fundamentos_teoricos_do_pensamento_matematico

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Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-0159-0
Fundamentos Teóricos
do Pensamento Matemático
Fundamentos Teóricos
do Pensamento Matemático
Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho
Magna Natália Marin Pires
Marilda Trecenti Gomes
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Fundamentos Teóricos
do Pensamento Matemático
Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho
Magna Natália Marin Pires
Marilda Trecenti Gomes
2010
Mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). 
Especialista em Educação Matemática pela Universidade Estadual de 
Londrina (UEL). Licenciada em Matemática pela UEL.
Magna Natália Marin Pires
Mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). 
Especialista em Educação Matemática pela Universidade Estadual de 
Londrina (UEL). Graduada em Matemática pelo Centro de Estudos Supe-
riores de Londrina, em Química pela Fundação Faculdade Estadual de 
Filosofia, Ciências e Letras de Cornélio Procópio e em Ciências pela Univer-
sidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho.
Marilda Trecenti Gomes
Doutora em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista 
Júlio de Mesquita Filho. Mestre em Matemática pela Universidade Esta-
dual de Campinas (Unicamp). Bacharel em Matemática pela Unicamp.
Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho
Sumário
Resolução de problemas ....................................................... 15
O que é um problema? ............................................................................................................ 17
Etapas para resolução de problemas ................................................................................. 22
A construção do conceito de número .............................. 31
Classificação ................................................................................................................................ 31
Seriação......................................................................................................................................... 33
Correspondência – equivalência numérica ..................................................................... 34
Materiais que podem ser utilizados para as operações de 
 classificação e seriação ........................................................................................................... 36
Conhecimento lógico-matemático .................................... 45
Conhecimento físico ................................................................................................................ 45
Conhecimento social ............................................................................................................... 45
Conhecimento lógico-matemático ..................................................................................... 46
Abstração empírica e abstração reflexiva ......................................................................... 47
O jogo ............................................................................................................................................ 49
O desenvolvimento histórico do sistema de 
numeração decimal ................................................................. 55
A invenção da base ................................................................................................................... 57
Base 10 .......................................................................................................................................... 57
O aparecimento do zero ......................................................................................................... 60
Discussão de processos e desenvolvimento 
histórico de algoritmos de algumas 
operações fundamentais ....................................................... 69
Ideias das quatro operações fundamentais .................... 81
Ideias da adição ......................................................................................................................... 81
Ideias da subtração ................................................................................................................... 82
Método da compensação na subtração ........................................................................... 84
Processo curto da divisão ....................................................................................................... 84
Ideias da multiplicação ............................................................................................................ 86
Ideias da divisão ......................................................................................................................... 86
Compreensão dos números racionais: frações .............. 95
Operações com frações ........................................................................................................... 97
O conceito de frações aplicado a todos contínuos .....................................................100
O conceito de frações aplicado a todos discretos .......................................................101
Alguns obstáculos ...................................................................................................................102
Os decimais ..............................................................................109
Comparação entre decimais ...............................................................................................111
Operações com decimais .....................................................................................................112
A construção do pensamento geométrico ...................123
Alguns fatos históricos ..........................................................................................................123
Sentido das medidas .............................................................137
Grandezas mensuráveis e não-mensuráveis ................................................................140
As medidas nas primeiras séries do Ensino Fundamental........................................140
Área e perímetro ....................................................................149
O pensamento algébrico .....................................................159
Histórico ......................................................................................................................................159
Concepções da Álgebra ........................................................................................................160
A Álgebra nas séries iniciais do Ensino Fundamental ................................................162
Atividades que colaboram no desenvolvimento do pensamento algébrico ....163
Conceitos fundamentais da proporcionalidade .........175
Grandezas diretamente proporcionais ............................................................................177
Grandezas inversamente proporcionais .........................................................................178
A proporcionalidade nas séries iniciais ...........................................................................179
Introdução à Estatística ........................................................189
Avaliação em Matemática ...................................................201
Aprender sem medo: o relacionamento afetivo 
entre aquele que ensina e aquele que aprende .........217
O domínio afetivo ...................................................................................................................217
O significado do afeto............................................................................................................221
Desenvolver a dimensão afetiva ........................................................................................222
A linguagem matemática e os (des)encontros 
com a linguagem cotidiana ................................................229
O problema da agência de viagens – linguagem natural versus 
linguagem matemática .........................................................................................................230Os desencontros da linguagem matemática ................................................................232
Questões para refletir sobre a linguagem matemática .............................................234
Os problemas da solução:dificuldades 
com a metodologia da “resolução de problemas” ......243
Os desafios da metodologia da resolução de problemas ........................................243
Problemas com a metodologiada resolução de problemas ....................................244
Outras questões .......................................................................................................................248
Sugestões de problemas ......................................................................................................249
A Geometria Plana e a Geometria Espacial: 
o que vemos e o que vivemos ...........................................257
Os povos antigos já sabiam .................................................................................................257
Os problemas que encontramos hoje: 
dificuldades dos alunos e dos professores.....................................................................258
Possibilidades metodológicas e pedagógicas ..............................................................262
Por que (–1) x (–1) = 1?: 
operações com os números inteiros ...............................269
Números relativos ...................................................................................................................269
Por que (–1) x (–1) = 1? ..........................................................................................................272
Gabarito .....................................................................................283
Referências ................................................................................297
Apresentação
Caro Estudante
Essa obra aborda diversos conteúdos matemáticos que são trabalhados 
nas séries iniciais do Ensino Fundamental. A intenção das autoras é fazer uma 
reflexão, junto aos futuros professores destas séries, de forma a possibilitar a com-
preensão de conceitos e significados presentes nos referidos conteúdos. 
O livro é composto por vinte capítulos.
O primeiro capítulo intitulado Resolução de Problemas, discute uma estra-
tégia de ensino que é recomendado por currículos do mundo inteiro. 
O segundo capítulo, A Construção do Conceito de Número, apresenta as 
operações de classificação e seriação como fundamentais no processo de cons-
trução do conceito de número.
O terceiro capítulo, Conhecimento Lógico-Matemático, define conheci-
mento físico, conhecimento social e finalmente o conhecimento lógico-mate-
mático; aborda também a questão da abstração empírica e a abstração reflexiva, 
fatores importantes na construção de relações. 
O quarto capítulo, intitulado como O Desenvolvimento Histórico do Siste-
ma de Numeração Decimal, aborda o sistema de numeração que usamos fazendo 
um breve relato do seu desenvolvimento histórico. 
O quinto capítulo, Discussão de Processos e Desenvolvimento Histórico 
de Algoritmos de Algumas Operações Fundamentais, mostra algumas formas de 
somar e multiplicar utilizadas por povos da antiguidade. 
O sexto capítulo, Ideias das Quatro Operações Fundamentais, chama a 
atenção do professor para as diferentes ideias que cada operação pode assumir, 
fator importante na construção do conhecimento matemático.
 No sétimo capítulo, Compreensão dos Números Racionais: Frações, discu-
te o conceito de frações e procura justificar os procedimentos algorítmicos das 
operações realizadas com frações.
O oitavo capítulo, Os Decimais, apresenta o número com vírgula e aborda 
as operações fundamentais neste campo numérico. 
No nono capítulo A Construção do Pensamento Geométrico, são apresen-
tados alguns elementos históricos da Geometria, apresenta esse campo da Mate-
mática valorizando a exploração de objetos e ambientes naturais. 
O décimo capítulo, Sentido das Medidas, faz uma abordagem privilegiando o sig-
nificado de medir, apresenta algumas unidades básicas, associando-as com a utilização 
no dia-a-dia.
O décimo primeiro capítulo, intitulado Área e Perímetro, apresenta a diferença 
entre esses dois conceitos e explora a área de algumas figuras geométricas.
O décimo segundo capítulo, O Pensamento Algébrico, apresenta as várias fases 
do desenvolvimento da álgebra e sugere caminhos para a abordagem desse conteúdo 
desde as séries iniciais do Ensino Fundamental.
O décimo terceiro capítulo, Conceitos Fundamentais da Proporcionalidade, discu-
te várias estratégias de resolução que podem ser utilizadas para resolução de questões 
que envolvem esse conteúdo.
O décimo quarto capítulo, intitulado Introdução à Estatística, apresenta as fases 
do método estatístico assim como tabelas e gráficos, elementos essenciais na aborda-
gem desse assunto.
O décimo quinto capítulo, Avaliação em Matemática, procura fazer uma aborda-
gem construtiva da avaliação e discute vários instrumentos de avaliação.
Os cinco últimos capítulos discutem questões que, de algum modo, podem difi-
cultar o ensino-aprendizagem da Matemática. 
O décimo sexto capítulo Aprender sem Medo, discute o relacionamento afetivo 
entre aquele que ensina e aquele que aprende. O décimo sétimo capítulo, intitulado A 
Linguagem Matemática e os (Des)Encontros com a Linguagem Cotidiana, mostra como 
essas duas formas de comunicação podem ser interpretadas pelos alunos.
O décimo oitavo capítulo, Os problemas da Solução, apresenta algumas dificulda-
des com a metodologia de “resolução de problemas”.
O décimo nono capítulo, A Geometria Plana e a Geometria Espacial, apresenta pro-
blemas mais comuns encontrados por estudantes quando estudam esses conteúdos.
O vigésimo e último capítulo, Por que (-1) x (-1) =1? aborda operações com núme-
ros inteiros e discute algumas dificuldades encontradas para demonstrar alguns resulta-
dos nesse campo da matemática.
Ao tratar das questões descritas anteriormente, o objetivo é que você, futuro pro-
fessor, possa se embasar teoricamente para poder desenvolver a educação matemática 
na sala de aula.
As Autoras
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
[...] o verdadeiro prazer em estudar Matemática é o sentimento de alegria que vem da 
resolução de um problema – quanto mais difícil o problema, maior a satisfação.
Thomas Butts
Se pretendemos tornar a Matemática útil e prazerosa, acreditamos que 
a resolução de problemas, uma das tendências da educação matemática, 
é um excelente caminho para alcançarmos esse objetivo.
A resolução de problemas deve ser o ponto central de atenção do pro-
fessor de Matemática e os problemas devem ser o ponto-chave para o 
desenvolvimento dos conteúdos curriculares. Por meio dos problemas, os 
estudantes podem:
investigar e compreender os conteúdos matemáticos; �
desenvolver e aplicar estratégias para a resolução dos mesmos; �
relacionar a Matemática com situações cotidianas; �
ver a Matemática de forma atraente e desafiadora. �
Polya (1994) afirma que “a resolução de problemas foi a coluna verte-
bral da instrução matemática desde o Papiro de Rhind”.
Educadores matemáticos acreditam ser necessário que os alunos se 
tornem capazes de propor e resolver problemas, conhecer técnicas diver-
sas, compreender as implicações matemáticas de um problema, trabalhar 
em grupo para resolvê-lo, aplicar ideias matemáticas a problemas abertos, 
acreditar na importância da resolução de problemas para a real aprendiza-
gem da Matemática e na importância desta para a vida cotidiana.
Resolução de problemas
16
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Pretende-se que os alunos aprendam a valorizar a Matemática, sentindo-se 
seguros em fazer Matemática e em resolver problemas de todas as categorias. 
Que esses alunos possam comunicar-se por meio dessa ciência, aprender a ra-
ciocinar matematicamente, formular hipóteses e argumentar a validez de uma 
hipótese. 
Resolver problemas é a razão principalde se aprender e ensinar Matemática. 
É por meio dessa prática que se inicia o aluno no exercício de pensar matemati-
camente e nas aplicações da Matemática na Educação Básica. Resolver proble-
mas é o processo de reorganizar conceitos e habilidades, aplicando-os a uma 
nova situação, atendendo a um objetivo. Ao resolver problemas, o aluno desen-
volve determinadas estratégias que, em geral, se aplicam a um grande número 
de situações. Dante (1995, p. 84) salienta que:
aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior objetivo da instrução matemática. 
Certamente outros objetivos da Matemática devem ser procurados, mesmo para atingir o 
objetivo da competência em resolução de problemas. Desenvolver conceitos matemáticos, 
princípios e algoritmos através de um conhecimento significativo e habilidoso é importante. 
Mas o significado principal de aprender tais conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na 
construção das soluções das situações-problema.
Ensinar a resolver problemas requer que o professor coloque os alunos frente 
a diferentes situações. Ele deve encorajá-los a pensar por si mesmos, a levanta-
rem suas próprias hipóteses e a testá-las, a discutirem com seus colegas como e 
por que determinada estratégia resolve ou não o problema.
É importante, também, que o professor considere dois fatores que desempe-
nham papel fundamental na resolução de problemas: os conceitos e as habilida-
des da criança para encontrar a solução. Esses fatores são construídos de acordo 
com o repertório de problemas previamente resolvidos, daí a importância dos 
alunos resolverem uma variedade de problemas.
Ao propor essas questões, o professor deve estar atento aos problemas mate-
máticos que não têm como objetivo encontrar uma resposta numérica e, mesmo 
que se encontre essa resposta, é apenas um ponto intermediário nesse processo. 
Assim, é essencial uma interpretação ou uma análise da questão a ser resolvida.
Às vezes, um problema requer simplesmente que o aluno desenvolva um sis-
tema de organização dos dados de uma forma adequada ou que se traduza uma 
situação matemática em uma linguagem mecânica eficiente. Ou então o pro-
blema exige que se crie uma unidade de medida ou um instrumento de maior 
precisão do que os dados pelos modelos usuais de medida.
Resolução de problemas
17
O que é um problema?
Saviani (1999) coloca que uma questão por si só não caracteriza um proble-
ma, mesmo que sua resposta seja desconhecida. O que caracteriza um problema 
é aquela questão cuja resposta, além de não ser conhecida, deseja-se conhecer.
Em outras palavras, para que uma situação seja um problema, é necessário 
que o sujeito:
esteja ciente dessa situação; �
esteja interessado em resolver essa situação; �
não tenha elementos necessários para proceder diretamente. �
Para o professor realizar um trabalho coerente com a proposta da resolução 
de problemas, é necessário que conheça a classificação de questões matemáticas 
a seguir, segundo Butts (1980).
Exercícios de reconhecimento
Esse tipo de exercício verifica apenas se o estudante reconhece ou relembra 
um fato, uma definição ou um teorema.
Exemplos:
a) Assinale os desenhos que representam figuras planas.
1 2
3 4
 Resposta: 1, 4.
b) Circule os números pares:
95 – 160 – 12 – 355 – 1 002 – 501 – 2
 Resposta: 160, 12, 1 002, 2.
18
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Exercícios algorítmicos
Podem ser resolvidos com um algoritmo específico ou executando-se um 
procedimento passo a passo.
Exemplos:
a) Arme e efetue:
 32,7 + 1,34 =
 Resposta: 
32,7
34,04
+ 1,34
b) Resolva a seguinte equação do 1.º grau:
 y + 4 – 8y = 23 
 Resposta: 
–7 y = 23 – 4
–7 y = 19
y = 
7
19
y = – 
7
19
Problemas de aplicação
Nessa categoria, estão os tradicionais problemas de palavras cujas soluções 
requerem que o estudante:
faça a formulação simbólica do problema; �
manipule essa formulação com algoritmos ou outros procedimentos já �
conhecidos, para então obter a resposta.
Resolução de problemas
19
Exemplos:
a) Mamãe foi à feira e gastou R$4,00 com verduras e R$5,00 com frutas. Com 
quanto voltou para casa se saiu com R$10,00?
 Resposta: 
 Estratégia 1
 R$4,00 + R$5,00 = R$9,00
 R$10,00 – R$9,00 = R$1,00
 Estratégia 2
 Chamaremos de X a quantidade de dinheiro que sobrou
x + 5 + 4 = 10
x + 9 = 10
x = 10 – 9
x = 1
 Ela voltou para casa com R$1,00.
b) O dobro de um número somado a 7 é igual a 13. Qual é esse número?
 Resposta: 
 Chamaremos o tal número de x.
2 x + 7 = 13
2 x = 13 – 7
2 x = 6
x = 
2
6
x = 3
 O número é 3.
20
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Problemas em aberto
Um problema em aberto não contém, no enunciado, uma estratégia para sua 
resolução. Porém, apresenta muitas vantagens, como a abordagem de diversos 
conteúdos matemáticos num único problema.
Exemplos:
a) Numa sala, com bancos de dois lugares, a diretora da escola reuniu um 
grupo de estudantes. Pediu que se sentassem de dois em dois nos ban-
cos. Feito isso, sobraram 15 estudantes em pé. Para que ninguém ficas-
se em pé, a diretora pediu que os estudantes se sentassem de três em 
três nos bancos. Dessa forma, nenhum estudante ficou em pé, mas cinco 
bancos ficaram vazios. Finalmente, ela pediu que os meninos se sentas-
sem de dois em dois, ocupando a metade dos bancos, e que as meninas 
ocupassem a outra metade dos bancos, sentando-se de três em três. As-
sim, nenhum estudante ficou em pé e nenhum banco ficou vazio.
Quantos são os estudantes? Quantas são as meninas? Quantos são os 
meninos? Quantos são os bancos?
Resposta: 
Chamaremos de x o número de bancos e de y o número de estudantes.
2 x + 15 = y
2 . 30 + 15 = y
60 + 15 = y
y = 75 estudantes
2 x + 15 = y
3 x – 15 = y
2 x + 15 = 3 x – 15
15 = 3x – 2x – 15
15 + 15 = x
x = 30 bancos



 Tomemos H como meninos e M como meninas.
H = 
2
2 x
H = 
2
2 . 30
H = 
2
60
H = 30
M = 
2
3 x 
M = 
2
3 . 30
M = 
2
90
M = 45
 30 meninos e 45 meninas, total de 75 alunos e 30 bancos.
Resolução de problemas
21
b) O gavião chega a um pombal e diz:
– Adeus, minhas cem pombas!
– As pombas respondem em coro:
– Cem pombas não somos nós, com mais dois tantos de nós e com você, 
meu caro gavião, cem pássaros seremos então!
Quantas pombas estão no pombal?
Resposta: 
Estratégia 1
100 – 1 = 99 (subtraímos o gavião).
99 : 3 = 33 (dividimos por 3 porque são a quantidade de pombas mais 2 
tantos, ou seja, 3).
Estratégia 2
Chamaremos de x a quantidade de pombas que estamos procurando:
x + 2 x + 1 = 100
3 x = 100 – 1
3 x = 99
x = 
3
99
x = 33
Estão no pombal 33 pombas.
É importante ressaltar que a classificação dos problemas depende também 
do conhecimento do resolvedor. O problema das pombas, que foi apresentado 
anteriormente, pode ser classificado como problema de aplicação se o resolve-
dor encontrar a solução utizando uma equação do primeiro grau, por exemplo; 
porém, se o resolvedor utilizar outra estratégia, ele pode ser considerado como 
um problema em aberto.
22
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Situações-problema
Nessa categoria não estão os problemas em si, mas situações nas quais um 
dos passos principais é identificar o problema inerente para, num passo se-
guinte, resolvê-lo. Outro passo importante é testar se a solução encontrada é 
satisfatória. Caso não seja, o problema deve ser retomado e revisto, ou um novo 
problema deve ser identificado, e o processo deve ter continuação até que a 
solução ideal se apresente.
Exemplos:
a) Esboce um estacionamento.
b) Apresente a distribuição de alimentos para a merenda escolar de uma 
semana.
Nota-se que as questões das duas primeiras categorias (exercícios de 
reconhecimento e exercícios algorítmicos) exigem muito pouco dos alunos, não 
permitindo a exploração dos conhecimentos que eles trazem, nem o desenvol-
vimento de sua criatividade. Dessa maneira, devem ser exploradas com menor 
intensidade, podendo ser utilizadas nos casos em que o professor deseja saberse o aluno conhece fatos específicos do conteúdo. 
Os problemas das três últimas categorias (problemas de aplicação, problemas 
em aberto e situações-problema) permitem uma desenvoltura maior dos 
alunos, possibilitando ao professor uma visão mais abrangente do conhecimen-
to deles. 
As categorias problemas em aberto e situações-problema são as que mais pos-
sibilitam reflexões, discussões e, consequentemente, aprendizado significativo. 
O conjunto de problemas encontrado nos livros de Matemática não é suficien-
temente extenso, nem variado o bastante para dar ao aluno um conjunto adequa-
do de questões. O professor pode complementar esses problemas com outros 
inventados por ele mesmo ou retirados de livros paradidáticos ou periódicos 
da área. Assim, pode organizar seu próprio repertório, extenso e variado, com o 
objetivo de se preparar para o trabalho com problemas criativos e reais.
Etapas para resolução de problemas
Segundo Polya (1994), para se obter sucesso na resolução de problemas 
é necessário observar as seguintes etapas:
Resolução de problemas
23
1. compreender o problema;
2. elaborar um plano;
3. executar o plano;
4. fazer a verificação ou o retrospecto.
Em cada etapa, o professor pode fazer questionamentos ou considerações 
que ajudem os alunos na resolução dos problemas, conforme os exemplos a 
seguir.
Compreender o problema:
a) O que se pede no problema?
b) Quais são os dados e as condições do problema?
c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?
d) É possível estimar a resposta?
Elaborar um plano:
a) Qual é o seu plano para resolver o problema?
b) Que estratégia você tentará?
c) Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resol-
ver este?
d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos.
e) Tente resolver o problema por partes.
Executar o plano:
a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo.
b) Efetue todos os cálculos indicados no plano. 
c) Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resol-
ver o mesmo problema.
24
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Fazer retrospecto ou verificação:
a) Examine se a solução obtida está correta.
b) Existe outra maneira de resolver o problema proposto?
c) É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhan-
tes?
Desse modo, em uma aula de resolução de problemas, o professor deve fazer 
o papel de incentivador e moderador das ideias geradas pelos alunos. Agindo 
assim, os alunos participam ativamente, “fazendo Matemática”, e não passiva-
mente, “observando” a Matemática “ser feita” pelo professor.
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de 
descoberta na resolução de qualquer problema. Este pode ser modesto, mas se desafiar 
a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios 
meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade 
susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca 
na mente e no caráter. (POLYA, 1994, p. 48)
O professor deve apresentar aos alunos problemas desafiadores, reais e 
interessantes, que não sejam resolvidos diretamente por um ou mais algoritmos. 
É necessário, também, que seja dado um tempo razoável para que leiam e compre-
endam o problema, certificando-se de que foi entendido por todos. Infelizmente, 
uma das maiores dificuldades do aluno ao resolver um problema é o momento 
de leitura e compreensão do texto. 
Deve-se criar, entre os alunos, um clima de busca, exploração e descoberta, 
deixando claro que o mais importante para obter a resposta correta é pensar 
e trabalhar no problema durante o tempo necessário para resolvê-lo.
O professor precisa trabalhar no sentido de focalizar, enfatizar e valorizar a 
análise do problema, os procedimentos que podem levar à solução e à revisão 
da solução obtida, e não, simplesmente, enfatizar a resposta correta.
Acertar a resposta não é, necessariamente, o mais importante na resolução 
de problemas. É bom para o aluno saber o que fez e como fez, e por que sua ação 
foi apropriada ou não. Isso deve ser parte integrante da etapa de retrospecto e 
verificação da resolução. 
Primordialmente, deve-se incentivar os alunos a pensar. Assim, a função de 
orientador e facilitador da aprendizagem realizar-se-á mais facilmente, poden-
do-se perceber como pensam e encaminham a solução do problema, que es-
Resolução de problemas
25
tratégias tentam usar, que dificuldades precisam superar etc. O professor, dis-
cretamente, pode propiciar aos alunos “ideias brilhantes”, fazendo com que se 
lembrem de fatos e os utilizem adequadamente. É importante proporcionar ao 
aluno a satisfação de tê-las obtido. Alunos resolvedores de problemas se sentem 
seguros e, em geral, demonstram grande interesse pela Matemática.
Texto complementar 
Sobre a resolução de problemas
(BURIASCO, 1995, p. 1)
Uma das atuais grandes tendências da Educação Matemática é a resolu-
ção de problemas, assim chamada porque considera que o estudo da Ma-
temática é resolver problemas. Segundo ela, o ensino da Matemática deve 
ser desenvolvido sempre partindo de problemas. Examinemos o quadro 
abaixo:
Esquema de aula 
na tendência tradicional
Esquema de aula 
na tendência de resolução de problemas
O professor explica a matéria 
(teoria).
O professor apresenta um problema escolhido por 
ele ou pelo(s) aluno(s).
O professor mostra exemplos. Os alunos tentam resolver o problema com o conhe-cimento que possuem.
O professor propõe “exercícios” 
semelhantes aos exemplos dados 
para que os alunos resolvam.
Quando os alunos encontram algum obstáculo (falta 
de algum conteúdo necessário para a resolução do 
problema), o professor apresenta, de alguma forma, 
esse conteúdo.
O professor (ou um aluno) resolve 
no quadro-de-giz os exercícios.
Resolvido o problema, os alunos discutem sua so-
lução; se necessário, com a ajuda do professor. Essa 
discussão envolve todos os aspectos da resolução do 
problema, inclusive os do conteúdo necessário.
O professor propõe aos alunos 
outros “exercícios” já não tão se-
melhantes aos exemplos que ele 
resolveu.
O professor apresenta outro problema escolhido por 
ele ou pelo(s) aluno(s).
26
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Esquema de aula 
na tendência tradicional
Esquema de aula 
na tendência de resolução de problemas
O professor (ou um aluno) resolve 
os exercícios no quadro-de-giz.
O professor propõe “problemas”, 
se for o caso, ou mais “exercícios”.
Correção dos “problemas” e dos 
“exercícios”.
O professor começa outro assunto.
De acordo com essa tendência, o prazer em estudar Matemática é a ale-
gria de resolver um problema, de sorte que, quanto maior a dificuldade na 
resolução, maior a satisfação.
Na proposta de ensinar Matemática por meio da resolução de problemas, 
uma das questões mais importantes é como apresentar um problema, de 
modo que os alunos:
queiram resolvê-lo; �
compreendam e retenham o conteúdo envolvido na sua resolução. �
Se o estudo da Matemática é resolver problemas, então é incumbência 
do professor, nas aulas de Matemática, ensinar a arte de resolvê-los. 
Dicas de estudo
Ler o livro: Didática da Resolução de Problemas de Matemática
Autor: Luiz Roberto Dante.
Editora: Ática.
A obra explora um pouco sobre a teoria de Resolução de Problemas e depois 
apresenta uma coletânea de problemas interessantes que podem ser trabalha-
dos desde a pré-escola. 
Resolução de problemas
27
Atividades
1. Classifique os seguintes problemas segundo as categorias de Thomas Butts.
a) Quantas lajotas quadradas, de 30cm de lado, preciso para ladrilhar uma 
varanda de 10m de comprimento por 6m de largura?
b) Construa, em um material à parte, a maquete de um campo de futebol.
c) Utilizando medidas inteiras, encontre dez retângulos que tenham perí-
metro igual a 80cm.
d) O triângulo que possui um ângulo de 90º é chamado:
e) Quais são os valores de n para7n + 4 > 8?
2. Dez moedas estão dispostas formando um triângulo, como na figura I. Movi-
mentando apenas três moedas, obtenha a formação triangular da figura II.
Figura I Figura II
28
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
3. O número 30 pode ser expresso por 5 x 5 + 5. Agora, expresse:
a) o número 100, usando quatro vezes o algarismo 9;
b) o número 34, usando quatro vezes o algarismo 3;
c) o número 31, usando somente o algarismo 3, quantas vezes queira.
Resolução de problemas
29
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
Os números são frequentemente utilizados no nosso dia-a-dia. Mas, 
afinal, o que é número?
As concepções de número variam de acordo com as diferentes escolas 
matemáticas. Consideremos o conceito de número como resultado da sín-
tese da operação de classificação e da operação de seriação, um número 
é a classe formada por todos os conjuntos que têm a mesma proprieda-
de numérica e que ocupam um lugar numa série considerada também 
a partir da propriedade numérica. Assim, a classificação e a seriação se 
fundem no conceito de número.
Essa análise nos permite compreender o processo por meio do qual as 
crianças constroem este conceito tão importante – o de número. A com-
preensão desse processo pode garantir aos professores as decisões didá-
ticas a serem tomadas ao ensinarem seus alunos de acordo com as suas 
necessidades e características psicológicas.
Mas o que é a operação de classificação e a de seriação?
Classificação
A classificação é uma operação lógica, fundamental no desenvolvimen-
to do pensamento, de forma que sua importância não se refere apenas à 
sua relação com o conceito de número, pois intervém na construção de 
todos os conceitos que constituem a estrutura intelectual humana.
Classificar é “juntar” por semelhanças e “separar” por diferenças.
Podemos exemplificar uma operação de classificação quando dizemos 
“gosto de cães”, pois estamos juntando animais que apresentam certas 
A construção do conceito de número
32
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
qualidades, separando-os de outros que não as têm – como os gatos. Um outro 
exemplo pode ser “cidades paranaenses”. Nesse caso, estou “juntando” cidades 
que estão localizadas no estado do Paraná, e “separando” daquelas localizadas 
em outros estados.
Nos dois exemplos acima, estamos classificando a partir de um universo, e 
esse universo já implica um ato classificatório, porque difere de outros universos 
que não são, no caso, nem de cães, nem de cidades paranaenses. Nessa exem-
plificação, o termo “separar” ou “juntar” não é de forma efetiva ou visível, mas de 
forma interiorizada, pois não juntamos realmente, tampouco separamos.
Não realizamos o ato classificatório apenas de forma interiorizada, mas de 
forma efetiva, concreta, como quando separamos em uma estante livros e revis-
tas, ou alimentos nas prateleiras da geladeira, roupas nas gavetas.
A pertinência e a inclusão são dois outros tipos de relação que aparecem 
na classificação, além das semelhanças e diferenças. A pertinência é a relação 
estabelecida entre cada elemento e a classe da qual ele faz parte. A pertinên-
cia está fundamentada na semelhança. Dizemos que um elemento pertence a 
uma classe quando se parece com os demais elementos dessa mesma classe em 
função do critério de classificação adotado.
A inclusão é a relação que se estabelece entre cada subclasse e a classe da 
qual esta é uma parte, de tal forma que se pode verificar que a classe tem mais 
elementos que a subclasse. Na inclusão hierárquica, compreende-se que inclui 
“um” em “dois”, “dois” em “três” e assim por diante. Outro exemplo de inclusão é 
que rosas e jasmins incluem-se na classe de flores.
E qual a relação das operações de classificação e seriação e o conceito de 
número?
A classificação se fundamenta na qualidade dos objetos, ou seja, nas suas 
propriedades qualitativas. Adultos quando pensam no número sete, por exem-
plo, podem estar pensando em sete casas, sete pessoas, sete balas, ou seja, sete 
“qualquer coisa”, incluindo sete coisas que podem ser diferentes entre si, como 
um homem, uma mulher, um lápis, uma flor, uma mesa, uma régua e um gato.
Ao pensar em um número, estamos fazendo classificação, ou seja, estabelecen-
do semelhanças e diferenças e, nesse caso, separando todos os conjuntos que têm 
sete elementos dos conjuntos que não têm sete elementos. No caso do número, 
buscamos semelhança entre os conjuntos e não entre os elementos. Juntamos 
os conjuntos que são equivalentes em sua propriedade numérica. Assim, não im-
A construção do conceito de número
33
porta se há ou não semelhança qualitativa entre os elementos que constituem 
o conjunto, importando apenas a equivalência numérica entre os conjuntos que 
constituem a classe que estamos pensando – a dos infinitos conjuntos de sete ele-
mentos. A classe de todos os conjuntos de sete elementos constitui o número 7.
Seriação
Seriar é ordenar diferenças, estabelecer relações entre elementos que dife-
rem em certos aspectos.
A seriação, assim como a classificação, 
constitui aspecto importante do pensamento lógico.
Normalmente, seriam os sons de acordo com o timbre, ordenando-os do mais 
agudo ao mais grave; cédulas de valores diferentes, de menor valor para a que 
vale mais; veículos com diferentes datas de produção, do mais antigo ao mais 
moderno etc. Podemos fazer isso na ordem crescente ou decrescente.
A seriação tem como propriedades fundamentais a transitividade e a recipro-
cidade. Quando se estabelece uma relação entre um elemento de uma série e o 
seguinte e deste com o posterior, pode-se deduzir a relação entre o primeiro e o 
último elemento dessa série. Dizemos que essa é uma relação de transitividade. 
Exemplo: se um veículo A é mais antigo que B, e B é mais antigo que C, então A 
é mais antigo que C. A conclusão pode ser feita a partir das relações que estabe-
lecemos anteriormente.
Na propriedade de reciprocidade, cada elemento de uma série tem uma re-
lação tal com o elemento imediato que, ao inverter a ordem da comparação, tal 
relação também se inverte. Se A é um automóvel mais antigo do que o automó-
vel B, então B é um automóvel mais moderno que o A. As seriações, assim como 
as classificações, também podem ser realizadas de forma interiorizada. 
Ao seriarmos um número, o que estamos seriando? Estamos seriando classes 
de conjuntos, e não elementos ou conjuntos particulares, estabelecendo uma 
relação entre as classes de tal forma que, se ordenadas na ordem crescente, a 
classe do quatro estará antes da classe do cinco e esta antes da classe do seis, 
que por sua vez estará antes da classe do sete e assim por diante. Se ordenadas 
na ordem decrescente, a classe do sete estaria antes da classe do seis e esta, 
antes da classe do cinco etc.
34
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
O conceito de número se deriva das operações lógicas de classificação e 
seriação, não se reduzindo apenas a uma delas. O importante é que a fusão da 
classificação e da seriação se apresenta no caso do conceito de número. No en-
tanto, no terreno qualitativo, não se seria e se classifica ao mesmo tempo.
Segundo Piaget, (apud KAMII,1986) o número é uma construção mental. Ele 
é construído pela repetida adição de “1”, e com isso a adição já está incluída na 
construção numérica pela criança. A teoria do número, segundo o autor citado, 
é entendida no contexto epistemológico no qual ele trabalhou.
Piaget percebeu elementos verdadeiros e não-verdadeiros tanto na corren-
te dos racionalistas, como na corrente dos empiristas. Para a primeira corrente, 
a razão é mais poderosa do que a experiência sensorial; para os empiristas, o 
conhecimento tem sua fonte fora do indivíduo e é interiorizado por meio dos 
sentidos.
Em seus estudos, Piaget dava importância tanto à informação sensorial como à 
razão, mas recaiu sobre o racionalismo. Nas suas pesquisas com crianças, sentiu-se 
motivado a provar a inadequabilidade do empiricismo, apresentandoprovas 
de conservação nas crianças, (por exemplo, prova de conservação numérica). 
Piaget é contrário à teoria que diz que o conceito de número possa ser ensinado 
por transmissão social (para mais detalhes, ver KAMII, 1986).
Correspondência – equivalência numérica
A correspondência biunívoca ou termo a termo é a operação por meio da 
qual se estabelece uma relação um a um entre elementos de dois ou mais con-
juntos com a intenção de compará-los quantitativamente.
Segundo Duhalde e Cuberes (1998), é por meio da resolução de problemas 
do cotidiano que se constrói o aprendizado significativo da Matemática. É dessa 
forma que se constrói o conceito de número. A utilidade do número está ligada 
aos seus aspectos de cardinalidade e de ordinalidade:
a quantidade de elementos de uma coleção se refere à cardinalidade, na �
qual a ação de correspondência, sem a necessidade de contagem, coloca 
esse conjunto em correspondência a outro conjunto; 
o lugar que o número ocupa dentro de uma série ordenada se refere à �
ordinalidade, sendo necessária uma ordem que permite a contagem.
A construção do conceito de número
35
O desenvolvimento do conceito de número pode se dar por meio da ação 
de contar, que tem grande importância na educação matemática das crianças, 
sendo que, para concretizar o processo de contar, é indispensável recorrer à série 
numérica oral e à série numérica escrita. Muitas são as crianças que, em idade 
pré-escolar, contam até cem. No entanto, não descobriram que cem significa 
duas vezes cinquenta, um décimo de mil, dez vezes dez etc. As crianças, nessa 
fase, segundo as autoras citadas anteriormente, passam por três etapas:
na primeira, a criança se expressa de forma oral; �
a segunda etapa se refere aos aspectos algorítmicos da escrita – a criança �
descobre as regras da sucessão oral e escrita;
na terceira, as crianças começam a construir agrupamentos de dez, perce- �
bem as regras do sistema posicional de numeração e valor posicional.
As crianças, desde muito pequenas, por volta dos dois anos de idade, são 
capazes de contar até dois, três, ou pouco mais. No entanto, às vezes, quando 
prosseguem na contagem, é comum omitirem alguns números. As crianças 
variam nessa contagem de acordo com o meio socioeconômico e cultural no 
qual vivem. Certas crianças, ao contar até vinte e nove, dizem, para o próximo 
número, vinte e dez, e assim por diante. Se forem corrigidas, poderão continuar 
dizendo trinta e um, trinta e dois e sucessivamente, assim como usam dez e um, 
dez e dois, para os números onze e doze, respectivamente.
A criança que diz que quatro é maior que três pode estar fazendo uso da série 
oral, percebendo que o que vem depois é sempre maior que o anterior, podendo 
ser capaz de comparar conjuntos próximos. A série oral também permite separar 
uma quantidade da outra. 
Quando é solicitado que separem quatro dos oito objetos de um conjunto, 
as crianças, normalmente, contam todos e nem sempre conseguem cumprir a 
tarefa, uma vez que para isso precisariam deter-se à quantidade solicitada, assinar 
um nome da série a cada um dos objetos e reter o processo no momento em que 
alcança a quantidade solicitada.
Às vezes, ao solicitar a uma criança que conte um conjunto de elementos, 
é possível que ela conte um, dois, três, e assim por diante até o último. Porém, 
quando é perguntado quantos são os objetos, ela inicia a contagem novamente 
sem dizer que são seis, por exemplo, quantificando o conjunto solicitado. Nesse 
caso, designa cada objeto com o nome de um número, não se dando conta do 
princípio de cardinalidade.
36
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Pode-se dizer que uma criança conta corretamente quando estabelece a cor-
respondência um a um, mantém a ordem das palavras numéricas, conta cada 
objeto uma só vez sem omitir nenhum e considera que o último número men-
cionado representa a quantidade total de elementos do conjunto, independen-
do da ordem em que os elementos foram enumerados.
Materiais que podem ser utilizados 
para as operações de classificação e seriação
Usualmente crianças costumam colecionar pedrinhas, conchinhas, tam-
pinhas, etc. Muitas vezes elas, naturalmente, classificam e/ou seriam algumas 
dessas coleções.
Um dos materiais adequados para a operação de classificação são os chama-
dos Blocos Lógicos.
D
iv
ul
ga
çã
o:
 T
ro
lo
lo
.
Disponível em: <http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/montesso/BLOCOLOGICO.jpg>
Blocos lógicos
As peças que constituem o material conhecido como blocos lógicos são peças 
com 4 características:
cor, �
tamanho, �
espessura e �
forma geométrica. �
A construção do conceito de número
37
Os blocos lógicos têm peças nas cores: vermelha, amarela e azul. Elas ainda 
são de dois diferentes tamanhos: a grande e a pequena. Possuem duas espes-
suras, a grossa e a fina. Relativo às formas geométricas, o conjunto dos blocos 
lógicos possui peças nas formas: retangular, circular, triangular e retangular.
Os blocos lógicos são constituídos de peças com esses 4 atributos: 3 cores, 2 
espessuras, 2 tamanhos e 4 formas; têm num total 48 peças, pois combinados 
esses atributos podemos representar o número de peças por: 
3 x 2 x 2 x 4 = 48
As crianças aprendem melhor por meio de suas próprias ações e, assim, 
podem classificar as peças dos blocos lógicos quanto a sua cor, quanto a sua 
espessura, forma e tamanho. É comum observar crianças classificando, ou seja, 
juntando as peças que têm “cantos” e separando-as das peças circulares porque 
estas não têm “cantos”, isto é, daquelas que não têm vértices.
As crianças devem ser estimuladas por professores ou adultos a classificar 
outros objetos, uma vez que a operação de classificação, assim como a opera-
ção de seriação, proporciona papel fundamental na construção do pensamento 
lógico, portanto, na construção do conceito de número.
Outros objetos já citados também podem ser utilizados para proporcionar 
às crianças a condição de realizarem a operação de classificação, como: botões, 
pedrinhas, tampinhas etc. É importante solicitar às crianças que classifiquem 
objetos e depois que expliquem qual foi o critério que utilizaram para essa clas-
sificação. As crianças podem classificar um mesmo conjunto de objetos usando 
diferentes variáveis (atributos).
As conchas, botões, pedrinhas etc. podem ser utilizadas para realizar seria-
ção. Esses materiais podem ser ordenados na forma crescente ou decrescente 
de tamanho, aspereza, ou outra propriedade. Quando as crianças estão desen-
volvendo tais atividades, têm a possibilidade de construir conhecimento social, 
ao aprender o nome do tipo de rochas; físico, ao sentir a aspereza, peso etc; e 
conhecimento lógico-matemático, ao reconhecer sua cor, por exemplo.
O que professores não devem esquecer é que as crianças, ao ingressarem na 
escola, já construíram muitos conhecimentos, que devem ser levados em conta. 
A criança traz consigo conhecimentos informais e cabe à escola estabelecer re-
lação cognitiva com esses conhecimentos previamente construídos. É papel da 
38
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
escola contribuir para que a criança construa significados, faça generalizações, 
comparações, enfim, a escola deve ser um lugar onde a criança sinta prazer, pois 
lá ela tem a possibilidade de reinventar e descobrir.
Crianças iniciam a construção do conceito de número ainda quando bem 
pequenas, e na escola esse processo tem continuidade. As oportunidades de 
realizarem as operações de classificação e seriação ofertadas pelos professores 
proporcionam às crianças uma das grandes realizações que é a de contar quan-
tidades. Sempre se observa como é enorme a alegria das crianças quando estas 
aprendem a ler e escrever, e não é diferente quando aprendem a contar.
Acreditamos que os conhecimentos relativos à Matemática são para todos 
e que eles auxiliam nas relações feitas por aqueles que os construíram com os 
demais conhecimentos das demais áreas do conhecimento.
Textocomplementar 
Prova de conservação do número
Conservação do número é a habilidade de deduzir (por meio da razão) 
que a quantidade da coleção permaneça a mesma quando a aparência em-
pírica dos objetos muda1 (INHELDER; SINCLAIR; BOVET apud KAMII, 1986).
Método
Materiais1. 
20 fichas vermelhas
20 fichas azuis
Procedimento2. 
a) Igualdade
1 Pela descrição dada, as entrevistas podem parecer padroni zadas. Cada entrevista deve ser adaptada ao assunto em particular, especial-
mente com referência à compreensão dos termos usados em quantificação.
A construção do conceito de número
39
O pesquisador coloca uma fila de 8 fichas azuis (no mínimo 7)2 e pede 
à criança que ponha o mesmo número de fichas vermelhas, dizendo 
“ponha tantas fichas vermelhas quanto as azuis que coloquei (exata-
mente o mesmo número, nem mais nem menos)”.
A resposta da criança é registrada em seu relatório. Se necessário, co-
locam-se as fichas azuis e vermelhas na correspondência uma a uma e 
pergunta-se à criança se há igual número de fichas azuis e vermelhas.
b) Conservação
O pesquisador modifica a disposição diante dos olhos atentos da 
criança, espaçando as fichas de uma das filas ou pondo-as juntas, 
como mostra a figura:
Azul
Vermelho
As próximas perguntas são: “Há o mesmo número de fichas azuis e 
vermelhas, ou há mais aqui (azuis) do que aqui (vermelhas)? Como 
você sabe?”
c) Contra-argumentação
Se a criança deu a resposta certa então a pessoa diz: “Olhe como essa �
linha é comprida”. Outra criança disse “há mais fichas aqui porque essa 
fila é mais comprida”. Quem está certa, você ou a outra criança?
Se, por outro lado, a criança deu a resposta errada, a pessoa lembra �
da igualdade inicial: “Mas você não se lembra que pusemos antes as 
fichas azuis em frente de cada vermelha?” Outra criança disse que há o 
mesmo número de vermelhas e azuis agora. Quem você acha que está 
certa, você ou a outra criança?
2 Piaget se referiu a pequenos núme ros até 4 ou 5 como “números perceptuais”, porque números pequenos como “oo” e “ooo” podem facil-
mente ser diferenciados numa olhada. Contudo, quando são apresentados 7 objetos é impossível distinguir “ooooooo” só por percepção.
40
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Descobertas
No estágio I, a criança não consegue fazer um conjunto com o mesmo 1. 
número. É desnecessário dizer que ela também não consegue conser-
var a igualdade dos dois conjuntos. Algumas crianças puseram todas 
as fichas vermelhas linearmente como mostra a figura (a). Elas só pa-
raram de colocá-las porque as fichas acabaram. A figura (b) mostra a 
resposta melhor elaborada dentro do estágio I. As crianças que fazem 
isso não colocam o mesmo número, mas cuidadosamente usam as ex-
tremidades da fichas como um critério para decidir a igualdade das 
duas quantidades. Quando as crianças ainda não construíram as pri-
meiras estruturas mentais do número, usam o melhor critério no qual 
puderam pensar; no caso, as extremidades das duas filas.
a) azul
 vermelho
b) azul
 vermelho
extremidade extremidade
No estágio II, 4-5 anos de idade, a criança pode fazer um conjunto que 2. 
tem o mesmo número, mas não consegue conservar a igualdade.3 Quan-
do a pesquisadora lhe faz a pergunta sobre essa conservação ela diz, por 
exemplo: “Há mais vermelhas porque as azuis estão todas espremidas”.
No estágio III as crianças são “conservadoras”. Elas dão respostas corre-3. 
tas para todas as questões, não são influenciadas por contrassugestão 
e dão um ou mais dos seguintes argumentos para explicar por que 
acham que as duas filas têm a mesma quantidade:
3 As idades mencionadas são aproximadas. Variam com a estrutura cultural e educacional das crianças.
A construção do conceito de número
41
Há o mesmo número de fichas azuis e vermelhas que antes porque �
não tirou nenhuma ficha, elas estão apenas amontoadas (argumento-
-identidade).
Pudemos pôr todas as fichas vermelhas como estavam antes, assim �
não há nem mais azuis nem vermelhas (argumento-reversibilidade). 
Aqui as vermelhas formam uma fila mais comprida, mas há espaço en- �
tre elas; assim, dá no mesmo (argumento-compensação).
Conservação não é uma coisa que se consegue da noite para o dia e en- �
tre os estágios II e III há um estágio intermediário. Crianças nesse está-
gio dão a resposta correta a apenas uma das perguntas – quando se faz 
uma fila mais comprida e subsequentemente a outra mais comprida, ou 
eles hesitam e/ou continuam mudando de ideia (“há mais azuis..., não, 
mais vermelhas, ...há a mesma coisa...”). Mesmo quando estas crianças 
dão respostas certas, não conseguem justificá-las adequadamente.
Por que é difícil para a criança a “conservação” no estágio II e por que ela 
consegue isso mais tarde? Para responder a essa pergunta precisamos dis-
cutir a concepção de número de Piaget no contexto da distinção que ele fez 
entre três tipos de conhecimentos: físico, lógico-matemático e social (con-
vencional). Ele os classificou de acordo com suas fontes básicas e modos de 
estruturação. Número é um exemplo de conhecimento lógico-matemático. 
Discutiremos o aspecto lógico-matemático do número, primeiro comparan-
do com o conhecimento físico e depois com o social (convencional).
Conhecimento físico e lógico-matemático são os dois tipos principais de 
conhecimentos tidos por Piaget. Conhecimento físico é o conhecimento dos 
objetos na realidade externa. A cor e o peso de uma ficha são exemplos de 
propriedades físicas que fazem parte dos objetos e podem ser notadas pela 
observação. Saber que uma ficha cairá quando a jogamos no ar é também 
um exemplo de conhecimento físico.
Conhecimento lógico-matemático, por outro lado, consiste em relaciona-
mentos feitos pelo indivíduo. Por exemplo, quando nos mostram uma ficha 
vermelha e uma azul e notamos que são diferentes; essa diferença é um 
exemplo do fundamento do conhecimento lógico-matemático. Na verdade, 
podemos observar as fichas, mas a diferença entre elas não. A diferença é 
42
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
uma relação criada mentalmente pelo indivíduo que faz o relacionamento 
entre os dois objetos. A diferença não está na ficha vermelha ou na azul e se 
uma pessoa não puser os dois objetos dentro dessa relação, a diferença não 
existirá para ela.
Outros exemplos de relações que o indivíduo pode fazer entre as 
fichas: “semelhança”, “igualdade em peso” e “dois”. Tanto é certo dizer que 
as fichas são semelhantes como diferentes. A relação que um indivíduo 
faz depende dele. Sob um certo ponto de vista, as fichas são diferentes e, sob 
outro, são semelhantes. Se o indivíduo quiser comparar peso, pode dizer que 
as fichas são iguais (em peso). Se ele quiser ver os objetos numericamente 
dirá que são “dois”. Pode-se observar as duas fichas, mas não o “2”. Número é 
uma relação criada mentalmente pelo indivíduo4.
A criança segue adiante para construir o conhecimento lógico-matemáti-
co coordenando as simples relações que ela criou antes entre os objetos. Por 
exemplo, coordenando as relações “igual”, “diferente” e “mais”, a criança se torna 
capaz de deduzir que há mais fichas no mundo do que somente fichas verme-
lhas, da mesma forma que há mais animais do que vacas. Da mesma forma, 
coordenando a relação entre “2” e “2” ela deduz que 2 + 2 = 4 e 2 x 2 = 4. 
Piaget, assim, reconheceu fontes externas e internas de conhecimento. A 
fonte do conhecimento físico (assim como social) e “em parte”,5 externa ao 
indivíduo. A fonte de conhecimento lógico-matemático, ao contrário, é in-
terna. Essa afirmação será esclarecida pela discussão sobre dois tipos de abs-
tração através dos quais a criança constrói o conhecimento físico e lógico- 
-matemático.
4 Eu digo que “2” não é um bom número para ilustrar a natureza lógico-matemática do número. Piaget fez uma distinção entre números 
perceptuais e números. Números perceptuais são números pequenos, até 4 ou 5, que podem ser distinguidos por percepção, sem neces-
sitar da estrutura lógico-matemática.Até alguns pássaros podem ser treinados para distinguir entre “oo” e “ooo”. Con tudo, a distinção entre 
“ooooooo” e “oooooooo” é impossível por percepção. Números pequenos maiores do que 4 ou 5 são chamados números elementares. O tra-
balho de conservação descrito acima usa 7 ou 8 objetos e envolve número elementar. Embora “2” seja um número perceptual, também pode 
ser um número lógico-mate mático para um adulto que já construiu o sistema inteiro de nú meros lógico-matemáticos. Escolhi o número “2” 
nesse exemplo apesar do problema de números perceptuais porque, com 2 fichas, posso ilustrar outros relacionamentos simples, tais como 
“dife rente”, “igual” e “igual em peso”.
5 Meu motivo para dizer “em parte” se torna claro quando discuto os termos abstração empí rica e reflexiva.
Dicas de estudo
Ler o livro: A Criança e o Número.
Autora: Constance Kamii.
A construção do conceito de número
43
Editora: Papirus. 
A autora apresenta uma análise fundamentada na teoria de Piaget sobre as 
relações da criança com o número.
Atividades
1. Discuta como a classificação e a seriação se fundem no conceito de número. 
Registre as conclusões.
2. Quais são as propriedades fundamentais da seriação? Exemplifique cada 
uma usando o conjunto dos números naturais.
3. Qual a relação existente entre a cardinalidade e a ordinalidade dos números 
na construção do conceito de número? 
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
As crianças adquirem o conhecimento lógico-matemático por um pro-
cesso de construção, ação, de dentro para fora. Esse processo não se dá por 
internalização, de fora para dentro, e, segundo Piaget (apud KAMII,1995), 
não se dá por transmissão social. Piaget distingue três tipos de conhecimen-
tos para que se compreenda melhor o conhecimento lógico-matemático.
Conhecimento físico
Refere-se aos objetos do mundo exterior. As propriedades físicas de 
um objeto, como um botão: sua cor e seu peso são conhecimentos empí-
ricos, adquiridos por meio da observação. Saber que esse botão pode cair 
de suas mãos ao soltá-lo, também é um exemplo de conhecimento físico.
Kamii (1995) afirma que a fonte do conhecimento físico está apenas em 
parte nos objetos, porque, mesmo para ler uma cor de um objeto, faz-se 
necessária uma estrutura lógico-matemática. Para distinguir a cor verme-
lha num objeto, precisa-se de uma estrutura que faça pensar nas demais 
cores, e delas distinguir o vermelho.
Conhecimento social
Segundo Kamii e Declark (1986), o Natal, dia 25 de dezembro, é exem-
plo de um conhecimento social, pois é apenas uma das convenções esta-
belecidas socialmente. Uma cadeira chamar-se “cadeira” também é exem-
plo de conhecimento social.
A característica principal do conhecimento social, segundo o episte-
mólogo Jean Piaget, “é que sua natureza é preponderantemente arbitrá-
ria” (KAMII, 1995, p. 21). Arbitrário, porque alguns povos o comemoram, 
enquanto outros não. Portanto, não há qualquer relação de natureza física 
Conhecimento lógico-matemático
46
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
ou lógico-matemática entre o objeto e a sua denominação. Conhecimentos 
como estes são passados pela transmissão de uma pessoa para outra ou entre 
pessoas de diferentes gerações.
Para construir conhecimentos sobre o mundo físico, uma criança precisa de es-
trutura lógico-matemática, necessitando também dessa estrutura para adquirir co-
nhecimentos sociais. Não poderíamos pensar em Natal sem classificá-lo em relação 
aos demais dias do ano. Outro exemplo de construção social, citado por Kamii, é a 
distinção que as crianças fazem ao usar certas palavras, pois aprendem, pela trans-
missão social, que não são socialmente aceitas e, portanto, não devem usá-las.
Conhecimento lógico-matemático
Na concepção de Piaget, diferentemente dos outros conhecimentos, o conhe-
cimento lógico-matemático consiste em relações criadas pelo sujeito. Ele exem-
plifica esse conhecimento com a diferença constatada quando nos deparamos 
com duas contas, uma vermelha e outra azul. Essa diferença é criada mentalmente 
quando o indivíduo relaciona os objetos. A diferença não está na conta vermelha 
nem na azul. Ele percebe a diferença porque as coloca uma em relação à outra.
Pode-se dizer que essas duas contas são “parecidas”, se for levado em consi-
deração seu peso. Porém, também é possível dizer que são “diferentes”, se forem 
consideradas as cores das contas. Tanto é correto dizer que elas são parecidas 
quanto que são diferentes, dependendo das relações estabelecidas pelos sujei-
tos. Se o objetivo é numérico, observa-se que são “duas”, e número é uma relação 
criada mentalmente pelo indivíduo.
Para Piaget (apud GARDNER, 1994), todo conhecimento e, em particular, o 
conhecimento lógico-matemático, deriva das nossas ações sobre o mundo. A 
base para todas as formas lógico-matemáticas de inteligência depende inicial-
mente da manipulação de objetos. No entanto, essas ações também se realizam 
mentalmente e são internalizadas depois de algum tempo.
O objetivo das pesquisas de Jean Piaget (1896-1980), em Psicologia do Desen-
volvimento e Epistemologia Genética, segundo Brito e Garcia (2001), foi o de veri-
ficar o desenvolvimento do conhecimento. Piaget descreveu o desenvol vimento 
cognitivo em termos lógico-matemáticos, utilizando um método clínico e críti-
co. Observou, em situações experimentais e ambientes naturais, sujeitos desde 
a infância até a adolescência. Com seus estudos, Piaget percebeu que o conheci-
mento se desenvolve mediante uma construção progressiva das estruturas lógi-
Conhecimento lógico-matemático
47
cas, embora a lógica e a forma de pensar da criança e do adulto sejam diferentes. 
Todo seu estudo tem origem em pressupostos biológicos bem determinados, 
que se relacionam com os conceitos de adaptação, organização, formação de es-
trutura e a tendência de autorregulação dos seres vivos. O estudo não foi apenas 
uma analogia entre o desenvolvimento biológico e o desenvolvimento cogniti-
vo. Para Piaget, o desenvolvimento cognitivo se produz por meio da adaptação 
dos organismos ao meio. O autor utiliza o termo “invariantes” para os processos 
constantes encontrados durante o desenvolvimento, ou seja, para a adaptação 
e a organização. Devido à tendência biológica dos seres vivos à autorregulação, 
são desenvolvidos certos mecanismos adaptativos envolvendo novas organiza-
ções, que levam a uma mudança interna, além das novas interações com o am-
biente, chamadas de assimilação e acomodação.
A assimilação é o processo por meio do qual os esquemas internos são apli-
cados sobre o objeto. Esse objeto passa a ser conhecido pelo indivíduo somente 
quando for assimilado por um ou mais esquemas. A acomodação consiste na 
modificação dos esquemas internos como resultado de uma experiência ativa 
com os objetos, levando em conta qualidades particulares destes. Não apenas 
Piaget mas também outros teóricos da cognição alegam que entre o meio e as 
respostas do indivíduo existem estruturas que determinam os comportamentos 
deste. Esquemas, operações e estruturas são conceitos estabelecidos por Piaget 
seguindo essa mesma linha. São esses três elementos que, quando mudam, 
despregam-se e se reorganizam durante o desenvolvimento, dando origem às 
nossas possibilidades intelectuais.
Piaget descreveu a sequência das etapas pelas quais os seres humanos passam 
durante seu desenvolvimento cognitivo. Essas etapas seguem as mesmas sequên-
cias em todos os seres, embora não se deem necessariamente na mesma faixa etária. 
Uma nova forma de organização cognitiva, ou seja, nova estrutura, implica numa 
mudança de etapa e também maior equilíbrio – forma superior de adaptação.
Abstração empírica e abstração reflexiva
Abstração empírica
Para Piaget, a abstração de número é muito diferente da abstração de cor dos 
objetos, chamada por ele de abstração empírica ou simples. Para a abstração de 
número, usou o termo abstração reflexiva.
48
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Na abstraçãoempírica, a criança se concentra numa certa propriedade do 
objeto e ignora as demais. Ao centrar-se na cor, acaba deixando de lado peso, 
material do qual é feito etc.
Abstração reflexiva ou construtiva
A abstração reflexiva, diferentemente da abstração empírica, envolve a cons-
trução de uma relação entre objetos. Relações não têm uma existência na re-
alidade externa. A abstração reflexiva é uma construção verdadeira feita pela 
mente, e não uma concentração sobre um determinado objeto. No entanto, na 
realidade psicológica da criança, uma não existe sem a outra. A relação de “dife-
rente” não existe se a criança não observar diferentes propriedades nos objetos. 
O mesmo acontece com a relação “cinco”, que não poderia ser construída se a 
criança pensasse que objetos separados se comportam como gotas de água que 
juntas formam um todo novamente.
Como dito anteriormente, a construção do conhecimento físico só é possível 
porque a criança possui uma estrutura lógico-matemática que possibilita novas 
observações em relação ao conhecimento que ela já tem. Para uma criança re-
conhecer que um peixe é vermelho, ela precisa reconhecer e diferenciar o ver-
melho de outras cores e o peixe de outros objetos. Portanto, para que ela seja 
capaz de “ler” fatos da realidade externa, precisa de estrutura lógico-matemática 
construída pela abstração reflexiva ou construtiva. 
A abstração reflexiva não se manifesta independente da abstração empírica 
no período sensório-motor e pré-operacional. Mais tarde, isso se torna possível 
se ela construir o número por abstração reflexiva, podendo operar com números 
e fazer 3 + 3 e 3 x 2 também por abstração reflexiva. 
Os dois tipos de abstrações até agora apresentados podem parecer sem 
grande importância enquanto uma criança está aprendendo números pequenos 
e até dez. No entanto, quando ela aprende números como 999 e 1 000 quando já 
não dispõe desses números de objetos ou fotografias, a situação fica mais difícil. 
Assim, por meio de abstração reflexiva, a criança constrói relações, números são 
aprendidos, e então pode entender números bem maiores, apesar de não tê-los 
visto antes.
O ensino da Matemática, ao longo dos anos, vem priorizando os conheci-
mentos físicos e sociais, deixando um pouco de lado o conhecimento lógico- 
-matemático, cuja fonte é interna. Considera-se que para aprender numeração, 
Conhecimento lógico-matemático
49
basta observar quantidades e escrever os numerais correspondentes, repetidas 
vezes. O conhecimento lógico-matemático evolui quanto mais relações o indi-
víduo consegue coordenar. No caso do número, é necessária a coordenação das 
relações de ordenação mentalmente.
Por outro lado, as pesquisas mostram quanto conhecimento matemático que 
a criança traz para a escola acaba não sendo aproveitado, pelo professor, para 
fazê-la avançar. Muitas vezes, professores têm em sala alunos que trabalham 
vendendo balas ou frutas, acostumados a calcular, que esquecem sua experiên-
cia no momento de fazer exercícios mecânicos.
Por inexperiência, os adultos se esquecem de que a Matemática, como a lin-
guagem, são construções humanas de muitos anos. E é com um ambiente propí-
cio à reflexão que o aluno será capaz de tirar melhor proveito das aulas.
Para o conhecimento lógico-matemático, são grandes as vantagens do jogo 
em grupo, na sala de aula, tanto do industrializado como do produzido artesanal-
mente, e uma atividade lúdica e agradável normalmente sempre será bem-vinda 
para as crianças. Muitos professores concordam em utilizar o jogo, mas apenas 
para lazer, depois de terminados os chamados “trabalhos de aula”, esquecendo-
-se de seu lado educativo.
O jogo
Propicia diversificação na abordagem dos diferentes assuntos. Há vários �
jogos envolvendo números e as quatro operações matemáticas, possibili-
tando diversas maneiras de interagir com esses objetos do conhecimento.
Estimula o pensamento, uma vez que para participar não basta estar pre- �
sente, mas estar atento às situações que se renovam a cada momento. 
Embora a criança apresente um comportamento mais individualista, não 
deixa de ajudar os amigos, mesmo querendo chegar sempre em primeiro 
lugar, enquanto que as maiores procuram estratégias cada vez mais ela-
boradas para vencer.
Promove a socialização a partir das regras, mesmo as mais simples, desti- �
nadas a crianças com menos experiência. Durante o jogo acontecem dis-
cussões, debates, troca de ideias, confronto de opiniões, numa verdadeira 
situação de interação, e tomam-se decisões que colaboram para a cons-
trução do conhecimento.
50
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Permite avanços na construção do número, sempre que envolve quanti- �
dades variadas, contando-as, comparando-as, ordenando-as, estabele-
cendo correspondência, identificando suas formas de representação e 
fazendo operações.
Em alguns casos, obriga ao registro de pontos, permitindo que os alunos �
encontrem a melhor forma de elaborá-lo, demonstrando todo o conheci-
mento que possuem.
Texto complementar 
Os Blocos Lógicos
Os Blocos Lógicos, material pedagógico geralmente feito de madeira, é 
composto por 48 peças com as seguintes especificações: 
forma quadrada grande grossa vermelha
forma quadrada grande grossa amarela
forma quadrada grande grossa azul
forma quadrada grande fina vermelha
forma quadrada grande fina amarela
forma quadrada grande fina azul
forma quadrada pequena grossa vermelha
forma quadrada pequena grossa amarela
forma quadrada pequena grossa azul
forma quadrada pequena fina vermelha
forma quadrada pequena fina amarela
forma quadrada pequena fina azul
forma triangular grande grossa vermelha
forma triangular grande grossa amarela
forma triangular grande grossa azul
forma triangular grande fina vermelha
forma triangular grande fina amarela
forma triangular grande fina azul
forma retangular grande grossa vermelha
forma retangular grande grossa amarela
forma retangular grande grossa azul
forma retangular grande fina vermelha
forma retangular grande fina amarela
forma retangular grande fina azul
forma retangular pequena grossa verme-
lha
forma retangular pequena grossa amarela
forma retangular pequena grossa azul
forma retangular pequena fina vermelha
forma retangular pequena fina amarela
forma retangular pequena fina azul
forma circular grande grossa vermelha
forma circular grande grossa amarela
forma circular grande grossa azul
forma circular grande fina vermelha
forma circular grande fina amarela
forma circular grande fina azul
Conhecimento lógico-matemático
51
forma triangular pequena grossa vermelha
forma triangular pequena grossa amarela
forma triangular pequena grossa azul
forma triangular pequena fina vermelha
forma triangular pequena fina amarela
forma triangular pequena fina azul
forma circular pequena grossa vermelha
forma circular pequena grossa amarela
forma circular pequena grossa azul
forma circular pequena fina vermelha
forma circular pequena fina amarela
forma circular pequena fina azul
 
Dicas de estudo
Ler o livro: Blocos Lógicos.
Autora: Ursula Marianne Simons.
Editora: Vozes.
D
iv
ul
ga
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Vo
ze
s.
A autora apresenta muitos exercícios com os Blocos Lógicos que estimulam a 
verbalização e a argumentação lógica da criança. 
Atividades
1. Diferencie os três tipos de conhecimentos apresentados no texto, exemplifi-
cando cada um deles.
52
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
2. Em relação às peças lógicas, quantas são as formas? Quantas são as cores? 
Quantas são as espessuras? Quantos são os tamanhos? Isso auxilia na deter-
minação do número de peças?
Conhecimento lógico-matemático
53
Magna Natália Marin Pires 
Marilda Trecenti Gomes
Houve um tempo em que o homem não sabia contar e, ainda hoje, al-
gumas tribos indígenas contam com apenas dois nomes de números. Eles 
utilizam dois-um para expressar o três e dois-dois para expressar o quatro. 
Quando querem expressar muitos, apontam para sua cabeça como sinal 
de inúmeros, tal qual é onúmero de fios de cabelo da cabeça. A ideia de 
número não é concebida como abstração, e é, portanto, para eles bastante 
confusa. Tribos como essas não percebem que conjuntos de, por exemplo, 
cinco cavalos, cinco flechas, cinco peixes apresentam uma característica 
comum, que é “ser cinco”.
O homem de épocas remotas apenas percebia o espaço ocupado pelos 
seres e objetos vizinhos e, por isso, estabelecia diferença entre a unidade, 
o par e muitos. O um e o dois foram os primeiros conceitos numéricos 
concebidos pelo homem. Segundo Ifrah (1989), o um se referia ao homem 
ativo e sua obra de criação; o dois, ao feminino, ao masculino e também à 
simetria aparente do corpo humano. Outros significados eram atribuídos 
a esses dois números usados nas sociedades primitivas.
Inúmeras civilizações retratam, por meio de sua língua e escrita, as limi-
tações primitivas da contagem. O significado dos números um, dois e três 
quase sempre se referiam ao singular, a um par e a muitos, respectivamen-
te, como já mencionado anteriormente. 
Estudos do comportamento humano demonstram que, no desenvol-
vimento da criança, encontram-se essas etapas do desenvolvimento da 
inteligência da humanidade; portanto, a criança, inicialmente, também 
percebe apenas o um, o dois e a pluralidade.
Embora contar seja um atributo exclusivo do ser humano, pesquisas 
mostram que é possível notar o senso numérico de certos pássaros, como 
é o caso do corvo, o qual demonstra a percepção de até quatro objetos.
O desenvolvimento histórico do sistema 
de numeração decimal
56
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
Não é difícil constatar que, quando o homem se depara com uma quantidade 
de objetos, esta é rapidamente percebida se não ultrapassar três ou quatro itens. 
Quando ultrapassa, o homem precisa fazer a contagem, porque nossa visão 
global não distingue, num golpe de vista, quantidades maiores. Dependendo da 
posição que os objetos são colocados, podem-se perceber outras quantidades, 
mas nunca muito maiores do que quatro objetos.
Várias civilizações, ao representarem quantidades, faziam traços verticais, cír-
culos, pontos e outros sinais. Algumas delas juntavam para formar grupos de 
três unidades. No entanto, quando houve a influência dos cinco dedos da mão, 
os agrupamentos passaram a ser de 
cinco em cinco. Esses agrupamen-
tos eram de um traço vertical para o 
um, dois para o dois, três para o três, 
quatro para o quatro; e quatro traços 
verticais e um horizontal cortando-
os, para indicar cinco unidades. 
Para o dez, usavam dois grupos da 
representação utilizada para o cinco. Ifrah (1989) afirma que mais uma vez fica 
clara a ideia de que a percepção do homem não vai além do número quatro.
A correspondência termo a termo auxiliou na contagem. O princípio da cor-
respondência das pedrinhas para cada ovelha utilizadas pelos pastores, o rosário 
de contas para auxiliar as pessoas a fazerem as orações, os entalhes na madeira 
para os carneiros e nós na corda já eram demonstrações do emprego da corres-
pondência biunívoca.
Eram utilizadas, também, partes do corpo para expressar quantidades duran-
te a contagem, como dedo, pulso, cotovelo, ombro etc. Essas civilizações podem 
desconhecer um determinado número; no entanto, são capazes de representar 
a quantidade correspondente quando se deparam com situações que exigem 
essa prática.
Alguns indígenas conseguiram chegar a números relativamente elevados, 
mesmo sem o conhecimento deles, porque utilizavam a associação de partes 
do corpo e objetos concretos. Exemplo: peles de animais e partes do corpo que, 
numa combinação, expressavam números maiores.
O desenvolvimento histórico do sistema de numeração decimal
57
Nesses últimos exemplos, já não se estava mais utilizando correspondência 
termo a termo, prosseguindo assim um desenvolvimento na forma de contar e 
representar a contagem por meio de agrupamentos.
A invenção da base
Foi a partir da distinção entre o número cardinal e o número ordinal que o 
homem fez a abstração dos números. Contas, conchas, pedrinhas etc. deixaram 
de ser simples instrumentos materiais para serem símbolos numéricos. A seguir, 
o homem passou a conceber conjuntos mais extensos e, dessa forma, deparou-se 
com outras e novas dificuldades, pois para representar números maiores não era 
possível multiplicar indefinidamente pedras, nós nas cordas etc. Dedos e outras 
partes do corpo não eram suficientes para representar quantidades extensivas. 
Surge, então, a ideia de bases, uma forma fácil de representar os números.
Base 10
Muito diferentes dos pastores primitivos, os pastores da África Ocidental, não 
muito tempo atrás, contavam o rebanho colocando uma concha num fio de lã 
branca até o décimo animal do rebanho. Quando chegavam ao décimo, desman-
chavam esse colar de conchas e colocavam uma concha num fio de lã azul. Isso 
se relaciona com a ideia de dezena. Recomeçavam, a partir daí, a colocar uma 
concha para cada animal na lã branca novamente, até atingir o vigésimo animal. 
Quando isso acontecia, desfaziam esse colar e colocavam a segunda concha no 
fio de lã azul. Procediam assim até obter dez conchas no fio de lã azul. Então, des-
faziam esse colar e colocavam uma concha num fio de lã vermelha (centena). 
Dessa maneira, podemos perceber que a forma de raciocinar desses pastores 
era muito diferente da forma dos pastores primitivos. A ideia básica está na uti-
lização de agrupamentos por dezenas e centenas. Assim, cada concha colocada 
no fio de lã branca representava uma unidade, cada concha colocada no fio de 
lã azul representava dez unidades (dezena) e cada concha colocada no fio de lã 
vermelha representava cem unidades, o que equivale a dez dezenas, ou uma 
centena, técnica essa, hoje, chamada de emprego da base dez.
58
Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático
São várias as línguas que, para designar os números superiores a dez, utilizam-
-se da composição correspondente a dez-um, dez-dois, dez-três e assim suces-
sivamente, até o número dezenove. Para o vinte, utilizam dois-dez; para o trinta, 
três-dez, até chegar ao noventa. Para o número duzentos usam dois-cem etc.
Atualmente, utilizamos o sistema de numeração indo-arábico, de base dez. 
Os símbolos empregados por esse sistema são 1, 2, 3, 4, 5 ,6, 7, 8, 9 e 0. Os nove 
primeiros símbolos representam as unidades e o último a ideia de ausência. É 
por isso que dez é representado por 10, o que representa uma dezena e zero 
unidades.
Vejamos outros exemplos:
Quinze é representado por 15, um grupo de 10 (ou uma dezena) e mais �
cinco unidades.
Trinta e oito é representado por 38, três grupos de 10 (ou três dezenas) e �
mais oito unidades.
 3 dezenas = 10 + 10 + 10 = 30
 30 + 8 = 38
Noventa e nove é representado por 99, nove grupos de 10 (ou nove deze- �
nas) e mais nove unidades.
 9 dezenas = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 90
 90 + 9 = 99
Se acrescentarmos 1 à quantidade 99, temos que utilizar mais uma ordem: 100.
Cem é representado por 100, um grupo de grupo de 10 (ou uma cente- �
na).
Cento e quarenta e seis é representado por 146, um grupo de grupo de �
10 (ou uma centena), mais quatro grupos de 10 (ou quatro dezenas) e seis 
unidades.
 1 centena = 100
 4 dezenas = 10 + 10 + 10 + 10 = 40
 100 + 40 + 6 = 146
O desenvolvimento histórico do sistema de numeração decimal
59
Essa mesma ideia está presente quando utilizamos outras ordens.
Segundo Ifrah (1989, p. 59), “foram mesmo os dez dedos que impuseram ao 
homem a ideia de grupos por feixes de dez”. O autor afirma que, se a natureza 
tivesse feito o homem com seis dedos em cada mão, por certo a base utilizada 
hoje seria a base doze; ou se tivéssemos quatro dedos em cada mão, como é o 
caso das rãs, nosso sistema de numeração seria fundado na base oito.
Algumas civilizações tiveram sistemas de numeração fundados em outras 
bases, como é o caso do sistema sexagesimal dos babilônios; da base vintesimal 
dos ioruba, da Nigéria, de alguns povos da África Central e