lado é a unidade do sistema.
A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos 
A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.
Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de 
cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto 
cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x² + y² - 2x – 4y – 31 ≤ 0. 
A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura 
melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para 
saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, 
pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não.
Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas 
a) A e C. 
b) B e C. 
c) B e D. 
d) A, B e C. 
e) B, C e D. 
12. (ENEM PPL) Um construtor pretende murar um terreno e, para 
isso, precisa calcular o seu perímetro. O terreno está representado 
no plano cartesiano, conforme a figura, no qual foi usada a escala 
1 : 500. Use 2,8 como aproximação para 8.
De acordo com essas informações, o perímetro do terreno, em 
metros, é 
a) 110. b) 120. c) 124. d) 130. e) 144.
13. (UECE) No plano, com o sistema de coordenadas 
cartesianas usual, os gráficos das funções reais de variável real 
f(x) = x² - 6x + 9 e g(x) = -x² + 6x - 1 são parábolas. Os pontos 
de interseção dessas parábolas juntamente com seus vértices são 
vértices de um quadrilátero convexo, cuja medida da área é igual a
u.a. ≡ unidades de área 
a) 16 u.a. b) 20 u.a. c) 22 u.a. d) 18 u.a.
14. (UECE) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas 
usual, os pontos P e Q estão no primeiro quadrante, pertencem aos 
gráficos das funções g (x) = ex e f (x) = Ln(x) respectivamente e 
satisfazem a condição: se P = (u,v), então, Q = (v,u). 
Nessas condições, pode-se afirmar corretamente que a medida do 
comprimento do segmento PQ tem a forma
Ln (x) ≡ logaritmo natural de x
ex ≡ exponencial natural de x 
a) a(a e ) 2.+ 
b) a(a e ) 3.+ 
c) a(e a) 2.− 
d) a(e a) 3.− 
15. (UECE) O volume do sólido gerado pela rotação, em torno do 
eixo dos X, da região do plano limitada pelo triângulo com vértices 
nos pontos (6, 0), (8, 0) e (8, 9) é igual a:
u.v. ≡ unidade de volume 
a) 72 π u.v.
b) 81 π u.v.
c) 54 π u.v.
d) 64 π u.v.
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
30 GEOMETRIA ANALÍTICA: INTRODUÇÃO
121
MATEMÁTICA II
16. (ESPM) No plano cartesiano abaixo estão represen tados o 
gráfico da função y = x² e o triângu lo equilátero OAB. 
A área desse triângulo mede: 
a) 2 3 
b) 3 
c) 3 
d) 2 
e) 3 3 
17. (EEAR) Sejam A (-3, 3), B(3, 1), C (5, -3) E D(-1, -2) vértices de 
um quadrilátero convexo. A medida de uma de suas diagonais é 
a) 15 b) 13 c) 12 d) 10
18. (EFOMM) Calcule a área S do triângulo de vértices A (5, 7); 
B (2, 3); C (9, 2). Considerando o plano cartesiano, temos: 
a) 7,8 b) 15 ,5 c) 19 d) 30 e) 60,5 
19. (Unigranrio - Medicina) Considere asfunções 
x 0 x
f(x) 1 x 2
2 1 1
= e 
x 11 4
g(x) 10 11 x .
1 2 0
−
= Desta forma, pode-se afirmar que o ponto de 
interseção das funções f (x) e g (x), é: 
a) (6, 30)
b) (9, -90)
c) (9, 72)
d) (6, -42)
e) (6, 42)
20. (FGV) O comprimento do segmento determinado pelos 
pontos de intersecção das parábolas de equações y = x² - 8x + 3 e 
y = -4x² + 2x + 3 é: 
a) 2 37 
b) 3 41 
c) 7 43
2
 
d) 5 39
2
 
e) 4 45 
05. APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está 
representado o triângulo ABC.
Em relação a esse triângulo,
a) demonstre que ele é retângulo;
b) calcule a sua área. 
02. (UNESP) Sejam A = (2, 0) e B = (5, 0) pontos do plano e r a reta 
de equação y = x/2.
c) Represente geometricamente os pontos A e B e esboce o 
gráfico da reta r.
d) Se C = (x, x/2), com x > 0, é um ponto da reta r, tal que o triângulo 
ABC tem área 6, determine o ponto C. 
03. (UNESP) Dados dois pontos, A e B, com coordenadas 
cartesianas (-2, 1) e (1, -2), respectivamente, conforme a figura,
a) calcule a distância entre A e B.
b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro do 
triângulo ABC são (xG, yG) = 2 ,  1
3
 
 
 
, calcule as coordenadas 
(xC, yC) do vértice C do triângulo. 
04. (FGV) Um funcionário do setor de planejamento de uma 
distribuidora de materiais escolares verifica que as lojas dos 
seus três clientes mais importantes estão localizadas nos pontos 
A (0, 0), B(6, 0) e C(3, 4). Todas as unidades são dadas em quilômetros.
O setor de planejamento decidiu instalar um depósito no ponto 
P (x, y), de modo que as distâncias entre o depósito e as três lojas 
sejam iguais: PA = PB = PC. 
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR122
MATEMÁTICA II 30 GEOMETRIA ANALÍTICA: INTRODUÇÃO
Uma pesquisa feita na Loja A estima que a quantidade de certo tipo 
de lapiseiras vendidas varia linearmente, de acordo com o preço de 
cada uma. O mesmo ocorre com o preço unitário de determinado 
tipo de agenda escolar e a quantidade vendida.
Preço de uma 
lapiseira Quantidade
Preço de uma 
agenda Quantidade
R$ 10,00 100 R$ 24,00 200
R$ 15,00 80 R$ 13,50 270
R$ 20,00 60 R$ 30,00 160
A Loja B monta dois tipos de estojos de madeira fechados. Um tipo, 
com 24 lápis de cor em cada estojo, é uma caixa que tem a forma 
de um paralelepípedo retângulo de base quadrada, de 16 cm de 
lado e volume igual a 576 cm³.
O outro tipo, com 18 lápis de cor em cada estojo, tem a forma de 
um cubo, e o seu custo de fabricação é 3/4 do custo de fabricação 
do primeiro estojo.
Para o lojista, o custo de fabricação de cada estojo, independente 
de sua forma, é R$0,10 o centímetro quadrado.
A Loja C, a menor de todas, trabalha somente com três funcionários: 
Alberto, Beatriz e Carla. A soma dos salários mensais dos três, em 
dezembro de 2011, era de R$5.000,00. 
Determine a quantos quilômetros da Loja A deverá ser instalado 
o depósito da distribuidora de materiais escolares. Aproxime a 
resposta para um número inteiro de quilômetros.
05. (UNESP) Chegou às mãos do Capitão Jack Sparrow, do Pérola 
Negra, o mapa da localização de um grande tesouro enterrado em 
uma ilha do Caribe.
Ao aportar na ilha, Jack, examinando o mapa, descobriu que P1 e 
P2 se referem a duas pedras distantes 10 m em linha reta uma da 
outra, que o ponto A se refere a uma árvore já não mais existente 
no local e que
a) ele deve determinar um ponto M1 girando o segmento P1A em 
um ângulo de 90° no sentido anti-horário, a partir de P1;
b) ele deve determinar um ponto M2 girando o segmento P2A em 
um ângulo de 90° no sentido horário, a partir de P2;
c) o tesouro está enterrado no ponto médio do segmento M1M2. 
Jack, como excelente navegador, conhecia alguns conceitos 
matemáticos. Pensou por alguns instantes e introduziu um sistema 
de coordenadas retangulares com origem em P1 e com o eixo das 
abscissas passando por P2. Fez algumas marcações e encontrou o 
tesouro.
A partir do plano cartesiano definido por Jack Sparrow, 
determine as coordenadas do ponto de localização do tesouro 
e marque no sistema de eixos inserido no campo de Resolução 
e Resposta o ponto P2 e o ponto do local do tesouro. 
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01.D
02.D
03.E
04.E
05.C
06.A
07.B
08.B
09.D
10.D
11.D
12.C
13.A
14.C
15.D
16.E
17.D
18.B
19.D
20.A
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. a) Observe a demonstração a seguir:
2 2 2
AB (6, 2)
| AB | 40
AC (2,2)
| AC | 8
BC (4,4)
|BC | 32
Logo :| AB | | AC | |BC |
= −
=
=
=
=
=
= +






  
b) 8 u.a. 
02.
a) Observe o gráfico a seguir:
b) C = (8,4). 
03.
a) AB = 3 2
b) C (3; 4) 
04. P,Ad 3km=
05. O ponto médio do segmento de extremos M1 e M2 é M(5,5).
ANOTAÇÕES