Máquina de Atwood Polias - ISUTC

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Instituto Superior De Transportes E Comunicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento De Ciências Básicas 
 
 
 
Trabalho Laboratorial Nº 2 
 
 
 
 
 
 
“Máquina de Atwood” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Disciplina: Física I 
 Docente: Prof. Dr. Adriano H.E.R Sacate 
 Discente(s): Lauro Mota, Kelvin Ossmane, Fredrich Antonio. 
 Turma: C12 
 1º Ano 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maputo, Maio - 2015 
 
	 1	
1. INTRODUÇÃO E OBJECTIVOS 
A Máquina de Atwood foi inventada em 1784 por George Atwood. Normalmente é 
utilizada para demonstrações em laboratório das leis da dinâmica. 
A máquina consiste em dois corpos de massa !" e !# presos por uma corda que 
passa sobre uma roldana. 
Neste trabalho procura-se realizar experiencias com a máquina de atwood no 
laboratório de física do Instituto Superior De Transportes E Comunicações a fim de efetuar 
cálculos relativos à dinâmica de corpos e aplicar a teoria de erros. 
2. REVISÃO DA LITERATURA 
2.1 Dinâmica de Corpos - As Leis De Newton 
2.1 Primeira Lei de Newton – Inércia 
“Um objeto em repouso permanece em repouso a menos que seja atuado por uma 
força externa. Um objeto em movimento continua a viajar com velocidade constante em uma 
linha reta, a menos que seja atuado por uma força externa.” (Tipler & Mosca, 2012, tradução 
nossa) 
2.2 Referencial Inercial 
“Se não há forças que atuam sobre um objeto, qualquer quadro de referência para 
que a aceleração do objeto permanece zero, é um referencial inercial.” (Tipler & Mosca, 
2012, tradução nossa) 
 
 
 
	 2	
2.3 Combinando Forças 
“Se duas ou mais forças individuais simultaneamente agem 
sobre um objeto, o resultado é como se uma única força, igual à 
soma vectorial das forças individuais, atua no lugar das forças 
individuais. O vector soma das forças individuais que atuam em um 
objeto é chamado de força resultante $% no objecto.” (Tipler & 
Mosca, 2012, tradução nossa) 
 
A força resultante é dada por: 
$% = $" + $# + ⋯ 
Onde: $", $# … – são as forças individuais 
A unidade da força no Sistema Internacional (S.I) é o Newton (+). 
2.4 Massa 
“Objetos intrinsecamente resistem à aceleração, esta propriedade intrínseca é 
chamada a massa do objeto. Massa é uma medida de inércia de um objecto. Quanto maior a 
massa de um objecto, mais o objeto resiste a ser acelerado.” (Tipler & Mosca, 2012, 
tradução nossa) 
A unidade da massa no Sistema Internacional (S.I) é o Kilograma (,-). 
 
 
 
 
 
 
 
 
[1.0]	
Fig. 1 – Força resultante 
	 3	
2.5 Segunda Lei de Newton 
“A aceleração de um objecto é diretamente proporcional à força resultante atuando 
sobre ele, e o recíproco da massa do objecto é a constante de proporcionalidade.” (Tipler & 
Mosca, 2012, tradução nossa) 
Portanto: 
. =
$%
!
 
Onde: $% = $ 
 
Por outras palavras, a segunda Lei de Newton afirma que o somatório das forças é 
igual ao produto da massa pela aceleração. Logo, pode-se reescrever: 
$% = !. 
ou 
$ = !. 
 
 A força resultante de 1 Newton é igual a 1	,- de massa e uma aceleração de 1	!/2#, 
então: 
1	+ = 1	,-
!
2
#
= 1	,- ∙
!
2
#
 
 
“Para descrever quantitativamente massa, podemos aplicar forças idênticas às duas 
massas e comparar as suas acelerações. Se uma força de módulo F produz aceleração de um 
módulo ." quando aplicada a um objecto de massa !", e uma força idêntica produz uma 
aceleração de módulo .# quando aplicada a um objecto de massa !#” (Tipler & Mosca, 
2012, tradução nossa) 
[1.1]	
[1.2]	
[1.2]	
[1.3]	
	 4	
 
Com isto pode-se escrever: 
Seja: $" = $# 
!"." = !#.# ou 
45
46
=
76
75
 
 
2.6 Peso 
“O peso é uma força causada pela gravidade, pois o peso de um objecto é o módulo da 
força gravitacional sobre ele. Se a força gravitacional é a única força que atua sobre um 
objeto, o objeto é dito estar em queda livre. 
Portanto pode-se aplicar a segunda Lei de Newton a um objecto de massa ! que esteja 
em queda livre com aceleração - para obter uma expressão para a força gravitacional $8.” 
(Tipler & Mosca, 2012, tradução nossa) 
Logo, o peso ou força de gravidade sobre um objecto é dado por: 
$8 = !- 
Onde: - = 9,81	+/,- = 9,81	!/2# 
 
Sendo - o mesmo para todos os objectos, segue-se que a força gravitacional sobre um 
objecto é diretamente proporcional à sua massa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[1.4]	
[1.5]	
	 5	
 
2.7 Terceira Lei de Newton – Ação e Reação 
“Quando dois corpos interagem, a força $;< exercida pelo objecto B no objecto A é 
igual em módulo e é oposta em direção à força $<; exercida pelo objecto A no objecto em 
B.” (Tipler & Mosca, 2012, tradução nossa) 
Por outras palavras, a terceira Lei de Newton afirma que para toda ação existe uma 
igual e oposta reação, Logo: 
$;< = −$<; 
 
2.8 Máquina de Atwood 
A máquina de atwood (Fig. 2) é constituída por dois corpos de massas !" e !# presos 
por um fio que passa por uma roldana fixa, os corpos movem-se aceleradamente no sentido 
determinado pelo corpo de maior massa. 
 
 
Legenda: 
. – aceleração 
> – tensão 
!" – massa nº 1 
!# – massa nº 2 
?" – Peso ($8) nº 1 
?# – Peso ($8) nº 2 
 
 
[1.6]	
Fig. 2 – Uma representação da máquina de 
atwood usada durante a experiencia. 
	 6	
A máquina de atwood utilizada neste estudo tinha como características principais: 
• Uma roldana fixa com raio e massa desconhecido; 
• Uma corda que passa pela roldana de massa desconhecida e elasticidade 
desconhecida.; 
• Uma régua milimétrica (Fig. 4) fixa à máquina (0 − 100	A!); 
• Dois (2) pesos cilíndricos rectos (Fig.3), cada um com massa de 58,50-; 
• Para criar sobrecarga foram utilizadas pequenas chapas de alumínio cada uma 
possuindo uma massa de 1-, de modo a adicionar carga em um dos pesos, pois 
ambos possuiam a mesma massa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste estudo foi 
Fig. 3 – Cilindro recto 
Fig. 4 – Régua milimétrica (30 cm) 
	 7	
utilizado um modelo simplificado do sistema que consiste em considerar que: 
• A corda é de massa desprezível e inextensível; 
• A roldana é de massa desprezível; 
• Não há fricção entre os elementos e o ar, e não há fricção entre a corda e a 
roldana; 
• A momento de inércia da roldana é inexistente. 
Aplicação das Leis de Newton 
Uma das aplicações das Leis de Newton é resolver problemas relativos à máquina de 
atwood, tais como, calcular a aceleração dos corpos, a tensão na corda, etc. 
 
Para resolução de tais problemas será apresentado um método prático á seguir. 
 
Consideram-se dois objectos de massas !" e !# suspensos verticalmente por uma 
corda com uma tensão > e aceleração . que passa por uma roldana em uma máquina de 
atwood. 
Primeiro deve-se ter em conta que devido à maior massa de um dos corpos enquanto 
um move-se para cima, o outro move-se para baixo, e como os corpos estão suspensos por 
uma única corda o valor da aceleração dos corpos deve ser igual. 
“Os objectos em uma máquina de atwood estão sujeitos à força gravitacional tanto 
como as forças exercidas pelas próprias cordas, portanto este problema pode ser 
categorizado como um envolvendo duas partículas sob uma força resultante.” (Jewett & 
Serway, 2008, tradução nossa) 
O passo a seguir é desenhar as forças que atuam em cada corpo e depois aplicar a Lei 
de Newton para cada corpo . 
 Para o corpo 1: 
[1.7]	
	 8	
	 $C = > − $8 = !".C ⟹ $C = > −!"- = !".C 
 
 Para o corpo 2: 
$C = > − $8 = !#.C 	⟹ $C = > −!#- = !#.C	 
 
 A seguir adiciona-se a equação 1.7 na eq. 1.8, deste modo eliminando o >: 
−!"- +!#- = !".C + !#.C 
 
Seguidamente resolve-se a Eq. 1.9 de modo a encontrar a aceleração analítica: 
 
. =
!# −!"
!" +!#
- 
 
 Para calcular o valor da tensão (>), substitui-se a equação 2.0 na equação 1.7, logo: 
> = !" - + .C ⟹ > =
2!"!#
!" +!#
- 
Relacionando a altura (h) e o tempo (t) pode-se calcular a aceleração 
experimental através da expressão: 
 
. =
2ℎ
H#
 
Onde: ℎ - é a altura; t é o tempo 
 
 
2.9 Teoria de erros 
O ato de medir é, em essência, um ato de comparar,e essa comparação envolve erros 
de diversas origens (dos instrumentos, do operador, do processo de medida, etc.) 
[1.8]	
[1.9]	
[2.0] 
[2.1] 
[2.2] 
	 9	
Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se realizar apenas uma ou 
várias medidas repetidas, dependendo das condições experimentais particulares ou ainda da 
postura adotada frente ao experimento. Em cada caso, deve-se extrair do processo de 
medida um valor adotado como melhor na representação da grandeza e ainda um limite 
de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor real. 
2.9.1. Calculo de erro em uma medição direta (comprimento de um objecto) 
2.9.1.1 Valor mais provável 
Para calcular a margem de erro em uma medição direta aplica-se a seguinte fórmula: 
 
I =
J" + ⋯+ JK
L
 
onde:		M – é a média das medições ; N – é o valor obtido na medição; O – é o numero de 
medição. 
 
 
 
 
 
 
 
2.9.1.2 Desvio médio 
 O desvio médio é dado por: 
 
[2.3]	
[2.4]	
	 10	
∆JK = I − JK 
onde:		M – média das medições; ∆NO desvio médio; O – é o numero de medição. 
 
 Tomando em conta a Eq. 1.4 pode-se reescrever: 
 
∆I =
∆J" + ⋯+ ∆JK
L
 
2.9.1.3 Erro percentual 
 Tendo em conta as equações 1.4 e .1.6 pode-se definir o erro percentual como: 
 
QR =
.S − .7
.7
×100% 
Onde: QR – erro percentual; .S – aceleração experimental; .7– aceleração analítica. 
3. METODOLOGIA EXPERIMENTAL 
3.1 Tipologia de estudo 
Tratou-se de uma pesquisa laboratorial pois nesta factos são observados, registados, 
analisados, classificados e interpretados, sem interferência do pesquisador utilizando técnicas 
uniformizadas de coleta de dados (questionário e observação sistemática). 
3.2 Material Utilizado 
• Máquina de Atwood; 
• Cronómetro; 
• Régua Graduada (milimétrica); 
[2.6]	
[2.5]	
	 11	
• Pesos em forma de cilindro recto; 
• Chapas de alumínio. 
 
3.3 Procedimento experimental 
 A investigação foi realizada num ambiente laboratorial, no laboratório de física do 
Instituto Superior De Transportes E Comunicações. 
3.4 Recolha de dados 
1º – Adicionaram-se 4 chapas de alumínio a um dos corpos tendo ficado com a massa 
!# = 62,50	- e foi colocado na maior altura possível para a máquina (±72	A!) e o corpo 
com menor massa (!" = 58,50	-) colocado a altura da base da máquina (±0	A!), e deixava-
se cair o corpo a partir da maior altura até a base, medindo com um cronómetro o tempo 
levado, este processo foi repetido dez (10) vezes sem trocar as massas. 
2º – Adicionaram-se 4 chapas de alumínio a um dos corpos tendo ficado com a massa 
!# = 62,50	- e foi colocado na altura de ±	20	A! e o corpo com menor massa (!" =
58,50	-) colocado a altura da base da máquina (0	A!), e deixava-se cair o corpo da altura de 
±	20	A! até a base, medindo com um cronómetro o tempo levado, este processo foi repetido 
dez (10) vezes sem trocar as massas. 
3º – Adicionaram-se 4 chapas de alumínio a um dos corpos tendo ficado com a massa 
!# = 62,50	- e foi colocado na altura de ±	40	A! e o corpo com menor massa (!" =
58,50	-) colocado a altura da base da máquina (0	A!), e deixava-se cair o corpo da altura de 
±	40	A! até a base, medindo com um cronómetro o tempo levado, este processo foi repetido 
dez (10) vezes sem trocar as massas. 
4º – Adicionaram-se 4 chapas de alumínio a um dos corpos tendo ficado com a massa 
!# = 62,50	- e foi colocado na altura de ±	60	A! e o corpo com menor massa (!" =
	 12	
58,50	-) colocado a altura da base da máquina (0	A!), e deixava-se cair o corpo da altura de 
±	60	A! até a base, medindo com um cronómetro o tempo levado, este processo foi repetido 
dez (10) vezes sem trocar as massas. 
5º – Adicionaram-se 6 chapas de alumínio a um dos corpos tendo ficado com a massa 
!# = 64,50	- e foi colocado na altura de ±	72	A! e o corpo com menor massa (!" =
58,50	-) colocado a altura da base da máquina (0	A!), e deixava-se cair o corpo da altura de 
±	72	A! até a base, medindo com um cronómetro o tempo levado, este processo foi repetido 
dez (10) vezes sem trocar as massas. 
6º – Adicionaram-se 10 chapas de alumínio a um dos corpos tendo ficado com a 
massa !# = 68,50	- e foi colocado na altura de ±	72	A! e o corpo com menor massa (!" =
58,50	-) colocado a altura da base da máquina (0	A!), e deixava-se cair o corpo da altura de 
±	72	A! até a base, medindo com um cronómetro o tempo levado, este processo foi repetido 
dez (10) vezes sem trocar as massas. 
3.5 Analise e dados e conclusão 
Com os dados em mão (após a recolha) os foi realizada a interpretação dos mesmos 
com recurso a cálculos envolvendo a teoria de erros e a matéria relativa à dinâmica de corpos. 
 
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 13	
4. RESULTADOS 
 
 
Tabela 1 – Ensaio Nº, 1 Sobrecarga de 4 chapas de alumínio com altura h e tempo t 
 
Nº Altura (Z) [[\] Tempo (t) []] 
1 72 3,19 
2 71,8 3,34 
3 71,8 3,06 
4 71,8 3,03 
5 71,9 3,16 
6 71,7 3,00 
7 71,9 2,97 
8 71,9 3,00 
9 71,8 3,31 
10 71,8 3,09 
Média (M) 71,84 3,11 
Massas dos 
corpos: 
!" = 58,50-	^	!# = 62,50- 
 
 
 
* Resultados apresentados no Sistema CGS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 14	
Tabela 2 – Ensaio Nº 2, Sobrecarga de 4 chapas de alumínio com altura h e tempo t 
 
Nº Altura (Z) [[\] Tempo (t) []] 
1 20 1,84 
2 20,1 1,41 
3 20,2 1,82 
4 20,1 1,94 
5 20,3 1,94 
6 20,1 1,60 
7 20 1,44 
8 20 1,35 
9 20,3 1,47 
10 20,3 1,47 
Média (M) 20,14 1,62 
Massas dos 
corpos: 
!" = 58,50-	^	!# = 62,50- 
 
 
 
* Resultados apresentados no Sistema CGS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 15	
Tabela 3 – Ensaio Nº 3, Sobrecarga de 4 chapas de alumínio com altura h e tempo t 
 
Nº Altura (Z) [[\] Tempo (t) []] 
1 40 2,25 
2 40 2,81 
3 40,2 2,60 
4 40,3 2,41 
5 40 2,25 
6 40 2,44 
7 40,1 2,47 
8 40 2,57 
9 40,1 2,41 
10 40 2,59 
Média (M) 40,07 2,48 
Massas dos 
corpos: 
!" = 58,50-	^	!# = 62,50- 
 
 
 
 
* Resultados apresentados no Sistema CGS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 16	
 
Tabela 4 – Ensaio Nº 4, Sobrecarga de 4 chapas de alumínio com altura h e tempo t 
 
Nº Altura (Z) [[\] Tempo (t) []] 
1 60,1 3,10 
2 60,3 3,62 
3 60,2 3,00 
4 60,3 2,88 
5 60,4 2,87 
6 60,1 2,90 
7 60,2 3,00 
8 60,2 3,01 
9 60,3 2,97 
10 60,4 2,97 
Média (M) 60,25 3,03 
Massas dos 
corpos: 
!" = 58,50-	^	!# = 62,50- 
 
 
 
* Resultados apresentados no Sistema CGS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 17	
Tabela 5 – Ensaio Nº 5, Sobrecarga de 6 chapas de alumínio com altura h e tempo t 
 
Nº Altura (Z) [[\] Tempo (t) []] 
1 72 2,21 
2 71,7 2,40 
3 71,8 2,09 
4 71,9 2,10 
5 71,7 2,15 
6 71,8 2,22 
7 71,8 2,12 
8 71,8 2,16 
9 71,7 2,22 
10 71,5 2,16 
Média (M) 71,77 2,18 
Massas dos 
corpos: 
!" = 58,50-	^	!# = 64,50- 
 
 
 
 
* Resultados apresentados no Sistema CGS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 18	
Tabela 6 – Ensaio Nº 6, Sobrecarga de 10 chapas de alumínio com altura h e tempo t 
 
Nº Altura (Z) [[\] Tempo (t) []] 
1 71,8 1,71 
2 71,7 1,34 
3 71,9 1,29 
4 71,7 1,53 
5 71,8 1,44 
6 71,9 1,53 
7 71,8 1,44 
8 72 1,59 
9 71,9 1,46 
10 72 1,60 
Média (M) 71,85 1,49 
Massas dos 
corpos: 
!" = 58,50-	^	!# = 68,50- 
 
 
* Resultados apresentados no Sistema CGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 19	
Tabela 7 – Erro percentual e comparação entre aceleração experimental e analítica 
 
Nº Ensaio 1 2 3 4 5 6 
Média (M) da 
Aceleração 
Experimental 
(_`) [[\/]a) 
14,86 16,02 10,98 13,25 30,34 60,05 
Aceleração 
Analítica 
(__) [[\/]a) 
32,41 32,41 32,41 32,41 47,83 77,21 
Erro 
Percentual 
(cd): 
-54% -50% -66% -59% -36% -22% 
 
 
 
* Resultados apresentados no Sistema CGS 
 
 
 
 
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Ensaio Nº 1 Ensaio Nº 2 Ensaio Nº 3 Ensaio Nº 4 Ensaio Nº 5 Ensaio Nº 6
Grafico 1 - Comparacao entre as acelerações
Aceleração Experimental Aceleração Analítica 
	 20	
5. CONCLUSÕES 
Com o presente trabalho foi possível concluir que: 
• No primeiro ensaio obteve-secomo resultados uma aceleração experimental de 
14,86	A!/2# e uma aceleração analítica de 32,41	A!/2# com um erro percentual 
de −54%, este erro deve-se ao uso do modelo simplificado e não é considerado 
aceitável para tirar conclusões a partir deste (erro). 
• No segundo ensaio obteve-se como resultados uma aceleração experimental de 
16,02	A!/2# e uma aceleração analítica de 32,41	A!/2# com um erro percentual 
de −50%, este erro deve-se ao uso do modelo simplificado e não é considerado 
aceitável para tirar conclusões a partir deste (erro). 
• No terceiro ensaio obteve-se como resultados uma aceleração experimental de 
10,98	A!/2# e uma aceleração analítica de 32,41	A!/2# com um erro percentual 
de −66%, este erro deve-se ao uso do modelo simplificado e não é considerado 
aceitável para tirar conclusões a partir deste. 
• No quarto ensaio obteve-se como resultados uma aceleração experimental de 
13,25	A!/2# e uma aceleração analítica de 32,41	A!/2# com um erro percentual 
de −59%, este erro deve-se ao uso do modelo simplificado e não é considerado 
aceitável para tirar conclusões a partir deste. 
• No quinto ensaio obteve-se como resultados uma aceleração experimental de 
30,34	A!/2# e uma aceleração analítica de 32,41	A!/2# com um erro percentual 
de −36%, este erro deve-se ao uso do modelo simplificado e não é considerado 
aceitável para tirar conclusões a partir deste. 
 
	 21	
• No sexto ensaio obteve-se como resultados uma aceleração experimental de 
60,05	A!/2# e uma aceleração analítica de 77,21	A!/2# com um erro percentual 
de −22%, este erro deve-se ao uso do modelo simplificado e não é considerado 
aceitável para tirar conclusões a partir deste. 
 
Não se podem tirar conclusões quanto à validade das Leis de Newton devido ao 
grande erro percentual que pode ser sido causado por erros sistemáticos instrumentais ou 
erros sistemáticos pessoais. Com isto pode-se concluir que utilizando um modelo muito 
simplificado da máquina de atwood este expõe resultados que se diferem muito da realidade. 
Este trabalho foi muito importante para o nosso conhecimento destes temas, pois 
permitiu-nos ficar a compreender melhor este temas, além de ter nos permitido aperfeiçoar as 
nossas competências de investigação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 22	
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Tipler, Paul; MOSCA, Gene. (2012). Física Para Cientistas E Engenheiros: Com Física 
Moderna. 6ª Edição. E.U.A., W. H. Freeman and Company 
 
Jewett, John W. Jr.; Serway, Raymond A. (2008). Física Para Cientistas E Engenheiros. 7ª 
Edição. E.U.A., Cengage Learning Inc 
 
Walker, Jearl; Halliday, David; Resnick, Robert. (2014). Fundamentos De Física. 10ª Edição. 
E.U.A., John Wiley & Sons Inc 
 
Young, Hugh D.; Freedman, Roger A.; Ford, Lewis A. (2012). Sears and Zemansky’s Física 
de Universidade: Com Física Moderna. 13ª Edição. E.U.A., Pearson Education Inc 
 
Saíz, Oscar Cartraya, (?). Introdução ao laboratório de física, fundamentos da teoria de 
erros. (?). (?). 
 
Coletivo de aultores. Praticas de laboratório de física I 
 
Autor desconhecido. Consultado em Maio 23, 2015, 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_erros 
 
Cárdenas, Rolando. (?). Incertidumbre, Documento em suporte magnético. 
 
 
 
 
 
	 23	
7. APÊNDICE 
À seguir apresentam-se as tabelas preenchidas durante as experiencias.