O Espaço Vetorial Rn Base e Dimensão

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O Espaço Vetorial Rn: Base e Dimensão
Apresentação
O Rn é utilizado nas coordenadas cartesianas como uma forma de referência padrão, mas não é 
necessário ficar limitado apenas a esse sistema. Vamos introduzir a noção de base para generalizar 
o conceito de referência e as coordenadas de um vetor.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta unidade, é necessário lembrar do método 
de Gauss, para a solução de equações matriciais; do cálculo da matriz inversa; dos conceitos de 
independência e de dependência linear; do conceito de conjunto gerador; e da noção de variáveis 
livres e de variáveis dependentes.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai aprender a trabalhar com diferentes bases do Rn e seus 
subespaços. Ainda, você vai aprender a calcular a dimensão e a base de um subespaço.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Generalizar o conceito de dimensão. •
Definir a base de um subespaço.•
Identificar se um conjunto é uma base para um subespaço e determinar a sua dimensão.•
Infográfico
Para descrever um subespaço vetorial de forma sucinta e eficiente, é preciso entender, em um 
conjunto de vetores, qual é o menor subconjunto que dá o mesmo subespaço vetorial gerado que o 
conjunto original. Assim, definimos a noção de dimensão, bem como a base de um subespaço.
Veja, no Infográfico a seguir, os elementos necessários para o cálculo de bases, bem como a 
dimensão e a decomposição de vetores no subespaço vetorial definido pelo gerado de um conjunto 
de vetores.
Conteúdo do livro
Uma teoria muito poderosa na Álgebra Linear é a teoria ligada à ideia da possibilidade de encontrar 
vetores, funções ou problemas complexos e projetá-los nesses espaços mais simples, a fim de 
estudar uma solução aproximada e linear.
Nas ciências aplicadas, usamos espaços vetoriais, por exemplo, para estudar ondas de todos os 
tipos; afinal de contas, cada onda é uma superposição (soma) de ondas mais elementares 
(harmônicas).
No capítulo O espaço vetorial Rn: base e dimensão, da obra Álgebra Linear, você vai entender os 
conceitos ligados à base e à decomposição de vetores em bases arbitrárias.
Boa leitura.
ÁLGEBRA 
LINEAR 
Marcelo Maximiliano Danesi 
Espaço vetorial ℝn: 
base e dimensão
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir bases de um subespaço.
 � Generalizar o conceito de dimensão.
 � Identificar se um conjunto dado é uma base para um subespaço e 
determinar sua dimensão.
Introdução
Neste capítulo, você identificará quando um conjunto de vetores é uma 
base, saberá como decompor vetores sobre uma base qualquer de seu 
subespaço por meio de matrizes especiais, como definir dimensão de 
um subespaço e identificar a base de um subespaço. Esse caminho levará 
a uma decomposição do espaço vetorial ℝn em dois subespaços que 
veremos a seguir.
Bases do ℝn 
Uma base do ℝn é um conjunto:
B = {v→1, ..., v
→
n}
de vetores linearmente independentes, tal que B⊂ℝn, e B é gerador de ℝn. 
Isto é, se v→ ∈ ℝn, e B é uma base de ℝn, então podemos escrever, de forma 
única, v→ como uma combinação linear dos vetores em B, a saber:
v→ = α1 ∙ v
→
1 + ... + αn ∙ v
→
n
onde α1, ..., αn ∈ ℝ. Adicionalmente, os números α1, ..., αn são chamados 
de coordenadas do vetor v→ na base B.
A base mais simples que podemos definir no ℝn é o que chamamos de base 
canônica do ℝn. Essa base é formada pelos n vetores e→i, que têm 1 na i-ésima 
componente e 0 nas demais.
Em ℝ5, a base canônica é o conjunto B formado pelos vetores:
e→1 = (1,0,0,0,0)
e→2 = (0,1,0,0,0)
e→3 = (0,0,1,0,0)
e→4 = (0,0,0,1,0)
e→5 = (0,0,0,0,1)
Repare que esses vetores são linearmente independentes, e a matriz 5x5 da forma 
demonstrada a seguir é a matriz identidade 5x5.
[e→1 ... e
→
5] =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
Genericamente falando, usamos bases não canônicas em ℝn, quando que-
remos estudar aspectos do problema que não ocorrem nas direções canônicas 
desse espaço. Pode parecer difícil, mas, de certa forma, já estávamos estudando 
alguns aspectos desse assunto quando trabalhamos a definição de autovetores.
Espaço vetorial ℝn: base e dimensão2
Em ℝ4, se considerarmos o conjunto formado pelos vetores:
v→1 = (1,0,2,–4)
v→2 = (0,1,3,–2)
v→3 = (1,2,3,–3)
v→4 = (4,–1,2,7)
a) B = { v→1, v
→
2, v
→
3, v
→
4} é um conjunto linearmente independente?
b) Como podemos escrever o vetor v→1 = (11,–3,7,4) como uma combinação linear 
dessa base? Isto é, quais são as coordenadas de v→ na base B?
Solução: 
a) B é um conjunto linearmente independente porque a a seguinte equação matricial 
admite apenas a solução trivial (0,0,0,0). Podemos calcular isso pelo método de Gauss.
 1 0 1 4
 0 1 2 –1
 2 3 3 2
–4 –2 –3 7
∙ =
x1
x2
x3
x4
( ( 0000( (
b) Pela definição, precisamos calcular α1, α2, α3, α4 de forma que:
v→ = α1 ∙ v
→
1 + α2 ∙ v
→
2 + α3 ∙ v
→
3 + α4 ∙ v
→
4
Substituindo os vetores, temos:
11
–3
7
4 (( = α1 ∙
1
0
2
–4 (( = α2 ∙
0
1
3
–2 (( = α3 ∙
1
2
3
–3 (( = α4 ∙
4
–1
2
7 ((
Isso equivale a solucionar a seguinte equação matricial, que pode ser resolvida 
usando o método de Gauss. 
 1 0 1 4
 0 1 2 –1
 2 3 3 2
–4 –2 –3 7
∙ =
a1
a2
a3
a4
( ( 11–374( (
Dessa forma, podemos calcular que existe uma única solução dada por (α1, α2, α3, α4) = 
(3,–1,0,2).
3Espaço vetorial ℝn: base e dimensão
Uma observação que podemos fazer em relação ao exemplo anterior é 
que a solução calculada (3,–1,0,2) realmente descreve coordenadas do vetor 
v→ = (11,–3,7,4) na base B. Isto é, estamos considerando um sistema de referência 
diferente do sistema de coordenadas definido pela base canônica, e isso está 
definindo outra maneira de nos referirmos a esse vetor.
Aproveitando, definimos a notação:
(v→)B = (α1, ..., αn)
se esse é o vetor formado pelos coeficientes de v→ na base B de ℝn. O caso 
particular, onde B é a base canônica, temos que (v→)B = v
→.
Quando fixamos um vetor v→ em ℝn, ele existe independente de uma base. Quando 
fixamos uma base B e escrevemos a representação de v→ na base B, essa representação 
( v→)B é única em relação a B, e para cada base teremos uma representação diferente. 
Matriz de mudança de base em ℝn
Com base no que vimos anteriormente, podemos nos perguntar: como calcular 
uma matriz de mudança de coordenadas de uma base para outra do ℝn?
Considere B = {v→1, ... , v
→
n} uma base ℝn e ℰ a sua base canônica. Se tomar-
mos a matriz n × n da forma:
MB→ℰ = [v
→
1 ... v
→
n]
essa matriz transforma um vetor (v→)B, na sua forma canônica v
→. Desse modo, 
se quisermos calcular uma matriz que faça o caminho contrário, isto é, que 
calcule (v→)B a partir do vetor v
→, precisamos calcular a matriz inversa de MB→E.
Espaço vetorial ℝn: base e dimensão4
Em ℝ2 a base B = {(3,1), (–2,–1)} define a matriz:
MB→ℰ =
3 –2
1 –1
Assim,
a) como podemos calcular a inversa dessa matriz?
b) dado v→ = (–3,4), como calcular a sua forma na base B?
Solução:
a) Como essa é uma matriz 2 × 2 e seu determinante é não nulo, podemos usar a 
fórmula:
a b
c d
–1
= ∙1
ad – bc
 d –b
–c a
que resulta em:
MB→ℰ =
–1 1
3 ∙ (–1) – (1) ∙ (–2)
–1 +2
–1 3
–1 2
–1 3
1 –2
1 –3
∙ ∙= =1
–1
b) Assim, podemos calcular diretamente que:
( v→)B = MB→ℰ ∙ v
→ = –1 1 –21 –3
∙ = =–3
4( ( –11–15( (–3 –8 –3 –12( (
Isto é, ( v→)B = (–11,–15). Isso significa que v
→ = –11 ∙ (3,1) – 15 ∙ (–2,–1) = (–3,4), onde 
essa última igualdade mostra como ( v→)B é o vetor v
→, só que escrito de uma forma 
alternativa (não canônica).
A fim de simplificar um pouco a notação, vamos nos aproveitar da sime-
tria do problema acima e escrever que Mℰ→B = MB→ℰ. Essa matriz é a matriz 
mudança de coordenadas da base canônica ℰ para a base B pela igualdade 
(v→)B = Mℰ→B . v
→.
–1
5Espaço vetorial ℝn: base e dimensão
Em ℝ3 a base B = {(–1,2,1), (–2,–1,0), (1,4,1)} define a matriz:
MB→ℰ = 
–1 –2 1
 2 –1 4
 1 0 1
Assim,
a) como podemos calcular a inversa dessamatriz?
b) dado v→ (–5,2,1), como calcular a sua forma na base B?
Solução:
a) Como essa é uma matriz 3 × 3, usamos o método de redução linear (ANTON; ROR-
RES, 2012, p. 55), onde juntamos a matriz identidade I à direita de MB→ℰ, da forma:
[MB→ℰ | I]
e efetuamos operações com as linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja 
reduzido a I. Desse modo, a matriz final terá a forma:
[I | Mℰ→B]
Fazendo as contas, temos:
–1 –2 1
 2 –1 4
 1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Trocamos a primeira e a terceira linhas e multiplicamos a segunda por –1:
 1 0 1
 –2 1 –4
 –1 –2 1
0 0 1
0 –1 0
1 0 0
Somamos duas vezes a primeira linha à segunda e a primeira linha à terceira:
1 0 1
0 1 –2
0 –2 2
0 0 1
0 –1 2
1 0 1
Espaço vetorial ℝn: base e dimensão6
Somamos duas vezes a segunda linha à terceira:
1 0 1
0 1 –2
0 0 –2
0 0 1
0 –1 2
1 –2 5
Multiplicamos a terceira linha por –1/2:
1 0 1
0 1 –2
0 0 1
 0 0 1
 0 –1 2
–1/2 1 –5/2
Somamos –1 vez a terceira linha à primeira e duas vezes a terceira linha à segunda:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
–1 –31
1–1/2 –5/2
–11/2 7/2
Portanto:
Mℰ→B = 
1
2
7
2
–1
–1
–31
1
1
2
– 5
2
–
b) Com a matriz Mℰ→B calculada, podemos calcular diretamente que:
( v→)B = Mℰ→B ∙ v
→ = –1 –31
–5
2
1( (
–1
4
2( (((∙ = =–5/2 –2 + 7/25 + 2 – 3+5/2 + 2 – 5/2–11/2 7/21–1/2 –5/2
Isto é, ( v→)B = (–1,4,2). Isso significa que v
→ = –1 ∙ (–1,2,1) + 4 ∙ (–2,–1,0) + 2 ∙ (1,4,1) = (–5,2,1), 
onde esta última igualdade mostra como ( v→)B é o vetor v
→, só que escrito de uma forma 
alternativa (não canônica).
7Espaço vetorial ℝn: base e dimensão
Bases de um subespaço do ℝn
De forma similar ao que definimos anteriormente, dado um subespaço vetorial 
E do ℝn, uma base de E é um conjunto B de vetores linearmente independentes, 
tal que B⊂E e B é gerador de E. Isto é, se v→∈E e B é uma base de E, então 
existem v→1, ... , v
→
m e α1, ..., αm ∈ ℝ, tal que:
v→ = α1 . v
→
1 + ... + αm . v
→
m
Essa combinação é única em E. Adicionalmente, os números α1, ..., αm são 
chamados de coordenadas do vetor v→ na base B.
É importante observar que o número de vetores m na base de um subespaço de ℝn 
é tal que m ≤ n. 
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de subespaços do ℝ3?
a) B1 = {(1,4,–3), (0,2,5)}
b) B2 = {(2,1,–2), (1,–2,3), (3,4,–7)}
c) B3 = {(1,4,–3), (0,2,5), (1,1,1)}
d) Dos conjuntos B1, B2 e B3 anteriores, considere apenas os que definem uma base 
e, para cada um, determine se o vetor v→ = (1,2,0) pertence ao subespaço gerado.
Solução:
a) B1 é linearmente independente, pois seus vetores não são múltiplos. Isso significa 
que o espaço gerado por B1 é um subespaço de ℝ3.
b) B2 é linearmente dependente, pois a equação matricial:
 2 1 3
 1 –2 4
–2 3 –7
. =
x1
x2
x3
( ( 000( (
admite outras soluções diferentes da solução trivial (0,0,0). Podemos observar isso 
por meio do método de Gauss e da falta de pivôs na forma escalonada. Logo, B2 não 
é uma base de um subespaço do ℝ3.
Espaço vetorial ℝn: base e dimensão8
a) B3 é linearmente independente, pois a equação matricial:
 1 0 1
 4 2 1
–3 5 1
. =
x1
x2
x3
( ( 000( (
admite apenas a solução trivial (0,0,0), calculada, por exemplo, pelo método de 
Gauss. Logo, B3 é uma base de um subespaço do ℝ3 (base do próprio ℝ3, na verdade).
b) Em B1, v
→ pertence ao subespaço gerado, se existe solução para a equação vetorial:
1
2
0( (
1
4
–3( (
0
2
5( (= α1 ∙ + α2 ∙
No caso, essa igualdade não tem solução, pois as soluções na primeira (α1 = 1) e 
segunda coordenadas (α2 = –1) não são soluções na terceira coordenada. Portanto, v
→ 
não pertence ao gerado de B1.
Em B3, a equação vetorial:
1
2
0( (
1
1
1( (
1
4
–3( (
0
2
5( (= α1 ∙ + α2 ∙ + α3 ∙ 
é equivalente à equação matricial:
 1 0 1
 4 2 1
–3 5 1
. =
a1
a2
a3
( ( 120( (
Usando o método de Gauss, temos que ( v→)B3 = (7/23, 1/23, 16/23), e v
→ pertence ao 
gerado de B3.
Qualquer conjunto de vetores de ℝn gera um subespaço de ℝn. Para um conjunto 
ser base desse subespaço, ele precisa ser formado (apenas) por vetores linearmente 
independentes. Isto é, a base de um subespaço é o menor conjunto de vetores que 
gera esse subespaço. Vamos falar mais sobre essa diferença ainda neste capítulo. 
9Espaço vetorial ℝn: base e dimensão
Dimensão de um subespaço vetorial do ℝn
Para ℝn, o conceito de dimensão é quase imediato: se qualquer base de ℝn 
possui n vetores, então dizemos que a dimensão de ℝn é n. Para definirmos 
a dimensão de um subespaço vetorial (próprio) E ⊂ ℝn, precisamos observar 
que, se E admite uma base de m vetores (m < n), então qualquer base de E tem 
o mesmo número m de vetores. Esse número é chamado de dimensão de E.
Subespaços vetoriais de ℝ2 e ℝ3
Se considerarmos apenas os subespaços vetoriais próprios de ℝ2 e ℝ3, conforme 
Figura 1, observamos o seguinte.
 � Os únicos subespaços vetoriais de ℝ2 são as retas passando pela origem.
 � Os subespaços vetoriais de ℝ3 são:
 ■ as retas passando pela origem, definidas por uma direção e, portanto, 
de dimensão 1;
 ■ os planos passando pela origem, definidos por duas direções line-
armente independentes e, portanto, de dimensão 2.
Figura 1. Subespaços vetoriais próprios de ℝ2 e do ℝ3.
Em ℝ3, uma reta
pela origem
Em ℝ3, um plano
pela origem
Em ℝ3, uma reta
pela origem
Espaço vetorial ℝn: base e dimensão10
Seja E o subespaço vetorial de ℝ3 formado pelos vetores v→ = (x, y, z) que satisfazem:
x + 2y – 4z = 0
Como podemos obter uma base { v→1, v
→
2} ⊂ ℝ3 de forma que v
→
1, v
→
2 ∈ E?
Solução:
A equação x + 2y – 4z = 0 admite infinitas soluções (x,y,z). Uma maneira de expres-
sarmos essas soluções é escrevendo a equação como:
x = –2y + 4z
e atribuirmos valores arbitrários para y e z, a fim de calcularmos x. É importante 
lembrar-se da noção de variável livre e variável dependente. Nesse caso, x é variável 
dependente, enquanto que y e z são variáveis independentes.
Se escolhermos y = 2 e z = –3, calculamos x = –2 ∙ 2 + 4 ∙ (–3) = –16. Assim, o vetor 
v→1 = (–16,2,–3) satisfaz a equação dada, e podemos afirmar que v
→
1 ∈ E.
Para calcularmos v→2, é conveniente lembrar-se de que desejamos descrever uma 
base de E. Isso implica que os vetores precisam ser linearmente independentes, no 
caso da dimensão 2, e não podem ser múltiplos. Isto é, se escolhermos y = 4 e z = 
–6, então o vetor (–32,4,–6) não seria uma boa alternativa, pois ele é múltiplo de v→1.
Se escolhermos y = 0 e z = 1, calculamos x = –2 ∙ 0 + 4 ∙ (1) = 4. Assim, o vetor 
v→2 = (4,0,1) satisfaz a equação dada, o conjunto { v
→
1, v
→
2} é linearmente independente, 
e seu plano gerado é descrito pela equação.
No exemplo anterior, a equação x = –2y + 4z apresenta infinitas soluções. Isso significa 
que existem infinitas bases que podemos escolher para E. O importante é observar 
que todas essas bases descrevem exatamente o mesmo subespaço E.
11Espaço vetorial ℝn: base e dimensão
Subespaços vetoriais de ℝn, n > 3
Em geral, para n > 3 não nos preocupamos em dar nome aos subespaços que 
surgem do ℝn, pois eles podem ser descritos por meio de bases ou condições 
algébricas a respeito dos vetores que compõem esse subespaço. Veja os exem-
plos a seguir.
Seja F o subespaço vetorial de ℝ4 formado pelos vetores v→ = (x,y,z,w) que satisfazem:
3x – y + z = 0
2x + 3y + w = 0
Como podemos obter uma base de F? Qual é a dimensão desse subespaço?
Solução:
Esse exemplo, apesar de mais complexo, não é tão diferente do anterior, no qual 
identificamos algumas variáveis livres na equação e escrevemos as variáveis depen-
dentes a partir dessas. Neste exemplo, faremos o mesmo no sistema de equações 
dado. Considerando:
3x – y + z = 0
2x + 3y + w = 0
Escrevemos z e w em função de x e y:
z = –3x + y
w = –2x – 3y
Substituindo as variáveis z e w em v→, podemos reescrever v→ como:
v→ = (x,y, –3x + y, –2x – 3y)
que, por sua vez, por ser reescrito como a soma de um vetor que depende de x e 
um vetor que depende de y:
v→ = (x,y, –3x + y, –2x – 3y) = (x,0,–3x,–2y)+ (0,y,+y,–3y)
Espaço vetorial ℝn: base e dimensão12
que, por sua vez, pode ser reescrito como a combinação (linear) de dois vetores:
v→ = x ∙ (1,0,–3,–2) + y ∙ (0,1,1,–3)
Portanto, qualquer v→∈F é uma combinação linear de:
v1 = (1,0,–3,–2)
v2 = (0,1,1,–3)
E { v→1, v
→
2} é uma base do subespaço vetorial F de dimensão 2 em ℝ4.
Seja G o subespaço vetorial de ℝ5 formado pelos vetores v→ = (x1,x2,x3,x4,x5) que satisfazem:
3x1 – 2x2 + 2x3 + x4 = 0
–x1 + 2x3 + 3x4 – 2x5 = 0
Como podemos obter uma base de G? Qual é a dimensão desse subespaço?
Solução:
Vamos tentar generalizar os exemplos anteriores por meio deste. O sistema de 
equações lineares:
3x1 – 2x2 + 2x3 + x4 = 0
–x1 + 2x3 + 3x4 – 2x5 = 0
apresenta 5 variáveis e 2 equações. Isto é, podemos escolher 3 variáveis livres e 
escrever as demais em função dessas (apenas). Para isso, somamos 3 vezes a segunda 
equação à primeira:
–2x2 + 8x3 + 10x4 – 6x5 = 0
–x1 + 2x3 + 3x4 – 2x5 = 0
Multiplicamos a primeira linha por –1/2 e a segunda linha por –1:
x2 – 4x3 – 5x4 + 3x5 = 0
x1 – 2x3 – 3x4 + 2x5 = 0
13Espaço vetorial ℝn: base e dimensão
Logo, podemos escrever x1 e x2 em função das demais variáveis:
x2 = 4x3 + 5x4 – 3x5
x1 = 2x3 + 3x4 – 2x5
e v→ como a soma de 3 vetores, cada um dependendo de apenas uma das variáveis 
livres:
v→ = (2x3 + 3x4 – 2x5,4x3 + 5x4 – 3x5,x3,x4,x5) =
= (2x3,4x3,x3,0,0) + (3x4,5x4,0,x4,0) + (–2x5,–3x5,0,0,x5)
= x3 ∙ (2,4,1,0,0) + x4 ∙ (3,5,0,1,0) + x5 ∙ (–2,–3,0,0,1)
Portanto, qualquer v→∈G é uma combinação linear de:
v1 = (2,4,1,0,0)
v2 = (3,5,0,1,0)
v3 = (–2,–3,0,0,1)
E { v→1, v
→
2, v
→
3} é uma base do subespaço vetorial G de dimensão 3 em ℝ5.
Bases em conjuntos e sua dimensão
Vamos retomar alguns conceitos e analisar com cuidado como identificar se 
um conjunto dado é uma base para um subespaço. Existem vários conceitos 
implícitos nesse objetivo.
Mencionamos anteriormente que nem todo conjunto de vetores é uma base. 
Por definição, isso ocorre sempre que um conjunto de vetores é linearmente 
dependente. Num conjunto de vetores linearmente dependente, não consegui-
mos determinar a dimensão do gerado desse conjunto ou uma representação 
única levando em consideração esse conjunto de vetores.
Espaço vetorial ℝn: base e dimensão14
Em ℝ5, considere o conjunto de vetores:
C = {(2,0,–3,1,–4), (0,1,1,–2,2), (2,2,–1,–3,0),(2,3,0,–5,2)}
e veja que:
a) C é linearmente dependente;
b) podemos determinar um subconjunto de C que é linearmente independente e 
que gera o mesmo subespaço que C.
Solução:
a) Por definição, { v→1, v
→
2, v
→
3, v
→
4} é linearmente independente, se:
α1 . v
→
1 + ... + αn . v
→
n = 0
→
admite apenas a solução trivial (α1,α2,α3,α4) = (0,0,0,0). Quando aplicamos esse critério 
aos vetores dados, temos:
2
0
–3
1
–4
((
0
1
1
–2
2
((
2
2
–1
–3
0
((
2
3
0
–5
2
((
0
0
0
0
0
((α1 ∙ + α2 ∙ + α3 ∙ + α4 ∙ = 
Essa igualdade pode ser escrita na forma matricial:
 2 0 2 2
 0 1 2 3
–3 1 –1 0
 1 –2 –3 –5
–4 2 0 2
∙ =
a1
a2
a3
a4
( (
0
0
0
0
0
( (
que resolveremos usando a matriz aumentada e eliminação gaussiana (ANTON; 
RORRES, 2012, p. 11). Assim, em:
 2 0 2 2 0
 0 1 2 3 0
–3 1 –1 0 0
 1 –2 –3 –5 0
–4 2 0 2 0
15Espaço vetorial ℝn: base e dimensão
Multiplicamos a primeira linha por 1/2 e a quinta linha por –1/2:
 1 0 1 1 0
 0 1 2 3 0
–3 1 –1 0 0
 1 –2 –3 –5 0
 2 –1 0 –1 0
Somamos 3 vezes a primeira linha à terceira,–1 vez a primeira linha à quarta e–2 
vezes a primeira linha à quinta:
1 0 1 1 0
0 1 2 3 0
0 1 2 3 0
0 –2 –4 –6 0
0 –1 –2 –3 0
Somamos -1 vez a segunda linha à terceira, 2 vezes a segunda linha à quarta e a 
primeira linha à quinta:
1 0 1 1 0
0 1 2 3 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Nesse momento, podemos analisar que α3 e α4 são variáveis livres do sistema. Isso 
significa que existem infinitas combinações (α1,α2,α3,α4) que resultam no vetor nulo. 
Portanto, C é linearmente dependente.
b) Podemos verificar que, se:
v→1 = (2,0,–3,1,–4)
v→2 = (0,1,1,–2,2)
v→3 = (2,2,–1,–3,0)
v→4 = (2,3,0,–5,2)
então v→4 = v
→
1 + 3v
→
2 e v
→
3 = v
→
1 + 2v
→
2. Isso nos permite afirmar que B = { v
→
1, v
→
2} é uma 
base do gerado de C. Isso ocorre por percebermos que todos os vetores de C são 
obtidos por combinações de apenas dois vetores não múltiplos e, portanto, linearmente 
independentes. Assim, quaisquer dois vetores não múltiplos no gerado de C formam 
uma base do gerado de C.
Espaço vetorial ℝn: base e dimensão16
No exemplo anterior, vimos que o vetor v→3 pode ser escrito em relação ao conjunto C 
como:
v→3 = 1v
→
1 + 2v
→
2 + 0v
→
3 + 0v
→
4
ou como:
v→3 = 0v
→
1 + 0v
→
2 + 1v
→
3 + 0v
→
4
Isso ilustra nossa afirmação de que os vetores de um subespaço apresentam de-
composição única apenas sobre uma base daquele subespaço.
Ainda observando o exemplo anterior, vemos que não é imediato perceber 
que a dimensão do conjunto gerado por C é 2. Vejamos agora uma versão 
simplificada do teorema do posto para matrizes (ANTON; RORRES, 2012, 
p. 238) que nos dará a solução para esse problema.
Em ℝn dado o conjunto de vetores C = {v→1, ... , v
→
m}, o subespaço vetorial 
gerado por C terá dimensão igual ao número de pivôs da forma escalonada 
da matriz:
M = [v→1 ... v
→
m]
Adicionalmente, as colunas que tiverem pivôs na forma escalonada são as 
dos vetores em M que compõem uma base do gerado de C.
Retomando o exemplo anterior, em ℝ5, o conjunto de vetores:
C = {(2,0,–3,1,–4), (0,1,1,–2,2), (2,2,–1,–3,0), (2,3,0,–5,2)}
17Espaço vetorial ℝn: base e dimensão
tem uma matriz associada:
 2 0 2 2
 0 1 2 3
–3 1 –1 0
 1 –2 –3 –5
–4 2 0 2
Como essa matriz tem uma forma escalonada:
1 0 1 1
0 1 2 3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
podemos afirmar que o subespaço gerado por C tem dimensão 2, e precisamos de 
apenas dois vetores para formar uma base desse gerado. No caso, v→1 e v
→
2, pois, nessas 
colunas, temos a presença de pivôs.
Em ℝ4, dado o conjunto de vetores: 
C = {(1,–1,2,1), (2,1,0,–2), (1,2,–2–3), (3,–3,5,2)},
como determinar a dimensão do gerado de C e uma base desse subespaço? 
Solução: 
Como esse conjunto de vetores tem uma matriz associada:
 1 2 1 3
–1 1 2 –3
 2 0 –2 5
 1 –2 –3 2
para calcular a sua forma escalonada, somamos a primeira linha à segunda,–2 vezes 
a primeira linha à terceira e–1 vez a primeira linha à quarta:
1 2 1 3
0 3 3 0
0 –4 –4 –1
0 –4 –4 –1
Espaço vetorial ℝn: base e dimensão18
Multiplicamos a segunda linha por 1/3, somamos –1 vez a terceira linha à quarta:
1 2 1 3
0 1 1 0
0 –4 –4 –1
0 0 0 0
Somamos quatro vezes a segunda linha à terceira:
1 2 1 3
0 1 1 0
0 0 0 –1
0 0 0 0
E chegamos à forma escalonada que nos permite contar 3 pivôs. Logo, o subespaço 
gerado por C tem dimensão 3, e uma base para esse subespaço é { v→1, v
→
2, v
→
4} pela forma 
escalonada ter pivôs nas colunas 1, 2 e 4.
Acessando o link a seguir, você pode visualizar exercícios de bases e sistemas de 
coordenadas disponibilizados pela Unicamp, classificados quanto à sua dificuldade, 
categoria e solução.
https://goo.gl/sYUrHS
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2012. 786 p.
LAY, D. C.; LAY, S. R.; MCDONALD, J. J. Álgebra linear e suas aplicações. 5. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2018. 480 p.
19Espaço vetorial ℝn: base e dimensão
Dica do professor
O Teorema do Posto resolve o principal problema o cálculo de uma base e da dimensão do 
subespaço gerado por um conjunto de vetores do Rn. Esse cálculo é imprescindível para a obtenção 
de uma decomposição única de cada vetor desse subespaço.
Nesta Dica do Professor, você verá uma explicação sobre o Teorema do Posto, bem como um 
exemplo comentado com os detalhes do cáculo.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
 
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/89e7876a43468733d796af5b80216052Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Matrizes de mudança de base
Neste vídeo, o Prof. Estéfano Veraszto, da UNIVESP, mostra outras informações sobre a 
construção de matrizes de mudança de base.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Videoaulas e exercícios resolvidos
Neste material da Unicamp, você terá acesso a videoaulas e a exercícios resolvidos sobre bases, 
dimensão e matrizes de mudança de base.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Lista de exercícios
Para aprender sobre espaço vetorial Rn: base e dimensão, é importante que você faça diversos 
exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
https://www.youtube.com/embed/lQT17sdopbA
https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/geometria-analitica/bases-e-sistemas-de-coordenadas/
http://publica.sagah.com.br/publicador/objects/attachment/1758202348/SaibaMaislistadeexerccios.pdf?v=2074639293
Decomposição de ondas em uma base harmônica
A decomposição de ondas em um espaço vetorial com base em ondas harmônicas é uma tarefa 
comum na Engenharia e na Computação. Neste link, os Profs. Deckmann e Pomilio, da Unicamp, 
mostram como essa decomposição é feita.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
http://www.dsce.fee.unicamp.br/~antenor/pdffiles/qualidade/b3.pdf