05-matrizes-e-transformacoes-matrizes-equivalentes-2 (1)

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Similaridade
Sejam V e W dois espaços vetoriais, tais que
V tem bases α,α�
W tem bases β,β�,
e T : V → W uma transformação linear.
A matriz de T para vetores na base α, resultando em vetores na base β é [T ]α→β .
Exemplo
São bases para R2:
A =
�
−1 0
0 −1
�
, B =
�
2 0
0 2
�
Seja T : R2 → R2, com T (x , y) = (−x , 2y);
Seja v = (2, 4)T . Então,
v = (2, 4)T . Tv = (−2, 8)T
w = (1, 1)T . Tv = (−1, 2)T
Existe [T ]A→B , tal que
[v]A =
�
−2
−4
�
[T ]A→B
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ [Tv]B =
�
−1
4
�
[v]A =
�
−1
−1
�
[T ]A→B
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ [Tv]B =
�
−1/2
1
�
Exemplo (cont.)
E realmente,
[T ]A→B =
�
1/2 0
0 −1
�
.
Verificamos:
�
1/2 0
0 −1
��
−2
−4
�
=
�
−1
4
�
�
1/2 0
0 −1
��
−1
−1
�
=
�
−1/2
1
�
[b]β
(B)
[T ]α→β
[a]α
[b]β�
[T ]α�→β�
(A) [a]α�[b]β�
[id]α→α� = QP = [id]β→β�
eq
ui
va
len
te
s
[T ]α�→β� = [id]β→β�� �� �
(iii)
[T ]α→β� �� �
(ii)
[id]α�→α� �� �
(i)
,
ou
A = P����
(iii)
B����
(ii)
Q−1����
(i)
.
[T ]α�→β� e [T ]α→β são equivalentes.
Definição (Matrizes equivalentes)
Duas matrizes A e B são equivalentes se e somente se existem matrizes invertíveis P e
Q tais que
A = PBQ−1.
Exemplo
Seja T : R3 → R2, dada por
T




x
y
z



 =
�
x + y
2z
�
.
Temos as seguintes bases para R3 e R2:
α =
�
(1, 0, 0)T , (0, 1, 0)T , (0, 0, 1)T
�
α� =
�
(1, 0, 0)T , (0, 2, 0)T , (0, 0, 3)T
�
β =
�
(1, 0)T , (0, 1)T
�
β� =
�
(5, 0)T , (0,−2)T
�
Seja
v =


2
1
−3

 .
Exemplo (cont.)
Claramente, [v]α = (2, 1,−3)T , ou seja, v na base α é ele mesmo. Além disso,
[v]α� =


2
1/2
−1

 ,
já que 2(1, 0, 0)T + 1/2(0, 2, 0)T − (0, 0, 3)T = (2, 1,−3)T .
Agora calculamos a matriz de mudança de base de α para α�:
[id]α→α� =
�
[α1]α� [α2]α� [α3]α�
�
=


1 0 0
0 1/2 0
0 0 1/3

 .
Exemplo
Similarmente, obtemos
[id]α�→α =


1 0 0
0 2 0
0 0 3

 , [id]β→β� =
�
1/5 0
0 −1/2
�
, [id]β�→β =
�
5 0
0 −2
�
.
A transformação T pode ser representada como matriz, levando vetores na base α na
base β:
[T ]α→β =
�
1 1 0
0 0 2
�
.
Exemplo (cont.)
Calculamos agora a matriz de T para as bases α� e β�:
[T ]α�→β� = [id]β→β� [T ]α→β[id]α�→α
=
�
1/5 0
0 −1/2
��
1 1 0
0 0 2
�

1 0 0
0 2 0
0 0 3


=
�
1/5 1/5 0
0 0 −1
�

1 0 0
0 2 0
0 0 3


=
�
1/5 2/5 0
0 0 −3
�
.
Exemplo (cont.)
Realmente,
[T ]α�→β� [v]α� =
�
1/5 2/5 0
0 0 −3
�

2
1/2
−1

 =
�
3/5
3
�
.
Verificamos que
T




2
1
−3



 =
�
3
−6
�
,
e
3/5
�
5
0
�
+ 3
�
0
−2
�
=
�
3
−6
�
.
Definição (Matrizes similares)
Duas matrizes A e B são similares se e somente se existe uma matriz S tal que
A = SBS−1.
Exemplo
Sejam
S =


1 4 0
0 0 1
0 −2 0

 , S−1 =


1 0 2
0 0 −1/2
0 1 0

 ,
A =


7 12 14
0 1 2
−4 −6 −8

 , B =


−1 0 0
2 0 3
0 −4 1

 .
As matrizes A e B são similares, porque A = SBS−1.
Exemplo
A seguir temos duas bases para R2:
C =
�
(1, 0)T , (0, 1)T
�
,
D =
�
(0, 1)T , (2, 2)T
�
.
Definimos uma transformação T : R2 → R2 como
T (x , y)T = (x + y , 2x − 2y)T .
Para vetores na base canônica C , a matriz de T é
A = [T ]C→C =
�
1 1
2 −2
�
.
[(1, 0)T ]D = (−1, 1/2)T (porque (1, 0) = −1(0, 1)T + 1/2(2, 2)T )
[(0, 1)T ]D = (1, 0)T (porque (0, 1) = 1(0, 1)T + 0(2, 2)T )
Exemplo (cont.)
As matrizes de mudança são, portanto:
S = [id]C→D =
�
−1 1
1/2 0
�
, S−1 = [id]D→C =
�
0 2
1 2
�
.
A matriz que realiza a transformação na base D é
B = [T ]D→D = [id]C→D [T ]C→C [id]D→C
= SAS−1,
e portanto as matrizes A = [T ]C→C e B = [T ]D→D são similares. A matriz B é
B = [T ]D→D =
�
−3 −4
1/2 2
�
Exemplo (cont.)
Para finalizar este exemplo, tomamos as coordenadas um vetor qualquer em R2 na
base canônica, v = (3, 5)T . Calculamos w = T (v) nas duas bases. Temos
[T ]C→C([v]C) =
�
1 1
2 −2
��
3
5
�
=
�
8
−4
�
= [w]C .
Para aplicar T na base D, primeiro obtemos as coordenadas [v]D :
[v]D = [id]C→D [v]C =
�
−1 1
1/2 0
��
3
5
�
=
�
2
3/2
�
.
Agora aplicamos [T ]D→D :
[T ]D→D([v]D) =
�
−3 −4
1/2 2
��
2
3/2
�
. =
�
−12
4
�
= [w]D .
Agora verificamos que este é de fato o mesmo vetor w na base D:
−12
�
0
1
�
+ 4
�
2
2
�
=
�
8
−4
�
.
Proposição
Matrizes equivalentes (ou similares) tem o mesmo posto.
Teorema
Similaridade é uma relação e equivalência.