EP11-C2-2020-2-Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice-Presidência de Educação Superior a Distância 
 
 
Cálculo II – EP11 (2020/2) Gabarito 
Volumes de Sólidos e Comprimento de curva 
 
 
 
 
 
 
A região R é mostrada na figura seguinte 
 
Figura 13.0 
Use o método dos discos circulares ou arruelas. Lembre que neste método o retângulo ou 
raio típico é sempre perpendicular ao eixo de revolução. 
a) Em torno do eixo Ox . 
 
 Figura 13.1 Figura 13.2 
 
Na Figura 13.1 mostramos a região e o eixo de rotação (eixo Ox ). Observe que podemos 
expressar a região dada como 
2{( , ) |1 2, 2}x y x x y∈ ≤ ≤ ≤ ≤R . Identificamos as funções 
raio maior ( )R x e o raio menor ( )r x , onde 2( )R x = , e ( ) xr x = onde 1 2x≤ ≤ . Na 
Figura 13.2 mostramos o esboço do sólido correspondente. 
O volume é dado pela fórmula 
2 2( ( ))[( ( )) ]
b
a
r x dxV R xπ −=  . Assim o volume é 
 
2
3 3 3
2 2
1
2
1
2 1
] ] ]
3 3 3
[ [4 [4(2) [4(1)2 ]
x
x dx xV π πππ

− = −

= − − −=  
Solução do exercício 1 
Cálculo II EP11 – Volumes de Sólidos e Comprimento de Curva – Gabarito 2020/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
P
á
g
in
a
2
 
8 1 16 11 5
] ]
3 3 3 3 3
[8 [4V
π π π
π π− = − =− −= unidades de volume. 
 
b) Em torno do eixo Oy . 
 
 Figura 13.3 Figura 13.4 
 
Desenhamos a Figura 13.3 mostrando a região e o eixo de rotação (eixo Oy ). Observe que 
podemos expressar a região dada como 
2{( , ) |1 2, 1 }x y y x y∈ ≤ ≤ ≤ ≤R . Identificamos as 
funções raio maior ( )R y e o raio menor ( )r y , onde ( ) yR y = , e 1( )r y = onde 
1 2y≤ ≤ . Na Figura 13.4 mostramos o esboço do sólido correspondente. 
O volume é dado pela fórmula 
2 2( ( ))[( ( )) ]
d
c
r y dyV R yπ −=  . Assim o volume é 
 
2
3 3 3
2 2
1
2
1
2 1 2 2 4
1 ) 2) 1)
3 3 3 3 3 3
[ ( ( (]
y
ydyV y π π π ππ ππ

− − = − − − = + =

==  
unidades de volume. 
 
c) Em torno da reta vertical 10 / 3x = . 
 
 Figura 13.5 Figura 13.6 
Desenhamos a Figura 13.5 mostrando a região e o eixo de rotação ( 10 / 3x = ). Observe que 
podemos expressar a região dada como 
2{( , ) |1 2, 1 }x y y x y∈ ≤ ≤ ≤ ≤R . Identificamos as 
funções raio maior ( )R y e o raio menor ( )r y , onde 
10 7
1
3 3
( )R y − == , e 
10
3
( ) yr y −= 
onde 1 2y≤ ≤ . Na Figura 13.6 mostramos o esboço do sólido correspondente. 
O volume é dado pela fórmula 
2 2( ( ))[( ( )) ]
d
c
r y dyV R yπ −=  . Assim o volume é 
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P
á
g
in
a
3
 
2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
7 10 49 10 20 49 100 20
) ( ) (( ) ) )
3 3 9 3 3 9 9 3
[( [ [] ] ]y y y y ydy dy dyV π π π− − − − + − + −= ==   
 
2
2 3
2 2
1
2 2
1 1
51 20 17 20 17 20
) )
9 3 3 3 3 3 2 3
[ [] ]
y y
y y y y ydy dyV ππ π
 
+ − + − + − 
 
− = − = −=   
34 40 8 17 10 1
( ) 2
3 3 3 3 3 3
V ππ + − + − + =−= unidades de volume. 
 
d) Em torno da reta horizontal 1y = . 
 
 Figura 13.7 Figura 13.8 
Na Figura 13.7 mostramos a região e o eixo de rotação ( 1y = ). Observe que podemos 
expressar a região dada como 
2{( , ) |1 2, 2}x y x x y∈ ≤ ≤ ≤ ≤R . Identificamos as funções 
raio maior ( )R x e o raio menor ( )r x , onde 2 1 1( )R x − == , e 1( ) = −r x x onde 
1 2x≤ ≤ . Na Figura 13.8 mostramos o esboço do sólido correspondente. 
O volume é dado pela fórmula 
2 2( ( ))[( ( )) ]
b
a
r x dxV R xπ −=  . Assim o volume é 
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
( 1) 1 ( 2 1) 2[( [ [1) ] ] ]π π π− − − − + − += ==   x x x x xdx dx dxV 
2
3 2
1
8 1 7 2
2 4 1 3
3 2 3 3 3 3
[
π
π ππ
    
− + = − + + − = − =       
=
x x
V unidades de volume. 
 
e) Em torno da reta horizontal 2y = . 
 
 Figura 13.9 Figura 13.10 
 
Na Figura 13.9 mostramos a região e o eixo de rotação ( 2y = ). Observe que podemos 
expressar a região dada como 
2{( , ) |1 2, 2}x y x x y∈ ≤ ≤ ≤ ≤R . Identificamos a função 
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P
á
g
in
a
4
 
raio ( )R x onde 2( ) xR x −= . Na Figura 13.10 mostramos o esboço do sólido 
correspondente. 
O volume é dado pela fórmula 
2
( )
b
a
dxV R xπ   =  . Assim o volume é 
2
2 3
2 2
1
2 2
1 1
)
2 3
4 42 4 4 (
x x
dx dx xV x x xπ π π

  +     

= = −= − − +  
2 3 2 32 2 1 1 8 1 7
) ( ) (8 8 4 2 ) ( 2)
2 3 2 3 3 3 3 3
4(2) 4 4(1) 4(V
π
π π ππ + − + = − + − + − = − =− −=
unidades de volume. 
 
 
Solução do exercício 2 
 
Use o método das cascas cilíndricas. Lembre que neste método o retângulo ou raio típico 
é sempre paralelo ao eixo de revolução. 
 
(a) 
 
 Figura 13.11 Figura 13.12 
 
 
Figura 13.13 
Desenhamos a Figura 13.11 mostrando a região. Observe que podemos expressar a região 
dada como 
2 2 3{( , ) | 0 1, 0 }x y x y x∈ ≤ ≤ ≤ ≤R . Neste caso utilizar o método das cascas 
cilíndricas resulta mais prático, lembre que o retângulo ou raio típico aqui é paralelo ao eixo de 
revolução que é o eixo y , assim a integração será feita em relação à variável x . Na Figura 13.12 
mostramos a região, o retângulo que vai gerar a casca típica e o eixo de rotação (eixo y ). 
Identificamos a função altura da casca típica ( )h x e o raio médio da casca típica ( )r x onde 
2/3( )h x x= e ( )r x x= para 10 x≤ ≤ . Note-se que 2 30 x≤ para 10 x≤ ≤ , assim 
Solução do exercício 2 
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P
á
g
in
a
5
 
0( )h x ≥ e ( ) 0xr ≥ nesse intervalo. Na Figura 13.13 mostramos o esboço do sólido 
correspondente. 
 
A fórmula a ser usada é ( )( )2
b
a
r h xx dxV π=  . Logo neste caso 
11 1 8/3
2 3 5 3
00 0
3
( ) )
8 3 4
2 2 2 (
x
x xx dy dxV
π
π π π

=

= ==   unidades de volume. 
 
(b) 
 
Figura 13.14 Figura 13.15 
O eixo de rotação é a reta vertical 2x = . Utilizaremos o método das cascas cilíndricas, lembre 
que o retângulo ou raio típico aqui é paralelo ao eixo de revolução que é a reta vertical 2x = 
assim a integração será feita em relação à variável x . Na Figura 13.14 mostramos a região R e 
um retângulo típico que gerará uma casca típica. O sólido de revolução é mostrado na Figura 
13.15. 
O volume é dado pela fórmula ( )( )2
b
a
r h xx dxV π=  . Identificamos a função altura da casca 
típica ( )h x e o raio médio da casca típica ( )r x onde 24( )h xx −= e ( ) 2r x x= − para 
22 x− ≤ ≤ . Note-se que 20 4 x≤ − e 2 0x− ≥ para 22 x− ≤ ≤ , assim 0( )h x ≥ e 
( ) 0xr ≥ nesse intervalo. 
 
2 2 3
2 2
2 2
)(4 ) (8 4 2 )(22 2x x x xx dx dxV π π
− −
− − − +− ==   
2
2 3 4
2
2 )
2 3 4
2 (8 4
x x x
V xπ
−

− + 

= −
 
2 3 4 2 3 42 2 2 ( 2) ( 2) ( 2)
2 ( 2 ) 2 ( 2 )
2 3 4 2 3 4
8(2) 4 8( 2) 4V π π
− − −
− + − − += − − − 
16 16 32 128
2 16 8 4 16 8 4) 2 32
3 3 3 3
V
π
π π
   
− + + + − − = − =      
= − unidades de 
volume. 
 
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á
g
in
a
6
 
 
(c) 
 
 
 Figura 13.16 
 
 
Figura 13.17 
O eixo de rotação é a reta vertical 2x = − . Utilizaremos o método das cascas cilíndricas, lembre 
que o retângulo ou raio típico aqui é paralelo ao eixo de revolução que é a reta vertical 2x = −
, assim neste caso a integração será feita em relação à variável x . Na Figura 13.16 mostramos 
a região R e um retângulo típico que gerará uma casca típica. O sólido de revolução é mostrado 
na Figura 13.17. 
O volume é dado pela fórmula ( )( )2
b
a
r h xx dxV π=  . Identificamos a função altura da casca 
típica ( )h x e o raio médio da casca típica ( )r x onde 
1 1
0( )h
x x
x − == e ( ) 2r x x= + para 
31 x≤ ≤ . Note-se que 
1
0
x
> e 2 0x+ ≥ para 31 x≤ ≤ , assim 0( )h x > e ( ) 0xr ≥ nesse 
intervalo.3
1
3 3
1 1
1 2
)( ) ( 1)(22 2 2 (2ln | | )
x x
x dx dxV x xπ π π+ + = == +  
�
0
2 (2ln3 3) 2 (2ln1 1) 4 (ln3) 1V π π π   = + − + = + unidades de volume. 
 
 
 
 
Solucao 
 
 
A região R é mostrada na Figura 13.18 
Solução do exercício 3 
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á
g
in
a
7
 
 
Figura 13.18 
 
(i) Usando o método dos discos circulares ou arruelas. Lembre que neste método 
o retângulo ou raio típico é sempre perpendicular ao eixo de revolução. 
 
a) Em torno do eixo coordenado x . 
 
Desenhamos a Figura 13.19 mostrando a região e o eixo de rotação (eixo x ). Identificamos as 
funções raio maior ( )R x e o raio menor ( )r x , onde 2( ) xR x += , e 1( )r x = para 
0 4x≤ ≤ . Note também que ( )0 ( ) R xr x << para 0 4x≤ ≤ . 
 
 
Figura 13.19 
O volume é dado pela fórmula 
2 2( ( ))[( ( )) ]
b
a
r x dxV R xπ −=  . Assim o volume é 
4
3 3
2 22 2
2 2
0
4 4
0 0
( ) 4 8(4) 124
2 (1) 4 4 1 4 3 12
2 3/ 2 2 3 3
[( [) ] ]
x x
x x x xdx dxV ππ ππ π
   
   + − + + − + + = + + =
   
      
= ==  
unidades de volume. (1) 
 
O gráfico do sólido é mostrado na Figura 13.20 
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P
á
g
in
a
8
 
 
 
Figura 13.20 
 
b) Em torno da reta horizontal 5y = . (Note que essa reta está acima da região dada) 
 
Desenhamos a Figura 13.21 mostrando a região e o eixo de rotação (a reta horizontal 5y = ). 
Identificamos as funções raio maior ( )R x e o raio menor ( )r x , onde ( ) 5 1 4R x = − = , e 
2 3( ) 5 x xr x − = −= − para 0 4x≤ ≤ . Note-se que ( )0 ( ) R xr x << para 0 4x≤ ≤
. 
 
Figura 13.21 
O volume é dado pela fórmula 
2 2( ( ))[( ( )) ]
b
a
r x dxV R xπ −=  . Assim, o volume é 
2 2
4
0
4 (3 )[( ) ]x dxV π − −=  
4
0
16 (9 6 )[ ]x x dxπ − − +=  
4
0
1/26[7 ]x dxxπ −+=  
4
0
3/2 2
7 6
3/ 2 2
x
x x
π
 
= + − 
 
 
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á
g
in
a
9
 
 
2
3/27(4) 4(4) 52
2
4
π π
 
= + − = 
 
 unidades de volume. (2) 
 
O gráfico do sólido é mostrado na Figura 13.22 
 
 
Figura 13.22 
 
 
 
c) Em torno do eixo coordenado y . 
 
Note-se que para aplicar o método dos discos ou anéis numa região que gira em torno do eixo 
y ou de um eixo vertical, precisamos expressar a região dada como 
2 contínuas em{( , ) \ , ( ) ( ), e [ , ]}x y c y d n y x m y m n c d∈ ≤ ≤ ≤ ≤R ou uma união 
de regiões dessa forma. 
 Neste exercício a região plana R pode ser expressa como a união das regiões 
 1
2 0 4}{( , ) \ 1 2,R x y y x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤R e 
2 2
2
2
4 4 contínuas{( , ) \ 2 4, ( 2) , ( 2) e em [2,4]}R x y y y x x y x= ∈ ≤ ≤ − ≤ ≤ = − =R 
 
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P
á
g
in
a
1
0
 
Na Figura 13.23 mostramos a região e o eixo de rotação (eixo y ). Identificamos a função raio 
( )R y da região 1R onde 4( )R y = para 1 2y≤ ≤ . Note-se que ( )0 R y< para 1 2y≤ ≤
. 
 
Figura 13.23 
 
O volume da região 1R é dado pela fórmula 
2
1) (( ( ))
d
c
dyV R R yπ=  . Assim o volume é 
[ ]21
2
1
) 4 2 1( 16 16( ) dyV R π ππ − ===  unidades de volume. 
 
 
Na Figura 13.24 mostramos a região e o eixo de rotação (eixo y ). Identificamos as funções raio 
maior ( )R y e o raio menor ( )r y , da região 2R onde 4( )R y = e 
22)( ) (yr y −= para 
2 4y≤ ≤ . Note-se que ( )0 ( ) R yr y <≤ para 2 4y≤ ≤ . 
 
 
Figura 13.24 
O volume da região 2R é dado pela fórmula 
2 2
2 ) ( ( ))[(( ( )) ]
d
c
r y dyV R R yπ −=  . Assim o 
volume é 
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P
á
g
in
a
1
1
 
2 2 2 4 4
2
4 4 4 4
2 2 2 2
) 4 (( 2) ) 16 ( 2) ( 2)[( [ 16( ) ] ]y y ydy dy dy dyV R π π π π− − − − −= = −=    
 
]
4
5
4
2
2
( 2)
5
16
y
y ππ
−
− 

= [ ]
5 5(4 2) (2 2)
4 2
5 5
16 ππ
 − −
− − 
 
−=
 
52 32 128
32 32
5 5 5
ππ π π π
   
= = =     
− − unidades de volume. 
Finalmente o volume do sólido R é 
128 208
5 5
16 π ππ =+ unidades de volume. (3) 
O gráfico do sólido é mostrado na Figura 13.25 
 
 
Figura 13.25 
 
 
d) Em torno da reta vertical 5x = . (Note que essa reta está à direita da região dada) 
Na Figura 13.26 mostramos a região e o eixo de rotação (a reta vertical 5x = ). Identificamos a 
função raio maior ( )R y e o raio menor ( )r y da região 1R onde 5( )R y = e 
4 1( ) 5r y − == para 1 2y≤ ≤ . Note-se que ( ) ( )0 r y R y< < para 1 2y≤ ≤ . 
 
Figura 13.26 
 
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P
á
g
in
a
1
2
 
O volume da região 1R é dado pela fórmula 
2 2
1) ( ( ))[(( ( )) ]
d
c
r y dyV R R yπ −=  . Assim o 
volume é 
[ ]2 21
2
1
) ( 5 (1) ) 25 1( 24( ) dyV R π ππ − − ===  unidades de volume. 
 
Desenhamos a Figura 13.27 mostrando a região e o eixo de rotação (a reta vertical 5x = ). Na 
região 2R . Identificamos as funções raio maior neste caso ( )R y e o raio menor ( )r y , onde 
22)( ) 5 (yR y −= − e 1( )r y = para 2 4y≤ ≤ . Note-se que ( )0 ( ) R yr y << para 
2 4y≤ ≤ . 
 
Figura 13.27 
O volume da região 2R é dado pela fórmula 
2 2
2 ) ( ( ))[(( ( )) ]
d
c
r y dyV R R yπ −=  . Assim, o 
volume é 
2 2 2
2
4
2
) (1)[(5 (( 2) ) ]dyV R yπ= −− − 
2 4
4
2
1[25 10( (2) 2) ]dyy yπ= + −− − −
 
�
2 4
2 32
5
4 4 4
2 2 2
24 10 ( (2) 2)dydy dyy y
π
πππ += − − −  
�������
 
Observe que a última integral da direita foi calculada no exercício 3 (i) (c). Logo 
 
 
4
3
2
2
( 2) 32 80 32 416
) 48 10 48
3 5 3 5 15
(
y
V R π π π π π ππ
−
− + = − + =

= 
unidades de volume. 
 
Finalmente 1 2
416 776
) ) ) 24
15 15
( ( (V R V R V R π π π= + = + = unidades de volume. (4) 
O gráfico do sólido é mostrado na Figura 13.28 
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P
á
g
in
a
1
3
 
 
Figura 13.28 
 
 
 
 
 
(ii) Usando o método das cascas cilíndricas. Lembre que neste método a casca 
típica é sempre paralela ao eixo de revolução. 
 
 
a) Em torno do eixo coordenado x 
 
Note que para aplicar o método das cascas cilíndricas numa região que gira em torno do eixo x 
ou de um eixo horizontal, é conveniente expressar a região dada como 
2 contínuas em{( , ) \ , ( ) ( ), e [ , ]}x y c y d n y x m y m n c d∈ ≤ ≤ ≤ ≤R ou uma união 
de regiões dessa forma. 
 
Neste exercício a região plana R pode ser expressa como a união das regiões 
 1
2 0 4}{( , ) \ 1 2,R x y y x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤R e 
2 2
2
2
4 4 contínuas{( , ) \ 2 4, ( 2) , ( 2) e em [2,4]}R x y y y x x y x= ∈ ≤ ≤ − ≤ ≤ = − =R 
 
 
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P
á
g
in
a
1
4
 
Desenhamos a Figura 13.29 mostrando a região 1R e o eixo de rotação (o eixo x ). Identificamos 
na região 1R a função altura da casca típica ( )h y e o raio médio da casca típica ( )r y onde 
4( )h y = e ( )r y y= para 1 2y≤ ≤ . Note-se que 0( )h y > e ( ) 0r y > . 
 
 
 
Figura 13.29 
 
O volume é dado pela fórmula ( )2 ( )
d
c
yr dyV h yπ=  . Assim, o volume é 
 
2
2
1
1
2
1
4 12
2
) 8( 2
y
y dyV R πππ

=

==  unidades de volume. 
 
 
Desenhamos a Figura 13.30 mostrando a região R e o eixo de rotação (o eixo x ). Identificamos 
na região 2R a função altura da casca típica ( )h y e o raio médio da casca típica ( )r y onde 
24 ( 2)( ) yh y − −= e ( )r y y= para 2 4y≤ ≤ . Note-se que 0( )h y ≥ e ( ) 0r y > .Figura 13.30 
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P
á
g
in
a
1
5
 
O volume é dado pela fórmula ( )2 ( )
d
c
yr dyV h yπ=  . Assim, o volume é 
2 2
2
4 4 4
2 2 2
4 ( ( 2)) 2) 4( 2 2 2y y yy dy ydy dyV R π π π − − − = −=    
2
2
4 4
2 2
4 4)( 8 2 y y yydy dyV R π π  − + −=   
4 4
2 4 3 2
3 2
2 2
4
2
4 4 4 4
2 4 3 2
48 28 2
y y y y
y y y dy π ππ π
  
 − − + − +   
  
= = − 
4 3 2 4 3 24 4 4 2 2 2 28 56 88
48 2 4 4 4 4 48
4 3 2 4 3 2 3 3 3
48 2
π
π π π ππ π
   
= − − + − + − = = − =     
−
unidades de volume. 
Finalmente 1 2
88 124
) ) ) 12
3 3
( ( (V R V R V R π π π= + = + = unidades de volume. (5) 
 
Observe que a resposta obtida neste exercício coincide com a resposta do exercício 3( i)(a), pois 
o sólido gerado é o mesmo apenas usamos métodos diferentes para calcular o volume do 
mesmo sólido. Observe que o gráfico do sólido é da Figura 13.20. 
 
b) Em torno da reta horizontal 5y = . (Note-se que essa reta está acima da região 
dada) 
Neste exercício a região plana R pode ser expressa como a união das regiões 
 1
2 0 4}{( , ) \ 1 2,R x y y x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤R e 
2 2
2
2
4 4 contínuas{( , ) \ 2 4, ( 2) , ( 2) e em [2,4]}R x y y y x x y x= ∈ ≤ ≤ − ≤ ≤ = − =R 
 
Desenhamos a Figura 13.31 mostrando a região 1R e o eixo de rotação ( 5y = ). Identificamos 
na região 1R a função altura da casca típica ( )h y e o raio médio da casca típica ( )r y onde 
4( )h y = e ( ) 5r y y= − para 1 2y≤ ≤ . Note-se que 0( )h y > e ( ) 0r y > . 
 
 
Figura 13.31 
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P
á
g
in
a
1
6
 
O volume é dado pela fórmula ( )2 ( )
d
c
yr dyV h yπ=  . Assim, o volume é 
2
2
1
1
2
1
1
(5 (5 ) 8 10 2 5 28
2 2
) ) 8( 2 4
y
yy dyV R π πππ
  
− − = − − + =   
==  unidades de 
volume. 
Desenhamos a Figura 13.32 mostrando a região R e o eixo de rotação ( 5).y = Identificamos 
na região 2R a função altura da casca típica ( )h y e o raio médio da casca típica ( )r y onde 
24 ( 2)( ) yh y − −= e ( ) 5r y y= − para 2 4y≤ ≤ . Note-se que 0( )h y ≥ e ( ) 0r y > . 
 
Figura 13.32 
 
O volume é dado pela fórmula ( )2 ( )
d
c
yr dyV h yπ=  . Assim, o volume é 
2 2
2
4 4 4
2 2 2
(5 ) 4 ( (5 )() 2) (5 )4 2)( 2 2 2y yy dy y dy y dyV R π π π − − − − − = − −=    
2 2
2
32 80 56
3 3
4 4 4
2 2 2
10 ( 2 () (5 ) 2) 2)( 8 dy yy dy y y dyV R
π
π π
π ππ − +− − −=   
������� ��������� ���������
 
Veja os detalhes no exercício 3(ii) (a). Logo 
2
80 56
24
3 3
)( 32V R π π ππ + == − . 
Finalmente 1 2) ) ) 28 24 52( ( (V R V R V R π π π= + = + = unidades de volume. (6) 
 
Observe que a resposta obtida neste exercício coincide com a resposta do exercício 3(i)(b), pois 
o sólido gerado é o mesmo apenas usamos métodos diferentes para calcular o volume do 
mesmo sólido. O gráfico do sólido é o da Figura 13.22. 
 
c) Em torno do eixo coordenado y . 
 
Desenhamos a Figura 13.33 mostrando a região e o eixo de rotação (do eixo y ). Identificamos 
a função altura da casca típica ( )h x e o raio médio da casca típica ( )r x onde 
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P
á
g
in
a
1
7
 
2 1 1( ) x xh x + − = += e ( )r x x= para 0 4x≤ ≤ . Note-se que 0( )h x > e ( ) 0r x ≥
. 
 
Figura 13.33 
O volume é dado pela fórmula ( )2 ( )
b
a
xr dxV h xπ=  . Assim o volume é 
4
0
1)2 (x x dxV π +=  
1/ 2 3/ 2
4 4
0 0
1) )2 ( 2 ( xx x dx x dxπ π+ +==   
 
4 4
5/ 2 2 5/ 2 2 5/ 2
0 0
104 208
2 8 2
5 / 2 2 5 2 5 5 5
2 2(4)
2 2
x xx x π
π ππ π
       
+ = + = + = =             
= 
unidades de volume. (7) 
Observe que a resposta obtida neste exercício coincide com a resposta do exercício 3(i)(c), pois 
o sólido gerado é o mesmo apenas usamos métodos diferentes para calcular o volume do 
mesmo sólido. O gráfico do sólido é o da Figura 13.25 
d) Em torno da reta vertical 5x = . (Note que esta reta está à direita da região dada) 
Desenhamos a Figura 13.34 mostrando a região e o eixo de rotação ( 5x = ). Identificamos a 
função altura da casca típica ( )h x e o raio médio da casca típica ( )r x onde 
2 1 1( ) x xh x + − = += e ( ) 5r x x= − para 0 4x≤ ≤ . Note-se que 0( )h x > e 
( ) 0r x ≥ . 
 
Figura13. 34 
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P
á
g
in
a
1
8
 
O volume é dado pela fórmula ( )2 ( )
b
a
xr dxV h xπ=  . Assim, o volume é 
 
4 4 4
0 0 0
(5 1) 1) 1))2 ( 10 ( 2 (xx x dx x dx x dxV π π π− + + += −=    
Usando o resultado da integral obtida em (7) sabemos que 
4
0
208
1)
5
2 (x x dx
π
π + = 
Logo 
208
5
4 4
0 0
1) 1)10 ( 2 (xx dx x dxV
π
π π+ += − 
���������
 
4
3
2
0
208 16 208 280 208 776
2 4
3 5 3 5 3 5 15
10 10
x
xV π π π π ππ π
 
  + = + = − =    
  
− −= 
unidades de volume. (8) 
 
Observe que a resposta obtida neste exercício coincide com a resposta do exercício 3(i)(d), pois 
o sólido gerado é o mesmo apenas usamos métodos diferentes para calcular o volume do 
mesmo sólido. O gráfico do sólido foi dado na Figura 13.28. 
 
iii) 
No exercício 3 (a) o método dos discos deu menos trabalho. 
No exercício 3 (b) o método dos discos deu menos trabalho. 
No exercício 3 (c) o método das cascas deu menos trabalho. 
No exercício 3 (d) o método das cascas deu menos trabalho. 
 
Observação. O método mais conveniente depende muito da região R e da facilidade de efetuar 
as integrais correspondentes. 
 
 
 
 
(a) Volume do sólido S S S S obtido pela rotação da região RRRR em torno do eixo Ox . 
 
Observe que a região R dada é a união de duas regiões R 1 e R 2 Assim o sólido S gerado 
pela rotação de R 1 e R 2 (resp.) em torno do eixo Ox é formado pela união dos sólidos 
S1 e S2 gerados pela rotação de R 1 e R 2 (resp.) em torno do eixo Ox . 
Assim V (S ) = V (S1 ) + V (S2 ). 
Para obter o volume de S1 usaremos o método dos discos ou arruelas. Temos então a fórmula 
[ ] [ ]( )1 1 1
1
2 2
0
( ) ( )( ) R x r x dxV S π −=  
Solução do Exercício 4 
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P
á
g
in
a
1
9
 
 
Figura 13.35 
 
Na figura 13.35 vemos que a função raio do disco maior é 
1/33
1( ) x xR x == para [0,1]x ∈ , 
note que 1 0( )R x > , e a função raio do disco menor é 
2
1( ) xr x = para [0,1]x ∈ , 1 0( )r x > . 
Assim, o volume neste caso é 
V (S1 ) ( ) ( )
1
5/3 5
2
1/3 2 2 2/3 4
0
1 1
0 0
[ ] ( 3 )
5 5
(
x x
x x x xdx dx ππ π

  − − −  

== =  
 
3 1 2
)
5 5 5
( ππ − == unidades de volume. 
Analogamente, para obter o volume de S2 vemos na figura 13.35 que temos a fórmula 
[ ] [ ]( )2 2 2
2
2 2
1
( ) ( )( ) R x r x dxV S π −=  
Onde a função raio do disco maior é 
2
2 ( ) xR x = para [1, 2]x ∈ , note que 2 0( )R x > , e a 
função raio do disco menor é 
1/3
2( ) xr x = para [1, 2]x ∈ , 2 0( )r x > . Assim, o volume neste 
caso é 
V (S2 ) ( ) ( )
2
5 5/3
2
2 2 1/3 4 2/3
1
2 2
1 1
[ ] 3 )
5 5
(
x x
x x x xdx dx ππ π

 − − −  

== =  
 
5
5/3 5/3 2/3 32 3 1 3 32 6 2 22 1 ) (2 ) ) (17 3 4)
5 5 5 5 5 5 5 5
( ( ππ π− − + = − + = −= unidades de 
volume. 
Assim 
V (S )= V (S1 ) + V (S2 ) 
3 3 32 2 2 6(17 3 4) (18 3 4) (6 4)
5 5 5 5
π π π π+ − = − = −=
unidades de volume. 
 
(b) Volume do sólido T T T T obtido pela rotação da região RRRR em torno do eixo Oy . 
Observe que a região R dada é a união de duas regiões R 1 e R 2 Assim o sólido T gerado 
pela rotação de a região R em torno do eixo Oy é formadopela união dos sólidos T1 e 
T2 gerados pela rotação de R 1 e R 2 (resp.) em torno do eixo Oy . 
Assim V (T ) = V (T1 ) + V (T2 ). 
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P
á
g
in
a
2
0
 
Para obter o volume de T1 usaremos o método das cascas cilíndricas. Temos então a fórmula 
1 1 1
1
0
( ) ( )( ) 2 r x h x dxV T π= 
 
 
 
Figura 13.36 
 
Na figura 13.36 vemos que a função raio médio é 
1( )r xx = para [0,1]x ∈ , note que 
1 0( )r x > , e a função 
23
1( ) x xh x −= para [0,1]x ∈ , 1 0( )h x > . Assim, o volume neste 
caso é 
V (T1 ) ( ) ( )
1
7/3 4
1/3 2 4/3 3
0
1 1
0 0
3 )
7 4
2 (2 2
x x
x x x x xdx dx ππ π

− − − 

== =  
 
3 1 12 7 5
) 2
7 4 28 14
2 ( π ππ
− 
− = = 
 
= unidades de volume. 
Analogamente, para obter o volume de T2 usaremos o método das cascas cilíndricas. Temos 
então a fórmula 
V (T2 ) 2 2
2
1
( ) ( )2 r x h x dxπ=  
Na figura 13.36 vemos que a função raio médio é 
2 ( )r xx = para [1,2]x∈ , note que 
2 0( )r x > , e a função 
2 3
2 ( ) x xh x −= para [1,2]x∈ , 2 0( )h x > . Assim, o volume de T2 
neste caso é 
V (T2 ) ( ) ( )
2
4 7/3
2 1/3 3 4/3
1
2 2
1 1
3 )
4 7
2 (2 2
x x
x x x x xdx dx ππ π

− − − 

== =  
 
4
7 3 1 32 3 1 3 12 7 122 ) 2 4 2 ) 2
4 7 4 7 7 28
2 ( 2 (π ππ π
−   
− − − = − −   
   
= 
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P
á
g
in
a
2
1
 
1 3 1 324 5 24 58 2 2 8 2
7 28 7 14
π π π ππ π
 
= − + = − + 
 
 ( )3 3 3112 5 24 117 24 32 2 39 16 2
14 7 14 7 14
π π π π π
+ 
= − = − = − 
 
unidades de volume 
 
 
Assim 
 
V (T)= V (T1 ) + V (T2 ) 
( ) ( )3 3
5 3 1
39 16 2 122 48 2
14 14 14
π π π+ − = −= ( )361 24 2
7
π
= − unidades de 
volume. 
 
 
 
 
Solução 
 
 
 
 Figura 13.37 Figura 13.38 Figura 13.39 
 
Na Figura 13.37 representamos à base do sólido e na Figura 13.38 a área da seção transversal 
( )A x que neste caso são triângulos equiláteros. Na Figura 13.39 mostramos um esboço do 
sólido. 
Sabemos que ( )
d
c
V A y dy=  (*)
 
 
Precisamos achar a área da seção transversal obtida pelo corte dado pelo plano que é 
perpendicular ao eixo Oy . Observe que a seção transversal é um triangulo equilátero de lado 
l . Nas Figuras 13.37 e 13.38 podemos observar que para cada [0,1]y ∈ , 
( ) 2 0y y yl − − = ≥= 
Logo a área ( )A y da seção transversal é 
2
23 3( ) (2 ) 3
4 4
l
A y y y= = = (**) 
Substituindo (**) em (*) onde 0 e 1c d= = obtemos 
11 1 2
0 0 0
3
3 3 3
2 2
y
V y dy y dy

= = = =

  unidades de volume. 
Solução do exercício 2 Solução do exercício 5 
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P
á
g
in
a
2
2
 
 
 
 
S 
 
(a) Observe que 
2
( )
t t
f t
e e−+
= é uma função contínua no intervalo [ 1,1],− diferenciável em 
( 1,1)− e com derivada 
2
( )
t t
e e
f t
−−
′ = contínua. Logo 
1 1
2 2 2
1 1
1 ( ( )) (
2
(1) )
t t
e
f t dt dtL
e −
− −
−
′+ = +=   
 De outro lado 
2 2
(
2
(1) )
t t
ee −−
+ = 
 
�
2 2 2 2
2
(*)
1 1
1 ) | |
4 2 4 4 2 4 2 2 2
(
t t t t t t t t t t
e e e e ee e e e e− − − − −
=
+ + +
+ − + = + + = = = 
(*)Atenção!!! Observe que 
2 2
21 ( )
4 2 4 2
t t t te e e e− −+
+ + = Note-se que este tipo de raciocínio é 
muito usado num bom número de exercícios deste tipo, assim sempre que você tenha um 
trinômio quadrado perfeito use a fatoração correspondente para facilitar os cálculos. 
 
Portanto o comprimento da curva é 
1
1 1 1 1
1
1
1
1
2 2 2 2 2 22
t tt t e e e e e e
e
e
e e
dtL
− − −
−
−
−



= − = − − + = −
+
= 
2 1e
e
=
−
. 
 
(b) Observe que ln( ) tf t = , é uma função contínua no intervalo [1, ],t e∈ diferenciável em 
(1, )e e com derivada 
1
( )
t
f t′ = contínua. 
 Logo 
�
2
2 2 2
2
1 1 1 1
2
1Como 1
| |
1 1
1 ( ( )) (1 1
| |
1 1
) ( )
e e e e e
t
t t
t
f t dt dt dt dt
t t t
L
t
dt
t≥
 =
+
′+ = = ==
+
+ + =    
 
Primeiro note que nenhuma das regras básicas de integração é aplicável. Para usar uma 
substituição trigonométrica, observe que 
2 1t + é da forma 2 2t a+ com 1a = . 
 
 
Figura 13.40 
 
Solução do exercício 6 
Cálculo II EP11 – Volumes de Sólidos e Comprimento de Curva – Gabarito 2020/2 
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P
á
g
in
a
2
3
 
 Fazendo a substituição trigonométrica 
2
tg
sec
t
dt d
θ
θ θ
=

=
 e 
2sec 1 tθ = + , resulta que 
 
2 2
2 sec sec sec
sec (1 tg ) sec tg
tg tg tg
1
d d d d
t
dt
t
θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ
= + = +
+
=     
1
sec cossec sec ln | cossec cotg | sec
sen
d d Cθ θ θ θ θ θ θ θ
θ
= + = + = − + +  
2
21 1ln | cossec cotg | sec ln | | 1
t
C t C
t t
θ θ θ
+
= − + + = − + + + 
Assim usando a 2ª forma do Teorema Fundamental do Cálculo segue que 
 
2 2
2 2
2
1 1
1 1 1 1
ln | | 1 ln | | 1 ln | 2 1| 2.
1
e
e
t e
L t e
t t e
t
dt
t
+ + −
= − + + + + − − −

+
= = 
(c) 
 
Observe que ln(cos )xy = − , é uma função contínua, pois é a composição de funções 
contínuas, e diferenciável em 4)(0,π com derivada 
( sen )
tg
cos
x
x
x
y
−
=′ = − contínua em 
4)(0,π . Logo 
4 4 4
2 2 2 2
0 0 0
1 ( ) (1 tg sec)y dx x dx x dxL
π π π
′+ = == +  
� ]
4
4
0
|sec | sec 0 0
em [0, 4]
sec ln | sec tg | ln | 2 1| ln |1 0 | ln( 2 1)
x x
x dx x x
π
π
π
=
=
= = + = + − + = + ����� .