AULA 3 - Vigas

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ANÁLISE ESTRUTURAL I
Prof.: Judas Tadeu Gomes de Sousa
 Definição
 Tipos mais comuns
 Classificação das vigas quanto a sua 
estabilidade:
 Determinação de esforços atuantes e seus 
diagramas
 Definição
◦ Vigas são elementos estruturais bastante utilizados 
na engenharia cujo modelo estrutural adotado 
consiste em barras dispostas em uma mesma linha 
reta com carregamento atuando no plano vertical 
que contém seu eixo.
 Esforços internos atuantes:
◦ Devido o modelo adotado para viga ser coplanar os 
esforços desenvolvidos na estrutura são: 
 O momento fletor com vetor normal ao plano que 
contém o eixo da viga e o carregamento; 
 O esforço cortante na direção vertical;
 E eventualmente, o esforço normal na direção do eixo.
 Tipos de vigas usuais:
 Vigas Gerber ( Composição de vigas):
 Quanto ao equilíbrio estático:
◦ Hipostáticas: quando o número de 
restrições/apoios da estrutura é inferior aos graus 
de liberdade permitidos;
◦ Isostáticas: quando o número de restrições/apoios 
da estrutura é igual aos graus de liberdade 
permitidos;
◦ Hiperestáticas: quando o número de 
restrições/apoios da estrutura é superior aos grau 
de liberdade permitidos;
 Exemplos de vigas hipostáticas:
 Exemplos de vigas Isostáticas:
 Exemplo de vigas hiperestáticas:
 Para calcularmos os esforços internos em 
uma seção de uma viga aplicamos um plano 
de corte em um ponto ao longo do seu eixo 
que contém esta seção. 
 Para que o equilíbrio seja mantido, após o 
corte, aparecerão esforços internos na seção 
de corte da viga: 
◦ Esforço Normal (N)
◦ Esforço Cortante (V)
◦ Momento Fletor (M)
 Convenção de sinais:
◦ Esforço normal: 
 O esforço normal é considerado positivo em uma 
seção quando a resultante do esforço, calculada pelas 
forças esquerda ou à direita dessa seção, tender a 
tracionar a seção. 
◦ Esforço Cortante 
 O esforço cortante é considerado positivo quando, 
calculado pelas forças da porção à esquerda da seção 
de interesse na estrutura, a resultante do esforço tiver 
a direção de baixo para cima. 
◦ Momento Fletor 
 Momento Fletor é considerado positivo quando a 
resultante calculada pelas forças de qualquer um dos 
lados da seção em análise tender a tracionar as fibras 
inferiores da viga e comprimir as fibras superiores. 
 A variação dos esforços internos ao longo do 
eixo da viga podem ser melhor apresentados 
usando um gráfico denominado Diagrama de 
Esforços, assim para uma viga teremos:
◦ Diagrama de Esforço Cortante;
◦ Diagrama de Momento Fletor;
◦ Diagrama de Esforço Normal (Eventualmente);
 Apesar de distintos os diagramas para os 
esforços internos em uma viga apresentam 
algumas relações entre si conforme veremos 
após analisarmos a viga abaixo:
 Observe que a viga está submetida a um 
carregamento aleatório:
◦ Atuam: cargas concentradas; cargas momento e 
uma força distribuída de função qualquer.
◦ Analisemos agora o equilíbrio de um segmento de 
largura Dx da viga localizado a uma distância x da 
origem do eixo escolhido.
 
( )2)(
0)()(0
)(
0)()(0
xkxwxVM
MMxkxxwMxVM
xxwV
VVxxwVF
O
y
D−D=D
=D++DD+−D−=
D−=D
=D+−D−=


◦ As forças para o equilíbrio do segmento são:
◦ Dividindo as equações anteriores por Dx e fazendo 
Dx tender a zero temos:
)(0
)(
)(0
)(
xV
dx
dM
x
xkxwV
x
M
xw
dx
dV
x
xw
x
V
=→D
D−=
D
D
−=→D
−=
D
D
 Conclusões:
◦ A derivada da função do esforço cortante em cada 
ponto é igual a intensidade da carga distribuída em 
cada ponto com o sinal trocado
◦ A derivada da função do momento fletor em cada 
ponto é igual a intensidade da força cortante em 
cada ponto.
)(
)(
xw
dx
xdV
−=
)(
)(
xV
dx
xdM
=
◦ O equilíbrio nas regiões de força concentrada é 
obtido para:
 Indicando que nesse ponto o diagrama de esforços 
cortantes tem um desnível para baixo no valor da força 
FV
VVFVFy
−=D
=D+−−= 0)(;0
◦ O equilíbrio nas regiões de carga momento 
concentrada é obtido para:
 Indicando que nesse ponto o diagrama de momentos 
fletores tem um desnível para cima no valor do 
momento
o
oo
MMx
MxVMMMM
=D→D
=−D−−D+=
0
0;0
 Viga biapoiada submetida a uma carga 
concentrada P:
lPbQ
lPabM
lPaV
lPbV
xq
B
A
=
=
=
=
=
max
max
0)(
 Viga biapoiada submetida a um carregamento 
uniformemente distribuído:
( )( )
22)(
8
2)(
2
)(
max
2
max
222
qlQqxqlxQ
qlM
lxlxqlxM
qlVV
qxq
BA
=−=
=
−=
==
=
 Viga biapoiada submetida uma carga 
triangular:
( )( )
( )( )
3
316)(
064,0
6)(
3
6
)(
max
22
2
max
332
plQ
lxplxQ
plM
lxlxplxM
plV
plV
lpxxq
B
A
=
−=

−=
=
=
=
 Viga biapoiada submetida a carga momento 
(a<b):
lMQ
lMbM
lMV
lMV
xq
B
A
=
=
=
−=
=
max
max
0)(
 Particularmente se carga momento for 
aplicada em uma das extremidades ou nas 
duas o DMF tem a forma:
 A medida que o carregamento atuante em 
uma viga se torna mais variado, como na viga 
da figura , o procedimento de calcular as 
equações e só depois traçar dos diagramas se 
torna cada vez mais complexo.
 Pergunta: Uma vez que conhecemos a forma 
do diagrama de momentos para uma série de 
situações, existe algum método mais prático 
para o traçado do diagrama de momentos 
fletores?
◦ Solução: Sim, é muito mais simples traçar o 
diagrama de momentos usando o procedimento de 
decomposição da estrutura em vigas biapoiadas.
 Para visualizarmos esse método analisemos a 
viga sob o carregamento abaixo:
◦ Observe que a viga apresentará três trechos com 
equações de momento fletor diferente
 Como a estrutura esta em equilíbrio se 
seccionarmos a viga nos pontos B e C 
teremos o aparecimento de esforços:
 Os pontos de transição são a B e a C e os 
esforços nessas seções e suas vizinhanças 
são:
2
6
"
'
2
"
'
pcV
pbPRV
pcM
PRV
RV
aRM
C
AC
C
AB
AB
AB
=
−−=
−=
−=
=
=
 Como cada trecho de viga mantém seu equilíbrio, 
podemos transformá-los em vigas biapoiadas onde 
os esforços cortantes seções serão as reações 
verticais:
 Os diagramas de momentos fletores então para os 
trechos isolados são:
 Combinando agora os diagramas teríamos:
 Os diagramas finais seriam:
 Roteiro do método das seções para o DMF:
◦ A partir de uma linha de referência paralela ao eixo da 
viga marca-se as ordenadas dos momentos fletores nas 
seções de transição das equações desse esforço;
◦ Com união dos pontos representativos dessas ordenadas 
é obtida uma linha polinomial denominada linha de 
fechamento do diagrama de momento fletor;
◦ Para cada trecho de barra com carga distribuída 
transversal associada a um segmento linear de linha de 
fechamento e a partir desse segmento ou corda 
inclinada, pendura-se o diagrama de momento fletor de 
uma viga biapoiada sob a referida força distribuída.
 Graficamente teríamos:
 “Para traçar o diagrama de momentos fletores de 
uma viga submetida a um carregamento qualquer, 
basta marcar os momentos fletores nos pontos de 
interesse, ligá-los por segmentos de retas e, a 
partir da linha assim obtida, pendurar 
perpendicularmente ao eixo da viga, os diagramas 
de viga biapoiada para cada uma das cargas 
distribuídas atuantes.”
 “O diagrama de esforços cortantes também pode 
ser obtido por um procedimento semelhante, mas 
é mais prático obtê-lo diretamente a partir das 
forças atuantes na viga e pela observação do 
diagrama de momento fletor.”
 Seja a viga biapoiada submetida ao 
carregamento geral, trace os diagramas de 
esforços.