Lista_1_TN_2016

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1a Lista de Exercícios 
1) Mostre que, Za : 
(A) a par 2a par. (B) a ímpar 2a ímpar. (C) 2a par a par. (D) 
2a ímpar a ímpar. 
2) Mostre que: 
(A) aa 2 é par, Za . (B) o quadrado de um número ímpar é da forma 18 q , .Zq 
3) Mostre, por indução, que 13.2 212  nn é divisível por 11, .1,  nZn 
4) Mostre, por indução, que 11522  nn é divisível por 9, .1,  nNn 
5) Mostre que: 
(A) Se ac e bc , então abc  e abc  . 
(B) Se abc  ou abc  e ac , então bc . 
6) Sejam yx, e z três inteiros consecutivos. Mostre que zyx 3 . 
7) Efetue a divisão euclidiana nos seguintes casos: 
(A) 43 por 3 (B) - 43 por 3 (C) 43 por 5 (D) - 43 por 5 
8) Seja m um inteiro cujo resto da divisão por 6 é 5. Mostre que o resto da divisão de m por 3 é 2. 
9) Encontre um número natural de dois algarismos satisfazendo as seguintes condições: quando ele é 
dividido pela soma de seus algarismos o quociente é 7 e o resto é 6 e quando é dividido pelo produto 
de seus algarismos o quociente é 3 e o resto é a soma de seus algarismos. Justifique sua resposta. 
10) Mostre que se um inteiro a não é divisível por 3 , então o resto da divisão de 2a por 3 é 1 . 
11) Mostre que de três números inteiros consecutivos um e apenas um deles é múltiplo de 3. 
12) Se n é um número ímpar, prove que   12, nnmdc . 
13) Demonstre que se bca e   ,, dbamdc  então cda . Em particular, sejam ba, e c três inteiros tais que 
a divide cb. e a e b são primos entre si, então a divide c . 
14) Sejam a , b e c números inteiros. Demonstre que, se ca , cb e   dbamdc , , então cdab . 
15) Considerando ba, e c inteiros não nulos e representando por ba a relação “ a divide b ” , analise as 
proposições abaixo. 
(I) Se cba  , então ba ou ca . 
(II) Se cba . e   1, bamdc , então ca . 
(III) Supondo a não primo e cba . , então ba ou ca . 
(IV) Se .ba e   1, cbmdc , então   1, camdc . 
É correto apenas o que se afirma em: 
(A) I (B) II (C) I e III (D) II e IV (E) III e IV 
 
16) Mostre por indução que    .2,1,,,111 1   naZnaaaaa nn  
17) Sejam 1,,  nZna e 1a . Se 1na é primo, mostre que 2a e n é primo. (Dica: Use ex. 18) 
18) Dois números a e b , não ambos nulos, serão ditos primos entre si, se os únicos divisores comuns de 
a e b são 1 e -1, o que equivale a dizer que   .1, bamdc 
(A) Mostre que dois números inteiros consecutivos são sempre primos entre si. 
(B) Mostre que se n é um número ímpar, então   .122, nnmdc 
(C) Mostre que se n é um número par, então   .222, nnmdc 
19) Sejam a e b primos entre si. Prove que 1),(  babamdc ou 2),(  babamdc . 
20) Prove que o número 3.999.991 não é primo. Bons estudos! 
 
 
 
Universidade Estadual de Montes Claros - UNIMONTES 
Disciplina: Teoria dos Números 
Curso: Matemática/Diurno – 40 Período 
Professor: Warley Ferreira da Cunha