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Resumo do capitulo 7
7.1 Cisalhamento em elementos retos 
O cisalhamento V é o resultado de uma distribuição de tensão de cisalhamento transversal que age na seção transversal da viga (Figura 7.1). Devido à propriedade complementar de cisalhamento, observe que tensões de cisalhamento longitudinais associadas também agirão ao longo dos planos longitudinais da viga. Por exemplo, um elemento retirado de um ponto interno da seção transversal está sujeito a tensões de cisalhamento transversal e longitudinal como mostra a Figura 7 .1
É possível explicar fisicamente por que a tensão de cisalhamento se desenvolve nos planos longitudinais de uma viga considerando que ela é composta por três tábuas (Figura 7.2a). Se as superfícies superior e inferior de cada tábua forem lisas e as tábuas estiverem soltas, a aplicação da carga P fará com que as tábuas deslizem uma sobre a outra e, assim, a viga sofrerá a deflexão mostrada na Figura 7.2a. Por outro lado, se as tábuas estiverem unidas, as tensões de cisalhamento longitudinais entre elas impedirão que uma deslize sobre a outra e, por consequência, a viga agirá como uma unidade única (Figura 7.2b ).
Quando é aplicado um cisalhamento V. as linhas da grade tendem a se deformar conforme o padrão mostrado na Figura 7.3b. Essa distribuição não uniforme da deformação por cisalhamento na seção transversal fará que ela se deforme, isto é, não permaneça plana.
Para o desenvolvimento da fórmula da flexão, consideramos que as seções transversais devem permanecer planas e perpendiculares ao eixo longitudinal da viga após a deformação. Embora essa regra seja infringida quando a viga é submetida a cisalhamento e também a flexão, de modo geral, podermos considerar que a distorção da seção transversal descrita anteriormente é pequena o suficiente para ser desprezada. Essa consideração é particularmente verdadeira
para o caso mais comum como de uma viga esbelta; isto é, uma viga cuja largura é pequena em comparação com seu comprimento.
7.2 A fórmula do cisalhamento 
O desenvolvimento de uma relação entre a distribuição da tensão de cisalhamento que age na seção transversal de uma viga e a força de cisalhamento resultante na seção é baseado no estudo da tensão de cisalhamento longitudinal e nos resultados da Equação 6.2, V = dM/dx. Para mostrar como essa relação
é definida, consideraremos o equilíbrio da força horizontal de uma porção do elemento retirado da viga na Figura 7.4a e mostrado na Figura 7.4b.
Agora, considere o segmento na parte superior do elemento que foi secionado em y' em relação ao eixo neutro (Figura 7.4b ) . Esse segmento tem largura t na seção, e cada um dos lados da seção transversal tem área A '. Como a diferença entre os momentos resultantes em cada lado do elemento é , podemos ver na Figura 7.4d que não será satisfeita a menos que uma tensão de cisalhamento longitudinal aja sobre a face inferior do segmento. Na análise que faremos a seguir, consideraremos que essa tensão de cisalhamento seja constante em toda a largura t da face inferior. Ela age na área . Aplicando a equação do equilíbrio da força horizontal e usando a fórmula da flexão (Equação 6.13), temos
Resolvendo para T, obtemos 
Essa equação pode ser simplificada observando-se que V = dM/dx (Equação 6.2). Além disso, a integral representa o momento de primeira ordem da área A' em torno do eixo neutro que representaremos pelo símbolo Q. Visto que a localização do centroide da área A ' é determinada por , também podemos escrever
O resultado final é, portanto,
7.3 Tensões de cisalhamento em vigas
As distribuições de tensão de cisalhamento em alguns tipos comuns de seções transversais de vigas. Então, daremos aplicações numéricas da fórmula do cisalhamento nos exemplos que serão apresentados Jogo em seguida.
Seção transversal retangular 
A distribuição da tensão de cisalhamento pela seção transversal pode ser determinada pelo cálculo da tensão de cisalhamento a uma altura arbitrária y em relação ao eixo neutro (Figura 7.5b) e posterior representação gráfica dessa função. Aqui, a área sombreada colorida escura A' será usada para calcular T. Por consequência,
Aplicando na forma do cisalhamento, temos 
Ou
Esse resultado indica que a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal é parabólica. Como mostra a Figura 7. Se, a intensidade varia de zero nas partes superior e inferior, y = ±h/2, até um valor máximo no eixo neutro, y = O. Especificamente, visto que a área da seção transversal é A = bh, então, em y = O, temos, pela Equação 7.4.
7.4 Fluxo de cisalhamento em estrutura compostas por vários elementos
 Alguns exemplos são mostrados na Figura 7. 13. Se as cargas provocarem flexão nas partes componentes, pode ser necessário utilizar elementos de fixação como pregos, parafusos, material de soldagem ou cola para evitar o deslizamento.
Esse carregamento, quando medido como força por unidade de comprimento, é denominado fluxo de cisalhamento q.
O valor do fluxo de cisalhamento ao longo de qualquer seção longitudinal de uma viga pode ser obtido por um desenvolvimento semelhante ao usado para determinar a tensão de cisalhamento em uma viga. 
Figura 7.14a à aba da viga. Como mostra a Figura 7.14b, três forças horizontais devem agir sobre essa parte. Duas dessas forças, F e F + dF, são desenvolvidas por tensões normais causadas pelos momentos M e M + dM, respectivamente. A terceira força, a qual, para equilíbrio, é igual a dF, age na junção e deve ser suportada pelo elemento de fixação. Como sabemos, dF é o resultado de dM, então, como no caso da fórmula do cisalhamento (Equação 7.1), temos
Visto que o segmento tem comprimento dx, o fluxo de cisalhamento, ou força por unidade de comprimento ao longo da viga, é q = dF/dx. Por consequência, dividindo ambos os lados por dx e observando que V = dM/dx (Equação 6.2), podemos escrever
7.5 Fluxo de cisalhamento em elementos de paredes finas 
Como aplicar essa equação para determinar a distribuição do fluxo de cisalhamento pela área da seção transversal de um elemento. Aqui, consideraremos que o elemento tem paredes finas, isto é, a espessura da parede é pequena em comparação com a altura ou largura do elemento.
Antes de determinar a distribuição do fluxo de cisalhamento m uma seção transversal, em primeiro lugar mostraremos como o fluxo de cisalhamento está relacionado com a tensão de cisalhamento. Para tal, considere o segmento dx de uma viga com abas largas na Figura 7.1 9a. Um diagrama de corpo livre de uma porção da aba é mostrado na Figura 7.19b. A força dF é desenvolvida ao longo da seção longitudinal sombreada de modo a equilibrar as forças normais F e F + dF criadas pelos momentos M e M + dM, respectivamente. Como a parede da aba é fina, a variação da tensão de cisalhamento r não varia muito ao longo da espessura t da seção; portanto, consideraremos que ela é constante. Por consequência, dFdA = r(t dx) = q dx, ou
Esse mesmo resultado também pode ser determinado comparando a equação do fluxo de cisalhamento, q = VQ/I, com a fórmula do cisalhamento, r = VQ/It.
Começaremos determinando a distribuição do fluxo de císalhamento ao longo da aba superior direita da viga T na Figura 7.20a. Para tal, considere o fluxo de cisalhamento q que age no elemento cinza-escuro localizado a uma distância arbitrária x da linha central da seção transversal (Figura 7.20b). Esse fluxo é determinado pela Equação 7.6 com assim
Devido à simetria, uma análise semelhante produz a mesma distribuição de fluxo de cisalhamento para as outras abas, de modo que os resultados são como os mostrados na
Figura 7 .20d.
A força total desenvolvida nas porções esquerda e direita de uma aba pode ser determinada por integração. Visto que a força no elemento cinza-escuro na Figura 7.20b é dF = q dx, então
Também podemos determinar esse resultado pelo cálculo da área sob o triângulo na Figura 7.20d, visto que q é uma distribuição de força/comprimento. Por consequência,
Todas as quatro forças que agem nessas abas são mostradas naFigura 7 .20e, e, pela direção delas, podemos ver que o equilíbrio da força horizontal na seção transversal é mantido. 
Para determinar a força na alma, , temos de integrar a Equação 7.9, isto é,
É possível simplificar essa expressão observando que o momento de inércia para a área da seção transversal é
Desprezando o primeiro termo, visto que a espessura de cada aba é pequena, obtemos
7.6 Centro de cisalhamento para seções transversais abertas
consideraremos o efeito da aplicação do cisalhamento ao longo de um eixo principal do centroide que não é um eixo de simetria para uma seção transversal aberta.
Como antes, só analisaremos elementos com paredes finas, portanto, usaremos as dimensões até a linha central das paredes dos elementos. Um exemplo típico desse caso é a seção do perfil em U (canal) mostrada na Figura 7.23a, que tem uma extremidade engastada e a outra em balanço e é submetida a uma força P. Para entender por que o elemento sofre torção, é preciso estudar a distribuição do fluxo de cisalhamento ao longo das abas e da alma do perfil em questão (Figura 7.23b ). Quando essa distribuição é integrada ao longo das áreas da aba e da alma, dará forças resultantes Faba em cada aba e uma força V-P na alma
A torção verdadeira é no sentido horário quando vista da frente da viga, como mostra a Figura 7.23a, já que as forças de reação de "equilíbrio" interno provocam a torção. Portanto, para impedir essa torção, é necessário aplicar P a um ponto O localizado à distância e da alma do perfil (Figura 7.23d). Exige-se ou
O ponto O assim localizado é denominado centro de cisalhamento ou centro de flexão. Quando P é aplicada no centro de cisalhamento, a viga sofrerá flexão sem torção, como mostra a Figura 7.23e. Os manuais de projeto costumam apresentar listas com a localização desse ponto para vários tipos de vigas com seções transversais de paredes finas comumente utilizadas na prática.
Ao fazermos essa análise, devemos observar que o centro de cisalhamento sempre estará localizado sobre um eixo de simetria da área da seção transversal de um elemento. Por exemplo, se girarmos de 90° o perfil na
Figura 7.23a e P for aplicada em A (Figura 7.24a), não ocorrerá nenhuma torção, visto que o fluxo de cisalhamento na alma e nas abas para esse caso é simétrico e portanto, as forças resultantes nesses elementos criarão momentos nulos em torno de A. É óbvio que, se um elemento tiver uma seção com dois eixos de simetria, como no caso de uma viga de abas largas, o centro de cisalhamento coincidirá com a interseção desses eixos.
Referência Bibliográfica: 
HIBBELER, Russell Charles. Resistência dos materiais. 7.ed. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2015. 637. p.