Winterle - 2000 - Vetores e Geometria Analítica-48

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80 Vetores e Geometria Analítica 
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto 
Vetorial -
Observando que no paralelogramo determinado pelos 
vetores não-nulos u e v (Figura 3.5), a medida da - -base é I u I e da altura é I v I sen 0, a área A deste pa-
ralelogramo é 
A= (base) (altura)= 1 u 11 v I sen 0 
ou seja, 
A=luxvl (7) 
V 
• 
u 
Figura 3.5 
O resultado dado em (7) poderá ser expresso por: "a área do paralelogramo deter-- - - -minado pelos vetores u e v é numericamente igual ao comprimento do vetor u X v ". 
Vamos comprovar este resultado por meio de um exemplo particular tomando os - - - -
vetores u = 2 i e v = 3 j . Temos, então 
e 
j 
uXv= 2 O 
O 3 
luxvl=6 
-k 
O = (0, O, 6) = 6k 
o 
A Figura 3.6 mostra claramente que o paralelogramo 
determinado por u e v tem 6 u.a. (unidades de área) e o 
vetor u X v tem 6 u.c. (unidades de comprimento). Quer 
dizer, numericamente estas medidas são iguais. 
Para encerrar o estudo do produto vetorial, as con-
clusões finais: 
1) O produto vetorial não é associativo, isto é, em geral 
(uxv)x w * u x(vxw) 
Basta considerar, por exemplo, 
(ixj)xj =kXj =-i 
enquanto que - - - - -ix(j xj)= i x0=0 
X 
6 
5 
4 
3 
2 
z 
• • 
U X V 
• 
V 
Figura 3.6 
Cap. 3 Produto Vetorial 81 
2) Para quaisquer vetores u, v, w e o escalar a, são válidas as propriedades 
- - -1) ux(v+w)=(uxv)+(uxw)e 
(u+v)x w =(uxw)+(vxw) - - - - - -II) a(uxv)=(au)x v = u x(av) - - - - ·- -III) u.(vxw)=(uxv). w 
As demonstrações destas propriedades, todas ligadas à aplicação da definição ( 1) e 
de propriedades dos determinantes além das citadas no texto, deixamos a cargo do leitor 
como desafio. 
Exemplos - - -
1) Determinar o vetor x, tal que x seja ortogonal ao eixo dos y e u = x x v, sendo - -
U = (1, 1, -1) e V = (2, -1, 1). 
Solução - -
Como x ..l Oy, ele é da forma x = (x, O, z). - -Então, u = x X V equivale a 
-i J k 
(1, 1, -1) = X o z 
2 -1 1 
ou 
(1, 1, -1) = (z, -x + 2z, -x). 
Pela condição de igualdade de dois vetores resulta o sistema 
{
-X+ 2!: ~ 
-X = -1 
cuja solução é x = 1 e z = 1. 
Portanto, x = (1, O, 1). - -
2) Sejam os vetores u = (1, -1, -4) e v = (3, 2, -2). Determinar um vetor que seja 
a) ortogonal a u e v; - -b) ortogonal a u e v e unitário; 
c) ortogonal a u e v e tenha módulo 4; 
d) ortogonal a u e v e tenha cota igual a 7.