Processamento de Sinais

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Caṕıtulo 7
A transformada Z
7.1. Introdução
A transformada Z para sinais de tempo discreto funciona de forma parecida à transformada de Laplace
para sinais cont́ınuos. Na verdade, a transformada Z para sinais discretos é uma generalização da transfor-
mada discreta de Fourier para sinais discretos.
Deve-se observar que para certos tipos de sinais discretos não existe a transformada discreta de Fourier,
mas pode existir a transformada Z desse sinal discreto. Outra vantagem da transformada Z é que a forma
matemática da transformada Z pode ser mais facilmente representada de forma compacta ou anaĺıtica
quando comparado com a transformada discreta de Fourier.
7.2. Definição da transformada Z
A transformada Z de um sinal de tempo discreto x[n] é definida da seguinte forma:
X(z) =
∞∑
n=−∞
x[n]z−n (7.1)
em que z é uma variável complexa.
De forma alternativa podemos considerar a transformada Z como um operador que transforma uma
função discreta, isto é, um sinal discreto x[n] em uma função cont́ınua X(z), mas onde z é uma variável
complexa cont́ınua. A transformada Z definida em (7.1) é chamada de transformada Z bilateral e esse tipo
de transformada Z é o único que analisamos neste trabalho.
Observações: As seguintes observações são muito importantes:
1. Existe uma relação muito estreita entre a transformada discreta de Fourier e a transformada Z de um
sinal discreto x[n].
Sabemos que a transformada discreta de Fourier X(ejΩ) do sinal discreto x[n] assume a seguinte forma:
X(ejΩ) =
∞∑
n=−∞
x[n]e−jΩn (7.2)
1
8. Existem sinais discretos x[n] para os quais não existe a transformada Z. Entretanto, para alguns desses
sinais podem ser definidos um tipo de “transformadas de Fourier especiais”. Obviamente, esse tipo de
relação não pode ser encontrado como um caso particular de z de tal forma que |z| = 1.
9. A utilidade da transformada Z pode ser significativa se for posśıvel representarX(z) de forma compacta
e particularmente quando assume a seguinte forma:
X(z) =
P (z)
Q(z)
(7.6)
em que P (z) e Q(z) são polinômios em z. Os valores de z para os quais X(z) = 0 são chamados de
zeros de X(z) e os valores de z para os quais X(z)→∞ são chamados de polos de X(z).
Exemplo 1: Encontrar a transformada Z do sinal discreto x[n] = anu[n].
Usando a relação (7.1) temos o seguinte:
X(z) =
∞∑
n=−∞
x[n] z−n =
∞∑
n=0
an z−n =
∞∑
n=0
(a z−1)n
X(z) = 1 + (a z−1) + (a z−1)2 + . . .+ (a z−1)n + . . . (7.7)
A relação anterior é uma série geométrica e sabemos que essa série geométrica converge se a razão satisfaz
a seguinte relação:
|r| < 1 =⇒ |a z−1| < 1 =⇒
∣∣∣∣az
∣∣∣∣ < 1 =⇒ |z| > |a|
Dentro da região de convergência, X(z) converge, como toda série geométrica, para a seguinte soma:
S =
a
1− r
X(z) =
1
1− a z−1
=
z
z − a
para |z| > |a| (7.8)
Obviamente, a relação (7.8) também pode ser obtida da relação (7.7), multiplicando ambos lados da
equação por a−1z e arranjando os termos da equação. Portanto, pode-se concluir de que existe a transformada
Z para qualquer sinal do tipo x[n] = anu[n] com valor finito de |a|. A Figura 3 mostra o domı́nio da
transformada Z. Assim, pode-se verificar que a transformada Z tem um zero em z = 0 e um polo em z = a.
Observações: As seguintes observações são muito importantes:
1. Quando a = 1 o sinal x[n] = u[n] e a relação (7.8) assume a seguinte forma:
X(z) =
1
1− z−1
para |z| > 1 (7.9)
e, portanto, existe transformada Z da função degrau unitário x[n] = u[n].
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Encontrar a transformada Z do seguinte sinal discreto de duração finita:
x[n] =

an para 0 ≤ n ≤ N − 1
0 em outro caso
Usando a relação (7.1) temos o seguinte:
X(z) =
∞∑
n=−∞
x[n] z−n =
N−1∑
n=0
an z−n =
N−1∑
n=0
(a z−1)n
X(z) = 1 + a z−1 + a2 z−2 + . . .+ aN−1 zN−1 (7.13)
A relação anterior é uma série geométrica com N termos. A soma desses termos é finita se (a z−1) é finito,
isto é, se |a| <∞ e z 6= 0. Assim, a região de convergência está determinado para todo valor de z 6= 0. Nesse
contexto, conhecendo a relação matemática que determina a soma de n termos de uma sequência geométrica
convergente, assume a seguinte forma:
Soma =
a(1− rn)
1− r
=⇒ X(z) = 1− (a z
−1)N
1− a z−1
=
1− aN
zN
1− az
X(z) =
1
zN−1
(
zN − aN
z − a
)
para z 6= 0
onde foi usada a relação que permite encontrar a soma de n = N termos de uma série geométrica convergente
com primeiro elemento a = 1 e razão r = a z−1. O mesmo resultado pode ser encontrado multiplicando
a relação (7.13) por a−1z, depois adicionar e descontar o termo aN−1z−(N−1) e realizar as simplificações
correspondentes.
7.3. Propriedades da região de convergência da transformada Z
Em relação com a região de convergência da transformada Z de um sinal discreto x[n] de amplitude
finita, exceto em n = ±∞, pode-se provar que são válidas as seguintes propriedades:
Propriedade 1: A região de convergência no plano complexo z pode ser um anel ou um disco com centro
na origem. Assim, 0 ≤ rR < |z| < rL ≤ ∞, onde rR e rL representam os raios internos e externos do anel.
Propriedade 2: A transformada de Fourier do sinal discreto x[n] converge se e somente se a região de
convergência da transformada Z de x[n] contém a circunferência com raio unitário.
Propriedade 3: A região de convergência não contém nenhum polo (a região de convergência deve ser
conexa).
Propriedade 4: Se o sinal discreto x[n] é diferente de zero apenas no intervalo finito −∞ < N1 ≤ n ≤
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N2 < ∞, então geralmente a região de convergência está representado para todo valor de z (exceto para
z = 0 ou para z =∞).
Propriedade 5: Se o sinal discreto x[n] é diferente de zero apenas no intervalo finito n ≤ N1 <∞, então a
região de convergência se estende para fora do polo finito de maior módulo de X(z) e pode chegar a z =∞.
Propriedade 6: Se o sinal discreto x[n] é diferente de zero apenas no intervalo −∞ < N2 < n, então a
região de convergência se estende para dentro do polo finito de menor módulo de X(z), isto é, o polo mais
interno de X(z) sendo que pode chegar até z = 0.
Propriedade 7: Se o sinal discreto x[n] é bilateral (−∞ < n < ∞), isto é, de duração infinita, então a
região de convergência é um anel no plano z, limitado por dentro e por fora por um polo e, logicamente,
não deve conter polos.
Propriedade 8: A região de convergência é uma região conexa.
7.4. A transformada Z inversa
Ao usar a transformada Z, da mesma forma como acontece na transformada discreta de Fourier, ao
resolver um sistema linear de tempo discreto geralmente usamos como dado de entrada um sinal discreto
x[n] e precisamos de uma sáıda ou resposta denominada y[n]. Portanto, precisamos frequentemente encontrar
a transformada Z para analisar o sistema e encontrar a resposta Y (z) e, posteriormente, encontrar a resposta
final y[n] aplicando a transformada Z inversa de Y (z).
Existem vários métodos para encontrar a transformada Z inversa incluindo o método mais formal que
consiste em usar o Teorema da Integral de Cauchy. Essa metodologia está fora do escopo da disciplina.
Assim, nesta disciplina introdutória da transformada Z, usamos três métodos muito práticos.
7.4.1. A transformada Z inversa usando tabelas
Neste caso usamos apenas os resultados dispońıveis em tabelas. Essas tabelas geralmente são montadas
encontrando a transformada Z dos sinais mais conhecidos.
7.4.2. A transformada Z inversa usando decomposição em frações parciais simples
Neste caso separamos a relação X(z) em frações parciais usando a mesma estratégia usada na decom-
posição em frações parciais usada no Caṕıtulo 1, na transformada de Fourier e em geral nas séries infinitas.
Deve-se observar que neste caso a variável principal de análise é z−1 (não é z) e que as vezes o grau do
polinômio do numerador pode ser igual ou superior ao grau do polinômio do denominador de X(z). Nesse
caso, previamente, deve-se realizar uma divisãopara obter uma fração algébrica própria (grau do polinômio
de denominador maior que o grau do polinômio do numerador). Logicamente, essa estratégia é aplicável
quando X(z) é representado na forma racional, isto é, X(z) = P (z)Q(z) . Depois de realizar a separação em
frações parciais, deve-se terminar o processo de resolução usando tabelas.
Exemplo 6: Encontre o sinal x[n] cuja transformada Z assume a seguinte forma:
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Lembrando que a variável independente é z−1, então os polinômios do numerador e do denominador têm
grau igual a 2. Devemos lembrar que se o grau do polinômio do numerador for maior ou igual ao grau do
polinômio do denominador, então primeiro devemos fazer a divisão dos polinômios e apenas posteriormente
realizar a separação em frações parciais da parcela do polinômio próprio.
Fazendo a divisão dos polinômios temos o seguinte:
X(z) =
1 + 2z−1 + z−2
1− 32z−1 +
1
2z
−2 =
z−2 + 2z−1 + 1
1
2z
−2 − 32z−1 + 1
= 2 +
−1 + 5z−1
1− 32z−1 +
1
2z
−2
Assim, X(z) assume a seguinte forma:
X(z) = 2 +
−1 + 5z−1
1− 32z−1 +
1
2z
−2 = 2 +
−1 + 5z−1
(1− 12z−1)(1− z−1)
Agora usamos a separação em frações parciais para a parcela fracionária da seguinte forma:
R(z) =
−1 + 5z−1
(1− 12z−1)(1− z−1)
=
A
(1− 12z−1)
+
B
(1− z−1)
R(z) = − 9
(1− 12z−1)
+
8
(1− z−1)
Dessa forma, X(z) separada assume a seguinte forma:
X(z) = 2− 9
(1− 12z−1)
+
8
(1− z−1)
para |z| > 1
Usando tabelas podemos encontrar a forma matemática do sinal discreto que assume a seguinte forma:
x[n] = 2 δ[n]− 9
(
1
2
)n
u[n] + 8 u[n]
A Figura 8 mostra a região de convergência da transformada Z.
7.4.3. A transformada Z inversa usando desenvolvimento em séries de potência
Deve-se lembrar que a transformada Z do sinal discreto x[n] é na verdade uma série de potências em
que o coeficiente de cada elemento é o valor de x[n] e a variável é z−1. Assim, a transformada Z do sinal
discreto x[n] assume a seguinte forma:
X(z) =
∞∑
n=−∞
x[n](z−1)n
X(z) = . . .+ x[−2] z2 + x[−1] z + x[0] + x[1] z−1 + x[2] z−2 + . . . (7.14)
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x[n] =

1 n = −2
−12 n = −1
−1 n = 0
1
2 n = 1
0 para outros valores de n
Uma forma alternativa de representar esse sinal x[n] é a seguinte:
x[n] = δ[n+ 2]− 1
2
δ[n+ 1]− δ[n] + 1
2
δ[n− 1]
Observação: Neste exemplo não foi indicado o domı́nio da transformada X(z) e, portanto, entende-se que
esse domı́nio está representado por todo valor de z.
Exemplo 9: Encontrando a série de potência (o sinal x[n]) por divisão de polinômios.
Encontrar a transformada Z inversa da seguinte relação matemática:
X(z) =
1
1− a z−1
para |z| > |a|
Na relação anterior, a divisão de numerador e denominador gera a seguinte relação:
X(z) = 1 + a z−1 + a2 z−2 + . . .+ an z−n + . . . para |z| > |a|
Adicionalmente, a informação de que |z| > |a| indica que a região de convergência é externa a uma
circunferência e, portanto, é limitada pela esquerda (tem valor igual a zero até um valor de n) e representa
o degrau. Assim, x[n] assume a seguinte forma:
x[n] = an u[n]
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