Intervalo de Confiança para Média de Notas

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Universidade Anhembi Morumbi 
Bacharelado em Estatística 
Discente: Marco Antonio Vieira Morais 
Matrícula: 2019212786 
 
ATIVIDADE 3 
1 Enunciado 
Considere três professores que apresentaram as notas de suas turmas na 
mesma avaliação simuladas da seguinte forma. 
 
Prof. 1 82 64 64 79 64 76 52 61 85 
Prof. 2 64 88 79 67 85 100 82 
Prof. 3 73 91 82 85 82 67 
Quadro 1 - Notas de diversos alunos para 3 professores 
Fonte: Elaborado pelo autor (2021) 
 
Sabe-se que, mesmo que a média de cada professor seja distinta, ainda 
podemos ter casos de as médias reais serem, estatisticamente, iguais entre si. 
Dessa forma, pela Análise de Variância, concluiremos o valor esperado de cada 
uma das médias a partir da construção do seu intervalo de confiança. Com base 
nos assuntos discutidos em aula, indique o intervalo de confiança da média de 
cada professor. 
 
2 Resolução – Raciocínio 
I – Para resolução da questão inicialmente realiza-se a Análise de Variância 
(ANOVA) com o intuito de verificar se há ou não diferenças entre as médias 
das notas dos alunos de cada professor. 
II – Posteriormente realiza-se o cálculo dos limites dos intervalos de confiança 
para média, conforme apresentado na equação 1. 
𝑦�̅� − 𝑡 (1 − 
𝛼
2
, 𝑛 − 𝑘) √
𝑀𝑄𝐸
𝑛𝑖
 ≤ 𝜇𝑖 ≤ 𝑦�̅� + 𝑡 (1 − 
𝛼
2
, 𝑛 − 𝑘) √
𝑀𝑄𝐸
𝑛𝑖
 
Onde: 
• ӯi é média calculada do grupo i; 
• μi é a média da população que o grupo i pertence; 
• α é a significância definida para análise, 
• n é a quantidade total de amostras; 
• k é a quantidade grupos 
• 𝑡 é a distribuição t de student para significância e graus de liberdade 
especificados em função de α, n e k; 
• MQE é o quadrado médio do resíduo. 
III – Obtidos os valore os plotou-se o gráfico com a finalidade de verificar se há 
sobreposição dos intervalos de confiança. 
3 Resolução – Cálculos em Planilhas (Manual) 
I Análise de Variância 
a) Obtendo a soma dos quadrados totais (SQT), soma dos quadrados do fator 
A (SQA) e soma dos quadrados do erro (SQE) 
 Prof. 1 Prof. 2 Prof. 3 Total 
Dados observados 
82 64 73 
64 88 91 
64 79 82 
79 67 85 
64 85 82 
76 100 67 
52 82 
61 
85 
Tamanho da Amostra 9 7 6 22 
Total 627 565 480 1672 
Total² 393129 319225 230400 2795584 
Total²/ni 43681 45603,57 38400 127072 
Média (ӯi) 69,67 80,71 80,00 
 
 SQA = 612,57 
 
 
Média (ӯ) 76 
 
 Quadrado dos desvios 
 Prof. 1 Prof. 2 Prof. 3 
Dados observados 
36 144 9 
144 144 225 
144 9 36 
9 81 81 
144 81 36 
0 576 81 
576 36 
225 
81 
Total 1359 1071 468 
 
 
 
 SQT = 2898 
 
 SQE = 2285,43 
b) Preenchendo o quadro da ANOVA 
❖ Não havendo informação no problema sobre qual nível de significância 
assumir, opta-se pelo α = 0,05; 
❖ Definindo hipóteses; 
➢ H0: as médias das turmas são iguais; 
➢ H1: uma ou mais médias são diferentes entre si. 
❖ Regra de decisão 
➢ Se F0 > Ftab deve-se rejeitar H0. 
❖ Tabela preenchida 
 
Tabela da Análise de Variância da notas dos alunos 
Variação SQ gl MQ F0 Ftab 
Fator 613 2 306,5 2,547 3,52 
Erro 2.285 1 120,3 
Total 2.898 21 
Nota: Como F0 < Ftab, ou seja, 2,547 < 3,52, não rejeita-se H0. 
 
c) Decisão 
As médias são consideradas estatisticamente iguais, pois não verifica-se 
diferenças estatística entre as elas independente do professor que lecionou a 
disciplina, quando considerado o nível de significância de 5%. 
 
II – Obtendo os intervalos de confiança para as médias. 
 
Considerando, conforme encontrado em tabela estatística, t(0,025, 19) = 
2,09302, e aplicando na Equação 1 os dados calculados anteriormente obteve-
se a tabela a seguir, com os intervalos de confiança para as médias. 
Tabela dos Intervalos de Confiança para média de notas 
Professor Média (ӯi) n t(0,025,19) 
Limites 
Inferior Superior 
Prof. 1 69,67 9 2,09302 62,014 77,319 
Prof. 2 80,71 7 2,09302 72,038 89,391 
Prof. 3 80,00 6 2,09302 70,628 89,372 
 
III – Desenhando o Gráfico dos Intervalos de Confiança para média 
No gráfico a seguir apresenta-se os intervalos de confiança. Visualmente 
verifica-se que há sobreposição de valores de média nos três segmentos, 
evidenciando que não há diferenças estatística entre as médias das notas. 
 
 
 
Gráfico do intervalo de confiança para médias das notas. 
69,67
80,71 80,00
60
65
70
75
80
85
90
95
Prof. 1 Prof. 2 Prof. 3
Intervalo de Confiança para Média de Notas