TCC_Tuanny_Barbosa-02-07-13

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Aritmética e Frações no Egito Antigo
Aluna: Tuanny Barbosa da Silva - R.A. 326968
Orientador: Prof. João C. V. Sampaio
Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso
Curso: Licenciatura em Matemática
Coordenadores: Profa. Vera Lúcia Carbone
Profa. Karina Schiabel Silva
Prof. Sadao Massago
São Carlos, 3 de julho de 2013.
ARITMÉTICA E FRAÇÕES NO EGITO ANTIGO
Monografia apresentada na disciplina de Tra-
balho de Conclusão de Curso, coordenada
pelos Professores do Departamento de Ma-
temática: Vera Lúcia Carbone, Karina Schi-
abel Silva e Sadao Massago.
Aluna: Tuanny Barbosa da Silva
R.A. 326968
Orientador: Prof. João C. V. Sampaio
São Carlos, 3 de julho de 2013.
Dedicatória
Dedico este trabalho à mulher que me inspiro todos os dias e que sempre
acreditou em mim: minha mãe Márcia.
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus por me dar a cada dia a força para terminar meu
sonho.
Agradeço imensamente à minha mãe Márcia e aos meus irmãos Montana
e Oberdan por esses 5 anos de apoio, confiança e amor que possibilitaram meus
estudos.
Às amigas Let́ıcia, Marina e Mônica pelas conversas, pelas risadas, pelos
aprendizados e pela época de convivência diária.
Às amigas Adriana, Gabriela, Kaline e Lais, agradeço pela amizade, pela
paciência e a companhia diária nestes últimos anos.
Aos meus amigos de curso Ana Claudia e Paulo pelos momentos de estudo
na BCo e pelo apoio ao longo do curso.
À amiga Jessica por me mostrar que trabalhar com dedicação e com amor
aos alunos é o melhor caminho.
Agradeço também ao meu professor e orientador João Sampaio pela oportu-
nidade deste trabalho.
Por fim, gostaria de deixar meus sinceros agradecimentos a todos que não
tem seus nomes aqui, mas que fizeram parte da minha jornada.
“O aprendizado fornece-nos conhecimento. A vida oferece-nos a prática. Unamos
a sabedoria com o amor, na atividade de cada dia, e descobriremos a divindade que
palpita dentro de nós, glorificando a Terra que aguarda nosso concurso eficiente,
pelo equiĺıbrio e compreensão.”
Alexandre - No livro “Missionários da Luz”.
Resumo
O presente trabalho tem como objetivo analisar a matemática eǵıpcia em um es-
tudo que compreende a aritmética e as frações no Egito Antigo. No primeiro
caṕıtulo, buscamos explicitar o surgimento do sistema de numeração, começando
pelo contexto histórico e dando continuidade com a aritmética usada. No se-
gundo caṕıtulo estudaremos o conceito de frações na antiga civilização eǵıpcia. E
no último caṕıtulo apresentaremos os problemas do Papiro Rhind relacionados a
frações. Assim, buscamos compreender neste trabalho como o ensino da aritmética
eǵıpcia facilita o aprendizado da aritmética para alunos do ensino fundamental,
bem como para o professor ao expor esse conteúdo em sala de aula.
Sumário
1 Introdução 6
1.1 Matemática Eǵıpcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Notação Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Operações Aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Adição de inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Multiplicação de inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Divisões de inteiros, de quocientes inteiros . . . . . . . . . . 14
2 Frações 15
2.1 Frações eǵıpcias ou unitárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 O algoritmo de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 A conjectura de Erdös-Straus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Problemas de partilha no papiro Rhind . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Números auxiliares vermelhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 A tabela 2/n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Problemas do Papiro Rhind 24
Referências Bibliográficas 38
v
Caṕıtulo 1
Introdução
No decorrer deste trabalho conheceremos a aritmética eǵıpcia e estudaremos como
as frações eǵıpcias eram representadas. No último caṕıtulo, apresentaremos os
problemas do Papiro Rhind relacionados a frações.
Constatamos ao longo do trabalho que as fontes para estudo da civilização
eǵıpcia são escassas e fragmentadas. Mas são de grande importância para o apren-
dizado do aluno e enriquecimento do repertório do professor.
Assim, de acordo com o PCN (1998, p. 42),
“A História da Matemática pode oferecer uma impor-
tante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem
dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática
como uma criação humana, ao mostrar necessidades e pre-
ocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos
históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e
processos matemáticos do passado e do presente, o profes-
sor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e
valores mais favoráveis diante desse conhecimento.”[7]
1.1 Matemática Eǵıpcia
Os primeiros números foram escritos em monumentos de pedra, argilas, calendários
e pedras tumulares, porém a maioria do nosso conhecimento de matemática eǵıpcia
vem de escritos sobre papiros. Papiro é um material primitivo de escrita parecido
com o papel, feito de um junco aquático chamado papu, que cresce ao longo do
rio Nilo.
6
7
Os textos matemáticos eǵıpcios mais antigos contêm principalmente proble-
mas de ordem prática, tais como calcular a capacidade de um celeiro, o número
de blocos necessários para a construção de um armazém ou o estoque de grãos
necessários para a preparação de certa quantidade de pão e de cerveja. Contudo,
as sociedades encontravam-se muito avançadas, fortemente urbanizadas e em plena
expansão populacional, motivando assim o desenvolvimento das cidades e o aper-
feiçoamento das técnicas de administração da vida comum. Necessitavam também
de meios para acompanhar o que era produzido, quanto era devido de impostos e
assim por diante. Lidar com esses problemas de subsistência era tarefa espećıfica
dos escribas. Eles eram, em geral, funcionários públicos profissionais que sabiam
escrever e resolver problemas matemáticos simples.
A maior fonte de informação sobre a matemática eǵıpcia é o papiro Rhind,
datado de cerca de 1 650 a.C. O nome é uma homenagem ao arqueólogo escocês
A. Henry Rhind, que o comprou, por volta de 1 858, em Luxor, no Egito. Este
documento também é chamado de papiro de Ahmes, por causa do escriba eǵıpcio
que o copiou, e encontra-se no Museu Britânico. O papiro contém, de um lado, ex-
tensas tabelas que eram usadas como ajuda para cálculos e, do outro, uma coleção
de problemas práticos, provavelmente usados para o treinamento de escribas, onde
descrevem os métodos de multiplicação e divisão dos eǵıpcios; o uso que faziam
das frações unitárias; seu emprego da regra de falsa posição; sua solução para o
problema da determinação da área do ćırculo e muitas aplicações da matemática.
Ao todo são trabalhados 87 problemas, em escrita hierática.
Existem outros quatro escritos eǵıpcios menores, de alguma importância: o
papiro de Moscou, o papiro de Kahun, o papiro de Berlim e o rolo de couro. Há
muitos pequenos fragmentos e papiros comerciais espalhados pelo mundo, mas
eles fornecem apenas uma ligeira informação sobre a matemática eǵıpcia. Porém,
estudaremos somente o Papiro Rhind e seus problemas relacionados a aritmética
e a frações.
1.2 Notação Numérica
Os eǵıpcios desenvolveram uma escrita e um sistema de numeração por volta de
3 400 a.C. Os antigos eǵıpcios empregavam um sistema decimal. Diferente do nosso
sistema, o sistema eǵıpcio era aditivo, não posicional. Os numerais eǵıpcios, em
escrita hierogĺıfica, eram:
8
Figura 1.1. Fragmento do papiro Rhind. Depositado no Museu BritânicoLondres.
Fonte: http://www.lessing-photo.com/p3/030102/03010244.jpg
| (um), 2 (dez), W (cem), 4 (mil), 5 (dez mil), 6 (cem mil), 7 (milhão)
“O número 1 era representado por uma barra vertical
e os números consecutivos de 2 a 9 eram obtidos pela soma
de um número correspondente de barras. Os próximos
números são múltiplos de dez e, por esta razão, dizemos
que o sistema é decimal. O número dez é uma alça; cem,
uma espiral; mil, a flor de lótus; dez mil, um dedo, cem mil,
um sapo e um milhão, um deus com as mãos levantadas.”[8]
No sistema aditivo eǵıpcio, os números maiores exigiam cadeias de śımbolos
bastante longas, observe a Figura 1.2, à página 9. Por exemplo, o número que
escreveŕıamos como 4 536 428, os eǵıpcios escreveriam, em numerais hierogĺıficos,
do seguinte modo:
9
777766666555444444WWWW22||||||||
A invenção dos hieróglifos durou muitos anos e quase todos foram tirados
da fauna e da flora do Nilo. Os instrumentos e utenśılios que utilizavam para a
escrita eram usados no Egito pelo menos desde o ińıcio do quarto milênio a.C.
Os pictogramas e as formas de desenhos variam consideravelmente de um sistema
para outro.
Os eǵıpcios desenvolveram três formas de escrita, exemplificadas na Figura
1.3. A mais antiga era conhecida como hierogĺıfica usada pelos sacerdotes em mo-
numentos, murais e tumbas. Desta, deriva uma forma cursiva de hieróglifos, usada
nos papiros, chamada hierática, forma de escrita encontrada no papiro Rhind. Era
uma maneira mais rápida e mais conveniente de transmitir uma mensagem, gravar
um acordo, ou fazer um cálculo com números do que usando o desenho detalhado
de hieróglifos pictográficos. Da hierática, mais tarde, resultou a escrita demótica,
que foi adotada para usos gerais.
Figura 1.2. Inscrição em mural eǵıpcio, contendo numerais hierogĺıficos. Fonte:
http://cuip.uchicago.edu/wit/99/teams/egyptmath/carv.Egy.num.jpg
10
Figura 1.3. Exemplo da evolução da escrita eǵıpcia antiga ao longo dos séculos.
Fonte: http://hieroglifos.com.sapo.pt/evolucao.png
1.3 Operações Aritméticas
1.3.1 Adição de inteiros
A operação aritmética fundamental do Egito Antigo era a adição, e as opera-
ções de multiplicação e divisão eram efetuadas no tempo de Ahmes por sucessivas
duplicações.
Apesar do caráter muito rudimentar de sua notação hierogĺıfica, os eǵıpcios
aprenderam há muito tempo a fazer operações aritméticas por meio de seus al-
garismos. A adição e a subtração não apresentam nenhuma dificuldade: para a
primeira, por exemplo, basta justapor ou superpor as representações dos números a
somar, em seguida reunir (mentalmente) os números idênticos, substituindo a cada
vez dez signos de uma categoria pelo algoritmo da classe decimal imediatamente
superior.
Para somar os números 1 729 e 1 696, por exemplo, superpõem-se inicialmente
as representações dos números correspondentes. Agrupam-se em seguida as barras
verticais, as alças, as espiras e as folhas de lótus. Em seguida, substituem-se dez
barras por uma alça, dez alças por uma espiral, e dez espirais por uma flor de
lótus, chegando, após as reduções, ao resultado da operação:
11
1 729
|||||
|||| 22 WWWWWWW 4
+ 1 696
|||
|||
22222
2222
WWW
WWW 4
= 3 425
|||
|| 22 WWWW 444
1.3.2 Multiplicação de inteiros
O método de multiplicação eǵıpcia era muito diferente da nossa. Os eǵıpcios
usavam duas operações para multiplicar: a duplicação e a adição. Para calcular
6× 8, por exemplo, eles fundamentavam o cálculo da seguinte forma:
2× 8 = 16
4× 8= 2× (2× 8) = 32
Adicionando à esquerda dá: (2 + 4) × 8 ou 6 × 8 e à direita: 16 + 32 = 48.
Assim, 6× 8 = 48
O problema 32 do Papiro Rhind mostra o procedimento real usado pelos
eǵıpcios para calcular 12× 12. Vejamos (leitura da direita para a esquerda):
||2 |
||||22 ||
||||
||||
22
22 |||| /
|||
|||
22222
2222
||||
|||| /
�
||
||
22
22W
Esse hieróglifo corresponde ao seguinte (leitura da esquerda para a direita):
1 12
2 24
/4 48
/8 96
� 144
De cima para baixo, vemos os resultados de 1×12, 2×12, 4×12 e 8×12, que
foram obtidos através de duplicações. Os traços inclinados encontrados na terceira
12
e na quarta linha indicam que apenas estas linhas devem ser adicionadas para
obter o produto desejado. O śımbolo � na parte inferior do cálculo em hieróglifos
representa um rolo de papiro e significa: “resultado é o seguinte”. Portanto, dessa
multiplicação temos
12× 12 = (4 + 8)× 12
= 48 + 96
= 144
Através de uma exceção, os eǵıpcios às vezes multiplicavam um número di-
retamente por 10 em vez de adicionar o dobro do número e oito vezes o número.
Isto foi feito facilmente em sua notação, eles apenas substitúıam |por 2, 2por W, e
assim por diante.
Outras abordagens para a multiplicação também foram usadas. Por exemplo,
para multiplicar por 5, os eǵıpcios ocasionalmente iniciavam pela multiplicação por
10 e, em seguida, dividiam por 2. Vejamos o Problema 6 do Papiro Kahun, calcular
16× 16:
/ 1 16
/ 10 160
/ 5 80
Assim,
16× 16 = (1 + 10 + 5)× 16
= 16 + 160 + 80
= 256
Exemplo 1.1 Calcular 84× 15
1 15
2 30
4 60
8 120
16 240
32 480
64 960
13
Na coluna da direita, os eǵıpcios inscrevem o multiplicando 15 e na frente,
na coluna da esquerda, o número 1. Depois dobram sucessivamente cada um
dos números. Mas, como o multiplicador 84 não aparece desta vez na coluna da
esquerda, ele prossegue a duplicação até obter a maior potência de 2 contida neste
multiplicador. Na coluna da esquerda, os eǵıpcios parariam no número 64, pois a
duplicação seguinte daria 128, que seria superior ao multiplicador 84. Em seguida,
nesta mesma coluna procura os números cuja soma seja igual a 84 e marca com
um pequeno traço inclinado esses números (isto é, 64, 16 e 4):
1 15
2 30
/4 60
8 120
/16 240
32 480
/64 960
Analisando a coluna da esquerda, constatamos que ela é composta por nú-
meros que são potências de 2.
A pergunta que surge é: Será que o método de dobrar e adicionar sempre
tem sucesso? A resposta é sim, somente se escrevermos sempre o multiplicador
como uma soma de potências de 2. Contudo, sabemos que Todo número positivo
pode ser escrito como soma de potências inteiras de 2, distintas entre si, de uma
maneira única. Ou seja, se n ∈ N, então existe k, número natural tal que,
n =
k∑
i=0
ai2
i = a02
0 + a12
1 + a22
2 + ... + ak2
k
sendo cada um dos d́ıgitos a0, a1, . . . , ak igual a 0 ou 1.
Vamos ilustrar usando o exemplo anterior, multiplicar 15 por 84, sendo 84 o
multiplicador. Este número, 84, será escrito como uma soma de potências de 2.
As primeiras nove potências de 2 são:
20 = 1 23 = 8 26 = 64
21 = 2 24 = 16 27 = 128
22 = 4 25 = 32 28 = 256
14
Agora escrevemos 84 como uma soma de potências de 2: 84 = 64 + 20. Mas
20 = 16 + 4.
Assim,
84 = 64 + 16 + 4, ou
84 = 26 + 24 + 22.
Prosseguindo com a multiplicação de 84 por 15, isto é, somando os números
marcados com o traço no formato eǵıpcio, obtemos o seguinte resultado:
84× 15 = (26 + 24 + 22)× 15.
= (26 × 15) + (24 × 15) + (22 × 15)
= 960 + 240 + 60
= 1260
1.3.3 Divisões de inteiros, de quocientes inteiros
Vejamos agora como os eǵıpcios efetuavam divisões de inteiros, quando os quoci-
entes fossem inteiros. Eles transformavam o problema de dividir a por b em achar
um número x tal que b vezes x é igual a a. Assim, dividir a por b significava, para
eles, por quanto devo multiplicar b para obter a, ou ainda, quantos b’s cabem em
a?
Exemplo 1.2 Calcular 45÷ 9
Para resolver esse problema pensaremos como os eǵıpcios: “calcular 9 até
obter 45”. Começamos multiplicando 9, como se segue:
/1 9
2 18
/4 36
total 45
Disto segue-se que (1 + 4)× 9 = 45 ou 45÷ 9 = 5.
Aqui, o escriba eǵıpcio faria a seguinte pergunta: quantas vezes 9 cabe em
45, ou de quantos 9’s eu preciso para formar 45?
Portanto, para a multiplicação e a divisãoos eǵıpcios geralmente faziam
duplicações sucessivas, ou seja, uma série de multiplicações ou divisões por 2.
Caṕıtulo 2
Frações
2.1 Frações eǵıpcias ou unitárias
Para representar frações os eǵıpcios usavam um conceito que, para nós equivale às
frações unitárias, ou seja, frações da forma
1
n
, com n ≥ 2.
Os eǵıpcios representavam as frações escrevendo os números inteiros com uma
forma que nos lembra uma elipse, por cima do inteiro, significando “partes”. Por
exemplo, 1
5
seria escrito com a elipse sobre cinco barras verticais: r|||
||
. A fração 1
243
seria representada por rW
W
22
22 ||| Eles criaram śımbolos especiais para algumas frações.
A fração 1
2
era representada por M. A fração 2
3
podia ser representada por rs ,
e também por r| | .
Na elaboração de problemas, os eǵıpcios muitas vezes encontravam resultados
que não eram expressos como frações unitárias. Nesse caso, escreviam-nas como
uma soma de diferentes frações unitárias. Por exemplo, os eǵıpcios não possúıam
representação para 4
7
. Então, eles procuravam decompô-la como soma de duas
frações unitárias, escrevendo-a como 1
2
+ 1
14
. E para escrever as frações 1
2
e 1
14
, os
eǵıpcios escreviamM e r2|||| . A fração 47 era então representada na formaM r2|||| ,
ou seja, por justaposição dos śımbolos representando as frações 1/2 e 1/14.
Podemos representar qualquer fração unitária como uma soma de duas frações
unitárias distintas, isto é,
1
a
=
1
a + 1
+
1
a(a + 1)
(2.1)
sendo a um inteiro positivo. Se a é ı́mpar, a igualdade 2.1, nos fornece a importante
decomposição
2
a
=
1
(a + 1)/2
+
1
a(a + 1)/2
(2.2)
15
16
sobre a qual retomaremos adiante.
Veremos também que podemos decompor qualquer fração ordinária, isto é,
da forma a/b, com a e b inteiros positivos, e a < b, como soma de duas ou mais
frações unitárias distintas.
A escrita de uma fração qualquer como soma de frações unitárias distintas
deu origem a vários problemas, alguns deles muito dif́ıceis. Apresentaremos a
seguir dois deles: o Algoritmo de Sylvester e a Conjectura de Erdös e Straus.
Figura 2.1. Numerais hierogĺıficos fracionários em parede de templo em Edfu,
Egito. Fonte:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Edfu Egyptian numerals 2.JPG
2.2 O algoritmo de Sylvester
Em 1 880, o matemático inglês J. J. Sylvester (1 814−1 897) demonstrou que toda
fração ordinária
a
b
, isto é, com a e b inteiros positivos e a < b, pode ser escrita
como soma de um número finito de frações unitárias distintas entre si.
O algoritmo consiste em, primeiramente, achar a maior fração unitária que
seja menor que a fração dada; subtrair essa fração unitária da fração dada; e, em
seguida, achar a maior fração unitária menor que a diferença obtida anteriormente.
Por fim, deve-se subtrair de novo, e continuar o processo até chegar a uma fração
unitária como resultado da subtração. Vejamos a demonstração do algoritmo.
Considere a maior fração unitária 1
n
tal que 1
n
≤ a
b
. Isto é equivalente a dizer
que 1
n
≤ a
b
< 1
n−1
17
Se a = 1, tomamos n = b, e nada mais temos a fazer.
Se não,
a
b
=
1
n
+
(
a
b
− 1
n
)
=
1
n
+
an− b
bn
Ocorre que, nas condições anteriores temos an− b < a, pois
1
n
≤ a
b
<
1
n− 1
⇒ a
b
− 1
n− 1
< 0
⇒ a(n− 1)− b
b(n− 1)
< 0
⇒ an− a− b < 0
Então,
an− b < a
Assim, percebemos que a nova fração ordinária obtida através do algoritmo
tem numerador menor que a. Iteramos o algoritmo, agora aplicando-o à fração
an−b
bn
, procurando então a maior fração unitária 1
m
que “‘cabe” em an−b
bn
, isto é, tal
que 1
m
< an−b
bn
.
Mas a pergunta que surge é: não podemos obter uma soma de frações
unitárias iguais, isto é, obter
1
m
=
1
n
?
A resposta é não. Pois,
an− b
nb
<
1
n
Sabemos que an− b < a e a < b. Então, an− b < b. Logo,
an− b
nb
<
b
nb
=
1
n
Assim, conclui-se que o algoritmo de Sylvester sempre termina em um número
finito de passos, pois a sequência de numeradores, dos varios passos iterativos, é
decrescente, e que cada nova fração unitária obtida é menor que as anteriores, o
que as torna distintas entre si.
Exemplo 2.1 Expressar 13
20
em frações unitárias.
Usando o Algoritmo de Sylvester, é necessário primeiramente encontrar a
maior fração com numerador 1 menor que 13
20
.
18
1
n
< 13
20
⇒ 20 < 13n. Assim, n = 2 é o menor natural para o qual a
desigualdade se verifica.
Subtraindo 1
2
da fração inicialmente dada, temos: 1
m
< 13
20
− 1
2
= 3
20
⇒ 20 <
3m; a escolha neste caso deve ser m = 7.
Como 3
20
− 1
7
= 1
140
é unitária, então
13
20
=
1
2
+
3
20
=
1
2
+
1
7
+
1
140
2.3 A conjectura de Erdös-Straus
Em 1 948, os matemáticos Paul Erdös e Ernst Straus conjecturaram que, qualquer
que seja o número natural n > 5, existem números naturais a, b e c, distintos
entre si, tais que
4
n
=
1
a
+
1
b
+
1
c
Pela Teoria dos Números, o conjunto N, dos números naturais, fica subdi-
vidido em quatro classes de naturais, cada uma das classes contendo todos os
naturais que deixam um mesmo resto quando divididos por 4. São elas:
n =

4m,
4m + 1,
4m + 2,
4m + 3.
Utilizaremos aqui as equações 2.1 e 2.2, que estão na página 15.
Para n = 4m, podemos escrevê-la como
4
n
=
4
4m
=
1
m
=
1
m + 1
+
1
m(m + 1)
=
1
m + 2
+
1
(m + 1)(m + 2)
+
1
m(m + 1)
Para n = 4m + 2, temos
4
n
=
4
4m + 2
=
2
2m + 1
=
1
m + 1
+
1
(m + 1)(2m + 1)
=
1
m + 2
+
1
(m + 1)(m + 2)
+
1
(m + 1)(2m + 1)
19
Agora se n = 4m+ 3, podemos observar que
4
4m + 4
“cabe”em
4
4m + 3
, isto
é,
4
4m + 4
<
4
4m + 3
. Assim, imitando o algoritmo de Sylvester, obtemos:
4
n
=
4
4m + 3
=
1
m + 1
+
(
4
4m + 3
− 1
m + 1
)
=
1
m + 1
+
4m + 4− (4m + 3)
(4m + 3)(m + 1)
=
1
m + 1
+
1
(4m + 3)(m + 1)
=
1
(m + 2)
+
1
(m + 1)(m + 2)
+
1
(4m + 3)(m + 1)
Mas, até o presente momento o caso n = 4m + 1 permanece sem resposta.
Obtivemos assim apenas resultados parciais da Conjectura de Erdös-Straus.
Apenas para citar um exemplo, se m = 4, então 4
4m+1
= 4
17
. O algoritmo de
Sylvester nos dará 4
17
= 1
5
+ 1
29
+ 1
1233
+ 1
3039345
. É um caso em que os denominado-
res, das sucessivas frações que aparecem no algoritmo, sempre decrescem em uma
unidade apenas.
Mas 4
17
= 1
6
+ 1
15
+ 1
510
, não se tratando de um contra-exemplo à conjectura.
Notamos também que a fórmula para 2/a, da equação 2.2, nos dá outra
decomposição de 4
17
como soma de quatro frações unitárias distintas: 4
17
= 2 · 2
17
=
2 · (1
9
+ 1
153
) = 2
9
+ 2
153
= 1
5
+ 1
45
+ 1
77
+ 1
11781
.
2.4 Problemas de partilha no papiro Rhind
Sabemos que no Papiro Rhind os primeiros problemas propostos e resolvidos eram
de ordem prática. A maioria dos problemas se davam em dividir um certo número
de pães por um certo número de pessoas e eles efetuavam essas divisões por meio de
partilhas. O problema a seguir mostra como os eǵıpcios realizavam essas partilhas.
Exemplo 2.2 Repartir 4 pães para 5 pessoas.
Chama a atenção, nos primeiros problemas propostos e resolvidos do papiro,
o modo como os eǵıpcios resolviam problemas de dividir um certo número de pães
por um certo número de pessoas.
Por exemplo, para dividir 4 pães para 5 pessoas, nós diremos que cabe, a
cada uma, 4/5 de um pão, e isto poderia implicar, de certa forma, em “cortar”
20
todos os pães em 5 partes e distribuir 4 partes a cada pessoa. Mesmo que não
cortemos todos os pães em 5 partes, algumas pessoas receberão pães quase inteiros,
em pedaços correspondentes a 4
5
, e outras irão receber pedaços menores. Como os
eǵıpcios faziam para resolver este problema? A resposta é encontrada nos primeiros
problemas do Papiro Rhind. E de certa forma explica a preferência eǵıpcia usar
frações unitárias na solução da partilha.Primeiramente, eles cortariam os 4 pães ao meio, e distribuiriam 1/2 pão a
cada pessoa (1o diagrama da Figura 2.2). Depois, tendo restado 3 metades, eles as
dividiriam ao meio e distribuiriam cinco metades de metades, ou seja 1/4 de pão
a cada pessoa (2o diagrama). Finalmente, o quarto de pão restante seria dividido
em 5 fatias, cabendo portanto mais 1/20 de pão a cada pessoa (3o diagrama).
Isso nos dá finalmente 4
5
= 1
2
+ 1
4
+ 1
20
, ou seja, a cada uma caberiaMr|||| r22
de pão.
Figura 2.2. Diagramas da partilha de 4 pães para 5 homens, segundo procedimento
eǵıpcio.
O resultado deste problema de partilha nos dá a decomposição da fração
4/5 em frações unitárias, a mesma que obteŕıamos se aplicássemos o algoritmo de
Sylvester. Mas a coincidência de resultados nem sempre ocorre. Podemos verificar
que, por exemplo, na partilha de 5 pães para 7 homens, segundo o método de
“divisão solidária” eǵıpcio, caberia a cada um 1
2
+ 1
6
+ 1
24
+ 1
168
, um resultado bem
desajeitado, que os eǵıpcios contornavam com o uso da fração 2/3 pois 5
7
= 2
3
+ 1
21
.
Se aplicarmos o algoritmo de Sylvester, obteremos a decomposição 5
7
= 1
2
+ 1
5
+
1
70
. Ainda temos a decomposição 5
7
= 1
2
+ 1
7
+ 1
14
, não prevista por nenhum dos
algoritmos.
A fim de acompanhar os antigos processos eǵıpcios com mais facilidade, va-
mos usar uma nova notação para frações unitárias. A fração 1
12
, por exemplo, será
representada por 12, e, em geral, 1
n
para n. A fração 2
3
será escrita por 3. Observe
que 42× 3 = 3 e que 3 dividido por 2 é igual a 3.
21
2.5 Números auxiliares vermelhos
Para os eǵıpcios a subtração se dava de forma diferente. Quando os escribas
queriam calcular 1 − (15 3 5) eles pensavam: “O que será necessário para
(15 3 5) completar 1 unidade”? Os problemas 21, 22 e 23 do Papiro Rhind
são dessa natureza. O escriba mostra como usar um número auxiliar vermelho
para lidar com várias frações, que equivale ao nosso mı́nimo denominador comum.
Esses números foram escritos em vermelho para torná-los imediatamente viśıveis,
por isso foram assim denominados. Vejamos o exemplo 2.3.
Exemplo 2.3 Como 15 5 3 completa 1
Escolhemos o 15 como o número auxiliar vermelho e procurando simplificar,
aplicamos:
15 de 15 é igual a 1,
5 de 15 é igual a 3,
3 de 15 é igual a 5.
Então, temos que (15 de 15) + (5 de 15) + (3 de 15) é 9. Como 15, o número
vermelho, supera 9 em 6 unidade, temos que calcular o número de partes de 15
que dá um total de 6, isto é, dividir 6 por 15:
1 15
3 10
/ 3 5
/ 15 1
soma 6.
A resposta é 15 3.
Portanto, (15 5 3) + (15 3) = 1. À primeira vista, este método é comple-
tamente ininteliǵıvel. Para sabermos o que realmente aconteceu, vamos resolver
este problema usando a nossa aritmética moderna. Afirmamos o problema como
completar a soma
1
15
+
1
5
+
1
3
para 1 unidade, podemos, então, alterar as frações
ao mesmo denominador:
1
15
+
1
5
+
1
3
=
1
15
+
3
15
+
5
15
=
9
15
22
Ainda precisamos de 6
15
. Como os eǵıpcios não tinham um śımbolo para 6
15
,
eles tinham que encontrar um conjunto de frações unitárias, cuja soma dá 6
15
. Ou
seja, eles dividiam 6 por 15.
Os problemas 21, 22 e 23 do Papiro Rhind serão resolvidos no caṕıtulo 3.
2.6 A tabela 2/n
Os escribas eǵıpcios dispunham de muitas tabelas, e usavam livremente os resul-
tados que já conheciam, por serem frequentemente utilizados em problemas. No
papiro Rhind encontramos uma tabela de decomposição de frações do tipo 2
n
em
frações unitárias, com n ı́mpar de 3 a 101. O equivalente a 2
5
é dado como 1
3
+ 1
15
; e
2
11
é escrito como 1
6
+ 1
66
. Sugeriu-se que alguns dos itens na tabela para 2/n eram
obtidos usando o equivalente da fórmula
2
n
=
1
(n + 1)/2
+
1
n(n + 1)/2
ou da fórmula
2
pq
=
1
p(p + q)/2
+
1
q(p + q)/2
tendo em vista que se n é ı́mpar, ou se p e q são ı́mpares distintos, teremos frações
unitárias distintas no segundo membro de ambas as igualdades.
Porém, nenhum desses processos fornece a combinação para 2/15 que apa-
rece na tabela. Recentemente foi sugerido que a escolha na maior parte dos ca-
sos era ditada pela preferência dos eǵıpcios pelas frações derivadas das frações
“naturais”1/2, 1/3 e 2/3 por sucessivas divisões ao meio.
Descrevemos a seguir o conteúdo da Tabela 2/n do papiro Rhind:
Tabela 2.1. Decomposições de 2/n em frações unitárias, do papiro Rhind.
2÷ 3 = 2 + 6 2÷ 53 = 30 + 318 + 795
2÷ 5 = 3 + 15 2÷ 55 = 30 + 330
2÷ 7 = 4 + 28 2÷ 57 = 38 + 144
2÷ 9 = 6 + 18 2÷ 59 = 36 + 236 + 531
2÷ 11 = 6 + 66 2÷ 61 = 40 + 244 + 488 + 610
23
2÷ 13 = 8 + 52 + 104 2÷ 63 = 42 + 126
2÷ 15 = 10 + 30 2÷ 65 = 39 + 195
2÷ 17 = 12 + 51 + 68 2÷ 67 = 40 + 335 + 536
2÷ 19 = 12 + 76 + 114 2÷ 69 = 46 + 138
2÷ 21 = 14 + 42 2÷ 71 = 40 + 568 + 710
2÷ 23 = 12 + 276 2÷ 73 = 60 + 219 + 292 + 365
2÷ 25 = 15 + 75 2÷ 75 = 50 + 150
2÷ 27 = 18 + 54 2÷ 77 = 44 + 308
2÷ 29 = 24 + 58 + 174 + 232 2÷ 79 = 60 + 237 + 316 + 790
2÷ 31 = 20 + 124 + 155 2÷ 81 = 54 + 162
2÷ 33 = 22 + 66 2÷ 83 = 60 + 332 + 415 + 498
2÷ 35 = 30 + 42 2÷ 85 = 51 + 255
2÷ 37 = 24 + 111 + 296 2÷ 87 = 58 + 174
2÷ 39 = 26 + 78 2÷ 89 = 60 + 356 + 534 + 890
2÷ 41 = 24 + 246 + 328 2÷ 91 = 70 + 130
2÷ 43 = 42 + 86 + 129 + 301 2÷ 93 = 62 + 186
2÷ 45 = 30 + 90 2÷ 95 = 60 + 380 + 570
2÷ 47 = 30 + 141 + 470 2÷ 97 = 56 + 679 + 776
2÷ 49 = 28 + 196 2÷ 99 = 66 + 198
2÷ 51 = 34 + 102 2÷ 101 = 101 + 202 + 303 + 606
Caṕıtulo 3
Problemas do Papiro Rhind
O papiro Rhind é nossa maior fonte de informação sobre a matemática eǵıpcia. O
papiro contém, de um lado, extensas tabelas para 2/n, com n ı́mpar de 3 a 101
e para n/10, com n de 1 a 9, que eram usadas como ajuda para os cálculos, e,
do outro lado, uma coleção de 87 problemas. Estudaremos a seguir os 23 primei-
ros problemas do papiro, que são aqueles que tratam da aritmética eǵıpcia. Os
outros 64 problemas tratam sobre geometria, equações elementares, matemática
recreativa, dentre outras aplicações matemáticas.
• Problemas 1 a 6 – Dividir 1, 2, 6, 7, 8 e 9 pães entre 10 homens.
Para resolver esse problema o escriba possúıa duas formas. A primeira era
realizando divisões simples e a outra era efetuando a decomposição do número de
pães. Realizaremos os dois métodos. Abaixo descrevemos as divisões simples, dos
problemas de divisões de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 pães, para 10 homens.
24
25
1÷ 10:
1 10
/ 10 / 1
10 1
3÷ 10:
1 10
/ 10 / 1
/ 5 / 2
5 10 3
5÷ 10:
1 10
/ 2 / 5
2 5
7÷ 10:
1 10
/ 3 / 6 3
/ 30 / 3
3 30 7
9÷ 10:
1 10
/ 3 / 6 3
/ 5 / 2
/ 30 / 3
3 5 30 9
2÷ 10:
1 10
10 1
/ 5 / 2
5 2
4÷ 10:
1 10
3 6 3
/ 3 / 3 3
/ 15 / 3
3 15 4
6÷ 10:
1 10
/ 2 / 5
/ 10 /1
2 10 6
8÷ 10:
1 10
/ 3 / 6 3
/ 10 / 1
/ 30 / 3
3 10 30 8
26
Depois de efetuadas as divisões simples de 1 a 10 pães entre 10 homens,
obtemos assim as respostas dos problemas 1 a 6 do papiro Rhind. Se dividirmos 1
pão entre 10 homens, cada homem receberá igualmente 10 de pão. Se dividirmos
2 pães entre 10 homens, cada um receberá igualmente 5 de pão. Se tivermos 6
pães divididos entre 10 homens, cada um receberá igualmente (2 10) de pão. Se
tivermos 7 pães divididos entre 10 homens, cada um receberá igualmente (3 30)
de pão. Com 8 pães divididos entre 10 homens, cada um receberá igualmente
(3 10 30) de pão. E com 9 pães divididos entre 10 homens, cada um receberá
igualmente (3 5 30) de pão.
Mas esse resultado poderia ter sido constrúıdo de outra forma. Considere a
divisão de 1, 2 e 5 por 10:
1÷ 10 = 10
2÷ 10 = 5
5÷ 10 = 2
A partir dessas entradas, o escriba poderia imediatamente obter 3÷10 a partir
de (1 + 2)÷ 10, adquirindo assim sua terceira entrada 5 10. De modo semelhante,
uma vez que 6 ÷ 10 é (1 + 5) ÷ 10, a sexta entrada é 2 10. O escriba poderia
também ter encontrado 6÷ 10 dobrando 3÷ 10, mas provavelmenteo rejeitou por
ser menos simples. No entanto, realizando a duplicação temos a decomposição em
frações unitárias:
2× (3÷ 10) = 2× (5 10)
= (2÷ 5) + (2÷ 10)
= (3 15) 5
onde 3 15 vem a partir da tabela 2/n. Assim, o escriba teria obtido a útil igualdade
3 5 15 = 2 10. A quarta entrada poderia vir de 1 + 3 ou de 2× 2, mas em cada
caso o escriba teria 5 5, o que não é aceitável, pois possuiria duas frações iguais.
Mas desde que dois quintos pode ser expresso como 2 ÷ 5, ele só tinha que olhar
na tabela 2/n para encontrar o quociente 3 15.
O escriba tinha dispońıveis várias alternativas de obtenção de quocientes de
7, 8 e 9. Assim, ele poderia ter encontrado 7÷ 10, considerando
(1 + 6)÷ 10 = 10 (2 10) = 2 5
(2 + 5)÷ 10 = 5 2
(3 + 4)÷ 10 = (5 10) (3 15) = 3 5 10 15
27
Mas o escriba não queria nenhum desses, pois agora ele poderia incluir a
sua importante fração 3, o que não era posśıvel para os dividendos anteriores. O
mesmo acontece para 8÷ 10:
(1 + 7)÷ 10 = 10 ? =?
(2 + 6)÷ 10 = 5 (2 10) = 2 5 10
(3 + 5)÷ 10 = (5 10) 2 = 2 5 10
(4 + 4)÷ 10 = (3 10) (3 10) = (3 3) (15 15)
= 3 10 30
O escriba escolheu para 8÷10 o último valor, provavelmente devido à presença
do 3. Falta agora a divisão de 7 e 9.
Nestes dois últimos poderia ter sido facilmente encontrados a partir 9÷10 =
(8 + 1) ÷ 10, adicionando 10 a (3 10 30) para dar 3 5 30. E a partir dai
7÷ 10 = (8− 1)÷ 10, subtraindo 10 de 3 10 30 para dar 3 30.
Portanto, obtemos assim a resposta do Problema 1. Assim, cada homem
receberá igualmente:
1÷ 10 = 10
2÷ 10 = 5
6÷ 10 = 2 10
7÷ 10 = 3 30
8÷ 10 = 3 10 30
9÷ 10 = 3 5 30
Podemos, também, retirar dessa solução a tabela n/10, com n entre 1 e 9 do
Papiro Rhind:
1÷ 10 = 10 6÷ 10 = 2 10
2÷ 10 = 5 7÷ 10 = 3 30
3÷ 10 = 5 10 8÷ 10 = 3 10 30
4÷ 10 = 3 15 9÷ 10 = 3 5 30
5÷ 10 = 2
28
• Problemas 7 a 20 – A multiplicação de (1 2 4) e (1 3 3) por diversos
multiplicadores que contêm frações unitárias.
Nestes 14 problemas, os números (1 2 4) e (1 3 3) são utilizados como mul-
tiplicadores para uma sucessão de multiplicandos que foram escolhidos de modo
a dar origem a certas igualdades suscept́ıveis de utilização nos problemas posteri-
ores do papiro. Podemos considerar também esses problemas como exemplos de
multiplicações simples de expressões fracionárias.
As seguintes multiplicações foram realizadas pelo escriba:
1 2 4 vezes 7 (Problema 11)
q 14 (Problema 12)
q 28 (Problema 14)
q 2 14 (Problema 9)
q 4 28 (Problema 7, 10)
q 16 112 (Problema 13)
q 32 224 (Problema 15)
1 3 3 vezes 2 (Problema 16)
q 3 (Problema 17)
q 4 (Problema 8)
q 6 (Problema 18)
q 12 (Problema 19)
q 24 (Problema 20)
Agora faremos as resoluções desses 14 problemas.
• Problema 7: (1 2 4)× (4 28).
Realizando a multiplicação simples, temos
/ 1 4 28
/ 2 8 56
/ 4 16 112
29
Assim,
(1 2 4)× (4 28) = 4 28 8 56 16 112
= 2 (3.1)
Para chegarmos a resposta (3.1) usamos o número auxiliar 112 e achamos
4 28 de 112 = 28 + 4
8 56 de 112 = 14 + 2
16 112 de 112 = 7 + 1
Somando as quantidades correspondentes obtemos 56. Logo, 56÷ 112 = 2.
• Problema 8: (1 3 3)× 4.
Realizando direto a multiplicação simples temos:
(1 3 3)× 4 = 4 6 12
= 2 (3.2)
O resultado (3.2) foi obtido a partir da utilização do número auxiliar 12 e
calculando:
4 de 12 = 3
6 de 12 = 2
12 de 12 = 1
Seguindo o mesmo procedimento do Problema 7, somando as quantidades
correspondentes obtemos 6. Então, calculando 6÷ 12 obtemos 2.
• Problema 9: (1 2 4)× (2 14).
Realizando a multiplicação,
1 2 14
2 4 28
4 8 56
30
Então,
(1 2 4)× (2 14) = 2 14 4 28 8 56
= 1 (3.3)
Tomando o número 56 como número auxiliar, obtém-se:
2 14 de 56 = 28 + 4
4 28 de 56 = 14 + 2
8 56 de 56 = 7 + 1
Chegamos no resultado (3.3) somando as quantidades correspondentes, isto
é, 28 + 4 + 14 + 2 + 7 + 1 = 56. Portanto, 56÷ 56 = 1
• Problema 10:
De acordo com [6] os problemas 7 e 10 são idênticos. Ambos tratam de:
(1 2 4)× (4 28) = 4 28 8 56 16 112
= 2
Já nos problemas 11 e 12 não há complicações. Ahmes utilizou simplesmente
a duplicação na multiplicação. Vejamos:
• Problema 11:
(1 2 4)× 7 = 7 14 28
= 4 (3.4)
• Problema 12:
(1 2 4)× 14 = 14 28 56
= 8 (3.5)
• Problema 13: (1 2 4)× (16 112)
31
Efetuando a multiplicação, temos
/ 1 16 112
/ 2 32 224
/ 4 64 448
Então,
(1 2 4)× (16 112) = 16 32 64 112 224 448
= 8 (3.6)
Para encontrarmos (3.6), tomemos o número 448 como o número auxiliar.
Assim,
16 112 de 448 = 28 + 4
32 224 de 448 = 14 + 2
64 448 de 448 = 7 + 1
Somando as quantidades correspondentes obtemos 56. Agora calculemos
56÷ 448 = 8, ou seja,
1 448
2 224
4 112
/ 8 56
• Problema 14:
(1 2 4)× 28 = 28 56 112
= 16 (3.7)
Para encontrarmos o resultado (3.7), tomemos como o número auxiliar o 112.
Então,
28 de 112 é 4
56 de 112 é 2
112 de 112 é 1
32
Somando as quantidades correspondentes obtemos 7. Logo, calculando 7 ÷
112 temos 16
• Problema 15: (1 2 4)× (32 224).
Realizando a multiplicação temos,
/ 1 32 224
/ 2 64 448
/ 4 128 896
Então,
(1 2 4)× (32 224) = 32 224 64 448 128 896
= 16 (3.8)
Para chegarmos ao resultado (3.8) usamos como o número auxiliar o 896 e
achamos
32 224 de 896 é 28 + 4
64 448 de 896 é 14 + 2
128 896 de 896 é 7 + 1
Somando as quantidades correspondentes obtemos 56. Agora calculemos
56÷ 896
1 896
2 448
4 224
8 112
/ 16 / 56
Assim, 56÷ 896 = 16.
• Problema 16:
(1 3 3)× 2 = 2 6 3
= 1 (3.9)
33
• Problema 17:
(1 3 3)× 3 = 3 2
9
9
= 3 (6 18) 9 (3.10)
= 3 (3.11)
Efetuada a multiplicação por 3, os eǵıpcios encontravam 2
9
num dos quocien-
tes. Mas, para continuar os cálculos eles procuravam na tabela 2/n a representação
de 2
9
como soma de frações unitária. Em (3.10) observamos essa subs tituição. E
para chegar ao resultado (3.11), os eǵıpcios tomavam como número auxiliar o 18.
Assim,
3 de 18 = 6
6 de 18 = 3
9 de 18 = 2
18 de 18 = 1
Somando as quantidades correspondentes obtemos 12. Assim, calculando
12÷ 18 teremos 3.
• Problema 18:
(1 3 3)× 6 = 6 9 18
= 3 (3.12)
• Problema 19:
(1 3 3)× 12 = 12 18 36
= 6 (3.13)
• Problema 20:
(1 3 3)× 24 = 24 36 72
= 12 (3.14)
34
• Problemas 21 a 23 – Exemplos de subtração 1 − (3 15), 1 − (3 30) e
3− (4 8 10 30 45).
Como visto anteriormente, a subtração eǵıpcia se dava através do método
dos números vermelhos.
No Problema 21 podemos transformar o enunciado 1 − (3 15) em “qual a
quantidade que falta a (3 15) para obtermos uma unidade”?
Ahmes toma o número 15 como o número vermelho. Procurando a simpli-
ficação, aplica-se:
3 de 15 é igual a 10
15 de 15 é igual a 1
Assim, temos que 3 de 15 mais 15 de 15 é 11. Como 15, o número vermelho,
supera 11 em quatro unidades temos que calcular o número de partes de 15 que
dá um total de 4, ou seja, dividir 4 por 15.
1 15
10 1 2
/ 5 3
/ 15 1
5 15 4
A quantidade que falta é 5 15.
No Problema 22, Ahmes aplicou o mesmo racioćınio. Procurou a quantidade
que falta a 3 30 para obter 1 unidade. Neste caso é tomado o número 30 como
número vermelho. Então, 3 30 de 30 é 21. Como 30 supera 21 em 9 unidades
devemos determinar o número de partes de 30 que dá um total de 9, isto é, devemos
dividir 9 por 30. Seguindo o procedimento habitual para a divisão obtém-se:
35
1 30
/ 10 3
/ 5 6
10 5 9
Portanto, 10 5 é a solução procurada.
Já no Problema 23 temos que encontar a quantidade que falta para (4 8 10 30 45)
obter 3.
Neste caso, Ahmes seleciona 45 como o número vermelho e aplica a mesma
teoria anterior:
4 de 45 é 11 + 4
8 de 45 é 5 + 2 + 8
10 de 45 é 4 + 2
30 de 45 é 1 + 2
45 de 45 é 1
3 de 45 é 30
Somando agora as quantidades correspondentes ao enunciado obtemos
(4 8 10 30 45) = 23 + 2 + 4 + 8, isto é, faltam 6 + 8 para chegar a 30 (o valor
correspondente a 3 com o número vermelho 45). Agora devemos descobrir quantas
partes de 45 são 6 + 8, que é a mesma coisa que dividir 6 + 8 por 45.1 45
10 4 + 2
20 2 + 4
/ 40 1 + 8
/ 9 5
40 9 6 + 8
36
Portanto, (4 8 10 30 45) + (9 40) = 3.
Terminamos assim a apresentação dos 23 primeiros problemas do Papiro
Rhind.
Embora os cálculos estejam diretos, imaginamos que o escriba não chegou
a essas conclusões tão facilmente, e possivelmente precisou de muitas operações
intermediárias que não são reproduzidas no papiro.
Conclusão
A História da Matemática contribui para a construção e evolução dos conceitos per-
mitindo aos alunos conhecerem os obstáculos enfrentados pelo homem na produção
e sistematização desse conhecimento, levando também ao professor uma melhor
compreensão e aceitação das dificuldades enfrentadas pelos alunos, ajudando as-
sim, a pensar em estratégias mais adequadas para favorecer a aprendizagem de
conceitos e procedimentos matemáticos.
Contudo, percebemos que apresentar o contexto histórico do antigo Egito
antes da iniciação do tema Frações possa a vir contribuir para que o aluno tenha
uma maior compreensão do tema. E elaborar atividades com frações eǵıpcias
contribuem para que os alunos desenvolvam habilidades de cálculo mental com
frações.
Conclúımos que a aritmética e as frações eǵıpcias são instigantes, curiosas e
ricas de significados.
A primeira vantagem que os alunos podem adquirir com o método eǵıpcio é
a posśıvel realização da multiplicação através da duplicação do multiplicando, sem
precisar recorrerem a tabuadas. O mesmo ocorre para a divisão, pode realizá-la
efetuando a duplicação do dividendo.
Constatamos também que na realização da divisão eǵıpcia há uma maior
praticidade, isto é, o modo como os eǵıpcios resolviam problemas de dividir um
certo número de pães por um certo número de pessoas é mais compreenśıvel para
os alunos. Além disso, o uso de frações unitárias permite uma maior facilidade na
comparação de quantidades.
De maneira geral, contextualizar o tema Frações do ponto de vista histórico,
além de auxiliar no aprendizado dos alunos, também possibilita ao professor o
enriquecimento e aprimoramento de seu repertório.
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