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FUNDAMENTOS DE 
GEOMETRIA
Mariana Sacrini Ayres Ferraz
Sólidos de revolução: 
volumes
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Calcular volumes de cilindros de cones.
 � Deduzir o volume da esfera.
 � Resolver problemas envolvendo volumes de sólidos de revolução.
Introdução
Os objetos em três dimensões ocupam uma região no espaço, definida 
como o volume do objeto. Embora todos os objetos em três dimensões 
contenham volume, os sólidos de revolução apresentam características 
específicas, as quais permitem encontrar seu volume com metodologia 
que depende de sua simetria.
Neste capítulo, você aprenderá as expressões dos volumes de alguns 
sólidos de revolução: o cilindro, o cone e a esfera. Também, verá alguns 
exemplos de aplicações sobre a temática.
Cálculo de volumes de cilindros de cones
Os sólidos de revolução são aqueles formados a partir da rotação de uma 
região plana em torno de um eixo (Figura 1). Ao rotacionar a região plana, 
cria-se bases circulares. De fato, qualquer corte feito no objeto, paralelo às 
bases, mostra seções circulares. 
Figura 1. Sólido de revolução.
Fonte: Friedli (2016, documento on-line).
Para se determinar o volume de sólidos de revolução, usa-se o teorema de 
Pappus-Guldin, que diz que, quando uma superfície rotaciona em torno de 
um eixo e, o volume gerado é:
V = 2πdS,
onde d é a distância do centro de gravidade (CG) até o eixo de rotação, e S é 
a área de superfície (Figura 2).
Figura 2. Esquema para o teorema de 
Pappus-Guldin.
Fonte: Só Matemática (2019, documento on-line).
Sólidos de revolução: volumes2
Volume do cilindro
O cilindro de revolução, mostrado na Figura 3, apresenta algumas características. 
Ele possui suas bases em planos paralelos, e geratriz perpendicular a esses planos.
Figura 3. Cilindro de revolução.
Fonte: Reis (2014, p. 203).
Para obtermos o volume do cilindro, utiliza-se o princípio de Cavalieri. Su-
ponha dois sólidos, 1 e 2, com mesma altura, e um plano α, conforme Figura 4. 
Agora, se todo plano β paralelo ao α que intercepta os sólidos determina seções 
com mesma área, A1 = A2, então os sólidos têm o mesmo volume. 
Figura 4. Esquema para a demonstração do volume de um cilindro.
Fonte: Só Matemática (2018, documento on-line).
3Sólidos de revolução: volumes
Dado que o sólido 1 é um paralelepípedo retângulo, o seu volume é igual 
à sua área da base Ab multiplicada pela altura h. Então:
V1 = Abh = V2.
Portanto, o volume do cilindro é dado por:
Vcilindro = Abh = πr
2h.
Para encontrarmos o volume do cilindro, também podemos utilizar o 
teorema de Pappus-Guldin. Assim, a superfície geradora do cilindro é um 
retângulo, com base igual ao raio da base, e lateral igual à altura. Assim, 
S = rh Já o centro de gravitação é o ponto central do retângulo, cuja distância 
ao eixo de rotação é d = r/2. Assim, o volume é:
O centro de gravitação de figuras planas é um ponto que se localiza no eixo de simetria 
da figura em questão. Se essa tiver mais eixos de simetria, o ponto se localizará na 
intersecção entre os eixos de simetria.
Podemos definir um eixo de simetria como uma linha que divide a figura em duas 
partes iguais ou simétricas.
Assim, o centro de gravitação de um retângulo é o seu ponto central. As linhas 
vermelhas são seus eixos de simetria.
Sólidos de revolução: volumes4
Fonte: Teixeira (2019, documento on-line).
Volume do cone
O cone de revolução apresenta algumas características, apontadas na Figura 5, 
tem o seu eixo perpendicular ao plano da base, e sua geratriz pode ser rela-
cionada à sua altura e ao seu raio da base pelo teorema de Pitágoras.
Figura 5. Cone de revolução.
Fonte: Reis (2014, p. 208).
5Sólidos de revolução: volumes
O cone de revolução é gerado pela rotação de um triângulo em torno do 
cateto que será a altura, como mostrado na Figura 6. O centro de gravidade 
do triângulo é d = r/3, e a área do triângulo é S = rh/2. Assim, a partir do 
teorema de Pappus–Guldin, o volume do cone é:
Figura 6. Geração do cone como sólido de revolução.
Fonte: Só Matemática (2019, documento on-line).
Volume da esfera
O volume da esfera pode ser encontrado a partir do princípio de Cavalieri. 
Considere dois sólidos, uma esfera S e um cilindro equilátero G, ambos apoiados 
em um plano horizontal α, conforme Figura 7.
Figura 7. Esquema para a demonstração do volume da esfera.
Fonte: Pilati (2015, p. 45).
Sólidos de revolução: volumes6
No cilindro G, podemos delinear dois cones iguais, com bases que coinci-
dem com as do cilindro, e com vértice no ponto médio do eixo do cilindro. O 
volume desses cones é Vcone = πr
3/3. Esses cones foram retirados do cilindro.
Agora, considere um plano β, paralelo ao α e que intercepta os sólidos S e 
G (Figura 7). Esse plano está situado a uma altura h dos centros dos sólidos 
e determina uma circunferência de raio s em S e uma coroa circular em G 
limitada por duas circunferências, uma de raio r e outra de raio h. Lembre-se 
de que os cones também são equiláteros.
A área do círculo formado em S é dada por πs2. Mas, temos também que 
s2 + h2 = r2, ou seja, s2 = r2 – h2. Assim, ficamos com:
πs2 = π(r2 – h2).
Já a área da coroa circular é dada por πr2 – πh2, que é igual à área do círculo 
de raio s. Assim, pelo princípio de Cavalieri, podemos concluir que os sólidos 
S e G contêm o mesmo volume.
O volume do sólido G é igual ao volume do cilindro subtraído do volume 
dos dois cones retirados. Ou seja:
Assim, o volume da esfera é:
7Sólidos de revolução: volumes
Problemas de aplicação
Existem diversos problemas referentes a volume de sólidos de revolução. 
Vamos ver dois deles.
Problema 1
Suponha um cilindro de diâmetro igual a 10 cm e altura igual a 10 cm. Desse 
cilindro, foi retirado o volume de um paralelepípedo, cuja diagonal coincide 
com o diâmetro do cilindro (Figura 8). Qual é o volume do sólido? Considere 
π = 3,14.
Figura 8. Sólido do problema 1.
Fonte: Reis (2014, p. 205).
Sólidos de revolução: volumes8
Primeiramente, vamos calcular o volume total do cilindro. O volume de 
um cilindro é dado por:
Vcilindro = πr
2h,
onde r é o raio da base e h é a altura. Assim, substituindo os valores, ficamos 
com: 
Agora, vamos encontrar o volume do paralelepípedo, que é:
Vparalelepípedo = Abh,
onde Ab é a área da base, e h é a altura. Para encontrarmos a área da base, 
temos que chegar aos lados dela. Assim:
Agora, o volume é:
O volume do sólido é o volume do cilindro subtraído do volume do para-
lelepípedo. Portanto:
Vsólido = Vcilindro – Vparalelepípedo = 785 – 500 =285 cm
3.
9Sólidos de revolução: volumes
Problema 2
Suponha uma tubulação de 0,40 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento 
(Figura 9). Qual é a capacidade interna dessa tubulação em litros?
Figura 9. Tubulação do problema 2.
A tubulação tem o formado de um cilindro. O seu volume é:
V = πr2h.
Substituindo os valores, temos que:
Sabemos que: 
1 L = 1 dm3.
Assim, ficamos com: 
V = 2,512 m3 = 2,512 ∙ 103 dm3 = 2,512 L.
Portanto, a capacidade da tubulação é de 2,512 L.
Sólidos de revolução: volumes10
FRIEDLI, S. Sólidos de revolução. 2016. Disponível em: https://www.e-scola.
edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=6&id_
capitulo=72&Itemid=220. Acesso em: 15 jul. 2019.
PILATI, G. C. O princípio de Cavalieri e o volume da esfera. 2015. Dissertação (Mestrado em 
Matemática) – Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 
Departamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas, Universidade Estadual de 
Maringá, Maringá, 2015. Disponível em: http://www.profmat.uem.br/dissertacoes-2/
Greyce.pdf. Acesso em: 15 jul. 2019.
REIS, A. G. Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. Porto 
Alegre: Bookman, 2014. (Série Tekne).
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TEIXEIRA, M. M. Centro de massa. 2019. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/
fisica/centro-massa.htm. Acesso em: 15 jul. 2019.
11Sólidos de revolução: volumes