Formulario Análise de Circuitos Elétricos

Prévia do material em texto

FORMULÁRIO DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Circuito RC – Resposta natural: 
 
𝑣(𝑡) = 𝑉0 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ 
𝜏 = 𝑅𝐶 
𝑇𝑐 = 𝑇𝑑 = 5 ∙ 𝜏 
Circuito RC - Resposta forçada: 
 
 
𝑣(𝑡) = {
𝑉0
𝑉𝑆 + (𝑉0 − 𝑉𝑆)𝑒
−𝑡 𝜏⁄
 , ∀ 𝑡 < 0
, ∀ 𝑡 > 0
 
 
 
Circuito RL – Resposta natural: 
 
𝑖(𝑡) = 𝑖0 𝑒
−𝑡𝑅 𝐿⁄ 
𝜏 =
𝐿
𝑅
 
𝑇𝑐 = 𝑇𝑑 = 5 ∙ 𝜏 
Circuito RL – Resposta forçada: 
 
 
𝑖𝐿(𝑡) = {
𝑖0
𝑉𝑆
𝑅
+ (𝑖0 −
𝑉𝑆
𝑅
)𝑒−𝑡 𝜏⁄
 , ∀ 𝑡 < 0
, ∀ 𝑡 > 0
 
 
 
Associação de capacitores em série: 
 
1
𝐶𝑒𝑞
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
+⋯+
1
𝐶𝑛
 
 
Associação de capacitores em paralelo: 
 
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 +⋯+ 𝐶𝑛 
Associação de indutores em série: 
 
𝐿𝑒𝑞 = 𝐿1 + 𝐿2 +⋯+ 𝐿𝑛 
Associação de indutores em paralelo: 
 
1
𝐿𝑒𝑞
=
1
𝐿1
+
1
𝐿2
+⋯+
1
𝐿𝑛
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
𝛼 =
R
2𝐿
 𝜔0 =
1
√𝐿𝐶
 𝜔𝑑 = √𝜔0² − 𝛼² 𝑆1 = −𝛼 ± √𝛼
2 −𝜔0
2 
 
Circuito RLC série – Resposta natural: 
 
Superamortecido (𝛼 > 𝜔0) 
𝑖(𝑡) = 𝐴1𝑒
𝑆1𝑡 + 𝐴2 𝑒
𝑆2𝑡 
Criticamente amortecido (𝛼 = 𝜔0) 
𝑖(𝑡) = (𝐴1 + 𝐴2𝑡)𝑒
−𝛼𝑡 
Subamortecido (𝛼 < 𝜔0) 
𝑖(𝑡) = [(𝐴1. 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑑 . 𝑡) + 𝐴2. 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑 . 𝑡)]. 𝑒
−𝛼𝑡 
 
 
Circuito RLC série – Resposta forçada: 
 
Superamortecido (𝜶 > 𝝎𝟎) 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑆 + 𝐴1𝑒
𝑆1𝑡 + 𝐴2𝑒
𝑆2𝑡 
Criticamente amortecido (𝜶 = 𝝎𝟎) 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑆 + (𝐴1 + 𝐴2𝑡)𝑒
−𝛼𝑡 
Subamortecido (𝜶 < 𝝎𝟎) 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑆 + [𝐴1𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡) + 𝐴2𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡)]. 𝑒
−𝛼𝑡 
 
𝛼 =
1
2𝑅𝐶
 𝜔0 =
1
√𝐿𝐶
 𝜔𝑑 = √𝜔0² − 𝛼² 𝑆1 = −𝛼 ± √𝛼
2 −𝜔0
2 
Circuito RLC Paralelo – Resposta natural 
 
Superamortecido (𝛼 > 𝜔0) 
𝑣(𝑡) = 𝐴1𝑒
𝑆1𝑡 + 𝐴2𝑒
𝑆2𝑡 
Criticamente amortecido (𝛼 = 𝜔0) 
𝑣(𝑡) = (𝐴2 + 𝐴1𝑡)𝑒
−𝛼𝑡 
Subamortecido (𝜶 < 𝝎𝟎) 
𝑣(𝑡) = [(𝐴1. 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑑 . 𝑡) + 𝐴2. 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑 . 𝑡)]. 𝑒
−𝛼𝑡 
 
Circuito RLC paralelo – Resposta forçada: 
 
 
Superamortecido (𝛼 > 𝜔0) 
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑆 + 𝐴1𝑒
𝑆1𝑡 + 𝐴2𝑒
𝑆2𝑡 
Criticamente amortecido (𝛼 = 𝜔0) 
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑆 + (𝐴1 + 𝐴2𝑡). 𝑒
−𝛼𝑡 
Subamortecido (𝛼 < 𝜔0) 
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑆 + [𝐴1𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡) + 𝐴2𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡)]. 𝑒
−𝛼𝑡 
 
 
FORMULÁRIO DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Senóides e fasores: 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) 
 
�̇� = 𝑉𝑚∠𝜙 
𝜔 = 2𝜋𝑓 
𝑇 =
2𝜋
𝜔
=
1
𝑓
 
 
 
 
𝑍 = 𝑅 ± 𝑗𝑋
𝑍 = |𝑍|∠𝜃
{
 
 
 
 |𝑍| = √𝑅
2 + 𝑋²
𝜃 = 𝑇𝑔−1 (
𝑋
𝑅
)
𝑅 = |𝑍|. cos(𝜃)
𝑋 = |𝑍|. sen(𝜃)
 
Principais operações matemáticas Operações com j 
Adição 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑥2) + 𝑗(𝑦1 + 𝑦2) 
𝑗 = √−1 
 
𝑗 = 1∠90° 
 
−𝑗 = 1∠ − 90° 
 
𝑗2 = −1 
1
𝑗
= −𝑗 
Subtração 𝑧1 − 𝑧2 = (𝑥1 − 𝑥2) + 𝑗(𝑦1 − 𝑦2) 
Multiplicação 𝑟1∠𝜙1 . 𝑟2∠𝜙2 = 𝑟1𝑟2∠(𝜙1 + 𝜙2) 
Divisão 
𝑟1∠𝜙1
𝑟2∠𝜙2
=
𝑟1
𝑟2
∠(𝜙
1
− 𝜙
2
) 
 
Recíproco 
1
r1∠𝜙1
=
1
r1
∠(−𝜙) 
 
Raiz quadrada √r∠𝜙1 = √𝑟 ∠ (
𝜙
2
) 
 
Identidades trigonométricas: 
𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 ± 180°) = −𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 ± 180°) = −𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) 
 
±𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) = 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 ± 90°) 
∓𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 ± 90°) 
 
 
Capacitores 
𝑣𝐶 = 𝑉𝑚 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) 
 
⇒ 𝑉𝐶 = 𝑉𝑚∠𝜙 
𝑖𝐶 = 𝐶
𝑑𝑣𝐶
𝑑𝑡
 
𝑋𝐶 =
1
2𝜋𝑓𝐶
=
1
𝜔𝐶
 
𝑍𝐶 = −𝑗𝑋𝐶 = −
𝑗
𝜔𝐶
=
1
𝑗𝜔𝐶
 
Indutores 
𝑖𝐿 = 𝐼𝑚 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) 
 
⇒ 𝐼𝐿 = 𝐼𝑚∠𝜙 
𝑣𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑡
 
𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 = 𝜔𝐿 
 
𝑍𝐿 = 𝑗𝑋𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 
 
 
FORMULÁRIO DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Tabela de Transformada de Laplace 
𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔) 
𝜹(𝒕) 1 
𝒖(𝒕) 
1
𝑠
 
𝒆−𝒂𝒕 
1
𝑠 + 𝑎
 
𝒕 
1
𝑠2
 
𝒕𝒏 
𝑛!
𝑠𝑛+1
 
𝒕 ∙ 𝒆−𝒂𝒕 
1
(𝑠 + 𝑎)2
 
𝒕𝒏 ∙ 𝒆−𝒂𝒕 
𝑛!
(𝑠 + 𝑎)𝑛+1
 
𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 
𝜔
𝑠2 +𝜔2
 
𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 
𝑠
𝑠2 +𝜔2
 
𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝜽) 
𝑠 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠2 +𝜔2
 
𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝜽) 
𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜔 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠2 +𝜔2
 
𝒆−𝒂𝒕 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 
𝜔
(𝑠 + 𝑎)2 +𝜔2
 
𝒆−𝒂𝒕 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 
𝑠 + 𝑎
(𝑠 + 𝑎)2 +𝜔2
 
 
Expansão em frações parciais 
Polos simples 
𝑁(𝑠)
(𝑠 + 𝑝1) ∙ (𝑠 + 𝑝2) ∙ … ∙ (𝑠 + 𝑝𝑛)
=
𝐴
(𝑠 + 𝑝1)
+
𝐵
(𝑠 + 𝑝2)
+
𝐶
(𝑠 + 𝑝3)
+ ⋯+
𝑋
(𝑠 + 𝑝𝑛)
 
Polos repetidos 
𝑁(𝑠)
(𝑠 + 𝑝1)
𝑛
=
𝐴
(𝑠 + 𝑝1)
+
𝐵
(𝑠 + 𝑝1)
2
+
𝐶
(𝑠 + 𝑝1)
3
∙∙∙ +
𝑥
(𝑠 + 𝑝1)
𝑛
 
Polos complexos 
𝑁(𝑠)
𝑠2 + 𝑎 ∙ 𝑠 + 𝑏
=
𝐴 ∙ 𝑠 + 𝐵
𝑠2 + 𝑎 ∙ 𝑠 + 𝑏
 
 
 
 
FORMULÁRIO DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Circuitos no domínio da frequência 
No tempo No domínio da frequência 
Indutor: 
 
Capacitor: 
 
 
Ganho em potência: Ganho em tensão: 
𝐺𝑑𝐵 = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔10
𝑃2
𝑃1
 𝐺𝑑𝐵 = 20 ∙ 𝑙𝑜𝑔10
𝑉2
𝑉1
 
 
Ressonância em série ou em paralelo: 
𝑋𝐿 = 𝑋𝐶 
 
𝜔 =
1
√𝐿 ∙ 𝐶
 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
𝑓 =
1
2 ∙ 𝜋 ∙ √𝐿 ∙ 𝐶
 𝐻𝑧 
 
𝑄 =
𝑋𝐿
𝑅
 
 
Potências: 
Potência ativa: Potência reativa: Potência aparente: 
𝑃 = 𝑉. 𝐼. 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑄 = 𝑉. 𝐼. 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑆 = 𝑉. 𝐼 
Fator de potência: Potência complexa 
Capacitor para correção 
do fator de potência 
𝐹𝑃 = 𝑐𝑜𝑠𝜙 = 
𝑃
𝑆
 𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄 𝐶 =
𝑄𝐶
𝜔 ∙ 𝑉𝑅𝑀𝑆
2 
 
 
 
FORMULÁRIO DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Sistemas polifásicos 
𝑉𝑎𝑛 = 𝑉𝑚∢0° 
𝑉𝑏𝑛 = 𝑉𝑚∢ − 120° 
𝑉𝑐𝑛 = 𝑉𝑚∢ − 240° ou 𝑉𝑐𝑛 = 𝑉𝑚∢120° 
 
 
Tensão de linha e de fase: 
𝑉𝐿 = √3 ∙ 𝑉𝐹 
Transformadores: 
 
𝑉𝑝
𝑉𝑠
=
𝑁𝑝
𝑁𝑠
=
𝐼𝑠
𝐼𝑝
= 𝑛